CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa a V-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 2 ore si 30 de minute.
SUBIECTUL I ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 4 urne, U1, U2, U3 şi U4 care conţin bile. Ea poate face 4 operaţii: O1 în care ia câte o bilă din urnele 2,3 şi 4 şi le pune în urna 1; O2 în care ia câte o bilă din urnele 1,3 şi 4 şi le pune în urna 2; O3 în care ia câte o bilă din urnele 1,2 şi 4 şi le pune în urna 3; O4 în care ia câte o bilă din urnele 1,2 şi 3 şi le pune în urna 4. (10p) a) Scrieţi un şir de operaţii prin care Ioana mută toate bilele într-o urnă, dacă U1 are 4 bile, U2 are 8 bile, U3 are 12 bile şi U4 are 16 bile. (10p) b) Explicaţi de ce Ioana nu poate muta toate bilele într-o urnă printr-un şir de operaţii, dacă U1 are 3 bile, U2 are 4 bile, U3 are 5 bile şi U4 are 7 bile. (10p) c) Dacă U1 are 4 bile, U2 are 5 bile, U3 are 8 bile, ce număr de bile dintre 10 şi 13 poate avea U4 astfel încât printr-un şir de operaţii Ioana să poată muta toate bilele într-o urnă? SUBIECTUL II ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Un pătrat cu latura de 5 se numeşte “roz” dacă este împărţit în 25 de pătrate mai mici cu latura de 1 şi dacă în fiecare pătrat mic este scrisă cifra 0 sau cifra 1, astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană să fie egală cu 1. (10p) a) Să se deseneze un “pătrat roz”, care conţine un pătrat cu latura 2 care să aibă numai zerouri în interior. (10p) b) Să se explice de ce un “pătrat roz” nu conţine un pătrat cu latura 3 care să aibă numai zerouri în interior. (10p) c) Câte “pătrate roz” diferite se pot construi? SUBIECTUL III ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Mulţimea A are 10 elemente. (10p) a) Să se arate că mulţimea A are 210 submulţimi. (10p) b) Să se arate că oricum am alege 513 submulţimi ale mulţimii A , atunci reuniunea lor este toată mulţimea A . (10p) c) Să se arate că dacă alegem 512 submulţimi ale mulţimii A cu proprietatea că reuniunea lor nu este toată mulţimea A , atunci intersecţia lor va fi mulţimea vidă. Test conceput de LAVINIA SAVU, DIANA NICULESCU, CRISTINA ANTON şi MIRELA DIACONESCU
Clasa a V-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1