CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa I NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La toate subiectele se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 1 oră şi 30 de minute.
SUBIECTUL I ( 30p ) Rezolvaţi exerciţiile de mai jos pe spaţiile punctate corespunzătoare Completaţi căsuţele cu semnele + sau – astfel încât să se obţină rezultatele indicate (10p) 1) 9
8
7
6
5
4
3
2
1=3.
(10p) 2) 9
8
7
6
5
4
3
2
1=1
(10p) 3) 9
8
7
6
5
4
3
2
1=9.
SUBIECTUL II ( 40p ) Rezolvaţi exerciţiile de mai jos pe spaţiile punctate corespunzătoare Capra cu 3 iezi îşi organizează treburile casnice pentru 30 de zile, astfel iedul cel mare duce gunoiul o dată la 2 zile ( în ziua 1, ziua 3, ziua 5, …), iedul mijlociu adună lemne pentru foc o dată la trei zile ( în ziua 1, ziua 4, ziua 7, …) iar iedul cel mic mătură casa o dată la 5 zile ( în ziua 1, ziua 6, …) (10p) 4) Scrieţi numerele zilelor în care se duce gunoiul…………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. (10p) 5) Scrieţi numerele zilelor în care se duce gunoiul şi se mătură casa, fără a se strânge lemne pentru foc................................................................................................................................... (10p) 6) Scrieţi numerele zilelor în care nu se face altceva decât să se măture casa......................... ......................................................................................................................................................... (10p) 7) Scrieţi numerele zilelor în care nu se face niciuna din cele trei activităţi................................... ..................................................................................................................................................... SUBIECTUL III (20p) Rezolvaţi exerciţiile de mai jos pe spaţiile punctate corespunzătoare (10p) 8) Într –o şcoală, cei 3 premianţi ai clasei întâi sunt elevii A, B şi C. Scrieţi toate posibilităţile în care pot fi ei premiaţi....................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... (10p) 9) Într –o şcoală, cei 3 premianţi ai clasei întâi sunt aleşi dintre elevii A, B, C şi D. Scrieţi toate posibilităţile în care pot fi ei premiaţi............................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................ Test conceput de Lavinia Savu, Corina Barbu, Monica Şerban şi Marieta Musei Clasa I Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013
Clasa a II-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La toate subiectele se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 2 ore.
SUBIECTUL I ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 5 bile numerotate de la 1 la 5 şi aşezate în ordinea 2,3,5,4,1. Ea poate schimba ordinea bilelor utilizând „magiile” . „Magia albă” schimbă între ele oricare 2 bile,; „magia roşie” schimbă între ele oricare 2 bile alăturate; „magia verde” ia orice bilă şi o pune pe locul trei de la dreapta spre stânga, celelalte bile neschimbându-şi ordinea . Un exemplu de „magie albă” este 2,3,5,4,1 2,4,5,3,1. Un exemplu de „magie roşie ” este 2,3,5,4,1 2,5,3,4,1. Un exemplu de „magie verde” este 2,3,5,4,1 2,3,1,5,4. (10p) a) Scrieţi un şir de „magii albe”, prin care plecând de la şirul 2,3,5,4,1, Ioana ajunge la şirul 1,2,3,4,5 . (10p) b) Scrieţi un şir de „magii roşii”, prin care plecând de la şirul 2,3,5,4,1, Ioana ajunge la şirul 1,2,3,4,5 . (10p) c) Scrieţi un şir de „magii verzi”, prin care plecând de la şirul 2,3,5,4,1, Ioana ajunge la şirul 1,2,3,4,5 . SUBIECTUL II ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) În fiecare pătrăţel din figura alăturată este scrisă cifra 0 sau cifra 1. Se face suma numerelor de pe fiecare din cele 3 linii şi de pe cele 5 coloane şi se obţin 8 rezultate.
(10p) a) Să se completeze o figură cu 0 sau 1 astfel încât cele 8 rezultate să fie egale. (10p) b) Să se completeze o figură cu 0 sau 1 astfel încât să obţinem numai rezultatele 1,2,3,4,5. (10p) c) Să se completeze o figură cu 0 sau 1 astfel încât să obţinem numai rezultatele 0,1,2,3,4. SUBIECTUL III ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) O „operaţie” asupra unui număr natural este una din urmatoarele acţiuni: O1) Tăierea cifrei 2 de la sfârşitul numărului. O2) Schimbarea între ele a celor 2 cifre de la sfârşitul numărului. O3) Adunarea numărului cu 3. (10p) a) Ce şir de „operaţii” trebuie să facem pentru a obţine din numărul 34, numărul 5? (10p) b) Ce şir de „operaţii” trebuie să facem pentru a obţine din numărul 135, numărul 2? (10p) c) Ce şir de „operaţii” trebuie să facem pentru a obţine din numărul 241, numărul 1? Test conceput de Lavinia Savu, Laura Roxana Alexandru, Daniela Barbu şi Mirela Ilie Clasa a II-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa a III-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La toate subiectele
se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 2 ore.
SUBIECTUL I ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) În câte feluri poate vopsi Ioana un gard de 10 scânduri cu 2 culori, astfel încât scândurile alăturate să aibă culori diferite? (10p) b) În câte feluri poate vopsi Ioana un gard de 3 scânduri cu 3 culori, astfel încât scândurile alăturate să aibă culori diferite şi să folosească toate culorile? (10p) c) În câte feluri poate vopsi Ioana un gard de 5 scânduri cu 3 culori, astfel încât scândurile alăturate să aibă culori diferite şi să folosească toate culorile? SUBIECTUL II ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 100 de lei. În fiecare zi de vacanţă ea fie primeşte o sumă de bani de la bunica sa, fie cheltuieşte aceeaşi sumă de bani, dar nu poate să şi primească să şi cheltuiască în aceeaşi zi. În prima zi ea primeşte sau cheltuieşte 1 leu, în a doua zi ea primeşte sau cheltuieşte 2 lei, în a treia zi ea primeşte sau cheltuieşte 3 lei,…,etc. (10p) a) Să se găsească un mod de primire şi cheltuire a banilor, astfel încât la sfârşitul celei de-a 12-a zile să aibă 100 de lei. (10p) b) Să se găsească un mod de primire şi cheltuire a banilor, astfel încât la sfârşitul celei de-a 14-a zile să aibă 1 leu. SUBIECTUL III ( 40p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Un castel are camerele ca în Fig. 1. Un călător poate trece dintr-o cameră în alta dacă au o latură comună. După ce a părăsit o cameră toate uşile ei se încuie. Călătorul merge până nu mai găseşte uşi deschise. La început toate uşile sunt deschise. Lungimea drumului făcut este egală cu numărul de camere prin care a trecut. De exemplu, drumul 1,2,3,4,5,10,9,8,7,6,...,25 este de lungime 25. (10p) a) Scrieţi un exemplu de drum de lungime 4. (10p) b) Scrieţi un exemplu de drum de lungime 6. (10p) c) Scrieţi un exemplu de drum de lungime 8. (10p) d) Scrieţi un exemplu de drum de lungime 25, care începe cu camera 13. Fig 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Test conceput de Lavinia Savu, Iulia Fiţa, Paul Dumitrescu şi Margareta Gheorghiţă Clasa a III-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa a IV-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. La toate subiectele se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv 2 ore. SUBIECTUL I ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
Şirul 5,1,3,2,4 conţine un subşir (5,3,2) descrescător de lungime 3 şi un subşir (1,2,4) crescător de lungime 3. Şirul 4,5,3,2,1 conţine un subşir (4,3,2,1) descrescător de lungime 4 şi un subşir (4,5) crescător de lungime 2. (10p) a) Scrieţi un şir format din numerele 1,2,3,4,5,6 care are un subşir crescător de lungime 4 şi un subşir descrescător de lungime 3. (10p) b) Scrieţi un şir format din numerele 1,2,3,4,5,6 care are un subşir crescător de lungime 3 şi un subşir descrescător de lungime 4. (10p) c) Scrieţi un şir format cu numerele 1,2,3,4,5,6 pentru care produsul dintre lungimea celui mai mare subşir crescător şi lungimea celui mai mare subşir descrescător este egală cu 10. SUBIECTUL II ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 3 urne U1, U2 şi U3 care conţin bile. Ea poate face 3 operaţii: O1 în care care ia câte o bilă din urnele 2 şi 3 şi le pune în urna 1; O2 în care ia câte o bilă din urnele 1 şi 3 şi le pune în urna 2 şi O3 în care ia câte o bilă din urnele 1 şi 2 şi le pune în urna 3. (10p) a) Scrieţi un şir de operaţii prin care Ioana mută toate bilele într-o urnă, dacă U1 are 4 bile, U2 are 5 bile şi U3 are 8 bile. (10p) b) Scrieţi un şir de operaţii prin care Ioana mută toate bilele într-o urnă dacă U1 are 3 bile, U2 are 9 bile şi U3 are 15 bile. (10p) c) Dacă U1 are 4 bile, U2 are 5 bile , ce număr de bile cuprins între 17 şi 20 , poate avea U3 astfel încât printr-un şir de operaţii Ioana să poate muta toate bilele într–o urnă?. SUBIECTUL III ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se dă şirul de numere 1, 2, 3,..., 2013 asupra căruia facem operaţii. La fiecare operaţie alegem 2 numere din şir, scădem din numărul mai mare numărul mai mic sau egal şi un număr îl înlocuim cu diferenţa lor, iar pe celălalt îl ştergem. Continuăm aşa până rămâne un singur număr. (10p) a) Să se explice de ce ultimul număr care rămâne este impar. (10p) b) Să se găsească un şir de operaţii pe care aplicându-le şirului 1, 2, 3,..., 2013, numărul obţinut la sfârşit să fie 2013. (10p) c) Să se găsească un şir de operaţii pe care aplicându-le şirului 1, 2, 3,..., 2013, numărul obţinut la sfârşit să fie 1. Test alcătuit de LAVINIA SAVU, ANI DRĂGHICI, GHERGHINA LUNGEANU şi MARIA UNGUREANU
Clasa a IV-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa a V-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 2 ore si 30 de minute.
SUBIECTUL I ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 4 urne, U1, U2, U3 şi U4 care conţin bile. Ea poate face 4 operaţii: O1 în care ia câte o bilă din urnele 2,3 şi 4 şi le pune în urna 1; O2 în care ia câte o bilă din urnele 1,3 şi 4 şi le pune în urna 2; O3 în care ia câte o bilă din urnele 1,2 şi 4 şi le pune în urna 3; O4 în care ia câte o bilă din urnele 1,2 şi 3 şi le pune în urna 4. (10p) a) Scrieţi un şir de operaţii prin care Ioana mută toate bilele într-o urnă, dacă U1 are 4 bile, U2 are 8 bile, U3 are 12 bile şi U4 are 16 bile. (10p) b) Explicaţi de ce Ioana nu poate muta toate bilele într-o urnă printr-un şir de operaţii, dacă U1 are 3 bile, U2 are 4 bile, U3 are 5 bile şi U4 are 7 bile. (10p) c) Dacă U1 are 4 bile, U2 are 5 bile, U3 are 8 bile, ce număr de bile dintre 10 şi 13 poate avea U4 astfel încât printr-un şir de operaţii Ioana să poată muta toate bilele într-o urnă? SUBIECTUL II ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Un pătrat cu latura de 5 se numeşte “roz” dacă este împărţit în 25 de pătrate mai mici cu latura de 1 şi dacă în fiecare pătrat mic este scrisă cifra 0 sau cifra 1, astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană să fie egală cu 1. (10p) a) Să se deseneze un “pătrat roz”, care conţine un pătrat cu latura 2 care să aibă numai zerouri în interior. (10p) b) Să se explice de ce un “pătrat roz” nu conţine un pătrat cu latura 3 care să aibă numai zerouri în interior. (10p) c) Câte “pătrate roz” diferite se pot construi? SUBIECTUL III ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Mulţimea A are 10 elemente. (10p) a) Să se arate că mulţimea A are 210 submulţimi. (10p) b) Să se arate că oricum am alege 513 submulţimi ale mulţimii A , atunci reuniunea lor este toată mulţimea A . (10p) c) Să se arate că dacă alegem 512 submulţimi ale mulţimii A cu proprietatea că reuniunea lor nu este toată mulţimea A , atunci intersecţia lor va fi mulţimea vidă. Test conceput de LAVINIA SAVU, DIANA NICULESCU, CRISTINA ANTON şi MIRELA DIACONESCU
Clasa a V-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013
Clasa a VI-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 2 ore si 30 de minute.
SUBIECTUL I ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Un pătrat cu latura 9 este împărţit în 81 de pătrate mici cu latura 1. Orice drum între 2 vârfuri ale unor pătrate se poate face numai pe laturi. Distanţa între două vârfuri este egală cu lungimea celui mai scurt drum dintre ele. (10p) a) Câte vârfuri au cele 81 de pătrate mici? (un vârf se numără o singură dată) (10p) b) Să se arate că există 4 vârfuri ale unor pătrate mici cu proprietatea că distanţa de la orice vârf al unui pătrat mic la unul dintre cele 4 alese să fie cel mult 4. (10p) c) Să se arate că nu există 3 vârfuri ale unor pătrate mici cu proprietatea că distanţa de la orice vârf al unui pătrat mic la unul dintre cele 4 alese să fie cel mult 4. SUBIECTUL II ( 10p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) Să se arate că în mulţimea An 1 81 n n N există o infinitate de puteri ale lui 10. Vasile Pop SUBIECTUL III ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 8 pătrăţele din carton cu laturile de lungimi 1, 2, 3, ..., respectiv 8. (10p) a) Să se arate că pot împărţi cele 8 pătrăţele în două grupe astfel încât suma perimetrelor pătrăţelelor din prima grupă să fie egală cu suma perimetrelor pătrăţelelor din a doua grupă. (10p) b) Să se arate că pot împărţi cele 8 pătrăţele în două grupe astfel încât suma ariilor pătrăţelelor din prima grupă să fie egală cu suma ariilor pătrăţelelor din a doua grupă. ( aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale) SUBIECTUL IV ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) Scrieţi cinci numere naturale cu proprietatea că oricare două nu sunt prime între ele şi oricare trei au cel mai mare divizor comun egal cu 1. (10p) b) Să se arate că, oricum am avea zece numere naturale consecutive, există printre ele unul care să fie prim cu oricare din celelalte nouă numere. (10p) c) Să se arate că, dacă avem cinci numere naturale diferite, cu proprietatea că oricare două nu sunt prime între ele şi oricare trei sunt prime între ele, atunci produsul lor va avea cel puţin 10 divizori primi diferiţi în descompunerea lui. Test conceput de LAVINIA SAVU, CONSTANTIN BĂRĂSCU, DUMITRU DOBRE şi ROZICA ŞTEFAN
Clasa a VI-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa a VII-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 2 ore si 30 de minute.
SUBIECTUL I ( 15p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (15p)
Se consideră patrulaterul convex ABCD. Segmentul care uneşte mijlocul M al laturii AB şi mijlocul N al laturii CD intersectează diagonala AC în E şi diagonala BD în F. Să se arate că AE BF . EC FD
SUBIECTUL II ( 15p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (15p) Fie A o mulţime de 5 numere naturale şi S x y | x, y A .Să se arate că dacă mulţimea S are 9 elemente, atunci suma numerelor din A se divide cu 5.
Vasile Pop SUBIECTUL III ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră mulţimea A 2i 3 j i, j N .
1 a n1 (10p) a) Să se arate că 1 a a ... a , a R 1 , n N . 1 a 2
n
(10p) b) Să se arate că n N şi oricare ar fi numerele naturale distincte a1 , a2 ,...,a n A , avem 1 1 1 ... 3 . a1 a2 an (10p) c) Să se găsească un număr natural n N şi numerele naturale distincte a1 , a 2 ,..., a n A , pentru care avem
1 1 1 ... 2,9 . a1 a2 an
SUBIECTUL IV ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră mulţimea A formată din 2013 puncte în plan. (10p) a) Să se arate că există o dreaptă care împarte planul în două semiplane, astfel încât unul să conţină în interiorul său 1000 puncte, iar al doilea să conţină în interiorul său 1013 puncte din mulţimea A . (10p) b) Să se arate că există două cercuri care nu se intersectează, astfel încât unul să conţină în interiorul său 1000 puncte, iar al doilea să conţină în interiorul său 1013 puncte din mulţimea A . (10p) c) Să se arate că există două patrate care nu se intersectează, astfel încât unul să conţină în interiorul său 1000 puncte, iar al doilea să conţină în interiorul său 1013 puncte din mulţimea A . Test conceput de LAVINIA SAVU, AUREL BĂIEŞ, ANUŢA CĂRBUNARU şi MĂDĂLINA CĂLĂRAŞU
Clasa a VII-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013 Clasa a VIII-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 2 ore si 30 de minute.
SUBIECTUL I ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (20p) Printr-un punct din interiorul unui paralelipiped dreptunghic ducem 3 plane paralele cu feţele. Descompunem astfel paralelipipedul dat în 8 paralelipipede mici. Să se arate că cel puţin 4 dintre aceste paralelipipede mici au volumul mai mic sau egal cu
1 din volumul paralelipipedului dat. 8
SUBIECTUL II ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Spunem că o mulţime nevidă de numere naturale este „simpatică”, dacă orice submulţime finită şi nevidă a sa are media aritmetică a elementelor un număr natural. (10p) a) Să se arate că pentru orice n Ν , există o mulţime M, formată din n numere naturale diferite, care să fie „simpatică”. (10p) b) Să se arate că nu există o mulţime infinită, formată din numere naturale diferite, care să fie „ simpatică”. SUBIECTUL III ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră mulţimea S formată din toate soluţiile reale ale ecuaţiilor de forma x 2 ax b 0 , unde a, b Z . (10p) a)
Să se arate că
(10p) b)
Să se arate că, dacă I este un interval deschis şi nevid, atunci I S .
2 3S .
SUBIECTUL IV ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Ioana are 16 cuburi din carton cu muchiile de lungimi 11, 12, 13, ..., respectiv 26. (10p) a) Să se arate că poate împărţi cele 16 cuburi în 2 grupe astfel încât suma lungimilor muchiilor cuburilor din prima grupă să fie egală cu suma lungimilor muchiilor cuburilor din a doua grupă. (10p) b) Să se arate că poate împărţi cele 16 cuburi în 2 grupe astfel încât suma ariilor totale ale cuburilor din prima grupă să fie egală cu suma ariilor totale ale cuburilor din a doua grupă. (10p) c) Să se arate că poate împărţi cele 16 cuburi în 2 grupe astfel încât suma volumelor cuburilor din prima grupă să fie egală cu suma volumelor cuburilor din a doua grupă. Test conceput de LAVINIA SAVU, MARIA IONESCU, VALENTIN MITREA şi VALERIU IOVAN
Clasa a VIII-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa a IX-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) Dacă ABCDE este un pentagon şi P un punct în planul său, să se arate că PA CD PB DE PC EA PD AB PE BC 0 . (10p) b) Dacă ABCDEFG este un poligon cu 7 laturi şi P un punct în planul său, să se arate că PA DE PB EF PC FG PD GA PE AB PF BC PG CD 0 . (10p) c) Să se arate că dacă ABCDE este un pentagon şi perpendicularele din A, B, C şi D pe CD, DE, EA şi AB sunt concurente, atunci prin punctul de concurenţă trece şi perpendiculara din E pe BC. Selectată de Ion Savu SUBIECTUL II ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (20p) Se consideră M o mulţime cu cel puţin 2 elemente si M mulţimea părţilor sale
M X | X M . Să se determine funcţiile
f : M M cu proprietatea
X Y f ( X ) f (Y ), X , Y M cu X Y .
Vasile Pop SUBIECTUL III ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră funcţiile f : R R , f x ax 2 bx c , a , b, c R cu a 0 , astfel încât f x x , x R şi g : R R , g x x 2 2 x 2 .
(10p) a) Să se arate că, dacă n N * , n 2 , atunci f f ... f x x , x R . de n ori f
(10p) b) Să se arate că există n N * , astfel încât g g ... g 0 2 2013 . de n ori g
Selectată de Cristina Marinela Cimpoeşu SUBIECTUL IV ( 20p ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră (an )n o progresie aritmetică de numere naturale. (10p) a) Să se arate că dacă unul din termenii progresiei ( an ) n este un pătrat perfect atunci atunci progresia conţine o infinitate de pătrate perfecte. (10p) b) Să se arate că dacă unul din termenii progresiei ( an )n este un cub perfect atunci progresia conţine o infinitate de cuburi perfecte. Vasile Pop Clasa a IX-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013
Clasa a IX-a Programa M2 NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) Să se găsească o funcţie f : R R , de gradul doi, cu proprietatea
f (6) f (8) 2013 şi f (k ) R Q , k {6,8} . (10p) b) Să se arate că pentru funcţia g : R R , g ( x) 6 x 2 8 x 2013 există o infinitate de puncte a R Q cu proprietatea g (a) N . Selectată de Aurica Lucaci SUBIECTUL II ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
(10p) a) Să se găsească o mulţime A formată din 6 elemente cu proprietatea că toate sumele de câte 2 elemente din mulţime să fie diferite. (10p) b) Să se găsească o mulţime C Z infinită, cu proprietatea că toate sumele de câte 2 elemente din mulţime să fie diferite. Selectată de Octavian Ungureanu SUBIECTUL III ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră funcţia f : R R , f ( x) 2 x 2 6 x 5 . (10p) a) Să se arate că ( f f ... f )(0) 10255 . de 9 ori f
(10p)
b) Să se determine cel mai mare număr natural nenul n , pentru care ( f f ... f )(0) 531 . de n ori f
Selectată de Gheorghe Vieru SUBIECTUL IV ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (15p)
(15p)
a) Se consideră 2013 vectori în plan, v1 , v2 ,..., v2013 cu proprietatea v1 2 , v2 2 2 , …, v2013 2 2013 . Să se arate că v1 v2 ... v2013 0 . b) Se consideră n N, n 2 şi v un vector cu proprietatea n 1 v n . Să se arate că există
n vectori, v1 , v2 ,..., vn , cu v1 v2 ... vn 1 şi v1 v2 ... vn v .
Selectată de Paul Cristian Moanţă
Clasa a IX-a m2 Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013 Clasa a X-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) Care este probabilitatea ca 3 numere din mulţimea 1, 2,..., n , n N, n 3 să fie în progresie aritmetică? (10p) b) Care este probabilitatea ca 4 numere din mulţimea 1, 2,..., n , n N, n 3 să fie în progresie aritmetică ? Selectată de Ion Savu SUBIECTUL III ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Spunem că o mulţime nevidă de numere naturale este „simpatică”, dacă orice submulţime finită şi nevidă a sa are media geometrică a elementelor un număr natural. (10p) a) Să se arate că pentru orice n Ν , există o mulţime M, formată din n numere naturale diferite, care să fie „simpatică”. (10p) b) Să se arate că nu există o mulţime infinită, formată din numere naturale diferite, care să fie „simpatică”. Selectată de Daniela Catană SUBIECTUL III ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră mulţimea de puncte din plan M 1, 2,3,..., 2013 1, 2,3,..., 2013 . Notăm cu T mulţimea triunghiurilor care au toate vârfurile în puncte din mulţimea M şi cu A mulţimea ariilor triunghiurilor din mulţimea T. (10p) a) Să se determine numărul de elemente din mulţimea A . (10p) b) Să se arate că numărul de triunghiuri din mulţimea T este cel puţin egal cu 20132 20132 1 20132 2013 . 6 Selectată de Florin Smeureanu SUBIECTUL IV ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră o mulţime A cu n elemente, n 2 . Spunem că două mulţimi X, Y sunt incomparabile dacă X Y si Y X . De exemplu 1, 2 si 1, 4,3 sunt incomparabile. n
(10p) a) Să se arate că C k C 2 , k {0,1,..., n} n n . (10p) b) Să se arate că toate submulţimile mulţimii A care au k elemente , formează o familie de submulţimi incomparabile două câte două. (10p) c) Să se arate că, dacă F este o familie de submulţimi ale lui A incomparabile două cate n 2 n
două, atunci | F | C
. Selectată de Dan Popescu
Clasa a X-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013
Clasa a X-a
Programa M2
NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I ( 15p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
Se consideră numărul a 6 35
2013
. Să se arate că a este număr iraţional şi să se
determine primele 2013 de zecimale ale sale. Selectată de Lucia Şerba SUBIECTUL II ( 15p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
Să se arate că
x log5 2 x log5 9 xlog5 24 xlog5 3 x log5 8 x log5 18 ,
x 0, .
Selectată de Dana Panaete SUBIECTUL III ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră numărul complex z a bi , cu a, b R . (10p) a) Să se verifice că z 2 2az a 2 b 2 0 . (10p) b) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că n N , n 2 , există
a n , bn R , astfel încât z n an z bn . (10p) c) Să se arate că pentru w C şi n N , n 2 , există o ecuaţie cu coeficienţi reali de forma x n px q 0 , care are una dintre soluţii numărul complex w . Selectată de Liviu Tiron SUBIECTUL IV ( 30p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră în plan punctele
Ak k , k 2 , k 1, 2,...,12 şi mulţimea de triunghiuri
T Ai Aj Ak i, j, k N, 1 i j k 12 (10p)
a) Să se determine numărul de triunghiuri din mulţimea T.
(10p)
b) Să se determine un triunghi din mulţimea T care are aria egală cu 1.
(10p)
c) Să se determine un triunghi din mulţimea T care are aria egală cu 165. Selectată de Bogdan Zetea
Clasa a X-a m2 Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013
Clasa a XI-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (10p) a) Fie f : a, b R o funcţie continuă. Să se arate că există u, v a, b, astfel încât 1 ba
1
1
1
x
y
z
f x
f y
f z
f u f v , x, y , z a, b .
(10p) b) Să se construiască o funcţie f : 0,1 R cu proprietatea că, u, v 0,1 există x, y, z 0,1 , astfel încât
1 x
1 y
1 z
f x
f y
f z
f u f v .
Selectată de Gabriel Vrânceanu SUBIECTUL II ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră funcţia f : 0,1 R , derivabilă cu f (0) f (1) 0 şi cu proprietatea că există a 0,1 cu f (a ) 1 . Să se arate că există trei puncte pe graficul funcţiei f astfel încât tangentele la grafic în aceste trei puncte să formeze un triunghi dreptunghic isoscel. Vasile Pop SUBIECTUL III ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră n Ν , n 3 şi notăm cu M mulţimea matricelor din n Ν care au toate
elementele diferite între ele şi luate din mulţimea 1,2,3,....., n 2 . (10p) a)
Să se arate că în mulţimea M există matricea A, astfel încât rang A 2 .
(10p) b)
Să se arate că în mulţimea M există matricea B, astfel încât det B 0 .
(10p) c)
Să se arate că în mulţimea M există matricea C, astfel încât rang C n 1 . Sorin Rădulescu şi Ion Savu
SUBIECTUL IV ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră funcţia f : R R cu proprietatea lui Darboux si funcţia g : R R , cu proprietatea că g 1 x nu contine interval , x R . Să se arate că, dacă funcţia g f este continuă pe R , atunci funcţia f este continuă pe R . Ion Savu Clasa a XI-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013
Clasa a XI-a
Programa M2
NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I (30p) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se notează cu M 2 (C) mulţimea matricelor de ordinul doi cu elemente din mulţimea
a b numerelor complexe. Pentru o matrice X M 2 (C) notăm TrX a d . c d (10p) a) Să se arate că TrA TrB Tr ( AB) det A B det A det B, A, B M 2 (C). (10p) b) Să se arate că, dacă X , Y , Z M 2 (C) , atunci
det X Y Z det( X Y ) det Y Z det(Z X ) det X det Y det Z . (10p) c) Să se arate că, dacă A, B, C M 2 (C) şi det A B C det A det B det C , atunci
TrA TrB TrB TrC TrC TrA Tr AB BC CA . Florin Stanescu SUBIECTUL II ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
(10p) a)
Să se arate că nu există niciun triunghi echilateral care să aibă toate vârfurile în
mulţimea (15p) b)
a, b a, b Z din planul înzestrat cu sistemul cartezian
xOy.
Să se arate că nu există niciun poligon regulat cu 2013 laturi care să aibă toate
vârfurile în mulţimea
a, b a, b Z din planul înzestrat cu sistemul cartezian
xOy.
Selectată de Alin Catană SUBIECTUL III ( 40p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
Se consideră funcţia f : 0, R , f x x e ln x . (10p) a) Să se arate că (10p) b) Să se arate că
f x 0 , x 0, .
e x x e , x 0, .
(10p) c) Să se arate că, dacă a R , a 0 şi a x x a , x 0, , atunci a e . (10p) d) Să se determine numerele reale c, b, d 0 cu proprietatea că c x b x d x x c x b x d , x 0, .
Selectată de Gheorghe Stoianovici
Clasa a XI-a m2 Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 06 2013
Clasa a XII-a NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
0, a a a ....an ..., dacã x =0, a1a2 a3 ....an ... Se consideră funcţia f : 0,1 0,1 , f x 2 1 3 1 ,dacã x =1 (10p) a) Să se arate că funcţia f este integrabilă. 1
(10p) b) Să se calculeze
f ( x)dx. 0
Selectată de Constantin Drugan SUBIECTUL II ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
(10p) a) Să se arate că f C X , există g , h C X , astfel încât f g 2 h 2 . (10p) b) Să se arate că f C X , există f1 , f 2 , f 3 C X , astfel încât f f13 f 23 f 33 . Sorin Rădulescu SUBIECTUL III ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră grupul G , , unde G f : N N f
bijectivă şi "" reprezintă
compunerea funcţiilor. (10p) a) Să se arate că grupul G , conţine un subgrup izomorf cu grupul Z, . (10p) b) Să se arate că grupul G, conţine un subgrup izomorf cu grupul Q , . Ion Savu SUBIECTUL IV ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră funcţiile f : 0,1 R continuă pe 0,1 , g : 0,1 R , derivabilă, cu derivata continuă pe 0,1 , h : 0,1 R , continuă pe 0,1 şi derivabilă în x 0 . 1
x n f x dx 0 . (10p) a) Să se arate că lim n 0
1
n x n g x dx g 1 . (10p) b) Să se arate că lim n 0
1
h x n dx h0 . (10p) c) Să se arate că lim n 0
Selectată de Gheorghe Stoianovici Clasa a XII-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1
CONCURSUL NATIONAL DE MATEMATICA EUCLID ETAPA FINALĂ 08 . 06 . 2013 Clasa a XII-a
Programa M2 NOTĂ.Toate subiectele sunt obligatorii. Se cer rezolvările complete la fiecare subiect. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore.
SUBIECTUL I ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră inelul M 2 Z 2 . (10p) a) Să se determine numărul de elemente ale inelului. (10p) b) Să se arate că există numerele naturale nenule n p , astfel încât X n X p , X M 2 Z 2 .
Selectată de Florin Smeureanu SUBIECTUL II ( 30p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) (15p) a) Să se găsească două polinoame f , g Z 4 X , astfel încât grad f 10 , grad g 8 şi grad f g 4
(15p) b) Să se găsească două polinoame f , g Z 8 X , astfel încât grad f 12 , grad g 6 şi grad f g 3
Selectată de Octavian Ungureanu SUBIECTUL III ( 20p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) 1
Să se calculeze
x 0
2
1 dx . 1 x 4 x2 9
2
Selectată de Gabriela Mihăilescu
SUBIECTUL IV ( 20p )( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)
1
Să se arate că
n
3 6 9
3n
1 x dx 4 7 10 ... 3n 1 , n N 3
.
0
Selectată de Paul Cristian Moanţă
Clasa a XII-a m2 Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro 1