UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1
4/11/10
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Ecuaciones exponenciales con base e El señor Molina fue encontrado muerto en su oficina. Cuando la Policía llegó al lugar, a las 12:00, la temperatura del cadáver era de 29 °C y la de la oficina era de 23 °C. Más tarde, a las 13:30, la temperatura del cuerpo bajó a 27 °C. La Policía estimó la hora de muerte del señor Molina, aplicando la ley de enfriamiento de Newton, que se expresa algebraicamente −kt por: T (t ) = T0 + Δ ⋅ e , donde t es el tiempo transcurrido, k > 0 es una constante y Δ es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y la del ambiente T0.
Analicemos... • • •
¿A qué hora estimas que falleció el señor Molina? Según estos datos, ¿cuál es el valor de la constante k, en este caso? Si la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C, ¿a qué hora ocurrió el deceso? Explica.
Para resolver esta situación, se puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton. Remplazando los datos T0 = 23 y Δ = 29 – 23 = 6, se tiene:
Glosario ley de enfriamiento de Newton: relaciona la temperatura de un objeto, según el tiempo transcurrido, y la temperatura del medio en el que se encuentra, y que se puede enunciar como: “La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea”.
T (t ) = 23 + 6 ⋅ e 27 = 23 + 6 ⋅ e ln
−kt
−k ⋅ 1,5
() ( ) −1,5k 2 = ln e 3
una hora y media después, la temperatura del cadáver era de 27 °C, es decir, t = 1,5 y T(1,5) = 27 como la base es e, en este caso, se aplica logaritmo natural
y se obtiene: k = 0,27031. Luego, la función es T (t ) = 23 + 6 ⋅ e
−0,27031 t
Ahora, para calcular cuánto tiempo ha transcurrido desde su muerte, se remplaza el valor de la temperatura normal, 36,5: 36,5 = 23 + 6 ⋅ e
−0,27031 t
, que es equivalente a 2,25 = e
−0,27031 t
Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3, con lo que se concluye que el deceso ocurrió 3 horas antes de que llegara la Policía, es decir, a las 9 de la mañana.
Pon atención Cuando se aplica un cambio de variable, luego de resolver la ecuación se debe remplazar la variable, de modo que la solución se entregue en la variable original.
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Ejemplo 1 Resuelve la ecuación e 2x + 5 · e x – 14 = 0 2
u + 5 ⋅ u − 14 = 0
realizando un cambio de variable: u = e x
(u – 2) (u + 7) = 0
luego, u = 2 o bien u = –7