UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1
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Ecuaciones logarítmicas Una escala utilizada para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter, representada por la ecuación: log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios, y R: magnitud del sismo, medida en grados de la escala de Richter. Por ejemplo, el terremoto del 13 de junio de 2005 en Huara, provincia de Iquique, tuvo una magnitud de 7,8.
Hombre removiendo escombros provocados por el terremoto de Huara. Gentileza: Ministerio de Interior.
Analicemos... • •
¿Cuánta energía fue liberada en esa ocasión?, ¿cómo lo calculaste? ¿Cuánta energía más liberaría un terremoto de magnitud 8,5 en la escala de Richter? Explica.
Glosario ecuación logarítmica: igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la incógnita forma parte del argumento de, al menos, uno de ellos.
La ecuación logarítmica que permite responder la situación presentada es log x = 1,5 · 7,8 + 11,8, ya que R, en este caso, es igual a 7,8. Luego, para calcular cuál es el valor de x, se aplican potencias de 10. Observa.
log x = 1,5 · 7,8 + 11,8 log x = 23,5 log 10 x
10
= 10
23,5
log 10 x
, pero 10
= x , por definición de logaritmos.
23
x = 3,162 · 10
Luego, la energía liberada en el terremoto del 13 de junio de 2005 fue de 3,162 · 1023 ergios. En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita, se debe manipular la ecuación, de modo de escribirla de la forma logb f ( x ) = logb g ( x ), donde f ( x ) y/o g( x ) son expresiones que contienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempre decreciente, entonces: logb f ( x ) = logb g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ). Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos permitirá resolver una ecuación.
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