UNIDAD 4 (156-193)C
:Maquetación 1
4/11/10
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Volumen de pirámides F
E
D
Considera el siguiente prisma de base triangular de bases ΔABC y ΔDEF. Si se realizan dos cortes desde el punto D, uno de ellos hasta la arista BC y el otro hasta la diagonal EC, como se muestra en las figuras, el prisma se descompone en tres pirámides: P1(ABDC), P2(DEBC) y P3(DEFC).
C
Analicemos... A
•
B F
•
E
D
C
A
B F
Observa que los triángulos ABD y EDB son congruentes, ya que DB es la diagonal del rectángulo DEBA. Como puede verse en la primera figura, si se consideran como bases los triángulos de color, en cada caso, la arista común BC es la altura de las pirámides P1 y P2. Luego, por principio de Cavalieri, P1 y P2 tienen igual volumen.
E
D
C
A
• •
Dibuja en tu cuaderno cada una de las pirámides y observa las pirámides P1 y P2; considera que C es su cúspide. ¿Sus bases son congruentes?, ¿por qué?, ¿P1 y P2 tienen el mismo volumen? Explica. En la segunda figura, observa las pirámides P2 y P3; considera que D es la cúspide ahora. ¿Sus bases tienen igual medida?, ¿por qué?, ¿P2 y P3 tienen igual volumen? ¿Cómo se puede calcular el volumen de una pirámide? Explica. Comenta con tus compañeros y compañeras si esta relación depende o no de las características del triángulo de la base.
B
Recuerda que... • Una pirámide es un cuerpo que tiene por base un polígono cualquiera y cuyas caras, tantas en número como los lados del polígono, son triángulos que concurren en un solo punto, llamado cúspide o vértice de la pirámide. • La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.
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De igual modo, los triángulos EBC y EFC son congruentes, ya que EC es la diagonal del rectángulo EFCB. Como puede verse en la segunda figura, si se consideran como bases los triángulos de color, en cada caso, la arista común DE es la altura de las pirámides P2 y P3. Luego, por principio de Cavalieri, P2 y P3 tienen igual volumen. En términos de su volumen, P1 = P2 y P2 = P3, luego, necesariamente, P1 = P3. Es decir, el volumen de las tres pirámides son iguales. Como las tres juntas forman el prisma, podemos afirmar que el volumen de cada pirámide es un tercio del volumen del prisma. Observa que la argumentación descrita no depende del tipo de triángulo que forma la base, es decir, no se supone que este triángulo sea, por ejemplo, equilátero o isósceles. Para todo prisma de base triangular, esta conclusión es igualmente válida. Tampoco depende de si el prisma es recto u oblicuo.