UNIDAD 3 (98-155)C
:Maquetación 1
11/11/10
Pon atención Planos destacados en el espacio tridimensional:
15:42
Página 138
Para comprobar que el punto T (2, 0, 2) pertenece al plano, se deben determinar los valores de λ y μ en la siguiente ecuación: 具2, 0, 2典 = 具0, 0, –1典 + λ 具2, 1, 2典 + μ 具4, 1, 5典
• Plano horizontal XY ecuación z = 0.
Esto equivale a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Z
Y X
0=λ+μ 0=1–μ
2 = 2λ + 4μ 0=λ+μ 2 = –1 + 2λ + 5μ
λ = –1 μ=1
restando
Como este sistema tiene solución (los valores de λ y μ satisfacen las tres ecuaciones), el punto T pertenece al plano y, además, conforma un paralelogramo originado a partir de los puntos P, Q y R.
• Plano vertical YZ ecuación x = 0. Z
Observa ahora cómo graficar un plano en el espacio. Y X
• Plano vertical XZ ecuación y = 0. Z
. Y X
Ejemplo 1 Grafica el plano Π: 5x + 2y + 4z = 20 Primer paso: se determinan los puntos en que el plano corta a los ejes coordenados. Observa. Intersección con el eje X: se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 5x = 20 ⇒ x = 4. Se obtiene (4, 0, 0). Intersección con el eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 2y = 20 ⇒ y = 10. Se obtiene (0, 10, 0). Intersección con el eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 4z = 20 ⇒ z = 5. Se obtiene (0, 0, 5). Segundo paso: se ubican estos puntos en los ejes coordenados y, luego, se trazan los segmentos que los unen y se grafica el plano. Z 5
X
10 Y 4
Ejemplo 2 Grafica el plano cuya ecuación cartesiana es 3x + 4y = 12. Primer paso: determina los puntos en que el plano corta a los ejes coordenados. Intersección eje X : se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 3x = 12 ⇒ x = 4. Se obtiene (4, 0, 0).
138 | Unidad 3