Vectores Elías Irazoqui B. 5. Producto Cruz. Sean A y B dos vectores no nulos en el espacio. Si A y B no son paralelos, entonces determinan un plano. Se selecciona un vector unitario n perpendicular al plano. Se define entonces el producto vectoria A ‚ B como el vector: A ‚ B = mAmmBm sen @ n
El vector A ‚ B es ortogonal tanto a A como a B porque es un múltiplo escalar de n. Como se aprecia en la figura de abajo.
Obs. Los vectores no nulos A y B son paralelos si y sólo si A ‚ B œ !Þ Si A = +" 3 +# 4 +$ 5 y B = ," 3 ,# 4 ,$ 5 Þ El producto cruz de A y B se puede definir también como:
A ‚ B = Ð+# ,$ +$ ,# Ñ3 Ð+" ,$ +$ ," Ñ4 Ð+" ,# +# ," Ñ5 El que corresponde al valor de un determinante, ¿cuál?
Ejercicios. "Þ Estime le valor del producto de los vectores A= (1,2,3 ) y B= 3 #4 $5Þ #Þ Haga ver que el producto cruz no es conmutativo, esto es, A ‚ B es distinto de B ‚ A. (Use el ejecicio 1. como ayuda). 3. Estime todas las combinaciones posibles de los productos de los vectores básicos: 3ß 4 ß 5Þ Esto es, estime por ejemplo: 3 ‚ 3ß 3 ‚ 4ß 3 ‚ 5ß />-Þ
Usando la definición se pueden probar las siguientes propiedades, donde A, B y C son vectores y !, " C # son escalares. "Þ #Þ $Þ
A ‚ (" B # GÑ œ " ÐE ‚ FÑ # ÐE ‚ G ). (!E " BÑ ‚ G œ !ÐE ‚ GÑ " ÐF ‚ GÑÞ E ‚ E œ !Þ
Algunos problemas resueltos. 1. Estime el valor del producto cruz para los vectores: A= 33 %4 y B œ 3 #4 &5Þ 4 5Ñ Î3 % ! Ñ œ #!3 "&4 "!5Þ Sol. A ‚ B œ ./> Ð $ Ï" # &Ò #Þ Halle dos vectores unitarios perpendiculares a A=2i +2j -3k y B=i +3j +k. Sol. Sabemos que A ‚ B es perpendicular a A y B, Por tanto basta estimar A ‚ B, cuyo valor en este caso es: ""3 &4 %5Þ Luego, un vector unitario es:
"" 3 *È #
& 4 *È #
% 5ß *È #
el otro es el opuesto a éste.
3. Determine el área del paralelógramo definido a partir de los vectores: a) A œ 3 , B œ =4 b) A œ 3ß B œ 3 4 c) A œ 3 4 $5ß B œ '4 &5Þ Sol. Î3 c) A ‚ B œ ./>Ð " Ï!
4 " '
5 Ñ $ œ "$3 &4 '5Þ & Ò
Luego, el área buscada es: mA ‚ Bm œ È"$# &# '# œ È#$! u# Þ
4. Determine las ecuaciones de la recta que pasa por $3 #4 %5 y es paralela a la recta de intersección de los planos: B $C #D œ ) y B $C D œ !Þ Sol. Note que A œ 3 $4 #5 y B œ 3 $4 5 son las normales a los planos dados. Además, A ‚ B es perpendicular a A y B, con lo que se deduce que A ‚ B es paralelo a ambos planos y, por tanto, es paralelo a la recta de intersección. Así tenemos:
A ‚ B œ ./>Ð
Î3 " Ï"
4 $ $
5 Ñ # œ $3 $4 '5Þ " Ò
Lo anterior dice que las ecuaciones de la recta son: B$ $
œ
C# $
œ
D% '
5. Pruebe que se cumple: A ‚ (B ‚ C) B ‚ (C ‚ A) C ‚ (A ‚ B) œ !Þ Sol. Hágalo usted mismo.
EJERCICIOS. 1. 2. 3. 4.
Bibliografía. Davis y Snider. 1992. Introducción al Análisis Vectorial. McGraw-Hill Interamerican de México, S.A.