DESAFÍOS GEOMÉTRICOS
I.
Andrés, Diego Y Max eran tres hermanos inseparables. Estaban de cumpleaños el mismo día. Un año la mamá les hizo una gran y hermosa torta en forma de triangulo escaleno. Para no hacer diferencias, la madre decidió dividir la torta en tres trozos triangulares de exactamente la misma área, para que cada uno tuviera su propia torta, decorada a su gusto. ¿Cómo debe cortar la torta esta amorosa mamá?
II.
Después de la escuela, Mónica llego a su casa muy entusiasmada. Le contó a su madre que la profesora de historia le había mostrado hermosas fotos de enormes torres construidas por antiguos pueblos. Sin embargo, Mónica no logró explicarle la forma exacta de esas torres, entonces corrió a su pieza y tomo una caja en forma de cubo que contenía muchos pequeños cubos de madera, todos de 5 cm de arista, su ultimo recalo de Navidad. Los cubitos llenaban completamente la caja. Usándolos todos, Mónica construyó primero un cubo grande, luego uno más pequeño sobre el anterior y finalmente, sobre este uno aún más pequeño. Cuando por fin termino la torre, llamo a su madre, quien le dijo: Muy bonita, pero vas a tener que desarmarIa. No podernos tener una torre tan alta en el comedor. ¡Pero mama! -replico Mónica-. No es tan alta mide solo... ¿Cuantos centímetros de alto tiene la torre?
III.
En la corte de Francia, la reina María Antonieta tenia aburridos a sus sirvientes con sus excentricidades. Recientemente, había condenado a los artesanos de palacio construir una hermosa mesa y un fino mantel para cubrir. Como solo exigió que la mesa tuviese un área de 9 metros cuadrados, quienes hicieron la mesa la diseñaron como un cuadrado de lado igual a 3 metros, mientras quienes hicieron el mantel usaron una tela rectangular de 2 por 5 metros. Entonces el área del mantel era más que suficiente para cubrir la mesa, pero su forma no servía. Antes de que la caprichosa María Antonieta se enterara del error, un sirviente tuvo una gran idea: Haciendo cortes en línea recta, dividió el mantel en 5 trozos, los cuales pudo reagrupar para formar un cuadrado. Con suerte María Antonieta no notaria los cortes y nadie sería castigado. ¿Cómo logró su objetivo el sirviente?
IV.
Andrea, sobreviviente de un terrible naufragio en alta mar, se hallaba en un bote a la deriva cuando vio acercarse, lentamente, a una persona. Era un pasajero del mismo barco, sin duda, y, según pudo comprobar, bastante atractivo, así que se sintió justamente emocionada. ÉI, con profunda voz, le dijo: Tengo algo para ti", al tiempo que se metió la mano al bolsillo y saco ¡un compas! Luego, del otro bolsillo saco...una regla, y finalmente un papel y lápiz. En el papel estaban dibujados dos triángulos equiláteros. Ignorando la confusión de Andrea, el sujeto le propuso que pasaran la tarde ideando el modo de obtener, usando solo regla y compas, un tercer triangulo equilátero cuya área fuese igual a la suma de las aéreas de los dos anteriores. ¡No!", grito ella con fuerza. “¡Estoy sola en
un
bote
con
un
matemático! ¡Estoy sola en un bote con un matemático!” Sobresaltada, Andrea se sentó en la cama... Había sido solo una pesadilla. Qué suerte para ella, pero... ¿Cómo habría tenido que resolver el problema propuesto si el sueño no hubiese terminado?
V.
Siempre pasa lo mismo. Me aseguré de repartir las invitaciones juntas para el local que íbamos a ocupar... ¡y quedo gente afuera! Es que todos creen que la invitación es extensiva a los amigos de los amigos, y terminan invitando a gente que el festejado ni conoce. Es increíble, invite a mis compañeros del colegio, a los del Cuarto A y B. No todos llegaron, pero curiosamente había igual cantidad de alumnos de ambos cursos. Me consta porque me hicieron un "callejón oscuro" entre todos... Lo que me molesta es que la mitad del Cuarto A llego con sus respectivas parejas a la fiesta; y también aparecieron con pareja algunos del Cuarto B, pero estas señoritas eran la mitad de las que vinieron con el Cuarto A. Como sea, en mi opinión no significaron ningún aporte a la fiesta. Con toda esta gente, más yo obviamente, se completaron las 100 personas que el local soportaba, y se quedaron afuera algunos compañeros de Universidad. Lo que me pregunto es: ¿Cuantos compañeros del Cuarto A fueron a mi fiesta, causando este desastre?
VI.
Había problemas en el Departamento de Obras Publicas de la Municipalidad. Con gran esfuerzo se habían reunido fondos para construir un pequeño estanque cuadrado en medio de la plaza central de la comuna, con cuatro frondosos árboles en sus esquinas. Ahora, meses más tarde, se disponía de fondos suficientes para agrandar el estanque al doble de su área actual, asunto que se propuso a consideraci6n del alcalde. Mas los grupos ecologistas elevaron sus voces de protesta, señalando que el proyecto significaba sacar de su lugar -para quizá nunca reponerlos- a los mencionados árboles. El alcalde, salomónico como pocos, ordeno al Departamento de Obras Públicas que buscase el modo de agrandar el estanque a las dimensiones deseadas sin sacar los árboles de su lugar. El alcalde, no obstante, era salomónico pero algo obsesivo, así que insistió en que el estanque conservara su forma cuadrada. ¿Cómo es posible satisfacer todos estos requerimientos?
VII.
Tres hermanos, Carlos. Arturo y Gerardo, compraron tres parcelas contiguas, y cada uno construyó su casa frente a una de las parcelas. Tal como distribuyeron casas y parcelas, los caminos más cortos para llegar de cada casa a la parcela respectiva se cruzaban frente a la casa de Carlos, pero esa era justamente la idea, porque así tenían la oportunidad de encontrarse y conversar acerca de las cocas que suelen conversar los hermanos cuando se encuentran. Pero cuando llego Alejandra al pueblo todo cambió, porque los tres cayeron rendidos ante sus femeninos encantos, y evidentemente los enormes celos los hicieron evitarse mutuamente bajo toda circunstancia. Así que tuvieron que buscar tres caminos que permitiesen a cada uno llegar a sus respectivas parcelas sin cruzarse. Solo había un problema: ningún camino podía pasar por detrás de la casa de Carlos, pues esa zona era propiedad del padre de Alejandra, que no tenía simpatía por ningún pretendiente de su bella hija. ¿Qué caminos tuvieron que de tomar los ahora irreconciliables hermanos?
VIII.
Se quiere llenar con espuma aislante el espacio entre dos cilindros concéntricos que forman un estanque isotérmico. Para estimar el costo de la operación se necesita calcular el volumen correspondiente. El encargado de la medición, cuando llega al lugar, con una huincha de medir rectilínea, se da cuenta que, además de la altura de los cilindros, lo más fácil es medir la longitud máxima que se puede "poner" horizontalmente entre ellos. Lo hace, y encuentra valores de 30 m y 20 m respectivamente. Con estos datos, se las arreglaran -se dice- y retorna a su empresa. Allí el gerente lo reta: ¡Con estos datos no avanzamos nada, ni siquiera sabemos el diámetro del cilindro interior! Pero el asesor matemático de la empresa replica: Eso es todo lo que necesitamos saber para calcular inmediatamente el volumen comprendido entre los dos cilindros, aunque no sepamos los diámetros de ninguno. ¿Quién tiene razón? ¿Podrías decir cuál es el volumen en cuestión?
IX.
Un orfebre perfora por su centro una esfera de oro con su taladro. Si te cuenta que la longitud de la perforación fue de 2 cm, ¿podrías deducir con que volumen de oro se quedó?
X.
No es un camello que pasa por el ojo de una aguja, pero... ¿Es posible hacer pasar un cubo a través de un agujero delimitado por un cubo más chico? Se rumorea que si...
XI.
¿Puedes encontrar una manera de distribuir los números 1 a 8 en las caras de un octaedro regular, de modo que la suma de los números en las cuatro caras que concurren en cada vértice sea la misma, para todos los vértices?
XII.
Un delfín nada alegremente en una piscina circular, partiendo en una cierta dirección, desde un punto A del borde, 12 cm en línea recta, hasta que choca de nariz con el borde de nuevo, en un punto B. Desde ahí, sale nadando 5 m en línea recta, en otra dirección, hasta que llega a un panto C del borde, que es exactamente el opuesto de su panto de partida A. ¿Cuánto habría nadado si hubiera ido directamente desde A hasta C?
XIII.
La hora abarcada… ¿A qué hora es mayor el área del triángulo que generan las dos manecillas del reloj?