SOBRE ALGUNAS CONJETURAS EN ARITMÉTICA Ivo Basso Basso Depto de Ciencias Básicas Facultad de Ciencia Universidad del Bio Bio
Jorge Campos Parra Depto de Prod Animal Facultad de Agronomía Universidad de Concepción
Rodrigo Ramirez Candia Bachillerato en Cs Nat. Exactas Facultad de Ciencias Universidad del Bio Bio
“Dios creó los números naturales, el resto lo hizo el hombre” Leopold Kronecker, 1886.
INTRODUCCIÓN La teoría de Números (Aritmética) ha ocupado siempre una posición peculiar respecto de las distintas ramas de la matemática, por su reputación de ser difícil y por estar revestida de un aura de cierto misterio. Es, sin embargo, única en cuanto a campo de experimentación de la imaginación. Como ya lo señalaron Hilbert y Hardy , la Teoría de Números es fundamental para el entrenamiento matemático inicial. La Aritmética no es propia de ningún nivel educativo en especial y aún en la Escuela Básica su potencial no ha sido realmente evaluada y aprovechada. Desde hace años la enseñanza de la matemática esta en verdadera crisis. En general, el espíritu de la matemática moderna con sus numerosas definiciones y esquemas abstractos hace que el alumno desarrolle muy pobremente su capacidad creadora y de trabajo. Por lo general, los ejemplos son escasos y muchas veces no existen. La mayor deficiencia en la enseñanza, y esto se advierte incluso en la Universidad, es que se aprende teoría con muy pocos ejemplos. La teoría, los ejemplos y la resolución de problemas forman un triángulo de equilibrio de toda la enseñanza eficaz. La Aritmética representa una opción excelente para mejorar la enseñanza de la matemática. Su fuerza radica en la facilidad de plantear problemas de todo tipo de complejidad. El resolverlos es el ejercicio preciso del aprendizaje (Gentile, 1986). La Aritmética es una ciencia cotidiana, capaz de atraer a cualquier persona que posea sólo un poco de curiosidad. Observemos como las revistas de entretenimientos numéricos llaman la atención de mucha gente a veces con poca instrucción. ¿Por qué no explotar esa germen de curiosidad que posee la gente joven y los niños en especial?. Hay que evitar llenar la cabeza de los alumnos con fórmulas y teoremas sin darles la oportunidad de pensar libremente, invitándolos a imaginar. La verdadera fuerza de la matemática es la creación; luego, si se quiere, se puede hablar de rigor, formalismo, didáctica o lo que sea. La Aritmética no termina allí, se puede profundizar ad infinitud (Gentile, 1986) En matemática, una conjetura es una afirmación que se supone cierta, pero que carece de demostración. Muchos matemáticos han dedicado su vida a estos problemas, sin lograr obtener ningún resultado: pero si valiosos avances, como lo es por ejemplo, el descubrimiento del último número primo conocido, el cual fue descubierto por una pareja de científicos norteamericanos, los
doctores Curtis Cooper y Steven Boone, de la Universidad Estatal Central de Missouri, Estados Unidos, el 15 de diciembre de 2005, el flamante último número primo está compuesto por 9152052 cifras. Este resultado es de gran importancia para nosotros, puesto que veremos conjeturas relacionadas con este tipo de números, para lo cual realizaremos un previo análisis de ellos. Comenzaremos con dos tipos de conjeturas, Catalán y Collatz. Luego seguiremos con las Conjeturas relacionadas con números primos. Para terminar con conjeturas relacionadas con suma de divisores, para lo cual daremos a conocer algunos de sus conceptos y propiedades. Esperamos que este trabajo proporcione al profesor material para experimentar y lo incentive a realizar una labor creadora que dé a sus alumnos la oportunidad de participar activamente. 1. Conjeturas Generales: Al comenzar el trabajo, mostraremos dos conjeturas, que sólo requieren de conocimientos matemáticos básicos, estas son la propuestas por los matemáticos Eugène Charles Catalán y Löthar Collatz. 1.1. Conjetura de Catalán La conjetura de Catalán fue propuesta por el matemático Eugène Charles Catalán en el año 1844. Para entender esta conjetura, nótese que: 23 = 8 y 32 = 9 son dos números que son potencias consecutivas de números naturales. La conjetura dice que éste es el único caso de dos potencias consecutivas. Es decir, que la conjetura de Catalán afirma que la única solución en el conjunto de los números naturales de xa − yb = 1 para x, y, a, b números naturales mayores que 1 es x = 3, a = 2, y = 2 y b = 3. En particular, nótese que no tiene importancia que los mismos números 2 y 3 estén repetidos en la ecuación 32 − 23 = 1. Un caso donde los números no estuvieran repetidos seguiría siendo un contraejemplo válido. En 1976, Tijdeman demostró un teorema que convertía la conjetura de Catalán en un problema casi resuelto: Teorema: Existe un número C (efectivamente computable) tal que si x, y, m y n son números naturales cumpliendo que x m − y n = 1 , entonces x m e y n son menores que C. Este resultado implica claramente que el número de soluciones de la ecuación de Catalán es finito. Además, calculando la constante C y sustituyendo todas las posibles soluciones deberíamos poder ver si realmente hay alguna otra. El problema es que hasta ahora el mejor resultado que se tiene sobre la constante que aparece en el teorema es demasiado grande. El matemático Suizo, de origen rumano, Preda Mihailescu afirmó haber demostrado la conjetura de Catalán en abril de 2002. Hasta el año 2004 aún se seguía revisando la demostración.
1.2. Conjetura de Collatz Fue formulada por el matemático Löthar Collatz en 1937, en donde asegura que para cualquier número natural n > 1 se puede formar una sucesión finita Cn = {Ci} de números naturales que empiezan con n y terminan con 1, aplicando el siguiente algoritmo: Escogemos un número natural n. Si es impar, lo multiplicamos por 3 y al resultado le sumamos uno. Si es par lo dividimos por dos. En cualquiera de los dos casos, al número obtenido le volvemos a aplicar el proceso. Es decir:
C i +1
Ci 2 = 3C + 1 i
Si Ci es par
Si Ci es impar
Para cada Ci de la sucesión Algunos ejemplos son: Para n = 2 C2 = {2, 1} Para n = 7 C7 = {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26,13, 40, 20,10, 5, 16, 8, 4, 2,1} Para n = 10 C10 = {10, 5, 16, 8, 4, 2, 1} Sea cual sea el número natural de partida, n, siempre se llega a ese ciclo que comienza con n y termina con 1. A los miembros de esta sucesión producida por este algoritmo se les conoce como los números granizo por que los valores se elevan y caen en forma análoga al granizo dentro de una nube. El algoritmo de Collazt fue probado y se encontró que se llegaba a 1 para todos lo números naturales menores o iguales a 3x253 ≈ 2702x1016 por Oliveira e Silva en 1999, mejorando los resultados de 1015 obtenido por Verdi en 1991 y de 5.6 x1013 hallados por Leavens y Vermeulen en 1992. 2. Conjeturas sobre números primos 2.1. CONSIDERACIONES PREVIAS Antes de comenzar a estudiar las conjeturas, recordaremos brevemente lo que entendemos por número primo. El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que
engloba a todos los elementos de este conjunto que son divisibles exactamente tan sólo por sí mismos y por la unidad (por convención, el 1 no se considera primo). Los veinte primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71. Nótese el hecho de que todos los números naturales son divisibles por sí mismos y por la unidad. Recordemos además que el teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número entero positivo puede representarse siempre como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única. Un número entero positivo se dirá compuesto si él no es primo. ¿Cómo averiguar si un número, entero positivo, es primo? A través del siguiente ejemplo mostraremos un procedimiento muy común para determinar si un número entero positivo es un primo o un compuesto. Por ejemplo, 113. - Lo primero que debemos hacer es buscar la raíz cuadrada del número. 113 ≈ 10,6301... - Luego buscamos los números enteros mas cercanos a la raíz de nuestro número, la cual esta entre 10 y 11, ya que 102 = 100 y 112 = 121 y 100 < 113 < 121; esto es: 10 < 113 < 11 - Si 113 tiene algún factor positivo diferente de 1 y 113, entonces existe un factor positivo menor o igual a la raíz cuadrada de 113, ya que todo factor mayor que la raíz cuadrada de 113 debe tener un factor asociado menor que la raíz cuadrada con el fin de que su producto sea igual a 113. Por lo tanto, para determinar si 113 es un primo o un compuesto, solo necesitamos determinar la existencia de factores mayores que 1 y menores o iguales a la raíz cuadrada de 113. En este ejemplo los factores posibles son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ahora bien, según el teorema fundamental de la Aritmética, solo tenemos que verificar los primos, es decir 2, 3, 5 y 7. Como los enteros 2, 3, 5 y 7 no son factores de 113, concluimos que 113 es un número primo. En resumen, para determinar si un numero es primo o compuesto, “solo necesitamos determinar si p es un factor del número p. Si un número primo menor o igual a algún primo menor o igual que p es factor de p, entonces p es un número compuesto. Si este no es el caso, p es un número primo”. Otra interrogante que surge de manera casi natural, tiene que ver con la cantidad. ¿Son finitos los números primos? Euclides (300 a.c.) logró responder a este problema en un teorema que lleva su nombre.
Teorema: El número de primos es infinito. La demostración se realiza por el absurdo, suponiendo que existe un número primo p que es el mayor de todos. Así si n el producto de todos los primos menores o iguales que p. Entonces n +1 = ( 2 x 3 x 5 x 7 x . . . . . . . x p ) + 1 > p Si n + 1 es un primo, entonces p no es el mayor de ellos. Si n + 1 es un compuesto, entonces debe contener factores primos mayores que p, ya que la división de n + 1 por primos menores o iguales que p deja como resto a 1. Por lo tanto, en ningún caso existe un primo que sea el mayor de ellos; esto nos permite concluir que el número de primos es infinito. Aunque el número de primos es infinito, se ha comprobado que el número de primos menores o iguales a un número n, el cual designaremos como π(n), se comporta como la expresión logarítmica n para todo valor de n grande. Legendre (1752 – 1833) y Gauss (1777 – 1855) conjeturaron, de ln(n) n manera independiente una relación entre π(n) y . ln(n) La relación matemática de los números primos menores o iguales a un número n, π(n), y la n ln(n) , cuando n es muy grande puede expresarse como: lím π (n) =1 expresión n →∞ ln(n) n
que corresponde al teorema de los números primos, cuyo enunciado formal es:
Teorema: Sea π (n) el número de primos que son menores o iguales que n, entonces π (n) ≈
n . ln(n)
La tabla que se presenta a continuación, ilustra el teorema del número primo.
nn
π (n )
10 100 1000 3000 10000 100000 1000000000
4 25 168 430 1229 9592 5761455
n ln (n ) 4.34 21 145 375 1086 8686 5428681
ln (n ) π (n ) n 0.921 1.190 1.159 1.147 1.132 1.104 1.061
Gauss y Legendre, reconocieron el patrón pero no lo demostraron. Ni lo hizo nadie en los cien años siguientes, el teorema de los números primos fue demostrado por Jacques Hadamard (1865-1963) y C. J. de la Vallee Poussin (1866-1962) en 1896 usando ciertas técnicas muy complicadas de la teoría de análisis de números. Además de compartir casi los mismos años de vida, Hadamard y Vallee Poussin descubrieron sus demostraciones independientes y simultáneamente.
A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre la distribución de los mismos o la lista de primos que hay por debajo de cierto número. Aunque no se ha podido probar hasta la fecha, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p2 = p1 + 2 (siendo p1 y p2 primos) o “primos gemelos”. Sí se ha probado que los únicos “primos trillizos”, primos de la forma p2 = p1 + 2 y p3 = p2 + 2, son 3, 5 y 7; y esto es así porque uno de los números p1, p2 y p3 así definidos es múltiplo de 3, y por tanto compuesto cuando p3 > 3.
2.2. Conjetura de Goldbach Un gran número de problemas interesantes relacionados con los primos permanece sin solución. Grandes esfuerzos han sido dedicados a la solución de un problema conocido como la conjetura de Goldbach (mencionada por primera vez en una carta de Goldbach a Euler en 1742). En el siglo XVIII el matemático Charles Goldbach conjeturó que: “todo número par mayor que 2 puede ser expresado como la suma de dos números primos”. Por ejemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7 y 14 = 3 + 11 = 7 + 7 Aunque muchos matemáticos han tratado de probar o refutar la conjetura de Goldbach, nadie todavía ha tenido éxito. La conjetura de Goldbach ha sido verificada por computador para todos los números pares menores que 2x1016, pero aún no se ha encontrado un argumento matemático que demuestre que es cierta para todo número par. La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan mayormente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero, se hace más "probable" que pueda ser escrito como suma de dos números primos. De hecho existen resultados ya muy "cercanos" a la conjetura: - Se sabe que todo número par puede escribirse como suma de a lo más seis números primos (Ramaré, 1995). Como consecuencia de un trabajo de Vinogradov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinogradov demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1. - Otro resultado interesante, demostrado por Chen en 1966, muestra que cualquier número par "suficientemente grande" es suma de un numero primo más el producto de dos números primos. El problema es que no esta claro que es lo que se quiere decir con suficientemente grande....
2.3. Hipótesis de Riemann La distribución de los números primos dentro de los números naturales parece no seguir un patrón regular. Sin embargo, el matemático alemán Bernard Riemann observó que la frecuencia de números primos está muy cerca de relacionarse con el comportamiento de una elaborada función ζ ( z ) , llamada la función Zeta de Riemann. Afirma la hipótesis de Riemann que las partes reales de
los ceros no triviales de la llamada Función Zeta, a + bi, se cumplen para a = 1/2, es decir, están alineados. ∞ 1 Esta función es: ζ ( z ) = ∑ z i =1 n
La Hipótesis de Riemann dice que todas las soluciones interesantes de la ecuación ζ (z ) =0, se ubican dentro de una línea recta. Esto ha sido chequeado para las primeras 1500000000 soluciones. Una prueba que sea cierta para cada solución podría dar luz sobre muchos misterios alrededor de la distribución de los números primos. También se sabe que si la Hipótesis de Riemann generalizada es cierta, entonces la conjetura de Goldbach también es cierta. (Deshouillers, Effinger, Te Riele y Zinoviev en 1997) Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos: la conjetura fuerte y la conjetura débil. En teoría de números la conjetura débil de Goldbach afirma que: “todo número impar mayor o igual a 7 puede expresarse como suma de tres números primos”. (Se puede emplear el mismo número primo más de una vez en esta suma.). Esta conjetura recibe el nombre de “débil” porque la conjetura fuerte de Goldbach sobre la suma de dos números primos, si se demuestra, demostraría automáticamente la conjetura débil. Esto es así porque si todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos, se puede añadir tres a los números pares mayores que 2 para producir los números impares mayores o iguales a 7.Esta conjetura aún no ha sido demostrada, pero se han conseguido avances importantes. En 1923, Hardy y Littlewood mostraron que, suponiendo una cierta generalización de la hipótesis de Riemann, la conjetura débil de Goldbach es cierta para todos los números impares suficientemente grandes. En 1937, el matemático ruso Iván Matvéyevich Vinogradov fue capaz de eliminar la dependencia en la hipótesis de Riemann y demostró directamente que todos los números impares suficientemente grandes pueden escribirse como suma de tres primos. Aunque Vinogradov no pudo determinar lo que significaba "suficientemente grande" con exactitud, su alumno K. Borodzin demostró que 314348907 es una cota superior para el concepto de "suficientemente grande". Este número tiene más de seis millones de dígitos, así que comprobar la conjetura para cada número por debajo de esta cota sería imposible. Afortunadamente, en 1989 Wang y Chen redujeron esta cota a 1043000. Esto significa que si cada uno de los números impares menores que 1043000 resulta ser la suma de tres números primos, entonces la conjetura débil de Goldbach quedará demostrada. Sin embargo, aún se debe reducir bastante esta cota antes de poder comprobarse cada número por debajo de la misma.
Conjeturas con Divisores Recordemos primero algunos conceptos y propiedades de la divisibilidad, los cuales son imprescindibles para el desarrollo y comprensión de las conjeturas que se plantearan más adelante.
3.1. Propiedades especiales de LOS NUMEROS ENTEROS (z): - Principio del buen orden: Todo conjunto no vacío de enteros no negativos posee un menor elemento. - Principio de Arquímedes en Z: Si a > 0 y a < b, entonces Existe n > 0 tal que: na > b. - Teorema de Euclides: Si a, b ∈ Z, b > 0, entonces existen únicos enteros q y r tal que a = bq + r con
0≤r<b
3.2. DIVISIBILIDAD Definición: Sea a, b ∈ Z, a ≠ 0. Se dice que a divide a b si y solo si existe k ∈Z tal que ka = b Se anota a/b y se lee a factor de b, b múltiplo de a, a es divisor de b Observaciones: a /0, ∀ a ∈ Z Si a ∈ Z, entonces 1/a, -1/a, a/a, -a/a. Es decir, todo entero diferente de cero tiene al menos dos divisores positivos. 3.2.1. Propiedades de la Divisibilidad Si a/b y b/c ⇒ a/c Si a/b ⇒ ac/bc (c cte, c ≠ 0) Si a/b y b/a ⇒ a = ± 1 Si a/±1 ⇒ a = ± 1 d/a ⇔ d/-a y d/a ⇔ -d/a Si c/a y c/b ⇒ c/(ax + by), para todo x, y ∈ Z
3.3. Números Perfectos Una de las áreas de investigación mas antigua en la teoría de números esta relacionada al problema de determinar todos los enteros positivos que son múltiplos enteros de la suma de sus divisores positivos. “Un entero positivo n se dice un número perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores positivos diferentes de sí mismo”
Por ejemplo, los primeros cuatro números perfectos son 6 (1 + 2 + 3 = 6), 28, 496, 8128.
3.4 Números de Mersenne Los números de Mersenne son de la forma Mp = 2p -1, con p primo, por ejemplo, los tres primeros números de Mersenne son 3, 7 y 31, y los tres son números primos. Sin embargo, no todo número de Mersenne es primo. Cuando p es primo y Mp también lo es, Mp se denomina primo de Mersenne. Marin Mersenne (1588-1648) fue un fraile franciscano que pasó la mayor parte de su vida en los monasterios parisinos. Fue el autor de "Cognitata Physico-Mathematica" en donde afirma sin probarlo que Mp es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y para ningún otro primo hasta 257. Llevo 300 años establecer la veracidad de esto, en 1947 se comprobó que Mersenne había cometido cinco errores: M61 es primo, M67 es compuesto, M89 es primo, M107 es primo y M257 es compuesto. Ha habido mucha actividad dirigida a encontrar primos de Mersenne ya que constituyen algunos de los primos más grandes conocidos y que por cada uno descubierto tenemos un nuevo número perfecto par: “Un número n es perfecto par si y solo si n =2p - 1 x Mp, siendo Mp un primo de Mersenne”. El último número primo de Mersenne, el mayor conocido hasta ahora, se encontró en Mayo del 2004 por Findley, Woltman y Kurowsk el cual aparece cuando: p = 24036583.
3.5. Números Amigos “Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma de los divisores del otro sin considerarse ellos mismos”. El menor par de números amigos es el formado por el 220 y 284 (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220). Durante muchos siglos estos dos números fueron los únicos amigos. Pero Fermat, con suma paciencia y una admirable visión numérica, descubre la segunda pareja de números amigos, unos amigos mucho más complicados que 220 y 284. Se trata de: 17296 y 18416. Descubre además una regla general, la cual nos dice que si: q = 3 x 2 p-1-1; r = 3 x 2 p – 1 y s = 9 x 2 2p-1-1 son números primos, entonces n = 2 p x q x r y m = 2 p x s, son números amigos. Por ejemplo 17296 y 18416 corresponden a los valores de p = 2; q = 5; r = 11 y s = 71. Euler publicó en 1750 una lista de sesenta pares y curiosamente olvidó el segundo par en orden creciente: 1184 y 1210 que fue descubierto por Paganini en 1866 a los 16 años de edad. Otros números amigos son: 6232 y 6368; 2620 y 2924, 9437056 y 9363284. Uno de los últimos pares de números amigos conocidos fue encontrado por Jobling & Walter en el año 2003, ellos poseen más de 900 cifras. La búsqueda de estos números aún se sigue realizando.
3.6 Conjetura de Ziol Publicada en Junio del 2004, esta conjetura nos dice que: “34155 es el único entero impar igual a la suma de sus divisores propios mayores que su raíz cuadrada”. Los divisores de 34155 son: 3, 5, 9, 11, 15, 23, 27, 33, 45, 55, 69, 99, 115, 135, 165, 207, 253, 297, 345, 495, 621, 759, 1035, 1265, 1485, 2277, 3105,3795,6831,11385. La raíz cuadrada de 34155 es 184,8... Entonces tenemos: 207 + 253 + 297 + 345 + 495 + 621 + 759 + 1035 + 1265 + 1485 + 2277 + 3105 + 3795 + 6831 + 11385 = 34155.
BIBLIOGRAFIA Pettofrezzo, Anthony J. (1972) “ Introducción a la Teoría de Números ” Robledo, Alamiro (1977), “Lecciones de Aritmética Elemental Moderna” Gentile, Enzo (1986), Serie: Monografía de Matemáticas, Notas de Aritmética, IPROCH. http://www.numaboa.com.br http://es.wikipedia.org http://www.mersenne.org http://www.matematicas.net