Exercícios Propostos resolvidos CAP. 09 (Geometria Plana) by Anderson Kleiton

F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g SOLUÇÃO – CAPÍTULO 9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS NÍVEL 1 E1. SOLUÇÃO: (1) Os ângulos s e z estão fora das retas e estão do mesmo lado em relação à transversal, logo, são colaterais externos e são suplementares. (2) Os ângulos v e u estão dentro das paralelas e estão em lados opostos em relação à transversal, logo são alternos internos e são iguais. (3) Os ângulos x e w são opostos pelo mesmo vértice. (4) como v é correspondente a r, e s é correspondente a x, temos que w + r + s + z = 360º = 4∙90º. (5) r é oposto pelo mesmo vértice que u, e z é oposto pelo mesmo vértice que v, logo r + z = v + u. 32451 RESPOSTA: LETRA A. E2. SOLUÇÃO: Se os ângulos são opostos pelo vértice então iguais, sendo assim: 8x + 2 = 3x + 12, de tal forma que x = 2º. SOLUÇÃO: LETRA A. E3. SOLUÇÃO: O suplemento do dobro de 37º37’37” vai ser igual a: 180º - 2(37º37’37”) = 180º - 74º74’74’’ = 180º - 75º15’14’’ = 179º59’60’’ – 75º15’14’’ = 104º44’46’’ RESPOSTA: LETRA D. E4. SOLUÇÃO: Ao traçarmos uma outra paralela onde existe a formação do “bico”, temos que o ângulo de 60º fica dividido em 20º e 40º, logo o ângulo em cima de y também será igual a 40º pois é alterno interno com o ângulo 40º que descobrimos, sendo assim, y + 40º = 180º e y = 140º. Como y e x são alternos internos as paralelas s e t temos que x = y = 140º. No seguinte esquema:

RESPOSTA: LETRA B. E5. SOLUÇÃO: Perceba que nessa questão também temos a formação de “bico”, sendo assim vamos traçar uma reta paralela no vértice do bico e assim teremos a formação de outros dois ângulos x e y, originados de a. Perceba que ao prolongarmos os segmentos que estão inclinados, temos que esses formam 60º pois são suplementares aos ângulos de 120º, teremos o seguinte esquema:

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g Temos que x é correspondente ao ângulo de 60º de cima e y com o de 60º de baixo, sendo assim a = x + y = 60º + 60º = 120º. RESPOSTA: LETRA A. E6. SOLUÇÃO: Basta fazer uma regra de três simples da forma: rad - 180º x - 420º De tal forma que x =

rad

RESPOSTA: LETRA E. E7. SOLUÇÃO: A figura a seguir mostra o polígono que dá forma à calçada, com seu centro O identificado:

Assim, o polígono é invariante por rotação de 120º em torno de seu centro. RESPOSTA: LETRA D. E8. SOLUÇÃO: Temos que a quantidade “d” de diagonais que um polígono possui em relação a quantidade de lados “n” é dada pela seguinte forma d = n(n-3)/2. Se o polígono tem quantidade de lados igual a “6n”, então a quantidade de diagonais que ele possui será igual a: D = 6n(6n – 3)/2 = 3n(6n – 3) = 18n² - 9n RESPOSTA: LETRA C. E9. SOLLUÇÃO: A distância de Ji-Paraná a Arquimedes é de 170 km, então sua metade é 85 km. Então ele está a uma distância de Jaru maior que 85 km. Sendo x a posição em que se encontrava, e estando Jaru no km 87, então |x – 87| > 85. Multiplicando a inequação por 2, temos: |2x – 174| > 170. RESPOSTA: LETRA A. E10. SOLUÇÃO: A figura do jeito que está não é tão simpática, vamos prolongar o lado ED, perceba também que o ângulo C é alterno interno com o ângulo D = 28º, logo, D = C = 28º, e o ângulo interno a A será igual a 180 – 105 = 75º, Dessa forma teremos o seguinte esquema:

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Temos que o ângulo B é correspondente ao que foi formado pelo prolongamento do lado ED, sendo assim, teremos: 75 + 57 + x = 180, de tal forma que x = 48º. RESPOSTA: LETRA D. E11. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos que: m = 2 e n = 3. De acordo com a fórmula será: temos que b – a = 5 unidades de medida, seja “d” a unidade de medida temos que b – a = 5d. Sendo assim teremos:

, sendo assim teremos que de “a” iremos “caminhar” três unidades de medida e

assim chegaremos a R. SOLUÇÃO: LETRA A. E12. SOLUÇÃO: Temos que o ângulo ao lado de “x” é externo ao triangulo contendo os ângulos “a”, “b” e “x”, sendo assim esse ângulo é igual a “a + b”, temos que o ângulo embaixo de “2b” será igual a “2b” pois é oposto pelo vértice, sendo assim teremos o seguinte esquema:

De acordo com a figura temos que os ângulos “a+b”, “2a” e “2b” estão dentro do triângulo sendo assim tem soma igual a 180º. Teremos:

a + b + 2a + 2b = 180 3(a + b) = 180 a + b = 60º, sendo assim teremos que:

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E assim, a + b + x = 180, mas a + b = 60 e por fim, 60 + x = 180 e x = 120º. RESPOSTA: LETRA D. E13. SOLUÇÃO: Para chegar na chácara a partir do retorno ele terá que pegar a direita, depois a esquerda depois a segunda a direita na rua 4. RESPOSTA: LETRA B. E14. SOLUÇÃO: Considere um triangulo qualquer de forma que C = 50º, teremos o seguinte esquema:

Temos que 2x + 2y + 50 = 180, logo x + y = 65º Agora temos que descobrir qual dos ângulos é o maior “1” ou “2”, temos que “2” = x + y = 65º e assim “1” que é suplementar com “2” será igual a 180 – 65 = 115º. RESPOSTA: LETRA C. E15. SOLUÇÃO: Temos que 3x + 5x + 2x = 180, logo x = 18º. RESPOSTA: LETRA A. E16. SOLUÇÃO: Temos que um ângulo externo é aquele que somado com um interno é igual a 180º, sendo assim teremos que o ângulo interno de um dodecaedro regular será: º sendo assim teremos que o ângulo interno será 180 – 150 = 30º. RESPOSTA: LETRA B. E17. SOLUÇÃO: Seja “x” o valor do ângulo, teremos que o suplemento de “x” que é igual a “180º - x” será igual a próprio ângulo mais 70º logo: 180 – x = x + 70, logo x = 55º.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g REPOSPOSTA: LETRA A.

E18. SOLUÇÃO: Se a soma dos ângulos internos é igual a

º e assim teremos:

e assim , logo (n – 2) = 18 e assim n = 20. Sendo assim teremos que esse polígono tem 20 lados e será um icoságono. RESPOSTA: LETRA E. E19. SOLUÇÃO: Por observação temos que a letra C é a única correspondente. RESPOSTA: LETRA C. E20. SOLUÇÃO: A única alternativa incorreta é o do item II, pois o valor de um ângulo interno de um pentágono regular é igual a 108º. RESPOSTA: LETRA D. NÍVEL 2 E21. SOLUÇÃO: Se o polígono possui 35 diagonais teremos que: , dessa forma teremos: n² -3n – 70 = 0, de tal forma que teremos como solução n = 10 ou n = -7, agora se queremos saber qual o valor de um ângulo interno teremos: Ai = (10 – 2).180/10 = 144º. RESPOSTA: LETRA E. E22. SOLUÇÃO: Os ângulos internos de triângulos, quadrados e hexágonos regulares medem, respectivamente: 60º, 90º, e 120º. Para formar um nó, a soma dos ângulos dos polígonos escolhidos deve ser 360º. Analisando cada alternativa: a) 3 triângulos e 2 quadrados: 3∙(60) + 2∙(90) = 180 + 180 = 360º. OK b)

3 triângulos e 2 quadrados. OK

2 triângulos e 2 hexágonos: 2∙(60) + 2∙(120) = 120 + 240 = 360º. OK

1 triângulo, 2 quadrados e 1 hexágono: 60 + 2∙(90) + 120 = 60 + 180 + 120 = 360º. OK

2 triângulos e 3 quadrados: 2∙(60) + 3∙(90) = 120 + 270 = 390 ≠ 360.

Logo, a sequência da letra E não possibilita formar um nó. RESPOSTA: LETRA E. E23. SOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão teremos os seguinte esquema:

Sendo assim teremos 2(x + y + z) = 180º, logo x + y + z = 90º. E perceba que os ângulos que ele pede na questão são justamente esses.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: LETRA A. E24. SOLUÇÃO: Sabemos que os pentágonos são regulares, para visualizar melhor vamos ampliar um pouco a figura, teremos o seguinte esquema:

Um pentágono regular tem um ângulo interno com medida igual à 108º sendo assim o ângulo x será igual a: x + 108 + 108 = 360, logo x = 144º. Se esse polígono formado é um losango teremos que os ângulos opostos são iguais sendo assim para descobrir o outro ângulo vamos chamá-lo de y, dessa forma: 2.144 + 2y = 360, sendo assim termos que y = 36º. RESPOSTA: LETRA C. E25. SOLUÇÃO: Para resolver essa questão basta fazer uma regra de três simples: 51 cm – 20 polegadas 35,7 cm – x polegadas De forma que x = 20.35,7/51 = 14 polegadas. RESPOSTA: LETRA B. E26. SOLUÇÃO: Se CO é uma bissetriz temos que o ângulo ao lado direito do ângulo “a” também é igual a “a”, se as retas são paralelas teremos que o ângulo ao lado do de 120º é “2x”, teremos o seguinte esquema:

Sendo assim 2x + 120 = 180 de forma que x = 30º e 2x + 2a + x = 180 logo 3x + 2a = 180, logo 90 + 2a = 180, sendo assim a = 45, e a relação que nos da “a” em relação a “x” é o da letra D. RESPOSTA: LETRA D. E27. SOLUÇÃO: Teremos que os ângulos dos triângulos de cima e de baixo podem ser escritos juntos como o ângulo externo “x” e “y”, traçando uma reta paralela a r e s onde há formação de bico teremos o seguinte esquema:

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g Perceba que conseguimos colocar todos os ângulos em negrito dentro de um triângulo, logo a soma dos mesmo é igual a 180º. RESPOSTA: LETRA C. E28. SOLUÇÃO: Se o triângulo é isósceles teremos que os ângulos B e C são iguais, vamos chamá-los de x. Além disso temos que o triangulo de cabeça para baixo é eqüilátero, sendo assim teremos o seguinte esquema:

Por ângulos externo teremos:

a + 60 = c + x

a + x = 60 + b Somando essas duas equações teremos: 2a + x + 60 = b + c + x + 60 Logo a = (b + c)/2 RESPOSTA: LETRA E. E29. SOLUÇÃO: Se temos que r // s e BC // DE, então teremos que:

Sendo assim a + b + 5b + 3a = 180, 4a + 6b = 180 logo 2a + 3b = 90º e assim 2a e 3b são ângulos complementares.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g RESPOSTA: LETRA B. E30. SOLUÇÃO: Sejam x e y os comprimentos da parte interna e externa respectivamente, traduzindo matematicamente o que ele pediu teremos: 4x + 4y + 9L = 5320 6x + 6y + 17L = 31920 Dessa forma teremos que L = 40 passos. RESPOSTA: LETRA B. E31. SOLUÇÃO: Perceba que se cada 2cm ele gasta meio segundo, qualquer menor caminho possível ate chegar na borboleta, a aranha sempre percorrerá 10cm, sendo assim ela vai gastar 2,5 segundos. RESPOSTA: LETRA C. E32. SOLUÇÃO: 1 – Verdadeiro. O pentágono. 2 – Falso, o polígono com 11 lados tem essa propriedade. 3 – Verdadeiro, se n(n-3)/2 é um múltiplo de n então obrigatoriamente (n-3)/2 deve ser um número interno, dessa forma n deve ser impar para que isso aconteça, pois, a subtração de dois números impares é um número par e sendo assim ele será divisível por 2. RESPOSTA: LETRA B. E33. SOLUÇÃO: Se a diagonal AC faz um ângulo de 15º com o lado BC temos que o ângulo CAB também será 15º pois o polígono é regular e o triangulo ABC é isósceles, por fim teremos que o ângulo B mede 180 – 15 – 15 = 150º, note que o ângulo B é um ângulo interno do polígono, sendo assim podemos descobrir a quantidade de lados desse polígono, temos: 150 = (n-2).180/n , de forma que n = 12 lados. Sendo assim a quantidade de diagonais que esse polígono possui é igual a: 12(12-3)/2 = 54 diagonais. RESPOSTA: 54. E34. SOLUÇÃO: Apenas a figura II, pois é a única que possui a mesma área que a área das três peças iniciais. RESPOSTA: LETRA B. E35. SOLUÇÃO: Para descobrir qual a dimensão máxima cada ladrilho vai ter devemos obter o MDC dos tamanhos dos lados do polígono, vamos antes passar para centímetros, assim teremos: MDC(300,425) = 25 cm. RESPOSTA: LETRA A. E36. SOLUÇÃO: Se cada ladrilho tem lado 25cm teremos que a sala estará dividida em 300/25 = 12 partes o comprimento e 425/25 = 17 partes a largura, sendo assim teremos um total de 12.17 = 204 ladrilhos. RESPOSTA: LETRA D. E37. SOLUÇÃO: Se n(n-3)/2 é um múltiplo de n então obrigatoriamente (n-3)/2 deve ser um número interno, dessa forma n deve ser impar para que isso aconteça, pois, a subtração de dois números impares é um número par e sendo assim ele será divisível por 2. Descobrimos que n deve ser ímpar, sendo assim: I – verdadeiro, pois se a quantidade de lados é ímpar o polígono não possui diagonais que passam pelo seu centro II, III, IV – verdadeiro, pois n deve ser ímpar, sendo assim teremos que n pode ser múltiplo de 17, pode ser um cubo perfeito ou pode ser um número primo. RESPOSTA: LETRA E.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g E38. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos que em 1 cm temos 120 pontos ou pixels, sendo assim teremos que numa foto de 15cm por 20cm teremos um total de pixels igual a: 15.120 x 12.120 = 4320000 pixels ou 4,32 megapixels. RESPOSTA: LETRA E. E39. SOLUÇÃO: Se dividirmos 315 por 15 teremos como resultado 21 e se dividirmos 550 por 25 teremos como resultado 22, mas o valor que limita é a menor quantidade, pois não podemos colocar 22 degraus se só cabem 21, mas o contrário é possível. RESPOSTA: LETRA C. E40. SOLUÇÃO: Como podemos observar na figura, de 10 em 10 unidades há 5 marcações, ou seja, cada marcação tem 2 unidades. Então o ponto P está na marcação 5 + 2 + 2 = 9 e o ponto Q em 35 – 2 = 33. Então a distância entre esses dois pontos é 33 – 9 = 24. RESPOSTA: LETRA D. QUESTÕES DE PERNAMBUCO NÍVEL 1 E 2 P1. SOLUÇÃO: Do paralelismo segue que:

Dessa maneira teremos que b = 135º e a = 65º RESPOSTA: LETRA C. P2. SOLUÇÃO: Um retângulo, pois nunca vamos conseguir encaixar triângulos de forma que se obtenha um ângulo de 90º, lembre que o triângulo eqüilátero possui 3 ângulos de 60º. RESPOSTA: LETRA A. P3. SOLUÇÃO: De acordo com essa figura teremos o seguinte esquema:

Sendo assim, teremos que: 180 -7x + 5x + 180 – 8x = 180 360 – 10x = 180 10x = 180

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g Logo x = 18º. SOLUÇÃO: LETRA C. P4. SOLUÇÃO: SOLUÇÃO: Se a reta l faz ângulos idênticos com as retas l 1 e l2, então teremos que o ângulo a esquerda do 25º também é 25º. Se γ é oposto pelo vértice com 25º, então ele também mede 25º.

Então 135 = α + 25  α =110º. O ângulo adjacente a α será igual a 180 – 110 = 70º, sendo assim teremos que:

Dessa maneira, β = 25 + 70 = 95º. E α + β + γ = 110 + 95 + 25 = 230º RESPOSTA: LETRA C. P5. SOLUÇÃO: Se queremos a soma dos ângulos internos desse polígono, basta notar que esse é um polígono 7 lados que é igual (7 – 2).180 = 5.180 = 900º como queremos s/10 teremos 900/10 = 90. RESPOSTA: 90. P6. SOLUÇÃO : Se a câmera consegue monitorar 360º, teremos que ter 4 câmeras no mínimo, uma em cada corredor. RESPOSTA : 04. P7. SOLUÇÃO: Todos os polígonos mencionados são regulares. Então para que se adequem a esse fim, seus ângulos internos precisam ser um divisor de 360o, para que complementem o piso de uma maneira contínua. Sendo assim: (0)(0) VERDADEIRO. Ângulo interno do retângulo: 90o, que é divisor de 360o. (1)(1) VERDADEIRO. Ângulo interno do triângulo equilátero: 60 o, que é divisor de 360o. (2)(2) VERDADEIRO. Ângulo interno do hexágono regular: 120o, que é divisor de 360o. (3)(3) FALSO. Ângulo interno do pentágono regular: 108o, que NÃO é divisor de 360o. (4)(4) VERDADEIRO. Ângulo interno do quadrado: 90o, que é divisor de 360o. RESPOSTA : VVVFV . P8. SOLUÇÃO: Ângulo interno no pentágono regular: (180∙3)/5 = 540/5 = 108º. Se um ângulo interno de um pentágono regular é igual a 108º, então os ângulos da base do triângulo são iguais a 180 – 108 = 72º. Sendo assim, se o ângulo do outro vértice do triângulo é igual a x, teremos: x + 72 + 72 = 180 Logo, x = 36. RESPOSTA: 36.

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g P9. SOLUÇÃO: Tome o ponto de coordenada x em um lugar qualquer, teremos que a distancia de -3, 2 e 6 ate o ponto x serão: x – (-3) = x+3 , x-2 e x – 6. Mas perceba que o ponto x pode estar em qualquer lugar, então pode ser que alguns desses valores sejam negativos, sendo assim, para consertar esse fato aplicamos o módulo. Teremos por fim que a soma das distâncias até x será: |x + 3| + |x – 2| + |x – 6|. RESPOSTA: LETRA A. P10. SOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão teremos o seguinte esquema:

Pois lembre que AC e BC são bissetrizes dos ângulos A e B respectivamente. Vamos utilizar a propriedade do ângulo externo duas vezes, uma para o triangulo ADB e outra para o triângulo ABC, de forma que teremos respectivamente as relações: 2b = 2a + x a + 21,5 = b Multiplicando a segunda por 2 e somando as duas equações teremos que x = 43º. RESPOSTA: LETRA A. P11. SOLUÇÃO: De acordo com a questão se fizermos o primeiro passo, rotacionando em torno do eixo teremos para os pontos a posição de:

Depois disso o nosso eixo ira mudar, teremos:

E vamos rotacionar novamente em torno do eixo, teremos:

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Perceba que os pontos coincidem com uma rotação única no sentido anti-horário de 3 ângulos centrais de um pentágono regular, o valor de um ângulo central é igual a 360/5 = 72º, sendo assim teremos:

PARA

Para visualizar melhor observe a figura ao lado: Sendo assim teremos que a rotação é de 3.72 = 216º mas queremos a/6 = 216/6 = 36º RESPOSTA: 36. EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO A1. SOLUÇÃO: Podemos escrever três números em P.A como {x – r, x , x + r}. De acordo com a questão teremos que: (x – r).x.(x + r) = 585 (x – r – 2).180 + (x – 2).180 + (x + r – 2).180 = 3780 180.(x – r – 2 + x – 2 + x + r – 2) = 3780 180.(3x – 6) = 3780 3x – 6 = 21, de forma que x = 9. E na primeira opção teremos: (9 – r).9.(9 + r) = 585 81 – r² = 65, de forma que r = 4 ou r = -4. Teremos que os polígonos teremos: 5, 9 e 13 lados respectivamente, tanto para r = 4 ou -4, só teremos uma mudança de ordem dos lados. Sendo assim o total de diagonais será 5(5-3)/2 + 9(9-3)/2 + 13(13-3)/2 = 5 + 27 + 65 = 97 diagonais no total. RESPOSTA: LETRA D. A2. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos um polígono 1 com: x lados e y diagonais, um polígono 2 com x + 6 lados e y + 39 diagonais. Perceba que com os dados do primeiro polígono teremos que y = x(x-3)/2 E de acordo com os dados do segundo polígono teremos: (x+6)(x+3)/2 = x(x-3)/2 + 39 E assim teremos: x = 5. F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g 12

F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g Sendo assim, os polígonos terão: 1) 5 lados, logo 5 vértices e 5 diagonais. 2) 11 lados, logo 11 vértices e 44 diagonais. Num total de 5 + 5 + 11 + 44 = 65. RESPOSTA: LETRA B. A3. SOLUÇÃO: De acordo com a questão teremos:

Perceba que esse triângulo é isósceles, pois o polígono é regular. Então: x + 22,5 + 22,5 = 180  x = 180 – 45  x = 135º. Logo, o ângulo interno desse polígono mede 135º. O ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado por:

Ai =

(n − 2) ⋅ 180 o n

Então 135 = (n – 2).180/n  135n = 180n – 360  45n = 360  n = 8 lados. Portanto, n pode ser igual a 8 e a afirmativa I é verdadeira. Como 24 é múltiplo de 8 ( 24 = 3x8), então cada um dos vértices do octógono regular (n = 8) coincide com um vértice do dodecágono regular (n = 12), para uma mesma medida do raio da circunferência circunscrita. Assim, é possível definir um ângulo XÔY no dodecágono regular tal que: m(XÔY) = 22º30’. Portanto, n pode ser igual a 24 e a afirmativa III é verdadeira. Para n = 12 lados ⇒

(12 − 2) ⋅ 180 o = 150 o 12 180 o − 150 o m( XOˆ Y ) = = 15 o < 22 o 30 ' 2

Ai =

m(OXˆ Y ) =150 o ⇒

Os ângulos XÔY’ e YY’O são congruentes, e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º. Considerando o quadrilátero OXYY’, resulta:

2 ⋅ m( XOˆ Y ' ) + 150 o + 150 o = 360 o ⇒ m( XOˆ Y ' ) = 30 o > 22 o 30 '

ˆ Todas as outras medidas possíveis para o ângulo XOY são maiores do que 22o30’ Portanto, n não pode ser igual a 12 e a afirmativa II é falsa. Logo, apenas as alternativas I e III são verdadeiras. RESPOSTA: LETRA B.

A4. SOLUÇÃO: Se B encontra-se entre A e C teremos que AB + BC = AC. Temos pela questão que: , logo

mas AC = AB + BC, sendo assim teremos: , como queremos uma relação de BC/AB vamos dividir a última

expressão por AB², teremos:

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F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g se BC/AB = x teremos: 1 = 2x + 2x²  2x² + 2x – 1 = 0 Cujas raízes são:

, mas não podemos ter a solução negativa pois x representa uma razão entre lados, sendo assim

teremos como solução: RESPOSTA: LETRA B. A5. SOLUÇÃO: De acordo com a questão:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º, logo: 4x + 60 = 360  4x = 300  x = 75º. Ângulo interno = 2x = 150º. Ai = 180(n – 2)/n = 150  180n – 360 = 150n  30n = 360  n = 12. Se possui 12 lados, pode-se traçar 12 – 3 = 9 diagonais de cada vértice. (pois exclui-se o próprio lado e os vértices adjacentes). RESPOSTA: 09.

A6. SOLUÇÃO: De acordo os dados da questão, temos que a P.A será algo do tipo: {a – 4r, a – 3r, a – 2r, a – r, a , a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r} Logo a soma dos ângulos é igual a (9 -2).180 = 1260º e assim: a – 4r + a – 3r + a – 2r + a – r + a + a + r + a + 2r + a + 3r + a + 4r = 1260 9a = 1260, assim a = 140, sabemos que r = 5 sendo assim o maior ângulos será 140 + 4.5 = 160º. RESPOSTA: LETRA E.

A7. SOLUÇÃO: Temos que a quantidade de diagonais é n(n – 2)/2 e sabemos que a quantidade de diagonais que passam pelo centro é n/2, sendo assim a quantidade de diagonais que não passam pelo centro é igual a: n.(n-2)/2 – n/2 = 30 Logo, n = 10 ou n = -6, como n não pode ser negativo, temos que n = 10. E assim cada ângulo interno dele mede (10 – 2).180/10 = 144º. RESPOSTA: LETRA C.

A8. SOLUÇÃO: Para construir triângulos temos que fazer uma combinação dos vértices três a três, sendo assim teremos: Logo, n = 10, e esse polígono é um decágono. RESPOSTA: LETRA B.

F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g

A9. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos que a soma de n-1 ângulos internos é 2004º, sendo assim a soma de todos os ângulos será com certeza maior do que 2004º, sendo assim teremos: (n – 2).180º > 2004º n – 2 > 11,13 n > 13,13 Temos que n é maior do que 13,13. Teremos resquícios de lados, referente ao 0,13, sendo assim teremos a quantidade de lados sendo algo inteiro e mais próximo de 13, teremos que n = 14. RESPOSTA: 14.

A10. SOLUÇÃO: Se a medida de um ângulo interno é um número inteiro, teremos que: é um número inteiro, sendo assim, Para que esse número seja um número inteiro, teremos que 360/n deve ser um número inteiro, sendo assim teremos que n deve ser um divisor de 360, para isso vamos calcular os divisores de 360. 360 = , logo teremos (3 + 1)(2 + 1)(1 +1) = 4.3.2 = 24 divisores, mas nesse divisores temos incluso o número 1 e número 2, mas não existe o polígono que 1 nem 2 lados. Sendo assim teremos uma quantidade de 24 – 2 = 22 polígonos que tem ângulo interno como um número inteiro. RESPOSTA: LETRA B.

F a b ia n o N a d e r & K e n ji C h u n g