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FUNÇÕES NÍVEL 1 E1. SOLUÇÃO: Podemos chamar 2x + 1 de a, e substituir na função f. Logo, obtemos f(a) = x +1. Mas a = 2x +1. Isolando x, temos x= (a-1)/2. Então f(a)= (a-1)/2 + 1 = (a+1)/2. Mas se f(a) = (a+1)/2, então f(5) = (5+1)/2 = 6/2 = 3. Da mesma forma, podemos chamar 2x – 1 de b, e substituir na função g. Logo, g(b) = x. Como x = (b + 1)/2, então g(b) = (b+1)/2. Portanto, g(3) = (3 + 1)/2 = 4/2 = 2 → f(5) + g(3) = 3 + 2 = 5. RESPOSTA: LETRA B. E2. SOLUÇÃO: Se f(x) = kx², então f(√2) = k (√2)² = V3 → 2k = √3. Logo, k = √3/2. Então f(√6) = k (√6)² = √3/2 · 6 = 3√3 = √9 · √3 = √27 RESPOSTA: LETRA D. E3. SOLUÇÃO: Observando que todos os gráficos representados são compostos por segmentos de retas, temos: (1) Como de 0 a 10 anos o crescimento é maior que dos 10 aos 17 anos, a inclinação desse segmento de reta é maior que a do segundo intervalo. (2) Como após os 17 anos o crescimento é quase imperceptível, os segmentos que podem representar essa situação devem ter inclinação menor que o de 10 a 17 anos. (3) Segmentos consecutivos devem ter um ponto em comum, já que o crescimento é contínuo. Considerando (1), (2) e (3), o gráfico que melhor representa a altura do filho é o da letra A. RESPOSTA: LETRA A. E4. SOLUÇÃO: f(0) = (a · 0 – 1)/ (0 – 1) = ½. → -1/-b = ½ → b = 2. = -2 → a = -1. Então a + b = -1 + 2 = 1. RESPOSTA: 01.
f(1) = (a · 1 – 1)/ (1-2) = 2
→
(a – 1) / -1 = 2 → a - 1
E5. SOLUÇÃO: As possíveis combinações onde x<y em P x P (ou seja, P²) são: w = {(1;2) , (1;5) , (1;7) , (1;8) , (2;5) , (2;7) , (2;8) , (5;7) , (5;8) , (7;8)}. Logo, w possui 10 elementos. RESPOSTA: LETRA C. E6. SOLUÇÃO: Se f(x) = 2x – 2 e f(g(x)) = x + 2, então f(g(x)) = 2 · g(x) – 2 = x + 2. Logo, 2 g(x) = x + 4 → g(x) = (x + 4) / 2. Agora que encontramos g(x), podemos calcular g(f(2)), que é: g(f(2)) = (2 · 2 – 2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3. RESPOSTA: LETRA E. E7. SOLUÇÃO: Analisando cada alternativa separadamente, vemos que: a) -1 < 0, logo f(-1) = 2 · (-1) = -2 (incorreto) b) 3 > 0, logo f(3) = 3/2 (incorreto) c) π > 0, logo f(π) = π / 2 (verdadeiro) d) 5 > 0, logo f(5) = 5/2 (incorreto) e) -4 < 0, logo f(-4) = 2 · (-4) = -8 (incorreto) RESPOSTA: LETRA C. E8. SOLUÇÃO: De acordo com o gráfico, podemos observar que:
Logo, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4, f(5) = 4, f(6) = 4, f(7) = 2, f(8) = 0. Portanto, a única alternativa incorreta é a letra E, que afirma que 2 + 3 = 4. RESPOSTA: LETRA E.
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Fabiano Nader & Kenji Chung E9. SOLUÇÃO: Os gráficos de uma função e de sua inversa quando representados em um mesmo plano cartesiano, são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (a reta x = y). Logo, imaginando essa bissetriz, o gráfico ficaria:
RESPOSTA: LETRA D. E10. SOLUÇÃO: g o f = g(f(x)) = 1 – 2(2x – 1) = 1 – 4x + 2 = -4x + 3. g o f = -4x + 3. Testando as alternativas: Se x = - 1, g o f = -4 · (-1) + 3 = 4 + 3 = 7. (- 1; 7) Se x = ½, g o f = -4 · ½ + 3 = -2 + 3 = 1. (½; 1) Se x = 1, g o f = -4 · 1 + 3 = -4 + 3 = -1. (1; -1) Logo, o ponto que pertence ao gráfico da função g o f é (1; -1). RESPOSTA: LETRA D.
NÍVEL 2 E11. SOLUÇÃO: Utilizando apenas f(x) = mx + n, então f(f(x)) = m (mx + n) + n. Mas f(f(x)) = 4x + 9, Logo, m(mx + n) = 4x + 9 → m²x + mn + n = 4x + 9. Igualando as duas partes da equação que contém x, obtemos: m²x = 4x → m² = 4 → m = ±2. Se m = 2, então 2n + n = 9 → 3n = 9 → n =3. Mas se m = -2, então -2n + n = 9 → -n = 9 → n = -9. Logo, os possíveis valores de n são 3 e -9. A soma deles é 3 + (-9) = -6. RESPOSTA: LETRA B. E12. SOLUÇÃO: Decompondo a função, obtemos: f(x) = x (2x² - 3). Nota-se que é uma função ímpar, pois o segundo fator, 2x² - 3, tem o mesmo resultado para x e –x (seria uma função par). Então, o primeiro fator, o x, indica se a função é positiva ou negativa, tendo o mesmo módulo para x e –x, mudando apenas o sinal. Isso é a definição de uma função ímpar, ou seja, f(-x) = - f(x). RESPOSTA: LETRA B. E13. SOLUÇÃO: Como o expoente do x é um número par, qualquer que seja x, se tornará num número positivo. A função é uma divisão do número 1 pela soma de 1 mais um número positivo. Logo, além da imagem da função ser sempre positiva, o maior valor que ela assume é quando x=0, pois f(x) = 1/ (1 + 0) = 1. Todos os demais valores são menores que 1, pois 1 / (1 + x²) < 1. Logo, a única alternativa possível é ½. RESPOSTA: LETRA C. E14. SOLUÇÃO: De acordo com o gráfico, a reta y = f(x) corta o eixo dos y no ponto y = 0, ou seja, o termo independente da função f é 0 (t = 0). Ainda observando o gráfico, vemos que as funções f e g se encontram quando x = 2. Logo, f(x) = g(x) quando x=2 → kx + t = 3 – x → 2k + 0 = 3 – 2 → 2k = 1 → k = ½. Portanto, os valores de k e t são ½ 2 0, respectivamente. RESPOSTA: LETRA A. E15. SOLUÇÃO: Como -1 < 0, então f(-1) = 2 + (-1) = 1. E como 3 > 0, f(3) = 2 – 3² = 2 = 9 = -7. Resolvendo a equação, temos: f(1) – f(-7). Do mesmo modo, 1 > 0, logo f(1) – 2 – 1² = 1. E -77 < 0, logo f(-7) = 2 + (-7) = -5. Então f(1) - f(-7) = 1 – (-5) = 1 + 5 =6. RESPOSTA: LETRA B. E16. SOLUÇÃO: O ponto A tem coordenadas x = 0 e y = 4. Substituindo em f(x) = y = mx + p: 4=m·0+p→ p = 4. O ponto B tem coordenadas x = 3 e y = 0. Substituindo em f, temos: 0 = m·3 + 4 → 3m = 4 → m = 4/3. Logo, y = 4/3 · x + 4. Para acharmos a inversa de f, ou seja, f¹(x), permutamos a posição do par ordenado (x,y). Logo, x = 4/3 · y + 4. Isolando o y, obtemos: y = -3/4· x + 3. Substituindo x por 8, y = -3/4·8 + 3 = -6 + 3 = -3. Portanto, f¹ passa pelo ponto (8, -3). RESPOSTA: LETRA C. E17. SOLUÇÃO: Para descobrir a equação da reta quando x < -3, sabemos que em y = ax + b, a = 1, pois a = tg 45º= 1. Também temos o ponto (-3, 3). Logo, 3 = 1 · (-3) + b → b = 3 + 3 = 6. Então a equação da reta é f(x) = x +6, para x < -4. Como 4 < -3, então f(x) = x + 6, também para x < -4. RESPOSTA: LETTRA D. E18. Para descobrir a equação da reta quando -2 ≤ x < 1, utilizaremos os pontos (-2, -1) e (0 , 1). Substituindo em y = ax + b, veremos que b = 1 e a = 1. Logo, y = x +1. Observando o gráfico em geral:
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Como -2 está no intervalo -2 ≤ x <1, então f(-2) = -2 + 1 = -1. Da mesma forma, -1 também está nesse intervalo, logo f(-1) = -1 + 1= 0. Então f o f(-2) = 0. E f(f(-1)) = f(0) = 2, pois 0 está no intervalo x ≥ 0. Portanto, f o f(-1) = 2. RESPOSTA: LETRA B. E19. SOLUÇÃO: Para analisarmos graficamente se uma função é injetora, traçamos retas paralelas ao eixo X, se alguma dessas retas cortar a função em mais de um ponto, ela não é bijetora. Como podemos ver, a seguinte reta traçada corta f em 3 pontos, logo f não é injetora.
Para analisarmos se a função é sobrejetora, devemos observar se todos os elementos da imagem fazem parte do contradomínio. Como podemos observar no gráfico, as retas para x< -1 e x > 0 não são limitadas, então Im = CD. Logo, f é sobrejetora. RESPOSTA: LETRA A. E20. SOLUÇÃO: Vamos analisar cada gráfico separadamente:
Observamos que a função f é sobrejetiva, pois todos os elementos da imagem [p,q] fazem parte do contradomínio. Ela também é injetiva, pois ao traçamos retas paralelas ao eixo das abscissas, vimos que todas elas cortam a função em apenas um ponto. Portanto, f é bijetiva.
Assim como a função f, a função g é sobrejetiva, pois todos os elementos da imagem [p,q] fazem parte do contradomínio. Porem, quando traçamos uma paralela ao eixo x, vimos que ela cortou a função g em vários pontos, logo g não é injetiva. Portanto, também não é bijetiva.
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Já a função h, não é sobrejetiva, pois nem toda a imagem [p,q] faz parte do contradomínio. E também não é injetiva, pois quando traçamos a reta no eixo dos x, ela cortou h em vários pontos. Logo h também não é bijetiva. RESPOSTA: LETRA A.
QUESTÕES DE PERNAMBUCO P1. SOLUÇÃO: Não existe raiz quadrada real de um número negativo, logo x + 7 ≥ 0 → x ≥ -7 e 1 – x ≥ 0 → x ≤ 1. O domínio é a interseção desses intervalos, que é -7 ≤ x ≤ 1. RESPOSTA: LETRA B. P2. SOLUÇÃO: Primeiramente, h é uma função, pois todas as pessoas possuem uma altura. Mas como a imagem são os reais, e existe uma altura máxima (e uma altura mínima) das pessoas, então h não é sobrejetiva, pois muitos elementos da imagem não fazem parte do contradomínio. h também não é injetiva, pois existem pessoas que possuem a mesma altura. RESPOSTA: LETRA E. P3. SOLUÇÃO: Se a função f é de A em A, uma quantidade x de elementos está sendo mandada também numa quantidade x de elementos. Logo, se f é injetiva, ou seja, cada elemento do domínio tem sua própria imagem, f também será sobrejetiva, pois como o número de elementos do domínio é igual ao número de elementos da imagem, a imagem será igual ao contradomínio. Logo, f também será bijetiva. Agora, suponhamos que sabemos apenas que f é sobrejetiva, ou seja, Im = CD. Como cada elemento do contradomínio só pode estar associado a um único elemento do domínio (senão não seria função), então cada elemento do domínio está associado a um único elemento da imagem, pois Im = CD. Logo, f também seria injetiva e consequentemente, bijetiva. RESPOSTA: LETRA D. P4. SOLUÇÃO: 0-0) VERDADEIRO. Analisando o gráfico, vemos que f é injetiva e sobrejetiva no intervalo [c,d], pois se traçarmos retas paralelas ao eixo x, veremos que ela corta sempre a função em apenas um ponto (injetiva) e Im = CD em [m,p] (sobrejetiva). Logo, é bijetiva nesse intervalo. Se é bijetiva, tem inversa. 1-1) VERDADEIRO. Pelo mesmo motivo do item anterior. 2-2) VERDADEIRO. Verificamos que f é injetiva nos intervalos [b,] e [c,d] separadamente, pelo método das retas paralelas. Mas se fizermos o mesmo no intervalo [b,d], veremos que em alguma dessas paralelas ela corta a função em 2 pontos, portanto não é injetiva. Se não é injetiva, não é bijetiva. Logo, não tem inversa. 3-3) FALSO. Se traçarmos a reta y = p, veremos que ela corta f em três pontos, logo não é injetiva. Portanto, não é bijetiva e não possui inversa nesse intervalo. 4-4) VERDADEIRO. Uma função só possui inversa se for bijetiva. RESPOSTA: VVVFV. P5. SOLUÇÃO: s(x) representa o valor da média salarial, em função da quantidade de anos de trabalhos prestados. Logo, substituímos s(x) por 700 → 700 = 100 ( →x – x + 3 – 49 – 10 = - 14 → 6 anos x 12 = 72 meses. RESPOSTA: 72.
+ 14
)→ = 56 → (
( )² =( 7 )² → x + 3 = 7² - 2 · 7· )² = 4² → x + 10 = 16 → x=6
+ x + 10
P6. SOLUÇÃO: 0-0) Falso. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, o que não é o caso. 1-1) Verdadeiro. O único ponto onde a função corta o eixo dos x, é em x=0. 2-2) Verdadeiro. O denominador cresce exponencialmente, portanto será sempre maior que o numerador, exceto quando x=1 (pois é igual). Logo, |f(x)| será sempre ≤ 1. 3-3) Verdadeiro. f(x) = f(1/x) = y. 4-4) Falso. Vimos anteriormente que |f(x)| ≤ 1, e como Im são os reais, f(x) não é sobrejetiva, pois o contradomínio é apenas o intervalo -1 ≤ x ≤ 1. Ou seja, CD ≠ Im. RESPOSTA: FVVVF.
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Fabiano Nader & Kenji Chung P7. SOLUÇÃO: Se f(x + 5) = f(x), x=1/3 → f (1/3 + 5) = f(1/3) → f(16/3) = f(1/3) =1 →f(16/3) = a =1. Mas como f(-x) = - f(x), f(-1/3) = f(1/3) = -1. → f(-1/3) = f(-1/3 + 5) = f(14/3) = -1. E f(14/3) = f(14/3 + 5) = f(29/3) = -1. → f(29/3) = b = -1. –f(7) = f(-7). f(7) = f(7 + 5) = f(12) = -f(-7). c= f(12) + f(-7) = -f(-7) + f(-7) = 0. → c=0. c = (a+ b)/2 → 0 = (1-1)/2 = 0/2 = 0. RESPOSTA: LETRA D. P8. SOLUÇÃO: a) INCORRETO. f é uma função par, pois f(x) = f(-x). Logo, f não é injetora. b) CORRETO. 1/(1 + x²) ≤ 1, logo 1/ (1+x²) +1 ≤ 2. c) CORRETO. 1/(1+x²) > 0, logo 1/(1+x²) + 1 >1. d) CORRETO. 1/(1+x²) + 1 = 3/2 → 1/(1+x²) = ½ → 1 + x² = 2 → x² = 1 → x = ± 1. e) CORRETO. f(x) = f(-x) RESPOSTA: LETRA A. P9. SOLUÇÃO: 0-0) VERDADEIRO. Se f é sempre contínua e crescente, então ela é injetiva e sobrejetiva, logo é bijetiva. Se é bijetiva, tem inversa. 1-1) FALSO. Chamando x-1 de a, x = a + 1. Logo, f(a) = (a+1)² + - (a+1) = a² + 2a + 1 – a -1 = a² + a → f(a) = a² + a → f(x) = x² + x. 2-2) FALSO. Só podemos afirmar que o gráfico da função inversível passa pelo ponto (3,1). 3-3) FALSO. Ex.: x=1 → f(1) = 1 +1 = 2 ≠ f(-1) = 1 – 1 = 0. 4-4) VERDADEIRO. Na função ímpar o expoente da variável x é ímpar, o que permanece quando somado a outra parcela de mesma variável. RESPOSTA: VFFFV. P10. SOLUÇÃO: Chamando ax + b de k, obtemos: k = ax + b → x = (k – b) / a. / a → f(x) = (x – b) / a → a·f(x) = x - b RESPOSTA: LETRA D. P11. SOLUÇÃO: f(g(x)) = f(2x + 1) = =
Logo, f(k) = (k – b)
. Chamando 2x + 1 de a, x = (a-1)/2 → =
f(a) =
→ f(x) =
RESPOSTA: LETRA D. P12. SOLUÇÃO: Isolando-se “x”: y = Como x > – 2
−2y − 1 x −1 → xy + 2y = x – 1 → xy – x = – 2y – 1 → x(y – 1) = –2y – 1 → x = x+2 y −1
−2y − 1 −2y − 1 −2y − 1 + 2y − 2 −3 > −2 → +2 > 0 → >0 → > 0 , como o numerador é negativo e queremos y −1 y −1 y −1 y −1
− = + , então y – 1 < 0 e y < 1. −
que o resultado seja positivo (>0), então o denominador tem que ser negativo RESPOSTA: LETRA B.
P13. SOLUÇÃO: Chamando 2x + 3 de a, x= (a-3)/2. RESPOSTA: LETRA D.
g(a) =
→ g(5) =
= 2¹ = 2.
P14. SOLUÇÃO: 0-0) VERDADEIRO. Cada elemento do domínio possui sua própria imagem. 1-1) FALSO. (1-2x)/(x²-x) = 0 → 1 – 2x = 0 → x = ½. ½ está no intervalo (0,1) 2-2) FALSO. O domínio de f não contém 1. 3-3) VERDADEIRO. 4-4) FALSO. Fazendo o estudo dos sinais vemos que f(x) < 0 quando 0 < x ≤ ½ ou x> 1. RESPOSTA: VFFVF. P15. SOLUÇÃO: 0-0) FALSO. Como g(1) não existe, f(g(1)) não existe, logo 1 também não está no domínio. 1-1) FALSO. f(g(x)) = (x – 1) / (x² - 9). Intercepta o eixo dos x onde y = 0. Logo: (x – 1) / (x² - 9) = 0 → x – 1 = 0 → x = 1. Intercepta apenas no ponto (1,0). 2-2) FALSO. f(x) = 1/x não está definida em x = 0. 3-3) VERDADEIRO. f(f(x)) = 1/(1/x) = x. 4-4) VERDADEIRO. Calculando f⁻ ¹(x): y = 1/x → x = 1/y → y = 1/x = f(x) RESPOSTA : FFFVV.
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Fabiano Nader & Kenji Chung P16. SOLUÇÃO: 0-0) VERDADEIRO. Para todo (x1) ≠ (x2) → f(x1) ≠ f(x2) 1-1) FALSO. O 0 não está no contradomínio, logo CD ≠ Im, portanto não é sobrejetora. 2-2) FALSO. Se não é sobrejetora, não é bijetora. 3-3) FALSO. Um contra-exemplo é quando m = 0. 2º = 1. 4-4) FALSO. Se m=0 e n=1 → 2º(2·1 + 1) = 3 → 3 é primo. RESPOSTA: VFFFF.
2n + 1 é sempre ímpar.
1 x ímpar = ímpar.
P17. SOLUÇÃO: 1) FALSO. Não podemos afirmar isso, pois só é verdade para x ≠ -1. 2) VERDADEIRO. Basta fazer a multiplicação: 2(x+1) = 2x + 2. 3) VEDADEIRO. Desenvolvendo x + 2 > 2x + 2: x – 2x > 2 – 2 -x > 0. 4) VERDADEIRO. –x > 0 (· -1) x < 0. Estão corretas apenas as 2, 3 e 4. RESPOSTA: LETRA C. P18. SOLUÇÃO: Pelos pontos (0,1) e (2, 3/5) sabemos que f(0) = 1 e f(2) = 3/5. Na função: 1) f(0) = (0+a)/(0²+b) = 1 a/b = 1 a = b. 2) f(2) = (2+a)/(2²+b) = 3/5 (2+a)/(4+b) = 3/5 10 + 5a = 12 + 3b Substituindo 1) em 2): 10 + 5b = 12 + 3b 2b = 2 RESPOSTA: LETRA D.
b = 1. Então a = b = 1.
P19. SOLUÇÃO: Analisando o gráfico percebesse que a queda se dá de 2003 a 2006. RESPOSTA: LETRA C.
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO A1. SOLUÇÃO: f(g(x)) = a / (b/x)² = a / (b²/x²) = (a / b²) x². RESPOSTA: LETRA E. A2. SOLUÇÃO: f é par → f(x) = f(-x) → (ax + b) / (x + c) = (-ax + b) / (-x + c) → (ax + b)(-x + c) = (x + c)(ax + b) → -ax² + axc – bx + bc = -ax² + bx – acx + bc → 2acx = 2bx → b = ac. Logo, f(x) = (ax + ac) / (x + c) = a (x + c) / (x + c). Como –c < x < c, então f(x) = a. RESPOSTA: LETRA E. A3. SOLUÇÃO: Analisando o ponto (0, -1) que faz parte da função, podemos concluir que (0 + a) / (b · 0 + c) = -1→ a / c = -1→ a = -c. Da mesma forma, com o ponto (2 , 0), vemos que (2 + a) / (2b + c) = 0 → 2 + a = 0 → a = -2 → c = 2. Observando o ponto (-1, -3), obtemos: (-1 + a) / (-b + c) = -3 → (-1 – 2) / (-b + 2) = -3 → -3/(-b + 2) = -3 → 3b – 6 = -3 → 3b = 3 → b=1 RESPOSTA: LETRA D. A4. SOLUÇÃO: a) CORRETO. No intervalo [2,6] a função é decrescente, logo f(3) > f(4). b) CORRETO. f(2) = f → f(5) = 2 → f(f(5)) = 2 > 1,5 c) CORRETO. O valor máximo da função no intervalo [-3 , 6] é f(x) = 5, logo f(x) < 5,5. d) INCORRETO. Traçando a reta y = 1,6 vemos que ela corta a função em 3 pontos. Logo, esse conjunto contém exatamente 3 elementos. e) CORRETO. Um exemplo disso é no intervalo -1 < x <0. RESPOSTA: LETRA D. A5. SOLUÇÃO: Como f é sobrejetiva, existem r, s ∈ [a, b] tais que f(r) = c e f(s) = d. Se r ≠ a, temos a < r e daí, como f é estritamente crescente, teríamos f(a) < f(r) = c, o que acarretaria f(a) ∉ [c, d]. Logo devemos ter r = a, e assim f(a) = c. Da mesma forma, se s ≠ b, temos s < b e daí, como f é estritamente crescente, teríamos d = f(s) < f(b), o que acarretaria f(b) ∉ [c, d]. Logo, devemos ter s = b, e assim f(b) = d. RESPOSTA: LETRA B. A6. SOLUÇÃO: 4 + x > 0, pois não pode ser zero por ser denominador, e não pode ser negativo, pois não existiria raiz quadrada real. Logo, x < -4. Da mesma forma, x – 1 ≥ 0 → x ≥ 1. E x³ ≠ 0, por ser denominador. Logo, x ≠ 0. Achando a interseção entre x > -4, x ≥ 1 e x ≠ 0, obtemos x ≥ 1. RESPOSTA: LETRA D.
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A7. SOLUÇÃO: Calculando os valores de g(x) = f(x + 1) + f(x – 1) pelo gráfico de f(x) teremos: g(-2) = f(-1) + f(-3) = 1 + 0 = 1 g(-1) = f(0) + f(-2) = 0 + 0 = 0 g(0) = f(1) + f(-1) = 0 + 1 = 1 g(1) = f(2) + f(0) = 0 + 0 = 0 g(2) = f(3) + f(1) = 0 + 0 = 0
O único gráfico que possui todos os pontos calculados é o da letra E. RESPOSTA: E.
A8. SOLUÇÃO: I – FALSO. Na verdade {0} S. II – FALSO. Visto que 0∉ ∉ t, então S ∩ T ∩ U = III – FALSO. S possui 4 elementos (domínio) e T possui 3 elementos (contradomínio). Logo, algum elemento em T terá dois elementos associados em S, portanto f não pode ser injetiva. IV- VERDADEIRO. Como T possui 3 elementos, então no máximo, a imagem de T em S terá 3 elementos. Mas S possui 4 elementos, o que nos dá a imagem sempre diferente do contradomínio, ou seja, nenhuma função f: T → S é sobrejetiva. RESPOSTA: LETRA B. A9. SOLUÇÃO: Como o denominador é positivo, pois é uma raiz quadrada, o numerador tem que ser ≥ 0, para a função ser não-negativa. Logo, x² + (2m + 3)x + (m² + 3) ≥0 e x² + (2m + 1)x + (m² + 2) > 0. Para a função ser toda positiva, ∆ < 0. Podemos analisar isso pelo gráfico:
(A parábola está para cima porque o coeficiente de x² > 0). Portanto, para ∆ < 0: (2m + 3)² – 4. 1(m² + 3) ≤ 0 → 4m² + 12m + 9 – 4m² - 12 ≤ 0 → 12m – 3 ≤ 0 → m ≤ 1/4 (2m + 1)² – 4. 1(m² + 2) < 0 → 4m² + 4m + 1 – 4m² - 8 < 0 → 4m – 7 < 0 → m < 7/4 A interseção é m ≤ ¼, ou seja, ]-∞, ¼] RESPOSTA: LETRA D. A10. SOLUÇÃO: Como f(f(x)) = x, então f(f(3)) = 3. Logo f(f(f(3)) = f(3) → f(f(f(f(f(3))))) = f(3) = -3/5. Então f(3) = 3c/ (3d + 3) = c /(d+1) = -3/5 → 5c = -3(d + 1) → c = -3(d+1)/5 Mas se f(f(3)) = 3 e f(3) = 5 → f(-3/5) = 3 → -3/5 · c / (-3/5 · d + 3) = 3 → c = -3(5 - d) → -3(d + 1) /5 = -3(5 – d) → d + 1 = 25 – 5d → 6d = 24 → d = 4. Substituindo hein c = -3(5 – d), temos c = -3(5 – 4) = -3. Então c² + d² = (-3)² + 4² = 9 + 16 = 25 RESPOSTA: LETRA B.
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