E. B. 2;3 CICLOS D. JOÃO II - SANTARÉM
Portefólio Formação Contínua de Professores de Matemática 2º Ciclo do Ensino Básico 2007/08 Conceição Durão
2008
SANTARÉM
Formação contínua de Professores de Matemática – 2º ciclo
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Formação Contínua em Matemática 2º Ciclo
Formadora: Dra. Graciete Brito
Formanda: Conceição Maria Assoreira Durão Prof. Quadro da Escola Básica 2º e 3º Ciclos D. João II – Santarém 4º Grupo (Grupo de recrutamento 230)
Santarém, 8 Julho de 2008
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«Ensinar Matemática é um grande desafio que inclui proporcionar aos alunos experiências matemáticas significativas.»
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iNDICE
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 5 1. Caracterização .................................................................................................................... 7 2. Situações de ensino/aprendizagem da Matemática ......................................................... 8 2.1. Tarefa número um: ...........................................................................................................8 2.1.1. Planificação da aula: .............................................................................................. 11 2.1.2. Produções dos alunos ........................................................................................... 12 2.1.3.-Avaliação ................................................................................................................. 16 2.1.4. Reflexão sobre a aula ............................................................................................. 17 2.2. Tarefa número dois: ....................................................................................................... 18 2.2.1. Planificação da aula: .............................................................................................. 20 2.2.2. Produções dos alunos ........................................................................................... 22 2.2.3. Avaliação.................................................................................................................. 27 2.2.4. Reflexão sobre a aula ............................................................................................. 27 3. Conclusão ......................................................................................................................... 30 4. Referências bibliográficas ............................................................................................... 32 5. webgrafia:.......................................................................................................................... 32
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INTRODUÇÃO A literacia matemática dos alunos é determinada pelo modo como usam os conhecimentos, as capacidades e as atitudes na resolução de problemas. Assim, é necessário propor-lhes experiências diversificadas que permitam desenvolver as suas capacidades de resolução de problemas, de modo a poderem tirar partido da Matemática ao longo da vida. Torna-se assim importante a resolução de problemas como processo matemático crucial para a aprendizagem da Matemática. Contudo, não podemos pensar na resolução de problemas como a única alternativa para a actividade matemática na sala de aula pois a aprendizagem da Matemática envolve outras experiências fundamentais entre as quais se incluem actividades mais rotineiras que apelam, nomeadamente à memória e ao treino. Penso no entanto que este tipo de actividades deve ser complementado com outras mais desafiantes, como seja a resolução de problemas. A resolução de problemas é apontada por Smole e Diniz (2001, p. 95) como uma situação onde o aluno aprende matemática, desenvolve procedimentos, modos de pensar, desenvolvem habilidades básicas como verbalizar, ler, interpretar e produzir textos em diferentes áreas do conhecimento que podem estar envolvidas numa situação. Isso indica que a resolução de problemas deve ser vista como uma metodologia de ensino e que o professor de matemática, ao utilizar-se dela, estará contribuindo para o desenvolvimento da capacidade de comunicação e das habilidades de leitura dos seus alunos. Realça-se assim a importância de comunicar para aprender matemática e aprender a comunicar matematicamente. Serve o presente portefólio para apresentar de forma detalhada, sistemática e reflexiva, o trabalho que desenvolvi nas sessões de formação e ao nível de sala de aula; visando como principal meta a melhoria das aprendizagens dos meus alunos na área da Matemática. Assim, tendo em conta o programa de formação de professores, o Programa oficial do 2.ºciclo e o Currículo Nacional do Ensino Básico, o exercício das minhas funções docentes assentou sempre no pressuposto de que o desenvolvimento da competência matemática dos alunos se consegue através de experiências de aprendizagem significativas e diversificadas, para que:
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•
Promovam a autoconfiança e o gosto pela actividade matemática (crucial nos primeiros anos de escolaridade);
•
Proporcionem uma aprendizagem baseada na compreensão dos conceitos e no desenvolvimento do raciocínio matemático;
•
Desenvolvam uma compreensão progressiva da natureza da Matemática, através dos hábitos de trabalho (ser persistente a resolver problemas, argumentar, formular e validar conjecturas, estabelecer relações, 9);
•
Proporcionem uma visão integrada da Matemática;
•
Ajudem a interpretar a aplicabilidade e relevância da Matemática no quotidiano dos alunos e na sociedade.
Espero que o presente portefólio mostre e reflicta as aprendizagens que entretanto foram reforçadas ao longo desta formação, em especial no que diz respeito aos principais objectivos da mesma. Para tal, este portefólio inclui duas situações de ensino/aprendizagem da Matemática com os alunos, tarefas que foram realizadas e exploradas nas sessões de formação conjunta. Relativamente a cada situação de ensino/aprendizagem da Matemática seleccionada, refiro as razões da sua inclusão no portefólio, bem como faço referências à preparação das tarefas realizadas com os alunos, esclarecendo a intenção/objectivos da tarefa; relato da aula, descrevendo a exploração matemática da tarefa com os alunos, incluindo dados dos próprios alunos ou acontecimentos considerados pertinentes relacionados com a aprendizagem matemática dos alunos. O portefólio inclui também uma reflexão crítica sobre a forma como a aula se desenrolou, incluindo a avaliação do professor sobre o que os alunos terão aprendido sobre Matemática com a actividade desenvolvida, identificando os factores que contribuíram ou dificultaram essa aprendizagem e mudanças a introduzir ou que fazer para melhorar todo o processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
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1. Caracterização A Turma onde realizei a minha experiência tem 27 alunos (14 do sexo feminino e 13 do sexo masculino) com idades compreendidas entre os 11 e os 13 anos (média das idades dos alunos: 11,2 anos) e 4 alunos já tiveram pelo menos uma retenção anteriormente. Em relação à disciplina de matemática, saliento que 9 dos alunos desta turma transitaram com “nível dois” a matemática ou seja, cerca de 32% dos alunos.
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2. Situações de ensino/aprendizagem da Matemática Foram usados, como situações de ensino/aprendizagem, problemas previamente seleccionados, com o propósito de se verificar o que os alunos terão aprendido sobre alguns conteúdos Matemáticos já leccionados, identificar os factores que contribuíram ou dificultaram essa aprendizagem e que mudanças introduzir ou, que fazer para melhorar todo o processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
«Primeiro, temos que compreender o problema, perceber claramente o que é necessário. Segundo, temos que ver como os principais itens estão inter-relacionados. Terceiro, executamos o nosso plano. Quarto, fazemos uma análise da resolução completa, revendo-a e discutindo-a.» (POLYA, 1995, p.3)
2.1. Tarefa número um: Na escolha desta tarefa tive em atenção o facto da resolução do problema em questão ser um problema de processo, não envolver grandes conhecimentos matemáticos ligados aos conteúdos do 6º ano e, permitia-me ainda verificar se os alunos: • Compreendiam o número racional como relação parte-todo, quociente, medida ou operador; • Conseguiam comparar e ordenar números racionais representados de diferentes formas; • Sabiam utilizar e multiplicar números racionais não negativos representado em diferentes formas; • Conseguiam determinar o valor aproximado de um número e estimar a resposta a problemas que envolvem números inteiros e racionais não negativos.
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Foi seleccionado o problema:
Problema:
“Portugueses pouco higiénicos!”.
“Portugueses pouco higiénicos!”
1.- «Um estudo feito pelo Conselho de Higiene revelou que um quarto dos portugueses não lava as mãos antes das refeições, metade não lava as mãos após espirrar e um em cada dez não o faz após ir à casa de banho.»
9 a. Qual é número, aproximado, de portugueses que não lava as mãos antes das refeições? b. Em qual das situações é maior o número de portugueses a não lavar as mãos? 2.- Tendo em conta que a nossa Escola tem 600 alunos, quantos alunos habitualmente não lavam as mãos em cada situação? Informação recolhida em: http://tsf.sapo.pt/online/vida/interior.asp?id_artigo=TSF185182 e http://tsf.sapo.pt/online/vida/default.asp (em 07/11/07).
Esta selecção foi feita individualmente, apesar de partilhada a ideia e discutida com as minhas colegas também em formação, que leccionam na mesma escola, como já é nosso hábito. Escolhi este problema também porque: ♦ Foi uma das sugestões da formadora; ♦ Estava adequada ao Tema em estudo; ♦ É de fácil leitura e não muito difícil de se compreender o pretendido; ♦ É um problema de processo e, por isso, de simples resolução; ♦ Podem ser utilizadas várias estratégias e métodos de resolução; ♦ Proporciona a comparação e discussão das soluções encontradas.
Esta tarefa foi dinamizada no dia: 15/Janeiro/2007, entre as 9h15min e as 10h00min na Turma do 6º C.
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Competências Gerais Mobilizar saberes culturais e científicos para compreender a realidade e para abordar problemas do quotidiano. Usar correctamente a língua portuguesa para comunicar de forma adequada e para
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estruturar pensamento próprio. Adoptar metodologias personalizadas de trabalho. Seleccionar e organizar informação para a transformar em conhecimento mobilizável. Adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões.
Competências específicas A Compreensão global dos números e das operações e a sua utilização de maneira flexível para fazer julgamentos matemáticos e desenvolver estratégias úteis, de manipulação dos números e das operações. A aptidão para efectuar cálculos com os algoritmos, mentalmente ou usando a calculadora, bem como para decidir qual dos métodos é apropriado à situação. A sensibilidade para a ordem de grandeza de números, assim como a aptidão para estimar valores aproximados de resultados de operações e decidir da razoabilidade de resultados obtidos por qualquer processo de cálculo ou por estimação. A aptidão para dar sentido a problemas numéricos e para reconhecer as operações que são necessárias à sua resolução, assim como para explicar os métodos e o raciocínio que foram usados.
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2.1.1. Planificação da aula: Tarefa: Resolução do problema “Portugueses pouco higiénicos!” Tema: Números Racionais. Operações com números racionais absolutos. Objectivos gerais
Compreender e ser capazes de usar as propriedades dos números inteiros e racionais; Compreender e ser capazes de operar com números racionais, de usar as propriedades das operações no cálculo e de compreender o seu efeito sobre números; Ser capazes de compor e decompor números inteiros e racionais e apreciar a ordem de grandeza de números;
Objectivos específicos
Desenvolver a capacidade de estimação, de cálculo aproximado e de avaliação da razoabilidade de um Aplicar o conceito de resultado; número racional; Fazer a estimativa de um cálculo aproximado e avaliar a razoabilidade do resultado obtido; Utilizar a fracção como operador;
Materiais
Caderno diário, lápis, borracha, esferográfica, calculadora*, quadro e giz.
Metodologia: Iniciar a tarefa solicitando aos alunos que resolvam a questão 1 do problema distribuído, primeiro individualmente e só depois deverão analisar as respostas a pares. Será perguntado se alguém tem ideia de qual é o nº aproximado de Portugueses. Caso nenhum aluno responda será transmitida a informação de que, segundo dados do INE, a população portuguesa em 2006 era de aproximadamente 10599095 habitantes. E, como muitos destes habitantes não têm idade para realizarem estas tarefas de higiene, que considerem de 10 milhões o número estimado de portugueses. Enquanto atentam numa resposta, a professora irá percorrer as carteiras verificando as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução do problema e esclarecendo as dúvidas surgidas. Após a resolução do problema pelos alunos e sua partilha/ análise com o seu colega de carteira, será solicitado a alguns alunos que utilizaram diferentes estratégias, para que as apresentem no quadro para o grande grupo. Por fim, será solicitado aos alunos que registem no caderno diário as diferentes estratégias de resolução do problema, apresentadas pelos colegas. Caso ainda haja tempo será pedido aos alunos que resolvam a questão 2, que é uma extensão do problema inicial, aplicada ao nº de alunos da nossa Escola. Deverão seguir as orientações dadas inicialmente para a resolução da questão 1 do problema. TPC Será pedido para resolverem em casa a questão 2 do problema distribuído, caso não haja tempo para a sua resolução na aula. (Anexo 1 – Plano de Aula)
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2.1.2. Produções dos alunos Resolução1
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Aqui confirma o valor encontrado para ¼ dos portugueses.
Aqui confirma metade do número de portugueses.
Este aluno começa e muito bem, por seleccionar e organizar os dados do problema. De seguida calcula o valor correspondente a ¼ dos portugueses, que confirma. Por fim dá a resposta ao problema. Na alínea b) segue o mesmo raciocínio para “encontrar” metade e um décimo dos portugueses, comparando depois a grandeza dos valores obtidos. Este aluno mostra que compreende o número racional como relação parte-todo, quociente, medida ou operador. Tem facilidade no cálculo mental e bom raciocínio dedutivo, com a noção de número racional bem interiorizado.
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Resolução2 Resolução2
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Este aluno “solucionou” facilmente a dificuldade que sentia em trabalhar com números com muitas classes e, através da estratégia utilizada, mostra que compreende e sabe usar o número racional como quociente, relação parte-todo, razão, medida e operador. Revela ainda que sabe comparar e ordenar números racionais positivos. É também um aluno com facilidade no cálculo mental e bom raciocínio dedutivo, com a noção de número racional bem interiorizado embora com alguma dificuldade ainda em explicitar o seu raciocínio (muito sucinto nas respostas – quando as dá), optando na maioria das vezes para o explicar oralmente. É um aluno que não gosta de “perder” muito tempo a pensar, muito intuitivo e que “cai” com muita facilidade na dita rasteira devido, na maioria das vezes, à leitura pouco atenta do problema. Neste caso, penso que devo continuar a insistir na importância da organização da resposta ao problema, uma vez que dessa forma também facilita a sua estruturação e evita o erro “encoberto” por falta de registos ou de registos pouco claros do raciocínio efectuado.
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Resolução3 Resolução3
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Este aluno começou por representar graficamente um quarto. De seguida usou o algoritmo da divisão para encontrar “um quarto” dos portugueses. Teve alguma dificuldade com a escrita do número de portugueses (o que aconteceu com a maioria dos alunos desta turma) pois, como ele disse, “tinha muitos zeros”. Confirmou se o algoritmo da divisão estava correcto mas acabou por se “esquecer de um zero”! Foi fazendo correcções (acrescentando zeros à medida que era chamado à atenção pelos colegas ou professores presentes na sala). Penso que esta dificuldade na escrita e resolução de problemas com números com muitas classes, “números grandes” como os nossos alunos habitualmente lhe chamam, em especial a partir do milhão, se deve essencialmente ao seu pouco uso em situação de sala de aula e até no dia-a-dia. Este aluno, embora tenha alguma facilidade no cálculo mental, possui algumas dificuldades de abstracção, recorrendo a representações simbólicas para traduzir a sua abordagem do problema. Entretanto comete erros de cálculo e não consegue ajuizar sobre a razoabilidade do resultado obtido. Tendo em conta o observado, pretendo usar futuramente, com maior frequência, dados próximos da realidade do nosso país ou de outro país da União Europeia, que incluam
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este tipo de números, na proposta de resolução de problemas de forma a superar esta dificuldade. Pretendo também realizar mais tarefas que permitam o desenvolvimento da capacidade de estimação, de cálculo aproximado e de avaliação da razoabilidade de um resultado.
Resolução4 Resolução4
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Este aluno aplicou, como estratégia de resolução, o que aprendeu sobre a preposição «de» e o sinal «X» na matemática, sabe utilizar a fracção como operador, evidenciando facilidade em calcular o produto de números racionais. Na alínea b) segue o mesmo raciocínio, comparando depois a grandeza dos valores obtidos.
Resolução5 Resolução5
Este aluno não responde correctamente a nenhuma das alíneas do problema, não apresenta qualquer estratégia para a sua resolução, nem apresenta uma explicação
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compreensível para as respostas dadas. Utiliza erradamente a vírgula para separar a classe dos milhões e, no primeiro caso, denota não possuir espírito crítico necessário para ajuizar sobre a plausibilidade de um resultado. Pois, nem questionou que ¼ dos portugueses nunca podiam ser 25 milhões, uma vez que os portugueses são aproximadamente 10 milhões.
16 2.1.3.-Avaliação Para avaliação dos problemas utilizei a Escala Analítica a seguir apresentada, por ser a que me permite identificar a fase de resolução do problema onde os alunos manifestaram mais dificuldades.
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Tabela 1 – Resultados da avaliação da primeira situação-problema Critérios de avaliação
Resolução1
Resolução2
Resolução3
Resolução4
Resolução5
2
2
2
2
0
Compreensão do
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problema Estratégia de resolução
2
2
2
2
0
Resposta ao problema
2
2
1
2
0
Total de Pontos
6
6
5
6
0
2.1.4. Reflexão sobre a aula Esta foi a segunda aplicação realizada com a presença da Formadora e, mais uma vez, foi com expectativa que propus esta tarefa aos meus alunos, desejando que me surpreendessem com o seu desempenho. Embora estivesse “outra professora” na sala de aula os alunos já se habituaram, chegando mesmo a solicitar a sua ajuda ou sugestões. Penso que a actividade correu bem e como estava directamente relacionada com o tema em estudo, serviu para avaliar os conhecimentos dos alunos e/ou as dificuldades ainda existentes. Verificou-se que foram poucos os alunos – cerca de 26% – que conseguiram encontrar individualmente uma solução para o problema (ver Anexo1 – Grelha Observação Problema1) enquanto outros tiveram dificuldade em iniciar o trabalho; alguns por falta de
atenção/concentração, outros por falta de autoconfiança/ pouco empenho e outros por dificuldades, necessitando de apoio individualizado para o fazerem. Penso ainda que as dificuldades sentidas na resolução deste problema, tal como na maioria de outros problemas, devem-se em grande parte à dificuldade que os alunos têm em ler e compreender a linguagem matemática presente no texto dos problemas.
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Situação que tentarei ultrapassar realizando trabalho pedagógico específico com o texto dos problemas, nas aulas de matemática ou de Estudo Acompanhado. Por fim, verificou-se a existência de várias estratégias que alternadamente foram mostradas e explicadas ao grande grupo, pelos respectivos utilizadores das mesmas. Este trabalho de comunicação é outro dos aspectos que penso ser importante, que deve ser treinado como forma de comunicação entre pares, bastante importante no entendimento das questões e estratégias de resolução.
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Saliento ainda, o desconhecimento do número aproximado de Portugueses, a dificuldade que manifestaram em trabalhar com “números grandes”, números com muitas classes ─ 10 000 000 ─, alguns não sabiam “quantos zeros tinha 10 milhões” e, a percentagem reduzida de alunos que conseguiram realizar a tarefa, encontrando autonomamente uma estratégia adequada. Esta situação de aprendizagem mostrou ainda a importância que as representações desempenham, quer na organização, quer no registo, quer ainda na comunicação das ideias matemáticas associadas aos processos de resolução. As dificuldades manifestadas pelos alunos e diagnosticadas através da resolução deste problema, serão colmatadas no decorrer das próximas aulas realizando diferentes tarefas que envolvam estas aprendizagens.
2.2. Tarefa número dois: Este problema foi adaptado por mim, com base num que apareceu na Prova de Aferição de 2007. A Selecção do problema foi novamente realizada individualmente sendo no entanto, mais uma vez, partilhada e discutida a razão da sua escolha com as colegas da minha escola, também em formação. Escolhi este problema porque: ♦ É um problema de processo, portanto de simples resolução; ♦ Estava adequado ao Tema em estudo – Proporcionalidade Directa; ♦ Envolvia os conceitos de razão, proporção e constante de proporcionalidade;
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♦ Permitia desenvolver a capacidade de usar o raciocínio proporcional; ♦ É semelhante a situações do quotidiano; ♦ É de fácil leitura e não muito difícil de se compreender o pretendido; ♦ Podem ser utilizadas várias estratégias e métodos de resolução; ♦ Proporciona a comparação e discussão das soluções encontradas.
19 Esta tarefa foi dinamizada no dia: 26/Fevereiro/2007, entre as 9h15min as 10h00min na Turma do 6º C.
Competências Gerais Mobilizar saberes culturais e científicos para compreender a realidade e para abordar problemas do quotidiano. Usar correctamente a língua portuguesa para comunicar de forma adequada e para estruturar pensamento próprio. Adoptar metodologias personalizadas de trabalho. Seleccionar e organizar informação para a transformar em conhecimento mobilizável. Adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões.
Competências específicas A Compreensão global dos números e das operações e a sua utilização de maneira flexível para fazer julgamentos matemáticos e desenvolver estratégias úteis, de manipulação dos números e das operações. A aptidão para efectuar cálculos com os algoritmos, mentalmente ou usando a calculadora, bem como para decidir qual dos métodos é apropriado à situação. A sensibilidade para a ordem de grandeza de números, assim como a aptidão para estimar valores aproximados de resultados de operações e decidir da razoabilidade de resultados obtidos por qualquer processo de cálculo ou por estimação.
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A aptidão para dar sentido a problemas numéricos e para reconhecer as operações que são necessárias à sua resolução, assim como para explicar os métodos e o raciocínio que foram usados.
Foi seleccionado o problema:
“Gelado de Chocolate”. 20
2.2.1. Planificação da aula:
Tarefa: Resolução do problema “Gelado de Chocolate”.
(ver Anexo 2)
Tema: Proporcionalidade Directa. Resolver problemas que envolvam o conceito de
proporcionalidade directa.
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Formação contínua de Professores de Matemática – 2º ciclo • • Objectivos gerais
• • • •
Compreender e ser capazes de usar as propriedades dos números inteiros e racionais; Compreender e ser capazes de operar com números racionais, de usar as propriedades das operações no cálculo e de compreender o seu efeito sobre números; Ser capazes de compor e decompor números inteiros e racionais e apreciar a ordem de grandeza de números; Desenvolver a capacidade de estimação, de cálculo aproximado e de avaliação da razoabilidade de um resultado; Desenvolver destrezas de cálculo numérico mental e escrito; Ser capazes de resolver problemas, raciocinar e comunicar em contextos numéricos.
Calcular o produto e/ou o quociente de números racionais representados de diversas formas; • Resolver o problema utilizando as operações estudadas; • Descrever o processo utilizado na resolução do problema; • Reconhecer situações de proporcionalidade directa; • Aplicar a propriedade fundamental das proporções ou a regra de três simples na resolução do problema; • Fazer a estimativa de um cálculo aproximado e avaliar a razoabilidade do resultado Caderno diário, lápis, borracha, esferográfica, quadro, giz, carrinho c/ PC portátil + retroprojector. •
Objectivos específicos
Materiais Metodologia: Após distribuir o problema a todos os alunos e pedir que o colem numa folha do caderno diário, será solicitando aos alunos que resolvam o problema “Gelado de chocolate”, primeiro individualmente e só depois deverão analisar as respostas a pares. Não deverão ultrapassar os vinte minutos na sua resolução. Será pedido aos alunos que façam uma leitura atenta do problema para assim poderem identificar melhor o que é pedido, bem como a informação que é relevante para o problema e o que devem procurar. Será dado tempo para que todos possam fazer uma leitura autónoma e cuidada do problema e, intentem numa estratégia de resolução. Á medida que forem surgindo dúvidas ou dificuldades em encontrar uma estratégia para a resolução do problema, serão formuladas algumas questões que esclareçam os aspectos mais relevantes do problema e conduzam à sua compreensão, como por exemplo: “E se fosse para uma pessoa, qual era a quantidade de ingredientes necessários (e mantendo o gelado o mesmo sabor)? Ou, qual seria a quantidade de ingredientes necessários para duas pessoas? Ou ainda para três pessoas?” Enquanto atentam numa resposta, a professora irá percorrer as carteiras verificando as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução do problema, dar sugestões que possam levar os alunos a estratégias mais adequadas e esclarecer as dúvidas que entretanto surjam. Após o fim do tempo dado para a resolução do problema pelos alunos, será pedido a alguns alunos que apresentem no quadro aos colegas da turma a sua proposta de resolução e identifiquem as estratégias usadas. Serão ainda discutidas e analisadas as diferentes estratégias utilizadas na resolução deste problema e solicitado aos alunos que registem no caderno diário as diferentes estratégias de resolução do problema apresentadas pelos colegas.
A professora deverá registar as dificuldades identificadas na resolução do problema, o possível motivo destas dificuldades e como alguns as conseguiram ultrapassar. (Grelha de Observação da Aula – em Anexo)
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2.2.2. Produções dos alunos
Resolução1
22
Este aluno calculou de imediato as quantidades dos vários ingredientes necessárias para uma pessoa, encontrando de seguida a resposta multiplicando esse valor por 8, ou seja o número de pessoas para quem se pretendia fazer a receita. Contrariamente à minha expectativa,
este aluno não
utilizou
a regra da
proporcionalidade directa ou a regra de três simples, utilizando um método amplamente trabalhado no primeiro ciclo. No caso da tablete de chocolate, “fugindo” à divisão de números racionais, recorre à representação gráfica para saber que parte do chocolate é necessário para uma pessoa. Este aluno revela, no entanto, possuir um bom raciocínio dedutivo, facilidade no cálculo mental, saber multiplicar números racionais e que possui a noção de razão-quociente entre dois números.
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Resolução2 Resolução2
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Este aluno revela possuir um bom raciocínio dedutivo, facilidade no cálculo mental e o conceito de proporcionalidade directa bem percebido, obtendo com facilidade os valores da receita pedidos, a partir do conjunto de valores dados.
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Não deixou no entanto, como o aluno anterior, de pensar primeiro na quantidade unitária em vez de partir logo da quantidade necessária para 6 pessoas. Escolhi esta resolução pela estratégia usada para explicitar o seu raciocínio, demonstrando assim a facilidade na comunicação do seu raciocínio. . Resolução3 Resolução3
Este aluno, apesar das suas dificuldades, conseguiu chegar aos 8 ovos e 8 chávenas de leite com chocolate como ela própria disse: “lógico! se para 6 pessoas são necessárias 6 ovos, para 8 são necessários 8, é como para as chávenas com chocolate!”. O resto do trabalho foi realizado com a ajuda dos colegas mais próximos, optando também pelo algoritmo da divisão para encontrar as quantidades necessárias para uma pessoa. Não conseguiu no entanto encontrar a quantidade necessária de chocolate preto, uma vez que este estava representado na forma de fracção. Este aluno ainda possui muitas dificuldades em explicitar todo o seu raciocínio, tendo de ser constantemente incentivado e ajudado nas várias etapas de resolução do problema. Terei por isso, de continuar ar trabalhar individualmente com este aluno, de forma a ajudá-lo a superar as suas dificuldades.
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Resolução4 Resolução4
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Este é mais um aluno que revela dificuldades, conseguindo neste exercício chegar a duas respostas de forma intuitiva, 6 ovos 6 pessoas e 8 ovos para 8 pessoas, 6 chávenas 6 pessoas e 8 chávenas para 8 pessoas. Considero contudo que houve alguns progressos no raciocínio efectuado para encontrar a quantidade de baunilha necessária para 8 pessoas pois, conseguiu perceber que se 3 é metade de 6 então 4 é metade de oito. Não conseguiu explicar como chegou aos 200g de açúcar, nem responder à quantidade de chocolate preto.
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Resolução5
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Aqui a aluna, desistindo de intentar numa estratégia de resolução, aceita uma das sugestões da professora e tenta “descobrir” os ingredientes necessários para metade das pessoas da receita original. Depois calcula para um terço da receita original, ou seja, os ingredientes necessários para duas pessoas. Penso que para depois os adicionar à receita para 6 pessoas e assim obter, tal como o pedido, a quantidade de ingredientes necessários para 8 pessoas. No cálculo da quantidade de açúcar para 3 pessoas existe um erro, pois não pode ser 750g e sim 75g e como não apresenta o raciocínio efectuado fiquei sem saber se foi erro de cálculo (algoritmo da divisão) ou simplesmente uma pequena desatenção! No cálculo da quantidade de chocolate para 2 pessoas também não mostra de onde surge 1/6, embora efectue correctamente a soma de fracções! Por fim, não termina a resolução ao problema, não dando qualquer resposta quanto à quantidade de ingredientes necessários para fazer um gelado para 8 pessoas.
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2.2.3. Avaliação
Tabela 2 – Resultados da avaliação da primeira situação-problema Critérios de
Resolução1
Resolução2
Resolução3
Resolução4
Resolução5
27 avaliação Compreensão do 2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
6
6
5
3
3
problema Estratégia de resolução Resposta ao problema Total de Pontos
2.2.4. Reflexão sobre a aula Penso que a actividade também correu bem, estava directamente relacionada com o tema em estudo, servindo desta forma para avaliar os conhecimentos dos alunos e/ou as dificuldades ainda existentes. Verificou-se desta vez um ligeiro aumento do número de alunos que conseguiram encontrar individualmente uma solução para o problema – cerca de 30% . Contudo, aproximadamente, 26% dos alunos nem sequer tentaram resolver o problema individualmente, ficaram assim à espera de orientações precisas dos professores presentes
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na sala e das sugestões dos colegas que entretanto formaram o grupo de trabalho. (ver Anexo2 – Grelha Observação Problema2). Só um aluno utilizou a Propriedade Fundamental das Proporções para resolver o problema. Contrariamente à minha expectativa, só dois alunos utilizaram a regra da proporcionalidade directa/ a regra de três simples, tendo a maioria preferido usar um método amplamente trabalhado no primeiro ciclo, recorrendo ao algoritmo da divisão para encontrarem as quantidades necessárias dos vários ingredientes para uma pessoa. Considero que a não utilização, neste caso, da regra da proporcionalidade directa ou da regra de três simples se deveu à pouca confiança que ainda sentiam na realização destes cálculos uma vez que tinham sido leccionados recentemente e ainda pouco trabalhados. Mais uma vez apercebi-me da dificuldade que os alunos têm em ler e compreender a linguagem matemática, bem como em comunicar utilizando-a. Esta dificuldade poderá estar, entre outras coisas, ligada ao insuficiente trabalho pedagógico específico que tenho desenvolvido com o texto dos problemas, nas aulas de matemática. Para que estas dificuldades sejam superadas ou, para que não surjam dificuldades deste tipo, é preciso algum cuidado com a proposição dos problemas desde o início da escolarização até o final do Ensino Secundário. Cuidados com a leitura que o professor faz do problema, cuidados em propor tarefas específicas de interpretação do texto de problemas, ter enfim um conjunto de intervenções didácticas destinadas exclusivamente a levar os alunos a lerem problemas de matemática com autonomia e compreensão. A primeira delas, sem dúvida, é deixar que eles façam sozinhos a leitura das situações propostas pois, a leitura individual ou a pares auxilia os alunos a procurarem um sentido para o texto. É possível ainda que o professor proponha aos alunos que registem, no caderno ou em um dicionário, as palavras novas que aprenderam, ou mesmo aquelas sobre as quais tinham dúvida para que possam consultar em outras vezes que for necessário. Em relação àqueles termos que tenham significados diferentes em matemática e no uso quotidiano, o ideal é que sejam registados no caderno dos alunos com ambos os significados, podendo inclusive escrever frases que ilustrem esses significados. Outras estratégias possíveis são: •
Apresentar aos alunos problemas com falta ou excesso de dados para que eles analisem a necessidade ou não de informações no texto;
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•
Apresentar aos alunos o texto de um problema no qual falte uma frase ou a pergunta, deixar que eles tentem resolver e que tentem completar aquilo que falta para o problema ser resolvido;
•
Apresentar um problema com frases em ordem invertida e pedir que os alunos reorganizem o texto;
•
Pedir que os alunos elaborem problemas com palavras que apresentam sentidos diferentes quando utilizadas em matemática e no quotidiano: tira, produto; domínio; diferença, etc.
As acções que o professor pode empreender para tornar o aluno leitor de um problema não podem ser esporádicas, nem mesmo isoladas. É necessário que haja um trabalho constante com essas estratégias, em todos os anos de escolaridade, pois será apenas enfrentando a formação do leitor e do escritor como uma tarefa de todos os professores da escola, inclusive de matemática, que criaremos oportunidades para que todos eles desenvolvam essas habilidades que são essenciais para que possam aprender qualquer conceito, em qualquer tempo. É pois importante comunicar para aprender matemática e aprender a comunicar matematicamente.
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3. Conclusão Embora a aprendizagem da Matemática e, consequentemente, o trabalho na sala de aula, envolva necessariamente exercícios e actividades de memória e treino, ficaria, no entanto, incompleto, em todos os níveis, sem a resolução de problemas. A resolução de problemas permite aprender de uma forma activa, ajudar os alunos a construírem conhecimento matemático novo e também testar os seus conhecimentos sobre os diversos temas de ensino. Deste modo seleccionei os problemas tentando sempre que estivessem relacionados com os tópicos de Matemática do programa, com o nível dos alunos deste grupo-turma, com os objectivos pretendidos e estabelecer o tipo de trabalho adequado – individual ou colaborativo – de modo a proporcionar-lhes confiança nas suas capacidades. Tentei proporcionar aos alunos tarefas desafiantes e apropriadas ao seu conhecimento, de forma a facultar o estabelecimento de conexões entre vários tópicos dentro e fora da Matemática e estimular a argumentação e a comunicação, recorrendo a diferentes representações. Em suma, tentei contribuir para o desenvolvimento do pensamento independente e crítico, tão essencial a várias facetas da vida. A partilha de estratégias de resolução em pequeno ou grande grupo permitiu que os alunos verbalizassem o seu pensamento, tendo para isso que o organizar, como ainda que o explicassem e justificassem as suas resoluções. Esta partilha permitiu ainda que todos realizassem uma constante reformulação do seu pensamento. No ensino e aprendizagem da matemática, os aspectos linguísticos precisam de ser considerados
inseparáveis
dos
aspectos
conceituais
para que a comunicação e
consequentemente, a aprendizagem, aconteçam. A comunicação matemática facilita uma melhor compreensão e interiorização dos conceitos envolvidos, a incorporação de processos alternativos de resolução e a construção de conhecimentos de longa duração. Devemos por isso, comunicar para aprender matemática e aprender a comunicar matematicamente. Mas, como estamos na geração das tecnologias e da “miudagem do multimédia”, não podemos deixar de usar a imagem e o som para tentar captar a atenção dos nossos alunos e cativá-los para a matemática. Neste sentido, utilizei com frequência na dinamização das aulas o Conjunto “Computador portátil + retroprojector” ou, sempre que consigo requisitar a sala A8,
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o Quadro Interactivo; os Computadores portáteis e a Internet (em especial a Oficin@ da matemática,
disponibilizada
através
(http://nonio.ese.ipsantarem.pt/aedj)
da
plataforma
Moodle
da
nossa
Escola
e dinamizada por mim, o Banco de itens do GAVE
(http://www.min-edu.pt/outerFrame.jsp?link=http%3A//bi.gave.min-edu.pt), a Escola Virtual da Porto Editora, 9); e produzi recursos educativos sobre os vários temas do programa oficial de
Matemática do 2º ciclo. Penso, deste modo, que foram atingidos os objectivos gerais definidos para esta Formação. Os materiais manipuláveis e as tecnologias constituíram sempre um recurso privilegiado para os alunos utilizarem como suporte às tarefas que foram desenvolvidas. Com esta formação foram relembrados conhecimentos matemáticos e didácticos, bem como reforçado o trabalho colaborativo entre o grupo de professores da escola a que pertenço.
A resolução de problemas leva o aluno aprender matemática, a desenvolver procedimentos, modos de pensar, a desenvolver habilidades básicas como verbalizar, ler, interpretar e produzir textos em diferentes áreas do conhecimento que podem estar envolvidas numa situação, devendo por isso ser vista como uma metodologia de ensino.
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4. Referências bibliográficas Abrantes, P., Serrazina, L. e Oliveira, I. (1999). A Matemática na Educação Básica. Reflexão participada sobre os currículos do ensino básico. Lisboa: ME-DEB. Boavida, A. M. e Guimarães, F. (2002). Materiais para a aula de Matemática. Educação e Matemática, 70, 26-7. Boavida, A.M. e outros (2008). A Experiência Matemática no Ensino Básico. Programa de
Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação – DGIDC. Menezes, L., Martins, M. E. e Oliveira, P. (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação – DGIDC. POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto metodológico: tradução e Adaptação Heitor Lisboa de Araújo.- 2 reimpr. – Rio de Janeiro, 1995. Polya, G. (2003). Como resolver problemas. Lisboa: Gradiva. SMOLE , Kátia C. S. ; DINNIZ, Maria Ignez. Ler e aprender matemática. In: SMOLE, Kátia C. S.; DINIZ, Maria Ignez (Orgs.) Ler escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. Ponte, J. P., Serrazina, L., Guimarães, H., Breda, A., Guimarães, F., Sousa, H., Menezes, L., Martins, M. E. e Oliveira, P. (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação – DGIDC.
5. webgrafia: http://www.mathema.com.br/reflexoes/ap_ler_prob.html http://64.233.183.104/search?q=cache:NkfiEKQaN4J:www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO30201417880T.doc+Smole+e+Din iz&hl=pt-PT&ct=clnk&cd=4
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