merzlak matem6 by zim zone

МАТЕМАТИКА

Рішення всіх завдань з підручника А. Г. Мерзляка та ін. «Математика» § 1. Подільність натуральних чисел 1. Дільники і кратні 1. Правильними є 1), 4), 5) твердження. 2. 1) 2, 3, 4, 6, 8, 12; 3) 2, 4;

2) 6, 12, 18, 30; 4) 4, 8, 12.

5. 1) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; 3) 1, 23;

2) 1, 2, 3, 4, 6, 12; 4) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

7. 1) 32, 48, 64, 80; 3) 300, 450, 600, 750;

2) 24, 36, 48, 60; 4) 94, 141, 188, 235.

10. 1) 3; 12. 1) 45;

3) 1; 4) 3.

2) 30;

8. 1) 28, 36, 48, 64, 92, 100, 108; 2) 28, 64, 92, 100, 108, 110.

2) 64;

ld z

14. 23, 46, 69, 92.

3) 24.

16. 30, 36, 42, 48, 54. 18. 49.

20. 2 числа: 36 і 72.

Так, a = 12 , 18, 24 і т. д.; Ні, a = 3 не кратне 6; Так, a = 12 , 24 і т. д; Ні, a = 12 не кратне 24.

21. 1) 2) 3) 4)

22. 1) Ні; a = 2 , b = 3 . 1) Ні; a = 2 , b = 3 . 26. b = 9 ⋅ a + 5 . 27. 1) n 1 ;

2) n 1 ;

28. 1) n — парне число;

3) n — парне число;

4) n = 11 ⋅ a , a 1 .

2) n — кратне 3.

29. 1) Будь-яке двоцифрове число, яке записано двома однаковими цифрами, ділиться на 11, тому воно кратне 11. 2) Будь-яке трицифрове число, яке записано трьома однаковими цифрами, ділиться на 37, тому воно кратне 37.

216 30. До 1 дописали 4.

37. 1) 200 + 70 + 8;

2) 5000 + 90 + 3.

38. 1) 429 : 2 = 214 ост. 1; 3) 768 : 10 = 76 ост. 8; 5) 134 : 5 = 26 ост. 4;

2) 5001 : 2 = 2500 ост. 1; 4) 9123 : 10 = 912 ост. 3; 6) 2867 : = 573 ост. 2.

39. 1) 83 = 7 ⋅11 + 6 ;

2) 171 = 17 ⋅10 + 1 .

МАТЕМАТИКА

31. У числі 17 закреслили 7.

2. Ознаки подільності на 10, на 5 і на 2 41.

Число

142

241

495

7207

Парне

–

Так. 8 + 6 = 14; 10 + 4 = 14. Так. 3 + 6 = 9. Так. 6 ⋅ 8 = 48 . Ні. 2 ⋅ 7 = 14 .

2) Ні. 3 + 7 = 10. 4) Ні. 3 + 7 = 10, але 3 ⋅ 7 = 21 . 6) Так. 3 ⋅ 7 = 21 .

ld z

44. 1) 3) 5) 7)

43. 1) 395, 934, 2625, 7121; 2) 760, 1270; 3) 395, 2625.

42. 1) 34, 860, 648, 8216, 1020, 246 370; 2) 435, 860, 5465, 2405, 1020, 246 370; 3) 1020, 246 370.

45. 1) 275, 277, 279, 281, 283, 285, 287, 289. 2) 2727, 2729, 2731, 2733, 2735.

46. 1) 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158. 2) 490, 492, 494, 496, 498, 500. 47. 1) 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70. 2) 3725, 3730, 3735, 3740, 3745, 3750. 48. 1) 280, 290, 300, 310.

2) 1470, 1480, 1490, 1500.

49. 3075, 3750, 3705, 3570, 5370, 5730, 7305, 7350, 7035, 7530. 50. 1) 7930, 7932, 7934, 7936, 7938. 3) 7930. 51. 1) 9876.

2) 7930, 7935.

2) 9875.

3) 987 650.

52. 1) 100, 200, 300, 400, 500, 600. 2) 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200. 53. x = 97 . 54. y = 103 .

217

МАТЕМАТИКА

55. Ні. 56. 1) Парний добуток.

2) Ні, не обов’язково.

57. 1) Непарна сума.

2) Парна сума.

58. Не можна. У сумі кількість непарних доданків — число парне. Добуток парного числа непарних доданків — число непарне. 59. Не можна, тому що сума, яка складається у 5 купок непарної кількості яблук — число непарне. 60. Не існує, тому що добуток парного числа на непарне — число парне. 61. 1) Парне.

2) Непарне.

3) Парне. 4) Непарне.

5) Парне.

62. Петро Петрович; Іван Іванович; Петро Петрович; Іван Іванович; Петро Петрович. У листопаді Іван Іванович буде чергувати по парних числах. У ніч на Новий рік буде чергувати Іван Іванович. 63. 1) Так.

2) Ні.

65. 1) 3.

64. Так.

2) 5.

ld z

66. 100x + 30 + 7 + 10x + 3 = 700 ; 110x + 40 = 700 ; 110x = 660 ; x = 6 . Числа 637, 63. 67. 1) 20. 68. Ні.

2) 25.

69. 1) 14 168 : 28 = 506. 3) 1878 : 24 = 78 ост. 6.

70. Природні заповідники

2) 14 892 : 73 = 204. 4) 5172 : 56 = 92 ост. 20. ?

}

Біосферні заповідники Розв’язання: 1) 20 : 5 = 4 (біосф. зап.); 2) 4 ⋅ 4 = 16 (прир. зап.).

71. Ботанічні сади Дендрологічні парки

? ?

}

Розв’язання: 1) (34 − 10) : 2 = 12 (дендропарків). 2) 10 + 12 = 22 (ботан. сади). 72. x год — час до зустрічі. 69x + 56x = 400 ; 125x = 400 ; x = 400 : 125; x = 3, 2 (год). 218

69 км/год ?

56 км/год ? 400 км

69 ⋅ 0, 63 = 43, 47 ; 10,098 : 5,4 = 1,87; 43,47 – 1,87 = 41,6; 41,6 – 20,54 = 21,06; 21,06 : 0,324 = 65;

2. 1) 2) 3) 4)

0, 98 ⋅ 3, 8 = 3, 724 ; 0,132 : 5,5 = 0,024; 3,724 – 0,024 = 3,7; 3,7 – 2,45 = 1,25.

74. До Харкова.

3. Ознаки подільності на 9 і на 3 75.

Число

7263

4681

2743

6885

7227

6350

7920

Кратне 9

–

Число

1356

4813

9075

3272

6390

15684

53206

Кратне 3

–

МАТЕМАТИКА

73. 1. 1) 2) 3) 4) 5)

76.

77. 1) 8937, 6585, 44 292, 9462, 58 395, 23 646. 2) 8937. 3) 44 292, 9462, 23 646.

2) 1215, 2880. 3) 1215, 2880.

78. 1) 1215, 2880, 3921, 6072, 8142.

79. 1) 144, 147, 150, 153, 156, 159. 2) 99, 108, 117, 126.

ld z

80. 1) 327, 330, 333, 336, 339, 342. 2) 432, 441, 450, 459, 468, 477. 81. 1) 54 840, 54 843, 54 846, 54 849. 2) 306 393, 336 393, 366 393, 396 393. 3) 7908, 7938, 7968, 7998. 2) 336 393. 3) 7551.

82. 1) 62 811. 83. 1) 222.

2) 333.

84. 6270.

85. 21 852. 86. 3474.

87. 1) 1023.

2) 10 278.

3) 102 348.

4) 1035.

88. 1) 9990.

2) 9990.

3) 9990.

4) 9990.

89. 1 ) 3.

2) 6.

3) 4.

4) 8. 5) 8.

6) 3.

90. 1477; 7410. 91. 6 розв’язків: 1155, 4155, 7155, 3150, 9150, 6150. 92. 2 розв’язки: 2340, 6345.

219

93. 7740.

МАТЕМАТИКА

94. 3240, 3042, 3141, 3249, 3942, 3348, 3843, 3447, 3744, 3546, 3645. 95. Вартість усіх покупок — число, кратне 3, а сума — ні. Тому це неможливо. 96. 1. 97. Сума цифр цього числа не ділиться націло на 3, то й саме число не ділиться. 98. Число зменшиться на 45. ? 99. Рось ? 654 км 38 км Хорол Розв’язання: 1) ( 654 − 38 ) : 2 = 308 (км) — довжина річки Хорол. 2) 308 + 38 = 346 (км) — довжина річки Рось.

}

? 100. Київ — Житомир ? 256 км Житомир — Вінниця 6 км Розв’язання: 1) ( 256 − 6 ) : 2 = 125 (км) — відстань між Житомиром і Вінницею. 2) 125 + 6 = 131 (км) — відстань між Києвом і Житомиром. 6,29 : 0,85 = 7,4; 53 – 48,184 = 4,816; 4, 816 : 5,6 = 0,86; 7,4 + 0,86 = 6,364.

2. 1) 2) 3) 4)

ld z

101. 1. 1) 2) 3) 4)

}

2) 103 .

102. 1) 75 .

5,33 : 0,65 = 8,2; 1,9218 – 0,8118 = 1,11; 1,11 : 3 = 0,37; 8,2 – 0,37 = 7,83.

3) a4 .

4) x6 .

103. 1) 33 = 27 . 5) 54 = 625 .

2) 72 = 49 . 6) 25 = 32 .

3) 0, 62 = 0, 36 . 4) 0, 53 = 0, 125 . 7) 121 = 12 . 8) 112 = 1 .

104. 1) 64 = 82 .

2) 64 = 43 .

3) 64 = 26 .

4. Прості й складені числа 106. 1) Прості: 3, 7, 13, 23, 29, 47. 2) Складені: 6, 12, 21, 24, 28, 33, 45, 46. 107. 1) 1, 3 , 7 , 21. 3) 1, 2 , 3 , 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

2) 1, 2 , 3 , 5 , 6, 15, 30. 4) 1, 2 , 3 , 6, 9, 18, 27, 54.

108. 1) 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12 ; 2) 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42 ; 4) 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = 450 ; 5) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 23 = 920 ; 7) 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 31 = 10 850 .

3) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 216 ; 6) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅19 = 2280 ;

220 110. 1) 11, 13, 17, 19, 23; 2) 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48.

111. 1) 23, 29, 31, 37. 2) 62, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77. 112. Просте: 1), 4), 5); складене: 2), 3), 6).

114. 1) 1, 2, 3, 5, 13, 6, 10, 26, 30, 78, 15, 39, 195, 390. 2) 1, 3, 9, 27, 21, 63, 189. 115. 1) 6;

2) 425.

116. 1) 1155;

2) 230.

МАТЕМАТИКА

113. 1) 2, 4, 10, 20, 5. 2) 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

117. 1) 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 64, 91, 98. 2) 17, 34, 51, 68, 85. 3) 23, 46, 69, 92. 118. 1) 16, 25, 36, 49, 64, 81. 2) 67, 64.

120. 5: 3 ⋅ 7 , 19 ⋅ 23 , 43 ⋅ 47 , 67 ⋅ 71 .

122. Може: 2 + 5 = 7.

2) Може: 11 ⋅11 = 121 .

ld z

123. 1) Може: 13 ⋅ 7 = 91 .

121. 2.

119. 8: 3 ⋅ 5 , 11 ⋅13 , 17 ⋅19 , 29 ⋅ 31 , 41 ⋅ 43 , 51 ⋅ 53 , 59 ⋅ 61 , 71 ⋅ 73 .

124. Може: 10 + 9 = 19 — просте число.

125. Ні, не існує. Периметр — число пране, а значить складене. 126. Гномів 7, самородків — 31.

127. 1) Може, якщо хоч один множник 3. 2) Може, якщо є два множники, які дорівнюють 3. 128. 1) Існують: 2, 3.

2) Ні.

3) Існують: 1, 2, 3.

129. 1) n = 1, 2n = 2;

2) Не існує.

3) n = 1, n ( n + 1) = 2 ;

130. Вірно, a просте число, бо має дільником тільки 1 і саме a. 131. 1009 : 6 = 168 ост. 1. 133. Sкв. = a2 = 1, 6 ⋅1, 6 = 2, 65 (см2); 2,56 : 0,8 = 3,2 (см) — довжина прямокутника. 134. vтеч = 28 + 1,6 = 29,6 (км/год); vпроти теч = 28 – 1,6 = 26,4 (км/год); 29, 6 ⋅1, 8 = 53, 28 (км) — відстань за течією; 26, 4 ⋅ 0, 9 = 23, 76 (км) — відстань проти течії; 53,28 + 23,76 = 77,04 (км) — весь шлях.

221

2) 0,3x = 211 − 46 ; 0, 3x = 165 ; x = 165 : 0, 3 ; x = 550 ; 4) 283 − x = 17, 01 : 0, 9 ; 283 − x = 18, 9 ; x = 283 − 18, 9 ; x = 264, 1 .

136. 1) 8, 16, 24, 32, 40; 2) 18, 36, 54, 72, 90; 3) n, 2n, 3n, 4n, 5n. 137. a :15 = 6n a = 6n ⋅15 ; a = 90n . Число a ділиться націло на 10. 138. a :6 = 12n ; a = 72n . Число a ділиться націло на 9. 139. 1) 34 = 81 ; 4) 27 = 128 ;

2) 62 = 36 ; 5) 73 = 343 ;

140. 1) 348, 1026, 12 120, 43 674. 3) 975, 12 120.

3) 53 = 125 ; 6) 112 = 121 .

2) 348, 975, 1026, 12 120, 43 674.

МАТЕМАТИКА

135. 1) 9x = 11, 7 ; x = 11,7 : 9 ; x = 1,3 ; 3) ( 35, 8 − x ) = 1, 3 ⋅ 2, 1 ; 35, 8 − x = 2, 73 ; x = 35, 8 − 2, 73 ; x = 33, 07 ;

141. Ні. Клітинок на дошці 8 × 8 = 64 . Перший хід коня: 64 – 4 = 60 (клітинок) залишилось йому пройти. Якби кінь ходив не буквою «Г», він побував би на всіх полях дошки по одному разу, бо число 60 кратне 3.

ld z

5. Найбільший спільний дільник

142. 1) НСД (12; 18 ) = 6 ; 3) НСД ( 6; 36 ) = 6 ; 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1

2) НСД ( 24; 30 ) = 6 ; 4) НСД ( 48; 64 ) = 8 . 64 2 32 2 16 2 82 42 22 1

5) НСД ( 35, 18 ) = 1 ;

6) НСД (14, 21, 28 ) = 7 .

143. 1) НСД (16, 24 ) = 8 ; 3) НСД (10, 15 ) = 5 ; 5) НСД ( 21, 49 ) = 7 ;

2) НСД (15, 60 ) = 15 ; 4) НСД ( 45, 56 ) = 1 ; 6) НСД (12, 18, 24 ) = 6 .

144. 1) 42; б) 27 588.

222

145. 1) НСД (72, 120 ) = 23 ⋅ 3 = 24 . 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1

120 60 30 15 3 1

2 2 2 5 3

3) НСД 924 2 462 2 231 3 77 7 11 11 1

( 924, 396 ) = 22 ⋅ 3 ⋅11 = 132 . 396 198 99 33 11 1

( 42, 105) = 21 .

111 3 37 37 1

105 5 21 3 77 1

ld z

146. 1) НСД 42 2 21 3 77 1

4) НСД (116, 111) = 1 . 116 2 58 2 29 29 1

2 2 3 3 11

МАТЕМАТИКА

2) НСД (792, 1188 ) = 22 ⋅ 9 ⋅11 = 396 . 792 2 1188 2 396 2 594 2 198 2 297 3 99 3 99 3 33 11 33 11 3 3 3 3 1 1

2) НСД (588, 252 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 . 588 2 252 2 294 2 126 2 147 3 63 3 49 7 21 3 77 77 1 1

3) НСД ( 680, 612 ) = 22 ⋅17 = 68 . 680 2 612 2 340 2 306 2 170 2 153 3 85 5 51 3 17 17 17 17 1 1

147. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

14 54 42 14 28 63

і і і і і і

21 65 55 70 39 42

— — — — — —

не взаємно прості, НСД (14, 21) = 7 ; взаємно прості, тому що НСД (54, 65 ) = 1 ; взаємно прості, НСД ( 42, 55 ) = 1 ; не взаємно прості, НСД (14, 70 ) = 14 ; взаємно прості, НСД ( 28, 39 ) = 1 ; не взаємно прості, НСД ( 63, 42 ) = 21 ;

223

148. Взаємно прості: 12 і 25; 14 і 33; 14 і 25; 33 і 25.

150.

2 4 7 8 11 13 14 ; ; ; ; ; ; . 15 15 15 15 15 15 15

151.

16 16 16 16 16 16 16 ; ; ; ; ; ; . 3 5 7 9 11 13 15

152. 1) НСД ( 364, 495 ) = 1 , тому 364, 495 — взаємно прості. 2) НСД ( 380, 399 ) = 19 . 399 3 380 2 133 19 190 2 7 7 95 5 1 19 19 1 2) НСД (1095, 738 ) = 3 ; 738 2 369 3 123 3 41 41

153. 1) НСД ( 945, 572 ) = 1 ; 1095 5 219 3 73 73 1

МАТЕМАТИКА

149. 15 і 16; 15 і 77; 16 і 21; 16 і 77.

ld z

154. 23, 24, 32, 34, 42, 43. Взаємно прості: 23 і 24, 23 і 32, 23 і 34, 23 і 42, 23 і 43, 24 і 43, 32 і 43, 34 і 43.

155. 8 і 9, 15 і 16, 21 і 22. 156. НСД (155, 62 ) = 31 . 155 5 31 31 1 У класі 31 учень.

62 2 31 31 1

157. НСД ( 96, 64 ) = 32 ; 96 : 32 = 3 (конт. з картоплею); 64 : 32 = 2 (конт. з капустою). 158. НСД ( 92, 138 ) = 46 ; 138 2 69 3 23 23 1

224

92 2 46 2 23 23 1

46 шкіл, які отримали однакову кількість словників кожного виду.

( 96, 72, 84 ) = 12 ;

96 2 84 2 72 2 48 2 42 2 36 2 24 2 21 3 18 2 12 2 77 93 62 1 33 33 1 1 12 однакових подарунків. 96 : 12 = 8 (шоколадок); 72 : 12 = 6 (апельсинів); 84 : 12 = 7 (бананів). Найбільша кількість однакових подарунків 12, у кожному подарунку 8 шоколадок, 6 апельсинів, 7 бананів.

МАТЕМАТИКА

159. НСД

160. НСД (156, 312, 390 ) = 2 ⋅ 3 ⋅13 = 78 ; 390 2 312 2 195 5 156 2 39 3 78 2 13 13 39 3 1 13 13 1 78 букетів можна скласти так, щоб у всіх букетах троянд кожного кольору було порівну.

156 2 78 2 39 3 13 13 1

ld z

161. 1) 592; 2) 295. Не можна за допомогою цих цифр записати число, кратне 3. 162. Цифру 9, 198.

163. 19 = 11 + 3 + 5.

164. x — двоцифрове число, яке було збільшене у 10 разів: 10x. 10x − x = 432 ; 9x = 432 ; x = 432 : 9 ; x = 48 . 165. 1. 1) 1, 9 : a = 38 ; a = 1, 9 : 38 = 0, 05 ; 2) 1, 9 + b = 2, 24 ; b = 2, 24 − 1, 9 = 0, 34 ; 3) 2, 24 : c = 56 ; c = 2, 24 : 56 = 0, 04 ; 2. 1) a + 2, 5 = 4 ; a = 4 − 2, 5 = 1, 5 ; 2) 4 ⋅ x = 1, 6 ; x = 1, 6 : 4 = 0, 4 ; 3) 1, 6 : y = 32 ; y = 1, 6 : 32 = 0, 05 . 166. 1) 48 : 40 = 1, 2 (год) — час. 2) 1,2 год = 1 год 12 хв = 72 хв 72 хв = 72 ⋅ 60 = 4320 сек. 3) 4320 : 2 = 2160 (змахів). 167. Можна, якщо розрізати кавун таким чином: Середній шматок матиме 3 кірки.

225

МАТЕМАТИКА

6. Найменше спільне кратне 168. 1) НСК ( 8, 12 ) = 24 ; 3) НСК ( 6, 12 ) = 12 ; 5) НСК ( 24, 36 ) = 72 ;

2) НСК (12, 16 ) = 48 ; 4) НСК (10, 21) = 210 ; 6) НСК ( 6, 8, 12 ) = 24 .

169. 1) НСК ( 6, 10 ) = 30 ; 3) НСК (14, 28 ) = 28 ; 5) НСК ( 32, 48 ) = 96 ;

2) НСК ( 9, 12 ) = 36 ; 4) НСК ( 8, 9 ) = 72 ; 6) НСК ( 8, 9, 15 ) = 90 .

(

)

170. 1) НСД 23 ⋅ 3 ⋅ 5, 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 30 ; НСК 23 ⋅ 3 ⋅ 5, 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 360 ;

(

)

(

)

2) НСД 24 ⋅ 3 ⋅11, 22 ⋅ 33 ⋅13 = 12 ; НСК 24 ⋅ 3 ⋅11, 22 ⋅ 33 ⋅13 = 208 .

(

)

171. 1) НСД 3 ⋅ 52 , 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 15 ; НСК 3 ⋅ 52 , 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 525 .

(

)

(

)

2) НСД 23 ⋅ 32 ⋅ 54 , 22 ⋅ 33 ⋅ 52 = 22 ⋅ 32 ⋅ 52 = 900 ; НСК 23 ⋅ 33 ⋅ 54 , 22 ⋅ 33 ⋅ 52 = 23 ⋅ 33 ⋅ 54 = 135 000 /

712. 1) НСК (56, 70 ) = 23 ⋅ 5 ⋅ 7 = 280 . 56 2 70 2 28 2 35 5 14 2 77 77 1 1

ld z

2) НСК (78, 792 ) = 23 ⋅ 32 ⋅13 ⋅11 = 10 296 . 792 2 78 2 396 2 39 3 198 2 13 13 99 3 1 33 3 11 11 1 3) НСК ( 320, 720 ) = 26 ⋅ 5 ⋅ 32 = 2880 . 320 2 720 2 160 2 360 2 80 2 180 2 40 2 90 2 20 2 45 5 10 2 93 55 33 1 1

226

4) НСК ( 252, 840 ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2520 . 840 2 252 2 420 2 126 2 210 2 63 3 105 5 21 3 21 3 77 77 1 1

( 42, 63) = 2 ⋅ 32 ⋅7 = 126 . 63 3 21 3 77 1

МАТЕМАТИКА

173. 1) НСК 42 2 21 3 77 1

2) НСК (120, 324 ) = 23 ⋅ 34 ⋅ 5 = 3240 . 324 2 120 2 612 2 60 2 81 3 30 2 27 3 15 3 93 55 33 1 1

( 924, 396 ) = 22 ⋅ 32 ⋅11⋅7 = 2772 .

396 2 198 2 99 3 33 3 11 11 1

ld z

4) НСК 924 2 462 2 231 3 77 11 7 7 1

3) НСК ( 675, 945 ) = 52 ⋅ 33 ⋅ 7 = 4725 . 675 5 645 5 135 5 189 3 27 3 63 3 93 21 3 33 77 1 1

174. 1) НСК (12, 15 ) = 60 ; 175. 1) НСК

( 9, 6 ) = 18 ;

176. 1) НСК (1, 2, 3, 4, 5 ) = 60 ; 3) НСК ( 2, 3, 5, 7, 11) = 2310 . 177. 1) НСК ( 2, 4, 6, 8, 10 ) = 120 ;

2) НСК (100, 125 ) = 500 . 2) НСК ( 20, 25 ) = 100 .

2) НСК (1, 3, 5, 7, 9 ) = 945 ;

2) НСК

( 4, 6, 8, 9) = 72 .

178. НСК (15, 50 ) = 150 . 179. НСК ( 60, 45 ) = 180 . Через 180 с після початку руху велосипедисти знову зустрінуться в місці старту. Перший велосипедист пройде по велотреку 180 : 60 = 3 круги, а другий: 180 : 45 = 4 круги. 180. НСК ( 2400, 2800 ) = 16 800 . Відповідь: На відстані 16 800 м від початку походу місця їх зупинок співпадуть. 181. НСК ( 2, 3, 5 ) = 30 . Відповідь: 30 мандаринів було у ящику. 182. НСК ( 3, 4, 5 ) = 60 . Відповідь: Вони зустрінуться через 60 днів у суботу.

227

184. Остача від ділення першого числа на 5 дорівнює 3. 185. 1) 24 – 8 = 16 (год); 2) 11, 52 : 16 = 0, 72 (тис. разів за 1 годину); 3) 0, 72 ⋅ 60 = 43, 2 (тис. разів за 1 годину). 186.

5 — сині. 14 3 = 6 (червоних кульок у коробці). 7

187. 14 ⋅ 188. 6 : 189. 1)

3 6 ⋅7 = = 14 (кульок у коробці). 7 3 1 ⋅ 90 = 30 ; 3

1 ⋅180 = 45° ; 4

5 ⋅ 90 = 50° ; 9

7 ⋅180 = 105° . 12

12 5 53 ; ; . 17 13 54

12 5 15 2 374 2 53 5 =1 ; =1 ; = 37 ; =6 ; 7 7 13 13 10 5 8 8

190. 1) Правильні дроби:

МАТЕМАТИКА

183. НСК (15, 20 ) = 60 . Число n кратне 60 і задовольняє умову 600 < n < 700 — дорівнює 11, тому цукерок було 60 ⋅11 = 660 .

ld z

2) Неправильні дроби: 72 1 . =1 71 71 1

191. 0

1 6

3 4 5 6 7 6 6 6 6 6

11 6

3 x

12 6

192. Усього фруктів: 155. Якщо беремо 2 різних фрукти, то матимемо 70 бананів і 15 апельсинів. Знову беремо 15 бананів + 15 апельсинів, на їхньому місці виростають 15 бананів і залишилося 55 бананів. На місці 70 бананів виростає 35 апельсинів. Беремо 17 пар апельсинів і 1 апельсин. Маємо 18 апельсинів. З них виросте 9 апельсинів. З них маємо 5 апельсинів. З них вийде 3 апельсини. З них — 2 апельсини. З них — 1 апельсин. Відповідь: апельсин.

§ 2. Звичайні дроби 7. Основна властивість дробу 2 10

193. 0

228

1 20

3 10

4 10

5 10

6 10

3 4 5 6 20 20 20 20

8 20

10 20

12 13 20 20

2 5

1 2

1 5

1 4

3 5

9 10 15 20 3 4

18 19 20 20

6 12 3 15 3 9 18 . = = ; = ; = 10 20 5 20 4 10 20 1

194. 0

1 2 3 4 18 18 18 18

6 7 18 18

9 10 18 18

12 18

15 16 18 18

18 18

1 2 2 4 3 6 2 1 5 10 8 16 1 3 = ; = ; = = = ; = ; = ; = ; 9 18 9 18 9 18 6 3 9 18 9 18 6 18

МАТЕМАТИКА

4 2 1 5 1 3 6 4 8 2 5 10 2 1 = = ; = ; = ; = = ; = = = ; 20 10 5 20 4 10 20 10 20 5 10 20 4 2

3 9 1 4 12 2 5 15 6 18 = = ; = = ; = ; = =1 . 6 18 2 6 18 3 6 18 6 18 1 4 1 4 5 20 4 16 10 40 = ; = ; = ; = ; = . 2 8 3 12 6 24 7 28 19 76

196.

3 1 12 4 30 10 99 33 = ; = ; = ; = . 9 3 33 11 45 15 240 80

2 6 10 28 = = = ; 5 15 25 70 13 26 130 104 4) = = = ; 7 14 70 56 30 5 10 15 6) = = = . 48 8 16 24 2)

ld z

1 2 6 7 = = = ; 3 6 18 21 6 12 30 36 = = = ; 3) 11 22 55 66 80 8 2 10 = = = ; 5) 120 12 3 15

197. 1)

195.

1 7 = . Якщо чисельник і знаменник даного дробу помножити на 6 42 одне і те саме натуральне число (на 7), то отримаємо дріб, що дорівнює даному.

198. 1)

100 5 = . Поділили чисельник і знаменник на 20. 240 12

3 33 = . Помножили чисельник і знаменник на 11. 4 44

6 1 = . Помножили чисельник і знаменник на 6. 54 9

199. 1) 3)

200. 1) 3)

1 2 3 3 = = = ; 2 14 21 35

2 4 6 8 10 = = = = ; 5 10 15 20 25

7 14 21 28 = = = ; 11 22 33 44

3 6 9 15 = = = . 12 24 36 60

3 9 = — вірно. 8 24

4 16 = — хибно. 5 25

72 8 = — хибно. 90 9

42 6 = — вірно. 49 7

229

1 7 = ; 6 42

3 18 = ; 7 42

5 15 = ; 14 42

2 28 = ; 3 42

16 32 = ; 21 42

1 21 = . 2 42

1 12 = ; 6 72

11 99 = . 8 72

202. 1) 4)

2 48 = ; 3 72 8 64 = ; 9 72

2) 5)

5 90 = ; 4 72 17 34 = ; 36 72

203. 1) 3 =

18 ; 6

2) 13 =

65 ; 5

3) 1 =

204. 1) 5 =

40 ; 8

2) 10 =

140 ; 14

3) 16 =

27 3 = ; a =5. 45 a

206. 1)

a 6 = ; a=2. 5 15

3) 207. 1)

56 8 = ; a = 10 . 70 a x+3 4 = ; 65 13

x + 3 = 20 ; x = 20 − 3 ; x = 17 .

208. 1)

7 49 = ; a=4 . a 28

a 5 = ; a = 20 . 32 8

x−2 5 = ; 36 12 x − 2 = 15 ; x = 15 + 2 ; x = 17 .

256 . 16

a 9 = ; a =1 . 6 54

29 . 29

205. 1)

1 4 = ; a = 48 . 12 a

a 6 = ; a = 72 . 60 5

ld z

МАТЕМАТИКА

201. 1)

7 21 = ; x + 4 60

x + 4 = 20 ; x = 20 − 4 ; x = 16 .

x − 5 36 = ; 23 92 x −5 = 9 ; x = 9+5 ; x = 14 .

5x − 8 18 = ; 5 45 5x − 8 = 2 ; 5x = 2 + 8 ; 5x = 10 ; x = 10 : 5 ; x=2 .

4 36 = ; 3x − 11 63 3x − 11 = 7 ; 3x = 7 + 11 ; 3x = 18 ; x = 18 : 3 ; x=6 .

209. 8. 210. Це число кратне числам: 6, 15, 90, 3, 30, 10, 18, 45. 211. 1) 24 год = 1440 хв 1440 ⋅ 75 = 108 000 (ударів). Серце протягом доби робить 108 000 ударів. 230

2) 8640 : 24 = 360 (л) — перекачує серце за 1 годину. 360 : 60 = 60 (л) — перекачує серце за 1 хвилину. A 212. 1) D

МАТЕМАТИКА

2) A B

C D

∠ABD — прямий, ∠CBD — тупий.

∠ABD — прямий; ∠CBD — гострий.

213. 1) 9 + 3 = 12 (год) — час, який був у путі перший теплоход до зустрічі. 2) 18 · 12 = 216 (км) — відстань від пристані до зустрічі теплоходів. 3) 216 : 9 = 24 (км/год) — швидкість другого теплохода.

60 км/год Рівне

І автомобіль через 3 год

214.

Кривий Ріг

7 год

700 км

ld z

1) 60 ⋅ 7 = 420 (км) — відстань до зустрічі першого автомобіля. 2) 700 − 420 = 280 (км) — відстань до зустрічі другого автомобіля. 3) 7 – 3 = 4 (год) — час до зустрічі другого автомобіля. 4) 280 : 4 = 70 (км/год) — швидкість другого автомобіля. 215. Ні, не можна. Треба виконати 34 постріли.

8. Скорочення дробів

216. 1)

5 1 = ; 15 3

6 3 = ; 20 10

14 2 = ; 35 5

21 7 = ; 39 13

10 1 = ; 60 6

28 1 = ; 84 3

56 87 = ; 72 9

20 4 = ; 25 5

120 2 = ; 180 3

10)

217. 1)

3 1 = ; 12 4

4 1 = ; 12 3

6 1 = ; 54 9

25 5 = ; 70 4

26 2 = ; 65 5

12 1 = ; 60 5

36 3 = ; 48 4

35 1 = ; 105 3

480 2 = ; 720 3

10)

204 102 2 = = . 306 153 3

218. Нескоротні дроби:

11 5 13 ; ; . 12 42 36

207 23 = . 243 27

231

28 26 22 ; ; . 45 51 69

219. Нескоротні дроби: 4 2 = ; 10 5

5 1 = ; 10 2

3) 0, 12 =

12 3 = ; 100 25

4) 0, 84 =

84 21 = ; 100 25

5) 0, 16 =

16 4 = ; 100 25

6) 0, 59 =

59 ; 100

8) 0, 96 =

96 24 = ; 100 25

7) 0, 128 =

128 16 = ; 1000 125

9) 0, 2348 =

221. 1)

2348 587 = ; 10 000 2500

10) 0, 975 =

44 11 1 5 = ; = ; 56 14 2 10

975 39 = . 1000 40

5 20 81 27 = ; = . 4 16 99 33

24 8 1 6 = ; = . 27 9 10 60

1 4 год; год = 15 60 36 3 год = год; 3) 36 хв = 60 5 1 72 год. год = 1 5) 72 хв = 5 60

1 год; 6 54 9 4) 54 хв = год = год; 60 10

3 1 д = доби; 24 8 12 1 д = доби; 3) 12 год = 24 2 21 7 д = доби. 5) 21 год = 24 8

8 д = 24 16 4) 16 год = д = 24

222.

2) 0, 5 =

МАТЕМАТИКА

220. 1) 0, 4 =

2) 10 хв =

ld z

223. 1) 4 хв =

224. 1) 3 год =

225. 1) 4° =

4 1 = ; 180 45

3) 27° =

226. 1) 2° =

227. 1)

1 доби; 3 2 доби; 3

12 1 = ; 180 15

4) 126° =

126 7 = ; 180 10

153 17 = . 180 20

2 1 = ; 90 45

2) 15° =

15 1 = ; 90 6

75 5 = ; 90 6

5) 54° =

54 3 = . 90 5

4) 75° =

232

2) 12° =

27 3 = ; 180 20

5) 153° =

2) 8 год =

7 3 10 5 + = = ; 12 12 12 6

3) 36° =

32 6 26 − = ; 39 39 39

36 2 = ; 90 5

228. 1)

17 13 30 2 +3 =7 =7 ; 45 45 45 3

16 12 28 4 + = = ; 63 63 63 9

3) 8

4) 9

34 38 72 8 +2 = 10 = 10 ; 81 81 81 9

3 5 7 11 13 17 ; ; ; ; ; . 18 18 18 18 18 18

230.

3 7 9 11 13 17 19 ; ; ; ; ; ; . 20 20 20 20 20 20 20

231. 1)

4 ⋅5 2 = ; 25 ⋅ 6 15

3 ⋅ 38 2 = ; 19 ⋅ 27 9

6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 40 7 = =3 ; 7 ⋅ 9 ⋅11 ⋅12 11 11

9 ⋅13 + 9 ⋅ 2 9 (13 + 2 ) 15 5 = = ; = 54 ⋅13 54 ⋅13 6 ⋅13 26

27 ⋅15 − 7 ⋅ 27 27 (15 − 7 ) 3 ⋅ 8 = =6 ; = 9 ⋅15 − 9 ⋅11 9 (15 − 11) 4

24 ⋅ 2 + 6 ⋅ 24 24 ( 2 + 6 ) 2 ⋅ 8 = =1 . = 60 ⋅ 7 − 5 ⋅ 60 60 (7 − 5 ) 5 ⋅ 2

8 ⋅13 4 1 = =1 ; 39 ⋅ 2 3 3

49 17 32 4 −3 = = . 56 56 56 7

2⋅3⋅ 4 ⋅5 1 = ; 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅7 7

3 ⋅16 − 8 ⋅ 3 8 = ; 27 9

ld z

12 ⋅ 21 12 = ; 35 ⋅15 25

72 ⋅11 4 = ; 33 ⋅ 30 5

232. 1)

53 19 34 2 − = = ; 85 85 85 5

4) 3

229.

59 24 35 5 −5 =4 =4 . 63 63 63 9

8 ⋅ 3 + 8 ⋅ 23 8 ( 3 + 23 ) 26 13 1 = = =4 ; = 3 ⋅16 3 ⋅16 3⋅2 3 3

17 ⋅ 48 17 ⋅ 48 17 ⋅ 3 51 3 = = =6 ; = 17 ⋅16 − 9 ⋅16 16 (17 − 9 ) 8 8 8

14 ⋅ 5 − 14 ⋅ 3 14 (5 − 3 ) 2⋅2 1 = = . = 21 ⋅ 9 + 21 ⋅ 3 21 ( 9 + 3 ) 3 ⋅12 9

234.

233. 1)

МАТЕМАТИКА

3) 4

25 ⋅17 ⋅ 44 11 = ; 51 ⋅ 8 ⋅ 75 18

6a 1 = ; 18a 3

32b 8 = b; 60 15

96c 4 = ; 72c 3

45 5 = ; 9d d

39mn 39 = ; 91mn 91

95ab 5a 1 a = =2 ⋅ . 38bc 2c 2 c

x :2 2 x 2⋅2 = ; = ; x = 4 ; 2y = 6 ; y = 3 . 6:2 y 6 2y

233

235.

21 : 3 b 21 3b = ; = ; 3b = 21 ; b = 7 ; a = 12 . a :3 4 a 12

МАТЕМАТИКА

236. 1) 1 023 456 798;

2) 9 876 543 210.

237. I поїзд — 324 км x год II поїзд — 108 км ( x − 4 ) год 324 108 = x x−4 324 ( x − 4 ) = 108x ; 324x − 1296 = 108x ; 216x = 1296 ; x = 6 (год); 6 – 4 = 2 (год). Перший поїзд був у дорозі 6 год, а другий 2 год. 238.

( x + 5, 7 ) ⋅ 3, 6 = 120, 6 ;

x + 5, 7 = 120, 6 : 3, 6 ; x + 5, 7 = 33, 5 ; x = 33, 5 − 5, 7 ;

x = 27, 8 . 239.

( x − 3, 8 ) ⋅ 5, 5 = 34,1 ;

240.

1 5 9 10 14 16 ; ; ; ; ; . 19 19 19 19 19 19

243. 1) 2)

4 7 <1 ; 4) >1 ; 7 4 5 121 225 7 7) 2 > ; < ; 8) 2 < . 3 165 165 3 3)

ld z

242. 512.

8 8 < ; 19 9 11 15 6) < ; 15 11 2)

10 8 > ; 21 21 11 ; 5) 1 > 15

241. 1)

x − 3, 8 = 34, 1 : 5, 5 ; x − 3, 8 = 6, 2 ; x = 6, 2 + 3, 8 ; x = 10 .

1 10 3 15 4 16 9 18 = ; = ; = ; = ; 2 20 4 20 5 20 10 20 3 27 1 6 17 14 8 32 = ; = ; = ; = ; 4 36 6 36 18 36 9 36

1 32 2 32 3 24 5 10 = ; = ; = ; = ; 2 64 4 64 8 64 32 64

1 20 1 25 7 28 63 126 = ; = ; = ; = . 5 100 4 100 25 100 50 100

al 3)

244.

5 40 5 30 7 21 9 18 10 40 10 160 5 60 = ; = ; = ; = ; = ; = ; = . 6 48 8 48 16 48 24 48 12 48 3 48 4 48

245. 1) 4)

7 21 = ; 9 27

3 24 = ; 5 40

4 24 = ; 13 78

12 72 = ; 17 102

4 12 = ; 23 69

5 30 = . 24 144

246. 1) НСК

234

2) НСК

( 4; 6 ) = 12 , ( 9; 12) = 36 ,

1 3 1 2 = і = ; 4 12 6 12 4 16 7 21 = і = ; 9 36 12 36

5 15 7 = і ; 6 18 8

( 8; 15) = 120 ,

3 45 4 32 = і = ; 8 120 15 120

5) НСК ( 21; 5 ) = 105 ,

1 5 3 63 = і = ; 21 105 5 105

6) НСК (15; 12 ) = 60 ,

2 8 11 55 = і = ; 15 60 12 60

7) НСК (12; 18 ) = 36 ,

1 3 1 2 = і = ; 12 36 18 36

8) НСК ( 24; 18 ) = 72 ,

1 3 1 4 = і = ; 24 72 18 72

4) НСК

5) 7) 9)

3 9 = ; 10 30 3 39 і = ; 4 52 2 4 і = ; 21 42 1 9 1 6 і = і = ; 4 36 6 36 і

5 45 7 49 45 49 5 7 = і = , < , тому < ; 7 63 9 63 63 63 7 9 11 33 17 34 33 34 11 17 = і = , < , тому < ; 20 60 30 60 60 60 20 30 2 4 1 3 4 3 2 1 = і = , > , тому > ; 9 18 6 18 18 18 9 6 5 10 3 9 10 9 5 3 = і = , > , тому > ; 6 12 4 12 12 12 6 4 8 4 8 8 3 8 4 і = , = , тому = ; 38 19 38 38 18 38 19 7 77 8 72 77 72 7 8 = і = , > , тому > ; 9 9 11 99 99 99 9 11 8 32 7 35 32 35 8 7 = і = , < , тому < ; 25 100 20 100 100 100 25 20 5 15 4 16 15 16 5 4 = і = , < , тому < ; 12 36 9 36 36 36 12 9 3 9 5 10 9 10 3 5 = і = , < , тому < . 14 42 21 42 42 42 14 21

248. 1)

2 4 = 15 30 4 16 = 13 52 9 27 = 14 42 1 4 = 9 36

3 9 5 10 = і = ; 2) 8 24 12 24 10 20 13 = і ; 4) 17 34 34 1 7 1 9 = і = ; 6) 9 63 7 63 1 3 1 2 = і = ; 8) 20 60 30 60 3 6 9 36 7 49 = і = і = . 28 56 14 56 8 56

ld z

247. 1)

3 12 3 15 3 30 = і = і = . 10 40 8 40 4 40

9) НСК (10; 8; 4 ) = 40 ,

МАТЕМАТИКА

3) НСК ( 6; 18 ) = 18 ,

4) 5) 6) 7) 8) 9)

235

МАТЕМАТИКА

3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

5 7 7 7 < ; 2) < ; 16 15 13 16 3 9 1 4 9 4 3 1 = і = , > , тому > ; 8 24 6 24 24 24 8 6 5 25 7 28 25 28 5 7 = і = , < , тому < ; 8 40 10 40 40 40 8 10 3 9 9 9 9 3 9 = і , = , тому = ; 7 21 21 21 21 7 21 3 24 5 25 24 25 3 5 = і = , < , тому < ; 5 40 8 40 40 40 5 8 7 21 11 22 21 22 7 11 = і = , < , тому < ; 12 36 18 36 36 36 12 18 10 20 9 27 20 27 10 9 = і = , < , тому < ; 21 42 14 42 42 47 21 14 13 26 9 27 26 27 13 9 = і = , < , тому < . 15 30 10 30 30 30 15 10

249. 1)

1 3 = . Чисельник дробу повинен бути більше за 3. 2 6 4 5 Наприклад, , і т. д. 6 6 1 5 = . Дріб, у якого чисельник більше за 5. 2) 2 10 6 7 8 Наприклад, , , і т. д. 10 10 10 1 11 = . Дріб, у якого чисельник більше за 11. 3) 2 22 12 13 14 Наприклад, , , і т. д. 22 22 22

ld z

250. 1)

1 2 = . Чисельник дробу повинен бути більше за 2. 6 12 3 4 Наприклад, , і т. д. 12 12 1 5 = . Чисельник дробу більше за 5. 2) 6 30 6 7 Наприклад, , , і т. д. 30 30 1 11 = . Чисельник дробу більше за 11. 3) 6 66 12 13 14 Наприклад, , , і т. д. 66 66 66

251. 1)

252. Зведемо всі дроби до спільного знаменника: 1)

236

7 14 3 9 1 6 5 20 6 9 14 20 = , = , = , = . Тоді , , , . 12 24 8 24 4 24 6 24 24 24 24 24

Відповідь:

1 3 7 5 , , , . 4 8 12 6

3 45 8 32 5 25 9 27 25 27 32 45 = , = , = , = . Тоді , , , . 4 60 15 60 12 60 20 60 60 60 60 60 5 9 8 3 , , , . Відповідь: 12 20 15 4 253. Зведемо всі дроби до спільного знаменника: 4 16 1 9 7 21 13 26 = , = , = , = . 9 36 4 36 12 36 18 36 26 21 16 9 , , , . Маємо: 36 36 36 36 13 7 4 1 , , , . Отже: 18 12 9 4

28 56 5 50 7 63 13 65 8 48 = , = , = , = ; = . 45 90 9 90 10 90 18 90 15 90

65 63 56 50 48 , , , . 90 90 90 90 90 13 7 28 5 8 , , , ; . Отже: 18 10 45 9 15 Маємо:

МАТЕМАТИКА

7 частини тістечка, а Солодкоїжка — 12 13 7 35 13 39 35 39 частин. = , = . Порівняємо: < . 20 12 60 20 60 60 60 7 13 < . Отже, 12 20 Відповідь: кращий апетит у Солодкоїжки.

ld z

254. За 1 хвилину Ласунчик з’їдає

9 кг, а другої головки 255. Маса одного кусочка першої головки сиру 16 13 сиру — кг. Порівняємо, який кусочок важчий. 20 9 45 13 52 45 52 9 13 = і = . < , отже < . 16 80 20 80 80 80 16 20 Відповідь: порадимо з’їсти кусочок другої головки сиру.

256. Нехай відстань між двома містами дорівнює 1. Тоді за одну годину лег1 3 частини відстані, а за 3 години . Вантажна кова машина проїде 4 4 1 5 відстані, а за 5 годин — . машина за одну годину проїде 7 7 3 5 Порівняємо: і . 4 7 3 21 5 20 21 20 3 5 = , = , > . Отже, > . 4 28 7 28 28 28 4 7 Відповідь: легкова машина за 3 години проїде більшу відстань, ніж вантажна за 5 годин. 237

МАТЕМАТИКА

257. Нехай відстань між двома пристанями дорівнює 1. Тоді за 1 годину 1 1 теплохід проїде відстані, а катер — . За 7 годин теплохід проїде 9 6 7 5 7 5 відстані, а катер за 5 годин — . Порівняємо і . 9 6 9 6 7 14 5 15 14 15 = і = , < . 9 18 6 18 18 18 7 5 < . Отже, 9 6 Відповідь: відстань, яку пройде теплохід за 7 годин, менша, ніж відстань, яку пройде катер за 5 годин. 258. Знайдемо найменший спільний знаменник всіх дробів. 28 = 7 ⋅ 22 ; 42 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2 , 70 = 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ; 14 = 2 ⋅ 5 . НСК (7; 28; 2; 42; 70; 14 ) = 22 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 3 = 420 . 3 180 11 165 1 210 = , = , = , 7 420 28 420 2 420 5 3 дроби , Отже, більш за дріб 14 7

13 = 42 11 , 28

130 23 138 5 150 , = і = . 420 70 420 14 420 1 . 2

Тоді

259. Зведемо всі дроби до найменшого спільного знаменника. Для цього знайдемо НСК (112; 28; 14; 8; 4; 56 ) = 112 .

260. 1)

8 x 19 < < . Отже x = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. 19 19 19 1 x 5 6 x 15 < < , < < . Отже x = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. 3 18 6 18 18 18

ld z

9 36 3 24 3 42 1 28 19 38 = , = , = ; = і = . 28 112 14 112 8 112 4 112 56 112 19 9 3 1 дроби , , . Отже, менші від дробу 56 28 14 4

12 x 23 < < , x = 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22. 23 23 23 4 x 11 16 x 33 < < , < < . 2) 9 36 12 36 36 36 Отже, x приймає значення від 17 до 32 включно.

261. 1)

262. Зведемо всі дроби до знаменника 48. 1 24 3 18 5 40 9 27 7 14 11 22 = , = , = , = , = , = . 2 48 8 48 6 48 16 48 24 48 24 48 1 3 9 7 11 , , , , . Тоді x може дорівнювати 2 8 16 24 24 263. Зведемо всі дроби до найменшого спільного знаменника 14 = 2 ⋅ 7 ; 8 = 23 ; 28 = 22 ⋅ 7 ; 24 = 23 ⋅ 3 ; 56 = 23 ⋅ 7 . НСК (7; 14; 8; 28; 24; 56 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 . 238

3 72 6 144 9 108 5 105 = ; = ; = ; = . 7 168 7 168 14 168 8 168 15 90 11 77 19 57 37 111 = ; = ; = ; = . 28 168 24 168 56 168 56 168 57 111 3 9 5 15 11 <x< , отже, x може дорівнювати , , , , . Тоді 168 168 7 14 8 28 24

1 12 1 16 12 16 = ; = . Тоді <x< . 4 48 3 48 48 48 13 14 15 , , . Відповідь: 48 48 48

265. 1)

17 1 1 16 20 18 19 , <x< , <x< ; x= або . 80 5 4 80 80 80 80 25 1 1 24 28 26 27 , <x< , <x< ; x= , . 168 168 4 6 168 168 168

28 1 1 27 30 29 , <x< , <x< ; x= . 270 10 9 270 270 270

10 3 4 9 12 11 , <x< , <x< ; x= . 21 7 7 21 21 21

264.

МАТЕМАТИКА

Тоді

9 1 1 8 12 10 11 , <x< , <x< ; x= , . 24 3 2 24 24 24 24

13 3 4 12 16 14 15 , <x< , <x< ; x= , . 20 5 5 20 20 20 20

98 98 99 < x <1 , <x< . 99 99 99

ld z

266. 1)

Помножимо чисельник і знаменник дробів на 4: 393 392 396 394 395 , <x< . x= , . 396 396 396 396 396

267. Дріб

171171 171171 171 скоротимо на 1001: = . 181181 181181 181

x 8 3x 8 < , < , 3x < 8 . 17 51 51 51 Відповідь: x = 1; 2. x 1 x 5 < , < , x<5. 2) 65 13 65 65 Відповідь: x = 1; 2; 3; 4. x 3 x 1 < , < , x <1 . 3) 5 15 5 5 Відповідь: натуральних розв’язків немає. 1 x 1 2x < , < , 1 < 2x . 4) 16 8 16 16 Відповідь: будь-яке натуральне число.

268. 1)

239

269. 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42 .

МАТЕМАТИКА

270.

1 2 3 4 5 6 , , , , , , 12 12 12 12 12 12 2 1 3 1 4 1 6 = ; = ; = ; = 12 6 12 4 12 3 12

7 8 9 10 11 , , , , . 12 12 12 12 12 1 8 2 9 3 10 5 ; = ; = ; = . 2 12 3 12 4 12 6

271. Нехай х — менше число, тоді більше — 10х. х + 10 х = 374 11х = 374 х = 34 — менше число; 10 · 34 = 340 — більше число.

5 3 8 + = ; 11 11 11 5 5 =6 ; 3) 6 + 13 13 11 5 6 1 −1 =3 =3 ; 5) 4 18 18 18 3 11 5 − ; 16 16 6 3 x= = ; 16 8

17 3 11 −x = + ; 28 28 28

13 4 + ; 25 25 17 x= ; 25

2) x =

ld z

274. 1) x =

7 4 3 − = ; 15 15 15 4 2 6 4) 2 +5 =7 ; 13 13 13 2 5 9 2 5 6 2 6) 7 − 2 = 6 + − 2 = 4 = 4 . 9 3 9 9 9 9 9 2)

273. 1)

272. 1) 4, 5 ⋅1, 4 = 6, 3 (кг) — маса кавуна; 2) 6,3 – 4,5 = 1,8 (кг). Відповідь: на 1,8 кг маса дині менша від маси кавуна.

6 18 7 +x= − ; 35 35 35

17 14 −x = ; 28 28

6 11 +x= ; 35 35

17 14 − ; 28 28 3 x= ; 28

11 6 − ; 35 35 5 1 x= = . 35 7

275. Молока у чашці з кавою більше, ніж кави в чашці з молоком.

10. Додавання і віднімання дробів 3 4 27 28 55 + = + = ; 7 9 63 63 63

8 7 64 63 1 − = − = ; 9 8 72 72 72

13 2 13 10 3 1 − = − = = ; 15 3 15 15 15 5

20 3 20 9 29 8 + = + = =1 ; 21 7 21 21 21 21

17 11 34 33 1 − = − = ; 18 12 36 36 36

7 1 21 8 29 + = + = ; 16 6 48 48 48

276. 1)

240

2 5 4 15 19 1 10 9 20 27 47 5 + = + = =1 ; 8) + = + = =1 ; 9 6 18 18 18 18 21 14 42 42 42 42

7 4 35 12 23 − = − = ; 9 15 45 45 45

9 3 15 18 12 15 21 3 − + = − + = = ; 14 7 28 28 28 28 28 4

11)

1 1 1 4 6 3 7 + − = + − = ; 6 4 8 24 24 24 24

12)

13 29 8 65 58 48 55 11 − + = − + = = . 18 45 15 90 90 90 90 18

9 2 45 22 23 − = − = ; 11 5 55 55 55

13 9 26 9 17 − = − = ; 16 32 32 32 32

3 5 3 10 13 + = + = ; 28 14 28 28 28

14 7 28 21 7 − = − = ; 15 10 30 30 30

3 1 9 4 13 + = + = ; 8 6 24 24 24

9 7 36 35 1 − = − = ; 25 20 100 100 100

37 17 148 119 29 − = − = ; 42 24 168 168 168

11 3 22 9 13 − = − = ; 24 16 48 48 48

10)

1 3 5 12 17 + = + = ; 4 5 20 20 20

9 7 3 27 14 18 23 + − = + − = ; 16 24 8 48 48 48 48

277. 1)

1 1 1 4 2 3 5 − + = − + = ; 3 6 4 12 12 12 12

12)

2 4 5 18 12 25 5 1 + − = + − = = . 5 15 9 45 45 45 45 9

ld z

11)

25 45 5 3 5 12 17 1 + = + = + = =1 ; 80 60 16 4 16 16 16 16

278. 1)

МАТЕМАТИКА

10)

279.

20 26 4 13 12 13 25 + = + = + = ; 45 54 9 27 27 27 27

36 12 350 3 3 7 12 30 35 7 + − = + − = + − = ; 300 40 1000 25 10 20 100 100 100 100

14 39 15 7 13 3 35 26 9 18 3 − + = − + = − + = = ; 24 90 100 12 30 20 60 60 20 60 10

42 20 28 7 5 7 14 25 7 32 4 + − = + − = + − = = ; 120 32 160 20 8 40 40 40 40 40 5

45 33 20 5 11 5 30 11 15 4 1 − − = − − = − − = = . 72 144 64 8 48 16 48 48 48 48 12

3 9 4 8 9 8 1 = , = ; − = (л). 10 30 15 30 30 30 30 Відповідь: у першому глечику сметани більше, ніж у другому на

1 л. 30 241

МАТЕМАТИКА

280.

8 64 13 65 65 64 1 = , = ; − = (м). 25 200 40 200 200 200 200 1 Відповідь: Щукін піймав довшу рибу на м. 200

281. 1) 2)

11 2 33 8 25 − = − = (год) — миття посуду; 20 15 60 60 60 11 25 33 25 58 29 + = + = = (год). 20 60 60 60 60 30

Відповідь:

29 години. 30

282. Розв’язання: 2 2 10 6 16 + = + = (меду) — з’їв на обід; 1) 9 15 45 45 45 2 16 10 16 26 + = + = . 9 45 45 45 45

Відповідь:

5 1 10 3 13 +7 = 4 +7 = 11 ; 18 9 6 18 18

11 13 33 26 59 23 +8 =6 +8 = 14 = 15 ; 36 35 12 18 36 36

3 7 1 9 14 4 27 9 +1 +3 =2 +1 +3 =6 =6 . 48 48 48 16 16 24 12 48

ld z

2) 6

26 меду з’їв Вінні-Пух на сніданок і обід разом. 45

283. 1) 4

3) 2

284. 1) 5

7 3 35 12 47 7 +6 =5 +6 = 11 = 12 ; 8 10 40 40 40 40

3 5 27 40 67 +2 =6 +2 =8 ; 8 9 72 72 72 8 3 2 16 9 12 37 +4 +2 =1 +4 +2 =7 . 3) 1 21 14 7 42 42 42 42

2) 6

9 3 9 6 3 −3 = 8 −3 =5 ; 14 7 14 14 14 5 7 10 7 3 1 −3 =7 −3 =4 =4 ; 2) 7 12 24 25 24 24 8 11 13 33 26 7 −5 = 12 −5 =7 ; 3) 12 12 18 36 36 36 7 2 35 6 29 = 19 −3 = 11 . 4) 19 − 8 9 15 42 45 45

285. 1) 8

286. 1) 1 −

242

17 29 17 12 = − = ; 29 29 29 29

3) 13 −

7 16 3 13 = 12 −7 =5 ; 16 16 16 16

2) 4 −

7 19 7 12 =3 − =3 ; 19 19 19 19

4) 15 − 12

16 17 16 1 = 14 − 12 =2 . 17 17 17 17

13 55 13 42 = − = ; 55 55 55 55

3) 10 − 5

288. 1) 3

2) 6 −

12 35 12 23 −9 −5 =4 ; 35 35 35 35

9 20 9 11 =5 − =5 ; 20 20 20 20

4) 8 − 4

5 22 5 17 =7 −4 =3 . 22 22 22 22

1 1 13 2 11 − =2 − =2 ; 12 6 12 12 12

2) 8

7 9 14 27 74 27 47 −2 =8 −2 =7 −2 =5 ; 60 60 60 30 20 60 60

3) 7

10 21 20 63 122 63 59 −4 =7 −4 =6 −4 =2 ; 102 102 102 51 34 102 102

4) 5

1 3 2 3 10 3 7 −1 = 5 −1 = 4 −1 = 3 . 8 8 8 4 8 8 8

2) 6

3 5 3 10 19 10 9 − =4 − =3 − =3 ; 16 8 16 16 16 16 16

4 6 28 54 91 54 37 −3 = 6 −3 =5 −3 =2 ; 63 63 63 9 7 63 63

3) 10

11 19 33 38 105 38 67 −8 = 10 −8 =9 −8 =1 ; 72 72 72 24 36 72 72

1 3 2 9 14 9 5 −5 = 9 −5 =8 −5 =3 . 12 12 12 6 4 12 12

ld z

4) 9

289. 1) 4

7 4 −7 ; 10 15 13 x=2 ; 30

2) x = 8

6 3 −6 ; 7 11 45 x=4 ; 77

2) x = 9

9 3 −4 ; 14 7 3 x=4 ; 14

3) x = 5

5 4 −2 ; 36 9 25 x=6 ; 36

3) x = 7

290. 1) x = 9

291. 1) x = 10

292. 1) 0, 8 −

1 8 +3 ; 12 9 35 x=8 . 36 9 17 +5 ; 20 60 11 x = 12 . 15

5 8 5 4 5 28 25 3 = − = − = − = ; 7 10 7 5 7 35 35 35

2) 0, 36 + 3) 7

МАТЕМАТИКА

287. 1) 1 −

8 36 8 9 8 27 32 59 = + = + = + = ; 15 100 15 20 15 60 60 60

7 18 7 9 175 36 139 −3 =7 −3 =7 −3 =4 ; 8 100 8 50 200 200 200

4) 4, 75 − 2

3 75 3 3 3 12 3 9 =4 −2 = 4 −2 =4 −2 =2 . 16 100 16 4 16 16 16 16

243

293. 1) 0, 5 +

МАТЕМАТИКА

1 1 1 3 2 5 = + = + = ; 3 2 3 6 6 6

2 2 1 8 3 5 − 0, 25 = − = − = ; 3 3 4 12 12 12

3) 0, 125 + 4) 3

5 1 5 3 10 13 = + = + = ; 12 8 12 24 24 24

25 9 1 9 7 18 35 18 17 −2 = 3 −2 =3 −2 =2 −2 = . 28 28 28 28 28 100 14 4 14

2 11 4 11 18 11 7 1 −2 = 20 −2 = 19 −2 = 17 = 17 (км/год) — 14 14 14 2 7 14 14 14 швидкість проти течії;

294. 1) 20

2 11 4 11 15 1 +2 = 20 +2 = 22 = 23 (км/год) — швидкість за 14 14 7 14 14 14

2) 20

течією. Відповідь: 17

1 1 км/год; 23 км/год. 2 14

ld z

1 4 3 4 8 − 1 = 27 − 1 = 25 (км/год) — власна швидкість катера; 9 3 9 9 9 8 4 4 (км/год) — швидкість проти течії. 2) 25 − 1 = 24 9 9 9 8 4 Відповідь: 25 км/год; 24 км/год. 9 9

295. 1) 27

2 5 4 15 19 1 5 12 + = + = =1 = , (О); , (В); 2) 1 − 9 6 18 18 18 18 17 17 4 9 4 5 1 1 2 3 5 4) 2 − 1 = 2 − 1 = , (О); 3) 6 − 1 = 5 − 1 = , (Р); 9 9 9 9 3 2 6 6 6 1 3 4 3 7 1 =1 +2 =3 = 3 , (Н); 5) 1 + 2 7 28 28 28 28 4

296. 1)

6) 5

1 1 2 3 11 −4 =5 −4 = , (И); 6 4 12 12 12

1 1 2 3 1 8 + + = + + = 1 , (Й). 4 12 3 12 12 12

Відповідь: Вороний.

297. 1)

244

3 14 4 5 ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 14 5 ⎞ + + + = + + + = 1+1 = 2 ; 7 19 7 19 ⎜⎝ 7 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 19 19 ⎟⎠

7 11 9 17 ⎛ 7 9 ⎞ ⎛ 11 17 ⎞ 28 2 + + + = + + + = 1+ =1 ; 16 42 16 42 ⎜⎝ 16 16 ⎟⎠ ⎜⎝ 42 42 ⎟⎠ 42 3

5 4 7 5 ⎛ 5 7 ⎞ ⎛ 4 5 ⎞ 12 9 2 1 6 1 7 + + + = + + + = + = + = + = ; 18 81 18 81 ⎜⎝ 18 18 ⎠⎟ ⎝⎜ 81 81 ⎠⎟ 18 81 3 9 9 9 9

9 13 12 11 25 20 1 1 + + + = + = + =1 ; 40 50 50 40 50 40 2 2

5) 3

5 3 5 6 8 11 1 1 +1 +2 +4 =3 +7 = 3 + 8 = 11 ; 16 11 2 2 11 16 16 11

6) 1

17 1 4 8 21 9 7 1 7 2 9 1 +3 +5 +2 =6 +5 = 6 + 5 = 6 + 5 = 11 = 12 . 24 36 8 4 8 8 8 8 24 36 24 36

5 11 9 = + ; 12 15 20

11 2 16 = + ; 30 9 45

5 11 =1 ; 12 60

x−

11 26 = ; 30 45

11 5 − ; 60 12

26 11 + ; 45 30

17 ; 18

x =1

7 17 5 = − ; 15 24 8 7 1 = ; 15 12

1 7 + ; 12 15

11 ; 20

4) x +

1 4 2 = − ; 60 5 3

1 2 = ; 60 15

2 1 − ; 15 60

7 ; 60

ld z

x−

23 ; 30

3) x −

2) x −

298. 1) x +

МАТЕМАТИКА

5 3 5 = 4 −3 ; 8 4 6

5) x − 2

x−2 x=

11 5 +2 ; 12 8

x=3

299. 1) x +

5 11 = ; 8 12

13 ; 24

4 16 4 = + ; 21 35 15

6) 4

5 9 2 −x =9 −6 ; 21 28 7 5 1 −x =3 ; 21 28

x=4

5 1 −3 ; 21 28

x =1

17 . 84

2) x −

8 2 4 = + ; 19 3 57

4 76 = ; 21 105

x−

8 42 = ; 19 57

76 4 − ; 105 21

42 8 + ; 57 19

56 ; 105

x =1

9 ; 57

245

8 19 3 = − ; 9 36 8

4) x + 1

1 1 1 =3 − ; 12 6 4

x−

8 11 = ; 9 72

x +1

1 11 =2 ; 12 12

11 8 + ; 72 9

x=2

11 1 −1 ; 12 12

x =1

5 ; 6

x =1 5) x − 1

3 1 =1 ; 72 24 2 5 20 =6 −3 ; 9 27 81

6) 1

4 5 17 −x =3 −1 ; 9 36 18

x −1

2 76 =2 ; 9 81

x=2

76 2 +1 ; 81 9

x =1

x=4

13 ; 81

4 7 −1 ; 9 36

1 . 4

300. 1) 7

4 7 −x =1 ; 9 36

7 1 3 28 3 27 52 4 −4 +2 =7 −4 +2 =5 =6 ; 36 36 36 9 9 12 4 36

2 1 3 48 2 27 73 1 −6 + 4 = 17 −6 +4 = 15 = 16 ; 72 72 72 72 3 36 8 72

ld z

2) 17

МАТЕМАТИКА

3) x −

3) 10 = 10

9 16

4⎞ 9 33 + 16 9 13 ⎛ 11 −⎜3 + 4 ⎟ = 10 −7 = 10 −8 = ⎝ 12 36 16 36 9⎠ 16

81 52 29 −8 =2 ; 144 144 144

23 ⎞ ⎛ 4 1 ⎞ 13 5 39 10 29 ⎛ − 14 −6 = 12 −8 = 12 −8 =4 . 4) ⎜ 20 − 7 ⎝ 36 ⎟⎠ ⎜⎝ 27 18 ⎟⎠ 36 54 108 108 108

301. 1) 5 2) 1

5 1 4 30 9 8 31 +3 −6 =5 +3 −6 =2 ; 9 6 27 54 54 54 54

5 11 1 20 22 7 35 7 1 +3 −2 =1 +3 −2 =2 =3 =3 ; 7 14 4 28 28 28 28 28 4

3) 12 = 12

5 ⎞ 13 ⎛ 51 20 ⎞ 13 ⎛ 17 − 9 −4 = 12 − 9 −4 = 48 ⎜⎝ 32 24 ⎟⎠ 48 ⎜⎝ 96 96 ⎟⎠

13 31 26 31 91 −5 == 12 −5 =6 ; 48 96 96 96 96

18 ⎞ ⎛ 9 3 ⎞ 17 ⎛ 45 21 ⎞ ⎛ 4) ⎜ 18 − 10 − 3 +2 =7 − 3 +2 = ⎝ 35 ⎟⎠ ⎜⎝ 28 20 ⎟⎠ 35 ⎜⎝ 140 140 ⎟⎠

246

17 66 68 66 2 1 −5 =7 −5 =2 =2 . 35 140 140 140 140 70

(кг) — у III ящику; (кг) — у I ящику; (кг) — у II ящику. 11

13 11 кг, 7 кг. 16 16

14 1 =5 (хв) — витрачено на ІІІ задачу; 15 15 19 1 16 −5 = 13 (хв) — витрачено на ІІ задачу; 2) 18 45 15 45 14 16 26 − 13 = 11 (хв) — витрачено на І задачу. 3) 24 15 45 45 26 16 1 хв, 13 хв, 5 хв. Відповідь: 11 45 45 15

304. Молоко — 3

8 кг 15

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

1 кг 2

7 кг Какао — 12

303. 1) 30 − 24

МАТЕМАТИКА

9 7 11 − 28 = 7 16 8 16 3 11 1 = 17 2) 24 − 7 4 16 16 7 1 13 3) 28 − 17 = 11 8 6 16 1 кг, Відповідь: 17 16

302. 1) 36

Цукор — ? кг

ld z

1 ⎛ 8 7 ⎞ 1 7 23 −⎜3 + =2 (кг). ⎟ =6 −4 60 2 ⎝ 15 12 ⎠ 2 60 23 кг. Відповідь: 2 60 6

4 кг 15 11 кг Жир — 2 20 23 кг Цукор — 1 30

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

305. Вода — 7

Сироп — ? кг

12 кг

11 23 ⎞ 35 25 5 ⎛ 4 12 − ⎜ 7 +2 +1 = 12 − 11 = = (кг) — сироп. ⎝ 15 20 30 ⎠⎟ 60 60 12 5 кг. Відповідь: 12 3 5 4 1 −4 =8 =8 (см) — 2 сторона; 8 24 24 6 3 2 1 (см) — 3 сторона; 2) 12 + 3 = 16 8 3 24 3 1 1 7 = 36 (см) — периметр. 3) 12 + 8 + 16 8 6 24 12 7 см. Відповідь: 36 12

306. 1) 12

247

307. I — 10

7 15

МАТЕМАТИКА

II — на 2

5 см більше, ніж І сторона 6

III — ? см 1) 10

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

42 см

7 5 14 25 9 3 + 2 = 10 +2 = 13 = 13 (см) — II сторона; 30 10 15 6 30 30

7 3 ⎞ 23 7 ⎛ 2) 42 − ⎜ 10 + 13 = 18 (см) — III сторона. ⎟ = 42 − 23 ⎝ 15 10 ⎠ 30 30 7 см. Відповідь: 18 30

308. Приймемо всю кількість грошей Пилипка за 1. Тоді на чипси він 10 2 1 ⎛1 1 1 ⎞ = 1− = = (частину) грошей. витратив 1 − ⎜ + + ⎝ 2 4 12 ⎟⎠ 12 12 6 1 Відповідь: . 6 309. Нехай увесь скарб становить 1. Тоді Діамантов отримав

12 6 1 ⎛1 2 5 ⎞ 1− ⎜ + + = 1− = = частину скарбу. ⎝ 6 9 18 ⎟⎠ 18 18 3 1 . Відповідь: 3

ld z

310. Приймемо площу всього поля за 1. Тоді за 1 годину Івасик-Телесик 1 1 поля, а Котигорошко — поля. може зорати 6 4 1 1 5 Разом за 1 годину вони зорють + = (частину поля). 6 4 12 10 5 = (частину поля). За 2 години — 12 6 5 5 поля, поля. Відповідь: 12 6

311. Приймемо площу всього паркану за 1. Тоді, за одну годину I робітник 1 1 1 частину, II робітник — , а третій — . пофарбує 15 12 10 Разом за одну годину вони пофарбують 1 1 1 4 5 6 15 1 + + = + + = = (частину паркану). 15 12 10 60 60 60 60 4 2 1 4 = паркану, за 4 години — = 1 — увесь паркан. За 2 години — 4 2 4 1 1 частину кавуна, а Миколка — . 12 16 1 1 7 + = (кавуна), Разом за одну хвилину з’їдять 12 16 48 7 41 1− = (кавуна) — залишиться. 48 48

312. 1) За 1 хв Михайлик з’їсть

248

2) За 1 годину через одну трубу басейн наповнюється на 1 басейну. 10

1 1 2 1 − = = басейну наповниться через одну годину після 6 10 30 15 відкривання кранів на обох трубах. 1 14 1− = басейну залишиться незаповненою водою. 15 15 Тоді

1 313. Приймемо всю стіну за 1. За 1 годину Ледащенко пофарбує стіни, 24 1 а Працелюб — стіни. 8 1 1 1 За 1 годину вони разом пофарбують + = стіни. 24 8 6 1 5 стіни. Залишиться непофарбованою 1 − = 6 6

МАТЕМАТИКА

а через другу трубу спорожнюється

1 частину, 6

314. Приймемо всю роботу за 1, тоді за 1 годину Марічка і Оленка разом 1 частину рукопису. передрукують 6 1 Марічка за 1 годину передрукує частину рукопису. 9 1 1 1 − = — частину рукопису передрукує Оленка за 1 годину. 6 9 18

ld z

315. Приймемо за 1 весь об’єм басейну, тоді за 1 годину дві труби разом 1 1 наповнять басейну, а друга труба окремо — басейну. 3 5 1 1 2 − = — такий об’єм басейну можна наповнити за 1 годину через 3 5 15 першу трубу.

19 14 85 17 + = = ; 30 45 90 18 3 11 9 22 11 =2 −1 = ; 2) збільшиться на 2 − 1 8 12 24 24 24 5 6 5 12 15 −4 =5 −4 = ; 3) зменшиться на 5 22 11 22 22 22 7 11 28 55 83 +6 =3 +6 =9 . 4) зменшиться на 3 25 20 100 100 100

316. 1) Збільшиться на

7 ; 83 13 ; 2) зменшиться на 4 57 4 8 9 27 8 27 3) зменшуване = , а від’ємник = , < , тому різниця 21 42 14 42 42 42 27 8 19 − = ; зменшиться на 42 42 42 249

317. 1) Збільшиться на 14

1 2 1 2 1 4 3 1 > , тому різниця зменшиться на 1 − = 1 − = = ; 6 3 6 3 6 6 6 2

13 39 17 34 39 34 = ; = ; > , тому різниця збільшиться 20 60 30 60 60 60

на

39 34 1 − = . 60 60 12

19 91 1 2) збільшиться на 5 58 14 28 3 27 3) = ; = ; 45 90 10 90 28 27 1 − = ; на 90 90 90

318. 1) Зменшиться на 6

; ; 28 27 > , тому різниця зменшиться 98 90

4) різниця зменшиться на 3

5 3 5 6 11 +2 =3 +2 =5 ; 16 16 8 16 16

3 5 6 35 41 +8 =7 +8 = 15 . 56 28 8 56 56

5) збільшиться на 7

МАТЕМАТИКА

4) 1

ld z

3⎞ 9 9 9 ⎛ 3 319. 1) ⎜ 9 − 5 ⎟ + 2 = 4+2 =6 ; ⎝ 7 16 7⎠ 16 16 2) 4

5 ⎛ 6 6 ⎞ 5 5 + ⎜1 − ⎟ = 4 +1 = 5 ; 8 ⎝ 11 11 ⎠ 8 8

9 9 25 5 5 ⎞ ⎛ 3) ⎜ 10 −3 −2 =7−2 =4 ; ⎝ 14 14 ⎟⎠ 34 34 34 1 1 6 6 7 = 4−2 =1 . 4) 7 − 3 − 2 7 7 13 13 13

320. 1) 12 2) 6

19 19 19 19 19 −3 +5 = 9+5 = 14 ; 24 24 28 28 28

4 4 7 7 17 − 4 −1 = 2 −1 = . 9 9 24 24 24

1 1 61 1 62 1 1 1 < 1− . =1− ; =1− ; > , тоді 1 − 62 63 62 62 63 63 62 63 61 62 Маємо < . 62 63

321. 1)

1003 4 103 4 4 4 =1− , =1− ; < , 1007 1007 107 107 1007 107 4 4 1003 103 >1− . Отже, > . тоді 1 − 1007 107 1007 107 2)

250

323. 1) 3)

3a a 15a 8a 7a − = − = ; 8b 5b 40b 40b 40b

4m 5m 16m 15m 31m + = + = ; 9n 12n 36n 36n 36n

11c c 33c 2c 35c + = + = ; 14d 21d 42d 42d 42d

7x 4x 35x 8x 27x − = − = . 6y 15y 30y 30y 30y 3 9 6 9 15 + = + = ; a 2a 2a 2a 2a 17 p 11 p 34 p 33 p 11 p − = − = . 18q 12q 36q 36q 36q 1 1 =7 ; a 7 a =7 ;

1 14 = 14 . b 15 b = 15 .

324. 1) a +

2) b −

1 a b = − при a = 1 , b = 1 ; 2⋅3 2 3

4 a b = − при a = 2 , b = 2 . 3⋅5 3 5

325. 1)

МАТЕМАТИКА

322. 1)

2 1 1 2 1 1 1 1 1 = − ; = − ; = − . 3 ⋅ 5 3 5 5 ⋅7 5 7 29 ⋅ 31 29 31 2 2 2 + + ... + = Маємо: 3 ⋅ 5 5 ⋅7 29 ⋅ 31 1 1 1 1 1 1 1 1 31 − 3 28 = − + − + ... + − = − = = . 3 5 5 7 29 31 3 31 93 93

328.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − ; = − ; = − і т. д. 2⋅3 2 3 3⋅4 3 4 4 ⋅5 4 5 1 1 1 1 + + + ... + = Маємо: 2⋅3 3⋅ 4 4 ⋅5 19 ⋅ 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 9 = − + − + − + ... + − + − = − = − = . 2 3 3 4 4 5 18 19 19 20 2 20 20 20 20

ld z

327.

a a+b 326. Нехай даний дріб має вигляд . Тоді утворений дріб — . b b a+b a b a = + = +1 . Отже, значення дробу збільшиться на 1. b b b b

329.

1 1 1 1 12 1 > ; > ; > і т. д. 10 18 11 18 18 18 Отже,

1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 + + + ... + > + + + ... + = = . 10 11 12 18 18 18 18 18 18 2

9 доданків. 330.

1 1 1 2 = = − 36 4 ⋅ 9 4 9 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + − + ... + + = + + + ... + + ... + + = 4 9 39 40 31 32 31 36 39 40 31 32 1 ⎛ 1 1 2 1 ⎞ 1 = +⎜ + + ... + + ... + > . 4 ⎝ 31 32 9 40 ⎟⎠ 4

251

МАТЕМАТИКА

331. 1) 10 =

10 ; 1

2) 10 =

70 . 7

332. 4, дільники 1, 2, 4; 9, дільники 1, 3, 9; 25, дільники 1, 5, 25; 49, дільники 1, 7, 49; 121, дільники 1, 11, 121. Висновок: число має 3 різних дільники, якщо воно є квадратом простого числа. 333. Значення виразу 11 + 222 + 333 є складеним числом, бо остання цифра значення виразу парна. 334. 30 ⋅ 5 + 30 = 180 (см) — довжина деревини. Пліт 2 км/год

пліт через 0,8 год

Катер 25 км/год

? год

335.

36,6 км

ld z

1) 0, 8 ⋅ 2 = 1, 6 (км) — проплив пліт за 0,8 год; 2) 36, 6 − 1, 6 = 35 (км) — відстань між плотом і катером через 0,8 год; 3) 25 − 2 = 23 (км/год) — швидкість катера проти течії; 4) 35 : ( 2 + 23 ) = 1, 4 (год) — зустрілися; 5) 0, 8 + 1, 4 = 2, 2 (год). Відповідь: через 2,2 год після початку руху плота відбулася зустріч. 336. 1) x = 0, 2 ; y = 0, 4 ; z = 11, 8 .

337. SABCD = 8 ⋅11 = 88; S = 3 ⋅ 5 = 15; 338.

2) x = 2, 5 ; y = 65, 5 ; z = 13, 1 .

S 15 = . SABCD 88

3 3 45 9 ⋅ = 0, 6 ⋅ 0, 75 = 0, 45 = = . 5 4 100 20

339. 1) 3 3) 4

4 3 ⋅ 9 + 4 31 = = ; 9 9 9

2) 2

5 29 = ; 12 12

7 67 = ; 15 15

4) 7

13 713 = . 100 100

340. 1) 12 ⋅ 3a = 36a ; 3) 0, 8m ⋅ 0, 5n ⋅ 4 p = 1, 6mnp .

2) 0, 6a ⋅ 7b = 4, 2ab ;

341. 1) 2 ( x + 7 ) = 2x + 14 ; 3) ( c − 0, 4 ) ⋅1, 2 = 1, 2c − 0, 48 .

2) 7 (5 − a ) = 35 − 7a ;

342. 1) 1, 6b − 0, 5b = 1, 1b ; 3) 3x + 17x − 5x = 15x ; 252

2) 2, 7c − c = 1, 7c ; 4) 5, 6a + 0, 4a − 2 = 6a − 2 .

11. Множення дробів 2 10 344. 1) ⋅5 = ; 13 13 8 16 7 ⋅2 = =1 ; 9 9 9

5) 7 ⋅

345. 1)

4 4 ⋅7 4 ⋅7 = = ; 49 49 7

6) 6 ⋅

15 6 ⋅15 15 = = =5 ; 18 18 3

7 7 ⋅ 24 ⋅ 24 = = 14 ; 12 12

8) 45 ⋅

9 72 2 ⋅8 = =2 ; 35 35 35

3) 42 ⋅

4 42 ⋅ 4 = = 24 ; 7 7

2 3 6 ⋅ = ; 7 5 35

8 45 ⋅ 8 = = 24 . 15 15

7 7 ⋅16 14 2 ⋅16 = = =4 ; 24 24 3 3

6 6 ⋅ 57 ⋅ 57 = = 18 . 19 19

3 5 3⋅5 5 ⋅ = = ; 4 6 4⋅6 8

ld z

346. 1)

3 21 = ; 40 40

4 12 ⋅3 = ; 17 17

4 7 4 ⋅7 4 ⋅ = = ; 7 9 7⋅9 9

15 48 15 ⋅ 48 9 ⋅ = = ; 16 55 16 ⋅ 55 11

22 10 22 ⋅10 4 ⋅ = = ; 25 77 25 ⋅ 77 35

13 16 13 ⋅16 2 ⋅ = = ; 24 39 24 ⋅ 39 9

6 14 6 ⋅14 4 ⋅ = = ; 35 15 35 ⋅15 25

36 ⋅ 34 24 = . 85 ⋅ 39 65

6 ⋅ 4 24 = ; 11 ⋅ 7 77

7 ⋅10 1 = ; 20 ⋅ 21 6

8 ⋅ 27 3 = ; 9 ⋅ 32 4

23 ⋅ 49 7 = ; 28 ⋅ 46 8

34 ⋅ 43 1 = ; 86 ⋅ 51 2

7 ⋅ 90 5 = ; 18 ⋅ 77 11

63 ⋅ 48 27 = ; 64 ⋅ 91 52

19 ⋅ 5 1 = . 100 ⋅ 38 40

347. 1)

МАТЕМАТИКА

343. Виграє той, хто візьме 1 або 3 камінці останнім. Отже, перед останнім ходом повинно бути зібрано 99 або 97 камінців. Тоді перед останнім ходом другого хлопця буде забрана парна кількість камінців. Програє той, після кого залишиться непарна кількість камінців. Якщо гру починає Сергій, то після нього залишається непарна кількість камінців. Отже, останній камінець візьме Сашко.

348. 1) 9 3) 2

3 5 66 ⋅ 5 15 1 ⋅ = = =2 ; 7 22 7 ⋅ 22 7 7

2) 6

3 16 51 ⋅16 ⋅ = =6 ; 8 17 8 ⋅17

1 1 7 ⋅ 6 14 4 ⋅1 = = =2 ; 3 5 3⋅5 5 5

4) 2

8 2 30 ⋅ 77 ⋅5 = = 14 ; 11 15 11 ⋅15

253

1 2 9 ⋅ 56 14 2 ⋅2 = = =4 ; 4 27 4 ⋅ 27 3 3

6) 19

7) 2

2 1 16 ⋅ 21 ⋅5 = = 12 ; 7 4 7⋅4

9) 2

2 1 2 8 ⋅ 25 ⋅ 27 45 ⋅1 ⋅5 = = = 15 . 3 24 5 3 ⋅ 24 ⋅ 5 3

1 5 39 ⋅14 91 1 ⋅1 = = = 30 ; 2 9 2⋅9 3 3

7 1 2 7 ⋅15 ⋅ 27 9 1 ⋅1 ⋅5 = = =4 ; 9 ⋅14 ⋅ 5 2 2 9 14 5

2) 3

11 9 47 ⋅ 9 3 ⋅ = = ; 12 94 12 ⋅ 94 8

3) 1

5 1 12 ⋅ 49 21 1 ⋅6 = = = 10 ; 7 8 7⋅8 2 2

4) 3

5 1 32 ⋅ 21 56 2 ⋅5 = = = 18 ; 9 4 9⋅4 3 3

5) 1

13 5 2 28 ⋅ 5 ⋅16 8 2 ⋅ ⋅2 = = =2 ; 15 8 7 15 ⋅ 8 ⋅ 7 3 3

6) 2

1 16 1 9 ⋅16 ⋅13 3 ⋅ 4 ⋅13 52 7 ⋅ ⋅4 = = = =5 . 4 27 3 4 ⋅ 27 ⋅ 3 27 9 9

350. 1) 0, 4 ⋅

351. 1) 0, 8 ⋅

8 8⋅3 2 ⋅ 0, 75 = = ; 27 27 ⋅ 4 9

1 15 ⋅1 5 1 = = = ; 6 10 ⋅ 6 10 ⋅ 2 4

4) 2

1 15 ⋅ 28 12 ⋅ 2, 8 = = =6. 7 7 ⋅10 2

7 8 ⋅7 14 7 = = = ; 12 10 ⋅12 30 15

2) 1

2 5⋅6 ⋅ 0, 6 = =1 ; 3 3 ⋅10

ld z

3) 1, 5 ⋅

5 4 ⋅5 4 2 = = = ; 9 10 ⋅ 9 18 9

3 10 48 ⋅10 32 4 ⋅ = = =4 ; 5 21 5 ⋅ 21 7 7

349. 1) 9

МАТЕМАТИКА

5) 2

3) 1, 25 ⋅

32 125 ⋅ 32 5 ⋅ 32 8 = = = ; 45 100 ⋅ 45 4 ⋅ 45 9

4) 4, 5 ⋅ 3

1 45 ⋅10 = = 15 . 3 10 ⋅ 3

3⋅3 1 ⎛ 11 4 ⎞ 3 − ⋅ = = ; 352. 1) ⎜ ⎝ 18 9 ⎠⎟ 16 18 ⋅16 32 2)

11 4 3 11 4 ⋅ 3 11 1 22 3 19 − ⋅ = − = − = − = ; 18 9 16 18 9 ⋅16 18 12 36 36 36

3) 1

3 ⎛3 3⎞ 3 9 8 ⋅17 17 2 ⋅ + 1 ⎟ = 1 ⋅1 = = =3 ; 5 ⎝⎜ 4 8⎠ 5 8 5⋅8 5 5

4) 1

3 3 3 8⋅3 3 1 3 8 15 23 ⋅ +1 = +1 = 1 +1 = 1 +1 =2 ; 5 4 8 5⋅ 4 8 5 8 40 40 40

5) 13

254

4 1 3 4 16 ⋅15 4 4 − 3 ⋅ 3 = 13 − = 13 − 12 = 1 ; 5 5 4 5 5⋅4 5 5

6) 1

3 1 1 27 28 ⋅15 19 ⋅ 27 12 3 2 3 1 ⋅2 − 2 ⋅ = − = − =2 − =2 ; 25 7 9 190 25 ⋅ 7 9 ⋅190 5 10 5 10 10

7) 4

7 3 1 45 55 ⋅14 16 ⋅ 45 35 3 ⋅1 +1 ⋅ = + = + = 12 11 15 64 12 ⋅11 15 ⋅ 64 6 4

5 3 10 9 7 + =5 + =6 ; 6 4 12 12 12

1 1 ⎞ 27 ⎛ 15 ⋅ 28 ⎞ 27 ⎛ 20 ⎞ 27 ⎛ = 8) ⎜ 8 − 2 ⋅ 3 ⎟ ⋅ = 8− ⋅ = 8− ⋅ ⎝ 7 9 ⎠ 44 ⎜⎝ 7 ⋅ 9 ⎟⎠ 44 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 44

48 ⋅ 77 44 14 7 ⎞ 48 ⎛ 33 28 ⎞ 48 5 ⎛ 4 4 ⎞ ⎛ 11 = 9) ⎜ + ⎟ ⎜ 7 = =2 ; −5 ⎟ = ⋅⎜7 −5 = ⋅2 ⎝ 5 7 ⎠ ⎝ 12 15 36 ⎟⎠ 35 36 35 ⋅ 36 15 9 ⎠ 35 ⎝ 36 2 36 10 1 4 4 ⎛ 11 7 ⎞ 4 4 ⋅ 77 4 11 4 +1 =2 . + ⎜7 −5 ⎟ = + = + = +1 = 5 9 45 45 45 5 7 ⎝ 12 9 ⎠ 5 7 ⋅ 36 5 9

10)

353. 1) 15

4 4 3 4 40 ⋅ 27 4 4 − 4 ⋅ = 15 − = 15 − 15 = ; 9 9 9 8 9 9⋅8 9

МАТЕМАТИКА

2 ⎞ 27 1 27 4 ⋅ 27 9 ⎛ = ⎜8−6 ⎟ ⋅ =1 ⋅ = = ; ⎝ 3 ⎠ 44 3 44 3 ⋅ 44 11

81 1 81 ⋅10 135 3 ⋅3 = = =3 ; 88 3 88 ⋅ 3 44 44

81 ⎛ 13 19 ⎞ 81 ⎛ 28 ⋅ 30 ⎞ 81 ⎛ 2⎞ ⋅⎜ 6 −1 ⋅1 ⎟= ⎜ 6 − 15 ⋅ 21 ⎟⎠ = 88 ⎜⎝ 6 − 2 3 ⎟⎠ = 88 ⎝ 15 21 ⎠ 88 ⎝

1⎞⎛ 5 3 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 35 9 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎟ ⎜ + −1 + 3) ⎜ 5 ⎟ = ⎜5 ⎟⎜ ⎟= ⎝ 16 8 ⎠ ⎝ 6 14 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ 42 42 ⎠

1 1⎛5 3 ⎞ 1 1 44 1 9 ⋅ 44 −1 ⎜ + −1 ⋅ =5 − = ⎟ =5 16 8 ⋅ 42 16 8 ⎝ 6 14 ⎠ 16 8 42

=5 354. 66 ⋅

1 33 1 5 7 20 119 20 99 − =5 −1 =5 −1 =4 −1 =3 . 112 16 28 16 28 112 112 112 112

ld z

4) 5

15 44 15 1 63 ⋅ 22 33 1 ⋅ =3 ⋅1 = = =4 ; 8 16 42 16 27 16 ⋅ 21 8

5 66 ⋅ 5 = = 55 (км) — проїде поїзд. 6 6

1 72 ⋅ 9 = = 162 (км) — проїде автомобіль. 4 4

355. 72 ⋅ 2 356. 3

3 1 18 ⋅11 99 4 ⋅5 = = = 19 (грн) — коштують банани. 5 2 5⋅2 5 5

357. 6

1 2 25 ⋅12 ⋅2 = = 15 (грн) — коштують цукерки. 4 5 4 ⋅5

3 7 9 14 55 11 − 28 = 36 − 28 =7 =7 (км) — пройде катер більше 20 30 60 60 60 12 за 1 год, ніж теплохід.

358. 1) 36

2) 1

1 11 6 ⋅ 95 19 1 ⋅7 = = = 9 (км) — відстань між катером і теплоходом. 5 12 5 ⋅12 2 2

8 3 16 9 25 5 + 58 = 52 + 58 = 110 = 110 (км) — відстань між 15 10 30 30 30 6 поїздами через 1 годину. 5 2 665 ⋅12 = 266 (км) — відстань між поїздами. 2) 110 ⋅ 2 = 6 5 6 ⋅5 255

359. 1) 52

МАТЕМАТИКА

361. 1) 3)

11 ⋅ 21 ⋅ 9 ⋅ 8 4 1 = = ; 15 ⋅ 22 ⋅ 28 ⋅ 9 20 5

5 ⋅10 ⋅ 21 ⋅ 8 =8 ; 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 35

3 ⋅12 ⋅ 4 ⋅ 7 4 2 = = ; 8 ⋅7 ⋅ 9 ⋅ 3 6 3

9 ⋅ 5 ⋅15 ⋅14 = 30 . 5 ⋅ 3 ⋅7 ⋅ 3

5⋅ 4 ⋅ 9⋅5 1 = ; 16 ⋅ 5 ⋅ 25 ⋅ 9 20

19 ⋅ 40 ⋅ 5 ⋅ 9 1 = ; 25 ⋅ 57 ⋅ 36 ⋅16 24

8 ⋅1 ⋅ 3 ⋅10 =4 ; 3⋅5⋅ 4

55 ⋅13 ⋅ 9 ⋅15 = 585 . 3 ⋅11 ⋅ 5

1 ⎛ 1⎞ ; 362. 1) ⎜ ⎟ = ⎝ 2⎠ 16

8 ⎛ 2⎞ 2) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 5⎠ 125

256 13 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ =3 ; 3) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 81 81 5

27 ⎛ 3⎞ 2) ⎜ ⎟ = ; ⎝7⎠ 343

169 9 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 13 ⎞ 4) ⎜ 3 ⎟ = ⎜ = = 10 . ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎟⎠ 16 16

49 24 ⎛ 2⎞ ⎛ 7⎞ =1 ; 3) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 25 25

7 11 ⋅ 40 95 ⋅ 4 7 10 5 − + = 16 − + = 12 12 ⋅ 33 72 ⋅19 12 9 8

ld z

364. 1) 16

1 ⎛ 1⎞ 363. 1) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 3⎠ 243 2

64 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 8⎞ 4) ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = =7 . ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 9 9

360. 1)

= 16

2) 5

7 1 5 21 4 10 27 3 −1 + = 16 −1 + = 15 = 15 ; 36 4 12 9 18 36 36 36

3 7 ⋅17 85 ⋅ 32 23 ⋅ 8 17 34 ⋅8 − − = − − = 4 3 ⋅14 48 ⋅15 4 6 9 5 7 18 15 14 − 3 = 45 −2 −3 = 6 9 18 18 18

= 46 − 2 = 43

3 14 21 14 7 −3 = 42 −3 = 39 ; 18 18 18 18 18

25 ⋅ 44 ⎛ 5 17 ⋅11 ⎞ 3 1 ⎛ 5 3⎞ 3 − 1 + ⋅ = 3 − ⎜1 +1 ⎟ ⋅ = 22 ⋅15 ⎜⎝ 8 8 ⋅17 ⎟⎠ 7 3 ⎝ 8 8⎠ 7 =3

1 3 1 9 1 2 1 − 3⋅ = 3 − = 3 −1 = 2 ; 3 7 3 7 3 7 21 2

4) 6

2 9 ⎛ 1⎞ 32 ⋅ 25 ⎛ 9 ⎞ 81 1 15 ⋅1 − 2 = − = 10 − = 10 − 5 =4 ; 5 16 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 5 ⋅16 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 16 16 16 2

8 ⎞ 9 ⎛ 21 16 ⎞ 9 ⎛ 5 ⎞ 9 ⎛ 7 = −1 ⋅ = 2 −1 ⋅ = 1 ⋅ 5) ⎜ 2 ⎝ 10 15 ⎟⎠ 14 ⎜⎝ 30 30 ⎟⎠ 14 ⎜⎝ 39 ⎟⎠ 14 2

256

49 ⋅ 9 7 ⎛ 1⎞ 9 = ⎜1 ⎟ ⋅ = = . ⎝ 6 ⎠ 14 36 ⋅14 8

9 49 ⋅ 54 58 ⋅ 39 9 21 26 + − =2 + − = 20 18 ⋅ 35 45 ⋅ 29 20 5 15

=2 2)

9 1 11 27 12 44 39 44 55 11 + 4 −1 =2 +4 −1 = 6 −1 =4 =4 ; 60 60 20 5 15 60 30 60 60 12

14 ⋅ 6 65 ⋅ 40 17 ⋅ 80 100 10 − + = 28 − + = 3 42 ⋅13 8 ⋅ 51 21 3 = 28 − 4

16 1 16 7 5 7 12 4 + 3 = 28 − 4 +3 = 23 +3 = 26 = 26 ; 21 21 21 7 21 3 21 21

4 13 ⎞ 5 1 4 ⎛ 3 −3 ⋅ +2 ⋅ = 3) ⎜ 5 ⎟⋅ ⎝ 10 5 38 ⎠ 84 12 15

МАТЕМАТИКА

365. 1) 2

25 ⋅ 4 4 ⋅ 5 5 5 5 15 35 50 ⎛ 3 19 ⋅13 ⎞ 5 = ⎜5 − ⋅ + = + = + = + = ; ⎝ 10 5 ⋅ 38 ⎟⎠ 84 12 ⋅15 84 9 21 9 63 63 63 2

13 2 100 45 ⋅12 1 3 ⎛ 1⎞ 4) ⎜ 3 ⎟ − 2 ⋅2 = − = 11 − 6 = ⎝ 3⎠ 4 16 5 9 16 ⋅ 5 9 4 27 40 27 13 −6 = 10 −6 =4 ; 36 36 36 36 36 2

= 11

13 ⎛ 25 39 ⎞ 45 ⎛ 64 ⎞ 45 ⎛ 5 13 ⎞ = 5) ⎜ + ⋅1 =⎜ + =⎜ ⎟ ⋅ ⎟ ⋅ ⎝ 12 20 ⎟⎠ 32 ⎝ 60 60 ⎠ 32 ⎝ 60 ⎠ 32 3 ⎛ 16 ⎞ 45 16 ⋅16 ⋅ 45 8 =⎜ ⋅ = = =1 . ⎝ 15 ⎠⎟ 32 15 ⋅15 ⋅ 32 5 5

2) 7

1 1 1 5 1⎛ 1 5⎞ 1 6 1 3 36 ⋅15 ⋅ 2 + 7 ⋅1 = 7 ⎜ 2 + 1 ⎟ = 7 ⋅ 3 = 7 ⋅ 3 = = 27 ; 5 8 5 8 5⎝ 8 8⎠ 5 8 5 4 5⋅4

1⎞ 3 3 3 3 1 3 3⎛3 3 ⋅1 + 1 ⋅1 − 1 ⋅1 = 1 ⎜ + 1 − 1 ⎟ = 4 5 5 8 2 5 5⎝4 8 2⎠

5 7 3 7 ⎛ 5 3 ⎞ 7 2 7 1 7 8 ⋅7 8 ⋅ −2 ⋅ = ⎜3 −2 = ; ⎟ ⋅ = 1 14 ⋅ 9 = 1 ⋅ = 14 9 14 9 ⎝ 14 14 ⎠ 9 7 9 7⋅9 9

ld z

366. 1) 3

4) 3

3⎛6 3 4⎞ 3 5 +1 −1 ⎟ = 1 ⋅ = 1 ; 5 ⎝⎜ 8 8 8⎠ 5 8

9 10 1 10 1⎞ ⎛ 9 ⋅ 0, 3 − 0, 3 ⋅1 + 0, 3 ⋅1 = 0, 3 ⋅ ⎜ 3 −1 +1 ⎟ = ⎝ 14 14 21 6 21 6⎠

20 7 ⎞ 3 14 3 1 ⎛ 27 = 0, 3 ⋅ ⎜ 3 −1 +1 = ⋅3 = ⋅3 = 1 . ⎝ 42 42 42 ⎠⎟ 10 42 10 3

367. 1) 4

4 5 5 5 5⎛ 4 5⎞ 5 ⋅ + ⋅3 = 4 + 3 ⎟ = ⋅8 = 5 ; 9 8 8 9 8 ⎜⎝ 9 9⎠ 8

2) 3

7 4 5 4 4⎛ 7 5⎞ 4 2 4 1 4 9 9 4 ⋅ − 1 ⋅ = ⎜ 3 − 1 ⎟ = ⋅ 2 = ⋅ 2 == ⋅ = = 1 ; 8 5 8 5 5⎝ 8 8⎠ 5 8 5 4 5 4 5 5

3) 2

11 1 1 3 1 1 1 ⎛ 11 3 1⎞ ⋅1 −1 ⋅ − 1 ⋅1 =1 2 − −1 ⎟ = 15 19 19 10 6 19 19 ⎜⎝ 15 10 6⎠

1 ⎛ 22 9 5 ⎞ 1 8 1 4 20 ⋅19 4 1 2 − −1 =1 ⋅1 =1 ⋅1 = = =1 ; 19 ⎝⎜ 30 30 30 ⎠⎟ 19 30 19 15 19 ⋅15 3 3

257

4) 4

7 13 7 13 13 13 13 ⎛ 7 7 13 ⎞ ⋅1 −3 ⋅1 +1 ⋅1 =1 4 −3 +1 = 9 14 12 14 14 18 14 ⎜⎝ 9 12 18 ⎟⎠

МАТЕМАТИКА

13 ⎛ 28 21 26 ⎞ 13 33 13 11 27 ⋅ 35 45 5 ⋅⎜ 4 −3 +1 =1 ⋅2 =1 ⋅2 = = =5 . 36 ⎟⎠ 14 36 14 12 14 ⋅12 14 ⎝ 36 36 8 8

1 1⎞ 1 1 15 15 ⎛ − = 15 + 5 − 3 = 17 ; 368. 1) 15 ⎜ 1 + − ⎟ = 15 ⋅1 + 15 ⋅ − 15 ⋅ = 15 + ⎝ 3 5⎠ 3 5 3 5 ⎛ 19 7 3 ⎞ 48 ⋅19 48 ⋅ 7 48 ⋅ 3 2) 48 ⎜ − + = − + = 38 − 28 + 18 = 28 ; ⎝ 24 12 8 ⎟⎠ 24 12 8 3)

7 ⎛ 6 9 ⎞ 7 ⋅6 7 ⋅9 2 1 1 ⋅ − = − = − = ; 9 ⎜⎝ 7 14 ⎟⎠ 9 ⋅ 7 9 ⋅14 3 2 6

5 1 ⎞ 4 15 ⋅ 4 5 ⋅ 4 5 ⋅ 4 3 1 5 ⎛ 15 5 . − +2 ⎟ ⋅ = − + = − +2= +2=2 4) ⎜ ⎝ 16 12 12 12 2 ⎠ 5 16 ⋅ 5 12 ⋅ 5 2 ⋅ 5 4 3

⎛ 1 1 ⎞ 18 18 − = 6−2 = 4 ; 369. 1) 18 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 3 9⎠ 3 9

3 4⎞ 3 ⋅ 20 4 ⋅ 20 ⎛ − = 40 − 15 − 16 = 9 ; 2) ⎜ 2 − − ⎟ 20 = 40 − ⎝ 4 5⎠ 4 5

1 1 1⎞ 18 18 18 ⎛ 3) ⎜ 1 − − − ⎟ 18 = 18 − − − = 18 − 6 − 3 − 2 = 7 ; ⎝ 3 6 9⎠ 3 6 9

ld z

⎛ 5 5 ⎞ 18 5 ⋅18 5 ⋅18 3 2 4) ⎜ + ⎟ ⋅ = + = + =1 . ⎝ 6 9 ⎠ 25 6 ⋅ 25 9 ⋅ 25 5 5

7 9 7⋅9 1 m⋅ n= mn = mn ; 27 28 27 ⋅ 28 12 3 4 28 ⋅ 25 20 2 p= kp = kp = 6 kp ; 2) 5 k ⋅1 5 21 5 ⋅ 21 3 3 11 20 ⋅11 44 2 y= xy = xy = 6 xy ; 3) 20x ⋅ 35 35 7 7 4 17 4 49 ⋅ 45 ⋅ 4 x ⋅1 y⋅ z = xyz = 3xyz . 4) 3 15 28 7 15 ⋅ 28 ⋅ 7

370. 1)

371. 1)

5 4 5⋅4 1 a⋅ b= ab = ab , 8 15 8 ⋅15 6

2) 6 3)

3 11 27 ⋅ 56 42 2 x ⋅1 y= xy = xy = 8 xy ; 4 45 4 ⋅ 45 5 5

13 13 ⋅ 32 52 1 d ⋅ 32c = dc = dc = 17 dc ; 24 24 3 3

4) 18

258

372. 1)

1 2 9 55 ⋅13 ⋅ 9 a ⋅1 b⋅ c= abc = 15abc . 3 11 13 3 ⋅11 ⋅13

35 11 2 5 1 16 15 4 ⎛ 16 15 4 ⎞ + + a= a =1 a; a+ a+ a= a+ a+ a= ⎜ ⎝ 24 24 24 ⎟⎠ 24 24 3 8 6 24 24 24

4 2 4 6 2 ⎛ 12 10 4 ⎞ b− b+ b=⎜ − + b= b= b; ⎝ 15 15 15 ⎟⎠ 5 3 15 15 5

2 4 5 43 ⎛ 28 40 25 ⎞ x+ x− x=⎜ + − x= x; ⎝ 70 70 70 ⎟⎠ 5 7 14 70

7 3 5 29 ⎛ 28 9 10 ⎞ y− y+ y=⎜ − + y= y; ⎝ 48 48 48 ⎠⎟ 12 16 24 48

5 3 5 47 ⎛ 40 42 35 ⎞ m+ m− m=⎜ + − m= m; ⎝ 56 56 56 ⎟⎠ 7 4 8 56

5 1 11 5 ⎛ 11 5 2 ⎞ ⎛ 66 25 36 ⎞ c= c. c− c − 0, 4c = ⎜ − − c=⎜ − − c= ⎝ 15 18 5 ⎟⎠ ⎝ 90 90 90 ⎟⎠ 90 18 5 18 3 4 5 29 ⎛ 27 32 30 ⎞ x+ x− x=⎜ + − x= x. ⎝ 72 72 72 ⎠⎟ 8 9 12 72

3 29 29 3 29 ⋅ 90 10 1 , то x= ⋅3 = = =1 ; 29 72 72 29 72 ⋅ 29 8 4

Якщо x = 3

9 2 3 1 ⎛ 27 4 18 ⎞ c− c− c=⎜ − − c= c. ⎝ 30 30 30 ⎟⎠ 10 15 5 6

Якщо c = 2, 4 , то

1 1 1 ⋅ 24 2 c = ⋅ 2, 4 = = ; 6 6 6 ⋅10 5

3 1 1 5 1 ⎞ 1 ⎛ 9 y−2 − y = ⎜3 −2 − ⎟ y =1 5 y . ⎝ 15 5 3 15 15 15 ⎠

ld z

3) 3

373. 1)

МАТЕМАТИКА

Якщо y = 10 , то 1

1 6 ⋅10 y= = 12 . 5 5

1 1 1 4 3 ⎞ 7 ⎛ 6 a+ a− a=⎜ + − a= a. ⎝ 12 12 12 ⎟⎠ 2 3 4 12 5 7 7 ⋅12 a= =1. Якщо a = 1 , то 7 12 12 ⋅ 7

374. 1)

4 5 2 1 ⎛ 12 5 14 ⎞ b+ b− b=⎜ + − b= b . ⎝ 21 21 21 ⎟⎠ 7 21 3 7 1 1 1⋅7 1 b= = . Якщо b = 2 , то 3 7 7 ⋅3 3

3) 1

5 7 2 14 8 ⎞ 21 7 ⎛ 15 m+2 m −1 m = ⎜1 +2 −1 m=2 m=2 m. ⎝ 36 12 18 9 36 36 ⎟⎠ 36 12

Якщо m = 1

375. 1) 2)

17 7 7 17 31 ⋅ 48 , то 2 m=2 ⋅1 = =4 . 31 12 12 31 12 ⋅ 31

1 7 1 7 2 ⎞ ⎛ 9 x + 1, 4 − x − x = 1, 4 + ⎜ − − x = 1, 4 + 0 ⋅ x = 1, 4 ; ⎝ 18 18 18 ⎟⎠ 2 18 9 1 1 9 2 9 ⎞ ⎛ 7 x + x + 7, 4 − x = 7, 4 + ⎜ + − x = 7, 4 + 0 ⋅ x = 7, 4 ; ⎝ 14 14 14 ⎟⎠ 2 7 14

259

3) 1

17 4 1 8 ⎞ ⎛ 17 a + 1 − 1, 5a − a = 1 + ⎜ 1 a −1 a − a = ⎝ 18 18 9 2 18 ⎟⎠

МАТЕМАТИКА

9 8 ⎞ ⎛ 17 = 1+ ⎜1 −1 − ⎟ a = 1 + 0a = 1 ; ⎝ 18 18 18 ⎠ 4) 2, 4 + 1, 25b +

5 1 1 ⎞ ⎛ 1 5 b−2 b = 2, 4 + ⎜ 1 + − 2 ⎟b= ⎝ 4 6 6 12 12 ⎠

1 ⎞ ⎛ 3 10 = 2, 4 + ⎜ 1 + −2 b = 2, 4 + 0b = 2, 4 . ⎝ 12 12 12 ⎟⎠

5 ⎞ 6⋅2 6 ⋅5 ⎛2 b = a+ b = 4a + 10b ; 376. 1) 6 ⎜ a + ⎝3 12 ⎟⎠ 3 12 2)

1⎛ 9 6 ⎞ 1⋅ 9 1⋅ 6 3 2 m − n⎟ = m− n= m− n ; 3 ⎜⎝ 11 7 ⎠ 3 ⋅11 3 ⋅7 11 7

1⎛ 21 3 ⎞ 8 ⋅7 8 ⋅ 21 8 ⋅7 7p + q −1 ⎟ = p+ q− = 8p + q −2 . 7 ⎜⎝ 24 4⎠ 7 7 ⋅ 24 7⋅4

4) 1

13 1 ⎞ 12 ⋅ 3 12 ⋅13 12 ⋅1 2 1 ⎛3 y− z = x+ y− z = = 9x + 8 y − z ; 3) 12 ⎜ x + ⎝4 18 24 ⎟⎠ 4 18 24 3 2

ld z

3 ⎞ ⎛1 377. 1) 14 ⎜ m + n ⎟ = 7m + 6n ; ⎝2 7 ⎠

1 ⎛ 12 18 ⎞ 2 3 b− c = b− c; 6 ⎜⎝ 17 23 ⎟⎠ 17 23

5 7 ⎞ 5 14 2 2 ⎛1 q+ t = 2p − q + t = 2p −1 q + 4 t ; 3) 8 ⎜ p − ⎝4 24 12 ⎠⎟ 3 3 3 3 4) 1

3⎛ 16 2 ⎞ 7⋅4 7 ⋅16 7⋅8 4a + b−2 ⎟ = a+ b− = 4 ⎜⎝ 21 3⎠ 4 4 ⋅ 21 4⋅3

= 7a +

378. 1) 5 2) 5

379. 1) 3 2) 3

260

4 14 1 2 b− = 7a + 1 b − 4 . 3 3 3 3

1 37 35 5 −3 =1 =1 (дм) — ширина; 7 36 63 9 1 5 36 ⋅14 ⋅1 = = 8 (дм2) — площа прямокутника. 7 9 7⋅9 1 1 16 ⋅ 5 ⋅1 = = 4 (м) — друга сторона прямокутника; 5 4 5⋅4 1 16 ⋅ 4 4 ⋅4 = = 12 (м2) — площа. 5 5 5

2) 8

1 3 25 ⋅18 ⋅3 = = 30 (см) — висота; 3 5 3⋅5

3) 8

1 1 25 ⋅15 ⋅ 30 ⋅ 7 ⋅ 30 = = 1875 (см3) — об’єм прямокутного парале3 2 3⋅2

лепіпеда.

381. 1) 1

11 5 11 10 1 +2 =1 +2 =4 (см) — довжина; 2 14 7 14 14 11 4 25 ⋅ 49 1 ⋅9 = = 17 (см) — ширина; 14 5 14 2

3) 1

11 1 1 25 ⋅ 9 ⋅ 35 1125 5 ⋅ 4 ⋅17 = = = 140 (см3) — об’єм. 14 2 2 14 ⋅ 2 ⋅ 2 8 8

2) 1

МАТЕМАТИКА

1 5 2 5 1 − = 8 − =7 (см) — ширина; 3 6 6 6 2

380. 1) 8

1 1 ⋅ 4 = 22 (км) — пішки; 3 8 7 1 1 ⋅12 = 18 (км) — їхав велосипедом; 2) 1 15 2 3 1 2 (км) — на стільки більше пройшов пішки, ніж 3) 22 − 18 = 3 3 3 проїхав на велосипеді.

383. 1) 4 2) 5

ld z

382. 1) 5

3 1 1 ⋅ 7 = 34 (грн) — коштують апельсини; 5 2 2 1 1 4 ⋅ 3 = 16 (грн) — коштують яблука; 4 5 5

1 4 7 − 16 = 17 (грн) — на стільки більше заплатила Оленка за 2 5 10 апельсини, ніж за яблука. 3) 34

Андрій 3 8 км/год 4

384. Богдан

4 год 5

? км 3 1 ⋅1 = 10 (км/год) — швидкість Богдана; 4 7 3 1 (км) — за годину проходить більше Богдан, ніж 2) 10 − 8 = 1 4 4 Андрій; 1 4 3 (км) — була відстань спочатку між велосипедистами. 3) 1 ⋅ 3 = 4 261 4 5 4

1) 8

4 5 1 ⋅5 = 58 (км/год) — швидкість машини; 5 12 2 4 1 3 (км) — за 1 годину долають разом відстань ве2) 10 + 58 = 69 5 2 10 лосипедист і машина; 3 1 ⋅ 3 = 231 (км) — відстань між містами. 3) 69 10 3

МАТЕМАТИКА

385. 1) 10

1 2 = 16 (км/год) — швидкість човна проти течії річки; 3 3 1 1 (км/год) — швидкість човна за течією річки; 2) 18 + 1 = 19 3 3 2 3 3) 16 ⋅ = 10 (км) — подолав шлях проти течії; 3 5 1 1 4) 19 ⋅1 = 29 (км) — подолав шлях за течією; 3 2

386. 1) 18 − 1

5) 10 + 29 = 39 (км) — шлях, який подолав човен за весь час руху. 1 1 7 + 2 = 24 (км/год) — швидкість теплохода за течією річки; 3 4 12 1 1 1 (км/год) — швидкість теплохода проти течії; 2) 22 − 2 = 20 3 4 12 1 1 ⋅ 3 = 60 (км) — шлях проти течії; 3) 20 12 4 7 3 1 ⋅1 = 39 (км) — шлях за течією; 4) 24 12 5 3 1 1 11 (км) — на стільки менше пройшов теплохід за 5) 60 − 39 = 20 4 3 12 течією, ніж проти течії.

ld z

387. 1) 22

1 4 1 1 1 5 замовлення, а друга . Разом за 1 год вони виконають + = , 6 4 6 12 3 5 3 5 год — ⋅ = . а за 4 12 4 16 5 1 За 3 години разом вони зроблять: ⋅3 = 1 (замовлення). 12 4 Відповідь: 3 години вистачить на виконання замовлення.

388. Приймемо все замовлення за 1. Тоді за 1 год одна швачка виконає

1 , 389. Приймемо все завдання за 1. Тоді за 1 годину I робітник зробить 5 1 а II робітник завдання. 15 1 1 4 + = (завдання) — зроблять разом за 1 годину. 5 15 15 1 4 1 1 год. ⋅1 = (завдання) — зроблять разом за 1 4 15 4 3 1 ⋅ 3 = 1 (завдання) — за 3 години. 3 Відповідь: встигнуть. 262

2x ⋅ 3 1x x = = ; 9 ⋅ 4y 6y 6y

7ab ⋅ 6c 3bc = ; 8 ⋅ 35a 20

5m ⋅ 4m m2 = 2 ; 4n ⋅ 5n n

18xy ⋅ 26z 4y = . 13z ⋅ 27x 3

6 7 3 7 3 < 200 ; 2) ⋅ = ⋅ ; 13 8 4 4 8 13 13 7 13 ⋅ 8 13 ⋅ 7 > ⋅ , бо > . 3) 20 20 8 20 ⋅ 8 20 ⋅ 8

391. 1) 200 ⋅

2 ; 3 7 7 9 7⋅8 7⋅9 < ⋅ , < . 3) 12 12 8 12 ⋅ 8 12 ⋅ 8

392. 1) 1000 > 1000 ⋅

19 5 19 ⋅ = ; 6 5 6

МАТЕМАТИКА

390. 1)

393. 1) 1, 6 ⋅ 25 ⋅12 = 480 (м3) — об’єм басейну; 1 (год). 2) 480 : 2, 4 = 200 (хв) = 3 3

1 1 = 22 (кг) — яблук у першому ящику; 3 3 1 2 (кг) — у другому. 2) 20 − 2 = 17 3 3 3 3 3 ; ; . 4 5 6

ld z

395.

394. 1) 20 + 2

396. НСК ( 4; 6 ) = 12 . Кількість кущів має бути більшою за 85, меншою за 100 і ділитися на 12. Це — 96. 640 км/год

397. 720 км/год A

пролетів І літак за х год C

24 км D

пролетів ІІ літак за х год

1) 0, 4 ⋅ 640 = 256 (км) — пролетів І літак за 0,4 год (відстань AB). 2) 720 − 640 = 80 (км/год) — на стільки більша швидкість ІІ літака, ніж швидкість І літака. 3) 256 + 24 = 280 (км) — на стільки відстань AD більше, ніж BC. 4) 280 : 80 = 3, 5 (год) — через стільки після свого виліту ІІ літак буде на відстані 24 км від І літака. 398. 13 трикутників. 399. 1)

14 14 2 2 >4 ; =4 ; 4 >4 ; 3 3 3 3

3) 6 >

35 35 5 ; =5 <6 . 6 6 6

12 12 2 2 <3 ; =2 ; 2 <3 ; 5 5 5 5

263

МАТЕМАТИКА

400. 1)

124 4 = ; 279 9 324 2 162 2 81 3 27 3 93 33 1

324 6 = ; 378 7 378 2 189 3 63 3 21 3 77 1

НСД ( 324; 389 ) = 2 ⋅ 33 = 54 . 3)

888 8 = ; 999 9

1111 101 = ; 111111 10101

2323 23 = ; 3434 34

121212 12 = (дільник 10101). 191919 19

2) 26 % = 0, 26 ;

401. 1) 7 % = 0, 07 ; 3) 60 % = 0, 6 ;

4) 180 % = 1, 8 .

36 9 = ; 100 25 140 7 2 4) 140 %= = =1 . 100 5 5

2) 36 %=

ld z

6 3 = ; 100 50 80 4 = ; 3) 80 %= 100 5

402. 1) 6 %=

403. 1) 0, 12 = 12 % ;

2) 0, 05 = 5 % ;

3) 0, 5 = 50 % ;

1 1 26 ⋅100 =1 : 100 = = 104 % ; 25 25 25

5) 1

6) 4 = 400% ;

7) 1, 12 = 112 % ;

8) 0, 467 = 46, 7 % .

4) 0, 324 = 3, 24 % ;

404. Записані на дошці числа можна представити у такому вигляді: 50 + a, 60 + b, 70 + c, де a, b, c — цілі числа від 0 до 9. Тоді, щоб отримати суму 147 слід додати числа 60 + b і 70 + c, при цьому b + c = 17. Отже цифрами b і c можуть бути лише цифри 9 і 8. Другим і третім числом можуть бути числа 68 і 79 або 69 і 78. Сума першого і другого чисел і сума першого і третього чисел має бути більше 119 і менше 130. Це можливо лише, якщо друге і третє числа 69 і 78. Тоді a може бути лише 1. Відповідь: 51, 69, 78.

12. Знаходження дробу від числа 3 3 ⋅ 60 ⋅ 60 = = 36 ; 5 5 5 3 5⋅3 1 ⋅ = = ; 3) 6 20 6 ⋅ 20 8

405. 1)

264

3 3 3 ⋅ 28 12 2 ⋅5 = = =2 ; 7 5 7 ⋅5 5 5

2) 0, 16 ⋅ 20 = 3, 2 ; 4)

24 39 24 ⋅ 39 9 ⋅ = = ; 65 40 65 ⋅ 40 25

3 2 3⋅8 ⋅2 = =1 . 8 3 8⋅3

406. 1) 14 % = 0, 14 ; 0, 14 ⋅ 60 = 8, 4 ;

2) 40 % = 0, 4 ; 0, 4 ⋅ 32 = 12, 8 ;

4) 180 % = 1, 8 ; 1, 8 ⋅ 3

1 18 ⋅10 = =6 . 3 10 ⋅ 3

2 2 ⋅ 90° ⋅ 90° = = 12° ; 15 15

13 13 ⋅180° ⋅180° = = 117° . 20 20

408. 1)

23 23 ⋅ 90° ⋅ 90° = = 115° ; 18 18

11 11 ⋅180° ⋅180° = = 165° . 12 12

409. 260 ⋅

5 260 ⋅ 5 = = 100 (грибів) 13 13

410. 105 ⋅

22 105 ⋅ 22 = = 66 (пиріжків). 35 35

411. 85 % = 0, 85 480 ⋅ 0, 85 = 408 (кг).

407. 1)

МАТЕМАТИКА

3 8⋅3 3 3) 8 % = 0, 08 ; 0, 08 ⋅ = = ; 16 100 ⋅16 200

412. 12, 5 % = 0, 125 ; 720 ⋅ 0, 125 = 90 (козаків). 720 : 90 = 8 (човнів).

4 280 ⋅ 4 = = 160 (кг). 7 7

414. 280 ⋅

ld z

413. 16 % = 0, 16 ; 140 ⋅ 0, 16 = 22, 4 (га).

415. 18 ⋅

5 = 10 (кг). 9

416.

5 5 5 ⋅120 m ; при m = 120 , m= = 75 . 8 8 8

417.

3 3 3 ⋅ 210 a ; при a = 210 , a= = 45 . 14 14 14

418. 1) 1440 ⋅

7 = 840 (кг) — апельсинів; 12

2) 1440 − 840 = 600 (кг) — мандаринів. 7 9 = (ч.) — триповерхові котеджі; 16 16 9 = 108 (котеджів) — триповерхові. 2) 192 ⋅ 16

419. 1) 1 −

265

420. 1) 3, 5 % = 0, 035 ; 0, 035 ⋅ 32 = 1, 12 ; 2 45 ⋅ 2 1 2) 0, 45 ⋅ = = = 0, 1 ; 9 100 ⋅ 9 10

8 ⋅ 5, 4 = 1, 6 ; 27 2 2 1 14 ⋅1 14 14 6 14 ⋅ 6 2 1 = = ; ⋅ = = = ; 2) 4 %= 4 ⋅ 3 3 100 300 300 300 7 300 ⋅ 7 50 25 1 = 1, 6 − 0, 4 = 1, 2 . 3) 1, 6 − 25

421. 1)

422.

1 6 2 ⋅ = — усіх книжок становлять підручники з математики. 3 25 25

423.

5 9 1 ⋅ = — дерев у парку становлять дуби. 18 10 4

МАТЕМАТИКА

3) 1, 12 − 0, 1 = 1, 02 .

ld z

424. Приймемо за 1 кількість усіх деталей: 27 9 1 ⎛ 7 13 ⎞ 1) 1 − ⎜ + = 1− = = (частину) — всіх деталей виготовив ⎝ 18 36 ⎠⎟ 36 36 4 третій робітник; 1 2) 216 ⋅ = 54 (деталі) — виготовив третій робітник. 4

425. Нехай вся відстань становить 1. 4 7 ⎞ 7 ⎛ 3 + + = (відстані) — подолав Мюнхгаузен за четТоді 1 − ⎜ ⎝ 20 15 30 ⎟⎠ 20 вертий день. 7 2400 ⋅ = 840 (км). 20 2 3 = (дров) — решта; 5 5 3 4 4 ⋅ = (дров) — нарубав другого дня; 2) 5 9 15 3 4 1 =2 (м3) — Залізний Дроворуб нарубав другого дня. 3) 9 ⋅ 8 15 2

426. 1) 1 −

427. Нехай кількість коробок дорівнює 1. Тоді 5 13 1) 1 − = — решта; 18 18 2)

13 5 11 − = — продали в третій день; 18 12 36 11 = 99 (коробок) — продали у третій день. 4) 324 ⋅ 36 3)

266

13 15 5 ⋅ = — продали у другий день; 18 26 12

2) 9

1 5 1 ⋅ =3 (фута) — висота паркану; 3 14 3 1 1 1 ⋅ 3 = 31 (кв. фута) — площа паркану; 3 3 9

3) 31

1 1 ⋅ 4 = 40 (фунтів) — фарби витратив Том Сойєр. 9 2

429. 3 м = 300 см 13 = 78 (см) — ширина сейфу; 1) 300 ⋅ 50 15 = 45 (см) — висота сейфу; 2) 78 ⋅ 26

МАТЕМАТИКА

428. 1) 9

3) 300 ⋅ 78 ⋅ 45 = 1 053 000 (см3) — об’єм сейфу; 4) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216 (см3) — об’єм куба злитка золота;

5) 1 053 000 : 216 = 4875 (злитків) — золота можна сховати у сейфі.

430. 1) 200 ⋅ 0, 65 = 130 (сольдо) — прибуток у липні; 16 2) 130 ⋅ = 160 (сольдо) — прибуток у серпні; 13 3) 200 + 130 + 160 = 490 (сольдо) — прибуток за літо.

ld z

431. 1) 1200 ⋅1, 35 = 1620 (сольдо) — збитки у січні; 25 2) ⋅1620 = 2250 (сольдо) — збитки у лютому; 18

3) 1200 + 1620 + 2250 = 5070 (сольдо) — збитки взимку.

432. Приймемо за 1 кількість капусти. Тоді 32 % = 0, 32 ; 0, 32 ⋅1 = 0, 32 частини становить морква, а 138 % = 1, 38 частин становить картопля. Тоді всього частин овочів буде 1 + 0, 32 + 1, 38 = 2, 7 . 405 : 2, 7 = 150 (кг) — становить капуста. 433. Нехай Федоренко виграв 1 частину грошей. Тоді Дмитренко — 64 % = 0, 64 . Петренко — 76 % = 0, 76 . Усього виграш становить 1 + 0, 64 + 0, 76 = 2, 4 частини. 1800 : 2, 4 = 750 (грн) — становить 1 частина або виграш Федоренка. 750 ⋅ 0, 64 = 480 (грн) — виграш Дмитренка. 750 ⋅ 0, 76 = 570 (грн) — виграш Петренка. 2 ⋅ 280 = 4000 (ц) — увесь врожай; 7 9 = 2250 (ц) — буряків відвезли на завод; 2) 4000 ⋅ 16 1 3) 2250 ⋅ = 375 (ц) — цукру виготовили. 6

434. 1) 14

267

1 1 ⋅ 21 = 240 (ц) — увесь врожай; 4 3 33 = 198 (ц) — насіння переробили на олію; 2) 240 ⋅ 40 1 3) 198 ⋅ = 66 (ц) — отримали олії. 3

436. 1) 1 −

1 3 = (кулешу) — залишок; 4 4

3 1 1 ⋅ = (кулешу) — з’їв козак Чуб; 4 3 4

3 1 1 − = (кулешу) — новий залишок; 4 4 2

1 1 1 ⋅ = (кулешу) — з’їв козак Білоус; 2 2 4

1 1 1 − = (кулешу) — з’їв козак Мамай. 2 4 4

МАТЕМАТИКА

435. 1) 11

3 2 a = b . Зведемо дроби до спільного знаменника. 4 3 9 8 a= b , 9 > 8 , тоді a < b . 12 12 2 5 14 25 a= b. a= b , 14 < 25 , тоді a > b . 5 7 35 35

ld z

437. 1)

438. 1) 10 ⋅

1 2 = (м) — відрізали потім; 25 5

2) 10 ⋅

1 = 2 (м) — відрізали спочатку; 5

2⎞ 3 ⎛ 3) 10 − ⎜ 2 + ⎟ = 7 (м) — залишилося; ⎝ 5⎠ 5

440.

4) 7

3 1 2 ⋅ = (м) — відрізали; 5 19 5

5) 7

3 2 1 − =7 (м) — шнура залишилося. 5 5 5

1 1 a = b , a ⋅0 , b⋅0 . 2 3 1 1 > , отже, a < b . Тоді 2 3

41 1 ⎛ 1 1 1⎞ = . 441. 1 − ⎜ + + ⎟ = 1 − ⎝ 7 3 2⎠ 42 42

268

Отже, в класі 42 учні, один отримав оцінку нижче 6 балів.

444. Нехай у саду було a яблунь і b груш. 1 3 a = b або 1a = 3b . 5 5 Одна частина яблунь становить 3 частини груш. Отже, всього 4 частини — це 100 дерев. 100 : 4 = 25 (дерев) — одна частина. Маємо 25 груш і 25 ⋅ 3 = 75 яблунь. Тоді 20 % = 0, 2 , 60 % = 0, 6 , 0, 2a = 0, 6b ,

МАТЕМАТИКА

443. Нехай в кожному автобусі було x уболівальників. Тоді всього їх було 5100 11 11 143 13x . . усіх уболівальників становить ⋅ 3x = x ; 300 = 17 17 17 17 143 5100 x не більше , або 143x не більше 5100. Кількість Тоді 17 17 уболівальників в одному автобусі не перевищує 5100 : 143 = 35 . Але 35 гостей не може бути, бо їх парне число. Отже, гостей було в кожному автобусі 34. Всього 34 ⋅13 = 442 (гості).

445. Знайдемо, яку частину становить учень, який вийшов: 1 1 1 − = — всіх учнів. Отже, в класі 42 учня. 6 7 42 26 17 208 153 > , > ; 2) 63 56 504 504 2003 2004 2003 1 < , =1− ; 3) 2004 2005 2004 2004 1 1 1 1 1− < 1− ; > . 2004 2005 2004 2005

31 19 124 133 < , > ; 42 24 168 168 2004 1 =1− ; 2005 2005

447. 4

ld z

446. 1)

4 1 1 ⎛ 11 2 ⎞ 2 40 ⋅ 33 ⋅ 6 51 14 22 17 2 2 ⋅1 ⋅1 − ⎜ 2 −2 4 = − ⋅ = − =5 −3 = 35 ⎟⎠ 3 9 32 5 ⎝ 14 5 9 ⋅ 32 ⋅ 5 70 3 4 5 4 1 2 5 4 1 −3 =5 −3 =2 . 2 5 20 10 10

448. 1) 1 3)

1 3 8 27 53 − =1 − = ; 9 8 72 72 72

2) 1

1 3 10 ⋅ 3 5 ⋅ = = ; 9 8 9 ⋅ 8 12

53 5 53 30 23 − = − = . 72 12 72 72 72

449. 1) 31, 5 : 9 = 3, 5 (год) — час, за який велосипедист проїхав 31,5 км; 2) 3, 5 − 3 = 3, 5 (год) — час, за який мотоцикліст проїхав 31,5 км; 3) 31, 5 : 0, 5 = 63 (км/год) — швидкість мотоцикліста; 8 1 4) 72 : 63 = = 1 (год) — час, за який мотоцикліст проїхав від А до В; 7 7 1 1 5) 1 + 3 = 4 (год) — час, який буде в путі велосипедист, коли мото7 7 цикліст приїде до міста В; 1 9 ⋅ 29 261 2 = = 37 (км) — проїде за цей час велосипедист; 6) 9 ⋅ 4 = 7 7 7 7 2 5 7) 72 − 37 = 34 (км) — відстань від велосипедиста до міста В. 7 7 269

1 години. 4 Повне обернення дорівнює 360° . Це число кратне 4, отже повернутися черепаха може тільки через цілу кількість годин.

МАТЕМАТИКА

450. 15 хвилин =

13. Взаємно обернені числа 5 451. 1) ; 3 452. 1)

11 ; 7

1 2) ; 12 2)

1 ; 6

9 ; 29

25 ; 4

5) 17;

10 . 23

5 ; 12

100 ; 23

5) 9;

5 . 18

1 19 6 = і — взаємно обернені; 6 6 19 2 1 5 і 2 = — взаємно обернені; 2) 0, 4 = 5 2 2

453. 1) 3

3) 0, 4 ⋅ 0, 25 = 0, 1 — не взаємно обернені; 5 = 1 — взаємно обернені; 6 6 5) 1, 4 ⋅ = 1, 2 — не взаємно обернені; 7 3 6) 1 ⋅ 0, 7 = 1 — взаємно обернені. 7

454. 1)

ld z

4) 1, 2 ⋅

12 ⎛ 7 13 ⎞ ⎛ 12 19 ⎞ 13 13 ⋅⎜1 ⋅4 ⋅ =4 ; ⎟ =⎜ ⎟ ⋅4 21 19 ⎝ 12 21 ⎠ ⎝ 19 12 ⎠ 21

⎛ 2 ⎞ 7 ⎛ 23 7 ⎞ = ⋅ ⋅ 25, 8 = 25, 8 . 2) ⎜ 3 ⋅ 25, 8 ⎟ ⋅ ⎝ 7 ⎠ 23 ⎜⎝ 7 23 ⎟⎠

8 ⎛ 4 5⎞ 8 ⎛ 8 4⎞ 1 ⋅ ⋅1 = 6 ⋅ ⋅ =6 ; 455. 1) ⎜ 6 ⎝ 11 5 ⎟⎠ 4 11 ⎜⎝ 5 4 ⎟⎠ 11 2) 2

456. 1)

7 7 35 36 1 + = і =1 ; 18 12 36 35 35

2) 2

270

5 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 17 6 ⎞ ⋅ 17, 8 ⋅ = ⋅ ⋅17, 8 = 17, 8 . 6 ⎜⎝ 17 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 17 ⎟⎠

13 20 39 + 40 79 37 42 +1 =3 =3 =4 і ; 14 21 42 42 42 205

13 7 26 21 5 1 − = − = = і 24; 60 40 120 120 120 24

22 21 3 10 1 ⋅ = і =3 . 35 44 10 3 3

457. 1) 8

3 5 9 10 11 1 −7 = 8 −7 = і 1 ; 4 6 12 12 12 11

2) 1

1 5 1 ⋅ = і 3. 15 16 3

458. 1) У два рази;

2 частину. 3

2 28 7 1 2 ; ; = = 1 ; 1, 04 = 1 5 20 5 25 5 6 2 7 2 35 7 2 1 =1 ; =1 ; = =1 . 15 5 5 5 30 5 5 6 28 7 35 ; ; 1 ; . Отже, рівні числа: 1,4; 15 20 5 30

460. 1) 70 ⋅

1 1 = 10 (км) — становить частина; 7 7

МАТЕМАТИКА

459. 1, 4 = 1

2) 70 + 10 = 80 (км) — проїхав за другу годину; 13 = 65 (км) — за 3 годину; 16 15 15 4) ⋅ 215 = 75 (км) — за 4 годину; ⋅ (70 + 80 + 65 ) = 43 43

3) 80 ⋅

5) 215 + 75 = 290 (км) — вся відстань. x =5 3 x = 5⋅3 x = 15 ;

x = 0, 8 0, 4 x = 0, 8 ⋅ 0, 4 x = 0, 32 ;

4) 3x = 1 1 x= . 3

ld z

3) 7x = 4 4 x= ; 7

461. 1)

462. Виграє Василь. Число розломів плитки становить 47 — непарне число. Василь ходить непарну кількість разів.

14. Ділення дробів

3 5 3 ⋅ 6 18 : = = ; 7 6 7 ⋅ 5 35

3 2 3 ⋅ 21 9 1 : = = =2 ; 14 21 14 ⋅ 2 4 4

7 42 7 ⋅ 43 301 13 : = = =3 ; 16 43 16 ⋅ 42 96 96

3 21 3 ⋅ 40 3 : = =1 ; 4 40 4 ⋅ 21 7

9 27 9 ⋅ 50 2 : = = ; 25 50 25 ⋅ 27 3

45 63 45 ⋅ 64 5 ⋅ 8 40 : = = = ; 56 64 56 ⋅ 63 7 ⋅ 7 49

2 1 2⋅6 : = =4 ; 3 6 3

65 26 65 ⋅ 49 5 ⋅1 1 : = = =1 . 98 49 98 ⋅ 26 2 ⋅ 2 4

11 ⋅ 8 88 43 = =1 ; 15 ⋅ 3 45 45

6 ⋅ 25 1 ⋅ 5 5 = = ; 35 ⋅18 7 ⋅ 3 21

12 ⋅ 77 1 ⋅ 7 7 = = ; 55 ⋅ 48 5 ⋅ 4 20

21 ⋅ 4 7 = ; 40 ⋅ 3 10

463. 1)

464. 1) 3)

271

27 ⋅ 25 3 ⋅1 1 = =1 ; 50 ⋅ 9 2 2

63 ⋅ 56 7 ⋅ 7 49 9 = = =1 ; 64 ⋅ 45 8 ⋅ 3 40 40

5 ⋅ 32 =4 ; 8 ⋅5

14 ⋅ 5 14 3 = =1 . 55 ⋅1 11 4

10 ⋅ 6 = 12 ; 5

465. 1) 8 :

3 8 ⋅ 5 40 1 = = = 13 ; 5 3 3 3

12 ⋅16 64 4 = = 12 ; 15 5 5

3 ⋅1 3 = ; 4⋅2 8

10 ⋅1 1 = ; 11 ⋅10 11

4 ⋅1 4 = ; 7 ⋅ 3 21

12 ⋅1 3 = ; 25 ⋅ 4 25

8) 1 ⋅

16 ⋅ 9 24 3 = =3 ; 3 ⋅14 7 7

10)

38 ⋅ 25 = 10 ; 5 ⋅19

11)

.n 8)

98 ⋅ 45 10 1 = =3 ; 27 ⋅ 49 3 3

10)

467. 1) 3

3 8 7 15 ⋅ 8 ⋅ 7 1 ⋅ ⋅ = =2 ; 4 3 10 4 ⋅ 3 ⋅10 3

36 ⋅ 26 8 = ; 13 ⋅ 81 9 18 ⋅ 35 1 =2 . 7 ⋅ 36 2

15 3 ⋅ 7 15 ⋅ 8 ⋅10 100 2 : = = = 14 ; 4 8 ⋅10 3 ⋅ 4 ⋅7 7 7

16 ⋅15 ⋅ 36 12 6 = = ; 9 ⋅ 32 ⋅ 55 22 11

16 ⋅15 ⋅ 36 6 = ; 9 ⋅ 32 ⋅ 55 11

25 ⋅ 7 ⋅ 2 25 1 = =2 ; 7 ⋅ 8 ⋅ 3 12 12

25 8 ⋅ 2 25 ⋅ 7 ⋅ 3 75 11 : = = =4 ; 7 7 ⋅ 3 7 ⋅ 8 ⋅ 2 16 16

5 1⋅ 8 5 1 9 3 + = + = = ; 12 8 ⋅ 3 12 3 12 4

4 ⎛ 5 1 ⎞ 3 13 ⋅ 8 13 7) ⎜ + ⎟ : = = =1 ; ⎝ 12 8 ⎠ 8 24 ⋅ 3 9 9 9)

272

7 ⋅1 7 = ; 9 ⋅ 5 45 16 ⋅11 4) = 44 ; 4 18 5 =1 ; 6) 1 ⋅ 13 13

14 ⋅ 27 1 =1 ; 9 ⋅ 35 5

36 ⋅ 7 2 = . 35 ⋅18 5

ld z

15 ⋅ 32 4 = ; 8 ⋅ 75 5

12)

9 54 5 = =7 ; 7 7 7 29 29 1 = = 14 ; 3) 13 ⋅ 26 2 2 9 ⋅1 3 = ; 5) 16 ⋅ 6 32

466. 1) 6 ⋅

8 1 =1 ; 7 7

МАТЕМАТИКА

20 ⎛ 5 9 ⎞ 20 8 20 ⋅ 42 = 15 ; : − = : = 7 ⎜⎝ 6 14 ⎟⎠ 7 42 7⋅8

10)

20 ⋅ 6 9 24 9 3 9 11 − = − =3 − =2 ; 7 ⋅ 5 14 7 14 7 14 14

11)

9 ⋅11 3 ⋅ 8 33 3 171 31 − = − = =1 ; 4 ⋅15 8 ⋅ 7 20 7 140 140

14 ⋅ 24 ⎞ 27 ⎛ 3 ⎞ 27 15 ⋅ 27 9 1 ⎛ 12) ⎜ 7 − ⋅ = 7 −5 ⎟ ⋅ = = =2 ; ⎝ 9 ⋅ 7 ⎟⎠ 20 ⎜⎝ 9 ⎠ 20 9 ⋅ 20 4 4

468. 1) 12 ⋅

8 5 ⋅ 32 5 2 8 − = 3 −2 = ; 27 4 ⋅15 9 3 9

66 ⎛ 8 ⋅ 45 ⎞ 66 ⎛ 5 ⎞ 66 ⋅ 8 48 13 :⎜2− :⎜2− ⎟ = = =1 ; ⎟= 35 35 ⎝ 9 ⋅ 64 ⎠ 35 ⎝ 8 ⎠ 35 ⋅11 35

2) x =

6⋅8 , x = 16 ; 3

3) x =

2 ⋅1 2 , x= ; 9⋅3 27

4) x =

3 ⋅11 11 , x= ; 7 ⋅6 14

5) x =

18 ⋅ 35 1 , x=2 ; 49 ⋅ 6 7

6) x = 2, 4 ⋅

470. 1) x =

5 ⋅ 27 3 , x= ; 18 ⋅ 25 10

3) x =

5 ⋅1 5 , x= ; 7⋅4 28

5) x = 4

39 ⋅17 , x = 51 ; 13

4) x = 1

9 2 1 ⋅2 , x=3 ; 16 15 3

4 5 : , x = 24 ; 9 27

6) x = 5, 2 : 1

4 , x = 3, 6 . 9

2 8 : = 65 (км/год) — швидкість поїзда. 3 15

471. 34

2) x =

8 , x = 6, 4 . 3

ld z

469. 1) x =

9 ⋅7 1 , x=2 ; 14 ⋅ 2 4

8 ⎞ 10 ⎛ 2 8 ⎞ 10 2 ⋅10 4 ⎛ 36 ⋅ 5 3) ⎜ −1 = ⎜1 −1 = = . ⎟⋅ ⎝ 35 ⋅ 4 35 ⎟⎠ 3 35 ⋅ 3 21 35 ⎠ 3 ⎝ 7

МАТЕМАТИКА

1 1⎞ 3 11 3 23 ⋅ 3 ⎛ 1 31 ⋅15 ⎞ 3 ⎛ 1 = . 13) ⎜ 3 − ⋅ = 3 −1 ⎟ ⋅ =1 ⋅ = ⎝ 6 6 ⋅ 62 ⎟⎠ 92 ⎜⎝ 6 4 ⎠ 92 12 92 12 ⋅ 92 16

472. 63 : 50 473. 22 : 2 474. 3

2 1 =1 (год) — час за який автобус проїде 63 км. 5 4

1 = 10 (грн) — коштує 1 кг цукерок. 5

5 1 2 :5 = (кг) — маса 1 дм3 сплаву. 9 3 3

2 475. Нехай в одній цистерні 1 частина нафти, тоді в другій — 1 час9 2 2 2 тини. Разом 1 + 1 = 2 . Тоді 120 : 2 = 54 (т) — у першій цистерні, 9 9 9 120 − 54 = 66 (т) — у другій цистені. 1 476. Нехай в одному контейнері була 1 частина яблук. Тоді в другому — 2 3 1 1 1 частин. Разом 1 + 2 = 3 (частин). Тоді 90 : 3 = 27 (кг) — в першому 3 3 3 контейнері яблук, 90 − 27 = 63 (кг) — у другому контейнері. 273

142 71 ⎛5 7 ⎞ 477. 1) ⎜ + :2 = = ; ⎝ 6 20 ⎟⎠ 120 ⋅ 2 120

5 ⎞ 2 1 5 ⎛ 3 :2 = 3 ⋅ = 1 ; 2) ⎜ 1 + 2 ⎝ 7 21 ⎟⎠ 3 2 6

МАТЕМАТИКА

3 1⎞ 2 1 4 ⎛ 3 3) ⎜ 2 + 3 + 2 ⎟ :3 = 8 ⋅ = 2 ; ⎝ 5 5 10 2⎠ 5 3 7 1⎞ 2 1 2 ⎛ 5 4) ⎜ 7 +6 + 8 ⎟ : 3 = 21 ⋅ = 7 . ⎝ 24 9 24 6⎠ 3 3

478. 1. 1) 2 3) 9

13 5 33 11 +2 =4 =4 ; 48 12 48 16

2) 4

11 3 75 ⋅ 4 5 1 :3 = = =1 ; 16 4 16 ⋅15 4 4

3 39 13 : 12 = = ; 4 4 ⋅12 16

4) 1

1 13 7 − = . 4 16 16

10 8 ⋅19 1 13 6 28 ⋅ 55 2 = =3 ; 2) 1 ⋅1 = =2 ; 19 48 6 15 49 15 ⋅ 49 21 1 2 7 4 3 1 =3 −2 =1 =1 ; 3) 3 − 2 42 14 6 21 42 42 1 25 3 25 14 7 −1 =3 −1 =1 =1 ; 4) 3 36 18 12 36 36 36 1 7 15 ⋅18 27 :1 = = . 5) 1 14 18 14 ⋅ 25 35 5 20 35 60 38 −1 =2 −1 = ; 9 21 63 63 63

ld z

479. 1. 1) 2

2. 1) 8 : 2

8 17 ⋅1 17 :6 = = ; 9 9 ⋅ 6 54

3) 1

17 13 35 ⋅ 27 15 3 ⋅1 = = =3 ; 18 14 18 ⋅14 4 4 3 9 39 18 21 =3 −1 =2 ; 3) 3 − 1 4 26 52 52 52

38 8 38 ⋅ 49 14 :1 = = ; 63 49 63 ⋅ 57 27

14 17 45 5 + = = . 27 54 54 6

5 19 21⋅ 20 35 9 2) 2 :1 = = =1 ; 8 20 8 ⋅ 39 26 26

2. 1) 1

480. 1)

4) 2

25 1 25 3 22 11 −1 =2 −1 =1 =1 ; 78 26 78 78 78 39

5) 2

21 11 125 ⋅ 39 15 7 :1 = = =1 . 52 39 52 ⋅ 50 8 8

3 7 5 9 x+ x− x= ; 8 12 6 32 1 9 x= ; 8 32

274

2) 7

3 25 13 + x=8 ; 10 28 35

25 13 3 x=8 −7 ; 28 35 10

9 1 : ; 32 8

25 1 x =1 ; 28 14

9⋅8 1 =2 ; 32 4

x =1

1 25 : ; 14 28 1 x =1 ; 15

1 1 14 −1 x =1 ; 3 20 15

4) 5

11 8 5 x− = ; 14 15 21

1 1 14 x = 3 −1 ; 20 3 15

11 5 8 x= + ; 14 21 15

1 2 x =1 ; 20 5

11 81 x= ; 14 105

2 1 :1 ; 5 20 1 x =1 ; 3

81 11 :5 ; 105 14 2 x= ; 15

x =1

1 1 5 : x −1 = 1 ; 3 6 9

1 5 1 :x = 1 +1 ; 3 9 6

1 39 :x = 2 ; 3 54

x −1

1 39 :2 ; 3 54

6 ; 7

1 ⎛ 1⎞ 5 : x −1 ⎟ = 1 ; 3 ⎜⎝ 6⎠ 9 1 1 5 = 2 :1 ; 6 3 9

x −1

1 1 =1 ; 6 2

x =1

1 1 +1 ; 2 6

x=2

6) 2

5) 2

МАТЕМАТИКА

3) 3

x=2

2 ; 3

ld z

3 11 ⎞ 1 ⎛ x⎟ = 1 ; 7) 27 : ⎜ 31 x − 2 ⎝ 7 14 ⎠ 8 9 1 x =1 ; 14 8 9 1 28 x = 27 : 1 ; 14 8 9 28 x = 24 ; 14 9 x = 24 : 28 14 378 x= . 401

27 : 28

481. 1)

1 1 1 19 x+ x+ x =1 ; 3 4 5 75 47 19 x =1 ; 60 75

2) 4

2 5 11 x+3 =6 ; 9 14 21

2 11 5 x=6 −3 ; 9 21 14 2 1 x=3 ; 9 6

x =1

19 47 : ; 75 60

x =1

3 ; 5

x=3 x=

1 2 :4 ; 6 9

3 ; 4

275

11 14 5 − x= ; 18 27 12

4) 2

2 5 3 x− =1 ; 11 16 4

14 11 5 x= − ; 27 18 12

2 3 5 x =1 + ; 11 4 16

14 7 x= ; 27 36

2 1 x=2 ; 11 16

7 14 : ; 36 27

x=2

3 ; 8

5) 4

1 3 19 : x +1 = 3 ; 2 4 28 1 19 3 :x = 3 −1 ; 2 28 4

1 13 :x =1 ; 2 14

x=4

1 13 :1 ; 2 14

x=2

1 ; 3

121 ; 128

2 ⎛ 4 ⎞ 5 : x −2 =3 ; 3 ⎜⎝ 15 ⎟⎠ 13

x−2

4 2 5 = 3 :3 ; 15 3 13

x−2

4 1 =1 ; 15 12

x =1

1 4 +2 12 15

6) 3

1 2 :2 ; 16 11

МАТЕМАТИКА

x=3

7 ; 20

ld z

1 ⎛ 4 ⎞ 7) 48 : ⎜ 3 x − 25⎟ = 1 ; ⎝ 5 ⎠ 2 4 1 x − 25 = 48 : 1 ; 5 2

4 x − 25 = 32 ; 5

4 x = 32 + 25 ; 5

4 x = 57 ; 5 4 x = 57 : 3 ; 5

x = 15 . 1 80 км/хв; км/хв = 1 3 60 1000 1 м/хв = 1333 м/хв; 80 км/год = 80 ⋅ 60 3

482. 80 км/год = 80 : 60 км/хв =

1000 1 м/хв = 83 м/хв; 60 3 1000 7 м/сек = 1 м/сек. 5 км/год = 5 ⋅ 3600 18

483. 5 км/год = 5 ⋅

276

4 1 2 :4 =2 (год) — витрачено на зворотний шлях; 5 20 3 2 5 1 (год) — витрачено на шлях на плоту; 2) 2 + 1 = 4 3 6 2 4 1 2 (км/год) — швидкість течії. 3) 10 : 4 = 2 5 2 5

1 1 : 1 = 27 (км/год) — швидкість теплохода за течією річки; 2 2 3 5 (км/год) — власна швидкість теплохода; 2) 27 − 3 = 23 8 8 5 3 1 (км/год) — швидкість теплохода проти течії; 3) 23 − 3 = 20 8 8 4 1 1 4) 40 : 20 = 2 (год) — витрачено на зворотний шлях; 2 4 1 1 (год) — на стільки більше витратить теплохід на зво5) 2 − 1 = 2 2 ротний шлях.

485. 1) 40

МАТЕМАТИКА

484. 1) 10

1 14 7 = 14 (хв) = (год) = (год) — витрачає трамвай на зупинку; 6 60 30 3 1 1 (год) — час, за який трамвай проходить маршрут; 2) 15 : 13 = 1 4 8 5 1 7 13 =1 (год) — за стільки трамвай подолає весь маршрут. 3) 1 + 5 30 30

488. 32

ld z

486. 1) 12 ⋅1

1 3 1 : = 43 (пакету). 2 4 3

1 1 = 13 (пачки). 3 2 Відповідь: для зв’язування 13 пачок вистачить мотузки.

489. 18 : 1

2 (банки). 3 Відповідь: потрібно 17 банок.

490. 5 : 0, 3 = 16

2 1 = 10 (цеберок). 3 2 Відповідь: потрібно 11 цеберок.

491. 70 : 6

492. Приймемо об’єм роботи за 1. Тоді за 1 годину Іван Іванович відремон1 1 кабінету, а Петро Петрович — . тує 24 48 1 1 1 + = — разом за 1 год; 24 48 16 1 1: = 16 (год) — потрібно для ремонту кабінету разом. 16 277

1 частину індички з’їдає Том за 1 хвилину, 20 1 частину індички з’їдає Джеррі за 1 хвилину, 30 1 1 1 + = — вони з’їдають разом за 1 хвилину; 20 30 12 1 12 1: = = 12 (хв) — за стільки вони справляться з індичкою разом. 12 1

494. Приймемо все завдання за 1, 1 30 ⋅1 = 45 (год) — потрібно другому робітникові, 2 1 завдання виконає перший робітник за 1 год, 30 1 завдання виконає другий за 1 год. 45 1 1 1 + = — вони виконають разом за 1 год, 30 45 18 1 1: = 18 (год) — потрібно їм на виконання завдання разом. 18 1 3 ⋅18 = (завдання) — виконає перший робітник; 30 5 1 2 ⋅18 = (завдання) — виконає другий робітник. 45 5 1 = 10 (днів) — потрібно ІІ трактористу, щоб зорати поле; 5 1 10 ⋅1 = 15 (днів) — потрібно ІІІ трактористу; 2 1 1 1 1 + + = (поля) — вони зорють разом за один день; 12 10 15 4 1 1 : = 4 (дня) — потрібно, щоб трактористи разом зорали поле; 4 1 1 ⋅4 = (поля) — зоре І тракторист; 12 3 1 2 ⋅4 = (поля) — зоре ІІ тракторист; 10 5 1 4 ⋅4 = (поля) — зоре ІІІ тракторист. 15 15

ld z

495. 1) 12 : 1 2)

МАТЕМАТИКА

493.

1 = 8 (год) — потрібно, щоб басейн наповнився через ІІ трубу; 4 1 1 9 + = — заповнять обидві труби за 1 год; 10 8 40 9 4 1: = 4 (год) — потрібно, щоб басейн наповнився через дві труби; 40 9 1 4 4 ⋅4 = (басейну) — наповнюється через І трубу; 10 9 9 4 5 1− = (басейну) — наповнюється через ІІ трубу. 9 9

496. 1) 10 : 1 2) 3) 4)

278

498. Нехай вся відстань дорівнює 1. Тоді за одну годину пасажирський поїзд 1 відстані. Разом за 1 год пасажирський і товарний поїзди проїде 36 1 1 1 1 за 1 год проходять відстані. Тоді − = відстані проходить 20 20 36 45 1 товарний поїзд за 1 год. 1 : = 45 (год) — потрібно товарному поїзду 45 для подолання відстані.

МАТЕМАТИКА

1 497. Приймемо всю роботу за 1. Тоді роботи виконають два робітники, 6 1 працюючи разом за 1 год. роботи виконає за 1 год перший робітник. 15 1 1 1 1 = 10 (год) — Тоді − = роботи виконає другий робітник. 1 : 10 6 15 10 потрібно другому робітнику для виконання роботи самостійно.

1 499. Перша труба заповнює басейн за 1 год на частину, а друга — на 3 1 2 1 (басейну) — перша труба наповнить за 2 год. частину. 2 ⋅ = 3 3 6 2 1 1 1 Залишиться наповнити 1 − = частину басейну. : = 2 (год) — час, 3 3 3 6 за який наповнить басейн друга труба. 2 + 2 = 4 (год) — час, за який було наповнено басейн.

ld z

1 1 замовлення, а друга — . 500. Перша бригада за одну год виконає 9 12 1 1 3⋅ = (замовлення) — перша бригада виконає за три дні; 9 3 1 2 1− = (замовлення) — залишилося виконати; 3 3 2 1 : = 8 (днів) — працювала друга бригада; 3 12 3 + 8 = 11 (днів) — виконувалося замовлення. 501. 1)

2a ⋅ 49 7a = ; 21 ⋅ 4b 6b

36ab ⋅ 34c 24a 3 = =3 a ; 17c ⋅ 21b 7 7

11m ⋅ 27m 3m2 = ; 9n ⋅ 22n 2n2 51x ⋅16y 3 1 = =1 . 32y ⋅17x 2 2

4 5a 6 7a = і a: = ; 5 4 7 6 15a 14a Зведемо до спільного знаменника: і . Отже, a = 12 . 12 12

502. a :

4 4 =1 (частин) — складає 24 год; 5 5 4 1 2) 24 : 1 = 13 (год) — минуло від початку доби; 5 3 1 4 2 (год) — залишилося до кінця доби; 3) 13 ⋅ = 10 3 5 3 2 1 (год) — 13 год 20 хв. 4) 24 − 10 = 13 3 3

503. 1) 1 +

279

6 11a 8 17a 12 19a = ; a: = ; a: = . 11 6 18 8 19 12 44a 51a 38a ; ; . Отже, a = 24 . Зведемо до спільного знаменника: 24 24 24 2

=1−

1 3+ 2

2 2⋅2 3 =1− = ; 7 7 7 2

1 8− 1 1 − 2 3 = 2) 1 8+ 8+ 1 1 − 2 3 8−

3) 1+

1 1+ 2 1

= 2+

2 1+

1 3

1 1+

2 3

1 1+ 5 3

1 3 1+ 5

5 . 8

1 1+ 3 2

= 2+

2 1+ 4 3

3 1+ 2

1 2 2 = 2+ = 2 ; 5 5 5 2

= 2+

ld z

506. 1) 2 +

1 1 6 = 8−6 = 1 ; 1 8+6 7 1 6

505. 1) 1 −

МАТЕМАТИКА

504. a :

1 1 7 4 2− 1 8 = 8 = 15 ; 2 = 1 1 17 1 2+ 2 8 8 4 2

1 1 2− − 2− 2 4 2 2) = 1 1 − 2+ 2 4 2+ 2 1

2−

1 2− 3

2−

1 5 3

1 2−

3 5

1 5 2− 7

1 7 = . 9 9 7

a a a a . Дріб, який получили — . : =2. c 2c c 2c Значення дробу зменшилось у 2 рази.

507. Нехай дріб має вигляд

1 відстані пропливає човен за 6 1 1 год по озеру — власна швидкість човна. відстані пропливає човен 5 1 1 1 за 1 год за течією річки — це швидкість човна за течією. − = — 5 6 30 швидкість плоту; 1 1: = 30 (год) — необхідно плоту, щоб подолати цю відстань. 30

508. Нехай певна відстань дорівнює 1. Тоді

280

1 відстані катер проходить 3 1 за 1 год — це швидкість катера за течією річки, а відстані пліт 15 1 1 1 2 1 − 2⋅ = − = — проходить за 1 год — це швидкість течії. Тоді 3 5 3 15 5 швидкість катера проти течії річки. 1:

1 = 5 (год) — потрібно катеру, щоб подолати цю відстань проти течії. 5

1 1 ; проти течії . Тоді 510. Швидкість теплохода за течією річки — 2 3 1 ⎛ 1 1⎞ швидкість течії річки — ⎜ − ⎟ : 2 = . ⎝ 2 3⎠ 12 1 1: = 12 (год) — потрібно плоту, щоб подолати цю відстань. 12

МАТЕМАТИКА

509. Нехай деяка відстань дорівнює 1. Тоді

3 (шляху) — пройшли туристи за другий день; 10 3 ⎞ 43 17 ⎛ 5 + = 1− = (шляху) — пройшли туристи за III день. 2) 1 − ⎜ ⎝ 12 10 ⎟⎠ 60 60

511. 1) 30 %=

3 4 = (грошей) — залишилось; 7 7 4 2800 ⋅ = 1600 (грн) — залишилось. 7

ld z

512. 1 −

5 11 = (частин) — сторінок залишилось; 16 16 11 = 165 (стор.) — залишилось прочитати. 2) 240 ⋅ 16 A

513. 1) 1 −

514. 1 випадок

∠KBC = 90° : 2 = 45°

∠MBK = ∠KBC + ∠MBC

∠MBK = 45° + 120° = 165°

M 2 випадок ∠KBA = 90° : 2 = 45°

A M

∠MBK = ∠MBA + ∠KBA ∠MBA = ∠MBC − ∠ABC ∠MBA = 120° − 90° = 30°

С B

∠MBK = 30° + 45° = 75° . 515. Переставити фішки у зворотному порядку не можна. Тисячна фішка стане тільки на парне місце, а 999-а фішка — на непарне. Маємо: на першому місці — 999, а на другому 1000. 281

МАТЕМАТИКА

15. Знаходження числа за його дробом 1 516. 1) 48 : = 144 ; 3 4 4) 48 : = 108 ; 9 1 = 112 ; 2 7 4) 56 : = 64 ; 8

517. 1) 56 :

518. 1) 12 :

1 = 192 ; 4 12 5) 48 : = 52 ; 13

3) 48 : 0, 4 = 120 ;

2) 56 : 0, 2 = 280 ;

2 = 84 ; 3 14 6) 56 : = 52 . 13

2) 48 :

3 = 16 ; 4

4) 81 : 0, 9 = 90 ;

5) 56 :

8 = 77 ; 11

2) 24 :

6 = 52 ; 13

5) 7

8 = 75 ; 15 15 = 64 ; 3) 120 : 8

3) 56 :

3) 63 : 6)

7 = 81 ; 9

5 5 : =1. 7 7

2) 4

1 1 3 1 : 0, 75 = : = ; 4 4 4 3

1 ⎞ ⎛ 4) 86, 4 : ⎜ 108 ⋅ = 80 . ⎝ 100 ⎟⎠

ld z

⎛ 1 1 ⎞ = 150 ; 3) 5 : ⎜ 3 ⋅ ⎝ 3 100 ⎟⎠ 521. 1) 52 : 0, 13 = 400 ;

3 3 4 3 : 0, 8 = : = ; 5 5 5 4

32 ⎛ 2 1 ⎞ 4 : 2 ⋅ = 28 . 49 ⎜⎝ 7 100 ⎟⎠ 7

24 = 60 . 25

4 5 : = 24 ; 9 27 9 3 1 4) : =1 . 10 5 2

519. 1) 40 :

520. 1) 48 : 0, 24 = 200 ;

1 9 1 : =5 ; 14 7 2

6) 48 :

522. 1960 :

523. 144 : 524. 16 :

49 1960 ⋅ 92 = = 3680 (місць) — у палаці «Україна». 92 49

3 = 240 (сторінок) — в книжці. 5

4 = 60 (голів) — забила команда. 15

525. 15 % = 0, 15 36 : 0, 15 = 240 (км) — відстань між містами. 526. 8 % = 0, 08 ; 280 : 0, 08 = 3500 (грн) — виділили на придбання книжок. 6 11 = (барильця) — меду залишилося; 17 17 11 = 34 (кг) — меду було. 2) 22 : 17

527. 1) 1 −

282

13 8 = (груш) — решта; 21 21 8 = 336 (кг) — груш продали за два дні. 2) 128 : 21 40 = 408 — сума; 408 − 320 = 88 — другий доданок. 51 7 = 84 — зменшуване. 84 − 49 = 35 — різниця. 2) 49 : 12

529. 1) 320 :

530. 1) 42 : 2) 90 :

9 = 50 — від’ємник. 5

161 + 42 = 203 — сума.

90 − 50 = 40 — зменшуване.

3 = 80 (хлопців) — було в школі; 4

531. 1) 60 :

6 = 161 — другий доданок; 23

МАТЕМАТИКА

528. 1) 1 −

2) 60 + 80 = 140 (учнів) — було в школі. 5 7 1 : =2 (дм) — друга сторона; 8 6 4

532. 1) 2

1⎞ 3 ⎛ 5 2) ⎜ 2 + 2 ⎟ ⋅ 2 = 9 (дм) — периметр прямокутника; ⎝ 8 4⎠ 4 5 1 21 ⋅ 9 189 29 ⋅2 = = =5 (дм2) — площа. 8 4 8⋅4 32 32

ld z

3) 2

4 = 20 (см) — ширина; 9 12 2 = 11 (см) — висота; 2) 20 : 7 3 2 3) 45 ⋅ 20 ⋅11 = 10 500 (см3) — об’єм прямокутного паралелепіпеда. 3

533. 1) 45 ⋅

534. 1) 56 ⋅

2) 20 :

5 = 20 (см) — довжина однієї сторони; 14 15 2 = 10 (см) — довжина другої сторони; 8 3

2⎞ 1 ⎛ 3) 56 − ⎜ 20 + 10 ⎟ = 25 (см) — довжина третьої сторони. ⎝ 3⎠ 3

535. 1) 15 2) 15 3) 7

1 23 : = 4 (см) — довжина прямокутника; 3 6 1 2 :2 = 7 (см) — напівпериметр; 3 3

2 2 −4 =3 (см) — ширина прямокутника. 3 3

283

4 = 33 (дерева) — фруктові; 11 11 = 45 (дерев) — всього посадили. 2) 33 : 15

МАТЕМАТИКА

536. 1) 12 :

9 = 168 (птахів) — качки; 28 2) 168 : 0, 42 = 400 (птахів) — всього.

537. 1) 54 :

5 ⎞ 7 ⎛ 7 + = (фруктів) — решта; 538. 1) 1 − ⎜ ⎝ 18 12 ⎟⎠ 36 2) 28 :

7 = 144 (кг) — фруктів привезли в санаторій. 36

⎛ 7 13 ⎞ 13 + = (армії) — решта полків; 539. 1) 1 − ⎜ ⎝ 20 30 ⎟⎠ 60 13 = 120 (полків) — всього в армії царя Гороха. 2) 26 : 60

540. Приймемо всю кількість яблук за 100 %. 1) 100 − ( 23 + 39 ) = 38 % (яблук) — зібрав Федір; 2) 190 : 0, 38 = 500 (кг) — зібрали всього.

ld z

541. Приймемо всю кількість овочів за 100 %. 1) 100 − ( 27 + 42 ) = 31 % (овочів) — капуста; 2) 496 : 0, 31 = 1600 (кг) — овочів завезли в магазин.

⎛ 7 2⎞ 7 + = (задач) — решта; 542. 1) 1 − ⎜ ⎝ 18 9 ⎟⎠ 18 7 = 36 (задач) — розв’язав за два дні. 2) 14 : 18 ⎛ 5 3⎞ 5 + = (сторінок) — тексту становить 10 сторінок; 543. 1) 1 − ⎜ ⎝ 12 8 ⎟⎠ 24 5 = 48 (сторінок) — тексту треба було перекласти. 2) 10 : 24 1 = 30 000 (вояків) — у польській армії; 3 2) 40 000 + 30 000 = 70 0000 (вояків) — в українсько-польській армії; 2 3) 60 000 : = 150 000 (вояків) — турецького війська; 5 4) 60 000 + 150 000 = 210 000 (вояків) — становить армія супротивника;

544. 1) 40 000 : 1

5) 210 000 : 70 000 = 3 (рази) — у стільки разів українсько-польське військо було меншим від армії супротивника. ⎛ 1 1 1⎞ 3 545. 1) 1 − ⎜ + + ⎟ = — жінки; ⎝ 2 4 7 ⎠ 28 3 = 28 (учнів) — було в школі Піфагора. 2) 3 : 28 284

547. 1) 36 :

11 = 220 ; 14

2) 220 ⋅

3 = 96 ; 8

2) 96 ⋅

10 = 286 . 13

7 = 28 . 24

13 15 = — решта грошей; 28 28 11 15 55 2) ⋅ = — грошей витратив на купівлю цукерок; 18 28 168 15 55 35 − = — грошей залишилося; 3) 28 168 168 35 = 168 (сольдо) — було у Буратіно спочатку. 4) 35 : 168

548. 1) 1 −

МАТЕМАТИКА

546. 1) 280 ⋅

7 5 = (головки сиру) — залишок; 12 12 5 7 7 2) ⋅ = (головки сиру) — з’їло друге мишеня; 12 15 36 5 7 8 2 − = = (головки сиру) — з’їло третє мишеня; 3) 12 36 36 9 2 2 1 (кг) — маса головки сиру. 4) 1 : = 7 3 9 2

ld z

549. 1) 1 −

7 ; 20 5 4 1− = (тканини) — залишок; 9 9 4 7 7 ⋅ = (тканини) — продали в другий день; 9 20 45 4 7 13 − = (тканини) — продали в третій день; 9 45 45 13 52 : = 180 (м) — тканини завезли в магазин. 45

550. 1) 35 %= 2)

551. 1) 55 %= 2) 1 −

11 (дороги) — відремонтували за перший місяць; 20

11 9 = (дороги) — залишок; 20 20

9 3 27 ⋅ = (дороги) — відремонтували за другий місяць; 20 8 160

9 27 45 9 − = = (дороги) — за третій місяць; 20 160 160 32

5) 45 :

9 = 160 (км) — відремонтували за три місяці. 32

285

1 2 = (гори) — залишилося; 3 3 2 1 2 ⋅ = (гори) — подолали за другий день; 3 3 9 2 2 4 − = (гори) — залишилося; 3 9 9 4 1 4 ⋅ = (гори) — подолали за третій день; 9 3 27 4 4 8 − = (гори) — подолали за четвертий день; 9 27 27 8 800 : = 2700 (м) — висота гори. 27

552. 1) 1 −

3) 4) 5) 5)

553. 1)

1 5 4 ⋅19 ⎛ 16 10 75 ⎞ 5 2 ⋅19 ⋅ 27 5 1 19 =1 ; + ⋅⎜ +1 − = + = ⎟= + 9 2 18 18 9 9 ⋅ 6 ⎝ 76 76 76 ⎠ 9 9 ⋅ 3 ⋅ 76

МАТЕМАТИКА

136 10 10 ⎛ 5 11 ⎞ 18 ⋅16 9 ⋅14 85 ⋅18 ⋅16 2) ⎜ 1 − ⋅ − = −2 = −2 = 6 −2 = 4 . ⎝ 54 36 ⎟⎠ 5 ⋅ 7 7⋅9 108 ⋅ 5 ⋅ 7 21 21 21 2) x =

ld z

⎛ 1⎞ 555. а) A ⎜ ⎟ ; ⎝ 6⎠

⎛7⎞ б) A ⎜ ⎟ ; ⎝ 8⎠

⎛ 11 ⎞ в) A ⎜ . ⎝ 12 ⎟⎠

a 4a 4a ⋅ 3 12a — був дріб, = = — став дріб. b b b b 3 a 12a < — у 12 разів. b b

556.

1 1 :5 ; x = ; 6 30 6 4) x = 2 . 7

1 ; 2 1 1 ; 3) x = : 4 ; x = 4 16

554. 1) x = 1

557. 20; 50.

558. Не можна, тому що числа 10, 100, 1000 не кратні 3. 559. Після того, як сім разів використали під час прання мило, об’єм решти 1 7 1 куска склав частину того, що було. Отже, використали 1 − = 8 8 8 1 куска. Маємо, що за кожне прання використовували частину куска, 8 стільки, скільки залишилося. Залишилось мила на одне прання.

16. Перетворення звичайних дробів у десяткові

286

560. 1)

4 ; 5

7 ; 8

13 ; 400

9 . 125

11 ; 16

562. 1)

3 65 = = 0, 65 ; 20 100

3 12 = = 0, 12 ; 25 100

9 225 = = 0, 225 ; 40 1000

7 7 ⋅ 625 4347 = = = 0, 4375 ; 16 16 ⋅ 625 10000

97 17 17 ⋅125 2125 =1 =1 =1 = 1, 2125 ; 10000 80 80 80 ⋅125

42 14 = = 2, 8 . 15 6

3 = 0, 375 ; 8 1 = 0, 04 ; 4) 25

17 ; 200

32 = 0, 256 ; 125 53 5) = 1, 06 ; 50

563. 1)

159 = 0, 795 ; 200 56 6) = 0, 32 . 175 3)

14 . 625

МАТЕМАТИКА

561. 1)

2) 4, 625 − 3, 94 = 0, 685 ; 4) 15, 63 + 1, 5625 = 17, 1925 .

564. 1) 0, 29 + 0, 24 = 0, 53 ; 3) 8, 22 − 4, 14 = 4, 08 ; 565. 1) 0, 24 − 0, 238 = 0, 002 ; 3) 0, 35 + 1, 875 = 2, 225 ;

2) 0, 948 + 0, 052 = 1 ; 4) 9, 658 − 8, 658 = 1 .

2 ; 5 2 49 3 22 49 15 1 3) + − = + − =1 ; 5 55 11 55 55 55 55

7 7 ⋅7 49 = = ; 11 5 ⋅11 55 56 ⋅ 33 21 1 4) = =4 . 55 ⋅ 8 5 5

2) 1, 4 ⋅

ld z

566. 1) 0, 5 : 1, 25 =

567. 1) 32 ⋅ 0, 45 = 14, 4 (см) — друга сторона трикутника; 11 = 22 (см) — третя сторона; 2) 32 ⋅ 16 3) 32 + 14, 4 + 22 = 68, 4 (см) — периметр трикутника.

569.

чорна біла або чорна

біла

568. 1) 6, 4 < 6, 42 ; 3) 0, 4 > 0, 08 ;

2) 2, 28 < 2, 314 ; 4) 0, 075 < 0, 1 .

Якщо подивитись на куб з вершини, то видно, що кожна грань має дві спільні грані, які спільні між собою і тому повинні бути різних кольорів.

17. Нескінченні періодичні десяткові дроби 571. 1) 1 : 9 = 0, (1) ; 3) 47 : 12 = 3, 91 ( 6 ) ;

2) 4 : 11 = 0, ( 36 ) ; 4) 12, 4 : 27 = 0, 4 (592 ) .

572. 1) 5 : 6 = 0, 8 ( 3 ) ; 3) 86 : 15 = 5, 7 ( 3 ) ;

2) 19 : 11 = 1, (72 ) ; 4) 6, 32 : 18 = 0, 35 (1) .

287

7 = 0, (7 ) ; 9

11 = 0, 3 ( 6 ) ; 30

31 = 0, ( 93 ) ; 33

49 = 0, 9 ( 074 ) . 53

574. 1)

5 = 0, 41 ( 6 ) ; 12

11 = 0, 7 ( 3 ) ; 15

19 = 0, 52 (7 ) ; 36

39 = 0, 88 ( 63 ) . 44

573. 1)

575. 1)

22 = 3, 1428... > 3, 14 ; 7

5 387 15 387 = 0, 3846... ; = 0, 387 ; < . 13 1000 13 1000

2 = 0, (18 ) < 0, 182 ; 11

7 77 7 77 = 0, (7 ) ; = 0, 77 ; > ; 9 100 9 100

11 19 11 19 = 0, 91 ( 6 ) ; = 0, 95 ; < ; 12 20 12 20

47 119 47 119 = 3, 1 ( 3 ) ; = 3, 30 ( 5 ) , < . 15 36 15 36 27 ⋅ 5 ⋅ 9 27 = ; 100 ⋅ 9 ⋅10 200

65 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 13 = ; 100 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 20 125

5 ⋅100 ⋅ 36 ⋅ 5 1 = ; 16 ⋅125 ⋅100 ⋅ 9 20

7 ⎛ 3 ⋅14 ⋅10 ⎞ 7 ⋅ 4 ⋅15 ⋅12 3 1 : = − =1 . 8 ⎜⎝ 4 ⋅15 ⋅12 ⎟⎠ 8 ⋅ 3 ⋅14 ⋅10 2 2

577. 1)

9 = 0, ( 81) ; 11

4 5 4 5 = 0, 571428... ; = 0, 635 ; < ; 7 8 7 8

1 1 < 0, 2 ; = 0, 1 ( 6 ) ; 6 6

576. 1)

13 = 0, 7 ( 2 ) ; 18

ld z

МАТЕМАТИКА

7 = 14 (см) — довжина однієї сторони трикутника; 18 3 2) 14 ⋅ = 6 (см) — довжина другої сторони; 7 3) 36 − (14 + 6 ) = 16 (см) — довжина третьої сторони.

578. 1) 36 ⋅

5 = 14 (км/год) — швидкість Гвідона; 7 2) 10 + 14 = 24 (км) — проходять за 1 годину разом цар і царевич;

579. 1) 10 :

3) 108 : 24 = 4, 5 (год) — час, через який вони зустрінуться. 580. 1) 9, 486 ≈ 9, 5 ; 12, 78 ≈ 12, 8 ; 0, 5498 ≈ 0, 5 ; 10, 333 ≈ 10, 3 ; 1, 89 ≈ 1, 9 ; 2) 3, 405 ≈ 3, 41 ; 4, 326 ≈ 4, 33 ; 82, 2048 ≈ 82, 20 ; 0, 2349 ≈ 0, 23 ; 0, 999 ≈ 1;

288

3) 0, 6372 ≈ 0, 637 ; 2, 2981 ≈ 2, 298 ; 6, 55555 ≈ 6, 556 ; 4, 6767 ≈ 4, 677 .

18. Десяткове наближення звичайного дробу 1 = 0, 0625 ≈ 0, 06 ; 16 9 = 0, 225 ≈ 0, 23 ; 3) 40 4 = 5, 3636 … ≈ 5, 36 ; 5) 5 11

16 = 0, 3529 … ≈ 0, 35 ; 17 1 4) 2 = 2, 333 … ≈ 2, 33 ; 3 17 6) 1 = 1, 085 ≈ 1, 09 . 200

12 = 0, 5217 … ≈ 0, 5222 ; 23 8 = 0, ( 8 ) ≈ 0, 889 ; 3) 9 2 5) 1 = 1, 2857 … ≈ 1, 286 ; 7

6 = 0, 1395 … ≈ 0, 140 ; 43 5 4) 5 = 5, 3125 ≈ 5, 313 ; 16 1 6) 3 = 3, 0016 ≈ 3, 002 . 625

583. 1)

582. 1)

МАТЕМАТИКА

581. Не можна. При додаванні до будь–яких записаних чисел одного натурального завжди залишається пара послідовних чисел, які відрізняються на 1.

36, 8 : 7 = 5, 257 … ≈ 5, 3 29 : 6 = 4, 833 … ≈ 4, 83 ; 2 : 3 = 0, 6666 … ≈ 0, 667 ; 52 : 15 = 3, 4666 … ≈ 3, 467 ;

2) 4) 6) 8)

2415 : 11 = 2, 196 … ≈ 2, 2 ; 5 : 13 = 0, 384 … ≈ 0, 38 ; 26, 7 : 14 = 1, 907 … ≈ 1, 91 ; 10 : 17 = 0, 58823 … ≈ 0, 5882 .

585. 1) 3) 5) 7)

43, 3 : 9 ≈ 4, 8 ; 38 : 11 ≈ 3, 45 ; 5 : 9 ≈ 0, 556 ; 90 : 22 ≈ 4, 091 ;

2) 4) 6) 8)

78, 32 : 18 ≈ 4, 4 ; 10 : 18 ≈ 0, 56 ; 64, 45 : 19 ≈ 3, 39 ; 65 : 23 ≈ 2, 8261 .

ld z

584. 1) 3) 5) 7)

586. 16 : 7 = 2, 2857 … ≈ 2, 29 (кг) — в кожному пакеті.

587. 5946 : 57, 9 = 102, 694 … ≈ 103 (рази) — Меркурій розташований ближче до Сонця, ніж Плутон. 588. 25 : 9 = 2, (7 ) ≈ 2, 8 (кг) — меду налили в кожний слоїк. 5 ≈ 0, 56 ; 9 4 3) x = ≈ 1, 33 ; 3

8 ≈ 0, 06 ; 125 49 4) x = ≈ 4, 08 ; 12

7 ≈ 0, 58 ; 12 16 ≈ 2, 29 ; 2) x = 7

2) x =

589. 1) x =

590. 1) x =

2) x =

5 ≈ 0, 63 ; 8 25 4) x = ≈ 4, 17 . 6

3 + 0, 69 ≈ 0, 43 + 0, 69 = 1, 12 ; 7 10 5 −3 + 4, 96 ≈ 12, 53 − 3, 42 + 4, 96 = 14, 07 . 2) 12 19 12

591. 1)

289

6 − 0, 28 ≈ 0, 46 − 0, 28 = 0, 18 ; 13 10 1 − 4, 54 − 5 ≈ 12, 53 − 4, 54 − 5, 17 = 2, 82 . 2) 12 19 6

МАТЕМАТИКА

592. 1)

3 3 1 : =4 (милі/год) — швидкість «Ліліпутії»; 8 4 2 3 1 7 (милі) — за годину проходять разом бриг і корвет; 2) 3 + 4 = 7 8 2 8 1 7 3) 47 : 7 = 6 (год) — через такий час після початку руху зустрі4 8 нуться Р. Крузо і Гуллівер.

593. 1) 3

2⎞ ⎛ 1 7⎞ ⎛ 594. ⎜ 3, 6 − 1 ⎟ : ⎜ 4 − 2 ⎟ ⋅ 2, 6 = 3, 9 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 15 9⎠ 2 3 2 9 10 14 = 3 −1 = 3 −1 =1 ; 15 15 3 5 3 15

1) 3, 6 − 1

1 7 3 35 13 −2 = 4 −2 =1 ; 45 15 9 45 45

3) 1

14 13 26 29 ⋅ 45 ⋅13 39 :1 ⋅ = = = 3, 9 . 15 45 10 15 ⋅ 58 ⋅ 5 10

2) 4

595. Нехай a — ділене, b — дільник, тоді 4a , частка збільшиться в 4 рази; b

ld z

a — даний дріб. b

4a 12a = , частка збільшиться в 12 разів; b b 3 6a 3a = , частка збільшиться в 3 рази; 3) 2b b a a 1 5 : 5b = ⋅ = , частка зменшиться в 50 разів. 4) 10 10 5b 50b

596. Після першого або другого віднімання від числа суми його цифр отримаємо числа, сума цифр яких дорівнює 9. 9 ⋅11 = 99 . Отже, це число 100. Дійсно: 100 – 1 = 99 99 – 18 = 81 81 – 9 = 72 72 – 9 = 63 63 – 9 = 54 64 – 9 = 45 45 – 9 = 36 36 – 9 = 27 27 – 9 = 18 18 – 9 = 9 9–9 = 0 290

§ 3. Відношення і пропорції

597. 1) 7 : 3 ; 2) 4 : 28 ; 3) 2, 1 : 3, 4 ; 4) 2

598. 1)

1 3 :7 . 3 5

13 5 8 7 ⋅ 3 21 ; 2) ; 3) ; 4) = . 50 2 4, 6 9 ⋅ 2 18

18 ⋅10 1 = ; 10 ⋅ 54 3 35 ⋅1 1 = ; 3) 3, 5 : 49 = 49 ⋅10 14

599. 1)

2) 2, 4 : 0, 08 = 240 : 8 = 30 ; 4) 9, 6 : 0, 16 = 96 : 1, 6 = 60 ;

МАТЕМАТИКА

19. Відношення

5) 3 дм : 5 см = 30 см : 5 см = 6; 6) 1 м : 1 км = 1 м : 1000 м = 0,001; 12 ⋅1 1 = ; 1 ⋅1800 150

7) 12 м : 1,8 км = 12 м : 1800 м =

8) 24 кг : 480 г = 24 000 г : 480 г = 50;

360 ⋅1 1 = ; 1 ⋅ 5 400 15

9) 360 кг : 5,4 г = 360 г : 5400 г =

60 5 = = 2, 5 ; 24 2 144 9 = ; 11) 14,4 дм : 160 см = 144 см : 160 см = 160 10 78 39 12) 78 см2 : 2,6 дм2 = = . 260 130

ld z

10) 1 год : 24 хв = 60 хв : 24 хв =

600. 1) 45 : 5 = 9 ;

2) 2 : 24 =

2 1 = ; 24 12

1 11 15 ⋅14 6 1 :1 = = =1 ; 4) 4, 8 : 0, 12 = 40 ; 7 14 7 ⋅ 25 5 5 5) 1,8 м : 30 см = 180 см : 30 см = 6;

3) 2

6) 1 кг : 125 г = 1000 г : 125 г = 8. 18 1 = . 72 4

601. 72 : 18 = 4 ;

18 : 72 =

602. 250 кг : 20 кг = 12,5;

20 кг : 250 =

20 2 = . 250 25

603. 1) 16 : 4 = 4 ; 0, 8 : 0, 2 = 8 : 2 = 4 . Отже, 16 : 4 = 0, 8 : 0, 2 ; 34 2 27 3 34 27 = , = , отже ≠ ; 85 5 45 5 85 45 3 1 1 4 ; 3) 0, 3 : 0, 6 = 3 : 6 = = ; Отже 0, 3 : 0, 6 ≠ 1 ⋅ 6 2 7 21 4, 2 42 9 90 4, 2 9 = =6; = = 6 ; Отже, = . 4) 0, 7 7 1, 5 15 0, 7 1, 5

291

604. 1) 1 :

605. 1)

3 5 3 ⋅18 27 : = = = 27 : 10 ; 4 18 4 ⋅ 5 10

5 17 5 ⋅18 15 : = = = 15 : 34 ; 12 18 12 ⋅17 34

4) 1

2 1 5⋅3 5 :1 = = = 5:4 ; 3 3 3⋅4 4

4 11 4 ⋅ 9 4 : = = ; 9 9 9 ⋅11 11

3) 2

5 1 21 ⋅ 6 63 :3 = = ; 8 6 8 ⋅19 76

4) 3

1 7 ⋅10 35 : 3, 6 = = . 2 2 ⋅ 36 36

2) 0, 8 : 0, 03 =

8 ⋅100 80 = ; 10 ⋅ 3 3

Збільшиться в 4 рази; зменшиться в 2,4 рази; залишиться таке як і було; збільшиться в 21 раз; зменшиться в 2 рази.

607. 1) 2) 3) 4)

Зменшиться в 5 разів; збільшиться в 6 разів; збільшиться у 18 разів; зменшиться в 2 рази.

606. 1) 2) 3) 4) 5)

МАТЕМАТИКА

3 8 = 1⋅ = 8 : 3 ; 8 3

608. 1) 432, 460, 468; 2) 360, 378, 396.

3 12 ⋅ 3 18 = = = 1, 8 (м) — довжина щуки, 2 10 ⋅ 2 10

ld z

609. 1) 1, 2 :

24 12 ⋅100 = = 5 (м) — довжина сома, 100 10 ⋅ 24

3) 1, 2 :

3 12 ⋅ 50 = = 20 (м) — довжина китової акули, 50 10 ⋅ 3

4) 1, 2 :

240 12 ⋅100 1 = = = 0, 5 (м) — довжина карася. 100 10 ⋅ 240 2

2) 1, 2 :

1 частину города, а разом з Дмит4 1 10 = частину городу. риком вони зможуть прополоти 2, 4 24 10 1 10 6 4 1 − = − = = (за 1 год прополе Дмитрик). 24 4 24 24 24 6 Отже Дмитрик сам прополе город за 6 годин.

610. За 1 годину Петрик сам прополе

611. 1) 6x =

1 :6 ; 3 1 ⋅1 x= ; 3⋅6 1 x= ; 18 x=

292

1 ; 3

2) 6x = 3 ; x = 3:6 ; 3 ; 6 1 x= ; 2 x=

1 1 x= ; 6 3 1 1 x= : ; 3 6 1⋅ 6 x= ; 3 ⋅1

x=2 ;

1 x=3 ; 6 1 x = 3: ; 6

x = 18 .

4⎞ 5 2 ⎛ 5 4⎞ 5 2 ⎛ 204 ⋅ 205 361⋅ 20 ⎞ 5 16 ⋅10 ⎛ 612. ⎜ = ⎜ 51 − 3 ⎟ ⋅ − = ⎜ 50 − 3 ⎟ ⋅ − = − ⎟⋅ − ⎝ 100 ⋅1 5 ⎠ 13 3 ⎝ 5 5 ⎠ 13 3 100 ⋅19 ⎠ 13 10 ⋅ 9 ⎝ 1 5 2 236 ⋅ 5 2 2 2 6 26 45 26 19 ⋅ − = − = 18 − = 18 − = 17 − = 17 . 5 13 3 5 ⋅13 3 13 3 39 39 39 39 39

613. Ні, не могло, тому що, які б сторінки він не взяв, у сумі не вийде кругле число.

20. Пропорції

МАТЕМАТИКА

= 47

614. 1) Крайні 5 і 12, середні 3 і 20, 5 відноситься до 3 так само, як 20 відноситься до 12; 2) крайні 13 і 12, середні 4 і 39; 3) крайні 18 і 56, середні 63 і 16; 4) крайні 16 і 51, середні 12 і 68; 5) крайні x і 23, середні 9 і 2; 6) крайні 8 і 15, середні y і 64. 2) 7, 2 : 0, 8 = 0, 09 : 0, 01 ;

616. 1) 2, 8 : 0, 7 = 28 : 7 = 4 ;

615. 1) 2 : 7 = 6 : 21 ; 2 1 4 20 :1 = : . 3) 3 9 21 63

ld z

158 : 38 = 4 . Так, пропорцію скласти можна. 6 ⋅ 22 12 ⋅ 34 24 2) =4 = . Ні. 11 ⋅ 3 17 ⋅ 5 5 617. 1) 15 : 1, 8 = 150 : 18 =

150 25 = ; 18 3

15 ⋅ 20 25 = . Ні, пропорцію скласти не можна. 16 ⋅ 3 4

21 ⋅16 12 = ; 4 ⋅ 49 7

30 ⋅ 38 12 = . Пропорцію скласти можна. 19 ⋅ 35 7

618. 1) 1, 6 ⋅1, 125 = 1, 8 ;

2 24 34 ⋅ 24 51 ⋅ = = ; 16 65 16 ⋅ 65 65 5 ⋅ 91 7 = ; 13 ⋅ 50 10 ні, не можна.

2) 2

3, 6 ⋅ 0, 5 = 1, 8 ; 1, 6 : 3, 6 = 0, 5 : 1, 125 ; можна; 619. 1) 3, 8 ⋅ 4, 6 = 14, 48 ; 2, 7 ⋅ 5, 7 = 15, 39 ; ні, не можна.

3⋅5 5 = ; 12 4 15 ⋅ 2 5 = ; 48 ⋅ 3 4 можна.

293

МАТЕМАТИКА

620. 1) 6 : x = 36 : 30 ; 36x = 6 ⋅ 30 ; 6 ⋅ 30 x= ; 36

2) 12 : 7 = 3 : x ; 12 ⋅ x = 7 ⋅ 3 ; 7 ⋅3 x= ; 12 3 x =1 ; 4

x =5 ; 3) 4, 9 : 0, 35 = x : 35

0, 35x = 35 ⋅ 4, 9 ;

14x = 9 ⋅ 21 ; 9 ⋅ 21 x= ; 14 27 x= ; 2 1 x = 13 ; 2

35 ⋅ 4, 9 x= ; 0, 35 x = 490 ;

x 3 = ; 16 8

x=6 ;

108 42 = ; 90 b

8x = 16 ⋅ 3 ; 16 ⋅ 3 x= ; 8

108b = 90 ⋅ 42 ; 90 ⋅ 42 b= ; 108

x 9 = ; 21 14

b = 35 .

15 ⋅ x = 5 ⋅ 21 ;

12 8 = ; x 18 8x = 12 ⋅18 ;

5 ⋅ 21 ; 15 x =7 ;

12 ⋅18 ; 8 x = 27 ;

ld z

621. 1) x : 5 = 21 : 15 ;

3) 4, 5 : 0, 6 = x : 2, 4 ; 4, 5 ⋅ 2, 4 x= ; 0, 6 x = 18 ;

3, 4 1, 4 = ; 5, 1 x 3, 4x = 5, 1 ⋅1, 4 ; x = 2, 1 .

622. 1) 8 приладів — 18 кг x приладів — 27 кг 8 x і рівні відношення, оскільки кожне з них показує, скільки 18 27 8 x треба металу, щоб виготовити 1 прилад. Тоді маємо: = ; 18 27 8 ⋅ 27 x= = 12 (приладів). 18

294

2) 5 год — 24 км 8 год — x км 24 x і рівні відношення, оскільки кожне з них показує, скільки 5 8 24 x кілометрів пройде турист за 1 годину. Тоді маємо: = ; 5 8 8 ⋅ 24 x= ; x = 38, 4 (км). 5

140 кг — 21 кг x кг — 31,5 кг x=

140 ⋅ 31, 5 ; 21

4) 800 см3 — 528 г 1500 см3 — x г 1500 ⋅ 528 800 528 ; = ; x= 800 1500 x

x = 210 .

x = 990 .

5) 45 т — 25 т x т — 10 т 45 ⋅10 45 25 = 18 . = ; x= 25 x 10

140 21 = ; x 31, 5

МАТЕМАТИКА

3) 140 кг — 21 кг 160 кг — x кг 140 160 і рівні відношення, тому що вони показують, скільки 21 x кілограм сушених вишень виходить з 1 кг свіжих. 160 ⋅ 21 140 160 ; x = 24 . = ; x= 140 21 x

ld z

6) 480 га — 100 % x га — 24 % 480 ⋅ 24 480 100 = 115, 2 . = ; x= 100 x 24

7) x км — 100 % 70 км — 14 % x 70 і рівні відношення, тому що вони показують, скільки кіло100 14 метрів складає 1 %. 100 ⋅ 70 x 70 ; x = 500 . = ; x= 14 100 14 8) 80 кг — 100 % x кг — 12 % 80 x і рівні відношення, вони показують, скільки кілограмів 100 12 цинку містить в 1 % сплаву. 80 ⋅12 48 80 x = = 96 . = ; x= 100 5 100 12

623. 1) 14 кост. — 49 м x кост. — 84 м 84 49 = , рівні відношення, тому що вони показують, скільки метрів x 14 тканини потрібно на 1 костюм. 14 ⋅ 84 84 49 ; x = 24 . = ; x= 49 x 14 295

224 л — 7 год 288 л — x год 224 228 = , рівні відношення, тому що вони показують, скільки літрів 7 x води за 1 год наливається у басейн. 288 ⋅ 7 224 228 =9. = ; x= 224 7 x

3) 150 кг — 27 кг 420 кг — x кг 150 420 = , рівні відношення, тому що вони показують, скільки кіло27 x грамів крохмалю отримують з 1 кг картоплі. 27 ⋅ 420 150 420 ; x = 75, 6 . = ; x= 150 27 x 150 кг — 27 кг x кг — 30,6 кг 150 ⋅ 30, 6 150 27 ; = ; x= 27 x 30, 6

325 дер. — 100 % x дер. — 36 % 325 x = , рівні відношення, тому що вони показують, скільки дерев 100 36 становить 1 %. 325 ⋅ 36 325 x ; x = 117 . = ; x= 100 100 36 x кг — 100 % 96 кг — 24 % x 96 і рівні відношення, оскільки кожне показує, скільки кіло100 24 грамів солі міститься в 1 %. 96 ⋅100 x 96 ; x = 400 . = ; x= 24 100 24

ld z

x = 170 .

МАТЕМАТИКА

624. 1) на карті — 17 см масштаб — 1 : 300 000 на місцевості — ? км 17 ⋅ 300 000 = 5100 000 см = 51000 м = 51 км; 2) на місцевості — 245 км на карті — 3, 5 см масштаб — ? 245 км = 245 ⋅ 100 000 = 24 500 00 см; 3, 5 : 24 500 000 = 1 : 7 000 000 см масштаб = 1 : 7 000 000.

625. 1) на місцевості — 240 км на карті — x см масштаб — 1 : 6 000 000 240 км = 24 000 000 см 24 000 000 : 6 000 000 = 4 см; 296

626. 1) 12 : 2 = 42 : 7 ;

4 2 4 18 9 2 9 18 = ; = ; = ; = . 18 9 2 9 18 4 2 4

628. 2 : 14 = 5 : 35 ;

630. 1)

2 14 = ; 5 35

b 3 = ; a 7 a 7 = ; b 3 a 1 =2 ; b 3

a b = ; 39 8

16 9 = ; b a 16a = 9b ; 9⋅b ; 16 a 9 = . b 16

7 6 = ; a b

6⋅a = 7⋅b ; 7⋅b a= ; 6 a 7 1 = =1 . b 6 6

ld z

8 ⋅ a = 39 ⋅ b ; 39 ⋅ b a= ; 8 a 39 7 = =4 ; b 8 8

35 14 = . 5 2

629. 1)

35 5 = ; 14 2

627.

2) 1, 6 : 0, 2 = 0, 72 : 0, 09 .

МАТЕМАТИКА

2) на місцевості — 315 км = 31500 000 см на карті — 4,2 см масштаб — 4, 2 : 31500 000 = 1 : 7 500 000 ; на місцевості — 135 км = 13500 000 см масштаб — 1 : 7 500 000 на карті — 13500 000 : 7 500 000 = 1, 8 см.

3 1 1 : x = 1 :1 ; 4 5 3 1 1 3 1 ⋅x =1 ⋅ ; 5 3 4 4 ⋅3⋅5 5 x= ; x= ; 3⋅4⋅6 6

631. 1)

2x − 1 1 = ; 3 2 2 ( 2x − 1) = 3 ; 4x − 2 = 3 ; 4x = 3 + 2 ; 4x = 5 ; 5 x= ; 4 1 x =1 ; 4

2 1 = ; x 0, 4 0, 4

x − 0, 4 = 0, 4 ⋅ 2 x − 0, 4 = 0, 8 ; x = 0, 8 + 0, 4 x = 1, 2 ; 4)

3 x −1 = ; 4 3, 2 4 ⋅ ( x − 1) = 3 ⋅ 3, 2 ; 4x − 4 = 9, 6 ; 4x = 9, 6 + 4 ; 4x = 13, 6 ; x = 13, 6 : 4 ; x = 3, 4 ;

297

1 : 30 ; 7 14 2 2, 5x ⋅ 30 = ; 2, 5x = ; 7 30 2 ⋅10 2 x= ; x= ; 30 ⋅ 25 75

МАТЕМАТИКА

5) 2, 5x : 14 =

1 1 3 :4 = x: ; 2 2 25 1 1 3 4 ⋅x = 7 ⋅ ; 2 2 25 15 ⋅ 3 ⋅ 2 1 x= ; x= ; 2 ⋅ 25 ⋅ 9 5

632. 1) 7

6) 36 : 35 =

1 1 x: ; 5 12

36 35 = x; 12 5 7x = 2 ; 2 x= . 7 2)

24 1 = ; x+2 5 x + 2 = 24 ⋅ 5 x + 2 = 120 ; x = 120 − 2 ; x = 118 ;

y −5 4 = ; 6 3 3 ( y − 5) = 6 ⋅ 4 ;

3y = 39 ;

2x = 24 ; x = 12 ;

ld z

y = 13 ;

2x + 6 = 30 ;

3y − 15 = 24 ; 3y = 24 + 15 ;

2 6 = ; 5 x+3 2 ( x + 3) = 5 ⋅ 6 ;

5 15 = ; 6 2x 3

5 ( 2x − 3 ) = 6 ⋅15 ;

10x − 15 = 90 ;

10x = 90 + 15 ;

10x = 105 ; x = 105 : 10 ; x = 10, 5 ;

4 1 x = 20 : ; 5 4 4 1 x ⋅ 20 = 12 ⋅ ; 5 4 4 ⋅ 20 12 x= ; 5 4 16x = 3 13 x= . 6

6) 12 :

633. 3600 т — 100 % x т — 25 % 3600 x = , рівні відношення, тому що кожне відношення показує, 100 25 скільки тонн цукру міститься в 1 %. 3600 ⋅ 25 3600 x ; x = 900 ; = ; x= 100 100 25

298

x т — 100 % 900 т — 18 % x 900 = , рівні відношення, тому що кожне відношення показує, 100 18 скільки тонн цукру міститься в 1 %. 100 ⋅ 900 x 900 ; x = 5 000 т. = ; x= 18 100 18

4 порції — 960 г молока 18 порцій — x г молока 18 ⋅ 960 4 960 ; x = 4 320 г молока. = ; x= 4 18 x 4 порції — 50 г цукру 16 порцій — x г цукру 16 ⋅ 50 4 50 ; x = 200 г цукру. = ; x= 4 16 x

МАТЕМАТИКА

634. 4 порції — 220 г манки 18 порцій — x г манки 18 ⋅ 220 4 220 ; x = 990 г манки; = ; x= 4 18 x

120 кг — 24 кг цинку 164 кг — x кг цинку 164 ⋅ 24 120 24 ; = ; x= 120 164 x

x = 32, 8 кг цинку.

164 кг — x кг міді

120 − (18 + 24 ) = 78 ( кг) — міді. 120 кг — 78 кг міді

635. 120 кг мельхіору — 18 кг нікелю 164 кг мельхіору — x кг нікелю 164 ⋅18 120 18 ; x = 24, 6 кг нікелю. = ; x= 120 164 x

ld z

164 ⋅ 78 120 78 ; = ; x= 120 164 x

x = 106, 6 кг міді.

636. 1) Ні; 2) ні; 3) ні, тому що використовується основна властивість дробу; 4) так.

637. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 638. 1)

a c = b d ad = bc a−b c−d = b d (a − b)⋅ d = b ⋅(c − d )

ad − bd = bc − bd ad = bc , що і треба було довести.

a c = ; a+b c+d a ( c + d) = c ( a + b) ac + ad = ac + bc ad = bc , що і треба було довести.

639. Якщо 9 апельсинів коштують стільки гривень, скільки апельсинів можна купити на 1 гривню, тоді 9 апельсинів коштують 1 гривню. 9 апельсинів — 1 грн 15 апельсинів — x грн 15 ⋅1 2 9 1 =1 . = ; x= 9 3 15 x 299

1 1 1 1 1 обернене 6, в :6 = ⋅ = разів; 6 6 6 6 36

640. 1)

3 5 3 5 3⋅3 9 обернене , в : = = разів; 5 3 5 3 5 ⋅ 5 25

МАТЕМАТИКА

3) 0, 6 =

6 10 6 10 6⋅6 36 9 обернене , в : = = = разів. 10 6 10 6 10 ⋅10 100 25

1 641. Нехай у книжці x сторінок, третина книжки x сторінок, половина 3 1 книжки x сторінок. Отримуємо рівняння. 2 1 1 1 1 2 3 x + 24 + x = x ; x + x − x = −24 ; x + x − x = −24 ; 3 2 3 2 6 6 1 ⎛ 1⎞ − x = −24 ; x = −24 : ⎜ − ⎟ ; x = 144 (сторінки). ⎝ 6⎠ 6

642. Разом вони подолали відстань за 10 хв, а той, що вийшов з Каштанівки, 1 1 за 18 хв, тоді частину шляху і частину шляху вони подолають 10 18 за 1 хв. 1 1 9 5 4 1 − = − = = . 10 18 90 90 90 22, 5

Отже у Каштанівку хлопчик прийде через 22,5 хв.

ld z

5 ⎞ ⎛ 6 1 ⎞ ⎛ 10 15 ⎞ ⎛ 18 10 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎟ = ⎜3 +2 −2 643. 1) ⎜ 3 + 2 ⎟= ⎟ ⋅⎜ 4 ⎟ ⋅⎜ 4 ⎝ 3 30 ⎠ ⎝ 30 30 ⎠ 10 ⎠ ⎝ 10 3 ⎠ ⎝ 30 =5

25 8 5 4 35 ⋅ 34 119 2 ⋅2 = 5 ⋅2 = = = 13 ; 6 ⋅15 9 9 30 30 6 15 3

3⎞ ⎛ 4⎞ 3 ⎞ 64 ⎛ 1 2 ⎛ 9 ⋅5 2) ⎜ 4 ⋅1 − 6 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ −6 ⎟ ⋅ = ⎝ 2 3 ⎝ 2⋅3 4⎠ ⎝ 3⎠ 4 ⎠ 27

3 ⎞ 64 ⎛ 6 3 ⎞ 64 3 ⋅ 64 16 7 ⎛ 1 = ⎜7 − 6 ⎟ ⋅ = ⎜6 −6 ⎟ ⋅ = = =1 . ⎝ 2 4 ⎠ 27 ⎝ 4 4 ⎠ 27 4 ⋅ 27 9 9

644.

14 1 = . 56 4

645. 1) 56 − 14 = 42 (дер.) — вишні. 14 1 2) = (частину). 42 3 646. Можна, якщо чорні палички були довжиною 4 см, 16 см, 10 см, 10 см, а білі мали довжини 4 см, 4 см, 10 см, 10 см і 12 см.

21. Відсоткове відношення двох чисел 647. 1) 50 %; 2) 25 %; 3) 10 %; 4) 20 %. 648. 1)

300

4 4 ⋅100 % ⋅100 %= = 50 % ; 8 8

2 ⋅100 %= 20 %; 10

12 ⋅100 %= 25 % ; 48

45 ⋅100 %= 15 % ; 300

64 ⋅100 %= 16 %; 400

138 ⋅100 %= 115 %. 120

40 ⋅100 %= 40 %; 100 40 ⋅100 %= 50 % ; 2) 80

40 ⋅100 %= 25 % ; 160 40 4) ⋅100 %= 400 % . 10

649. 1)

650. 1) 260 сторінок — 100 % 169 сторінок — x % 260 169 і рівні відношення, оскільки кожна з них показує, скільки 100 x сторінок припадає на 1 %. 169 ⋅100 169 260 ; x = 65 . = ; x= 260 x 100

МАТЕМАТИКА

34 грн — 100 % 23,8 грн — x % 34 23, 8 і рівні відношення, оскільки вони показують, скільки 100 x гривень припадає на 1 %. 100 ⋅ 23, 8 34 23, 8 ; x = 70 . = ; x= 34 100 x 80 т — 100 % 6,4 т — x % 80 6, 4 і рівні відношення, оскільки вони показують, скільки олова 100 x міститься в 1 %. 6, 4 ⋅100 80 6, 4 ; x=8 . = ; x= 80 100 x

ld z

60 задач — 100 % 102 задачі — x % 60 102 і рівні відношення, оскільки вони показують, скільки 100 x задач припадає на 1 %. 100 ⋅102 60 102 ; x = 170 . 170 − 100 = 70 % . = ; x= 60 100 x 5)

250 г — 100 % 115 г — x % 250 115 і рівні відношення, оскільки вони показують, скільки 100 x цукру міститься в 1 %. 100 ⋅115 250 115 ; x = 46 . = ; x= 250 100 x 301

МАТЕМАТИКА

651. 1) 36 учнів — 100 % 9 учнів — x % 36 9 і рівні відношення, оскільки вони показують, скільки учнів, 100 x що отримали за контрольну роботу з математики «10», припадає на 1 %. 100 ⋅ 9 36 9 = 25 . = ; x= 36 100 x 2) 400 г — 100 % 34 г — x % 400 34 і рівні відношення, оскільки вони показують, скільки солі 100 x міститься в 1 %. 34 ⋅100 1 400 34 ; x=8 . = ; x= 400 2 100 x

3) 240 насін. — 100 % 228 насін. — x % 240 228 і рівні відношення, оскільки вони показують, скільки 100 x

насінин приходиться на 1 %. 100 ⋅ 228 240 228 ; x = 95 . = ; x= 240 100 x

ld z

3 ⋅100 %= 100 % − 50 %= 50 % , на 50 %; 6 2 200 % = 2) 100 % − ⋅100 %= 100 % − 3 3 2 3 2 1 1 = 100 % − 66 %= 99 % − 66 %= 33 % , на 33 % ; 3 3 3 3 3

652. 1) 100 % −

40 400 % ⋅100 %= 100 % − = 70 7

al 3) 100 % −

= 100 % − 57

80 1000 % ⋅100 % − 100 %= − 100 %= 72 9

= 111 5)

1 1 1 % − 100 %= 11 % , на 11 %; 9 9 9

115 ⋅100 % − 100 %= 15 % , на 15%; 100

6) 100 % −

653. 1)

302

1 7 1 6 6 %= 99 % − 57 %= 42 % , на 42 % ; 7 7 7 7 7

42 ⋅100 %= 100 % − 70 %= 30 % , на 30 %. 60

175 175 ⋅100 % ⋅100 % − 100 %= − 100 % = 140 140

= 125 % − 100 %= 25 % , на 25 %;

140 140 ⋅100 % ⋅100 %= 100 % − = 75 175 = 100 % − 80 %= 20 % , на 20 %.

654. 380 кг — 100 % 68,4 кг — x % 100 ⋅ 68, 4 380 68, 4 ; x = 18 % . = ; x= 380 100 x 420 кг — 100 % 96,6 кг — y % 100 ⋅ 96, 6 420 96, 6 ; y = 23% . = ; y= 420 100 y

x = 35%.

ld z

656. 47,39 млн — 100 % 31,87 млн — x %

220 г — 100 % 88 г — y % 100 ⋅ 88 220 88 ; y = 40 %. = ; y= 220 100 y

655. 280 г — 100 % 98 г — x % 98 ⋅100 280 98 ; = ; x= 280 100 x

МАТЕМАТИКА

2) 100 % −

100 ⋅ 31870 000 47 390 000 31870 000 ; x ≈ 67, 3 . = ; x= 47 390 000 100 x

657. 180 грн — 100 % x грн — 120 % 100 %+ 20 %= 120 % — стала ціна костюма. 180 ⋅120 180 x ; x = 216 грн. = ; x= 100 100 120

216 грн — 100 % x грн — 90 % 100 % − 10 %= 90 % — стала ціна костюма. 216 x 216 ⋅ 90 = ; = 194, 4 грн 100 90 100

180 грн — 100 % 194,4 грн — x грн 194, 4 ⋅100 180 194, 4 ; x = 108 . = ; x= 180 100 x 108 − 100 = 8 % . 658. 160 грн — 100 % x грн — 190 % 100 − 10 = 90 % — стала ціна шафи.

303

144 грн — 100 % x грн — 125 % 100 + 25 = 125 % — стала ціна шафи. 144 ⋅125 144 x ; x = 180 грн. = ; x= 100 100 25 160 грн — 100 % 180 грн — x % 100 ⋅180 x= ; x = 112, 5 . 112, 5 − 100 = 12, 5 % . 160 Петро: 50 пострілів — 100 % 38 пострілів — y % 50 38 = ; 100 y 100 ⋅ 38 y= = 76 % . 50

659. Дмитро: 45 пострілів — 100 % 36 пострілів — x % 45 36 = ; 100 x 100 ⋅ 36 x= = 80 % . 45 Відповідь: Дмитро.

МАТЕМАТИКА

160 ⋅ 90 160 x ; x = 144 грн. = ; x= 100 100 90

ld z

660. 454 − 20 = 434 — було міст в Україні. 434 міста — 100 % 20 міст — x % 20 ⋅100 434 100 ; x ≈ 4, 6 . = ; x= 434 20 x

661. 600 г — 100 % x г — 20 % 600 ⋅ 20 600 x ; x = 120 г. = ; x= 100 100 20

120 + 40 = 160 (г) — міді стало; 600 + 40 = 640 (г) — маса сплаву стала. 640 г — 100 % 160 г — x % 100 ⋅160 640 160 ; x = 25 . = ; x= 640 100 x

662. 300 г — 100 % x г — 6 % 300 ⋅ 6 300 x ; x = 18 (г) — солі в розчині. = ; x= 100 100 6

304

300 − 60 = 240 (г) — стало розчину. 240 г — 100 % 18 г — x % 100 ⋅18 240 18 = 7, 5 . = ; x= 240 100 x

620 + 180 = 800 (г) — розчину стало. 800 г —100 % 248 г — x % 248 ⋅100 800 248 ; x = 31 . = ; x= 800 100 x 664. Нехай дубів у парку x дерев, тоді кленів 0, 4x дерев. 0, 4x дерев — 100 % x дерев — y % 100 ⋅ x 0, 4x x ; y = 250 . = ; y= 0, 4x 100 y

МАТЕМАТИКА

663. 620 г — 100 % x г — 40 % 620 ⋅ 40 620 x = 248 (г) — солі в розчині. = ; x= 100 100 40

240 − 100 = 140 %.

665. Нехай число було x, а стало 2, 4x . x — 100 % 2, 4x — y % 100 ⋅ 2, 4x x 2, 4x ; y = 240 . = ; y= x 100 y

ld z

666. Нехай нове число x, а було воно 2, 5x . 2, 5x — 100 % x — y % 100x 2, 5x 100 ; y = 40 . = ; y= 2, 5x x y 100 − 40 = 60 % .

667. Нехай друга книжка коштувала x, а перша x + 0, 5x = 1, 5x . x — 100 % 1, 5x — y % 100 ⋅1, 5x x 1, 5x ; y = 150 . = ; y= x 100 y 150 − 100 = 50 . 668. Якщо x становить 1 % від y, то x = 0, 01y . Нехай z — це змінене число y. 0, 01y — 2 % z — 100 % 0, 01y ⋅100 1 z= ; z= y . 2 2 Відповідь: y треба зменшити в 2 рази. 669. Нехай загальна кількість цукерок була x, тоді шоколадних цукерок 0, 8x , а стала 0, 9x . 0, 8x — y %

305

МАТЕМАТИКА

0, 9x — 100 % 0, 8 ⋅100 8 y= ; y = 88 % ; 0, 9 9 8 8 88 % − 80 %= 8 % . 9 9 8 1 Карамелі було 20 %, а стало 20 % − 8 %= 11 % . 9 9 670. Стало 1001 було 100 100 — 100 % 1 001 — x % 1001 ⋅100 x= 1001 x = 1001% Відповідь: перше число.

стало 10 001 було 1000 1 000 — 100 % 10001 — y % 10001 ⋅100 y= 1000 y = 1000, 1 % .

671. Нехай це число x, тоді 10 % цього числа — 0, 1x , сума x + 0, 1x = 1, 1x ; x + 0, 1x − ( x + 0, 1x ) ⋅ 0, 1 = 9, 90 ; 1, 1x − 0, 1x − 0, 01x = 9, 90 ; 0, 99x = 990 ; x = 990 : 0, 99 ; x = 1000 .

ld z

3⎞ 2 ⎛ 10 ⋅13 72 ⋅ 2 91 ⋅10 ⎞ 2 ⎛ 1 8 − − : = 4 − −2 ⎟ : = 672. ⎜ ⎝ 10 ⋅ 3 10 ⋅ 27 10 ⋅ 35 ⎟⎠ 5 ⎜⎝ 3 15 5⎠ 5 8 9 ⎞ 2 ⎛ 20 8 9 ⎞ 2 ⎛ 5 = ⎜4 − −2 − −2 ⎟ : = ⎜3 ⎟: = ⎝ 15 15 15 ⎠ 5 15 ⎠ 5 ⎝ 15 15

9 ⎞ 2 3 2 1 2 6 ⋅5 ⎛ 12 = ⎜3 −2 : =1 : = = 3. ⎟ : =1 ⎝ 15 15 ⎠ 5 15 15 5 15 5 ⋅ 2

673.

5 1 5 2 3 − = − = ; 8 4 8 8 8

5 ⋅ 48 6 = ; 8 ⋅ 25 5

11 :

6 11 ⋅ 5 55 1 = = =9 ; 5 6 6 6

11 − 1

7 18 7 11 = 10 −1 = 9 . 18 18 8 18 +

3 8

1 4

·1 5 8

23 25

·9 6 5

1 6 11

– 9 11 18 1

7 18

1 674. Нехай площа першої ділянки x га, тоді площа другої x га. Сума 3 площин двох ділянок 20,8 га. Отримуємо рівняння: 306

1 1 208 ⋅ 3 x = 20, 8 ; 1 x = 20, 8 ; x = ; x = 15, 6 . 3 3 10 ⋅ 4 1 ⋅156 Площа першої ділянки 15,6 га, а другої = 5, 2 га. 3 ⋅10 675. Нехай Петрик задумав число x. Збільшив його в 3 рази, отримав 3x . 4 4 отримав 3x + , що за умовою дорівнює 1. Додав до результату 7 7 4 4 3 Отримуємо рівняння: 3x + = 1 ; 3x = 1 − ; 3x = ; 7 7 7 3 3 ⋅1 1 x − :3 ; x = ; x= . 7 7 ⋅3 7

МАТЕМАТИКА

677. 1) 6 : 3 = 2 , у 2 рази;

2) P = 3 ⋅ 4 = 12 (см) — 1 квадрат; P = 6 ⋅ 4 = 24 (см) — 2 квадрат; 24 : 12 = 2 , у 2 рази.

676. Разом пішоходи пройшли всю відстань за 2 години, а пішохід, що вийшов із Сонячного, за 6 годин. За 1 годину разом вони проходять 1 1 відстані, а пішохід із Сонячного за відстані. 2 6 1 1 3 1 2 1 − = − = = . 2 6 6 6 6 3 Отже, до Сонячного другий пішохід прибуде через 3 години.

ld z

3) S = 32 = 9 (см3) — 1 квадрат; S = 62 = 36 (см3) — 2 квадрат; 36 : 9 = 4 , у 4 рази.

678. 1) y = 0, 2 ⋅ 5 = 1 ;

2) y = 0, 2 ⋅1, 2 = 0, 24 ; 0, 2x = 4 x = 4 : 0, 2 ; x = 20 .

679. Якщо швидкість туриста на маршруті могла змінюватися, то такий пункт C існує, тому що турист із пункту A і із пункту B вийшов о 6 годині, отже, до пункту C він витратить однаковий час, а відстань від A до C і від B до C не однакова.

22. Пряма пропорційна залежність 680. 1) 960 км;

2) 80 км.

681. 1) 300 см2;

2) 5 см2.

682. 1) 9 грн;

2) 108 грн.

683. 2 робітники — 24 деталі x робітників — 48 деталей Кількість робітників і кількість виготовлених деталей прямо пропор2 ⋅ 48 2 24 ційні величини, тому =4 . = ; x= 307 24 x 48

684. 1) Так, тому що

2 6 7 9 = = = ; 6 18 21 27

2) ні, тому що

0, 4 1, 6 ≠ ; 0, 8 3, 6

3) ні, тому що

1, 2 2, 4 6 9 = = ≠ ; 1 2 5 6 2 3 1 5 5 9 3 = : = : = : . 3 4 2 8 12 16 8

4) так, тому що 1 :

685.

0,3

3,2

0,9

1,4

0,9

9,6

2,7

4,2

МАТЕМАТИКА

2) 2 робітники за 1 годину виготовлять 12 деталей. Якщо часу буде у 3 рази більше, то вони виготовлять 24 ⋅ 3 = 72 деталі, у 4 рази менше 24 : 4 = 6 деталей.

686.

3, 2 1 і y більше x у 3 рази. = 9, 6 3

Оскільки y прямо пропорційна x, то

1,6 20 4 Оскільки y прямо пропорційна x, то = 2, 5 і x більше y 1, 6 у 2,5 разів.

ld z

687.

1,2 0,48

m (кг)

1,2

0,8

P (грн)

22,5

22, 5 : 3 = 7, 5 (грн) — коштує 1 кг цукерок.

688.

0,3

3,2

0,9

1,4

0,9

9,6

2,7

4,2

S = 60 ⋅ t . 689. 1) 2)

1 1 ⋅2 = ; 6 3

2 3 ⋅ =1 ; 3 2

1 3 1 ⋅3 = = 1 ; 2 2 2

1 4 1 ⋅4 = = . 8 8 2

690. Нехай маса Меркурія x, тоді маса Землі 1, 82x , а маса Сатурна 94, 01 ⋅1, 82x = 171, 0982x ;

308

1710 982x ⋅100 %= 17109, 82 % . x

692.

×∗∗ 19 + ∗∗∗ ∗∗ 32 ∗

× 17 19 + 153 17 323

тоді

МАТЕМАТИКА

691. 2 ⋅ 3 ⋅ 4 кратно 24; 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 24 ⋅ 5 кратно 24; 6 ⋅ 7 ⋅ 8 = 2 ⋅ 3 ⋅ 8 ⋅ 7 = 24 ⋅14 кратно 24; 8 ⋅ 9 ⋅10 = 8 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅10 = 24 ⋅ 3 ⋅10 = 24 ⋅ 30 . Це дійсно так, тому що парні множники можна розкласти на множники, добуток яких дорівнює 24.

23. Поділ числа на пропорційні частини

693. Нехай одна частина становить x, тоді 1) 18x + 5x = 138 2) 3x + 6x + 8x + 11x = 70 23x = 138 28x = 70 x=6 x = 2, 5 . 18 ⋅ 6 = 108 Відповідь: 7,5; 15; 20; 27,5. 5 ⋅ 6 = 30 . Відповідь: 108 і 30.

ld z

694. 1) Нехай одна частина становить x, тоді 7x + 11x = 72 18x = 72 x=4 . Відповідь: 29; 44.

2) 2x + 3x + 5x = 92 10x = 92 x = 9, 2 . Відповідь: 18,4; 27,6; 46.

695. Нехай одна частина становить x, тоді 12x + 17x = 232 29x = 232 x=8 . Тоді ягід 12 ⋅ 8 = 96 кг. 696. Нехай одна частина становить x, тоді 2 кг 460 г = 2 460 г, 7x + 5x = 2 460 12x = 2 460 x = 205 . Тому золота 7 ⋅ 205 = 1435 г = 1 кг 435 г, а платини 5 ⋅ 205 = 1025 г = 1 кг 25 г. 697. Нехай одна частина становить x, тоді 7x + 9x + 8x = 48 24x = 48 x=2 . Отже, перша сторона 14 см, друга — 18 см, третя — 16 см.

309

699. ∠ABC = 180° . Нехай одна частина буде x, тоді ∠ABD = 5x , ∠DBC = 13x . 5x + 13x = 180 18x = 180 x = 10 . ∠ABD = 50° , ∠DBC = 130° .

МАТЕМАТИКА

698. Нехай одна частина становить x, тоді сторони трикутника 5x см, 7x см і 11x см. Отримуємо рівняння: 5x + 11x = 80 16x = 80 x = 80 : 16 x =5 . Отже, сторони трикутника 25 см, 35 см і 55 см. P = 25 + 35 + 55 = 115 см.

700. Нехай одна частина буде x, тоді ∠MKO = 19x , а ∠EKO = 7x . 19x + 7x = 130 26x = 130 x = 130 : 26 x =5 . ∠MKO = 19 ⋅ 5 = 95° , ∠EKO = 35° .

ld z

701. 1) Нехай одна частина буде z, тоді x = 3z ; y = 5z ; 24 = 6z . 6z = 24 z=4 x = 12 , y = 20 .

2) Нехай одна частина буде t, тоді 1 1 1 x= t ; y= t ; 24 = t ; 8 36 9 1 1 t = 24 ; t = 24 : ; t = 24 ⋅ 9 ; t = 216 ; 9 9 1 x = ⋅ 216 = 27 8 1 y= ⋅ 216 = 6 . 36

702. Нехай одна частина становить x, тоді a = 2x ; 10 = 1 x = 10 6 1 x = 10 : 6 x = 60

310

a = 120 ; b =

3 ⋅ 60 = 45 . 4

1 3 x; b= x . 6 4

704. Нехай одна корова з’їдає x т сіна, тоді на першій фермі корови з’їдять 28x т сіна, на другій 42x т сіна, а на третій 65x т сіна. Отримуємо рівняння: 28x + 42x + 65x = 540 135x = 540 x =5 . На першу ферму треба завезти 28 ⋅ 4 = 112 т сіна, на другу 42 ⋅ 4 = 168 т, а на третю 65 ⋅ 4 = 260 т сіна.

4 y 9

4y = 9x x=

2 y : z = 15 : 2 3 2 15z = 2 y 3 8 z= y 3 ⋅15

705. x : y = 4 : 9

8 y 45

ld z

4 8 y+y+ y = 219 9 45 20 8 y+y+ y = 219 45 45 28 1 y = 219 45 28 y = 219 : 1 45

МАТЕМАТИКА

703. Нехай за 1 годину кожний робітник отримав x грн, тоді перший робітник заробить 16x грн, другий — 24x грн, а третій — 40x грн. Разом вони отримали 800 грн. Отримуємо рівняння: 16x + 24x + 40x = 800 80x = 800 x = 10 . Перший робітник отримав 160 грн, другий 240 грн, а третій 400 грн.

219 ⋅ 45 73 y = 135

4 ⋅135 = 60 9 8 ⋅135 z= 45 z = 24 . x=

Відповідь: 60; 135; 24. 706. Нехай перше число a, друге b, третє c, четверте d, тоді a : b = 2:5 b: c = 3:4 c : d = 6 :7 a 2 b 3 c 6 = = = b 5 c 4 d 7 2 4 1 7 7⋅4 28 14 5 a= b c = b =1 b d= c= b= b= b =1 b 5 3 3 6 6⋅3 18 9 9

311

МАТЕМАТИКА

2 1 5 b + b + 1 b + 1 b = 386 5 3 9 18 15 25 b + b +1 b +1 b = 386 45 45 45 13 4 b = 386 45 386 ⋅ 45 b= 193 b = 90 a=

2 ⋅ 90 4 ⋅ 90 14 ⋅ 90 = 36 ; c = = 120 ; d = = 140 . 5 3 9 5 11 5 6 = − = — відремонтувала друга бригада. 11 11 11 11

707. 1 −

6 5 6 ⋅11 6 1 : = = =1 . 11 11 11 ⋅ 5 5 5

21 ⋅ 10 ⋅ 10 8 ⋅ 7 ⋅9 24

3 ⎞ 19 75 ⎛ 1 = ⎜1 +1 + = ⎟ ⋅1 ⎝ 12 12 ⎠ 56 18

ld z

1 ⎞ 19 ⎛ 1 + 1 ⎟ ⋅1 + 709. ⎜ 1 ⎝ 12 4 ⎠ 56

708. 20 − 14 = 6 (км) — менше відремонтувала 2 бригада. 20 км — 100 % 6 км — x % 100 ⋅ 6 5 ⋅ 6 20 6 = ; x = 20 % . = ; x= 20 1 100 x

1 1 1 3 4 7 4 19 3 28 ⋅ 75 +4 =3 +4 =2 +4 =6 ⋅1 +4 = . 6 8 6 24 24 24 12 56 18 4 12 ⋅ 56 2

710. OA = OB = 3 см.

711. OA = OB = OC = OD. Таких точок на площині можна позначити безліч.

x D B

712. на 1 хв — 23; C на 2 хв — 2 ⋅ 3 + 12 = 18 ; на 3 хв — 1 ⋅ 8 + 12 = 20 ; на 4 хв — 2 ⋅ 0 + 12 = 12 ; на 5 хв — 1 ⋅ 2 + 12 = 14 ; на 6 хв — 1 ⋅ 4 + 12 = 16 ; на 7 хв — 1 ⋅ 6 + 12 = 18 — як на 2 хв. Далі послідовнисть чисел буде повторюватися: на кожній (5n + 2) хв буде написано 18, на (5n + 3) хв — 20, на (5n + 4) хв — 12, на 5n хв — 14, тому через годину, тобто на 60 хв буде написано 14. 312

713. 1) 2) 3) 4) 5)

D, M, C. B, K, F, O. P, E, A, B, K, O, F. P, E, A. D, M, C, B, K, F, O.

714. Центр т. B; 3 радіуси BK, BM, AB; хорда MP; діаметр MK.

715. 1) d = 14 см ⋅ 2 = 28 см ; 2) d = 4 см 5 мм ⋅ 2 = 9 см ; 3) 3, 6 дм = 2 ⋅ 3, 6 дм = 7, 2 дм .

716. 1) r = 8 : 2 = 4 см ; 2) r = 5 : 2 = 2, 5 см ; 3) r = 9, 2 : 2 = 4, 6 см .

717. d = 2 см 5 мм ⋅ 2 = 5 см .

718. d = 3 см 2 мм ⋅ 2 = 6 см 4 мм .

720.

719.

МАТЕМАТИКА

24. Коло і круг

B M

AC = AD = 3 см ; CB = BD = 2 см .

ld z

Радіус кіл дорівнює відстані між точкою A і точкою B. AM = AN = BN = BM .

721. A

722. P = O1 A + AO2 + BO2 + O1 B ; O1 A = O1 B = 5 см ; O2 A = O2 B = 3 см ; P = 2 ⋅ O1 A + 2 ⋅ O2 A = = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 = 16 см .

AO = OB .

723.

724.

C B A

B A

C O

OA = 2 см ; OB = 3 см ; OC = 4 см .

AB = AC = 4 см .

313

725.

726. B

МАТЕМАТИКА

C Утворилися дуги: AB, BC, AC.

1) Одну спільну точку. 2) Дві спільні точки. 3) Спільних точок не має. C

728.

727.

∠ACB = 90° , ∠ADB = 90° .

730. Позначимо точку дотику кіл буквою M, тоді OM = OC = 6 см , BM = KM = BD = 2, 5 см ; OK = OM − KM = 6 − 2,5 ⋅ 2 = 1 см .

731.

732.

ld z

729. а) Позначимо точку дотику кіл буквою C, тоді AC = 9 см , BC = 2 см , AB = AC + CB = 9 см + 2 см = = 11 см ; б) AB = AC − CB = 9 − 2 = 7 см .

733. 1)

C A

314

N 2 точки AM = MB = AN = NB = 2 см

2 точки CM = CN = 2 см , DM = DN = 3 см

736. 1) Так, можуть, тому що кола з центрами, що лежать на кінцях відрізка довжиною 2 см, будуть мати 2 точки перетину. 2) Ні, тому що кола діаметрами 6 см і 8 см з центрами, що лежать на кінцях відрізка довжиною 2 см, будуть мати 1 спільну точку. 3) Ні, тому що кола діаметрами 6 см і 9 см з центрами, що лежать на кінцях відрізка довжиною 2 см, не мають спільних точок. 1)

МАТЕМАТИКА

734. 1) а) Проведемо відрізок, довжина якого 3 см; б) з однієї його вершини проведемо коло, радіус якого 4 см, а з другої коло, радіус якого 3 см; в) з’єднаємо вершини відрізка з однією з точок перетину кіл.

737. 1) Провести два рівних кола з центрами в точках О і M таким радіусом, щоб ці кола не перетиналися. Частини 2 і 3 поміняти місцями. 2) Провести лінію МВ через точку О, позначити точку А, і провести коло радіусом MA = OB, розрізати по дузі CD перемістити частину 1 на місце частини 3. 2)

3 M

M O

1 A

738.

ld z

739. 1) 72 = 7 ⋅ 7 = 49 ; 2) 0, 42 = 0, 4 ⋅ 0, 4 = 0, 16 3) 1, 22 = 1, 2 ⋅1, 2 = 1, 44 ; 2

1 1 1 ⎛ 1⎞ 4) ⎜ ⎟ = ⋅ = ; ⎝ 3⎠ 3 3 9 2

20 20 76 ⎛ 2⎞ ⋅ =4 . 5) ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 9⎠ 9 9 81 740.

420 ⋅100 % = 84 % складають яблука, що продали за другий день, від 500 кількості яблук, що продали за 1 день. Отже, за другий день продали на 16 % менше.

1 x цукерок. 741. Нехай на столі лежало x цукерок, половина цукерок 2 ⎛1 ⎞ Петрик ⎜ x + 2⎟ цукерки, після чого залишалося 3 цукерки. ⎝2 ⎠ 315

МАТЕМАТИКА

Маємо рівняння: x −

1 1 x −2 = 3 ; x =5 ; 2 2

1 x = 10 або x — це 2 + 3 = 5 цукерок; 2 1 x =5 ; 2 x = 10 (цукерок). 5 ⎞ ⎛ 13 1 ⎞ 5 ⎞ ⎛ 26 5 ⎞ ⎛ 8 ⎛ 4 −5 ⎟ :⎜2 −2 742. ⎜ 6 ⎟ ⋅ 3, 6 == ⎜⎝ 6 − 5 ⎟⎠ : ⎜⎝ 2 60 − 2 60 ⎟⎠ ⋅ 3, 6 = ⎝ 10 9 ⎠ ⎝ 30 12 ⎠ 5 9 25 ⎞ 21 11 21 36 64 4 ⎛ 36 = ⎜6 −5 : ⋅ 3, 6 = 1 : ⋅ = = 12 . ⎝ 45 5 45 ⎟⎠ 60 45 60 10 5 743. У 3 рази, тому що сторона квадрата ABCD у 3 рази менше сторони квадрата AMKN.

744. Ні, не може, тому що кожна пара зібрала кількість грибів, яка кратна 3, а 500 не ділиться націло на число кратне 3.

25. Довжина кола. Площа круга

2) l = 3,14 ⋅ 4, 5 = 14,13 см .

745. 1) l = 3,14 ⋅ 3,2 = 10,048 см ; 746. 1) l = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 = 37,68 см ;

2) l = 2 ⋅ 3,14 ⋅1,8 = 11,304 см .

ld z

747. 1) S = 3,14 ⋅ 82 = 3,14 ⋅ 64 = 200,96 см2 ; 2) l = 3,14 ⋅142 = 3,14 ⋅196 = 615,44 см2 . 748. 1) r = 18 : 2 = 9 ; S = 3,14 ⋅ 92 = 254, 34 см2 ;

2) r = 3,6 : 2 = 1,8 ; S = 3,14 ⋅1, 82 = 10, 1736 см2 .

749. 1) l = 2πr ; r = l : ( 2π ) ; r = 18, 84 : (2 ⋅ 3, 14) = 18, 84 : 6, 28 = 3 ; 2) r = l : ( 2π ) ; r = 47, 1 : 6, 28 = 7, 5 . 750. S = πr2 ; r2 = S : π ; r 2 = 314 : 3, 14 = 100 ; r = 10 см.

751. 400 м — 150 обертів х м — 1 оберт 400 2 x = 400 : 150 = =2 (м) — довжина 1 оберта, або довжина кола. 150 3 l = 2πr r = l : ( 2π )

316

8 628 8 ⋅100 200 : = = м ≈ 0, 4 м . 3 100 3 ⋅ 628 471

753. Нехай S1 — площа великого кільця, S2 — площа маленького кільця, S — площа заштрихованої частини. S = S1 − S2 S1 = 3, 14 ⋅1, 62 = 8, 0384 см2 S2 = 3, 14 ⋅1, 62 = 1, 1304 см2 S = 8, 0384 − 1, 1304 = 6, 908 см2 . 754. 1) l1 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 = 37,68 см l2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 = 12,56 см 37, 68 : 12,56 = 3 (рази).

МАТЕМАТИКА

752. r = l : ( 2π ) = 100, 48 : 6, 28 = 16 ; S = πr2 = 3, 14 ⋅162 = 803, 84 см2.

2) Нехай радіус першого кола дорівнює х, тоді радіус другого — 4х. Довжина першого кола l1 = 2x ⋅ 3, 14 ; довжина другого кола l2 = 2 ⋅ 4x ⋅ 3, 14 = 8x ⋅ 3, 14 ; l2 : l1 = 4 (рази).

755. l2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ ( 2, 6 : 2 ) = 2 ⋅ 3,14 ⋅1, 3 = 8, 164 м l2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ (10 : 2 ) = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 = 31, 4 м l2 : l1 = 3,14 ⋅ 8, 164 = 3,8 (рази).

( x + 1) см.

ld z

756. Нехай радіус кола х см, тоді після збільшення він стане Довжина кола була l1 = 2x ⋅ 3,14 , стала l2 = 2 ( x + 1) ⋅ 3,14 = ( 2x + 2 ) ⋅ 3,14 = 2x ⋅ 3,14 + 6, 28 (см).

757. l1 = 2πR1 l2 = l1 + 9, 42 = 2πR2 l l + 9, 42 l + 9, 42 l1 9, 42 9, 42 ; R2 − R1 = 1 − = = = 1, 5 см. R1 = 1 ; R2 = 1 2π 2π 2π 2π 6, 28 2π 758. l ⋅ 0, 6 = 2π ⋅ 0, 6 = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 3, 5 ⋅ 0, 6 = 13, 188 . 759. l ⋅

5 5 36 ⋅ 5 = 2πr ⋅ = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ = 30 ⋅ 3, 14 = 94, 2 . 12 12 12

760. а) 9 + 9 + 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 3 = 18 + 6 ⋅ 3, 14 = 36, 84 см. Довжина червоної лінії складається з двох сторін по 9 см і довжин півкіл з однаковим радіусом 3 см. 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 2 = 2 = 25, 12 + 12, 56 + 12, 56 = 25, 12 + 25, 12 = 50, 24 . Довжина червоної лінії складається з довжин трьох півкіл радіусом 4 см і 2 півкіл радіусом 2 см. б) 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 4 +

761.

3 248 ⋅ 3 2 = 37, 2 см; r = l : ( 2π ) = 37, 2 : ( 2 ⋅ 3, 1) = 6 ; l = 24, 8 ; l = 24, 8 ⋅ = 2 10 ⋅ 3 3 2 2 2 S = πr = 3, 1 ⋅ 6 = 111, 6 (см ).

317

МАТЕМАТИКА

762. S1 — площа квадрата S2 — площа круга S1 = 82 = 64 см2 S2 = πr 2 = 3, 14 ⋅ 42 = 50, 24 см2 64 − 50, 24 = 13, 76 см2. d = 5 см Sкруга = πr 2 = 3, 14 ⋅ 2, 52 = 19, 625 см2 Sпрямокутн = 3 ⋅ 4 = 12 см2

763.

19, 625 − 12 = 7, 625 см.

764. Нехай S — площа заштрихованої фігури S = Sквадр − Sкола :2 + Sпівкола

(

)

22 + 3, 14 ⋅12 3, 14 ⋅12 S= + = 2 см2; 2 2

в) S = Sпівкола − Sкола

б) S = Sквадр − Sкола ; r = 1 см S = 22 − 3, 14 ⋅12 = 4 − 3, 14 = 0, 86 см2;

ld z

rпівкола = 8 см; rкола = 4 см; 3, 14 ⋅ 82 S= − 3, 14 ⋅ 42 = 100, 48 − 50, 34 = 50, 24 см2. 2

764. а) S = Sквадр − 4 ⋅ Sкола Sквадр = 82 = 64 (см2) Sкола = 3, 14 ⋅12 = 3, 14 (см2)

S = 64 − 4 ⋅ 3, 14 = 51, 44 (см2);

б) S = Sкола − 2Sквадр − Sпрямокутн − Sтрикутн Sкола = 3, 14 ⋅ 32 = 3, 14 ⋅ 9 = 28, 26 (см2) Sквадрат = 1 см2 Sпрямокутн = 1 ⋅ 2 = 2 (см2) 1 Sтрикутн = ⋅ 2 ⋅1 = 1 (см2) 2 S = 28, 26 − 2 − 2 − 1 = 23, 26 (см2). 2

764. Sвеликої

піци

⎛ 30 ⎞ = 3, 14 ⋅ ⎜ = 3, 14 ⋅152 = 706, 5 см2 ⎝ 2 ⎟⎠ 2

Sмаленької

піци

⎛ 20 ⎞ = 3, 14 ⋅ ⎜ = 3, 14 ⋅102 = 314 см2. ⎝ 2 ⎟⎠

Площа 2 маленьких піц 314 ⋅ 2 = 628 см2.

318

Відповідь: одну велику.

1 см = 0,00001 км l = 4 408 560 ⋅ 0, 00001 = 44, 08560 км ≈ 44, 1 (км). 768. За 1 год колесо зробить 24 000 обертів. Довжина одного оберта колеса: 72 l = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ = 244, 92 см. 2 За 1 год 244, 92 ⋅ 24 000 = 5 878 080 см = 58, 78080 см ≈ 58, 8 км. 769. Sкола : 12 =

МАТЕМАТИКА

767. За 1 год автомобіль зробить 21 600 обертів. За один оберт автомобіль 65 проїде l = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ = 204, 1 см. 2 За 21 600 обертів: l = 21 600 ⋅ 204, 1 = 4 408 560 (см),

3, 14 ⋅ 32 = 9, 42 см. 12

770. За 40 хв хвилинна стрілка опише дугу, довжина якої 2⎛ 40 2 ⎞ l = lкола ⋅ ⎜ 40 хв = = . 3⎝ 60 3 ⎠⎟ 2 l = 3, 14 ⋅ 242 ⋅ = 1205, 76 см. 3

ld z

771. Щоб знайти площу заштрихованої частини, треба від площини 4 півкол радіусом 5 см відняти площу квадрата зі стороною 10 см. 2 1 S= 4 ⋅ 3, 14 ⋅ 52 − 102 = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 25 − 100 = 157 − 100 = 57 (см2). 2

772. Площа квадрата дорівнює двом площам трикутників, на які його ділить діагональ. Площа трикутника дорівнює добутку діагоналі (це сторона трикутника) і половини діагоналі (це висота трикутника) 1 Sкв = 2 ⋅ ⋅ 6 ⋅ 3 = 18 (см2) 2 Sкр = πr 2 = 3, 14 ⋅ 32 = 28, 26 (см2) Sкр − Sкв = πr 2 = 28, 26 − 18 = 10, 26 (см2). 773. Нехай радіуси півкіл червоних дуг будуть r1, r2, r3, а радіуси зелених 2π ( r1 + r2 + r3 ) дуг r4, r5, r6, r7. Тоді сума довжин червоних дуг , а зе2 2π ( r4 + r5 + r6 + r7 ) лених дуг , за малюнком r1 + r2 + r3 = r4 + r5 + r6 + r7 , то 2 2π ( r1 + r2 + r3 ) 2π ( r4 + r5 + r6 + r7 ) = . 2 2 774. Sтрикутника = 3 ⋅ 4 = 12 см2. Sбіл. серп = Sкола − Sпрямок = 3, 14 ⋅ 2, 52 − 12 = 7, 625 см2. Sвсіх біл. і черв. серп = Sвел. кола + Sмал. кола = = 3, 14 ⋅ 22 + 3, 14 ⋅1, 52 = 12, 56 + 7, 065 = 19, 625 (см2). Sчерв. серп = 19,625 – 7,625 = 12 (см2), що і треба було довести.

319

775. N

МАТЕМАТИКА

P O

A M

C Q

1 2 π Sкр = πr 2 = 4 Sкр < Sзаг. част π Sзаг. част > . 4 OX = rкр =

776. Тому що прямокутник складається майже з таких самих трикутників, що і круг. У прямокутника жовтих трикутників і синіх трикутників по 12, як і у круга. Ще ми знаємо, що площа фігури дорівнює сумі площ його частин.

1 1 1 21 x+ x+ x= ; 3 5 6 40 10 6 5 21 x+ x+ x= ; 30 30 30 40 21 21 x= ; 30 40 21 ⋅ 30 x= ; 40 ⋅ 21 3 x= ; 4

1 1 1 39 x+ x+ x= ; 4 6 8 56 6 4 3 39 x+ x+ x= ; 24 24 24 56 13 39 x= ; 24 56 39 ⋅ 24 x= ; 56 ⋅13 9 x= ; 7 2 x =1 . 7

ld z

778. 1)

777. Нехай маса міді х кг, тоді маса срібла 0,8x кг. Маса сплаву 7,2 кг. Отримуємо рівняння: x + 0, 8x = 7, 2 1, 8x = 7, 2 x = 7, 2 : 1, 8 x = 4 (кг).

779. Після першого підвищення ціна товара стала: 16 + 0, 5 ⋅16 = 24 (грн). Після другого підвищення ціна товара стала: 24 + 0, 5 ⋅ 24 = 36 (грн).

781.

Весь круг 100 %, 1 100 % частина круга = 25 % . 4 4

782. Ні, не можна. Отримати 4 в лівій верхній клітині і разом з тим отримати 5 в правій верхній клітині можливо лише отримавши в середній верхній клітині 9, а там повинна бути цифра 6. 320

783. 1) 2) 3) 4) 5)

Сатурн; Венера, Меркурій; Земля, Плутон; У 2 рази: Юпітер має 16 супутників, а Нептун — 8. На 14 супутників: Уран має 15 супутників, а Земля — 1.

784. 1) Ботанічних садів — 22; Зоологічних парків — 12; 2) Заповідників — 20; Національних природних парків — 11, на 20 − 11 = 9 .

МАТЕМАТИКА

26. Діаграми

3) Регіональних ландшафтних парків — 28; 28 4 Дендрологічних парків — 35, у = разів. 35 5

786. 1) У Мертвому морі; 2) у Чорному морі; 3) у Червоному морі.

785. 1) Кременчуцьке. 2) Дністровське. 3) Київського.

ld z

787. 1) На 12, 7 − 0, 4 = 12, 3 % ; 2) найменший приріст — у 1995 році, найбільший приріст — у 2004.

788. 1) 100 %− 7 % = 93 % ; 2) 85 − 5 = 80 % ; 3) 85 %+ 3 % = 88 % .

789. 1) 100 − (35 + 15 + 24 + 20 + 2) = 4 % ; 2) 15 %+ 4 % = 19 % ; 3) 35 + 24 = 59 %— гра на комп’ютері і перегляд телевізійних передач. 2 % — допомога батькам. У 59 : 2 = 29, 5 разів. Так. 790. 1) 100 − (65 + 5 + 15) = 15 % ; 2) 500 г — 100 % x г — 65 % 500 ⋅ 65 500 100 ; x = 325 г. = ; x= 100 x 65 791. 1) футбольну; 2) баскетбольна і волейбольна; 45 9 3) = ; 85 17 24 ⋅100 % = 80 % . 4) 30

321

794.

1971

1976

1081

1987

1992

2000

2004

1976

1081

1987

1992

2000

2004

15 10 5

ld z

1971

15 10 5

1965

1960

40 35 30 25

1960

322 Довжина ліній, км

793.

Кількість станцій 40 35 30 25

Одеса

Ялта

Луганськ

Донецьк

Полтава

Черкаси

55 50 45

Суми

Київ

Ужгород

Львів

МАТЕМАТИКА 792. t

13 12 11 10 9

8 7 6 5

3 2 1

4807 3478 3404 2935 2914 2655 2470 5642

6000 5000 4000

≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈

4800 3500 3400 2900 2900 2700 2500 5600

3000 2000

МАТЕМАТИКА

Висота, м

795.

Ельбрус

Гальхепігген

ГерлаховськіШтит

Корно

Мусала

Пік Ането

Муласен

147 248 451 513 587 719 812

млн млн млн млн млн млн млн

≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈

150 250 450 510 590 720 810

млн млн млн млн млн млн млн

2004

2003

2002

2000 Магній

2001

ld z 1999

Калій

1998

1997

796.

Кількість користувачів

Монблан

1000

797. 8% 7% 6% 5% 4%

Титан

Натрій

Кальцій

Алюміній

3% 2% 1%

323

2 = 2000 (кг) — маса індійського слона; 5 2) 800 кг — 640 % x кг — 100 % 800 ⋅100 800 x = ; x= 640 640 100 x = 125 (кг) — маса лева.

МАТЕМАТИКА

798. 1) 800 :

20 000 ⋅ 60 = 12 000 (студ.) — у Кембриджському університеті; 100 3 12 000 ⋅ 7 = 28 000 (студ.) — у Геттингенському. 2) 12 000 : = 7 3

799. 1)

800. Халькозин: 280 т — 100 % x т — 80 % 280 x = 100 80 280 ⋅ 80 x= = 224 т. 100

Халькопірит: 640 т — 100 % y т — 35 % 640 y = 100 35 640 ⋅ 35 y= = 224 т. 100

Відповідь: однакова кількість.

ld z

27. Випадкові події. Ймовірність випадкової події

803. На вулиці спека, кішка чорна, червона машина і т. д.

804. 1) Сонце погасло, почалася світова війна, шкільний рік закінчився у вересні і т. д.; 2) 1 вересня починаються заняття в школі. 805. 1) Сьогодні буде дощ, або ні. На уроці математики учня викличуть до дошки або ні. 2) Кішка загавкає; дерево забалакає і т. д.

806. 1) Неможлива подія; 3) вірогідна подія; 5) неможлива подія;

2) неможлива подія; 4) вірогідна подія, якщо сьогодні п’ятниця; 6) неможлива подія.

807. Так. 808. При підкиданні монети випадання орла або решки. Якщо в коробці лежить 1 червоний і 1 синій олівець. Якщо витягнути навмання один з них.

324

809. З 20 лотерейних білетів 8 виграшних і 12 не виграшних. Ймовірність виграшу або програшу.

1 . 6 1 . 2) Всього подій 6, сприятлива 1, тому — 6 3) Всього подій 6, сприятливих 3 (може випасти 1, 3, 5), тому

4) Всього подій 6, сприятливих 1, тому

3 4 = . 6 2

1 . 6

811. Якщо в класі 35 учнів, то всього подій 35, сприятлива 1, отже, 812. Всього можливостей 30, сприятливих 25, отже, 813. Всього можливостей 25, сприятлива 1, отже,

25 5 = . 30 6

1 . 25 12 3 = . 28 7

814. Всього можливостей 28, сприятливих 12, отже, 815. 1) Всього учнів 12 + 17 = 29 , хлопчиків 17, отже, 12 . 29

17 . 29

2) Дівчаток 12, отже,

1 . 35

МАТЕМАТИКА

810. 1) Всього подій 6, сприятлива 1, тому —

816. Усього у кубика 6 граней, червоних 3, отже,

3 1 = . 6 2

ld z

817. Усього граней 6, чорних граней 2. 2 1 1) = ; 6 3 4 2 2) білих 4, отже, = . 6 3

818. 1) Всього фігур 32, білий король 1, отже, 2) чорних ферзів 1, отже,

1 ; 32

2 1 = ; 32 16 2 1 = ; чорних тур 2, отже, 32 16 4 1 = ; коней 4, отже, 32 8 8 1 = ; білих пішаків 8, отже, 32 4 16 1 = ; пішаків 16, отже, 32 2 16 1 = ; білих фігур 16, отже, 32 2

3) королів 2, отже,

4) 5) 6) 7) 8)

9) не пішаків 16, отже,

16 1 = ; 32 2

325

10) не королів 30, отже,

30 15 = ; 32 16

МАТЕМАТИКА

11) не білих ферзів 31, отже,

31 ; 32

12) не пішаків і не королів 14, отже,

14 7 = ; 32 16

13) не слонів і не ферзів 32 − 4 − 2 = 26 , отже,

26 13 = ; 32 16

14) не кінь, не король і не тура 32 − 4 − 2 − 4 = 22 , отже,

22 11 = . 32 16

12 ; 19 2) неможлива подія;

819. 1)

10 ; 19

3) парних чисел 10, отже,

4) усього можливостей 19, сприятливих 9, отже,

9 ; 19

5) чисел, кратних 3, всього 6 (3, 6, 9, 12, 15, 18), отже, 6) чисел, кратних 7, всього 2 (7, 14), отже,

2 ; 19

7) простих чисел 8 (1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19), отже,

ld z

6 ; 19

8 ; 19

8) двоцифрових чисел 10 (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19), 10 отже, ; 19 2 ; 9) 9 є у запису 2 чисел (9, 19), отже, 19 10) 1 є у запису 11 чисел (1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19), 11 отже, ; 19 17 ; 11) цифра 5 відсутня у запису 17 чисел, отже, 19 12) чисел, сума цифр яких ділиться на 5, всього 3 (5, 14, 19), 3 ; отже, 19 13) чисел, які при діленні на 7 дають остачу 5, всього 2 (12, 19), 2 отже, ; 19 8 . 14) цифра 1 відсутня у запису 8 чисел, отже, 19 820. 1) Всього в році 365 днів, 7 чисел 7 ⋅12 = 86 (в році 12 місяців). 86 Отже, . 365 326

7 . 365 12 11 , а якщо не високосний . 3) Якщо рік високосний, то 366 365

821. 1) (2; 4; 6) Всього можливостей 6, отже, 2) (1, 2, 3, 5, 6)

МАТЕМАТИКА

2) Чисел 31 в році 7, отже,

3 1 = ; 6 2

5 ; 6

4 ; 6 4) неможлива подія. 3) (1, 2, 4, 5)

822. Всього білетів 480 + 20 = 500 , виграшних 20, отже,

823. Всього кульок 5 + 3 = 8 . 3 5 1) ; 2) . 8 8

20 1 = . 500 25

824. Загубили 2 кульки не білі, тобто чорні, отже, кульок залишилося 17 . 45 − 2 = 43 , тоді 43 825. Всього карток 3, карток з непарними номерами 2, отже,

2 . 3

ld z

826. 1) Всього кульок 5, отже, червоних 5 − 2 = 3 ; 2) 4 червоних кульки. 2 4 827. Всього граней 6. Ймовірність, що випаде синя грань = , а жовта 3 6 1 2 = , отже, синіх граней 4, а жовтих 2. 3 6

828. 7 кульок, тому що синіх кульок 6.

1 1 частину поля, а другий — . 18 12 5 7 поля, а другий за 7 год — поля. Перший за 5 год зоре 18 12 5 7 10 21 31 + = + = частину поля. Разом вони зорють 18 12 35 36 36

829. Перший за 1 год зоре

830. Якщо ціну товару збільшили на 50 %, то вона стала 16 + 16 ⋅ 0, 5 = 24 грн, а коли зменшили на 50 %, то вона стала 24 − 24 ⋅ 0, 5 = 12 грн.

831. 2

1 5 7 ⋅6 2 13 4 4 6 55 ⋅17 2 ⋅15 ; :5 = = =3 ; 3 ⋅1 = =5 . = 6 ; 6−2 3 6 3 ⋅ 35 5 17 17 17 11 17 ⋅11 5 1 2 3

5 6

5 8

−2

·15 6

13 17

327

МАТЕМАТИКА

832. У сітці не може бути 999 вузликів, тому що одна з мотузок, що виходять з кожного вузлика, є спільною між двома сусідніми вузликами (за умовою з кожного вузлика виходить 3 мотузки). Якщо їх буде 999, знайдеться вузлик, з якого вийде більш ніж 3 мотузки.

§ 4. Раціональні числа та дії над ними 28. Додатні і від’ємні числа 9 5 ; 10,14; ; 16 8 1 3 2) від’ємні: –6; −2 ; –5,2; −9 ; 3 7 3) ні додатне, ні від’ємне: 0.

833. 1) Додатні: 3; 4,7;

1 2 3 4 5 6 ; − ; − ; − ; − ; − . 5 5 5 5 5 5

ld z

836. −

835. Говерла +2061 м; Жолоб Пуерто-Рико –8742 м; Кангенджанга +8585 м; Ельбрус +5642 м; Зондський жолоб –7729 м; Гренландське море –5527 м.

834. 1) +18°; 2) –7°; 3) –12°; 4) +16°.

837. −0, 1; − 0, 2; − 1, 3; − 2, 5. 838. 1) +6°;

2) –4°.

2) +10 °С;

3) +11 °С;

839. 1) –2 °С; 840. 1) –2 °С;

2) –7 °С;

3) +2 °С;

4) 0 °С;

5) –4 °С.

4) –9 °С.

841. На 7 поверсі або на 3 поверсі. 842. –7 °С або +3 °С. 843. –7 °С або +1 °С.

844. 1) 150 ⋅

2 150 ⋅ 2 = = 20 (дерев) — на стільки дубів більше ніж кленів; 15 15

2) 150 + 20 = 170 (дерев) — дубів; 3) 170 ⋅

23 170 ⋅ 23 = = 115 (дерев) — беріз; 34 34

4) 150 + 170 + 115 = 435 (дерев) — всього кленів, дубів, беріз;

328

5) 435 ⋅

20 435 ⋅ 20 = = 100 (дерев) — лип. 87 87

1 102 ⋅ 50 102 = = = 51 ; 50 100 ⋅1 2

845. 1) 1, 02 :

МАТЕМАТИКА

11 726 ⋅ 70 66 ⋅ 7 462 = = = = 46, 2 ; 70 100 ⋅11 10 10

2) 7, 26 :

3) 51 − 46, 2 = 4, 8 ; 1 48 ⋅ 5 3 1 = = =1 ; 5 10 ⋅16 2 2 4 ⋅100 10 1 = =1 ; 5) 0, 4 : 0, 36 = 10 ⋅ 36 9 9 1 1 3 10 27 + 20 47 11 = = =2 . 6) 1 + 1 = + 2 9 2 9 18 18 18

4) 4, 8 : 3

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ 846. A ( 2 ) ; B ( 3 ) ; C ⎜ ⎟ ; D ⎜ 1 ⎟ ; E ⎜ 3 ⎟ . ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 3⎠ A

D B E

848.

847.

ld z

849. Можна. Якщо турист буде плисти у човні, а хлопчик по воді, щоб повернути човен назад.

29. Координатна пряма

850. a) A(+2); B(+5); C(+9); D(–2); E(–5); F(–9); M(–10); K(–12). б) A(+3); B(+5); C(–2); D(–4); E(–6); F(+1,5); M(–2,5); K(–6,5).

851. a) A(+1); B(+4); C(+6); D(–1); E(–4); F(–7); M(–0,5); K(+2,5). б) A(+10); B(+20); C(+30); D(–10); F(–25); E(+5); M(–32,5); K(–2,5). 852.

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –5,5

853.

P –3

855.

–2

D A 0

E –1

–1

QD F T –3

–2,5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 854.

1 S B

2 N

1 C

856. 1) 4 см (4 одиничних відрізки); 2) 2 см (2 одиничних відрізки); 3) 6 см (6 одиничних відрізків). 329

857. 1) 35 мм (7 одиничних відрізків); 2) 25 мм (5 одиничних відрізків); 3) 20 мм (4 одиничних відрізки).

МАТЕМАТИКА

858. Між точками А та B 6 одиничних відрізків, т. С — середина С(2). A –6 –5 –4 –3 –2 –1

C 0

B 3

859. Між точками С і М 4 одиничних відрізки, тоді точка N(2). M

–6 –5 –4 –3 –2 –1

N 0

860. Між точками K і Р 4 одиничних відрізки, тоді точка Е(–7). K

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 B

861. 1)

P 0

9 10 x

ld z

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 B

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

2 K

3) –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 863. 1) –1; 0,1; 3) –101; –102; –103; 864. −

862. 1)

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

2) 4; 5; 6; 4) –24; –23; –22.

1 1 2 5 ; − ; − ; − . 2 3 5 6

865. 1) –242; –241; 1 3 3) −8 ; −8 ; 2 4 330

2) 0; 1; 4) 0; 0,01.

866. 1) 73 і 87; 3) –7 і 7; 5) –19 і –5;

867. Точка В, кожна точка розташована одна від одної на відстані 4 одиничних відрізків. 868. Точка С має координату (–7), оскільки відстань між т. А і т. В 2 одиничних відрізки. 869. Відстань між точками А і В 6 одиничних відрізків, оскільки довжина відрізка ВМ у 2 рази більша від довжини відрізка АМ, то точка М може мати координату –4, або 4.

МАТЕМАТИКА

2) –3 і 11; 4) –10 і 4; 6) –14 і 0.

870. 5 ц = 500 кг ; 16 500 ⋅16 1) 500 ⋅ = = 80 (кг) — вийде вершків з 5 ц молока; 100 100 25 80 ⋅ 25 80 = = = 20 (кг) — вийде масла з 80 кг вершків. 2) 80 ⋅ 100 100 4

871.

5 5 числа це — x. 17 17 5 12 480 ⋅17 12 x− x = 480 ; ; x= ; x = 680 . x = 480 ; x = 480 : 17 17 12 17

ld z

872. Нехай це число х, тоді

872. Кількість бігунів це числа кратні 6 (6, 12, 18, 24...), а кількість плавців це числа кратні 5 (5, 10, 15, 20...). Тому бігунів більше.

874. Знайдемо 500 % від 50. 500 500 50 ⋅ 500 500 % = , 50 ⋅ = = 250, 100 100 100

тоді отримуємо число: 250 + 50 = 300 , 300 : 50 = 6 .

875. Ні, не можна, тому що стаканів непарна кількість — 7, а перевернути за 1 раз можна парну кількість — 4. Завжди буде перевернуто по іншому 4 або 1 стакан.

30. Цілі числа. Раціональні числа 876. 1) –6; 2) +7; 3) –0,9; 4) 0; 5) –7,2; 6) +23; 7) +13,4. 877. Число

–8

Протилежне –10 число

5 7

−3

5 7

3,5

–7,8

–0,4 –3,5

7,8

−2

0,4

4 9

900

–900

331

3 6 =− = −0, 6 ; 5 10 2) ні, тому це числа додатні; 5 1 25 3) так, =1 =1 = 1, 25 ; 100 4 4 4) ні, або обидва ці числа від’ємні.

879. 1) Так; 2) так; 3) так; 4) ні; 5) так; 6) так; 7) ні; 8) так; 9) так; 2) ні. 880. 1) 5; 324; 976; 35; 2) 5; –7; 0; –125; 324; 976; 35; –2; 3 1 ; 8,6; 3,24; 15 ; 13,65; 976,35; 3) 5; 7 2 11 ; –2; –79; 4) –7; –3,7; –125; −27 19 5) –7; –125; –2; –79; 3 1 ; 8,6; 15 ; 13,65. 6) 7 2

МАТЕМАТИКА

878. 1) Так, тому що −

881. 1) p = −8 ; 2) p = 18 ; 3) p = 0, 1 ; 4) p = 0 .

882. 1) −x = −7, 9 ; 2) −x = 0, 15 ; 3) −x = 10 ; 4) −x = 49 . 2) − y = −31 ;

ld z

883. 1) − y = 11 ; y = 11 ;

y = 31 ;

⎛ 1⎞ 4) − y = − ⎜ − ⎟ ; ⎝ 3⎠ 1 −y = ; 3 1 y=− . 3

3) − y = 0 ;

y=0 ;

884.

885.

–5

2,1

–72

–а

–4

–2,1

–10

–210 –0,8 210

0,8

0,01 –0,01

1 2 −

−

1 2

1 7

–а

–5

–4

–3

–2

–1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

332 886. 0; –1; –2; –3; –4; –5.

1 7

2) –3; –2; –1; 0; 1; 4) –2; –1; 0; 1; 2; 6) 0.

888. 1) Від –22 до 0 — 21 цифра; від 0 до 43 — 42 цифри. Всього 21 + 42 = 63 . 2) Від –54 до 0 — 53 цифри; від 0 до 16 — 17 цифр. Всього 53 + 17 = 70 . 889. 1) Від’ємним; 2) додатним; 3) нулем. 890. Так, якщо a = 0 .

МАТЕМАТИКА

887. 1) 5; 6; 7; 8. 3) –8; –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1; 5) –1; 0; 1; 2;

891. а.

892. a = 1 і −a = −1 ; 1 1 a= і −a = − ; 2 2 a = 0, 1 і −a = −0, 1 .

893. Ні, тому що між протилежними числами лежить непарна кількість чисел, 0 — теж ціле число.

ld z

1 894. За 1 год син сам пофарбує частину паркана, а разом з батьком 24 1 1 1 частину паркана, тоді батько за 1 год пофарбує − частину 6 6 24 паркана. 1 1 4 1 3 1 − = − = = . 6 24 24 24 24 8

Отже, батько сам може пофарбувати паркан за 8 годин. 895. Нехай апельсинів вивезли х кг. Оскільки фруктів 1 т або 1000 кг, а апельсини складали 99 %, то апельсинів було 1000 ⋅ 0, 99 = 990 кг . Отже, апельсинів залишилось ( 990 − x ) кг , що за умовою складає 98 % від залишку фруктів або (1000 − x ) ⋅ 0,98 . 990 − x = (1000 − x ) ⋅ 0,98 ; 990 − x = 980 − 0,98x ; x − 098x = 990 − 980 ; 0, 02x = 10 ; x = 10 : 0, 02 ; x = 500 (кг). 3⎞ ⎛ 1 3 ⎞ 36 ⋅ 3 ⋅ 5 49 ⋅ 4 6 7 6 ⎛ 1 3 896. 1) ⎜ 5 ⋅ : 3 ⎟ : ⎜ 12 : 1 ⎟ = : = : = ; ⎝ 7 5 5⎠ ⎝ 4 4 ⎠ 7 ⋅ 5 ⋅18 4 ⋅ 7 7 1 49 5 9 ⎞ ⎛ 1 5 7⎞ ⎛ 2 : 3 ⋅1, 125 ⋅1 ⋅1 ⎟ = 2) ⎜ 2 ⋅ 2, 4 ⋅1 ⋅1 ⎝ 7 9 16 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 7 9⎠ =

16 ⋅ 24 ⋅14 ⋅ 25 10 ⋅1125 ⋅12 ⋅16 40 80 40 ⋅ 7 7 1 : = : = = =1 . 7 ⋅10 ⋅ 9 ⋅16 3 ⋅1000 ⋅ 7 ⋅ 9 3 7 3 ⋅ 80 6 6

897. Ні не зможе, тому що вибрати 3 різні пігулки з трьох пар однакових дуже важко. 333

31. Модуль числа 898. 2 = 2 ; −3 = 3 ; 4, 3 = 4, 3 ; 12.6 = 12, 6 ; −17 11 11 =5 ; −129 = 129 . 16 16 2)

7 4 35 12 23 − = − = ; 9 15 45 45 45

8 ⋅ 27 3 = . 9 ⋅ 32 4

900. 1) 3, 5 − 2, 6 = 0, 9 ;

20 5 20 15 35 5 2 + = + = = =1 ; 21 7 21 21 21 3 3

3) 2, 1 ⋅ 3, 7 = 7, 77 ;

15 1 15 5 15 ⋅ 4 3 :1 = : = = . 16 4 16 4 16 ⋅ 5 4

899. 1) 5, 1 + 9, 9 = 15 ; 3) 9, 6 : 32 =

901. 1) −5

96 ⋅1 = 0, 3 ; 10 ⋅ 36

1 5 16 ⋅ 9 24 3 :1 = = =3 ; 3 9 3 ⋅14 7 7

МАТЕМАТИКА

−36 = 36 ; 0 = 0 ; 5

1 1 = 17 ; 7 7

2) 1, 38 : −0, 4 = 1, 38 : 0, 4 = 3, 45 .

2) −2

902. 1) −0, 14 − 0, 1 = 0, 14 − 0, 1 = 0, 04 ;

11 17 11 17 33 34 69 34 35 − −1 =2 −1 =2 −1 =1 −1 = . 36 36 36 36 36 12 18 12 18

ld z

903. 1) –14; 2) +4,6. 904. 1) –16; 2) –0,8.

905. 1) x = 12 ; x = 12 або x = −12 ;

2) x = 7, 5 ; x = 7, 5 або x = −7, 5 ;

3) x = −8 . Коренів немає, тому що модуль числа набуває тільки невід’ємних значень. 4) x = 0 ; x = 0 ; 5) −x = 2, 4 ; x = 2, 4 або x = −2, 4 .

906. x = 5 x =7 x = 2, 5 x =0 x = 3, 5

334

x =4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

–3

–2

–1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –3

–2

–1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

2 3

1 2

3 5

2 4

3 6

x = 3, 7 або x = −3, 7 ; . Коренів немає, тому що модуль числа набуває тільки значень; x = 0, 1 або x = −0, 1 .

МАТЕМАТИКА

907. 1) x = 3, 7 ; 2) x = −7, 4 невід’ємних 3) x = 0, 1 ;

908. –17,6; 15; 8,6; –6,8; –2,2; 0,9; 0. 909. 0,4; –2,8; 3; 4,7; 9,4; –10,5. 910. –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. 911. –12; –11; –10; 10; 11; 12. 912. 1) x < 4 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

913. 1) x < 6, 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 914. a = 0 .

ld z

2) 3, 4 < x < 5, 2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

2) 1, 2 < x < 5

915. 1) a = 0 ; 2) a = 0 . 916. 1) 2) 3) 4) 6)

так; так, якщо a і b числа одного знака; так, якщо b число протилежне a; так, якщо a і b додатні числа; так.

917. 1) 60 хв = 1 год. 1 частину рукопису. 8 2) 12 ⋅ 8 = 96 хв = 1 год 36 хв — надрукують весь рукопис. 60 : 5 = 12 ( хв ) — друкують

4 5 918. Оскільки відстань між містами — це 1, то 20 км — це 1 − = від9 9 стані. 5 20 ⋅ 9 20 : = = 36 км . 9 5 919. 1)

3 3 ⋅1 1 :3 = = ; 8 8⋅3 8

5 1 6 3 + = = ; 8 8 8 4

335

4 3 4 ⋅ 4 16 : = = ; 9 4 9 ⋅ 3 27

МАТЕМАТИКА

5) 0, 9 ⋅

4) 1

5 16 15 16 42 16 26 − =1 − = − = ; 9 27 27 27 27 27 27

26 9 ⋅ 26 13 = = . 27 10 ⋅ 27 15

6 18 = , то 7 21 7 35 = , а 2) Оскільки 12 60

6 18 > ; 7 21 11 44 7 11 = , то < ; 15 60 12 15

920. 1) Оскільки

3) Оскільки

5 35 4 36 5 4 = , а = , то < ; 9 63 7 63 9 7

4) 3,4 і 3,38; 3,40 і 3,38, тому 3,4 > 3,38; 5) 0,02 і 0,019; 0,020 і 0,019, тому 0,02 > 0,019; 6) 0,001 і 0; 0,001 > 0.

Відповідь: 4

3\8 і 5,7; 5

1\8 9 і 4 ; 2 16

5, 7 = 5

7 \4 ; 10

25 24 28 ; 5 ; 5 ; 40 40 40

Порівняємо: 4

5\5 ; 8

8 9 і 4 . 16 16

921. Порівняємо: 5

1 9 3 5 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5,7; 6,1. 2 16 5 8

ld z

922. Це квітень і 7 число — субота. Якщо припустити, що в цьому місяці 5 понеділків і 5 неділь, то 30 число повинно бути понеділком, а перше число неділею. Тільки у квітні 30 днів.

32. Порівняння чисел

923. 1) 135 > –136;

4) –0,2 і –0,2001;

–0,2000 > –0,2001; –0,2 > –0,2001;

2) –74 < 0; 3) –3,4 > –3,8; 7 7 5) − і − ; 13 16 7 7 − < − 13 16 (у цих дробів однакові чисельники).

924. 1) –58 < 43; 3) –92 < –89; 5 9 5) − і − ; 7 14 10 9 − < − ; 14 14 5 9 − < − . 7 14

2) 0 > –35; 4) –1,1 < –1,099;

925. 9,5; 8,9; 7; 0; –4,8; –4,9; –10,9.

336 926. –11; –6; –5,9; 0; 0,5; 4,5; 5,3.

927. –268,9; –195,8; –185,7; 83,8; 183,0; 2464; 2567; 2750.

929. 1) 9 > 0; 4) т < 0; 930. 1) 2) 3) 4)

2) –20 < 0;

3) −6 0 ;

5) n 0 ;

6) с > 0.

–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; –42; –41; –40; –39; –274; –273; –272; –271.

931. 1) х: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 2) 0; 1; 2; 3; 3) 0. 2) х = –10;

3) х = –2.

933. 1) х = 5;

2) х = –12;

3) х = –65.

9 < 6 < 6; 14

4) –14 і –13;

2) 8 і 7; 5) 0 і 1;

3) –9 і –8; 6) –1 і 0.

934.1) 5 < 5

932. 1) х = –8;

МАТЕМАТИКА

928. 2,3; 0,85; 0,8; 0,77; 0,08; 0,03; –0,06; –0,73; –1,46; –26,8.

2) –4; –3; –2.

3) –2; –1; 0.

936. 1) –11; –10; –9; –8.

2) –3; –2; –1; 0.

3) 0; 1; 2; 3.

ld z

935. 1) 3; 4; 5.

937. Може. Наприклад: –10 < 5, але |–10| = 10 ; 10 > 5. 938. 1) 0; 939. 1) 0;

3) 2; 1; 0;

4) 8; 9.

2) 8; 9.

b > n, оскільки воно правіше; т > a, бо воно ближче до нуля 0 < n (n — додатне число); m < n (n > 0, а m < 0); –b < 0; –а > m;

940. 1) 2) 3) 5) 7) 9)

2) 9;

(m і a від’ємні числа); 4) а < 0 (а від’ємне число); 6) b > а (b > 0; а < 0); 8) 0 > –а; 10) –b < n.

941. 1) а; 2) г; 3) ґ. 942. 1) 2) 3) 4)

так; ні, нуль не є від’ємним числом; ні, нуль не є від’ємним числом; так.

943. 1) –7 < х < 3 х: –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1, 2. −5 x 9 х: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Отже, х: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2;

337

МАТЕМАТИКА

2) −3, 8 x 4 х: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4. –2,6 < х < 6,3 х: –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Отже, х: –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4. 944. 1) –а < b;

2) –а > b.

945. 1) –4,2** > –4,6**;

2) 0,628 < –0,627**;

3) 0 > –*,**.

946. 1) –98* > – 1***;

2) –*,*** > –**,**;

3) –98,** < –*4,**.

947. 1)

5 4 <x< − ; 11 11 13 14 − ; − . 33 33

4 5 <x< ; 11 11 13 14 і ; 33 33

2) −

948. 1) Так, якщо а і b від’ємні числа; 2) так, якщо а і b додатні числа; 3) так, якщо а і b додатні числа; 4) ні, наприклад –3 < –1, а |–3| > –1, а якщо а і b додатні числа, то вірно. 949. 1) а > –а;

2) |а | = а;

3) |а | > –a.

950. 1) 0;

2) 3;

3) –4;

4) –1.

ld z

951. Довжина червоної лінії — це сума двох сторін трикутника і довжини півкола. l = 2πR; R = 3 см; π = 3,14; l = 3, 14 ⋅ 6 = 18, 84 ; l : 2 = 18, 84 : 2 = 9, 42 6 + 6 + 9, 42 = 21, 42 см. 21 14 ⋅16 32 2 = = = 10 16 21 3 3 2 1 5 1 50 ⋅ 3 5 2 14 − 10 = 3 ; 5 : 3 = = =1 (год) — через такий час катер 3 3 9 3 9 ⋅10 3 3 наздожене човен.

952. Швидкість човна 14 ⋅

953. Нехай середній зріст одного з чотирьох баскетболістів дорівнює х см, тоді середній зріст одного з десяти баскетболістів буде (6 ⋅190 + 4 ⋅ x) : 10 = 200; 1140 + 4x = 2000; 4x = 860 x = 215 (см). 1 1 22 ⋅1 22 1 2 1 6 1 7 1 ⋅ = = =1 ; 2) +1 = +1 =1 =1 ; 7 3 7 ⋅ 3 21 21 7 21 21 21 21 3 1 1 5⋅ 4 5 2 = =1 ; 3) 1 ⋅1 = 4 3 4⋅3 3 3 1 2 3 8 15 8 7 −1 =1 −1 = . 4) 2 − 4 = 2 4 3 12 12 12 12 12

954. 1) 3

338

7 7 ⋅10 5 : 0, 7 = = . 12 12 ⋅ 7 6

956. а) 35; б) 114. 957. Найбільшу кількість розпилів можна зробити, якщо кількість колод по 4 м і 5 м буде однаковою (5 колод кожної довжини). На 1 колоді довжиною 4 м потрібно зробити 3 розпили, а на 5-метровій і колоді — 4 розпили. Щоб розпилити 4 колоди по 4 м, потрібно зробити 5 ⋅ 3 = 15 розпилів, а 5 колод по 5 м — 5 ⋅ 4 = 20 розпилів. Всього 20 + 15 = 35 розпилів.

МАТЕМАТИКА

955. а) 42; б) 86.

33. Додавання раціональних чисел a+b

–8

–17

–1,2

–4

–0,2

–5

4) −4 °C + 6 °C = +2 °C .

3) −4 °C + 4 °C = 0 °C ; 2) –3,5;

3) –1;

5 ⎛ 9 ⎞ 10 ⎛ 9 ⎞ 19 5 + − =− + − =− = −1 ; 7 ⎝⎜ 14 ⎠⎟ 14 ⎜⎝ 14 ⎠⎟ 14 14

5) −

1 ⎛ 1⎞ 3 ⎛ 2 ⎞ 5 + − =− + − =− ; 4 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 12 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 12

6) −

3 3 +0= − . 8 8

ld z

4) −

2) –5,1;

3) −

961. 1) –22; 4) −

2) −4 °C + ( −3 °C ) = −7 °C ;

959. 1) −4 °C + 3 °C = −1 °C ;

960. 1) –11;

958.

12 3 =− ; 16 4

3 ⎛ 4⎞ 27 ⎛ 28 ⎞ 55 + − =− + − =− . 7 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 63 ⎜⎝ 63 ⎟⎠ 63

962. 1) –3; 2) 3; 3) 14; 4) –20; 5) –0,9; 6) –2,5; 7) 0,2; 8) 0. 963. 1) 5; 2) –5; 3) –4; 4) 20; 5) 1,3; 6) –2,7; 7) –1,9; 8) 0.

964. 1)

2 ⎛ 3 ⎞ 4 ⎛ 9 ⎞ 5 1 + − = + − =− =− ; 15 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ 30 ⎜⎝ 30 ⎟⎠ 30 6

2) − 3)

2 13 10 13 3 1 + =− + = = ; 3 15 15 15 15 5

13 ⎛ 9 ⎞ 26 ⎛ 9 ⎞ 17 + − = + − = ; 16 ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 32 ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 32

4) −4

5 ⎛ 1⎞ 10 ⎛ 3 ⎞ 13 + −7 ⎟ = −4 + −7 = 11 ; 18 9 ⎜⎝ 6⎠ 18 ⎜⎝ 18 ⎟⎠

339

7 ⎛ 3 ⎞ 35 ⎛ 12 ⎞ 47 7 + −6 = −5 + −6 = −11 = −12 ; 8 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ 40 ⎜⎝ 40 ⎟⎠ 40 40

6) −5

13 11 26 33 7 + 12 = −5 + 12 =7 ; 36 18 12 36 36

7) −13 + 7 8) −2

3 16 3 13 = −12 +7 = −5 ; 16 16 16 16

3 ⎛ 5⎞ 27 ⎛ 40 ⎞ 67 + −1 ⎟ = −2 + −1 = −3 ; 72 ⎜⎝ 72 ⎟⎠ 72 8 ⎜⎝ 9⎠

9) −8 + 4

5 22 5 17 = −7 +4 = −3 ; 22 22 22 22

10) −2

9 7 27 14 27 74 47 +5 = −2 +5 = −2 +4 =2 ; 60 60 60 20 30 60 60

11) −5

1 3 2 3 10 3 7 + 1 = −5 + 1 = −4 + 1 = −3 ; 8 8 8 4 8 8 8

12) 4

1 3 5 12 7 + =− + = ; 4 5 20 20 20

965. 1) −

3 ⎛ 9 ⎞ 6 ⎛ 9 ⎞ 3 + ⎜ −8 + ⎜ −8 ⎟ =4 ⎟ = −4 14 . 7 ⎝ 14 ⎠ 14 ⎝ 14 ⎠

МАТЕМАТИКА

5) −5

9 ⎛ 2 ⎞ 45 ⎛ 22 ⎞ 23 + − = + − = ; 11 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 55 ⎜⎝ 55 ⎟⎠ 55 20 3 20 9 11 + =− + =− ; 21 7 21 21 21

ld z

3) −

4) −8

5 ⎛ 7 ⎞ 10 ⎛ 7 ⎞ 3 1 + −3 =7 + −3 =4 =4 ; 12 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ 24 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ 24 8

5) 7

9 3 9 6 3 + 3 = −8 +3 = −5 ; 14 7 14 14 14

6) −6

11 ⎛ 13 ⎞ 33 ⎛ 26 ⎞ 59 23 + −8 = −6 + −8 = −14 = −15 ; 12 ⎜⎝ 18 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36 36

7) −5

12 12 35 23 + 10 = −5 +9 =4 ; 35 35 35 35

8) −11 9) −3

1 1 13 2 11 + = −2 + = −2 ; 12 6 12 12 12

10) 3

6 ⎛ 4⎞ 54 ⎛ 28 ⎞ 54 ⎛ 91 ⎞ 37 + −6 ⎟ = 3 + ⎜ −6 + ⎜ −5 ⎟ =3 ⎟ = −2 3 ; 7 ⎜⎝ 9⎠ 63 ⎝ 63 ⎠ 63 ⎝ 63 ⎠ 6

11) 9

1 ⎛ 3⎞ 2 ⎛ 9 ⎞ 14 ⎛ 9 ⎞ 5 + −5 ⎟ = 9 + −5 =8 + −5 =3 ; 6 ⎜⎝ 4⎠ 12 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 12 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 12

12) −3

340

7 2 35 6 29 +8 = −11 +8 = −3 ; 9 15 45 45 45

8 ⎛ 1 ⎞ 32 ⎛ 3 ⎞ 35 + −2 = −3 + −2 = −5 . 9 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36

966. −273, 14 °C + 4,21 °С = −268, 93 °С .

968. 1) (7 + ( −20 ) ) + 18 = −13 + 18 = 5 ;

2) 7, 9 + ( 2, 1 + ( −10 ) ) = 7, 9 + ( −7, 9 ) = 0 ; ⎛ 11 ⎛ 5 ⎞ ⎞ ⎛ 17 ⎛ 11 ⎞ ⎞ 6 6 54 24 78 3) ⎜ 3 + ⎜ −2 ⎟ ⎟ + ⎜ 4 + −1 =1 +3 =1 +3 =4 = ⎝ 16 ⎝ 16 ⎠ ⎠ ⎝ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ ⎠⎟ 16 36 144 144 144 =4

969. 1)

39 13 =4 . 72 24

МАТЕМАТИКА

967. 1) −6 + ( −6 ) ; 2) 3, 5 + 3, 5 ; 3) −4, 5 + ( −4, 5 ) .

( −6 + ( −19) ) + 15 = −25 + 15 = −10 ;

2) −3, 6 + ( −7, 2 + 4, 5 ) = −3, 6 + ( −2, 7 ) = −6, 3 ; 3)

( −1, 4 + ( −1, 8 ) ) + (( −5, 2) + 8,1) = −3, 5 + 2, 9 = −0, 3 .

970. 5000 + (−120) + (−300) + 460 + 530 + (−1270) + (−650) = 3650 (грн). 971. −34 + 6 + 12 + (−17) + (−3) + 20 + (−5) = −59 + 38 = −21 ;

3) −6, 3 + 2, 7 = −3, 6 ; 5) −6, 3 + 2, 7 = 9 .

2) | −6, 3 | +2, 7 = 6, 3 + 2, 7 = 9 ;

972. 1) −6, 3 + 2, 7 = −3, 6 ;

4) −6, 3 + 2, 7 = 3, 6 ;

ld z

973. 1) 2, 8 + ( −3, 9 ) + 2, 8 = 1, 1 + 2, 8 = 3, 9 ;

2) −4, 5 + 7, 2 + ( −4, 5 ) = 2, 7 + ( −4, 5 ) = −1, 8 ;

3) −2, 3 + ( −6, 2 ) + ( −2, 3 ) = 8, 5 + ( −2, 3 ) = 6, 2 ; 4 7 ⎛ 4 ⎞ 24 35 ⎛ 24 ⎞ +2 + −1 = −1 +2 + −1 = 15 18 ⎜⎝ 15 ⎟⎠ 90 90 ⎜⎝ 90 ⎟⎠

4) −1 =1

11 ⎛ 24 ⎞ 13 + −1 =− . 90 ⎜⎝ 90 ⎟⎠ 90

974. 1) −3 + −7 = 10 ; −3 + ( −7 ) = 10 ;

2) −4 + 10 = 14

3) 7, 2 + 2, 8 = 10 ;

−4 + 10 = 6 ;

7, 2 + 2, 8 = 10 ;

a і b мають бути однакового знаку. 975. Так, може, якщо ці числа від’ємні. Наприклад, −4 + (−5) = −9 . –9 < –4 і –9 < –5. Щоб сума чисел була більшою за кожен з двох доданків, вони обидва мають бути додатні. 976.

a –a

–5 5

–3 4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

–3 3 2

–2 2 6

–1 1

341

МАТЕМАТИКА

977. 1) Якщо х < 0;

2) немає такого значення х.

978. Нехай вовк наздожене Ємелю через х год. 18 12 ⋅ 35 70 1 = = = 23 (км/год), Швидкість вовка: 12 : 35 18 3 3 1 тоді вовк подолає 23 x км, а Ємеля 51 + 12 ⋅ x км. 3 Складемо рівняння: 1 1 1 1 23 x = 51 + 12x ; 23 x − 12x = 51 ; 11 x = 51 ; x = 51 : 11 ; 3 3 3 3 51 ⋅ 3 9 1 x= ; x= ; x=4 . 34 2 2 4 год 30 хв + 10 год 50 хв = 15 год 20 хв. Відповідь: о 15 год 20 хв Вовк наздожене Ємелю.

1 x. 979. Нехай в коробці спочатку було х цукерок, третина цукерок це — 3 ⎛1 ⎞ Дмитрик з’їв ⎜ x + 4 ⎟ цукерки. ⎝3 ⎠ 1 2 16 ⋅ 3 1 2 ; x = 24 . x + 4 + 12 = x ; x − x = 16 ; x = 16 ; x = 16 : ; x = 3 5 2 3 3 980. 1) (1, 65 + 2, 35) + 0, 158 = 4, 158 ;

ld z

2) 4, 12 + 5, 88 + 6, 24 + 3, 76 = 10 + 10 = 20 .

981. Кількість учасників, що грають білими, дорівнює кількості учасників, n n що грають чорними. Нехай всього n учасників, тоді і — грають 2 2 n білими і чорними. Якщо m — білих виграло, то − m чорних про2 грало. Отже, тоді скільки білих виграло, стільки і чорних виграло.

34. Властивості додавання

982. 1)

2) 3)

( −5 + 19) + ( −19) = −5 + (19 − 19) = −5 ; ( −16 + ( −17 ) ) + 17 = −16 + ( −17 + 17 ) = −16 ; −0, 4 + 0, 8 + 0, 4 = 0, 8 + ( −0, 4 + 0, 4 ) = 0, 8 ;

⎛ 2 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 2 5⎞ 4) ⎜ − + 1⎟ + ⎜ − ⎟ = 1 + ⎜ − − ⎟ = 1 − 1 = 0 ; ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7 7⎠ 5)

4 ⎛ 8 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 8 ⎛ 4 4 ⎞ 8 + − + − =− + − =− ; 15 ⎜⎝ 25 ⎟⎠ ⎜⎝ 15 ⎟⎠ 25 ⎜⎝ 15 15 ⎟⎠ 25

6) 9 + ( −12 ) + ( −9 ) + 20 = 1 + 20 − 12 + ( 9 − 9 ) = 8 . 983. 1) 7, 29 + ( −5, 126 ) + ( −6, 29 ) + 5, 126 = 7, 29 − 6, 29 + ( −5, 126 + 5126 ) = 1 ; 2) 24, 35 + ( −72, 61) + 42, 61 + ( −13, 35 ) =

342

= ( 24, 35 − 13, 35 ) + ( −72, 61 + 42, 61) = 11 − 30 = −19 .

984. 1) −6, 38 + ( −1, 73 ) + 5, 38 + 1, 73 = ( −6, 35 + 5, 38 ) + ( −1, 73 + 1, 73 ) = −1 ;

985. 1) −78 + 36 + 19 + ( −22 ) + ( −25 ) = ( −78 − 22 ) + ( 35 + 19 ) + ( −25 ) = = −100 + ( 55 − 25 ) = −100 + 30 = −70 ;

2) 0, 74 + ( −9, 39 ) + 3, 26 + ( −10, 61) + 5, 25 = = ( 0,74 + 3, 26) + ( −9, 39 − 10, 61) + 5, 25 = ( 4 − 20 ) + 5, 25 = −16 + 5, 25 = −10, 75 ; 7 ⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 17 ⎛ 7 9 ⎞ ⎛ 11 17 ⎞ + − + − + = − + − + = 16 ⎜⎝ 42 ⎟⎠ ⎜⎝ 16 ⎟⎠ 42 ⎜⎝ 16 16 ⎟⎠ ⎜⎝ 42 42 ⎟⎠ 2 6 1 1 −7 + 8 1 =− + =− + = = ; 16 42 8 7 56 56

9 13 ⎛ 23 ⎞ 19 ⎛ 9 19 ⎞ ⎛ 13 23 ⎞ + +⎜− =⎜− + − ⎟+ ⎟ +⎜ ⎟= 40 50 ⎝ 50 ⎠ 40 ⎝ 40 40 ⎠ ⎝ 50 50 ⎠

10 10 1 1 5 − 4 1 − = − = = ; 40 50 4 5 20 20

5) −3

31 ⎛ 17 ⎞ 4 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 31 4 ⎞ ⎛ 17 4 ⎞ + −1 +5 + −2 = −3 +5 + −1 −2 = 36 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ ⎜⎝ 24 24 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ 36 36 ⎟⎠ ⎜⎝

9 21 1 7 2 7 5 −3 = 1 − 3 = 1 − 3 = −2 . 8 8 8 36 24 4 8

4) −

МАТЕМАТИКА

2) −3,72 + 9, 84 + 1,72 + ( −20, 84) = (3,72 + 1,72) + ( 9, 84 − 20, 84) = −2 − 11 = −13 .

ld z

986. 1) 43 + ( −60 ) + 12 + 39 + ( −21) = 43 − 60 + 12 + 39 − 21 = = 43 + ( −60 − 21) + (12 + 39 ) = 43 + ( −81 + 51) = 43 + ( −30 ) = 13 ; 2) −1, 23 + 2, 14 + 7, 38 + ( −5, 77 ) + 1, 62 = = ( −1, 23 − 5, 77 ) + (7, 38 + 1, 62 ) + 2, 14 = ( −7 ) + 9 + 2, 14 = 2 + 2, 14 = 4, 14 ; 3) −

3 14 ⎛ 4 ⎞ 5 5 ⎞ 7 ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 14 + + − +3 = − − + +3 = − +4=3 ; 7 19 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 19 ⎜⎝ 7 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 19 19 ⎟⎠ 7

5 ⎛ 4 ⎞ 7 13 ⎛ 5 7 ⎞ ⎛ 4 13 ⎞ + − + + = − + + − + = 18 ⎜⎝ 81 ⎟⎠ 18 81 ⎜⎝ 18 18 ⎟⎠ ⎜⎝ 81 81 ⎟⎠ 2 9 1 1 2 = + = + = ; 18 81 9 9 9

4) −

5) −3

5 3 5 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 5 6 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ +1 + 2 + −4 = −3 −4 + 1 +2 = 11 8 16 ⎜⎝ 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 11 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 16 ⎟⎠

5 ⎞ 11 5 ⎛ 6 = −8 + ⎜ 1 +2 = −8 + 3 = −4 . ⎝ 16 16 ⎟⎠ 16 16 987. 1) 7, 44 + a + ( −3, 5 ) + ( −5, 44 ) + ( −12, 5 ) + b = = (7, 44 − 5, 44 ) + ( −3, 5 − 12, 5 ) + a + b =

= 2 − 15 + a + b = −14 + 9, 6 − 5, 7 = −19, 7 + 9, 6 = −10, 1 ; 9 11 2 ⎛ 18 ⎞ 2 ⎞ ⎛ 11 18 ⎞ ⎛ 9 + p+4 +6 + −5 + k = ⎜−5 + 6 ⎟ +⎜4 −5 ⎟ + p + k = ⎝ 35 35 28 35 ⎜⎝ 28 ⎟⎠ 35 ⎠ ⎝ 28 28 ⎠ 28 ⎛ 7 ⎞ 19 4 1 19 19 ⎛ 4 5⎞ = − −1 −2 + 9 = −1 − 2 +9 = ⎜ − ⎟ −2 +9= ⎝ 5 4⎠ 35 ⎜⎝ 28 ⎟⎠ 30 5 4 30 13 343

2) −5

16 − 25 19 19 ⎞ 38 ⎞ 27 + 38 ⎛ 9 ⎛ 27 −2 +9=⎜− −2 +9= ⎜− −2 + 9 = −2 +9= ⎝ 20 ⎝ 60 20 30 30 ⎟⎠ 60 ⎟⎠ 60 5 1 11 = −3 + 9 = −3 +9=5 . 60 12 12

МАТЕМАТИКА

988. 1) −2, 8 + x + 5, 36 + ( −7, 2 ) + y + ( −7, 36 ) =

= ( −2, 8 − 7, 2 ) + ( 5, 36 − 7, 36 ) + x + y = −10 − 2 + ( −13 ) + 54 = −25 + 54 = 29 ;

4⎞ 13 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ ⎛ 2) m + ⎜ −2 ⎟ + 8 + n + ⎜ −3 + ⎟ + ⎜ −4 = ⎝ ⎝ 24 9 ⎠ ⎝ 24 ⎟⎠ 9⎠ 2 ⎞ ⎛ 13 5⎞ 6 8 2 1 ⎛ 4 = ⎜ −2 − 3 ⎟ + ⎜ 8 − 4 ⎟ + m + n = 5 + 4 + m + n = −5 + 4 + m + n = ⎝ 9 24 ⎠ 9 ⎠ ⎝ 24 9 24 3 3 1 1 5 11 4 10 11 = −1 + m + n = −1 − 3 − 2 = −1 −3 −2 = 12 12 3 3 6 12 12 4 + 10 + 11 25 1 = −6 = −8 . 12 12 12

= −6

989. −3, 2 + 1, 6 + 4, 3 − 2, 2 − 1, 9 − 0, 8 = ( −3, 2 − 0, 8 ) + (1, 6 + 4, 3 ) − 2, 2 − 1, 9 = = −4 + 5, 9 − 2, 2 − 1, 9 = ( −4 − 2, 2 ) + (5, 9 − 1, 9 ) = 6, 2 + 4 = −2, 2 (дм).

990. 7 − 8 − 4 + 5 − 12 − 2 + 14 = ( −2 − 12 ) + ( −8 − 4 ) + (7 + 5 ) + 14 = = −14 − 12 + 12 + 14 = ( −14 + 14 ) + (12 + 12 ) = 0 (°С).

ld z

991. 1) −8 + ( −7 ) + ( −6 ) + ( −5 ) + ( −4 ) + ( −3 ) + ( −2 ) + ( −1) + + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = = ( −1 + 1) + ( −2 + 2 ) + ( −3 + 3 ) + ( −4 + 4 ) + + ( −5 + 5 ) + ( −6 + 6 ) + ( −7 + 7 ) + ( −8 + 8 ) + 9 + 10 + 11 = = ( 9 + 11) + 10 = 20 + 10 = 30 ;

2) −8 + ( −7 ) + ( −6 ) + ( −5 ) + ( −4 ) + ( −5 ) + ( −4 ) + ( −3 ) + ( −2 ) + + ( −1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ( −1 + 1) + ( −2 + 2 ) + ( −3 + 3 ) + ( −4 + 4 ) + + ( −5 + 5 ) + ( −6 − 7 − 8 ) = ( −7 − 8 ) − 6 = −15 − 6 = −21 .

992. Найбільше — 10, найменше — 99. 993. 1) –5 < 0; 2) −5 < 0 ; 3) −10 > −5 ; 4) –10 < –5.

994.

1 1 ⎛ 3⎞ 2 + ( −3 ) = + ⎜ −2 ⎟ = −2 . 3 3 ⎝ 3⎠ 3

995. 1) a — додатне число; 2) a — від’ємне число; 3) a — від’ємне число. 996. P = k ( 3 + 4 + 5 + 8 ) 3k + 10, 5 = 8k 5k = 10, 5 k = 2, 1 P = 2, 1 ⋅ 20 = 42 (см). 344

998. 6 прапорів: 1) червона смуга, жовта смуга, блакитна смуга; 2) червона, блакитна, жовта; 3) блакитна, жовта, червона; 4) блакитна, червона, жовта; 5) жовта, червона, блакитна; 6) жовта, блакитна, червона. 999. 1) 9, 5 + 4, 12 = 13, 62 , так; 1 3 2 9 11 2) + = + = , так. 12 8 24 24 24

МАТЕМАТИКА

997. 1) 400 + 400 ⋅ 0, 05 = 420 грн; 2) 420 + 420 ⋅ 0, 05 = 441 грн; 3) 441 + 441 ⋅ 0, 05 = 463 грн 5 коп .

1000. n −1 — зустріч.

35. Віднімання раціональних чисел

2) 5 + ( −12 ) = −7 ; 4) −6 + ( −18 ) = −24 ; 6) 4 + 10 = 14 ; 8) −11 + 6 = −5 ; 10) 2, 4 + ( −5, 6 ) = −3, 2 ; 12) −1, 4 + ( −1, 2 ) = −2, 6 ; 14) 0 + 99, 4 = 99, 4 ;

ld z

1001. 1) 10 + ( −16 ) = −6 ; 3) −5 + ( −3 ) = −8 ; 5) 7 + 2 = 9 ; 7) −3 + 8 = 5 ; 9) 12, 3 + 6, 8 = 19, 1 ; 11) 0 + ( −13, 4 ) = −13, 4 ; 13) −10, 2 + 4, 6 = −5, 3 ; 15) −8 + 8 = 0 . 1002. 1) 3, 5 + 9, 7 = 13, 2 ; 3) 0 + ( −7, 25 ) = −7, 25 ; 5) −2, 8 + 5, 2 = 2, 4 ;

5 1 10 3 13 + = + = ; 9 6 18 18 18

1003. 1)

2) 1, 9 + ( −3, 2 ) = −1, 3 ; 4) −5, 3 + ( −3, 7 ) = −9 ; 6) 0 + 0, 08 = 0, 08 .

3 ⎛ 11 ⎞ 9 ⎛ 22 ⎞ 13 + − = + − =− ; 16 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ 48 ⎜⎝ 48 ⎟⎠ 48

3) −

3 ⎛ 4 ⎞ 9 ⎛ 8 ⎞ 17 + − =− + − =− ; 10 ⎜⎝ 15 ⎠⎟ 30 ⎜⎝ 30 ⎟⎠ 30

4) −

7 ⎛ 2 ⎞ 35 ⎛ 6 ⎞ 41 + − =− + − =− ; 9 ⎝⎜ 15 ⎠⎟ 45 ⎜⎝ 45 ⎟⎠ 45

5) −

11 2 33 8 25 5 + =− + =− =− ; 20 15 60 60 60 12

6) −

14 7 28 35 7 + =− + = ; 25 10 50 50 50

7) 2

3 2 15 14 29 +1 = 2 +1 =3 ; 7 5 35 35 35

8) 5

12 ⎛ 35 ⎞ 23 + −9 = −4 ; 35 ⎝⎜ 35 ⎠⎟ 35

9) 2

9 ⎛ 17 ⎞ 27 ⎛ 34 ⎞ 7 + ⎜ −4 ⎟ = 2 60 + ⎜⎝ −4 60 ⎠⎟ = −2 60 ; 20 ⎝ 30 ⎠

345

8 ⎛ 1 ⎞ 32 ⎛ 3 ⎞ 35 + −4 = −3 + −4 = −7 ; 9 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36

11) −4

3 5 3 10 7 + 5 = −4 +5 =1 ; 16 16 8 16 16

12) −1

19 3 19 21 2 1 + 2 = −1 +2 =1 =1 . 28 14 28 4 28 28

1004. 1) 2)

7 3 35 12 47 7 + = + = =1 ; 8 10 40 40 40 40 11 ⎛ 17 ⎞ 33 ⎛ 34 ⎞ 1 + − = + − =− ; 12 ⎜⎝ 18 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36 3 ⎛ 9 ⎞ 6 ⎛ 9 ⎞ 15 1 + − =− + − =− = −1 ; 7 ⎜⎝ 14 ⎟⎠ 14 ⎜⎝ 14 ⎟⎠ 14 14

4) −

8 ⎛ 3 ⎞ 16 ⎛ 9 ⎞ 25 + − =− + − =− ; 21 ⎜⎝ 14 ⎟⎠ 42 ⎜⎝ 42 ⎟⎠ 42

5) −

5 3 20 27 7 + =− + = ; 9 4 36 36 36

6) −

7 5 7 10 3 1 + =− + = = ; 24 12 24 24 24 8

7) 3

11 4 33 16 49 13 +4 =3 +4 =7 =8 ; 36 36 12 9 36 36

3) −

8) 4

5 ⎛ 17 ⎞ 12 + −5 ; ⎟ = −1 17 ⎜⎝ 17 ⎠ 17

9) 1

3 ⎛ 1⎞ 3 ⎛ 10 ⎞ 7 + −3 ⎟ = 1 + ⎜ −2 = −1 ; 8 ⎜⎝ 4⎠ 8 ⎝ 8 ⎟⎠ 8

ld z

МАТЕМАТИКА

10) −3

14 ⎛ 19 ⎞ 42 ⎛ 19 ⎞ 61 16 + −1 = −2 + −1 = −3 = −4 ; 15 ⎜⎝ 45 ⎟⎠ 45 ⎜⎝ 45 ⎟⎠ 45 45

10) −2

11) −6

4 5 4 15 31 15 16 + 5 = −6 +5 = −5 +5 =− ; 27 9 27 27 27 27 27

12) −3

1 1 2 3 14 3 11 + 1 = −3 +1 = −2 +1 = −1 . 6 4 12 12 12 12 12

1005. 1) x + 7 = 4 x = 4 −7 x = 4 + ( −7 ) x = −3 ;

346

2) 20 − x = 35 x = 20 + ( −35 ) x = −15 ;

3) x + 2, 6 = −1, 7 x = −1, 7 + ( −2, 6 ) x = −4, 3 ;

4) −4, 5 − x = 9 x = −4, 5 + ( −9 ) x = −13, 5 ;

5) x − 0, 9 = −1, 4 x = −1, 4 + 0, 9 x = −0, 5 ;

6) 7 − x = −5 x =7+5 x = 12 ;

1006. 1) x + 19 = 10 ; x = 10 − 19 ; x = 10 + (−19) ; x = −9 ; 4) −1, 2 − x = 0, 6 ; x = −1, 2 − 0, 6 ; x = −1, 2 + (−0, 6) ; x = −1, 8 ; 1007.

8) −0, 76 − x = −0, 83 x = −0, 76 + 0, 83 x = 0, 07 . 2) 12, 4 − x = 16 ; x = 12, 4 − 16 ; x = −3, 6 ;

3) x + 3, 4 = −5, 8 ; x = −5, 8 − 3, 4 ; x = −5, 8 + ( −3, 4 ) ; x = −9, 2 ;

5) x − 3, 8 = −1, 9 ; x = −1, 9 + 3, 8 ; x = 1, 9 ; x = 25 .

6) 11 − x = −14 ; x = 11 − ( −14 ) ; x = 11 + 14 ;

МАТЕМАТИКА

7) −20 − x = −13 x = −20 + 13 x = −7 ;

−28 − ( −392 ) = −28 + 392 = 364 .

1009. 55, 4 − ( −5 ) = 55, 4 + 5 = 60, 4 (°C).

1008. 40, 1 − ( −43 ) = 40, 1 + 43 = 83, 1 (°C).

1010. 1083, 4 − ( −38, 9 ) = 1083, 4 + 38, 9 = 1122, 3 (°C).

1011. −89, 2 − 70, 8 = −89, 2 + ( −70, 8 ) = −160 (°C). 1012. 1) −27 + 13 + ( −34 ) + 21 = −61 + 34 = −27 ;

2) 1, 7 + ( −3, 4 ) + ( −2, 5 ) + 4, 1 = 5, 8 + ( −5, 9 ) = −0, 1 ;

ld z

3) −0, 65 + 0, 44 + ( −1, 23 ) + 8, 1 = 8, 54 + ( −1, 88 ) = 6, 66 ;

4) 3

1 ⎛ 4⎞ 2 3 ⎛ 8 ⎞ 12 15 ⎛ 8 ⎞ 7 + ⎜ −2 ⎟ + 1 = 3 + ⎜ −2 +1 = 4 + −2 =2 ; 18 ⎟⎠ 18 6 ⎝ 9⎠ 3 18 ⎝ 18 ⎜⎝ 18 ⎟⎠ 18

5) 4

5 ⎛ 7 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ 3 ⎛ 13 ⎞ + −5 + 2 + ⎜ −1 ⎟ + 3 + ⎜ − = 9 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 6 ⎝ 3⎠ 4 ⎝ 18 ⎟⎠

20 ⎛ 21 ⎞ 6 ⎛ 12 ⎞ 27 ⎛ 26 ⎞ + −5 +2 −1 +3 + − = 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠

= 10

17 ⎛ 23 ⎞ 53 ⎛ 23 ⎞ 30 5 + −7 =9 + −7 =2 =2 ; 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 36 6

1013. 1) 16 + ( −29 ) + 14 + ( −48 ) = 30 + ( −77 ) = −47 ; 2)

( −3, 2) + ( −7, 8 ) + ( −5, 4 ) + 4, 6 = −16, 4 + 4, 6 = −11, 8 ;

3) −4, 28 + ( −1, 53 ) + 7, 85 + ( −9, 06 ) = −14, 87 + 7, 85 = −7, 02 ; 4) −5

3 5 1 9 20 6 9 26 17 + 4 + 2 = −5 +4 +2 = −5 +6 =1 ; 8 6 4 24 24 24 24 24 24

5) −3

3 ⎛ 1⎞ 8 ⎛ 5⎞ 7 1 + −2 ⎟ + 4 + −1 ⎟ + 6 + = 5 ⎜⎝ 3⎠ 15 ⎜⎝ 6⎠ 10 2

= −3

36 ⎛ 20 ⎞ 32 ⎛ 50 ⎞ 42 30 + −2 +4 + −1 +6 + = 60 ⎜⎝ 60 ⎟⎠ 60 ⎜⎝ 60 ⎟⎠ 60 60

= −7

46 44 46 104 58 29 + 11 = −7 + 10 =3 =3 . 60 60 60 60 60 30

347

1014. 1) − ( −4 ) + 12 + ( −6 ) − 8 = 4 + 12 + ( −6 ) + ( −8 ) = 16 + ( −14 ) = 2 ;

МАТЕМАТИКА

2) −1, 5 + ( −3, 2 ) + ( −1, 8 ) − ( −2, 4 ) = −6, 5 + 2, 4 = −4, 1 .

1 1 ⎛ 5⎞ 2 3 ⎛ 5⎞ 7 3 4 2 3) −3 + 2 + ⎜ −1 ⎟ − 5 = −3 + 2 + ⎜ −1 ⎟ + ( −5) = −9 + 2 = −7 = −7 ; 6 ⎝ 8⎠ 6 6 2 2 ⎝ 6⎠ 6 6 3 1⎞ ⎛ 3 ⎞ 19 3 4 ⎛ 6 ⎞ 19 ⎛ 21 ⎞ ⎛ 4) − ⎜ −2 ⎟ + ⎜ −1 +3 −1 = 2 + −1 +3 + −1 = ⎝ 28 4 28 ⎜⎝ 28 ⎟⎠ 7 ⎠ ⎝ 14 ⎟⎠ 28 ⎜⎝ 28 ⎟⎠ =5

23 ⎛ 27 ⎞ 51 ⎛ 27 ⎞ 24 6 + −2 =4 + −2 =2 =2 . 28 ⎜⎝ 28 ⎟⎠ 28 7 28 ⎜⎝ 28 ⎟⎠

1015. 1) 3, 6 − ( −12, 6 + 5, 3 ) = 3, 6 − ( −7, 3 ) = 3, 6 + 7, 3 = 10, 9 ; 2)

( −2, 4 − ( −3, 8 ) ) + (5, 6 + ( −10 ) ) = 1, 4 + ( −4, 4 ) = −3 .

1016. 1) −1, 4 + ( 2, 5 − 4, 1) = −1, 4 + (2, 5 + ( −4, 1) ) = −1, 4 + ( −1, 6 ) = −3 ;

( −8, 2 + 14 ) − ( 0, 7 − ( −5, 4 ) ) = 5, 8 − 6,1 = 5, 8 + ( −6,1) = −0, 3 .

1017. 1) 4, 6 + 10 = 14, 6 або 4, 6 − 10 = 4, 6 + ( −10 ) = −5, 4 ; 1 1 2 1 5 + 2 = −1 + 2 = або 3 6 6 6 6 1 1 2 ⎛ 1⎞ 3 1 −1 − 2 = −1 + ⎜ −2 ⎟ = −3 = −3 ; 6⎠ 6 2 3 6 6 ⎝

2 2 2 2 2 ⎛ 2⎞ 4 + 3 = 0 або −3 − 3 = −3 + ⎜ −3 ⎟ = −6 . 7⎠ 7 7 7 7 7 7 ⎝

ld z

3) −3

2) −1

1018. 1) −16 + a + 33 + b − a = 17 + b ;

2) 7, 2 − m − n − 8, 9 − 1, 1 + m = 7, 2 − n + ( −8, 9 ) + ( −1, 1) = −2, 8 − n ; 3 2 5 9 12 ⎛ 35 ⎞ 32 16 + − +x = y− + + − = y− = y− ; 14 7 6 42 42 ⎜⎝ 42 ⎟⎠ 42 21

3) −x + y − 4) p − k +

3 ⎛ 9 ⎞ 7 12 ⎛ 18 ⎞ 7 19 ⎛ 18 ⎞ 1 + − + − p+k= + − + = + − = . 8 ⎜⎝ 16 ⎟⎠ 32 32 ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 32 32 ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 32

1019. 1) x + 2, 8 = 5 x = 5 + ( −2, 8 ) x = 2, 2 x = 2, 2 або x = −2, 2 ;

348

2) x − 3, 1 = 4, 4 ; x = 4, 4 + 3, 1 x = 7, 5 ; x = 7, 5 або x = −7, 5 ;

3) x − 0, 4 = −0, 29 x = −0, 29 + 0, 4 x = 0, 11 ; x = 0, 11 або x = −0, 11 ;

4) x − 6 = −9 ; x = −9 + 6 x = −3 ; коренів немає.

5) 15 − x = −2 x = 15 − ( −2 ) x = 17 ; x = 17 або x = −17 ;

6) x + 25 = −1 x + 25 = 1 або x = 1 − 25 x = 1 + ( −25 ) x = −24

x + 25 = −1 x = −1 − 25 x = −1 + ( −25 ) x = −26 .

2) x − 1, 3 = 1, 2 x = 1, 2 + 1, 3 x = 2, 5 x = 2, 5 або x = −2, 5 ;

3) x − 0, 8 = −0, 1 x = −0, 1 + 0, 8 x = 0, 7 x = 0, 7 або x = −0, 7 ;

4) x x x x

+ 2, 1 = 1 = 1 − 2, 1 = 1 + ( −2, 1) = −1, 1 ; коренів немає;

5) 13 − x = 6 x = 13 − 6 x = 13 + ( −6 ) ; x =7 x = 7 або x = −7 ;

6) x + 2, 1 = 3 x + 2, 1 = 3 або x = 3 − 2, 1 x = 3 + ( −2, 1) x = 0, 9

x + 2, 1 = −3 x = −3 + ( −2, 1) x = −5, 1 .

МАТЕМАТИКА

1020. 1) x + 3 = 8 x = 8−3 x = 8 + ( −3 ) x =5 x = 5 або x = −5 ;

1021.1) −9, 34 + ( −12, 78 ) < − 9, 34 − ( −12, 78 ) , тому що результат різниці додатне число, а результат суми від’ємне; 2) 48 − 73 < − 46 + 59 , тому що 48 − 73<0 , а −46 +59 > 0 ;

3) −16, 5 − (−2, 37) < − 4, 3 − (−8, 1); −16, 5 + 2, 37< 0 , а −4, 3 + 8, 1> 0 .

ld z

1022. 1) 81, 9 + ( −74, 6 ) > 80, 4 + (−83, 5); 81, 9 + ( −74, 6 ) > 0 , а 80, 4 + ( −83, 5 ) < 0 ; 2) 52 − 74 < − 102 + 102 ; 52 − 74 < 0 , а −102 + 102 = 0 ;

3) −96, 3 − ( −96, 3 ) = 0, 872 + ( −0, 872 ) . x −8 =2 x −8 =2 або x = 2+8 x = 10 x = 10 або x = −10 ;

1023. 1)

x +2 =7 x +2=7 або x =7−2 x =5 x = 5 або x = −5 ;

x − 8 = −2 x = −2 + 8 x =6 x = 6 або x = −6 ; x x x x

+ 2 = −7 = −7 − 2 ; = −7 + ( −2 ) = −9 , коренів немає.

1024. 1) x − 8, 5 , оскільки x = −x , то цей вираз має найменше значення –8,5, при x = 0 ; 2) −5, 2 − x — цей вираз має найбільше значення –5,2, при x = 0 . 1025. 1) Найменше значення 3,9 вираз приймає при x = 0 ; 2) найбільше значення 7,6 вираз приймає при x = 0 .

349

МАТЕМАТИКА

1026. Якщо І число x, то друге 0, 8x . Знайдемо скільки відсотків 0, 8x становить від x: x 8 1000 % ⋅100 % = 100 %: = = 125 % . 0, 8x 10 8 1027. Всього — 48 пострілів. Влучили — ? пострілів — ? % не влучили — 6 пострілів. 1) 48 − 6 = 42 (постр.) — влучили в ціль. 42 700 2) ⋅100 % = % = 87, 5 % . 48 8 1 36 = = 12 . 3 3 Білих кроликів 36 − 12 − 8 = 16 .

1028. Бурих кроликів 36 ⋅

16 4 = . 36 9

Ймовірність того, що навмання вибраний кролик буде білим

1030. 1. 1) 3

9 8 13 27 32 26 53 32 21 7 −1 + =3 −1 + =3 −1 =2 =2 ; 28 21 42 84 84 84 84 84 84 28

7 22 63 ⋅ 22 11 5 ⋅ = = =1 ; 28 27 28 ⋅ 27 6 6

3) 2

ld z

2) 2

1029. З кожною парою черевиків він може скласти 45 комплектів одягу. Тоді з 3 парами черевиків 45 ⋅ 3 = 135 комплектів.

2 1 6 5 11 + = + = ; 5 3 15 15 15

11 11 11 ⋅15 5 1 : = = =2 . 6 16 6 ⋅11 2 2

1 7 28 ⋅ 27 7 2 ⋅1 = = =1 ; 27 20 27 ⋅ 20 5 5

11 ⋅ 25 1 = ; 75 ⋅11 3

1 5 9⋅8 2 :5 = = ; 4 8 4 ⋅ 45 5

2. 1) 1

2) 3

5 1 32 ⋅ 3 2 :5 = = ; 9 3 9 ⋅16 3

3) 1

2 2 6 10 21 10 11 − =1 − = − = ; 5 3 15 15 15 15 15

4) 5

3 5 9 12 25 18 30 25 5 1 −4 +1 =5 −4 +1 =6 −4 =2 =2 ; 20 16 40 80 80 80 80 80 80 16

5) 2

1 9 33 ⋅ 32 22 1 : = = =7 ; 16 32 16 ⋅ 9 3 3

1031. 1)

1 ⋅7 ; 2

11 22 11 ⋅ 3 1 : = = . 15 3 15 ⋅ 22 10

2) 2, 3 ⋅ 4 .

1032. Якщо це компанія, то хоча б 2 чоловіки знайомі між собою і кожний з них знайомий хоча б ще з одним з людей з цієї компанії. Отже, якщо перший знайомий з другим, а другий з третім, то і перший і третій знайомі з другим. Аналогічно розмірковуємо, якщо перший не знайомий з другим, а другий з третім. То це і є троє попарно незнайомих між собою. 350

36. Множення раціональних чисел 2) −0, 4 ⋅1, 5 = −0, 6 ; 4) −

3 ⎛ 5 ⎞ 3⋅5 5 ⋅ − = = ; 4 ⎝⎜ 6 ⎠⎟ 4 ⋅ 6 8

15 ⎛ 48 ⎞ 15 ⋅ 48 9 ⋅ − = = ; 16 ⎝⎜ 55 ⎠⎟ 16 ⋅ 55 11

6) −

13 16 13 ⋅16 2 ⋅ =− =− ; 24 39 24 ⋅ 39 9

6 ⎛ 14 ⎞ 6 ⋅14 4 ⋅ − =− =− ; 35 ⎝⎜ 15 ⎠⎟ 35 ⋅15 25

8) −

7 7 ⋅ 24 ⋅ 24 = = −14 ; 12 12

3) 3, 4 ⋅ ( −1, 8 ) = −6,12 ; 5) − 7)

45 ⋅ 8 16 ⋅ 51 = −24 ; 10) − = −6 ; 15 17 ⋅ 8 5 ⎛ 1 ⎞ 32 ⋅ 21 56 2 = = 18 ; 11) −3 ⋅ ⎜ −5 ⎟ = 3 9 ⎝ 4⎠ 9⋅ 4 3 9) −

12 ⋅ 49 21 1 =− = −10 . 7⋅8 2 2

1034. 1) –48;

2) 56;

6 ⋅5 5 1 = =1 ; 24 4 4

6 ⋅ 57 = 18 ; 19

48 ⋅10 32 4 = =4 . 5 ⋅ 21 7 7

( −2)5 = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) = −32 ; ( −0, 6 )2 = 0, 36 ;

ld z

1035. 1)

3) 3,22;

4 ⋅7 4 5) − =− ; 7⋅9 9

6⋅4 24 4) − =− ; 7 ⋅7 49 7)

12) −

МАТЕМАТИКА

1033. 1) −12 ⋅ 5 = −60 ;

1⎞ ⎛ 6⎞ 216 91 ⎛ 3) ⎜ −1 ⎟ = ⎜ − ⎟ = − = −1 ; ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 125 125 2

9 1 ⎛ 3⎞ 4) ⎜ − ⎟ = = 2 ; ⎝ 2⎠ 4 4 5) 1;

6) –1.

1036. 1) 49;

2) –343;

1 ; 16

1 . 16

1037. 1) −1, 28 + ( −1, 3 ) = −2, 58 ;

2) −4, 16 − 5, 1 = −4, 16 + ( −5, 1) = −9, 26 ; 3) −12, 4 ⋅ 2, 1 = −26, 04 ;

4) −

28 ⋅15 19 ⋅ 27 12 3 2 3 4 3 1 + = + = −2 + = −2 + = −2 ; 25 ⋅ 7 9 ⋅190 5 10 5 10 10 10 10

⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ 27 ⎞ 1 ⎛ 27 ⎞ ⎛ 15 ⋅ 28 ⎞ ⎞ ⎛ 27 ⎞ ⎛ ⎛ 5) ⎜ 8 + ⎜ − ⋅ − = 8 + ⎜ −6 ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = 1 ⋅ ⎜⎝ − ⎟= ⎝ ⎝ ⎝ 7 ⋅ 9 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 44 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ 44 ⎠ 3 44 ⎠ =−

4 ⋅ 27 9 =− ; 3 ⋅ 44 11

351

1 1 ⎞ ⎛ 5 ⎛ 3 ⎞⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 35 ⎛ 9 ⎞ ⎞ ⎛ 6) ⎜ −5 +1 ⎟ ⋅⎜ − + ⎜ − = −5 +1 − + − = ⎝ 16 8 ⎠ ⎝ 6 ⎝ 14 ⎟⎠ ⎠⎟ ⎜⎝ 16 16 ⎟⎠ ⎝⎜ 42 ⎜⎝ 42 ⎟⎠ ⎟⎠ 15 ⎛ 44 ⎞ 63 ⋅ 44 33 1 ⋅ − = = =4 . 16 ⎜⎝ 42 ⎟⎠ 16 ⋅ 42 8 8

1038. 1) 3, 24 + ( −9, 8 ) = −6, 56 ;

4) 4 =−

7 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 16 ⋅ 45 ⎞ 55 ⋅14 ⎛ 3 ⎞ 35 ⎛ 3 ⎞ ⋅ −1 − + − =− + − = ⎟= − 12 ⎜⎝ 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 15 ⋅ 64 ⎠ 12 ⋅11 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 6 ⎜⎝ 4 ⎟⎠

70 ⎛ 9 ⎞ 79 7 + − =− = −6 ; 12 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 12 12

5) − =

2) −4, 44 + 8, 74 = 4, 3 ;

( −9, 3 + ( −1, 7 ) ) ⋅ ( −3, 3) = −11⋅ ( −3, 3) = 36, 3 ;

81 ⎛ 28 ⋅ 40 ⎞ 81 ⎛ 9 5⎞ 81 ⎛ 4⎞ ⋅ −6 + =− ⋅ −5 + 3 ⎟ = − ⋅ −2 ⎟ = 9⎠ 88 ⎜⎝ 9⎠ 88 ⎜⎝ 15 ⋅ 21 ⎟⎠ 88 ⎜⎝ 9

81 ⋅ 22 9 1 = =2 ; 88 ⋅ 9 4 4

МАТЕМАТИКА

= −3

=−

48 ⎛ 5 ⎞ 48 ⋅ 77 44 14 ⋅ −2 = = =2 . 15 35 ⎜⎝ 36 ⎟⎠ 35 ⋅ 36 15

( −7, 2)2 > 0 , бо степінь парна і результат — 3 7 4 0 > ( −5, 3 ) ; 3) ( −10 ) < ( −0, 1) ; 12 9 −59 = ( −5 ) ; 5) ( −8 ) > −812 ; 5 0, 313 > ( −216 ) .

ld z

1039. 1)

⎛ 4 ⎛ 4⎞⎞ ⎛ 7 ⎛ 33 ⎞ ⎞ 11 ⎞ ⎞ ⎛ 28 ⎛ 20 ⎞ ⎞ ⎛ 28 ⎛ 6) ⎜ − + ⎜ − ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ 5 + ⎜ −7 + ⎜ −7 = +⎜− ⎟ ⋅ 5 ⎟ = − ⎝ 5 ⎝ 7 ⎠⎠ ⎝ 9 ⎝ 36 ⎟⎠ ⎟⎠ 12 ⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 35 ⎝ 35 ⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 36 ⎝

2) 4)

додатне число;

1040. 1) −2, 4 ⋅ ( −3, 6 ) ⋅ 7, 8 > 9, 6 ⋅ ( −4, 1) ⋅1, 8 ; 2) 5

1 ⎛ 14 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 11 1 ⎛ 3 ⎞ 1⎞ ⎛ > 9 ⋅⎜ − ⋅ 0 ⋅ ⎜ −1 ⎟ ; ⋅ −7 ⋅ −6 ⎟ ⋅ 4 ⎝ 3 ⎜⎝ 19 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 ⎠ 12 8 ⎝ 14 ⎟⎠ 9⎠

3) −7, 13 ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −14 ) ⋅ ( −19 ) ⋅17 > ( −13 ) ⋅ ( −21) ⋅ ( −2136 ) ; 4) 139 ⋅ ( −216 ) ⋅ 0 ⋅ 518 > 135 ⋅ 418 ⋅ ( −5132 ) . 23 ⋅ 8 7 ⋅ 7 85 ⋅ 32 5 7 18 15 14 + + = −46 + 2 + 3 = −45 +2 +3 = 4 3 ⋅14 48 ⋅15 6 9 18 18 18 18 11 7 = −45 +6 = −39 ; 18 18 18

1041. 1) −

2) 6

352

3 15 ⋅ 64 75 ⎛ 45 ⋅ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 64 ⎞ + − ⋅ − = 6 + ⎜ −7 ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = 6 4 + 2 ⋅ 27 = 100 ⎜⎝ 10 ⋅ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 27 ⎠

3 7 27 28 53 17 + 17 = 6 + 17 = 23 = 24 . 4 9 36 36 36 36

17 ⋅ 80 ⎛ 65 ⋅ 40 ⎞ 14 ⋅ 6 1 ⎛ 16 ⎞ + − + = 3 + ⎜ −4 + 28 = 8 ⋅ 51 ⎜⎝ 42 ⋅13 ⎟⎠ 3 3 ⎝ 21 ⎟⎠

= 31

1 ⎛ 16 ⎞ 28 ⎛ 16 ⎞ 12 4 + ⎜ −4 ⎟ = 30 21 + ⎜⎝ −4 21 ⎟⎠ = 26 21 = 26 7 ; 3 ⎝ 21 ⎠ 3

⎛ 11 8 ⎞ ⎛ 11 20 ⋅ 2 ⎞ ⎛ 11 4 ⎞ ⋅ ( −1, 2 ) = + ⋅ ( −1, 2 ) = ⎜ − + ⋅ ( −1, 2 ) = ⎜ − + 2) ⎜ − ⎝ 18 18 ⎟⎠ ⎝ 18 9 ⋅10 ⎟⎠ ⎝ 18 9 ⎟⎠ 3

1 ⋅12 1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 12 ⎞ =⎜− ⋅ − = − ⋅ − = = . ⎝ 18 ⎠⎟ ⎝⎜ 10 ⎠⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎝⎜ 10 ⎠⎟ 216 ⋅ 5 180

МАТЕМАТИКА

1042. 1)

( −5)3 − ( −8 )2 = −125 + 64 = −61 ;

1043. 1)

25 16 25 ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞ = − = 2) ⎜ 1 ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ − ⎝ 3⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 3⎠ 36 9 36 7 25 28 25 3 1 − =1 − =1 =1 ; 9 36 36 36 36 12

( −1, 2 ⋅ ( −0, 4 ) ) − (1, 6 ⋅ 0, 6 ) = 0, 48 − 0, 96 = 0, 48 + ( −0, 96 ) = −0, 48 ;

4) ( 2, 8 + ( −3, 4 ) ) ⋅ ( −1, 6 + 4, 2 ) = −0, 6 ⋅ 2, 6 = −1, 56 . 1044. 1) (7 − 10 ) = (7 + ( −10 ) ) = ( −3 ) = −27 ; 3

ld z

2) ( 6 + ( −10 ) ) ⋅ ( 6 − ( −10 ) ) = −4 ⋅16 = −64 ;

⎛ 8 ⎛ 27 ⎞ ⎞ ⎛ 23 ⎛ 49 ⎞ ⎞ 8 ⋅ 27 ⎛ 23 ⋅ 49 ⎞ 3) ⎜ − ⋅ ⎜ − + ⋅ − = + − = ⎝ 9 ⎝ 32 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 28 ⎜⎝ 46 ⎟⎠ ⎟⎠ 9 ⋅ 32 ⎜⎝ 28 ⋅ 46 ⎟⎠ 3 ⎛ 7⎞ 6 ⎛ 7⎞ 1 + − = + − =− ; 4 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 8 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 8

= 4)

( 4, 5 − 6 ) ⋅ (1, 8 − ( −3, 4 ) ) = ( 4, 5 + ( −6 ) ) ⋅ (1, 8 + 3, 4 ) =

−1, 5 ⋅ 5, 2 = −7, 8 .

18 ⋅1 2 ⎛ 1⎞ 1045. 1) 18 ⋅ ⎜ − ⎟ = = ; ⎝ 9⎠ 81 9 3

⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ 24 ⋅1 ⎞ 2) ⎜ 24 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟ = ⎜ − ⎟ = −64 ; ⎝ 6⎠⎠ ⎝ ⎝ 6 ⎠ 3)

( −0, 9 + 0, 8 )4 = ( −0,1)4 = 0, 0001 ;

1⎞ 1⎞ 4 ⋅ 9 3 ⋅ 22 ⎛ ⎛ 4) 4 ⋅ ⎜ −2 ⎟ − 3 ⋅ ⎜ −7 ⎟ = − + = −9 + 22 = 13 . ⎝ ⎝ 4⎠ 3⎠ 4 3 1046. 1) 23 − ( −3 ) = 23 − 81 = −58 ; 4

( −0, 2)2 − ( −0, 2)3 = 0, 04 + 0, 008 = 0, 048 ;

353

⎛ 1 1⎞⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 3) ⎜ 0, 8 ⋅ 2 + 0, 3 ⋅ ⎜ 1 − ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ 0, 6 ⋅ ⎜ −1 ⎟ − 1, 2 ⋅ 2 = ⎝ ⎝ ⎝ 12 9⎠⎠ ⎝ 9⎠ 12 ⎠⎟

⎛ 2 ⎛ 1⎞⎞ ⎛ 2 ⎛ 1⎞⎞ 1 ⎛ 4 ⎛ 3⎞⎞ = ⎜ 1 + ⎜ − ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ − + ⎜ −2 ⎟ ⎟ = 1 ⋅ ⎜ − + ⎜ −2 ⎟ ⎟ = ⎝ 3 ⎝ 3⎠⎠ ⎝ 3 ⎝ 6⎠⎠ 2⎠⎠ 3 ⎝ 6 ⎝ =1

1 ⎛ 1⎞ 4 ⋅19 38 2 ⋅ −3 ⎟ = − =− = −4 . 9 3 ⎝⎜ 6⎠ 3⋅6 9 2) −6, 8 ( x − 4 ) = 0 ; x−4 = 0 ; x=4 ;

1047. 1) −3x = 0 ; x=0 ; 3)

( x + 7, 2) ⋅ ( x − 8,1) = 0 ;

4) −5 x = 0 ; x =0 ; x=0 .

5 x=0; 12 x=0 ;

2) 5, 9 ( x + 6, 3 ) = 0 ; x + 6, 3 = 0 ; x = −6, 3 ;

x + 7, 2 = 0 ; або x = −7, 2 ;

x − 8, 1 = 0 ; x = 8, 1 ;

МАТЕМАТИКА

⎛ 8 ⋅ 25 ⎛ 3 ⋅10 ⎞ ⎞ ⎛ 6 ⋅10 12 ⋅ 25 ⎞ =⎜ + − ⋅ − − = ⎝ 10 ⋅12 ⎜⎝ 10 ⋅ 9 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⋅ 9 10 ⋅12 ⎟⎠

1048. 1) −

( x − 3) ( x + 4 ) = 0 ; x − 3 = 0 ; або x=3 ;

x+4=0; x = −4 ;

−6x > −36 ; x = 5 ; 4; 3; 2; 1;

2) −7x > −70 ; x = 9 ; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;

ld z

1049. 1)

4) 23, 5 x = 0 ; x =0 ; x=0 .

3) −5x − 18 ; x = 3 ; 2; 1;

4) −0, 8x > −6, 4 ; x = 7 ; 6; 5; 3; 2; 1. 2) −9x 45 ; x = −5 ; –4; –3; –2; –1;

1050. 1) −5x < 20 ; x = −1 ; –2; –3;

3) −4x 35 ; x = −8 ; –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1;

4) −0, 3x < 1, 2 ; x = −3 ; –2; –1.

1051. 1)

( −x )2 ;

2) −x2 ; 3)

( −x )2 ;

4) −x2 ; 5) x3 .

1052. 1) Додатним a ⋅ b > 0 , якщо a < 0 і b < 0 , −9 ⋅ c > 0 , якщо c < 0 ; 2) від’ємним. 1053. 1) x ⋅ ( x + 9, 4 ) ( x − 6, 5 ) = 0 ; x=0 або x + 9, 4 = 0 ; x = −9, 4

354

2) x − 21 ( x + 12, 4 ) = 0 ; x − 21 = 0 ; або x + 12, 4 = 0 ; x − 21 = 0 ; x = −12, 4 . x = 21 .

або

x − 6, 5 = 0 ; x = 6, 5 ;

( x + 1, 2) ( x + 5) ( x − 10 ) = 0 ; x + 1, 2 = 0 ; або x+5 = 0 ; x = −1, 2 x = −5 ;

або

x − 10 = 0 ; x = 10 .

x + 1 ( x − 2) = 0 ; x +1 = 0 x +1 = 0 ; x = −1 .

або

x−2 = 0 ; x=2 .

1055. 1) –8, якщо x = 0 ;

2) 7, якщо x = 0 .

1056. 1) 4, якщо x = 0 ;

2) 10, якщо x = 0 .

МАТЕМАТИКА

1054. 1)

1 1 1 1 1057. 1) Нехай додатне число x, тоді числа — це ⋅x , а − x; 48 48 6 6 1 1 1 ⋅ 48 ⎛1 1 ⎞ ⋅1 = 8 . x: x=⎜ : ⋅(x : x) = ⎝ 6 48 ⎟⎠ 6 48 6 ⋅1 5 5 6 числа — це x , а 60 % — x; 2) Нехай додатне число x, тоді 6 6 10 5 6 50 25 7 ⎛ 5 ⋅10 ⎞ = =1 . x: x=⎜ ⋅(x : x) = ⎝ 6 ⋅ 6 ⎟⎠ 6 10 36 18 18

ld z

3 частину вареників, а разом 1058. За 1 год Галина може наліпити 1 : 3 4 2 дівчата наліплять 1 : 1 . 3 2 3 3 4 9 4 5 1 1 :1 − 1 : 3 = − = − = = . 3 4 5 15 15 15 15 3 Отже, Ольга може наліпити потрібну кількість вареників за 3 год. 3 3 3 −3 = . 4 4 3 Відповідь: на години. 4 1059. Швидкість другої машини: 8 64 ⋅ 7 64 : = = 56 км/год. 7 8 Оскільки машини зустрілись, то разом вони проїхали: 7 7 64 ⋅ 4 + 56 ⋅ 4 км; 12 12 64 ⋅ 55 56 ⋅ 55 880 770 1650 + = + = = 550 (км) — проїхали разом. 1 ⋅12 1 ⋅12 3 3 3 1060. Пончик з’їсть 1 пиріг за той же час, що Карлсон 10 ватрушок, а Вінні1 Пух частину барильця меду за той же час, що Карлсон 10 ват4 1 рушок. Отже, відношення дорівнює . 4 1061. Коли Михайло розв’яже 1 рівняння, то Сергій розв’яже 9 рівнянь. Отже, коли Михайло розв’яже 3 рівняння, то Сергій розв’яже 27 рівнянь. 355

МАТЕМАТИКА

1062. 1) 0, 2 ⋅ 5 ⋅16, 7 = 16, 7 ;

2) 0, 25 ⋅ 4 ⋅ 42, 6 = 42, 6 .

1063. 1) 0, 6 ⋅ 0, 2 ⋅ a ⋅ b = 0, 12ab ;

4 5 4 ⋅5 1 m⋅ n= m ⋅ n = mn . 5 16 5 ⋅16 4

1064. Якщо перші 2 команди зіграють матч між собою, то вони вже зіграли однакову кількість матчів і всі інші команди теж (бо не зіграли жодного матчу). І взагалі у будь-який момент, якщо перша команда буде грати з іншими, а ті в свою чергу не будуть грати між собою, умова задачі буде виконуватись і т. д.

37. Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт 1065. 1) 6; 2) –7,2; 3) –1; 4) 1,8; 5)

1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ 9 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ 7 ⋅ ⋅ ( −5 ) ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ 3 = −1 ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) = 1 ; ⎝ 7⎠ ⎝ 3⎠ 9 5

2) 4 ⋅

1066. 1) −

1 4 3 . ; 6) −2 ; 7) 1; 8) 4 3 11 7

1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ 8 ⎜ − ⎟ ⋅ ( −6 ) ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ( −10 ) ⋅ ⎜ − ⎟ = 1 ⋅ ( −4 ) ⋅ 2 ⋅ 2 = −16 ; ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ 4 ⎝ 2⎠

3) 0, 2 ⋅ 5 ⋅ ( −0, 25 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ 5 ⋅ ( −2 ) = 1 ⋅1 ⋅ ( −10 ) = −10 . 1067. 1) 4 ⋅ ( −1, 2 ) ⋅ a = −4, 8a , коефіцієнт

( −4, 8 ) ;

2) −0, 2b ⋅ ( −0, 14 ) = −0, 2 ⋅ ( −0, 14 ) ⋅ b = 0, 028b , коефіцієнт 0,028;

ld z

( −48 ) ;

3) −6 ⋅ 8 ⋅ a ⋅ b = −48ab , коефіцієнт

4) −3, 2 ⋅ ( −0, 5 ) ⋅ p ⋅ k = 1, 6 pk , коефіцієнт 1,6; 5)

3 ⋅7 1 1 ⋅x⋅y = xy , коефіцієнт ; 28 ⋅18 24 24 1 3 ⎛ 1⎞ 8 ⋅ 7 ⋅1 k ⋅1 p ⋅ ⎜ − ⎟ m = ⋅ k ⋅ p ⋅ m = kpm , коефіцієнт 1. 7 4 ⎝ 2⎠ 7 ⋅4⋅2

6) −1

1068. 1) −3 ⋅ ( −2, 1) ⋅ m = 6, 3m , коефіцієнт 6,3; 2) 3, 6 ⋅ ( −5 ) ⋅ x = −18x , коефіцієнт

( −18 ) ; ( −17 ) ;

3) 10m ⋅ ( −1, 7 ) ⋅ n = −17mn , коефіцієнт

4) −7 ⋅ 3 ⋅ ( −6 ) abc = 126abc , коефіцієнт 126; 5) −

16 ⋅ 8 ⋅ 45 x ⋅ b ⋅ k = −6xbk , коефіцієнт 1 ⋅15 ⋅ 64

( −6 ) ;

6) −0, 2 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −1) ⋅ t ⋅ a ⋅ b = −tab , коефіцієнт

( −1) .

1069. 1) −4 ⋅ ( −0, 5 ) ⋅ 23 = 2 ⋅ 23 = 46 ;

2) −0, 4 ⋅ 5 ⋅ ( −250 ) ⋅ ( −0, 2 ) = −2 ⋅ 50 = −100 ; 7 ⎛ 13 ⎞ ⋅ − ⋅ ( −6, 5 ) ⋅ 0, 4 = 2, 6 ; 13 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 7 10 ⋅ ⋅ 2, 5 ( −4 ) = 10 ; 5) − 10 7

356

6 ⋅ 69 7 3 ⋅ ⋅ = 18 ⋅1 = 18 ; 23 ⋅1 3 7 5 ⋅ 9 ⎛ 4 ⋅ 26 ⎞ 1 8 4 = − ⋅8 = − =− . 6) − ⋅ 18 ⋅ 25 ⎜⎝ 13 ⎟⎠ 10 10 5 4)

1070. 1) −1, 25 ⋅ ( −8 ) ⋅ ( −3, 47 ) = 10 ⋅ ( −3, 47 ) = −34, 7 ;

2) (50 ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −0, 001) ) ⋅ ( −54, 8 ) = ( −100 ⋅ ( −0, 001) ) ⋅ ( −54, 8 ) =

9 ⋅ 32 ⎛ 11 ⋅ 70 ⎞ ⋅⎜ − ⎟ = −18 ⋅ ( −22 ) = 396 ; 16 ⎝ 35 ⎠ 48 ⋅ 5 13 ⋅ 6 ⋅ = −1 ⋅1 = −1 . 4) − 10 ⋅ 24 6 ⋅13 3) −

1071. Нулю, тому що одним з множників буде нуль. Від’ємним (решта — це добуток трьох від’ємних чисел); додатним (добуток двох від’ємних чисел є число додатне); додатним (парна кількість від’ємних чисел); нуль.

2) −

8 ⎛ 1 ⎞ 3 1 8 ⋅1 ⋅15 ⋅1 1 ⋅ − ⋅3 ⋅ = = ; 15 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 4 6 15 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 6 9

1073. 1) −

7 ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ 7 ⋅ 24 ⋅ 5 ⋅14 ⋅ 8 ⋅ 5 175 ⎛ 2⎞ ⎛ 5 ⎞ ⋅ −3 ⋅ −1 ⋅14 ⋅ ⎜ −2 ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = − =− − 17,5 . ⎝ 3 ⎠ ⎝ 16 ⎠ 20 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 20 ⋅7 ⋅ 4 ⋅1⋅ 3 ⋅16 10

1072. 1) 2) 3) 4)

МАТЕМАТИКА

= 0, 1 ⋅ ( −54, 8 ) = −5, 48 ;

1074. 1) 200 ⋅ ( −0, 25 ) ⋅ ( −0, 4 ) ⋅ ( −0, 2 ) = −4 ; 2) −

1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 4 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 30 ⋅ 20 ⋅ 4 ⎞ = 10 . ⋅ − ⋅ − ⋅ ( −30 ) ⎟ ⋅ 20 ⋅ = ⎠ 3 ⎜⎝ 20 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 9 3 ⋅ 20 ⋅ 4 ⋅ 9

ld z

1075. Якщо сума двадцяти чисел, кожне з яких 1 або ( −1) дорівнює 0, то кількість 1 і ( −1) однакова. Отже, кожного числа по 10. Добуток цих чисел дорівнює 1.

1076. 1) Так, добуток двох додатних чисел — додатне число; 2) ні, добуток додатне число; 3) ні, добуток додатне число; 4) так, якщо один з множників від’ємне число, то добуток від’ємне число. 1077. 1) 5 ⋅ ( −2 ) = 5 ⋅ 4 = 20 ; 2

3) − ( 25 ) = −25 ;

2) −2 ⋅ ( −27 ) = 54 ; 4) −8 ⋅ 9 = −72 .

1078. 1) −4, 2 ⋅ ( −3, 5 ) − ( −4, 2 ) = −4, 2 ( −3, 5 − 1) = −4, 2 ⋅ ( −4, 5 ) = 18, 9 ; на 18,9; 2) 4, 2 ⋅ ( −3, 5 ) − ( −4, 2 + ( −3, 5 ) ) = 14, 7 − ( −7, 7 ) = 14, 7 + 7, 7 = 22, 4 ; на 22,4. 1079. 1) −1, 6 − ( −1, 6 ⋅ 2, 5 ) = −1, 6 + 4 = 2, 4 ; на 2,4; 2) ( −1, 6 + 2, 5 ) − ( −1, 6 ⋅ 2, 5 ) = 0, 9 + 4 = 4, 9 ; на 4,9. 1080. 1)

5 1 1 = + ; 6 2 3

7 1 1 = + ; 12 3 4

4 1 1 = + ; 9 3 9

1 1 1 = + . 2 3 6

9 1 1 = + ; 20 4 5

357

1082. 1) −

32 ⋅ 25 ⎛ 9 ⎞ 81 1 16 1 15 + ⎜ − ⎟ = −10 + = −10 + 5 = −9 +5 = −4 ; 16 6 16 16 5 ⋅16 ⎝ 4 ⎠ 16 2

⎛ 5 13 ⎞ ⎛ 45 ⎞ ⎛ 25 ⎛ 39 ⎞ ⎞ ⎛ 45 ⎞ 2) ⎜ − = − ⋅ − = − + − ⋅ − ⎝ 12 20 ⎟⎠ ⎜⎝ 32 ⎟⎠ ⎜⎝ 60 ⎜⎝ 60 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 2

⎛ 64 ⎞ ⎛ 45 ⎞ ⎛ 16 ⎞ =⎜− ⋅ − = − ⎝ 60 ⎟⎠ ⎜⎝ 32 ⎟⎠ ⎜⎝ 15 ⎟⎠

8 3 256 ⋅ 45 ⎛ 45 ⎞ = − =1 . ⋅⎜ − =− ⎝ 32 ⎟⎠ 225 ⋅ 32 5 5 7 ⎛ 4 5⎞ 7 ⋅ + =2 . 15 ⎜⎝ 9 9 ⎟⎠ 15

1083. 1) 3, 18 (7, 8 + 2, 2 ) = 3, 18 ⋅10 = 31, 8 ;

2) 2

1084. 1) 8a + 32 ;

2) 3b + 3 .

1085. 1) m ⋅ ( 5 + 7 ) = 12m ;

МАТЕМАТИКА

1081. 1) 644 000 це 115 %. Знайдемо на скільки гривень планував виготовити товару завод. 115 644 000 ⋅100 644 000 : = = 560 000 ; на 560 тис. грн. 100 115

2) n ⋅ ( 6 + 3 + 1) = 10n .

ld z

1086. Оскільки змагалися 4 хлопчики і другий набрав на 2 бали менше від першого, третій на 3 бали менше від першого, а четвертий на 4 бали менше від першого, і кількість балів за кожне місце натуральне число, то видів змагань могло бути число кратне 16 + 14 + 13 + 12 = 55 . Це 5 або 11 видів змагань.

38. Розподільна властивість множення

1087. 1) Так (–3 помножили на кожний з доданків); 2) так; 3) ні ( 2n ) ; 4) ні ( −5p ) ; 5) ні ( −c ) ; 6) ні ( b ) . 2) 0, 52x − 0, 2y − 0, 52 ; 4) 1, 6ab − 1, 2ap + 0, 44ac ; 6) −a − 3ax + 20ay .

1089. 1) −12 − 15m + 18n ; 3) −0, 31x + 0, 78y − 0, 96 ;

2) 2, 8t − 0, 2 + 5y ; 4) −1, 05xp + 0, 9yp − 0, 75zp .

1090. 1) 12, 4 − 3, 5 − 6, 14 = 2, 76 ; 3) 4, 3 + 9, 2 − 4, 3 + 3, 8 = 13 ;

2) 2, 67 − 8, 04 + 7, 33 = 1, 96 ; 4) 3, 98 − 7, 36 − 5, 98 + 10, 36 = −2 + 3 = 1 .

1088. 1) 2a + 6b − 14c ; 3) −0, 8a + 3, 2d − 2, 4 p ; 5) mk − 29mn + 38, 9m ;

1091. 1) 9, 38 + 10 − 5, 38 = 14 ; 2) −8, 76 + 3, 25 + 10, 76 = 5, 25 ; 3) −6, 19 + ( −1, 5 + 5, 19 ) = −6, 19 − 1, 5 + 5, 19 = −2, 5 ; 4) 21, 4 − 12, 7 − 20, 4 + 12, 7 = 1 .

358

1092. 1) m − n − m = −n ; 3) x + 3, 2 − x − 6, 4 = −3, 2 ;

2) x − x + y = y ; 4) −m + 4, 7 − n − 10, 3 + m = −5, 6 − n .

1093. 1) −a + b − b = −a ; 3) −2, 7 + a − a + 1, 8 = −0, 9 ;

2) −c + c − d = −d ; 4) 6, 2 − a − b − a + b − 10, 9 = −2a − 4, 7 .

1095. 1) ( −8, 4 + a ) − ( a + 14, 9 ) = −8, 4 + a − a − 14, 9 = −23, 3 ; 2) ( 42 − b ) − ( b + 36, 4 ) = 42 − b + b − 36, 4 = 5, 6 ; 3) ( m − n ) − ( −n + m − p ) = m − n + n − m + p = p ; 4) ( −2, 2 + 4, 90 − c ) − ( 4, 9 − c − 1, 3 ) = −2, 2 + 4, 9 − c − 4, 9 + c + 1, 3 = −0, 9 . 7x − 18x + 25x − 6x = 8x ; −0, 3b − 1, 4b + 3, 1b + 0, 7b = 2, 1b ; 11a − 16b − 18a + 9b = −7a − 7b ; −0, 8k + 0, 9 p − 1, 7k + 0, 5k + 1, 4 p = −2k + 2, 3 p .

1097. 1) 2) 3) 4)

−4a + 12a + 13a − 27a = −6a ; 4, 2x − 4, 8x − 6, 3x − 2, 4x = −9, 3x ; −17x + 19y − 15y + 13x = −4x + 4y ; 0, 9n − 0, 8m − 0, 7m + 3, 5n − 1, 9n = 2, 5n − 1, 5m .

1098. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

15a + 12 − 11a = 4a + 12 ; −0, 8b + 1, 4 + 1, 4b = 0, 6b + 1, 4 ; 21a − 3ab − 7b + 21a = 42a − 3ab − 7b ; −8k + 36 − 18k − 3 = −26k + 33 ; 0, 6x − 2, 2 − 2 + 1, 5x = 2, 1x − 4, 2 ; 3m − 4n − 5m − 2n = −2m − 6n ; −10, 5a + 7b + 2, 6a − 2b = 5b − 7, 9a ; 0, 35y − 0, 15 − 0, 35y − 0, 28 = −0, 43 ; −8a + 13 + 12 − 9a = −17a + 25 .

ld z

1096. 1) 2) 3) 4)

МАТЕМАТИКА

1094. 1) ( −8 − a ) + ( a + 23 ) = −8 − a + a + 23 = 15 ; 2) (1, 3 + m ) + ( −4 − m ) = 1, 3 + m − 4 − m = −2, 7 ; 3) ( p − m + k ) + ( − p + m + k ) = p − m + k − p + m + k = 2k ; 4) (3,7 − 2, 6 + 4, 2) + ( −12,5 + 2, 6 − 4, 2) = 3,7 − 2, 6 + 4, 2 − 12,5 + 2, 6 − 4, 2 = −8, 8 .

1099. 1) −4x − 72 + 16x = 12x − 72 ; 1 ⋅ 21 2) 4 − y + 0, 3y = 4 − 0, 7y + 0, 3y = 4 − 0, 4y ; 3 ⋅10 3) 18x − 12 + 20x − 4 = 38x − 16 ; 4) −21 + 28c + 7 + 28c = 56c − 14 ; 5) −4, 8 + 0, 6b − 0, 6a + 1, 4b = 2b − 5, 4a ; 6) −0, 09c − 0, 12d + 0, 08c − 0, 04d = −0, 01c − 0, 16d ; 7) 6, 3x − 3y − 5, 6x + 8, 4y = 5, 4y + 0, 7x ; 8) 3, 2t + 2, 8 − 3, 2t + 4, 8 = 7, 6 ; 9) 2, 8x − 2, 1 + 0, 8 − 0, 5x = 2, 3x − 1, 3 . 1100. 1) 5 ( a + b ) ;

3) −6 ( a − b + 1) ;

5) 0, 1a ( 3b + 13c − 10 ) ;

1101. 1) 3 ( c − d ) ;

3) 7 ( a − b − c ) ;

2) x ( a − b ) ;

4) 6 ( 2a − b + 3c ) ;

6) 3 ( 3m − 2n + 4k − 5 ) . 2) m ( x − y ) ;

4) 4 ( −3x − 2y + 5 ) .

359

МАТЕМАТИКА

1102. 1) −5 + 6 + (10 − 94 ) ; 3) −3, 4 + p + ( −k − 7, 4 ) ;

2) a − b + ( − c + d ) ; 4) x − 2, 4 + ( y + 3, 6 ) .

1103. 1) 10 − 13 − ( −17 + 14 ) ; 3) −2, 5 + x − ( y − 1, 6 ) ;

2) a − b − ( c − d ) ; 4) −a + b − c − ( d − m ) .

1104. 1) − ( a − 8 ) ; 3) − ( −a + 8 ) ;

2) − ( a + 8 ) ; 4) − ( −a − 8 ) .

1105. 1) −

12 ⋅ 5 12 12 ⋅ 7 12 1 a+ b− c+ = −10a + 3b − 3 c + 1 ; 6 4 24 12 2

16 ⋅ 9 8⋅9 5⋅9 4⋅9 an − bn + cn + dn = 32 32 9 ⋅ 32 9 ⋅ 32 1 1 5 1 = −4 ab − 2 bn + cn + dn ; 2 4 32 8

2) −

4 ⋅ 45 4 ⋅ 30 4 ⋅15 4⋅3 abc + bcd − mbc + bc = 15 15 15 ⋅ 4 15 ⋅ 8 1 = 12abc + 8bcd − mbc + bc ; 10

4) 18abxy − 100axy + 5bxy + 500xy .

3 ⋅14 3 ⋅7 3 ⋅7 1 bt − by + bc = −6bt − by + bc ; 7 7⋅9 7 ⋅3 3 12 ⋅1 12 ⋅ 5 1 xyt + xy = −6xym + 7, 2xyc − xyt + xy ; 2) −6xym + 7, 2xyc − 10 ⋅ 6 10 ⋅ 6 5

ld z

1106. 1) −

3) 0, 45mn − 1, 8mnbc + 2, 1bmn − 3mnc . 1 7 ⋅3 ⋅ ( −6, 72 + 3, 72 ) = − = −7 ; 3 3 ⋅1

1107. 1) 2

2 7 4 ⎞ 9 4 ⎞ 72 ⎛ 5 ⎞ ⎛ ⎛ = ⋅ −1 = −3 +4 = 7, 2 ⎜ −5 +4 2) 7, 2 ⋅ ⎜ −2 ⎝ ⎝ 15 15 15 ⎠⎟ 15 15 ⎠⎟ 10 ⎝⎜ 15 ⎠⎟ =−

72 ⋅ 4 96 =− = −9, 6 ; 10 ⋅ 3 10

9 10 1⎞ 27 20 7 ⎞ ⎛ ⎛ 3) 0, 3 ⎜ −3 +1 + 1 ⎟ = 0, 3 ⎜ −3 +1 +1 = ⎝ ⎝ 14 21 6⎠ 42 42 42 ⎟⎠ = 0, 3 ⋅ ( −1) = −0, 3 . 3 ⎞ ⎛ 10 +2 = −323 ; 1108. 1) −32, 3 ⎜ 7 ⎝ 13 13 ⎟⎠ 4⎞ ⎛ 2) −5, 3 ⎜ 1, 6 − 2, 4 + 4 ⎟ = 5, 3 ( −0, 8 + 4, 8 ) = −5, 3 ⋅ 4 = −21, 2 ; ⎝ 5⎠

360

47 15 ⎞ 2 47 5 ⎞ 32 ⎛ ⎛ 3) 5, 6 ⎜ −4 + 6 −2 = 5, 6 ⎜ −4 +6 −2 = 5, 6 ⋅ 0 = 0 . ⎝ ⎝ 3 48 16 ⎠⎟ 48 48 48 ⎠⎟

1109. 1) −

1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 x+ y+ x− y= − x+ x+ y− y= − x− y ; 6 4 9 2 18 18 4 4 18 4

3 2 5 7 6 5 4 7 a− b− a+ b= a− a− b+ b= 7 15 14 30 14 14 30 30 1 3 1 1 = a+ b= a+ b; 14 30 14 10

3) −

15 7 5 3 5 1 m+ n+ m− p− n− p= 16 12 12 8 8 4

=−

45 20 14 15 3 2 25 1 5 m+ m+ n− n− p− p= − m− n− p ; 48 48 24 24 8 8 24 24 8

7 13 5 23 4 4 b− c− c− b+ c+ b = 18 28 14 36 7 9 14 23 16 13 16 10 7 7 b− b+ b− c+ c− c= b− c. 36 36 36 28 28 28 36 28

МАТЕМАТИКА

1110. 1) 1, 3y − 1, 6y = −0, 3y ; −0, 3 ⋅ ( −1, 8 ) = 0, 54 ;

2) 10a − 9b ; 10 ⋅ ( −0, 3 ) − 9 ⋅ 0, 7 = −3 − 6, 3 = −9, 3 ;

3) 0, 8 + 4, 8 ; 0, 8 ⋅ ( −0, 2 ) + 4, 8 = −0, 16 + 4, 8 = 4, 64 ;

ld z

4) 6, 2b + 7, 3b − 4, 5b = 9b ; 9 ⋅ ( −1, 4 ) = −12, 6 . 1111. 1) −4, 2x ;

−

18 ⋅10 22 ⋅ 4 4 1 + = −2 + = −1 . 109 10 ⋅11 5 5

−4, 2 ⋅ 3, 5 = −14, 7 ;

2) 1, 8x − 2, 2y ;

1112. 1) −

2⋅3 2 ⋅ 6 3 ⋅ 28 3 ⋅ 7 1 1 x+ − + x = − x + 4 − 12 + x = −8 ; 3⋅8 3 7 7 ⋅12 4 4

2 ⋅ 27 2⋅3 7 ⋅ 24 7 ⋅12 3 1 14 x+ y− x+ y= − x+ y− x + 2y = 9 ⋅10 9⋅2 6 ⋅10 6 ⋅7 5 3 5 17 1 2 1 =− x + 2 y = −3 x + 2 y . 5 3 5 3

2) −

1113. 1) −12a + 42 + 20a − 24 = 8a + 18 ; 8 ⋅ ( −2, 5 ) + 18 = −20 + 18 = −2 ; 2) −2, 2m + 4, 4 − 2 + 3m − 0, 4 + 0, 4m = 1, 2m + 2 ; 1, 2 ⋅ ( −4 ) + 2 = −4, 8 + 2 = −2, 8 ; 1 1 10 ⋅ 3 10 ⋅ 9 1 25 ⋅ 6 y− −8 y+ = 3 y − 10 − 8 y + 50 = −5y + 40 ; 3 3 9 9 3 3 −5 ⋅ 3, 6 + 40 = −18 + 40 = 22 .

361

1114. 1) 21 − 28b − 15b − 20 = −43b + 1 ; −43 ⋅ ( −0, 2 ) + 1 = 8, 6 + 1 = 9, 6 ; 2) −6, 2x + 2 + 3, 6x + 3 − 2, 4x − 24 = −5, 1x − 19 ;

МАТЕМАТИКА

−5, 1 ⋅ 0, 8 − 19 = −4, 08 − 19 = −23, 08 ; 30 ⋅13 4 14 ⋅ 26 1 3 3 +2 p+ −1 p = −30 + 1 p + 28 = −2 + 1 p; 13 13 13 13 13 15 16 ⋅13 −2 + = −2 + 4 = 2 . 13 ⋅ 4

3) −

1115. 1) 3a ( 2x − 4 + 3y ) ;

2) 7a ( b + 2c − 4 ) ;

1116. 1) 0, 2c ( −6 p − m + 5 ) ; 3) −6a ( x + 5y + 7z ) ;

2) 5c ( −7a − 3b + 4ab ) ; 4) 9mn ( p + 5k − 3 ) .

3) −2m ( 4n + 3k + 5 ) ;

4) 2ab ( 4c − 12d − 3 ) .

1117. 1) 4a − 12 − 13 + 3a + 20 − 7a = −10 . Отже, значення виразу не залежить від значення змінної. 2) 1, 8m − 4, 2 − 3, 2m + 4 + 1, 7 + 1, 4m = 1, 5 .

1118. 1) 15, 3k − 7, 5 − 15, 3k − 4, 5 = −12 . Отже, при будь-якому значенні k набуває від’ємного значення. 2) −7, 2x − 3 + 7, 2x + 4, 2 = 1, 2 .

ld z

1119. 1) 20n − 21 − 14n + 21 = 6n , кратне 6; 2) 27n − 72 + 72 − 22n = 5n , кратне 5. 1120. 1) k − n = −7 , значить n − k = 7 ; −4 ⋅ 7 = −28 ;

2) 4m − m − 3n = 3m − 3n = 3 ( m − n ) ; 3 ⋅ ( −0, 8 ) = −2, 4 ;

3) −3a − 8b + 15a = 4 ( 3a − 2b ) ; 4 ⋅ ( −0, 25 ) = −1 ;

4) 12x − 18y − 2x − 2y = 10x − 20y = 10 ( x − 2y ) = −10 ⋅ ( 2y − x ) ; −10 ⋅17, 8 = −178 ;

5) 21ab + 28ac − 3ab − ac = 18ab + 27ac = 9a ( 2b + 3c ) ; 9 ⋅10 − ⋅ ( −1, 6 ) = −30 ⋅ ( −1, 6 ) = 48 . 3 1121. 1) 5a − 3a + 10b = 2a + 10b = 2 ( a + 5b ) ; 2 ⋅1, 7 = 3, 4 ;

2) −0, 9x − 0, 6x − 0, 5y = −1, 5 − 0, 5y = −0, 5 ( 3x + y ) = −0, 5 ⋅ ( −0, 2 ) = 0, 1 ; 3) 2mn − 8mp + 5mp = 2mn − 3mp = −m ( 3 p − 2n ) = −4, 3 ⋅ ( −0, 4 ) = 1, 72 .

1122. 1) 2) 3) 4) 362

π − 3, 14 = π − 3, 14 = 0 ; 3 − π = π − 3 , бо π = 3, 14 , а 3, 14 > 3 ; 3, 142 − π = 3, 142 − π ; 3, 142 > π ; π − 3, 15 = 3, 15 − π .

1123. 1) Множення, тому що 1

1 7 = ; 6 6

2) ділення; 11 ; 11 12 6 = . 4) множення, тому що 1, 2 = 10 5

1124. 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − ; 2) − ; 3) − ; 4) − ; 5) − . 6 12 7 9 2 4 4 7 12 24

МАТЕМАТИКА

3) віднімання, тому що 3 = 2

1125. Перша ціна 160 ⋅ 0, 05 = 160 − 8 = 142 грн. Друга ціна 142 − 142 ⋅ 0, 1 = 127 грн 80 к. 3 15 ⋅16 = = 80 (км/год) — швидкість мотоцикліста; 16 3 3 15 ⋅ 8 = 24 (км) — проїде велосипедист; 2) 15 ⋅1 = 5 5 3 80 ⋅ 8 = 128 (км) — проїде мотоцикліст; 3) 80 ⋅1 = 5 5 4) 128 − 24 = 104 (км).

4 км/год

3 км

1 1 7 3 3 + 4 ⋅ + 3 = + 1 + 3 = 1 + 4 = 5 (км); 4 4 4 4 4

14 ⋅

15 1 год = год ; 60 4 14 км/год

ld z

1127. 15 хв =

1126. 1) 15 :

14 км/год

4 км/год

3 км

1 1⎞ 3 4 3 1 ⎛ ⎛7 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 3 − ⎜ 14 + 4 ⎟ = 3 − ⎜ + 1⎟ = 3 − ⎜ 1 + 1⎟ = 3 − 2 = 2 − 2 = (км). ⎝ ⎝4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 4⎠ 4 4 4 4 1128. 12, тому що продавець може 10 разів підряд витягнути 10 коропів або 8 разів 8 судаків. 1129. 1) 0, 4 ⋅ 0, 3 = 0, 12 ;

3 7 3 ⋅16 1 ⋅1 = =1 . 4 9 4⋅9 3

1130. У році 365 днів, якщо 48 000 000 : 365 ≈ 131 507 , а якщо рік високосний, то в ньому 366 днів. 48 000 000 : 366 ≈ 131 148 . 363

39. Ділення раціональних чисел

МАТЕМАТИКА

1131.

a:b

–4

–5

–1

1 1 ; 6) − ; 7) 0,9; 4 25 22 ⋅17 14 ⋅1 2 9) − = −34 ; 10) − =− ; 11 15 ⋅ 21 45

1132. 1) –3; 2) 12; 3) 0,27; 4) –3,4; 5) − 8) −

6 ⋅ 25 5 =− ; 35 ⋅18 21

11) −

19 ⋅ 5 1 14 ⋅18 4 =− ; 12) − =− . 25 ⋅ 38 10 9 ⋅ 49 7

1 1 21 3 1 ; 5) = = 1 ; 6) − ; 2 2 14 2 2 3 ⋅ 21 9 1 12 ⋅ 7 3 ⋅1 3 = − = −2 ; 9) = 14 ; 10) = ; 7) –120; 8) − 14 ⋅ 2 4 4 6 4 ⋅ 5 20 35 ⋅ 9 5 81 ⋅13 9 1 = ; 12) = =1 . 11) 27 ⋅14 6 26 ⋅ 36 8 8

4) −21x = 48 ;

ld z

3) 13x = −6 ;

2) 1, 2x = −6 ; x = −6 : 1, 2 ; x = −5 ;

1134. 1) 9x = −54 ; x = −54 : 9 ; x = −6 ;

1133. 1) –4; 2) 9; 3) 2,3; 4) −6

x = −6 : 13 ; 6 x=− ; 13

1 11 x = −1 ; 7 14 25 ⋅ 7 x=− ; 14 ⋅15 5 x=− ; 6

5) 2

3 ⎞ ⎛ = −0, 26 ; 7) x : ⎜ 1 − ⎝ 13 ⎟⎠ 26 ⎛ 16 ⎞ x=− ⋅⎜ − ⎟; 100 ⎝ 13 ⎠ 26 ⋅16 32 8 x= = = ; 100 ⋅13 100 25 8 x= ; 25 1135. 1) −5x = 30 ; x = 30 : ( −5 ) ; x = −6 ; 364

x = 48 : ( −21) ; 48 x=− ; 21

6) −3, 78 : x = −0, 6 ;

x = −3, 78 : ( −0, 6 ) ; x = 6, 3 ;

8) 18 : ( − x ) = 0, 6 ; −x = 18 : 0, 6 ; −x = 30 ; x = −30 .

2) −0, 8x = −5, 6 ; x = −5, 6 : ( −0, 8 ) ; x =7 ;

4) −6x = −8 ; x = −8 : ( −6 ) ; 8 x= ; 6 1 x =1 ; 3

2 3 x=− ; 3 8 3 2 x=− : ; 8 3 3⋅3 x=− ; 8⋅2 9 x=− ; 16 32 8 :x = ; 63 21 32 8 x=− : ; 63 21 32 ⋅ 21 x=− ; 63 ⋅ 8 1 x = −1 ; 3

6) 40, 5 : x = −9 ; x = 40, 5 : ( −9 ) ; x = −4, 5 ;

2 = −1, 4 ; 7 14 ⋅ 2 x=− ; 10 ⋅ 7 2 x=− . 5

7) −

et .n

a −a a = = b b −b

8) x :

−a a = . −b b

ld z

1136. −

МАТЕМАТИКА

3) −7x = 4 ; x = 4 : ( −7 ) ; 4 x=− ; 7

1137. 1) 3, 2 : ( −8 ) + ( −4, 8 ) : ( −6 ) = −0, 4 + 0, 8 = 0, 4 ; 2) −8, 4 + 1, 3 = −7, 1 ;

3) −80 − 8, 5 : ( −1, 7 ) = −80 + 5 = −75 .

1138. 1) −9 − 12 = −21 ; 2) −21 + 5 = −16 ; 3) 180 + 9, 6 : ( −2, 4 ) = 180 − 4 = 176 . 13 ⋅ 45 1 ⎛ 4 5 ⎞ ⎛ 26 ⎞ ⎛ −12 25 ⎞ ⎛ 26 ⎞ + : − = + : − =− =− ; 1139. 1) ⎜ − ⎝ 15 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 45 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 ⎟⎠ 45 ⋅ 26 2 2)

12 ⋅13 ⎛ 5 ⋅ 46 ⎞ 7 23 7 5 14 15 17 +⎜− =5 − =5 −3 =5 −3 =1 ; ⎝ 4 ⋅15 ⎠⎟ 27 9 6 9 6 18 18 18

9 16 ⎞ ⎛ 29 ⎞ 3 8 ⎞ ⎛ 29 ⎞ ⎛ 25 ⎛ 29 ⎞ ⎛ 3) ⎜ −3 : − : − −1 = −3 −1 = −4 : − = ⎝ 10 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 27 ⎟⎠ ⎜⎝ 30 30 ⎟⎠ ⎜⎝ 27 ⎟⎠ 30 ⎜⎝ 27 ⎟⎠ =

29 ⋅ 27 1 =4 ; 6 ⋅ 29 2

17 ⎛ 17 ⎞ ⎛ 9 7 ⎞ ⎛ −7 2 ⎞ ⎛ 18 35 ⎞ ⎛ −7 10 ⎞ 4) ⎜ =− : − = − − = − : : − ⎝ 20 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 40 40 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 45 ⎟⎠ 40 ⎜⎝ 45 ⎟⎠ =

17 ⋅ 45 1 =1 . 40 ⋅17 8

365

25 ⋅ 21 5 ⎛ −3 8 ⎞ 20 ⎛ 9 16 ⎞ 20 1140. 1) ⎜ − : = − − : =− =− ; ⎝ 14 21 ⎟⎠ 21 ⎜⎝ 42 42 ⎟⎠ 21 42 ⋅ 20 8

МАТЕМАТИКА

2) −

3 ⋅ 8 ⎛ 9 ⋅11 ⎞ 3 33 12 33 45 1 −⎜ =− − =− = −2 ; ⎟ =− − 4 8 ⋅ 5 ⎝ 4 ⋅15 ⎠ 5 20 20 20 20

1 9 ⎞ 33 ⎛ 5 54 ⎞ 33 11 ⋅10 1 ⎛ ; 3) ⎜ −4 + 3 : = −4 +3 : =− =− ⎝ 18 10 ⎟⎠ 10 ⎜⎝ 60 60 ⎟⎠ 10 60 ⋅ 33 2 2 1 1 ⋅ 28 1 ⎛ 11 5 ⎞ ⎛ 11 3 ⎞ ⎛ 33 35 ⎞ ⎛ 22 21 ⎞ 4) ⎜ =− : = = −1 . − : − = − : − ⎝ 14 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 14 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 42 42 ⎟⎠ ⎜⎝ 28 28 ⎟⎠ 42 28 21 ⋅1 3 1141. 1)

x : ( −1, 2 ) = −4 ; x = −4 ⋅ ( −1, 2 ) ; x = 4, 8 ; x = 4, 8 або x = −4, 8 ;

2) −0, 72 : x = −0, 9 ; x = 0, 72 : ( −0, 9 ) ; x = 0, 8 ; x = 0, 8 або x = −0, 8 . 2) 2, 6m = −0, 052 ; m = −0, 052 : ( 2, 6 ) ; m = −0, 02 ;

1142. 1) −7y = 2, 1 ; y = 2, 1 : ( −7 ) ; y = −0, 3 ;

7 19 3 1 c + 10 c − 3 c = −3 ; 16 24 8 16 21 38 18 1 −8 c + 10 c−3 c = −3 ; 48 48 48 16 39 38 1 −11 c + 10 c = −3 ; 48 48 16 1 49 −1 c=− ; 48 16 49 ⋅ 48 c= ; 16 ⋅ 49

4) −8

ld z

3 5 8 1 a+ a− a=− ; 7 6 21 49 −18 35 16 1 a+ a− a=− ; 42 42 42 49 1 1 a=− ; 42 49 1 ⋅ 42 a=− ; 49 ⋅1 6 a=− ; 7

3) −

c=3 ;

5) 2, 3x + 7, 2x − 1, 5x = −2, 4 ; 8x = −2, 4 ; x = −2, 4 : 8 ; x = −0, 3 ;

6) 3, 4y − 8, 1y + 2, 2y = −10 ; −2, 5y = −10 ; y = −10 : ( −2, 5 ) ; y=4 .

1143. 1) −11x = −9, 9 ; x = −9, 9 : ( −11) ; x = 0, 9 ; 2) −1, 8y = 0, 54 ;

y = 0, 54 : ( −1, 8 ) ; y = −0, 3 .

1 5 1 2 1 5 3 16 12 5 x=− ; x− x+ x= − ; x− x+ x=− ; − 24 18 8 3 2 18 24 24 24 18 5 ⋅ 24 20 2 x= ; x= ; x=6 ; 18 ⋅1 3 3

5 3 5 7 10 9 5 7 b + 2 b +1 b =1 ; −9 b + 2 b + 1 b = 1 ; 6 4 12 27 12 12 15 27 10 2 7 8 7 34 ⋅12 4 2 −9 b+4 b =1 ; −5 b =1 ; b=− ; b=− ; b=− . 12 12 27 12 27 27 ⋅ 68 18 9

4) −9

366

1145. 1) −0, 6 − 60 + 1, 6 + 45 = −14 ; 2) ( 30, 4 − 15, 4 ) ⋅ ( −2, 4 ) − 93, 7 = −36 − 93, 7 = −129, 7 . 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 39 ⋅1 ⎞ ⎛ 13 20 ⎞ ⎛ 15 ⎞ 3 ⎛ 13 +2 +2 1146. ⎜ 2 ⎟ :⎜ − ⎟− = ⎟ : ⎜ −3 ⎟⎠ + ⎜⎝ − ⋅ ⎟⎠ = ⎜⎝ 2 ⎝ 48 48 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 12 ⎠ ⎝ 4 4 13 48 =4

33 ⎛ 15 ⎞ 3 225 ⋅ 4 3 15 3 : − − =− − =− − = 48 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4 48 ⋅15 4 12 4

=−

15 9 24 − =− = −2 ; 12 12 12

МАТЕМАТИКА

1144. 1) −40 + 0, 8 − 0, 25 − 5 = −44, 45 ; 2) ( −40, 8 − 9, 4 ) ⋅1, 5 + 28, 16 = −50, 2 ⋅1, 5 + 28, 16 = = −75, 3 + 28, 16 = −47, 14 .

3⎞ ⎛ 7 1 ⎞ ⎛ 2 2) ⎜ 1 − 3 ⎟ : ⎜ −2 + 4 ⎟ ⋅ ( −2, 6 ) = ⎝ 3 5⎠ ⎝ 9 15 ⎠

9 ⎞ ⎛ 35 3 ⎞ ⎛ 10 = ⎜1 −3 : −2 +4 ⋅ ( −2, 6 ) = ⎝ 15 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 45 ⎟⎠

14 13 ⎞ 29 ⋅ 45 ⋅ 26 87 2 ⎛ = ⎜1− :1 ⋅ ( −2, 6 ) = = = 17 . ⎝ 5 15 45 ⎟⎠ 15 ⋅13 ⋅10 5

5 20 ⎞ 8 16 ⋅1 ⎛ 35 60 ⎞ 57 8 ⎛ 1147. 1) ⎜ −2 + 1 :1 + = −2 +1 : + = ⎝ 21 ⎟⎠ 49 9 ⋅ 6 ⎜⎝ 63 63 ⎟⎠ 49 27 9

ld z

2 98 60 ⎞ 57 8 38 ⋅ 49 8 14 8 6 ⎛ =− ; = ⎜ −1 +1 : + =− + =− + =− ⎝ 9 63 63 ⎟⎠ 49 27 63 ⋅ 57 27 27 27 27 1 ⎞ 4 ⎞ ⎛ 26 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 13 ⎛ 5 −2 ⋅ 3, 6 = ⎜ 5 − 6 ⎟ : ⎜ 2 −2 ⋅ 3, 6 = 2) ⎜ 5 − 6, 8 ⎟ : ⎜ 2 ⎝ 9 ⎠ ⎝ 30 ⎝ 9 12 ⎟⎠ 5 ⎠ ⎝ 60 60 ⎟⎠

36 ⎞ 21 11 ⎞ 21 ⎛ 25 ⎛ = ⎜5 −6 : ⋅ 3, 6 = ⎜ −1 : ⋅ 3, 6 = ⎝ 45 ⎝ 45 ⎠⎟ 60 45 ⎠⎟ 60 =−

56 ⋅ 60 224 36 ⋅ 3, 6 = − ⋅ = −12, 8 . 45 ⋅ 21 63 10

1148. 1) Якщо a = b , або −a = −b ; 2) якщо a = b і a > 0 , b < 0 , або a < 0 ; b > 0 ; 3) якщо a = 0 . 1149. 1) 240, 540, 840; 2) 12 645 або 12 240; 3) 672, 678. 1150. 1) 0, 2 ⋅ 3 = 0, 6 (км) — пробіг злочинець; 2) 1, 2 + 0, 6 = 1, 8 (км) — пробіг Рекс; 3) 1, 8 : 3 = 0, 6 (км/год) — швидкість Рекса. 1 1151. Нехай в шафі було x сорочок, x — були білі, 0, 5x не білі, не чорні. Чорних було 5 сорочок. 3 1 1 5 5 5 ⋅ 30 5 x − x − 0,5x = 5 ; x − x − x = 5 ; ; x= ; x = 30 . x = 5 ; x = 5: 3 3 10 30 5 30 367

МАТЕМАТИКА

1152. Кількість номерів: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 , тому що кожний номер може займати з 1 по 6 місце для кожних з 6 цифр. n = 720 . 1153. Нехай маса кавуна x кг, тоді 60 % його маси — 0, 6x кг. x − 0, 6x = 1, 2 ; 0, 4x = 1, 2 ; x = 1, 2 : 0, 4 ; x = 3 (кг) — маса кавуна. 1154. 1) 2) 3) 4)

9 ⋅ 6 = 54 (роки) — всім дітям. 12 ⋅11 = 132 (роки) — всім членам родини. 132 − 54 = 78 (років) — батькам разом. 78 : 2 = 39 (років) — батькам у середньому.

1155. 1) 4 ⋅ ( −3 + 6 ) = −3 + 9 ;

2) 4 ( 0 + 6 ) = 0 + 9 ;

4⋅3 = 6 ; 12 = 6 , ні;

24 = 9 , ні; 4) 4 ⋅ ( −5 + 6 ) = −5 + 9 ; 4 ⋅1 = 4 ; 4 = 4 , так.

3) 4 ( 2 + 6 ) = 2 + 9 ; 32 = 11 , ні;

1156. 1) 32 = 2 ⋅ 3 + 3 ;

( −1)

4 = −1 , ні;

9 = 9 , так; = 2 ⋅ ( −1) + 3 ;

1 = 1 , так;

4) 42 = 2 ⋅ 4 + 3 ; 16 = 11 , ні.

2) 3x + 2 = 2 ; 3x = 2 − 2 ; 3x = 0 ; x=0 ;

ld z

1157. 1) 2x − 1 = 3 ; 2x = 3 + 1 ; 2x = 4 ; x=2 ;

( −2)2 = 2 ( −2) + 3 ;

4) 2x + 2 = 2(x + 1) ; 2x + 2 = 2x + 2 ; 2x = 2x ; x−x =0 ; має безліч коренів

5) x + 2 = 3 + x ; x −x = 3−2 ; x −x =1 ; не має коренів;

6) 0 ⋅ x = 3 ; x = 3:0 ; не має коренів.

3) x + 2 = x + 2 ; x=x; x−x =0 ; має безліч коренів;

1158. Кожне місто сполучено як мінімум з трьома містами, тому група міст, яка була б відокремлена від другої групи, повинна складатися як мінімум із чотирьох міст. Отже із семи міст не можна виділити хоча б дві відокремлені групи.

40. Розв’язування рівнянь 1159. 1) 7x − 2x = −30 ; 5x = −30 ; x = −30 : 5 ; x = −6 ; 368

2) −18x + 25x = −12 − 16 ; 7x = −28 ; x = −4 ;

5) 0, 2x − 0, 4x = −6, 5 − 4, 3 ; −0, 2x = −10, 8 ; x = −10, 8 : ( −0, 2 ) ; x = 54 ; 9 2 x + x = 17 − 18 ; 14 3 27 28 − x+ x = −1 ; 42 42 1 x = −1 ; 42 1 x = −1 : ; 42 x = −42 ;

−8 4 x − x = 11 + 11 ; 15 9 −24 20 x− x = 22 ; 45 45 −44 x = 22 ; 45 22 ⋅ 45 x=− ; 44 45 x=− ; 2 1 x = −22 . 2

2) 5x − 8x = 30 − 12 ; −3x = 18 ; x = 18 : ( −3 ) ; x = −6 ;

ld z

1160. 1) 3x + x = 28 ; 4x = 28 ; x = 28 : 4 ; x =7 ;

7) −

6) 0, 6 + 100 = 0, 9 + 1 ; 0, 6x − 0, 9x = 1 − 100 ; −0, 3x = −99 ; x = −99 : ( −0, 3 ) ; x = 330 ;

МАТЕМАТИКА

x = −48 : ( −24 ) ; x=2 ;

4) −2x − x = 27 − 20 ; −3x = 7 ; 7 x=− ; 3 1 x = −2 ; 3

3) −17x − 7x = −28 − 20 ; −24x = −48 ;

3) 8x + 5x = 72 − 33 ; 13x = 39 ; x=3 ;

5) −0, 2 − 0, 3x = −1, 8 − 0, 7 ; −0, 5x = −2, 5 ; x = −2, 5 : ( −0, 5 ) ; x =5 ;

1161. 1) −6x − 12 = 4x − 17 ; −6x − 4x = −17 + 12 ; −10x = −5 ; x = −5 : ( −10 ) ; x = 0, 5 ; 3) 10x + 21 − 6x = 13 + 2x ; 4x − 2x = 13 − 21 ; 2x = −8 ; x = −8 : 2 ; x = −4 ;

4) 6x + x = −10 + 19 ; 7x = 9 ; 9 x= ; 7 2 x =1 ; 7 6) 0, 1x − 0, 2x = −4 − 9 ; −0, 1x = −13 ; x = −13 : ( −0, 1) ; x = 130 . 2) 18x − 19 − 4 + 7x = −73 ; 25x − 23 = −73 ; 25x = −73 + 23 ; 25x = −50 ; x = −50 : 25 ; x = −2 ; 4) −12 + 15y + 6 − 12y = −3, 9 ; 3y = −3, 9 + 6 ; 3y = 2, 1 ; y = 0, 7 .

369

МАТЕМАТИКА

1162. 1) 9x − 9 = x + 15 ; 9x − x = 15 + 9 ; 8x = 24 ; x = 24 : 8 ;

2) 11x + 14 − 5x + 8 = 25 ; 6x = 25 − 22 ; 6x = 3 ; 3 x= ; 6 1 x= ; 2

x=3 ;

3) 12 − 4x + 12 = 39 − 9x ; −4x + 9x = 39 − 24 ; 5x = 15 ; x = 15 : 5 ; x=3 ;

4) 6x + 10 − 12x + 3 = 11, 8 ; −6x = 11, 8 − 13 ; −6x = −1, 2 ; x = −1, 2 : ( −6 ) ; x = 0, 2 . 2) −16, 8 + 21, 6y = −48 ; 21, 6y = −48 + 16, 8 ; 21, 6y = −31, 2 ; 312 ⋅10 x=− ; 10 ⋅ 216 39 12 4 y=− = −1 = −1 . 27 27 9

1163. 1) 3, 2x + 4 = −3, 2 ; 3, 2x = −3, 2 − 4 ; 3, 2x = −7, 2 ; 72 ⋅10 x=− ; 10 ⋅ 32 9 1 x=− =2 ; 4 4

2) 75 + 105a = −30 ; 105a = −30 − 75 ; 105a = −105 ; a = −105 : 105 ; a = −1 .

1165. 1) 0, 3m + 0, 4m − 0, 6 =

2) 0, 6 − 1, 3x − 1 = 2, 8 − 13, 52 ;

ld z

1164. 1) −14 + 21x = 56 ; 21x = 56 + 14 ; 21x = 70 ; 70 9 3 x= =3 =3 ; 21 21 7

= 0, 8 − 0, 7m + 1, 4 ; 0, 7m + 0, 7m = 2, 2 + 0, 6 ; 1, 4m = 2, 8 ; m = 2, 8 : 1, 4 ; m=2 ;

370

1⋅ 8 8 1⋅ 5 1⋅ 5 y+ − y− =2 ; 8⋅9 8 5⋅6 5⋅3 1 1 1 y +1− y − = 2 ; 9 6 3 2 2 3 y+ − y=2; 18 3 18 1 2 − y = 2− ; 18 3 1 1 − y =1 ; 18 3 4 ⋅18 y=− ; 3 ⋅1 y = −24 .

−1, 3x − 2, 8x = −13, 52 + 0, 4 ; −4, 1x = −13, 12 ; x = −13, 12 : ( −4, 1) ; x = 3, 2 ;

2) 3x − 7, 5 + 2x = 2, 5x − 7, 5 − 10 ;

0, 4x − 0, 5x = −2, 5 + 2, 8 ; −0, 1x = 0, 3 ; x = 0, 3 : ( −0, 1) ; x = −3 ; 2⋅3 2 ⋅3 4 ⋅5 4 ⋅1 3 x+ − x+ =1 ; 3⋅2 3 ⋅ 5 5 ⋅12 5⋅2 5 1 3 4 x− x =1 − ; 3 5 5 2 4 x= ; 3 5 4⋅3 x= ; 5⋅2 6 x= ; 5 1 x =1 . 5

2) 1, 2x + 0, 6 = −5, 4x + 7, 2 ; 1, 2x + 5, 4x = 7, 2 − 0, 6 ; 6, 6x = 6, 6 ; x = 6, 6 : 6, 6 ; x =1 .

ld z

1167. 1) −54x − 9 = −90x − 117 ; −54x + 90x = −117 + 9 ; 36x = −108 ; x = ( −108 ) : 36 ; x = −3 ;

5x − 2, 5x = −10 ; 2, 5 = −10 ; x = −10 : 2, 5 ; x = −4 ;

МАТЕМАТИКА

1166. 1) 0, 4x − 1, 2 − 1, 6 = 0, 5x − 2, 5 ;

1168. 1) −1, 4x + 8, 4 = 28x + 8, 4 ; −1, 4x − 28x = 0 ; −29, 4x = 0 ; x=0 ;

1169. 1)

1170. 1)

x + 0, 4 0, 7 − x = ⋅ 24 ; 8 3 24 ⋅ ( x + 0, 4 ) ( 0, 7 − x ) ⋅ 24 = ; 8 3 3x + 1, 2 = 5, 6 − 8x ; 3x + 8x = 5, 6 − 1, 2 ; 11x = 4, 4 ; x = 4, 4 : 11 ; x = 0, 4 ;

8 ) ⋅ 3 = ( x + 2) ⋅7 ;

3x − 24 = 7x + 14 ; 3x − 7x = 14 + 24 ; −4x = 38 ; 38 x=− ; 4 x = 9, 5 ;

2) 1, 04x − 3, 64 = −4, 68x + 3, 51 ; 1, 04 + 4, 68x = 3, 51 + 3, 64 ; 5, 72x = 7, 15 ; x = 1, 25 .

5 5x + 6 = ; 6 2x + 3, 2 5 ⋅ ( 2x + 3, 2 ) = ( 5x + 6 ) ⋅ 6 ; 10x + 16 = 30x + 36 ; 10x − 30x = 36 − 16 ; −20x = 20 ; x = −1 .

( x − 10 ) ⋅ 4 = 15 ⋅ ( x − 1, 2 ) ; 4x − 40 = 15x − 18 ; 4x 15x = 18 + 40 ; −11x = 22 ; x = −2 .

371

x x 7 − = ⋅ 48 ; 12 8 6 48x 48 7 ⋅ 48 − x= ; 12 8 6 4x − 6x = 56 ;

26x + 27x = −42 ; 53x = −42 ; 42 x=− ; 53

−2x = 56 ; x = −28 ; 3) −

13x 9x + = −1 ⋅ 42 ; 21 14

3x 7 x − = ⋅ 60 ; 10 15 6

−18x − 28 = 10x ; −18x − 10x = 28 ; −28x = 28 ; x = 1. x x 15 + = ⋅12 ; 3 12 4 4x + x = 45 ; 5x = 45 ; x=9 ;

3) 1 −

8x 4x = ⋅ 45; 15 9

7x 3x 5 − = ⋅ 36 ; 9 4 12 28x − 27x = 15 ; x = 15 ;

1172. 1)

МАТЕМАТИКА

1171. 1)

ld z

45 − 24x = 20x ; −24x − 20x = −45 ; −44x = −45 ; −45 x= ; −44 1 x =1 . 44

1173. 1) 5x − 0, 4 (7x − 9 ) = 2, 94 ;

2) 0, 4 ⋅ ( 6 − 4y ) = 0, 5 (7 − 3y ) − 1, 9 ;

5x − 2, 8x + 3, 6 = 2, 94 ;

2, 4 − 1, 6y = 3, 5 − 1, 5y − 1, 9 ;

2, 2x = 2, 94 − 3, 6 ; 2, 2x = −0, 66 x = −0, 66 : 2, 2 ; x = −0, 3 ;

−1, 6y + 1, 5y = 1, 6 − 2, 4 ; −0, 1y = −0, 8 ; y = −0, 8 : ( −0, 1) ; y=8 ;

3) −3 ( 2, 1x − 4 ) − 1, 6 = 1, 2 ( 0, 5 − 5x ) + 2, 6 ; −6, 3x + 12 − 1, 6 = 0, 6 − 6x + 2, 6 ; −6, 3 + 6x = 3, 2 − 10, 4 ; −0, 3x = −7, 2 ; x = −7, 2 : ( −0, 3 ) ; x = 24 ; 4)

372

( a + 8 ) ⋅7 = 90 − 3a ; 7a + 56 = 90 − 3a ; 7a + 3a = 90 − 56 ; 10a = 34 ; a = 3, 4 .

2) 7 − 2x = 9x − 8 ( x + 1) ; 7 − 2x = 9x − 8x − 8 ; −2x − x = −8 − 7 ; −3x = −15 ; x =5 ;

3) 3 ( m + 1, 4 ) − 6, 4 = 8m − 15 ( m − 1, 1) − 0, 7 ; 3m + 4, 2 − 6, 4 = 8m − 15m + 16, 5 − 0, 7 ; 3m + 7m = 15, 8 + 2, 2 ; 10m = 18 ; m = 1, 8 ;

4) 5n − 1 = 6 ⋅ ( 2n − 13 ) ; 5n − 1 = 12n − 78 ; 5n − 12 = −78 + 1 ; −7n = −77 ; n = 11 . 2) ( 2a + 1) ⋅ ( −1) = −6a + 2 ⋅ ( −1) − 13 ;

1175. 1) 5a⋅ 4 = 14 − 4 ;

−2a − 1 = −6a − 2 − 13 ;

−2a + 6a = −15 + 1 ; 4a = −14 ; 14 a=− ; 4 1 a = −3 . 2

ld z

20a = 10 ; 1 a= ; 2

МАТЕМАТИКА

1174. 1) 2, 5x + 3 ( 0, 5x − 1, 8 ) = −3, 8 ; 2, 5x + 1, 5x − 5, 4 = −3, 8 ; 4x = −3, 8 + 5, 4 ; 4x = 1, 6 ; x = 0, 4 ;

1176. 1) 4a⋅ ( −3 ) = 84 ; −12a = 84 ; a = −7 ;

( a − 7 ) ⋅1 = 6 + 5a ; a − 7 = 6 + 5a ; a − 5a = 6 + 7 ; −4a = 13 ; 13 a=− ; 4 1 a = −3 . 4

1177. 1) 18x − 3 = 18x + 2 − 10 ; 0 = 2 − 10 + 3 ; 0 = −5 , коренів немає;

2) 2, 8 − 7x = 15 − 7x − 12, 2 ; 0 = 15 − 12, 2 − 2, 8 ; 0 = 0 , x — будь-яке число.

1178. 1) 20 − 4x = 24x + 20 − 28x ; 0=0, x — будь-яке число;

2) 4x + 9 = 10x − 35 − 6x ; 4x + 9 = 4x − 35 ; 9 = −35 , коренів немає.

1179. 1) ax = 1 ;

a=0 ;

( a − 2 ) ⋅ x = −3 ; 3 ; a−2 ≠ 0 ; a−2 a ≠ 2 , при a = 2 . x=

373

МАТЕМАТИКА

1180. 1) ax = −14 ; 14 x=− ; a a = ±1 ; ±2 ; ±7 ; ±14 ;

1181. 1) mx = 20 20 x= m m = 1 ; 2; 4; 5; 10; 20;

1182. 4 обернене

( a − 2 ) ⋅ x = 12 ; 12 ; a−2 a = −10 ; −4 ; −2 ; −1 ; 0; 1; 3; 4; 5; 6; 8; 4.

( m + 3) x = −18

−18 m+3 m = –4; –5; –6; –9; –12; –21. x=

4 ⋅ 4 ⋅100 % 1 ⎛ 1⎞ = 1600 % . ; ⎜ 4 : ⎟ ⋅100 %= 1 4 ⎝ 4⎠

1183. Квадратом 5 є число 25; 5 5 ⋅100 % ⋅100 %= = 20 % . 25 25

1184. Вартість шафи складає 100 % − 12 %= 88 % ; 88 704 ⋅100 704 : = = 800 грн. 100 88

ld z

1185. Нехай це число x, якщо його збільшили на 10 %, то воно стало x + 0, 1x = 1, 1x , а коли зменшили нове число на 10 %, воно стало 1, 1x − 1, 1x ⋅ 0, 1 = 1, 1x − 0, 11x = 0, 99x . Число стало менше на 1 % , тому що x − 0, 99x = 0, 01x . 1186. Нехай в коробці було x цукерок. Євген взяв

1 x цукерок, а Катруся 2

⎛1 1 ⎞ 1⎞ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ ⎜⎝ x − x ⎟⎠ ⋅ , тоді x − ⎜ x + ⎜⎝ x − x ⎟⎠ ⋅ ⎟ = 6 ; ⎝2 2 3⎠ 2 3

⎛1 1 ⎞ 1⎞ ⎛ x − ⎜ x + ⎜ x − x⎟ ⋅ ⎟ = 6 ⎝ ⎝2 2 ⎠ 3⎠ 1 1 ⎞ ⎛1 x − ⎜ x + x − x⎟ = 6 ⎝2 3 6 ⎠ 2 1 ⎛3 x−⎜ x+ x− ⎝6 6 6 x−

⎞ x⎟ = 6 ⎠

2 1 x=6 ; x = 6 ; x = 18 . 3 3

x = 18 (цукерок). 1187. Всього можливостей 9, сприятливих 3, тому ймовірність, що це буде 3 1 хлопчик = . 9 3 1188. 58 і 5, 58 : 5 = 10 ⋅ 5 + 8 .

374 1189. Ні не можна.

53 і 9 53 : 5 = 9 ⋅ 5 + 8 .

1190. Нехай Бабай спіймав x окунів, тоді Микита 4x. Разом вони спіймали 215 окунів. Отримуємо рівняння: x + 4x = 215 5x = 215 x = 43 . Значить Бабай спіймав 43 окуня, а Микита 4 ⋅ 43 = 172 окуня. 1191. Нехай щоденник коштує x сольдо, тоді підручник 5x сольдо. Всього Буратіно заплатив 96 сольдо. Отримуємо рівняння: x + 5x = 96 6x = 96 x = 16 (сольдо) — щоденник. 5 ⋅16 = 80 (сольдо) — підручник.

МАТЕМАТИКА

41. Розв’язування задач за допомогою рівнянь

1192. 1) Нехай моркви виростили x кг, тоді капусти 3x кг. Капусти було на 42 кг більше, ніж моркви. Отримуємо рівняння: 3x − x = 42 2x = 42 x = 21 (кг) — моркви; 3 ⋅ 21 = 63 (кг) — капусти.

ld z

2) Нехай туристи пропливли по озеру x км, тоді вони пройшли пішки 8x км. Туристи пропливли по озеру на 35 км менше. Отримуємо рівняння: 8x − x = 35 7x = 35 x = 5 (км) — пройшли; 5 + 35 = 40 (км) — пропливли.

1193. 1) Нехай Незнайко з’їв на сніданок x штук вареників, тоді Пончик 7x штук вареників. Пончик з’їв на 48 вареників більше. Отримуємо рівняння: 7x − x = 48 6x = 48 x = 8 (вареників) — з’їв Незнайко; 7 ⋅ 8 = 56 (вареників) — з’їв Пончик. 2) Нехай гречаного меду було x кг, тоді липового 9x кг. Липового меду було на 56 кг більше. Отримуємо рівняння: 9x − x = 56 8x = 56 x = 7 (кг) — гречаного меду; 9 ⋅ 7 = 63 (кг) — липового меду. 1194. Нехай Василько отримав x оцінок «12» з математики, а Петрик ( x + 9) оцінок «12». Разом вони отримали 43 оцінки «12» з математики. Отримуємо рівняння: x + x + 9 = 43 2x = 43 − 9 2x = 34 x = 17 (оцінок) — Василько; 9 + 17 = 26 (оцінок) — Петрик. 375

( x + 4, 8 )

кг.

1196. Нехай одна сторона прямокутника x см, а друга ( x − 2, 4 ) см. Периметр прямокутника дорівнює 12,8 см. Отримуємо рівняння: 2x + 2 ( x − 2, 4 ) = 12, 8 2x + 2x − 4, 8 = 12, 8 4x = 12, 8 + 4, 8 4x = 17, 6 x = 4, 4 (см) — одна сторона прямокутника; 4,4 – 2,4 = 2 (см) — друга сторона прямокутника; S = 4, 4 ⋅ 2 = 8, 8 (см2) — площа.

МАТЕМАТИКА

1195. Нехай Галинка зібрала x кг полуниць, тоді Марічка — Разом вони зібрали 24,6 кг. Отримуємо рівняння: x + x + 4, 8 = 24, 6 2x = 24, 6 − 4, 8 2x = 19, 8 x = 9, 9 (кг) — зібрала Галинка; 9,9 + 4,8 = 14,7 (кг) — зібрала Марічка.

ld z

1197. Нехай одна сторона прямокутника x см, а друга 15x см. Периметр прямокутника дорівнює 19,2 см. Отримуємо рівняння: 2x + 2 ⋅15x = 19, 2 32x = 19, 2 x = 0, 6 (см) — одна сторона прямокутника; 15 · 0,6 = 9 (см) — друга сторона прямокутника; S = 0, 6 ⋅ 9 = 5, 4 (см2) — площа.

1198. Нехай меч Альоші Поповича важить x пудів, тоді меч Іллі Муромця важить 2x пудів, а меч Добрині Никитича ( x + 14 ) пудів. Разом мечі важать 250 пудів. Отримуємо рівняння: 2x + x + 14 + x = 250 4x = 250 − 14 4x = 236 x = 59 (пудів) — меч Альоші Поповича; 2 · 59 = 118 (пудів) — меч Іллі Муромця; 59 + 14 = 73 (пуди) — меч Добрині Никитича.

1199. Нехай маса Малюка x кг, тоді маса Фрекен Бок 4x кг, а Карлсона ( x + 30 ) кг. Разом вони важать 174 кг. Отримуємо рівняння: x + 4x + x + 30 = 174 6x = 174 − 30 6x = 144 x = 24 (кг) — маса Малюка; 4 · 24 = 96 (кг) — маса Фрекен Бок; 24 + 30 = 54 (кг) — маса Карлсона. 1200. Нехай найменша сторона трикутника x см, тоді друга сторона 5x см, а третя ( x + 68 ) см. Периметр трикутника 166 см. Отримуємо рівняння: x + 5x + x + 68 = 166 7x = 166 − 68 376

1201. Нехай одна сторона трикутника x см, тоді друга 7x см, а третя ( x + 66 ) см. Периметр трикутника 174 см. Отримуємо рівняння: x + 7x + x + 66 = 174 9x = 174 − 66 9x = 108 x = 12 (см) — одна сторона; 7 · 12 = 84 (см) — друга сторона; 12 + 66 = 78 (см) — третя сторона.

МАТЕМАТИКА

7x = 98 x = 14 (см) — одна сторона; 5 · 14 = 70 (см) — друга сторона; 14 + 68 = 82 (см) — третя сторона.

1202. Нехай 1 кг апельсинів коштує x грн, тоді 1 кг яблук ( x − 3, 2 ) грн, 5 кг апельсинів коштує 5x грн, 9 кг яблук 9 ⋅ ( x − 3, 2 ) грн. За 5 кг апельсинів заплатили стільки, скільки за 9 кг яблук. Отримуємо рівняння: 5x = 9 ( x − 3, 2 ) 5x = 9x − 28, 8 5x − 9x = −28, 8 −4x = −28, 8 x = 7, 2 (грн) — 1 кг апельсинів; 7,2 – 3,2 = 4 (грн) — 1 кг яблук.

ld z

1203. Нехай 1 кг шоколадних цукерок коштує x грн, а 1 кг мармеладу ( x − 5 ) грн. За 6 кг мармеладу заплатили 6 ( x − 5 ) грн, а за 3,6 кг шоколадних цукерок 3,6x грн. За мармелад і цукерки заплатили однаково. Отримуємо рівняння: 6 ( x − 5 ) = 3, 6x 6x − 30 = 3, 6x 6x − 3, 6x = 30 2, 4x = 30 x = 12, 5 (грн) — 1 кг шоколадних цукерок; 12,5 – 5 = 7,5 (грн) — 1 кг мармеладу. 1204. Нехай у маленькій діжці було x кг капусти, тоді у великій ( x + 8 ) кг. У 7 великих діжках було 7 ( x + 8 ) кг, а у 4 маленьких 4x кг. Всього дід Панас засолив 122 кг капусти. Складемо рівняння: 7 ( x + 8 ) + 4x = 122 7x + 56 + 4x = 122 11x = 66 x = 6 (кг) — у маленькій бочці; 6 + 8 = 14 (кг) — у великій бочці. 1205. Нехай 1 кг сала коштує x грн, тоді 1 кг копченого м’яса ( x + 18 ) грн. За 8 кг сала фермер отримав 8x грн, а за 15 кг копченого м’яса 15 ( x + 18 ) грн. Всього фермер отримав 592 грн. Складемо рівняння: 8x + 15 ( x + 18 ) = 592 9x + 15x + 270 = 592 23x = 592 − 270 377

МАТЕМАТИКА

23x = 322 x = 14 (грн) — 1 кг сала; 14 + 18 = 32 (грн) — 1 кг копченого м’яса. 1206. Нехай швидкість пішохода x км/год, тоді швидкість вершника ( x + 5, 6 ) км/год. За 7 годин пішохід пройде 7x км, а за 3 години вершник проїде 3 ( x + 5, 6 ) км. Вони подолають однакову відстань. Отримуємо рівняння: 7x = 3 ( x + 5, 6 ) 7x = 3x + 16, 8 4x = 16, 8 x = 4, 2 (км/год) — швидкість пішохода; 7 · 4,2 = 9,8 км/год — швидкість вершника.

1207. Нехай у малому автобусі x місць, тоді у великому ( x + 35 ) місць. На 5 великих автобусах перевезуть стільки ж дітей, скільки на 12 малих, тобто 5 ( x + 35 ) дітей і 12x дітей. Отримуємо рівняння: 5 ( x + 35 ) = 12x 5x + 175 = 12x −7x = −175 x = 25 . 12 ⋅ 25 = 300 — кількість дітей, яких треба було перевезти.

ld z

1208. Нехай у Федька x грибів, тоді у Гриця 5x грибів. Після зустрічі з бабою Палажкою і дідом Панасом у Федька стало ( x + 29 ) грибів, а у Грицька ( 5x − 19 ) грибів, і тоді грибів у них стало порівну. Отримуємо рівняння: x + 29 = 5x − 19 −4x = −48 x = 12 (шт.) — у Федька; 5 · 12 = 60 (шт.) — у Грицька. 1209. Нехай у руденької білочки було x горіхів, тоді у жовтенької 8x горіхів. Жовтенька віддала руденькій 42 горіхи, у них стало горіхів порівну. Отримуємо рівняння: 8x − 42 = x + 42 8x − x = 84 7x = 84 x = 12 (горіхів) — у руденької білочки; 8 · 12 = 96 (горіхів) — у жовтенької.

1210. Нехай за перший день яхта капітана Врунгеля подолала x км, тоді 7 за другий — x км, а за третій 0,9x км. Всього за три дні яхта 8 пройшла 222 км. Отримуємо рівняння: 7 x + x + 0, 9x = 222 8 7 9 1 x+ x = 222 8 10 378

35 36 x+ x = 222 40 40 31 2 = 222 40 222 ⋅ 40 x= 111

МАТЕМАТИКА

x = 80 (км) — за 1 день; 7 ⋅ 80 = 70 (км) — за другий; 8 80 ⋅ 0, 9 = 72 (км) — за третій. 5 x дета1211. Нехай перший робітник виготовив x деталей, тоді другий 6 5 5 лей, а третій ⋅ 0, 9x деталей і четвертий ⋅ 0, 9x 8 . Всього вони 6 6

ld z

виготовили 152 деталі. Отримуємо рівняння: 5 5 5 x + x + ⋅ 0, 9x + ⋅ 0, 9 − 8 = 152 6 6 6 5 5⋅ 9 5⋅9 1 x+ x+ x = 152 + 8 6 6 ⋅10 6 ⋅10 5 3 3 1 x + x + x = 160 6 4 4 5 1 1 x + 1 x = 160 6 2 5 3 1 x + 1 x = 160 6 6 2 3 x = 160 6 160 ⋅ 6 x= 20 x = 48 (деталей) — виготовив перший робітник;

48 ⋅ 5 = 40 (деталей) — виготовив другий робітник; 6

40 ⋅ 0, 9 = 36 (деталей) — виготовив третій робітник;

36 − 8 = 28 (деталей) — виготовив четвертий робітник. 1212. Нехай Аладдін купив x порцій вершкового морозива, тоді шоколадного ( 24 − x ) порцій. За вершкове морозиво він заплатив 12x драхм, а за шоколадне ( 24 − x ) ⋅18 драхм. За все морозиво Аладдін віддав 372 драхми. Отримуємо рівняння: ( 24 − x ) ⋅18 + 12x = 372 432 − 18x + 12x = 372 −6x = −60 x = 10 (порцій) — вершкового морозива; 24 – 10 = 14 (порцій) — шоколадного морозива.

379

1214. Нехай кожній школі на ремонт виділили x грн. Після придбання будівельних матеріалів в першій школі залишилося ( x − 20000 ) грн, а в другій ( x − 12000 ) грн. У другій школі грошей залишилося у 9 разів більше. Отримуємо рівняння: 9 ⋅ ( x − 20000 ) = x − 12000 9x − 180 000 = x − 12000 9x − x = −12x + 180 000 8x = 168 000 x = 21 000 (грн).

МАТЕМАТИКА

1213. Нехай тістечок по 10 крон Карлсон купив x штук, тоді тістечок по 16 крон він купив (16 − x ) штук. За тістечка по 10 крон він Заплатив 10x крон, а за тістечка по 16 крон — 16 ⋅ (16 − x ) крон. За всю покупку Карлсон заплатив 202 крони. Отримуємо рівняння: 10x + 16 ⋅ (16 − x ) = 202 10x + 256 − 16x = 202 −6x = −54 x = 9 (шт.) — по 10 крон; 16 – 9 = 7 (шт.) — по 16 крон.

ld z

1215. Нехай в кожну з цистерн налили x л води. Після використання в першій цистерні залишилося ( x − 47 ) л, а у другій ( x − 23 ) л. У першій залишилося води в 3 рази менше. Отримуємо рівняння: ( x − 47 ) ⋅ 3 = x − 23 3x − x = −23 + 147 2x = 118 x = 59 (л).

1216. Нехай у Оленки було x грн, тоді у Петрика 5x грн. Після того, як Петрик купив книжку, а Оленка ляльку, у них залишилося (5x − 27 ) грн і ( x − 8 ) грн. У Оленки залишилося на 33 грн менше, ніж у Петрика. Отримуємо рівняння: 5x − 27 = x − 8 + 33 5x − x = 25 + 27 4x = 52 x = 13 (грн) — у Олени; 5 · 13 = 65 (грн) — у Петрика. 1217. Нехай у другій діжці було x кг меду. Тоді в першій було 4x кг меду. Коли з першої і другої діжок взяли мед, то в першій залишилось ( 4x − 210 ) кг, а в другій ( x − 10 ) кг. У другій діжці залишилось на 20 кг більше меду. Отримуємо рівняння: 4x − 210 = x − 10 − 20 4x − x = −30 + 210 3x = 180 x = 60 (кг) — у ІІ діжці; 4 · 60 = 240 (кг) — у І діжці.

1218. Нехай до зустрічі кожна машина була у дорозі x годин. Тоді перша машина до зустрічі проїхала ( x + 2 ) ⋅ 65 км, а друга x ⋅75 км. Відстань між містами 690 км. Отримуємо рівняння: 380

65x + 130 + 75x = 690 140x = 690 − 130 140x = 560 x = 4 (год) — друга машина була в дорозі; 4 + 2 = 6 (год) — перша машина була в дорозі. 1219. Нехай до зустрічі велосипедист і мотоцикліст їхали x годин. Тоді мотоцикліст проїхав ( x + 3 ) ⋅ 80 км, а велосипедист 18x км. Відстань між містом і селом 436 км. Отримуємо рівняння: ( x + 3) ⋅ 80 + 18x = 436 80x + 240 + 18x = 436 98x = 196 x = 2 (год) — їхав велосипедист; 2 + 3 = 5 (год) — їхав мотоцикліст.

МАТЕМАТИКА

( x + 2) ⋅ 65 + 75x = 690

1220. Нехай вода з баків витікала x хвилин. Тоді у першому баку залишилось (140 − 5x ) л, а з другого (108 − 6x ) літрів води. У другому баці води залишилося у 2,5 раза менше. Отримуємо рівняння: 140 − 5x = 2, 5 ⋅ (108 − 6x ) 140 − 5x = 270 − 15x −5x + 15x = 270 − 140 10x = 130 x = 13 (хв).

ld z

1221. Нехай Віталій і Мишко розв’язували задачі x днів. Тоді Віталію залишилося розв’язати ( 95 − 7x ) задач, а Мишкові ( 60 − 6x ) задач. Віталію залишилося розв’язати у 2 рази більше задач. Отримуємо рівняння: 95 − 7x = 2 ⋅ ( 60 − 6x ) 95 − 7x = 120 − 12x −7x + 12x = 120 − 95 5x = 25 x = 5 (днів). 1222. Нехай швидкість течії x км/год, тоді швидкість човна за течією ( 28 + x ) км/год, а проти течії ( 28 − x ) км/год. За 1,4 год за течією і 1,7 год проти течії човен проплив ( 28 + x ) ⋅1, 4 км і ( 28 − x ) ⋅1, 7 км. За течією човен проплив на 2,2 км менше. Отримуємо рівняння: 1, 4 ⋅ ( 28 + x ) + 2, 2 = ( 28 − x ) ⋅1, 7 39, 2 + 1, 4x + 2, 2 = 47, 6 − 1, 7x 1, 4x + 1, 7x = 47, 6 − 41, 4 3, 1x = 6, 2 x = 2 (км/год). 1223. Нехай швидкість байдарки у стоячій воді x км/год, тоді її швидкість за течією річки ( x + 2, 5 ) км/год, а проти течії — ( x − 2, 5 ) км/год. За 2,4 год за течією туристи пройшли 2, 4 ⋅ ( x + 2, 5 ) км, а за 1,8 год проти течії 1, 8 ⋅ ( x − 2, 5 ) км, що на 14,1 км менше, ніж за течією річки. 381

МАТЕМАТИКА

Отримуємо рівняння: 2, 4 ⋅ ( x + 2, 5 ) = 1, 8 ⋅ ( x − 2, 5 ) + 14, 1 2, 4x + 6 = 1, 8x 4, 5 + 14, 1 2, 4x − 1, 8x = 9, 6 − 6 0, 6x = 3, 6 x = 6 (км/год). 1224. Нехай учень планував розв’язати задачі за x днів, та йому треба було розв’язати 12x задач. Проте він розв’язував щодня 16 задач і через ( x − 3 ) днів йому залишилось 8 задач. Отримуємо рівняння: 12x = 16 ( x − 3 ) + 8 ; 12x = 16x 48 + 8 ; 12x − 16x = −40 ; −4x = −40 ; x = 10 (днів).

1225. Нехай майстер мав працювати x днів, а працював ( x − 6 ) днів. Виготовляючи по 24 деталі в день, майстер зробив 24x деталі, а по 39 деталей в день — 39 ( x − 6 ) деталей. Майстер виготовив понад план 21 деталь. Отримуємо рівняння: 24x + 21 = 39 ( x − 6 ) 24x + 21 = 39x − 234 24x − 39x = −234 − 21 −15x = −255 x = 17 (днів).

ld z

1226. Нехай з першої цистерни вилили x літрів води, тоді з другої 2x л води. У I цистерні залишилося ( 900 − x ) л, а в II — (700 − 2x ) л води. У першій цистерні води залишилося в 3 рази більше. Отримуємо рівняння: 900 − x = 3 ⋅ (700 − 2x ) −x + 6x = 2100 − 900 5x = 1200 x = 240 (л) — з першої цистерни; 2 · 240 = 480 (л) — другої цистерни. 1227. Нехай з першого ящика продали x кг цукерок, тоді з другого продали 4x кг цукерок. У I ящику цукерок залишилось ( 60 − x ) кг, а в II — (100 − 4x ) кг. У першому ящику цукерок залишилось у 2 рази більше. Отримуємо рівняння: 60 − x = (100 − 4x ) ⋅ 2 60 − x = 200 − 8x −x + 8x = 200 − 60 7x = 140 x = 20 (кг) — з першого ящика; 4 · 20 = 80 (кг) — з другого ящика.

1228. Нехай вода наливалася в діжки x хв після того, як у І діжці води було в 4 рази менше. Тоді в І діжці було ( 21 − 3x ) л води, а в ІІ — (54 − 2x ) л. Отримуємо рівняння: 4 ( 21 − 3x ) = 54 − 2x 84 − 12x = 54 − 2x 382

−10x = −30 x=3 12 год 00 хв – 3 хв = 11 год 57 хв.

( −0, 8 )2 + ( 0, 6 )2 = 0, 64 + 0, 36 = 1 ; ( −2 )3 + 33 = −8 + 27 = 19 ;

1230. 1) 12 і 12, 12 і 11, 12 і 10, 9 варіантів.

( −0, 5 − 1, 2 )2 = 2, 89 ; ( −2 + 3 )3 = 1 .

2) 4)

11 і 12, 11 і 11, 11 і 10,

МАТЕМАТИКА

1229. 1)

10 і 12, 10 і 11, 10 і 10.

1231. Якщо у 6-А x учнів, то у 6-Б — ( x + 1) учнів, у 6-В — ( x + 2 ) учнів, у 6-Г — ( x + 3 ) учнів, у 6-Д — ( x + 4 ) учнів, у 6-Е — ( x + 5 ) учнів. Всього шестикласників: x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 = 6x + 15 6x — парне число, тому 6x + 15 — непарне число. Відповідь: 3). 1232. Це може бути число 31, 62 або 93 і закриють першу цифру.

⎛ 204 ⋅ 25 361 ⋅ 40 ⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎛ 6 ⋅10 ⎞ + : − + − = 1233. 1) ⎜ − ⎝ 100 ⋅1 100 ⋅19 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⋅ 9 ⎟⎠

ld z

38 ⎞ ⎛ 14 ⎞ 2 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 14 ⎞ 2 ⎛ = ⎜ −51 + ⎟ :⎜ − ⎟ − = ⎜ −51 + 7 ⎟⎠ : ⎜⎝ − ⎟− = ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 3 ⎝ 5 5 ⎠ 3

2 ⎞ ⎛ 14 ⎞ 2 217 ⋅ 5 2 1 2 3 4 5 ⎛ = ⎜ −43 ⎟ : ⎜ − − = 15 − = 15 − = 14 ; ⎟− = ⎝ 2 3 6 6 5⎠ ⎝ 5 ⎠ 3 5 ⋅14 3 6 ⎛ 77 ⋅ 40 38 ⋅ 20 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 4 ⋅100 + ⋅ − + = 2) ⎜ − ⎝ 10 ⋅11 10 ⋅1 ⎠⎟ ⎝⎜ 16 ⎠⎟ 10 ⋅ 36

1 48 ⋅ 5 1 1 8 ⎛ 5 ⎞ = ( −28 + 76 ) ⋅ ⎜ − +1 = − + 1 = −15 + 1 = −13 . ⎝ 16 ⎟⎠ 9 16 9 9 9

1234. ∠ABC розгорнутий, ∠ABC = 180° , тоді ∠ABK + ∠KBC = 180° ∠KBC = 180° − 108° = 72° ∠DBC = ∠KBC :2 , тому що BD — бісектриса ∠KBC . A ∠DBC = ∠KBD = 72° : 2 = 36° .

K D

1235. З натуральних чисел тільки 2 + 2 = 2 ⋅ 2 . Відповідь: ні.

42. Перпендикулярні прямі 1236. MN ⊥ MP ; MN ⊥ NK ; KP ⊥ MP ; KP ⊥ NK ; NP ⊥ MK . 1237. KE ⊥ AC ; MO ⊥ FT .

383

1238. а)

б) a

в)

г) M

МАТЕМАТИКА

M a a

1240.

1239.

1241. B

M K

1242. 1)

ld z

1243. 1)

1244.

384

B C

1245.

2) B

3) B

1247. b і k, c і s, c і k, d і p, a і m, a і s.

1248. 1)

1249. 1)

МАТЕМАТИКА

1246. 1) B

1250. AB ⊥ CD , отже, ∠AOD = ∠AOC = ∠COB = ∠BOD = 90° .

ld z

1) ∠MOK = ∠MOC + ∠COK ; ∠MOC + ∠BOK = 130° ; ∠MOC = 130° − ∠BOK ; ∠COB = ∠COK + ∠KOB ; ∠COK = 42° , ∠COB = 90° ; ∠KOB = 90° − 42° = 48° ; ∠MOC = 130° − 48° = 82° ; ∠MOK = 82° + 42° = 124° ;

2) ∠MOD = ∠MOA + ∠AOD ; ∠AOD = 90° ; ∠MOA = ∠AOC − ∠MOC ; ∠MOA = 90° − 82° = 8° ; ∠MOD = 90° + 8° = 98° .

1251. ∠ABF = ∠ABC − ∠CBF ; ∠ABC = 180° , OB ⊥ BF , тому ∠DBC = 90° , AC ⊥ DK , тому ∠DBC = 90° ; ∠CBF = ∠OBF − ∠BOC ; ∠BOC = ∠DBC − ∠DBO , ∠DBO = 54° ; ∠BOC = 90° − 54° = 36° ; ∠CBF = 90° − 36° = 54° ; ∠ABF = 180° − 53° = 126° . 1252. 1) Відкласти послідовно 6 таких кутів і через сторони кута провести прямі. 2) Відкласти послідовно 5 таких кутів і через сторони кута провести прямі. 385

МАТЕМАТИКА

1253. 1) Відкласти послідовно 5 разів кут 17° , від сторони прямого кута. Той кут, що залишиться буде 5° . 2) Від сторони прямого кута відкласти 4 рази кут 17° послідовно. Той кут, що залишиться, буде 22° . 1254. Від сторони прямого кута відкласти 4 рази кут 20° . Той кут, що залишиться, буде дорівнювати 10° . 1255. Нехай кількість десятків двоцифрового числа x , тоді кількість одиниць 3x . Сума цифр цього числа 3x + x дорівнює 8: 3x + x = 8 4x = 8 x=2 Відповідь: число 26.

1256. Швидкість катера проти течії річки буде: 1, 8 : 0, 09 − 1, 8 = 20 − 1, 8 = 18, 2 км/год. 1257. З кожним співаком можна скласти 6 варіантів концертної бригади. Співаків 4 : 4 ⋅ 6 = 24 варіанти. 2 1 2 9⋅2 3 =1 ⋅ = = ; 15 8 15 8 ⋅15 20

1258. 1) x ⋅

3 1 6 5 1 1 1 − = − = ; < ; 20 8 40 40 40 40 30 1 1⋅ 8 1 ; = ; 30 40 ⋅ 7 35

ld z

якщо a <

1 2 1 10 9 − = − =− ; 35 7 35 35 35

1 2 5⋅2 1 ⋅ = = ; 4 15 4 ⋅15 6 1 1 4 3 1 1 − = − ; > ; 6 8 24 24 24 30 1 ⋅12 1 = ; 24 ⋅ 7 14 1 3 1 6 5 − = − =− . 14 7 14 14 14

2) 1

1259.

Нехай минуло x років, тоді дітям було ( 34 − x ) ; ( 36 − x ) і ( 40 − x ) років, а Василю Івановичу ( 80 − x ) років. Тоді батькові було у 2 рази більше років, ніж загальний вік дітей. 2 ( 34 − x + 36 − x + 40 − x ) = 80 − x −6x + 220 = 80 − x −5x = −140 x = 28 . Відповідь: 28 років тому.

386 1260. Ні, тому що при a < 0 |a| + a = a – a = 0.

75 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 75 5⎞ 1 ⎛ 1 −1 ⎟ : = 1261. ⎜ 6 − 5 ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟⎠ + ⎜⎝ 2 ⎝ 7 100 ⎠ ⎝ 11 100 6⎠ 6

МАТЕМАТИКА

3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 5⎞ 1 ⎛ 1 = ⎜ 6 − 5 ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟ + ⎜ 2 − 1 ⎟ : = ⎝ 7 4⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 4 6⎠ 6 21 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 10 ⎞ 1 ⎛ 4 = ⎜6 −5 −1 ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟⎠ + ⎜⎝ 2 ⎟: = ⎝ 28 28 ⎠ ⎝ 11 12 12 ⎠ 6 =−

11 ⋅14 11 ⋅ 6 1 11 10 + =− + = = 5. 28 ⋅11 12 ⋅1 2 2 2

1262.

1263.

A a

1264. Ні, не існує, тому що вершини такого рівнобедреного трикутника будуть лежати в середині початкового трикутника.

1265. а)

ld z

43. Паралельні прямі

б)

в) B

1266. а) a c б) a c і b d

1267.

k O p

1268. 1)

3) P

387

1270.

1269.

МАТЕМАТИКА

E D

BC AD ; BE AF ; CE FD 1271. 1)

1272. 1) AA1 DD1 , DD1 CC1 , CC1 BB1 ,

BB1 AA1 , AD BC ,

DC AB , DC D1C1 , DC A1 B1 ,

AD B1C1 , BC B1C1 , BC A1 D1 ,

ld z

BC AD , AB D1C1 .

2) AD і C1C ; DD1 і BC ;

DC і B1C1 , DC і A1 A , AD і B1 B ; BC і AA1 , AB і C1C , AB і D1 D .

1273. 1) AB MD

2) BC EF; CD FA; AB DE

D B

A M

1274.

AB ||FE; BC || DE; AF і DC лежать на одній прямій.

B E

388

1275. 1) ні однієї

3) 2 точки

3) 3 точки

МАТЕМАТИКА

2) 1 точка

–(–3)

1276. 12

· (–0,6)

: (–0,3)

–50

–20

+ 18

+ (–32,8) 12,8

+(–1,4)

–4,8

ld z

–3,4

+ 1,9

32 · 0,4

: (–6)

–5,3

0,8

– 7,3

– 1,2

–0,4

· (–5)

1277. У 2 маленьких і 5 великих — 55 троянд, а у 6 маленьких і 5 великих — 75 троянд. Отже, у 4 маленьких було 75 − 55 = 20 троянд і в одному маленькому 20 : 4 = 5 троянд. 2 ⋅ 5 + 5 ⋅ x = 55 , де x — кількість троянд у великому букеті, 5x = 45 x=9 . Відповідь: у маленькому букеті 5 троянд, а у великому 9 троянд. 1278.

204 17 ⋅100 % ⋅100 %= = 85 % . 240 20

1279. Вологість сіна у 4 рази менша за вологість трави. Тому з 4 т трави буде 1 т сіна. 389

3 ⎛ 163 825 ⋅ 10 ⎞ ⎛ 7 35 ⋅ 9 3 15 ⎞ 127 ⋅ 2 = − 10 ⎟ ⋅ ⎜ −6 ⎟− 1280. ⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⋅ 20 4 100 20 ⎠⎟ 5 10 ⋅ 5 ⎝ 2 10 100 ⋅11

МАТЕМАТИКА

3 ⎞ 2 ⎛ 9 22 ⎞ ⎛ 5 23 ⎞ 2 ⎛ 163 ⎞ ⎛ 21 =⎜ − 10 ⎟ ⋅ ⎜ −6 −5 = 7 −9 ⋅ 5 −5 −5 = ⎝ 22 ⎠ ⎝ 4 20 ⎠⎟ 25 ⎜⎝ 22 22 ⎠⎟ ⎝⎜ 20 20 ⎠⎟ 25 = 2 =2

11 22 2

⎛ ⋅⎜ ⎜⎝

9 2 9 2 1 2 5 ⋅9 2 18 ⎞ = −5 = −5 = 2 −5 = ⎟ −5 25 4 25 4 25 2 ⋅ 10 2 25 20 10 ⎟⎠

25 8 25 108 83 −5 =2 −4 = −2 = −2, 83 . 100 100 100 100 100

1281. B ( 2 ) ; C ( −8 ) . C

B 0 1

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1282. Якщо мандрівник потрапив у місто A чи місто B і зупинив першу людину, то йому достатньо спитати «Я у місті A чи B», мешканці міста A скажуть «так», а міста B теж «так»; або мешканці A скажуть «ні» і мешканці B скажуть «ні».

44. Координатна площина

ld z

1283. A ( 3; 2 ) ; B ( −1; 4 ) ; C ( −6; 2 ) ; D ( −5; −2 ) ; E ( 2; −2 ) ; F ( 0; 3 ) ; K ( 4; 0 ) ; M ( −2; −4 ) ; N ( 5; 4 ) .

1284. A ( 2; 2 ) ; B ( 5; 1) ; C ( 0; −5 ) ; D ( 2; 3 ) ; E ( −1; −1) ; F ( −5; 0 ) ; K ( −4; 3 ) ; M ( −3; 2 ) ; N ( −4; −3 ) . 1285.

ó 7 6 5 4

D N

3 2 M 1

–5 –4 –3 –2 –1 0

390

–2 –3 –4 –5 –6

1 2 3 4 5

B P

6 õ

1286. ó 5 4 3 2 1

–2 –3 –4 –5 –6

6 õ

1 2 3 4 5

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

МАТЕМАТИКА

1287.

1288.

ó 5

3 2 1

1 2 3 4 5

–2 –3

Точка перетину K ( 2; 0 ) .

3 2

3 2 1

1 2 3 õ

–2 –3

M ( −2; 1)

EF з віссю x P ( −1; 0 ) ; FK з віссю y M ( 0; 4, 1)

1289.

ó 7 6 5

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

6 õ

ld z

–2 –1 0

ó 5

K M

–4 –3 –2 –1 0 –2 –3

1 2 3 4 5

6 õ

391

1290.

3 2 1

P D

–5 –4 –3 –2 –1 0

6 õ

1 2 3 4 5

–2 –3

1291. 1)

2) C ( 5; 3 ) ;

3) M (1; 1) ;

4 3

S = AB ⋅ DC = 4 ⋅ 8 = 32 (см2).

1 –1 0

1 2 3 4

–2 –3

5 6 õ

ld z

4) P = ( AB + BC ) ⋅ 2 = = ( 4 + 8 ) ⋅ 2 = 24 (см);

–4

МАТЕМАТИКА

N ( 0; 3 ) D ( −3; 0 ) .

ó 7 6 5

1292. 1) ( 2; 3, 5 ) ;

( −4; 3 ) ; ( −4; −3 ) ;

1293. 1) ( 5; 0 ) ;

( −3; −1,1) ; ( −1; 0 ) ;

1294. 1)

1295.

(

( −1; 0 ) ; ( −3, 8; −2 ) .

( 0; −5 ) ; ( −4; 3 ) ; ( 4; 3) ; (5; 0 ) ; ( −5; 0 ) .

2; 0 ) ; ( 3; 4 ) ; (1; −3 ) ; 2) ( 0; −4 ) ; (1; −3 ) ; ( 2; 0 ) ;

ó 7 6 5 4 3 2 1

B M F

–2 –3

2 3 4

( −1; −3 ) ; ( −2; 0 ) .

A ( 2; 5 ) належить; B ( 0; 3 ) належить; C (1; −1) не належить; D ( 3; −2 ) не належить; E ( 4; −1) належить; F ( 5; 0 ) належить.

–2 –1 0 1

392

2) (1, 5; 3 ) ;

5 6 õ

R — 4 одиничних відрізків;

ó 5

т. B належить кругу B ( −2; 2 ) ; т. C не належить кругу C ( 2; −2 ).

4 3 2 1

B A

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1 2 3 õ

–2 –3 –4

1297.

МАТЕМАТИКА

1296.

ó 5

B –5 –4 –3 –2 –1

1 2 3 4 5

6 õ

ld z

–2 –3 –4

3 2 1

1298. 1) I; 2) IV; 3) III; 4) II.

1299. 1) Вище осі x ; 2) нижче осі x .

1300. 1) Ліворуч від осі y ; 2) праворуч від осі y . 1301. 1) F; S; 2) P; Q; S; 3) E; P; 4) C; F. 1302.

ó 7 6 5 3 2 1 –9 –8

–6 –5

–3 –2 –1 0

1 2 3 4 5 6

9 10 õ

–2 –3 –4

393

1303. ó

МАТЕМАТИКА

7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

7 8

–2

1304. 1)

2) ó

6 5 4

3 2 1

–5 –4 –3–2 –1 0

6 5

1 2 3 4 5 õ

–5 –4 –3–2 –1 0

–2 –3 –4 –5 –6

ld z al 1305. 1)

6 5

1 1 2 3

–2 –3 –4 –5 –6

394

6 5 4 3 2

3 2 1 –3–2 –1 0

1 2 3 4 5 õ

4 5 õ

–3–2 –1 0

1 2 3 4 5 õ –2 –3

6 5

4 3

3 2 1 –3–2 –1 0

2 1 1 2 3

4 5 õ

–5 –4 –3–2 –1 0

–2 –3

–2 –3 –4

2) будь-яка точка, що лежить у замальованій частині

ó 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 õ

ó 6 5 4

–1 0

1307. 1)

1 2 3 õ

МАТЕМАТИКА

1306. 1)

–2 –3

ld z

3 2 1

–3–2 –1 0

1 2 3 4 5 õ

–2 –3 –4

–5

3) будь-яка точка, що лежить 4) будь-яка точка, що лежить у замальованій частині у замальованій частині ó 3

ó 2 1

–5–4 –3–2 –1 0 1 –2

–1

0 –1

2 õ

1 2 3 4 5 õ

–2 –3 –4 –5

395

1308. 1)

ó 3

МАТЕМАТИКА

2 1 –4 –3 –2 –1 0

1 2 3 4

–2 –3

ó 2

2 1

–3

–2

ld z

в)

B M

M A

C K

al B

–1 –2

б)

1309. а)

34 5 õ

–3 –2

1310. Нехай одна цукерка коштує x грн, тоді в понеділок у Наталки бу1 4 ⋅12 ло 12x грн. У четвер у неї стало 1 ⋅12x = x = 16x грн, а ціна 3 3 3 цукерок стала 1 x грн. 5 3 16 ⋅ 5 16x : 1 x = ⋅ x : x = 10 (цукерок). 5 8 396

x = 66 (кг) — сухі яблука. 100 % − 75 %= 25 % , бо води 75 %. 66 кг — 88 % x кг — 100 % 66 ⋅100 x= = 75 (кг) 88 100 % − 12 %= 88 % , бо води 12 % .

МАТЕМАТИКА

1311. 264 кг — 100 % x кг — 25 % 264 ⋅ 25 x= 100

1312. Оскільки до цілого числа десятків не вистачало 2 горіхи, то їх кількість закінчується цифрою 8. Кількість дюжин горіхів повинна буди 25, тоді 12 ⋅ 25 = 300 горіхів і 8, залишилося 300 + 8 = 308 горіхів. Відповідь: 308 горіхів. 2

1⋅ 8 ⎛ 4 ⎞ 1 16 ⋅10 1 1 : ( −0, 8 ) = − = − =0 ; + 4 ⋅10 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ 5 100 ⋅ 8 5 5

2) 2 =2

1 7 ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ − ⋅ ⎜ 2 ⎟ − ⎜ 3 ⎟ : ⎜ −1 ⎟ = 14 12 ⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠

1313. 1)

1 7 ⋅16 10 ⋅ 3 1 1 1 1 3 14 11 − − =2 −1 − 2 = −1 = −1 = −1 . 3 14 3 42 4 12 ⋅ 7 3 ⋅ 5 14 42 42

ld z

1314. Той, хто буде другим, тому що перший може забрати всі камінці з першої купки, а другий всі камінці з другої купки, тоді першому нічого буде брати.

45. Графіки

1315. 1) О 4 год −4 °C ; о 6 год −5 °C ; о 10 год −2 °C ; о 18 год +5 °C ; о 22 год 0 °C ; 2) 5 °C о 13 год і 18 год; −2 °C о 3 год, о 10 год і о 23 год; 3) о 2 год, об 11 год, о 22 год; 4) −5 °C о 6 год; 5) +7 °C о 16 год; 6) нижчою від 0 °C , від 2 год до 11 год і від 22 до 24 год вищою за 0 °C від 0 до 2 год і від 11 до 22 год; 7) підвищувалася від 6 год до 16 год, знижувалася від 0 год до 6 год і від 16 год до 24 год. 1316. 1) О 2 год −5 °C ; о 12 год −4 °C ; о 22 год −1 °C ; о 8 год −6 °C ; о 16 год 0 °C ; 2) −3 °C о 14 год; −6 °C о 3 год і о 8 год; 0 °C о 16 год і о 21 год; 3) −10 °C о 6 годині; 4) +4 °C о 19 годині; 5) нижче 0 °C від 0 год до 16 год і від 21 год до 24 год; вище 0 °C від 16 год до 21 год; 6) підвищувалася від 6 год до 19 год; знижувалася від 0 год до 6 год і від 19 год до 24 год. 397

1317. 1) + 10 °C ; 2) через 30 хв. +28 °C ; через 1,5 год +15 °C ; 3) +45 °C через 60 хв; 4) через 42 хв і через 72 хв.

МАТЕМАТИКА

1318. 1) 58 км; 4) 60 км;

2) 120 км і 75 км; 3) 1 год; 0,5 год; 1 5) 45 : = 90 км/год. 2

1319. 1) 10 км; 2) 3 год; 3) через 2 год і через 11 год; 4) 16 : 4 = 4 км/год; 5) 6 : 2 = 3 км/год. 1320. Підвищувалася від 0 до 1 год від 6 год до 14 год; знижувалася від 1 год до 6 год та від 14 год до 24 год.

9 8

7 6 5 3 2 1 1

2 3 4 5

6 7 8 9 10

ld z

0 –1 –2 –3 –4

–5 –6 –7

1321.

1322. y = −2x y

24 20 16

5 4 3

12 8 4 0

2 1 1 2 3 4 5

6 7

–3 –2 –1 0

1 2 3 4 5 õ –2 –3 –4

398

1324. Нехай у книжці було x сторінок. 24 % сторінок — 0, 24x сторінки, 7 7 це — x сторінок. 15 15 Залишилося 44 сторінки. 7 0, 24x + x + 44 = x 15 24 7 x+ x − x = −44 100 15 6 8 x− x = −44 25 15 18 40 x− x = −44 75 75 22 − x = −44 75 44 ⋅ 75 x= 22 x = 150 (сторінок).

5⋅3 5⋅2 3 1 9 4 5 + =− + =− + =− ; 10 ⋅ 2 10 ⋅ 3 4 3 12 12 12

1325. 1) −

МАТЕМАТИКА

1323. 12 варіантів. На кожний з конвертів листоноша Печкін може наклеїти 4 марки. Тоді можливостей 3 ⋅ 4 = 12 .

ld z

10 ⋅72 5 ⎛ 2 4 ⎞ ⎛ 2 4 ⎞ ⎛ 18 28 ⎞ ⎛ 18 28 ⎞ 2) ⎜ − ⎟ : ⎜ + ⎟ = ⎜ − : + =− =− ; ⎝ 7 9 ⎠ ⎝ 7 9 ⎠ ⎝ 72 72 ⎟⎠ ⎜⎝ 72 72 ⎟⎠ 72 ⋅ 46 23

(( −0, 3) + ( −0, 4 ) ) : ( −0, 3 + 0, 4 ) = (0, 09 + 0,16 ) : (0,1) = 25. 2

1326. Суми чисел можуть бути різними. 0

–1

Вправи для повторення курсу 6 класу 5 ⎞ ⎛ 3 1 3⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 1 1327. 1) ⎜ 3 + − 1 ⎟ : ⎜ 2 − 4 − ⎟⎠ : ⎜⎝ −4 ⎟= ⎝ 4 4 24 ⎠ ⎝ 4 2 4 12 ⎠ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 55 ⎞ ⎛ 12 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 55 ⎞ ⎛ 2 = ⎜ 3 −1 : −2 ⎟ : ⎜ − = 3 −1 : − : − = ⎝ 4 24 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 12 ⎟⎠ ⎜⎝ 24 24 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 ⎟⎠ =2

7 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 55 ⎞ 55 ⋅ 2 ⋅12 1 : − : − = = ; 24 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 24 ⋅ 5 ⋅ 55 5

399

35 7 1⎞ ⎛ + : 2 ⎟ − 15, 36 = 2) −24, 6 : ⎜ −2 ⎝ 100 10 3⎠

МАТЕМАТИКА

35 7 ⋅3 ⎞ ⎛ = −24, 6 : ⎜ −2 + ⎟ − 15, 36 = ⎝ 100 10 ⋅ 7 ⎠ = −24, 6 : ( −2, 05 ) − 15, 36 = 12 − 15, 36 = −3, 36 ; 16 ⎞ ⎛ 5 16 ⋅125 3) ⎜ 5 − −1 ⎟ : ( −1, 5 ) = ⎝ 28 3 ⋅100 21 ⎠ 2 16 ⎞ 56 64 ⎞ ⎛ 5 ⎛ 15 = ⎜5 − 6 −1 : ( −1, 5 ) = ⎜ 5 −6 −1 : ( −1, 5 ) = ⎝ 28 ⎝ 84 84 84 ⎟⎠ 3 21 ⎟⎠ 36 ⎞ 21 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 15 = ⎜5 −8 : ( −1, 5 ) = −3 : −1 = ⎝ 84 84 ⎟⎠ 84 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ = −3

1 ⎛ 1 ⎞ 13 ⋅ 2 13 1 : −1 ⎟ = = =2 ; 6 4 ⎜⎝ 2 ⎠ 4⋅3 6

1 1 ⎞ ⎛ 4 62 ⎞ ⎛ 10 ⋅19 195 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 16 62 ⎞ ⎛ 4) ⎜ − − + : − = −6 + 4 ⎟ : ⎜ ⎟= ⎝ 3 ⋅10 10 ⋅13 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 75 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 25 75 ⎠ 2 3 ⎞ ⎛ 12 62 ⎞ 5 ⎛ 50 ⎞ 11 ⋅ 3 11 3 ⎛ = ⎜ −6 + 4 ⎟ : ⎜ − = −1 : ⎜ − = = =2 ; ⎝ 6 6 ⎠ ⎝ 75 75 ⎟⎠ 6 ⎝ 75 ⎟⎠ 6 ⋅ 2 4 4

35 ⋅18 ⎞ 1 ⎛ 24 ⋅ 33 16 ⋅15 ⎞ ⎛ + : 9− = ( −9 + 6 ) : ( 9 − 15 ) = −3 : ( −6 ) = ; 5) ⎜ − ⎝ 11 ⋅ 8 10 ⋅ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⋅ 7 ⎟⎠ 2

ld z

16 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎞ ⎛ 55 ⋅ 6 ⎛ 7 + : −9, 5 : ⎜ 5 −4 = 6) ⎜ − ⎝ 24 ⋅11 10 ⋅10 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝ 10 25 ⎟⎠ ⎟⎠

25 48 ⎞ ⎛ 19 25 ⎞ 1 12 ⎞ ⎛ 95 ⎛ 49 24 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ + :1 = = ⎜ −1 + : − : 5 −4 = ⎜ −1 ⎟ :⎜ − ⎝ 70 ⎟⎠ 4 25 ⎟⎠ ⎝⎜ 10 ⎜⎝ 70 70 ⎟⎠ ⎠⎟ ⎝ 100 100 ⎠ ⎝ 2 =−

7 ⎛ 19 ⋅ 70 ⎞ 77 77 11 : − =− : ( −7 ) = = = 0, 11 ; 100 ⎜⎝ 2 ⋅ 95 ⎟⎠ 100 100 ⋅ 7 100

5⋅9 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2 ⋅ 91 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ : −48 + ⎜ = −0, 4 ⋅ ⎜ −2 + ⎟ : ( −48 + 26 ) = 7) −0, 4 ⋅ ⎜ −2 + ⎝ 7 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ 6 ⋅10 ⎟⎠ ⎜⎝ 4⎠ 1⎞ 4 ⋅ 5 ⋅1 1 ⎛ = −0, 4 ⋅ ⎜ −1 ⎟ : ( 22 ) = − =− ; ⎝ 4⎠ 10 ⋅ 4 ⋅ 22 44

8) −

85 ⋅ 20 ⎛ 7 45 ⎞ 7 + 2 −1 :1 = 10 ⋅17 ⎜⎝ 23 45 ⎟⎠ 23

45 ⎞ 7 15 ⋅ 23 1 3 ⎛ 14 = −10 + ⎜ 2 −1 :1 = −10 + = −10 + = −9 . ⎝ 46 46 ⎟⎠ 23 46 ⋅ 30 4 4 5 5 35 ⋅ 6 3⎞ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛ 2 ⎛ 1 1328. 1) ⎜ 3 + 2 ⎟ : ⎜ 3 − 2 ⎟ = ⎜ 3 + 2 ⎟ : ⎜ 3 − 2 ⎟ = 5 : = =7 ; ⎝ 3 6 6 6 ⋅5 2⎠ ⎝ 3 2⎠ ⎝ 6 6⎠ ⎝ 6 6⎠ 40 % від 7, 7 ⋅ 0, 4 = 2, 8 ; 1⎞ 28 ⋅ 51 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 175 ⎛ 10 ⋅1 175 ⋅100 ⎞ ⎛ −1 ⎟ = + : 1, 75 − = ⎜ + ⎟ :⎜1 2) ⎜ ⎝ 3 ⋅10 1000 ⋅ 35 ⎟⎠ ⎜⎝ 2⎠ 17 ⋅ 56 ⎟⎠ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 100

400

5 ⎛ 3 2 ⎞ 5 ⋅ 4 10 1 1 54 10 ⋅ 54 18 : 1 −1 ⎟ = = =3 ; 3 ⋅ = = = 1, 8 . 6 ⎜⎝ 4 4 ⎠ 6 ⋅1 3 3 3 100 3 ⋅100 10

11 1 ⎞ 5 44 3 ⎞ 5 1 5 ⎛ 7 ⎛ 42 −2 +2 ⋅1 = 3 −2 +2 ⋅1 =3 ⋅1 = 1329. 1) ⎜ 3 ⎝ 12 18 24 ⎟⎠ 31 ⎜⎝ 72 72 72 ⎟⎠ 31 72 31 217 ⋅ 36 7 = = 3, 5 ; 3, 5 : 0, 28 = 12, 5 . 72 ⋅ 31 2

7 ⋅7 3 ⎞ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 5⋅4 : (1, 5 + 0, 25 ) : 2 2) ⎜ + − ⎟= ⎝ 10 ⋅ 5 5 ⋅11 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 32 ⎠ 13 ⎞ ⎛ 22 49 15 ⎞ ⎛ 2 ⋅ 32 ⎞ ⎛ 2 49 3 ⎞ ⎛ 75 =⎜ + − + − : 1 :2 ⎟ =⎜ ⎟ :⎜ ⎟= ⎝ 5 55 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 32 ⎠ ⎝ 55 55 55 ⎠ ⎝ 4 ⋅ 77 ⎠ =

56 ⋅11 7 2 = = 1 = 1, 4 ; 1, 4 : 0, 35 = 4 . 55 ⋅ 8 5 5

МАТЕМАТИКА

19 ⎞ 9 ⎛ 21 19 ⎞ 9 2 9 55 ⋅ 9 11 ⎛ 7 1330. 1) ⎜ 8 = = 5, 4 ; −5 ⋅ = 8 −5 ⋅ =3 ⋅ = ⎝ 12 36 5 36 ⎟⎠ 5 ⎜⎝ 36 36 ⎟⎠ 5 2 2 18 ⋅ 5 5 = 11

3375 27 : = 11 100 4

135 ⋅11 55 3 = = 13 = 13, 75 ; 4 4 4 ⋅ 27

54 ⋅100 108 ⋅100 % 432 3 ⋅100% = = % = 39 %; 10 ⋅1375 275 11 11

(5, 4 : 13, 75) ⋅100 % =

135

( 39, 375 − 5, 625) : 2

2 ⎞ 75 ⋅12 ⎛ 5 ⋅1 1 ⎞ ⎛ 5 + = −0, 75 : ⎜ − + = =3 ; 2) −0, 75 : ⎜ − ⎝ 4 ⋅ 3 6 ⎟⎠ ⎝ 12 12 ⎟⎠ 100 ⋅ 3

ld z

175 +2 35 = 7 : 0, 5 = 14 ; 1 1, 5 ⋅ 3 3 3 ( 3 : 14 ) ⋅100 % = ⋅100 % = 21 % . 14 7

1⎞ ⎛ 7 ⎞ 7 ⎛ 7 ⎞ 70 ⋅ 27 21 ⎛ 2 1331. a = ⎜ 5 + 2 ⎟ ⋅ ⎜ −1 = 7 ⋅ ⎜ −1 = − =− = −10, 5 ; ⎝ 3 9⎠ ⎝ 20 ⎟⎠ 9 ⎝ 20 ⎟⎠ 9 ⋅ 20 2 2 1⎞ ⎛ 1 ⎞ 11 ⎛ 1 ⎞ 56 ⋅ 20 224 5 ⎛ b = ⎜ −2 − 1 ⎟ : ⎜ −1 = −3 : −1 = = =3 ; ⎝ 5 3⎠ ⎝ 20 ⎟⎠ 15 ⎜⎝ 20 ⎟⎠ 15 ⋅ 21 63 9 5 3 ⎞ 20 9 ⎞ 37 ⋅ 48 ⎛ ⎛ = −3, 7 ; c = ⎜ −6 +7 ⋅ ( −4, 8 ) = ⎜ −6 +7 ⋅ ( −4, 8 ) = − ⎝ ⎝ 12 16 ⎟⎠ 48 48 ⎟⎠ 48 ⋅10 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4 9 ⎞ ⎛ 60 ⎞ 5 ⎛ 60 ⎞ 29 ⋅ 60 ⎛ 1 d = ⎜ 7 − 8 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 7 − 8 ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 ⋅ ⎜ − ⎟ = = 2,5 . ⎝ 6 8 ⎠ ⎝ 29 ⎠ ⎝ 24 24 ⎠ ⎝ 29 ⎠ 24 ⎝ 29 ⎠ 24 ⋅ 29 Найменше a. 3 1⎞ 5⋅3 3 ⎛ 1332. a = ( −3, 8 + 4, 3 ) : ⎜ −1 ⎟ = − =− ; a = ; ⎝ 8 3⎠ 10 ⋅ 4 8 1 ⎞ 7 ⎛ 21 2 ⎞ 25 5 ⋅18 3 ⎛ 7 ; b = ⎜5 −6 :1 = 5 −6 : =− =− ⎝ 8 12 ⎟⎠ 18 ⎜⎝ 24 24 ⎟⎠ 18 24 ⋅ 25 20 b= −

3 3 = ; 20 20

401

5 3 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 25 6 ⎞ ⎛ 14 ⎞ −21 ⋅ 5 3 ⎛ c = ⎜ −1 + 2 : −2 ⎟ = ⎜ −1 +2 : − = =− ; ⎝ 8 20 ⎟⎠ ⎜⎝ 5⎠ ⎝ 40 40 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 40 ⋅14 16

МАТЕМАТИКА

3 ; 16

5 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 25 8 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ d = ⎜ −1 −1 ⋅ − = −1 −1 ⋅ − = ⎝ 12 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 17 ⎟⎠ ⎜⎝ 60 60 ⎟⎠ ⎜⎝ 17 ⎟⎠ = −2

3 33 ⎛ 5 ⎞ 51 ⋅ 5 3 ⋅ − = = ; d = . 4 60 ⎜⎝ 17 ⎟⎠ 20 ⋅17 4

Найбільше d . 1333. 1) b > 0 ; a < 0 ; 2) a < 0 і b < 0 ; 3) b = 0 ; 4) a і b протилежні, або a = b = 0 . 1334. 1) 3, 6x − 0, 15y − 0, 6x − 1, 5y = 3x − 1, 65y ;

2) 6a + 3, 6b + 0, 9b + 2, 8a = 8, 8a + 4, 5b ;

3) −6, 3m + 9 − 5, 2 + 2, 6m = 3, 8 − 3, 7m ; 4⋅3 ⎞ ⎛ 5 1 ⎞ 2 1 5 1 ⎛ 4⋅3 4) ⎜ c− ⎟ − ⎜ 1 − 1 c ⎟⎠ = c − − 1 6 + 1 3 c = 2c − 2 ; ⎝ 9⋅2 9⋅8 ⎠ ⎝ 6 3 3 6 12 ⋅ 5 18 ⋅ 5 k + 0, 48n − k + 0, 54n = k + 1, 02n − k = 1, 02n ; 10 ⋅ 6 10 ⋅ 9 1 7 1 3 1 14 1 a + 6, 5 − 2 a + 3 = a+6 −2 a−3 = 6) 3 18 2 18 3 6 9 11 3 2 11 1 = −2 a + 6 − 3 = −2 a+3 ; 6 18 6 6 18

ld z

3 ⋅ 56 3 ⋅ 49 6 ⋅ 39 6 ⋅ 52 x− y+ y− x= 7 ⋅100 7 ⋅10 13 ⋅10 13 ⋅100 6 1 6 8 3 = x−2 y− x +1 y=− y; 25 10 25 10 10

8) 1

1 15 ⋅ 7 1 1 k −5−9+ k = 1 k + 35k − 14 = 36 k − 14 . 2 3 2 2

1335. 1) 8 − 12m − 6 + m − 6m − 8 = −17m − 6 −17 ⋅ ( −0, 3 ) − 6 = 5, 1 − 6 = −0, 9 ; 2) −0, 5 + 1, 5n + 0, 8n − 0, 4 − 0, 1 + 0, 7n = −1 + 3n ; −1 + 3 ⋅ 0, 21 = −1 + 0, 63 = −0, 37 ; 3) 3xy − 6x + 15y + 4xy + 6x − 12y = = 7xy + 3y = −

7 ⋅ 9 ⋅ 5 ⎛ −3 ⋅ 5 ⎞ 1 1 = −7 − 2 = −10 ; + 7 ⋅ 6 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 2 2

4) 3mk − 4nk − 6mn − 5mk − nk + 6mn = −2mk − 5nk ; −2 ⋅ ( −1) ⋅ ( −3, 5 ) − 5 ⋅ 4 ⋅ ( −3, 5 ) = −7 + 70 = 63 ;

402

5) 6a − 2ab − 3ab + 6b − 5ab − 5a − 5b = −10ab + a + b ; −10 ⋅1, 5 ⋅ ( −2, 6 ) + 1, 5 + ( −2, 6 ) = 39 + 1, 5 − 2, 6 = 37, 9 ;

5 ⋅ 56 5 ⋅16 72 ⋅ 4 72 ⋅ 25 m+ n+ m− n= 8 ⋅10 8 ⋅10 10 ⋅ 9 10 ⋅18 1 1 5 2 7 = −3 m + n − 3 m − 10n − 3 m−3 m − 9n = −6 m − 9n ; 10 2 5 10 10 67 ⋅10 9 ⋅ 5 1 1 − − = −67 − 2 = −69 ; 10 18 2 2 3 ⋅ 21 3 ⋅14 22 ⋅ 3 22 ⋅ 5 x− y− x− y= 7 ⋅10 7 ⋅3 10 ⋅11 10 ⋅ 22 9 6 1 1 1 =− x − 2y − x − y = −1 x − 2 y ; 10 10 2 2 2

7) −

−1

1 ⎛ 1⎞ 1 3 ⋅ 4 5 ⋅12 ⋅ −1 ⎟ − 2 ⋅1, 2 = − = 2 − 3 = −1 ; 3⎠ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅10 2 ⎜⎝

7 ⋅ 23 7 ⋅ 46 9 ⋅16 9⋅ 8 a− b− a+ b= 23 ⋅ 7 23 ⋅ 21 16 ⋅ 3 16 ⋅15

−2 ⋅ 5, 5 −

11 ⋅ 30 = −11 − 1 = −12 . 30 ⋅11

2) 0, 3x = 1 x = 1 : 0, 3 1 x=3 ; 3

ld z

1336. 1) 2, 5x = −1 x = −1 : 2, 5

2 3 20 9 11 b − 3a + b = −2a − b+ b = −2a − b; 3 10 30 30 30

=a−

МАТЕМАТИКА

6) −

x = −0, 4 ;

3) 7x = −3 3 x=− ; 7

4) −16x = 8 8 x=− ; 16 1 x=− ; 2

5) x = 5 x = 5 або x = −5 ;

6) x = 8 − 3, 2 x = 4, 8 або x = −4, 8 ;

7) 4, 1 − x = 5 ; x = 4, 1 − 5 ; x = −0, 9 ; коренів немає;

8) 3x + 1, 8 = 0 3x + 1, 8 = 0 3x = −1, 8 x = −0, 6 ;

9) 9 x = 6 6 x = ; 9 2 x = 3 2 2 x= або x = − ; 3 3

10)

8 6 = x 5 6x = 40 ; 40 x= 6 2 x=6 ; 3

403

МАТЕМАТИКА

11)

x+3 4 = 12 3 12 ⋅ 4 x+3= 3 x + 3 = 16 x = 13 ;

7 x = 4 2 7 ⋅2 x= 4 1 x=3 ; 2

12)

13) 7x = x + 25 7x − x = 25 6x = 25 25 x= ; 6 1 x=4 ; 6

14) 0, 4x − 0, 6x = −9 + 6 −0, 2x = −3 x = −3 : ( −0, 2 ) x = 15 ;

15) 3x + 10x = 9 − 16

13x = −7 7 x=− ; 13

0, 6x = −2, 2 x = −2, 2 : 0, 6 22 ⋅10 x=− 10 ⋅ 6 2 x = −3 ; 3

3 = −68 : ( −3, 4 ) 11 3 x+9 = 20 11 3 x = 20 − 9 11 8 x = 10 ; 11

18)

x x + = −21 ⋅12 3 4 4x + 3x = −252

ld z

17) x + 9

6 ⋅5 = −1, 2 10 ⋅ 3 0, 6x + 1 = −1, 2

16) 0, 6x +

19)

404

2m 4m − = 3 ⋅15 3 5 10m − 12m = 45 −2m = 45 m = 45 : ( −2 ) m = −22, 5 ;

7x = −252 x = −36 ;

20)

4a 5a −1 = ⋅ 36 9 12 16a − 36 = 15a a = 36 ;

21) 3 − 3x + 5x + 10 = 1 − 4x 2x + 4x = 1 − 13 6x = −12 x = −2 ;

22) 6 − 3x − 5x − 4 = 0, 4 − 16x −8x + 16x = 0, 4 − 2 8x = −1, 6 x = −1, 6 : 8 x = −0, 2 ;

23) 6 − 10 p = 4 − 4 p − 1 −10 p + 4 p = 3 − 6 −6 p = −3 1 p= ; 2

24) y − 0, 5 − 0, 5 + 0, 2y + 1 = 0 1, 2y = 0 ; y=0

26) 0, 9x − 0, 3 + 0, 2 = 0, 5 − x − 0, 1 0, 9x + x = 0, 4 + 0, 1 1, 9x = 0, 5 5 10 5 x = 0, 5 : 1, 9 = ⋅ = 10 19 19 5 x= . 19 2) 43 ⋅ 3 = 129 ; 5) 23 ⋅ 21 = 483 ;

3) 5 ⋅103 = 515 ; 6) 17 ⋅14 = 238 .

1338. 1) 1;

2) так;

3) ні.

375 5 75 5 25 5 55 1

725 : 25 = 29 ;

375 : 25 = 15 ;

1339. 25 ⋅ 25 725 5 145 5 29 29 1

1337. 1) 3 ⋅ 29 = 87 ; 4) 13 ⋅11 = 143 ;

МАТЕМАТИКА

25) −20 + 8m + 3m − 12 = 12 − 6m − 5m 11m + 11m = 12 + 32 22m = 44 m=2 ;

29 ⋅15 = 435 (плиток) — потрібно на підлогу.

ld z

1340. 72 оцінки, 72 ⋅ 7 72 ⋅ 7 = 28 оцінок «12», = 42 оцінок «9», 50 < 72 < 80 . 18 12 1341. 61 горішок, 61 = 15 ⋅ 4 + 1 ; 61 = 12 ⋅ 5 + 1 ; 61 = 10 ⋅ 6 + 1 . 4 5 3 7 40 75 54 63 ; − ; − ; − ; або ще − ; − ; − ; − ; 9 6 5 10 90 90 90 90 4 3 7 5 ; − . тоді у порядку спадання − ; − ; − 9 5 10 6

1342. 1) −

8 3 2 9 32 45 40 27 ; − ; − ; − ; або − ; − ; − ; − ; 15 4 3 20 60 60 60 60 3 2 8 9 ; − . тоді у порядку зростання − ; − ; − 4 3 15 20 2) −

1343. 1) Зменшиться (знаменники будуть однакові, а дроби від’ємні); 2) збільшиться (чисельники залишаться однакові, а дроби від’ємні). 2 3200 ⋅ 5 = = 8000 г = 8 (кг) — маса лебедя; 5 2 3 8⋅3 8⋅ = = 12 (кг) — маса чайки; 32 32 3 12 ⋅ 5 12 : = = 20 (кг) — маса качки. 5 3

1344. 3200 :

405

МАТЕМАТИКА

1345.

180 ⋅ 7 = 63 — вареники з картоплею; 20 9 63 ⋅14 63 : = = 98 — вареників з вишнями. 14 9 2 42 ⋅ 2 = = 12 (кг) — з’їли на сніданок; 7 7 42 − 12 = 30 (кг) — залишилося на обід і вечерю; 30 ⋅ 0, 4 = 12 (кг) — на обід; 30 − 12 = 18 (кг) — залишилося на вечерю; 18 ⋅ 5 = 15 (кг) — на вечерю; 6 18 − 15 = 3 (кг) — залишилось у Кози.

1346. 1) 42 : 2) 3) 4) 5) 6)

1 8 4 ⋅15 1 : = =2 (год) — на всі завдання; 3 15 3 ⋅ 8 2 1 1 3 2 1 (год) — на виконання мови та історії. 2) 2 − 1 = 2 − 1 = 1 6 2 3 6 6 Нехай завдання з мови Незнайко виконував x год, тоді з історії 7 ⎞ ⎛ ⎜⎝ x − ⎟ год. Отримуємо рівняння: 15 ⎠ 7 1 1 7 10 28 38 x+x− = 1 ; 2x = 1 + ; 2x = 1 + ; 2x = 1 ; 15 6 6 15 60 60 60

1347. 1) 1

98 ⋅1 49 ; x= . 60 ⋅ 2 60 Отже, завдання з мови Незнайко виконував 49 хв.

ld z

7 x км, 1348. Нехай Іван проїхав x км, тоді за перший день він проїхав 19 7 ⎞ ⎛ x ⎟ ⋅ 0, 55 км, за третій день він проїхав решту 108 км. за другий ⎜ x − ⎝ 19 ⎠ Отримуємо рівняння:

7 7 ⎞ 7 12 ⋅ 55 ⎛ 19 x+⎜ x− x ⋅ 0, 55 + 108 = x ; x+ x − x = −108 ; ⎝ 19 19 19 ⎟⎠ 19 19 ⋅100 7 33 35 33 68 95 x+ x − x = −108 ; x+ x − x = −108 ; x− x = −108 ; 19 95 95 95 95 95

−

27 108 ⋅ 95 x = −108 ; x = ; x = 380 (км). 95 27

1349. 5 ⋅1, 4 = 7 (год) — проїжджає відстань між містами ІІ мотоцикліст. 1 1 За 1 год І мотоцикліст проїде відстані, а ІІ — відстані. 5 7 Порівняємо: 3 4 21 20 3 4 і ; і ; > . 5 7 35 35 5 7

406

Отже, І мотоцикліст за 3 год проїде відстань більшу, ніж ІІ мотоцикліст за 4 год.

1351.

1 1 10 1 + = = . 60 40 240 24 Відповідь: за 24 дні.

1352. Приймемо весь об’єм басейну за 1. Тоді за 1 год тільки через І трубу 1 басейну, а тільки наповниться 1 басейн, тільки через ІІ трубу — 2 1 басейну. Отже за 1 год через три труби наповчерез ІІІ трубу — 3 1 1 6 + 3 + 2 11 = бесейну. 1 год = 60 хв. ниться 1 + + = 2 3 6 6 11 60 ⋅ 6 360 8 = = = 32 (хв). 6 11 11 11

Щоб наповнити басейн потрібно 60 :

МАТЕМАТИКА

1350. Скласти мотузку навпіл, а потім будь-яку половину навпіл. 3 3 2 1 Тоді мотузки складають ⋅ м = м = 50 см. 4 4 3 2

ld z

1353. 12 : 1, 5 = 8 (год). 1 1 За 1 годину Василь скопає частину городу, а Михайлик . Разом 12 8 1 1 4 6 10 5 + = + = = городу. вони скопають за 1 год: 12 8 48 48 48 24 5 5 5 ⋅ 24 : = = 3 (год). 8 24 8 ⋅5 Відповідь: Разом вони скопають город за 3 години. 1 частина, а виливається через 1354. З першої труби за 1 год наливається 7 1 1 1 1 другу трубу частина. Тому − = . 8 7 8 56

Відповідь: 56 годин.

1 2 1 машини, а за 2 год = 6 6 3 1 машини. Гена за 1 год. розвантажить машини. Разом за 1 год 4 1 1 10 вони розвантажать + = машини. Разом їм треба розгрузити 6 4 24 2 2 10 2 ⋅ 24 8 3 машини. Разом вони зроблять це за : = = =1 год. 3 3 24 3 ⋅10 5 5 3 3 2 +1 = 3 (год). 5 5 3 Відповідь: машину розвантажать за 3 год. 5

1355. За 1 годину Чебурашка розвантажить

1356.

1 1 1 + = , де x — час, за який лисиця з’їсть голівку сира, 18 x 8 72 1 1 1 1 9 4 1 5 ; = − ; = − ; = ; x= 5 x 8 18 x 72 72 x 72 x = 14, 4 (хв).

407

1 частина басейну. За 2 год 1358. Через дві труби за 1 год заповнюється 6 2 1 = частини басейну. Якщо тепер залишити відкритою одну трубу, 6 3 2 2 1 то за 1 год буде заповнюватися : 10 = = частина басейну. 3 30 15 Таким чином, щоб заповнити увесь басейн через цю трубу, знадобиться 15 год. 1 1 5 2 3 1 − = − = = — швидкість заповнення басейну через 6 15 30 30 30 10 другу трубу. Таким чином, щоб заповнити басейн через цю трубу знадобиться 10 год.

МАТЕМАТИКА

1 16 3 1357. За 1 год один велосипедист проїжджає 1 : 5 = 1 : = частину 3 3 16 1 16 5 = частину шляху, тоді другий вешляху, а разом 1 : 3 = 1 : 5 5 16 5 3 2 1 лосипедіст проїжджає − = = частину шляху. 16 16 16 8 Отже, другий велосипедист проїде весь шлях за 8 годин.

ld z

1359. Нехай через обидві труби басейн наповнювався x год. 1 3 1⎞ ⎛ 1 + = = , Через 2 труби весь басейн наповнюється за 8 год ⎜ ⎝ 12 24 24 8 ⎠⎟ x тому за x год вони наповнять частину басейну. 8 9 частину басейну: Друга труба за 9 год наповнить 24 x 9 3x + 9 + =1 ; = 1 ; 3x + 9 = 24 ; 3x = 24 − 9 ; 3x = 15 ; 8 24 24 x = 5 ; 5 + 9 = 14 .

Відповідь: 14 годин.

1360. Якщо масштаб 1 : 30 і довжина деталі 2,5 см, то її реальна довжина 2, 5 ⋅ 30 = 75 см. На карті з масштабом 1 : 50 довжина деталі буде 75 : 50 = 1, 5 см. ∠B + ∠A + ∠C = 180° , ∠A = 45° = 180° − ( 60° + 75° ) . Масштаб 1 : 6000 BC = 300 м = 30 000 см BC = 30 000 : 6000 = 5 см. Виміряли AB = 3, 5 см. Отже, AB = 3, 5 ⋅ 6000 = 21 000 см. AB = 210 м.

1361.

45°

60°

1362. 1) 4 %=

408

75° C 4 1 50 1 12 3 = ; 2) 50 %= = ; 3) 12%= = ; 100 25 100 2 100 25

3 19 1 1 5 5 1 ; %= ; 5) %= = ; 6) 2 %= 8 800 3 300 7 700 140

7) 5

2 47 1 313 %= ; 8) 104 %= . 9 900 3 300

1363. Нехай від’ємник x, тоді зменшуване x + 0, 2x = 1, 2x , а різниця: 1, 2x − 0, 2x = 0, 2x ; 0, 2x ⋅100 % = 20 % . x 1364. x — 100 %; 6,6 — 88 % 100 %− 12 % = 88 % — смажені зерна, x =

6, 6 ⋅100 ; x = 7, 5 (кг). 88

МАТЕМАТИКА

1365. 100 %− 35 % = 65 % — складають сухарі, 120 кг — 100 % x кг — 65 % 120 ⋅ 65 120 100 ; = ; x= 100 x 65 x = 78 (кг).

ld z

1366. 640 млн дол. — 100 % 288 млн дол. — x % 928 млн − 640 млн = 288 млн — прибуток, 288 ⋅100 640 100 = 45 % = ; x= 640 288 x x = 45 %.

1367. 1) I число — 20 : 0, 05 = 400 ; II число — 24 : 0, 08 = 300 . I число більше. 2) I — 64 : 0, 16 = 400 ; II — 80 : 0, 2 = 400 . Однакові числа. 3) I — 130 : 0, 26 = 500 ; 45 % від I; 500 ⋅ 0, 45 = 225 . Нехай друге число x, тоді 9 % від нього — 0, 09x 0, 09x = 225 x = 225 : 0, 09 x = 2500 . II число 2500 і воно більше. 1368. 15 − 15 ⋅ 0, 3 = 15 − 4, 5 = 10, 5 (кг) — залишилося після підготовки до сушіння. 10,5 кг — 100 % x кг — 24 % 100 %− 76 % = 24 % — сухі гриби. 24 ⋅10, 5 10, 5 100 = 2, 52 ; = ; x= 100 x 24 x = 2, 52 (кг). 1369. Нехай сторона квадрата x см, тоді його площа x2 см. Сторону збільшили на 10 % і вона стала x + 0, 1x = 1, 1x , тоді площа стала

(1,1x )2 = 1, 21x2 − 121 % .

Отже, площа збільшиться на 21 %.

409

МАТЕМАТИКА

1370. I сторона — 20 см II сторона — 10 см S = 20 ⋅10 = 200 см2 I сторона стала 20 ⋅ 0, 2 + 20 = 24 см; II сторона стала 10 − 0, 2 ⋅10 = 8 см; 192 ⋅100 % S = 24 ⋅ 8 = 192 см2; = 96 %; 200 100 %− 96 % = 4 % ; площа зменшилась на 4 % . I сторона стала 20 − 0, 2 ⋅ 20 = 16 см; II сторона стала 10 + 0, 2 ⋅10 = 12 см; S = 16 ⋅12 = 192 см2; Немає значення, яку сторону збільшували, яку зменшували.

1371. Нехай сторона квадрата x см, тоді одна сторона прямокутника x + 0, 3x = 1, 3x см, а друга x − 0, 3x = 0, 7x см. Площа квадрата x2 , а площа прямокутника 1, 3x ⋅ 0, 7x = 0, 91x2 . 0, 91x2 ⋅100 % = 91 % . x2

1373.

ld z

1372. Нехай коефіцієнт пропорційності x, тоді одна сторона прямокутника 15x см, а друга 4x см. (15x + 4x ) ⋅ 2 = 76 19x = 38 ; x = 2 . Значить одна сторона 30 см, а друга 8 см. Площа прямокутника 30 ⋅ 8 = 240 см2. 12 ⋅ 3 x 3 ; x=9 ; = ; x= 4 12 4

8 y 8 y = ; = ; 3 x 3 9 8⋅9 y= ; 3 y = 24 .

1374. 1) x : y = 3 : 4 y:z = 4:9 . Нехай коефіцієнт пропорційності буде a, тоді x = 3a ; y = 4a ; x = 9a . 3a + 4a + 9a = 96 ; 16a = 96 ; a = 96 : 16 ; a=6 x = 18 ; y = 24 ; z = 54 ; 1 3 5 6 x 3 y 22 2) = ; x= y; = ; z = 3y : ; z = y ; 2 2 5 y 2 x 3 7 3 6 y = 185 ; y + y + y = 185 ; 3 10 2 5

410

185 ⋅10 3 ⋅ 50 6 ⋅ 50 ; y = 50 ; x = = 75 ; z = = 60 . 37 2 5

9 ⎞ 11⋅ 6 66 ⎛ x = 660 ; x = 660 ; ⎜⎝ x − 20 x ⎟⎠ ⋅ 0, 6 = 660 ; 20 ⋅10 200 x=

660 ⋅ 200 = 2000 (кг). 66

1376. Нехай x км відстань між містами, тоді за 1 годину він проїде 16 7 ⋅16 8 = x= x , а за третю 0, 3x км шляху, за другу ( x − 0, 3x ) 35 10 ⋅ 35 25 3 8 19 x− x− x= x; 10 25 50 21 50 19 8 1 3 21 ⋅ = 175 км. x− x = 10 ; x= ; x= 2 3 50 25 2 50 2

МАТЕМАТИКА

1375. Нехай магазин продав за 3 дні x кг яблук, тоді за перший день він 9 ⎞ 9 ⎛ x ⋅ 0, 6 кг. За другий день мапродав x кг, а за другий ⎜ x − ⎝ 20 ⎟⎠ 20 газин продав 660 кг.

x = 175 (км) — відстань між містами.

1377. 1. 1) 48 : 3 = 16 (км/год) — власна швидкість човна; 2) 70 : 4 = 17, 5 (км/год) — швидкість човна за течією; 3) 17, 5 − 16 = 1, 5 (км/год) — швидкість течії;

ld z

2. 1) 50 : 25 = 2 (км/год) — швидкість плота або швидкість течії річки; 2) 50 : 2 = 25 (км/год) — швидкість моторного човна проти течії річки; 3) 25 + 2 = 27 (км/год).

3. Швидкість за течією Vвласна + Vтечії швидкість проти течії Vвласна − Vтечії 18 18 Vза теч. − Vпроти теч. = 2Vтечії ; Vтечії = :2 = = 1, 8 (км/год). 5 10

8640 ⋅ 5 = 7200 (грн) — витратили на обладнання; 6 100 15840 = = 5280 (грн) — витратили на заробітну 2) ( 8640 + 7200 ) ⋅ 300 3 плату; 3) 15840 + 5280 = 21120 (грн) — всі спонсорські внески. Нехай коефіцієнт пропорційності x, тоді «Золотий ключик» вніс 2 1 0, 3x грн., «Золота рибка» x грн., а «Мідний гріш» x грн. 5 2 3 2 1 3 4 5 x + x + x = 21120 ; x− x+ x = 21120 ; 10 5 2 10 10 10 21120 ⋅10 12 ; x = 17 600 . x = 21120 ; x = 12 10 Отже, «Золотий ключик» вніс: 0, 3 ⋅17 600 = 5280 грн. 2 ⋅17600 = 7040 грн «Золота рибка» 5 1 «Мідний гріш» ⋅17600 = 8800 грн 411 2

1378. 1)

1379. а) 1)

МАТЕМАТИКА

A A A

б) 1)

A A

1380.

Отриманий многокутник буде квадратом; довжина сторони цього квадрата 1,5 см. S = 1, 5 ⋅1, 5 = 2, 25 см2.

ld z

1381. а)

B M

1382.

412

б)

Сторона отриманого чотирикутника, а це квадрат,— 2,8 см. S = 2, 8 ⋅ 2, 8 = 7, 84 см2.

1384.

K ( 2; 0 )

K 4 5

1 2 3

–2 –1 0

–2 –3

5 4 3 2 1

МАТЕМАТИКА

1383. Vакваріума = 50 ⋅ 48 ⋅ 32 = 76 800 см3, а Vводи = 50 ⋅ 48 ⋅ 28 = 67 200 см3. Павлик зможе перелити воду 72 000 − 67 000 = 48 (см3) — більше другий акваріум; 4800 : 64 : 25 = 3 см 45 − 3 = 42 см — висота води.

1385.

4 3 2 1

ld z

З віссю x : D ( −5; 0 ) , B ( 5; 0 ) ; З віссю y : A ( 0; 5 ) , C ( 0; − 5 ) . R = 5 см l = 2πR = 2 ⋅ 5 ⋅ 3, 14 = 31, 4 см l ≈ 31 одиничний відрізок

ó 5 A

–6 –5 –4 –3 –2 –1 O

1 2 3 3 4

–2 –3 –4

–5

1386.

4 3 2 1 N –5 –4 –3 –2 –1 0

1) N ( 2; 0 ) ; M ( 0; − 3 ) ; 2) x = 1 ; y = −1, 4 ; 3) y = 6 ; x = 6 .

6 5

1 2 3 4 5

6 õ

–2

M –3 E

–4 –5 –6

413

1387.

МАТЕМАТИКА

ó 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –10–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 õ

–2 –3 –4 –5

1388.

ó 10 9 8 7 6 5

ld z

3 2 1

–12

–10–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

–14

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 õ

–2 –3 –4 –5

–6 –7 –8 –9 –10

1389. Нехай довжина другої сторони трикутника x дм, тоді довжина першої сторони 0, 6x дм, а третьої 1, 2x дм. Периметр 21 дм. x + 1, 2x + 0, 6x = 21 2, 8x = 21 x = 210 : 28 x = 7, 5 II сторона: 7,5 дм; I сторона: 7, 5 ⋅ 0, 6 = 4, 5 дм; III сторона: 7, 5 ⋅1, 2 = 9 дм. 414

1391. Нехай II кут прямого кута x, тоді I кут ( x + 14 ) , а III частина ( x − 20 ) . x + x + 14 + x − 20 = 90 ; x = 90 + 6 ; x = 96 : 3 ; x = 32 ; II кут: 32°; I кут: 32 + 14 = 46° ; III кут: 32 − 20 = 12° . Відповідь: 32°; 46°; 12°.

МАТЕМАТИКА

1390. Нехай III кут розгорнутого кута x, тоді I — 0, 85x , а II — 0, 4x . Величина розгорнутого кута 180°. x + 0, 85x + 0, 4x = 180 2, 25x = 180 ; x = 80 . III кут: 80°; II кут: 0, 85 ⋅ 80 = 68° ; I кут: 0, 4 ⋅ 80 = 32° . Відповідь: 80°; 68°; 32°.

1392. Нехай хмарних днів у сонячному місті було x, тоді днів з дощем і снігом ( x − 23 ) , а сонячних ( x + 262 ) . У році 365 днів (він не був високосним). x + x − 23 + x + 262 = 365 3x = 365 + 23 − 262 3x = 126 x = 42 . Отже, сонячних днів було 42 + 262 = 304 . Відповідь: 304 дні.

ld z

1393. Нехай п’ять різних сторін шестикутника по x см, а шоста ( x + 1, 2 ) см. Периметр шестикутника 37,2 см. 5x + x + 1, 2 = 37, 2 6x = 37, 2 − 1, 2 6x = 36 x=6 . П’ять сторін по 6 см і одна 7,2 см. Задача має два розв’язки, якщо шоста сторона ( x − 1, 2 ) см (розв’яжи самостійно). 1394. Нехай ширина прямокутника x см, тоді довжина 1, 3x см. Периметр 36,8 см. 2x + 2 ⋅1, 3x = 36, 8 4, 6x = 36, 8 x = 36, 8 : 4, 6 x=8 . Ширина 8 см, а довжина 8 ⋅1, 3 = 10, 4 см. S = 8 ⋅10, 4 = 83, 2 см2. Відповідь: 83,2 см2. 1395. Нехай площа лісу x га, тоді площа поля x + 0, 25x = 1, 25x га, а площа лугу ( x − 80 ) га. Земельні угіддя займають площу 1220 га. x + 1, 25x + x − 80 = 1220 3, 25x = 1300 x = 400 . Площа лісу: 400 га; поля: 1, 25 ⋅ 400 = 500 га; лугу: 400 − 80 = 320 га. 415

МАТЕМАТИКА

1396. Нехай першого дня посадили x кущів троянд, тоді другого дня — 2 1 x кущів. Всього посадили 56 кущів. 3 2 2 56 ⋅ 3 8 x + 1 x = 56 ; 2 x = 56 ; ; x = 21 . x = 56 ; x = 3 3 8 3 I день — 21 кущ; 2 II день — 1 ⋅ 21 = 35 кущів. 3 Відповідь: 21 кущ; 35 кущів. 4 1397. Нехай за перший день продали x кг апельсинів, тоді за другий x кг, 9 4 4 а за третій x + x = 1 x кг. За три дні продали 130 кг. 9 9 4 4 8 130 ⋅ 9 26 x + x + 1 x = 130 ; 2 x = 130 ; ; x = 45 . x = 130 ; x = 9 9 9 26 9

Відповідь: 45 кг.

ld z

1398. Нехай турист пройшов за один день x км, тоді за другий ( x − 5 ) км, 3 а третій ( x + x − 5 ) ⋅ км. Усього він пройшов 110 км. 7 3 2⋅3 15 x + ( x − 5 ) + ( 2x − 5 ) ⋅ = 110 ; x + x − 5 + x− = 110 ; 7 7 7 6 1 6 1 820 ⋅ 7 2 x − 7 = 110 ; 2 x = 117 ; x = ; x = 41 . 7 7 7 7 7 ⋅ 20 За I день 41 км; За II день 36 км; 77 ⋅ 3 За III день = 33 км. 7

1399. Нехай швидкість I поїзда x км/год, а II поїзда ( x − 10 ) км/год. Вони зустрілися через 2,4 год і проїхали 360 км. 2, 4x + 2, 4 ⋅ ( x − 10 ) = 360 2, 4x + 2, 4x − 24 = 360 4, 8x = 384 x = 384 : 4, 8 x = 80 Швидкість першого поїзда 80 км/год, а другого 70 км/год. 5 75 ⋅ 6 = = 90 км/год — швидкість другої машини. 6 5 Нехай машини зустрінуться через x год, тоді I була в дорозі x год, а друга ( x − 1, 6 ) год. Перша машина проїхала 75x км, а друга ( x − 1, 6 ) ⋅ 90 км. Відстань між машинами була 615 км і рухались вони назустріч одна одній. 75x + ( x − 1, 6 ) ⋅ 90 = 615 165x = 759 x = 4, 6 4, 6 − 1, 6 = 3 (год) — рухалась друга машина.

1400. 1) 75 :

416

2 210 ⋅ 9 7 y = 210 ; ; y = 270 . y = 210 ; y = 9 7 9 Довжина ґрунтової дороги 270 км і швидкість вантажівки на ній 270 : 6 = 45 км/год. 270 ⋅ 2 = 60 км і швидкість машини Довжина асфальтованої дороги 9 на ній 60 : 1, 2 = 50 км/год.

y−

МАТЕМАТИКА

1401. x год рухалась вантажівка ґрунтовою дорогою, тоді асфальтованою 0, 2x год. Усього машина їхала 7,2 год. x + 0, 2x = 7, 2 1, 2x = 7, 2 x = 7, 2 : 1, 2 x=6 Отже, ґрунтовою дорогою машина їхала 6 годин, а асфальтованою 1,2 год. 2 Нехай довжина ґрунтової дороги y км, тоді асфальтованої y км. 9 Ґрунтова дорога довша на 210 км.

1402. Нехай швидкість Василька пішки x км/год, тоді його швидкість на велосипеді — ( x + 8 ) км/год. Пішки він йшов 7 год, а їхав 3 год. 3 ⋅ ( x + 8 ) = 7 ⋅ x ; 3x + 24 = 7x ; 3x − 7x = −24 ; −4x = −24 ; x = 6 . Швидкість на велосипеді 14 км/год. Відстань від села до станції 7 ⋅ 6 = 42 км.

ld z

1403. 1) 8 ⋅ 0, 75 = 6 (км/год) — швидкість другого пішохода. Нехай другий пішохід був у дорозі x год, тоді перший ( 2, 5 + x ) год. Відстань між ними була 41 км. ( 2, 5 + x ) ⋅ 8 + x ⋅ 6 = 41 20 + 8x + 6x = 41 14x = 41 − 20 ; 14x = 21 ; 21 3 1 x= ; x = ; x =1 (год). 14 2 2 1404. Нехай друга машина наздожене першу через x год, тоді перша буде в дорозі ( x + 1, 5 ) год і проїде ( x + 1, 5 ) ⋅ 48 км. Швидкість другої 48 ⋅11 машини = 66 км/год і проїде вона 66x км. 8 Отримуємо рівняння: 66x = ( x + 1, 5 ) ⋅ 48 ; 66x − 48x = 72 ; 18x = 72 ; x = 4 ; 66 ⋅ 4 = 264 км. 1405. Нехай швидкість вантажної машини x км/год, тоді швидкість легкової ( x + 34 ) км/год. За 3 години легкова проїхала 3 ( x + 34 ) км, а за 5 годин вантажна 5x км, що на 10 км менше. Отримуємо рівняння: 3 ( x + 34 ) = 5x + 10 3x + 102 = 5x + 10 3x − 5x = 10 − 102 −2x = −92 x = 46 . Швидкість вантажної машини 46 км/год, а легкової 80 км/год. 417

МАТЕМАТИКА

1406. x — відстань між пристанями. Швидкість теплохода за течією 18 + 2 = 20 км/год, проти течії 18 − 2 = 16 км/год. 45 ⋅160 x x 8x 10x 5 18x 45 = 40 км. + = 4, 5 ; + =4 ; = ; x= 10 ⋅18 20 16 160 160 10 160 10 1407. Нехай коефіцієнт пропорційності x, тоді у перший магазин завезли 3x кг апельсинів, у другий 5x кг, а у третій (5x + 5x ⋅ 0, 12 ) = 5x + 0, 6x кг. Всього завезли 680 кг. 3x + 5x + 5, 6x = 680 13, 6x = 680 x = 50 I магазин завезли 150 кг; II магазин — 250 кг; III магазин — 280 кг.

1408. Нехай хлопчики повинні були розв’язати по x задач. Михайлик розв’язав ( x + 0, 08x ) задач або 1, 08x , а Віталик x − 0, 18x = 0, 82x задач. Разом вони розв’язали 285 задач. 1, 08x + 0, 82x = 285 1, 9x = 285 x = 150 .

ld z

1409. Нехай Робін Гуд влучив х разів, тоді промахнувся він ( 20 − x ) разів. За влучення він отримав 15x очок, а за промахи 7 ( 20 − x ) очок. Всього Робін Гуд набрав 234 очки. 15x − 7 ( 20 − x ) = 234 ; 15x − 140 + 7x = 234 ; 22x = 234 + 140 ; 22x = 374 ; x = 17 .

1410. Нехай Оленка і Петрик задумали число х. У Оленки вийшло число ( 4x + 3) , а у Петрика 3 ( x + 4 ) , ці числа теж стали рівними: 4x + 3 = 3 ( x + 4 ) 4x + 3 = 3x + 12 4x − 3x = 12 − 3 x=9 .

1 1 1411. Нехай булочка з повидлом коштує x коп, тоді її ціни — x. 3 3 1 Булочка коштує 72 + x копійки: 3 1 2 72 ⋅ 3 1 72 + x = x ; ; x = 108 . x − x = −72 ; − x = −72 ; x = 3 3 2 3 Відповідь: 108 коп або 1 грн 8 коп.

1412. Нехай до чисельника і знаменника дробу додали x і отримали дріб 18 + x 5 або 23 + x 6 18 + x 5 = ; (18 + x ) ⋅ 6 = ( 23 + x ) ⋅ 5 ; 108 + 6x = 115 + 5x ; 23 + x 6

418

6x − 5x = 115 − 108 ; x = 7 .

Нехай в бригаді було x кроликів. Якби вони взяли по 6 качанів, то качанів було б 6x + 5 , а якби взяли по 7 качанів, то — (7x − 5 ) . Отримуємо рівняння: 6x + 5 = 7x − 5 6x − 7x = −5 − 5 −x = −10 x = 10 . Кроликів у бригаді було 10, а качанів 6 ⋅10 + 5 = 65 .

ld z

1415.

1414. Нехай гусей було x, тоді кіз 45 − x . У кожного гусака 2 ноги, тоді у всіх гусей 2x ноги. У кожної кози 4 ноги, тоді у всіх кіз 4 ( 45 − x ) ніг. Разом у них було 130 ніг. 2x + ( 45 − x ) ⋅ 4 = 130 2x + 180 − 4x = 130 −2x = 130 − 180 −2x = −50 x = 25 . У Івасика-Телесика було 25 гусей і 20 кіз.

МАТЕМАТИКА

1413. Нехай одне число x, а друге x + 28 . 60 % меншого числа 0, 6x , а 25 % більшого ( x + 28 ) ⋅ 0, 25 . 0, 6x = ( x + 28 ) ⋅ 0, 25 0, 6x − 0, 25x = 7 0, 35x = 7 x = 7 : 0, 35 x = 20 . Менше число 20; більше число 48.

1416. Нехай на перший вклад Буратіно вніс x сольдо, тоді на другий ( 2000 − x ) сольдо. З першого вкладу він отримав 0, 06x сольдо річних, а з другого 0, 09 ( 2000 − x ) сольдо річних. З двох вкладів він отримав 144 сольдо прибутку. Отримуємо рівняння: 0, 06x + ( 2000 − x ) ⋅ 0, 09 = 144 0, 06x + 180 − 0, 09x = 144 −0, 03x = 144 − 180 −0, 03x = −36 x = −36 : ( −0, 03 ) x = 1200 . Під 6 % Буратіно поклав 1200 сольдо, а під 9 % — 800 сольдо. 1417. Нехай у другому бідоні було x літрів молока, тоді в першому 4x літрів молока. Коли з першого бідона перелили 20 л в другий, то в ньому стало ( x + 20 ) л, а в першому ( 4x − 20 ) л. Кількість молока 7 в другому бідоні складає від кількості молока в першому бідоні. 8 Отримуємо рівняння:

( 4x − 20 ) ⋅

7 4 ⋅7 20 ⋅ 7 = x + 20 ; ⋅x − = 20 + x ; 3, 5x − x = 20 + 17, 5 % 8 8 8

2, 5x = 37, 5 ; x = 15 . У першому бідоні було 60 л молока, а в другому 15 л.

419

МАТЕМАТИКА

1418. Нехай в бідоні було x л молока. За першу годину фермер продав 5 ⎛5 ⎞ x л молока. Якби він продав ще 20 л то це було б ⎜ x + 20 ⎟ л, ⎝9 ⎠ 9 5 x л молока. що складало б 6 Отримуємо рівняння: 15 5 5 5 5 30 45 x = −20 ; x + 20 = x ; x − x = −20 ; x− x = −20 ; − 54 9 6 9 6 54 54 20 ⋅ 54 x= ; x = 72 . 15 ⎛1 ⎞ 1419. Нехай на полиці стояло x книжок, спочатку взяли ⎜ x − 2⎟ книжки ⎝3 ⎠ ⎛1 ⎞ 2 і на полиці залишилося x − ⎜ x − 2⎟ = x + 2 книжки. Потім взяли ⎝3 ⎠ 3 ⎛2 ⎞ 1 ⎜⎝ 3 x + 2⎟⎠ ⋅ 2 книжок і на полиці залишилося 9 книжок.

Отримуємо рівняння: 1 1 ⎛2 ⎞ 1 ⎜⎝ 3 x + 2⎟⎠ ⋅ 2 = 9 ; 3 x + 1 = 9 ; 3 x = 8 ; x = 24 (книжки).

ld z

1420. Нехай відстань між містами x км, перший велосипедист проїхав ⎛4 ⎞ ⎛4 ⎞ 1 ⎜⎝ 9 x + 12⎟⎠ км, а другий ⎜⎝ 9 x + 12⎟⎠ ⋅ 2 км. Велосипедисти зустрілися. Отримуємо рівняння: 4 4 2 6 ⎛4 ⎞ 1 x + 12 + ⎜ x + 12⎟ ⋅ = x ; x + 12 + x + 6 = x ; x − x = −18 ; ⎝9 ⎠ 2 9 9 9 9 3 18 ⋅ 9 − x = −18 ; x = ; x = 54 (км). 9 3 1421. Кожен хлопець дав свою адресу 11 іншим хлопцям, отже, було роздано 11 ⋅12 = 132 адреси.

1422. I учасник з дванадцяти зіграє 11 партій, тоді іншим залишиться зіграти: другому — 10 партій; третьому — 9 партій; четвертому — 8 партій; п’ятому — 7 партій; шостому — 6 партій; сьомому — 5 партій; восьмому — 4 партії; дев’ятому — 3 партії; десятому — 2 партії; одинадцятому — 1 партію; дванадцятому — 0 партій. 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 . Відповідь: 66 партій.

1423. По горизонталі: 3) степінь; 4) корінь; 5) модуль; 8) пропорція; 11) перпендикулярні; 12) мінус; 14) центр; 16) два; 17) кратне; 18) площа. По вертикалі: 1) діаметр; 2) ділення; 4) коло; 6) координатна; 7) паралельні; 9) ордината; 10) куб; 13) сектор; 15) різниця; 16) доданок. 420