Calcolodifferenziale
1INTRODUZIONEALCALCOLODIFFERENZIALE
Inquestaintroduzionepresentiamoalcuni problemi dacuiilcalcolodifferenziale`enato echecostituisconoalcunedellemotivazioniperstudiarlo.Porremoquestiproblemi sottoformadidomande,acuinonrisponderemosubito,manelseguitodelcapitolo. Comesivedr`a,larispostacoinvolgelanozionedi limite ,discussanelcapitolo2.Anzi, sipu`odirechestoricamentelanozionedilimitesiastataintrodottaprincipalmente persviluppareleideedelcalcolodifferenziale,cheintrodurremoinquestocapitolo,e delcalcolointegrale,dicuicioccuperemonelcapitolo4.
Checos’`elarettatangenteinunpuntoaunacurva?
Anchesegeometricamenteilconcettosembraintuitivo,non`ecos`ıovvioqualepossa essereunadefinizionecorretta.Consideriamolapi`usemplicefiguracurvilinea,ossiala circonferenza.Checos’`elatangenteaunacirconferenzainunsuopunto P ?Inbase allageometriaelementarepossiamorispondere:
1. ` Elarettapassanteper P eperpendicolarealraggiopassanteper P ; oppure:
2. ` El’unicarettapassanteper P chenonintersecalacirconferenzainaltripunti.
Questedefinizionisipossonoestendereacurvepi`ugenerali?Ladefinizione1certamente no:checos’`eilraggiodiunaparabola,adesempio?Ladefinizione2sembrapi` u incoraggianteperch´e“funziona”ancheperleconiche(parabole,ellissi,iperboli).Ma gi`aperlacurva y = x3 nonfunziona:larettatangenteaquestacurvainunpunto generico(esclusol’origine)taglialacurvaancheinunaltropunto(figura3.1a); viceversacisonocurve,come y = |x| cheinunpunto(l’origine)hannoinfiniterette soddisfacentiquestadefinizione,maintuitivamentenessunadiessesipu`ochiamare tangente(figura3.1b).
Ciaccorgiamodunquediparlarecomunementediunoggettogeometrico(“retta tangente”)dicuinonsappiamo(ancora)dareunadefinizioneprecisaegenerale.
Figura3.1
(a)Laretta tangente allacurva y = x3 nelpunto (1, 1) `e y =3x 2,che taglialacurva anchein ( 2, 8); (b)lafunzione y = |x| hainfiniteretteche taglianoilsuo graficosolo nell’origine: nessunadiesse ` e“tangente”.
x y (–2,
(1, 1) 0 x y 0
–8)
a) b)
Figura3.2 Rettetangenti aunacurva neisuoipunti dimassimo eminimo.
Inrealt`anonc’`esperanzadidefinirelatangentecomelarettacheha“menointersezioni dellealtre”conlacurva.Civuoleun’ideadiversa.Geometricamente,larettatangente pu`oessereapprossimatadallarettachepassaperduepuntimoltovicinipostisulla curva,ilprimofissato(ilpuntoditangenza)el’altro“mobile”(esceltoviaviapi` u vicinoalpuntoditangenza).Duepuntiindividuanounaretta;pi`uiduepuntisi avvicinano,pi`uquestarettasiavviciner`aallatangente;seper`opartissimosubitodal considerare“duepunticoincidenti”,avremmounsolopunto,perilqualepassano infiniterette,elarettachecerchiamoresterebbeindeterminata.Sitrattaquindidi capirecosaaccadedellarettaperiduepuntiquandoilsecondopunto,mobile,si avvicinasemprepi`ualprimo,senzaper`ocoincidereconesso.La“rettalimite”–se esiste–sichiamer`arettatangente.
Unpuntoistruttivodiquestadiscussione`eilseguente:senzailcalcoloinfinitesimale (inparticolare,senzailconcettodilimite)nonsipotrebbenonsolo risolvere certi problemi,maneppure darsenso adessi(adesempio,definirerigorosamenteilconcetto direttatangente).
Dallarettatangenteaiproblemidimassimoeminimo
Notiamocheilproblemadelladeterminazionedellatangente`eimportantenonsolo daunpuntodivistageometrico,maancheperun’importanteapplicazione:`efacile convincersi(vedi figura3.2)cheunacurvailcuigraficosia“regolare”hatangente orizzontaleneipuntidimassimoediminimo(edeventualmenteancheinaltripunti).
Perci`o,percercareipuntidimassimoeminimodiunafunzione,`eutilesaperscrivere analiticamentel’equazionedellarettatangenteallacurvainunpuntogenerico,per vederepoiinqualipuntiessa`eorizzontale.QuestaideasideveperprimoaFermat, chelaelabor`ointornoal1630.Ilcalcolodifferenziale,comevedremo,offreunmetodo generaleperimpostareerisolverei problemidimassimoominimo nellescienze applicate.Nedaremoqualcheesempionelparagrafo5.3.
Checos’`elavelocit`adiunoggettoinmoto?
Questo`eunaltroconcettochesembraovviomanonlo`e.Consideriamounpunto materialechesimuovedimotovario,eproponiamocidicalcolarelasuavelocit`a,nota laleggeorariadelmoto(ossialospaziopercorsoinfunzionedeltempo).Nellafisica galileianal’unicavelocit`adicuisiparlaesplicitamente`ela velocit`amedia ,ossiail rapportotralospaziopercorsoinuncertointervalloditempoel’intervalloditempo stesso;questoconcetto`esufficienteperdescrivereilmotouniforme.Mainfenomeni comelacadutadiungrave,oleoscillazionidiunpendolo,l’oggettocambiavelocit`aa ogniistante.Checos’`elavelocit`aistantanea?Intuitivamente,`elavelocit`amediain unintervalloditempobrevissimo.Macomesipu`odefinirerigorosamente?Ecome sicalcolaeffettivamente?Sinotichelaparola“brevissimo”nonhaalcunsignificato
124 Capitolo3.Calcolodifferenziale © 978-88-08-32070-4
x y 0
rigoroso,inmatematica!Quellochesipu`opensaredifare`ecalcolarelavelocit` a mediainunintervalloditempo variabile Δt,ossiailrapportotralospaziopercorso nell’intervalloditempoΔt el’intervalloΔt stesso,ecercaredicapireaqualevaloresi avvicinaquestaquantit`aquandoΔt diventasemprepi`upiccolo(madiversodazero: seΔt =0ilprocedimentoperdesignificato,dandociunrapporto0/0).L’introduzione consapevolediquestanozionedivelocit`aistantaneasideveaNewton(inizio1700), ed`eunodeglielementidinovit`aassolutadellafisicanewtonianarispettoaquella galileianaepregalileiana.PerNewton,comepernoi,lavelocit`a`ela derivatarispetto altempo dellafunzione s (t) =“spaziopercorsoneltempo t”,ovveroillimiteacui tendeilrapportotralospazioΔs percorsoinunintervalloditempoΔt el’intervallo Δt,quandoΔt diventasemprepi`upiccolo.
Dallavelocit`adiunoggettoaltassoistantaneodivariazione
Ilconcettodivelocit`aistantaneahaunsignificatomoltopi`uampiodiquelloriferito aglioggettiinmovimento:di qualsiasi grandezzavariabileneltempo(latemperaturadiunoggetto,lanumerosit`adiunapopolazione,...)possiamochiederciquale sialasuavelocit`aistantaneadivariazioneo,comespessosidiceinquesticasi,il suo tassoistantaneodivariazione.D’altrocanto,ilcontenutodimolteleggifisiche consisteproprioneldescrivereiltassoistantaneodivariazionedicertegrandezze. Comprendiamoalloracomeil calcolodifferenziale (ovverolostudiodellanozionedi derivata),che`epartedelcalcoloinfinitesimale,siainscindibilmentelegatoallascienza moderna.
2DERIVATADIUNAFUNZIONE
2.1Derivataerettatangente
Riprendiamooradaunpuntodivistaquantitativoladiscussionefattanelparagrafo precedentesulconcettodirettatangente;arriveremocos`ıalladefinizionedi derivata Cartellistradalideltipomostratoin figura3.3.
10%
indicanola“pendenzamedia”delpercorso.Nelcasoindicatolapendenzamedia`edel 10%.Checosavuoldire?Significacheadogniavanzamentodi1km(inorizzontale) corrispondeuninnalzamento(ounabbassamento)dicirca100m=0,1km(figura3.4).
Figura3.3 Cartellostradale cheindica lapendenza dellastrada.
Figura3.4 Pendenzamedia del10%: muovendosi dalpunto A alpunto B siavanza inorizzontale di1km einverticale di100m.
© 978-88-08-32070-4 2Derivatadiunafunzione 125
x y A O B C 1 km 100 m
Il10%cheindicalapendenza`eilrapporto
variazionequota spostamentoinorizzontale ,
Se f ` ederivabilein x0 ,certamenteladerivatadestraesinistradi f in x0 esistono entrambeesonouguali.Nelcasoinveceincui f siacontinuaederivabile dadestrae
dasinistra (manonderivabile)in x0 sidiceche f haun puntoangolosoin x = x0 .
Dunque, |x| haunpuntoangolosoin x =0.
Valelapenaricordarelaformulacheesprimesinteticamenteladerivatadella funzionevaloreassoluto(fuoridall’origine): |x| =sgn(x)= 1per x> 0 1per x< 0
Se f ` econtinuainunpunto x0 e
Puntiatangente verticale.Cuspidi lim h→0 f (x0 + h) f (x0 ) h =+∞ oppure −∞
f non`ederivabilein x0 ma,geometricamente,ilgraficodi f haunarettatangente bendefinitaeparallelaall’assedelleordinate.Ammetteremointalcasolascrittura f (x0 )=+∞, f (x0 )= −∞ eparleremodi flessoatangenteverticale (figura3.10). Ilconcettodiflessosar`adefinitopi`uingeneralenelparagrafo6.1.
Figura3.10
Esempidifunzioni conunpuntodi flessoatangente verticalein x0
Consideriamooralafunzione f (x)= 3 |x|,ilcuigrafico`eriportatoin figura3.11 Inquestocasosiha f+ (0)=+∞, f (0)= −∞,esidicechein x =0 f hauna cuspide x y 0
Figura3.11
Adesempio,lafunzione f (x)= 3 √x haunpuntoflessoatangenteverticalein x =0.
Graficodi f (x)= 3 |x| DEFINIZIONE 3.3 Se f ` econtinuain x0 e f+ (x0 )= ±∞, f (x0 )= ∓∞ sidiceche f hain x0 una cuspide
Nelcasomistoincui f ` econtinua,unadelleduederivate`efinitael’altrainfinita,si parlaancoradipuntoangoloso.
Infine,selafunzione`edefinitasoloper x ≥ x0 eintalpuntohaderivata(destra) infinita,diremosemplicementecheintalpunto hatangenteverticale,senzaparlaren´ e dicuspiden´ediflesso.Adesempio,lafunzione √x haunpuntoatangenteverticale in x =0.
3REGOLEDICALCOLODELLEDERIVATE
Esaminiamooralarelazionetral’operazionediderivataeleprincipalioperazioni gi`anotesullefunzioni;inparticolareinquestapartemostreremolarelazionetra derivazioneeoperazionialgebriche(±, ·,/)etraderivazioneecomposizione,mentre nelparagrafo4tratteremolarelazionetraderivazioneeinversione,oltreadimostrare alcunedelleformulechequicilimitiamoaenunciare.
132 Capitolo3.Calcolodifferenziale © 978-88-08-32070-4
x x0
(x
= +∞ O x x0 y f (x0) = – ∞ O
y f
0)
3.1Algebradellederivate
TEOREMA 3.2 Siano f,g :(a,b) → R,derivabiliin (a,b);allora f ± g , f g , f/g (g =0) sonoderivabiliin (a,b) evalgonoleseguentiformule
(f ± g ) = f ± g (3.2)
(f g ) = f g + f g (3.3)
f g = f · g f · g g 2 (3.4)
Inparticolare,dalla (3.3) sideduce
(k · f ) = k · f k costante(3.5)
essendoladerivatadiunacostanteugualeazero,edalla (3.4) sideduce,per f =1, 1 g = g g 2 (3.6)
La(3.3)sidice regoladiLeibnitz esiestendealprodottodi n fattori:
(f1 f2 fn ) = f1 f2 fn + f1 f2 fn + ... + f1 f2 fn .
Comesivedr`adalladimostrazione,ilteoremahainrealt`auncarattere puntuale,ossia: se f e g sonoderivabiliinunpunto x0 ∈ (a,b) , allorainquelpuntosonoderivabili anche f + g,f g,..., evalgonoleformulescritte.Solitamentecomunqueilteorema siapplicanellaformaincuil’abbiamoenunciato(cio`einsituazioniincui f e g sono derivabiliintuttiipuntidiunintervallo).
3.2
Rimandiamoladimostrazionedelteoremaprecedentealparagrafo3.4.
Calcoliamolavelocit`adiunoggettoinmotorettilineoconleggeorariadatada
s(t)= v0 t + 1 2 gt2 .
Laderivatadellafunzione v0 t `e v0 mentrequelladi 1 2 gt2 `e 1 2 g 2t = gt (usando2volte la(3.5)).Usandoorala(3.5)sitrova
v (t)= s (t)= v0 + gt.
3.3
Calcoliamolavelocit`adivariazionedelvolumediunasferarispettoalraggio.
Essendo V (r )= 4 3 πr 3,lavelocit`arichiesta`e(regola(3.5))
V (r )= 4 3 π (3r 2 )=4πr 2
ossia:laderivata,rispettoalraggio,delvolumedellasfera,`epariallasuperficiedellasferadi raggio r .Illettorecerchididarsiunaspiegazionegeometricadelrisultatoottenuto,inbase alladefinizionediderivata.
3.4
Siha
Calcoliamoladerivatadiunafunzionerazionale,adesempio,
f (x)= x 3 2x +1 x2
f
(
ESEMPI
© 978-88-08-32070-4 3Regoledicalcolodellederivate 133
4
2x +1 x
x 2 4 x 3 2x +1
(x)= x 3
2 4
2
3x 2 2 x 2 4 2x x 3 2x +1
(x2 4)
=
x2
2
x 4 10x 2 2x +8
x2
2
4)
=
(
4)
3.2Derivatadiunafunzionecomposta
TEOREMA 3.3(REGOLADELLACATENA) Sia g ◦ f lafunzionecompostadidue funzioni f e g .Se f ` ederivabileinunpunto x e g ` ederivabilein y = f (x) allora g ◦ f ` ederivabilein x evalelaformula:
(g ◦ f ) (x)= g (f (x)) · f (x) (3.7)
Ilprossimoargomento,anchesenondeltuttorigoroso,contienel’ideadelperch´ela formulaprecedente`evera.Scriviamoilrapportoincrementaledellafunzionecomposta moltiplicandoedividendoperlastessaquantit` a f (x + h) f (x):
(g ◦ f )(x + h) (g ◦ f )(x) h = g (f (x + h)) g (f (x)) f (x + h) f (x) f (x + h) f (x) h
Ponendo k = f (x + h) f (x) sihaquindi f (x + h) = f (x) + k el’identit`aprecedente siriscrivecos`ı:
(g ◦ f )(x + h) (g ◦ f )(x) h = g (f (x)+ k ) g (f (x)) k · f (x + h) f (x) h (3.8)
Per h → 0siha
f (x + h) f (x) h → f (x) (3.9)
Inoltre,poich´ e f ` econtinuainquantoderivabile, k = f (x + h) f (x) → 0per h → 0 eperci` o
g (f (x)+ k ) g (f (x))
k → g (f (x)) (3.10)
Combinando(3.8),(3.9),(3.10)sihalatesi.Ilproblemadell’argomentazioneprecedente`echelaquantit` a k = f (x + h) f (x) percuiabbiamodivisoemoltiplicato potrebbeannullarsiancheperqualche h =0.Questadimostrazionequindi`evalida solosottol’ipotesiaggiuntiva(moltospessoverificata)chesia f (x + h) f (x) =0 definitivamenteper h → 0.Unadimostrazionediquestoteoremadivalidit`agenerale sar`adatanelparagrafo4.
La(3.7)sichiama regoladellacatena ;usandolenotazioni(diLeibniz) df/dx e dg/dx perlederivatedi f e g eposto w = g (y ),la(3.7)acquistaunaformapi` u significativa:
dw
dx = dw dy · dy dx (comese dy sisemplificasse) (3.11)
La(3.11)esprimeilfattocheiltassodivariazionedi w rispettoa x ` eilprodottodei tassidivariazione“intermedi”,di w rispettoa y edi y rispettoa x.
Comesuggerisceilnomedi“regoladellacatena”,la(3.11)pu`oesseregeneralizzata allacomposizionediunnumeroqualsiasidifunzioni,composteunaconl’altra.Ad esempiopertrefunzionisiha
[f (g (h(x)))] = f (g (h(x))) g (h(x)) h (x).
Perusarequestaregola,insiemeallealtredell’algebradellederivate,occorreimpararea vedere unafunzionecomplicatacomecomposizionesuccessivadifunzionipi`usemplici. Perindividuarelecomponentipu`oessereutileimmaginarecomesicalcolalafunzione compostamedianteunacalcolatrice.
ESEMPI 3.5 Sivogliaderivare
w (x)= 1+ x2
Percalcolarla,occorreinserireilvaloredi x,calcolare1+ x 2 epoiprenderelaradicequadrata delrisultato:
134 Capitolo3.Calcolodifferenziale © 978-88-08-32070-4
x 1+( )2 −→ 1+ x 2 √( ) −→ 1+ x2
Posto
f (x)=1+ x 2 ,g (y )= √y, sihaallora w (x)= g (f (x)).Pertanto:
Usandola(3.11)siscriverebbe y =1+ x 2 , w = √y equindi dw
3.6 Derivatadelcambiamentodiscala Uncasoparticolarediderivazionedellafunzione compostachesipresentamoltospesso`eladerivatadiunafunzione
f (ax + b), chesipu`ointerpretarecomelafunzione f applicataaduncambiodiscalasullavariabile x Applicandolaregoladiderivazionedellafunzionecompostainquestocasosihasemplicemente
d dx [f (ax + b)]= af (ax + b)
(poich´ e d dx (ax + b)= a),unaformulachesiusamoltofrequentemente.Adesempio,
√5x +3 = 5 2√5x +3 perch´ e √x = 1 2√x
3.7 Valoreassolutodiunafunzione Consideriamounafunzionedeltipo
|f (x)|
Sappiamocheilvaloreassolutonon`ederivabilel`adoveilsuoargomentosiannulla.Tuttavia, neipuntiincui f (x) =0,laderivazionedellafunzionecompostad`a:
|f (x)| = f (x) sgn(f (x))= f (x)se f (x) > 0 f (x)se f (x) < 0.
Ingenerale,ciaspettiamochelafunzione |f (x)| abbiadeipuntiangolosineipuntiincui f (x)=0.Adesempio, x 2 1 hapuntiangolosiin x = ±1.
3.8 Derivatadialcunefunzionilogaritmiche Prendendoperbuonaperoralaregola diderivazionedellafunzione log x enunciatanelparagrafo2.3echedimostreremonel paragrafo3.4,osserviamocomesiderivanoalcunefunzionicomposteditipologaritmico. Anzitutto,perderivazionedellafunzionecomposta,siha
(log |x|) = 1 |x| sgn(x)= 1 x (senzamodulo!).
Siosserviancheilseguentecalcolo:
(ossia,talvoltaconvieneusarelepropriet`adeilogaritmipertrasformareunafunzione logaritmica prima dicalcolarneladerivata).
© 978-88-08-32070-4 3Regoledicalcolodellederivate 135
1 2√1+ x2 2x = x √1+ x2
w (x)=
dx
dw dy dy dx
1 2√y 2x = 1 2√1+ x2 2x.
=
=
cx + d
log ax + b cx + d =(log(ax + b) log(cx + d)) = a ax + b c
3.9
Derivatalogaritmica Comevedremoinseguito,`espessoutilecalcolareladerivata diunafunzionecompostadeltipo
g (x)=log f (x) .
Dalteoremadiderivazionedellafunzionecompostaelaregoladiderivazionedellogaritmosi hasubito:
(log f (x)) = f (x) f (x)
Laderivatadi log f (x) sichiamaanche derivatalogaritmica di f (x).Perquantoosservato sulladerivatadilog |x| sihaanche
(log |f (x)|) = f (x) f (x) , senzavaloreassoluto asecondomembro.
3.10
Derivatedifunzioni f (x)g (x) Possiamooracalcolareancheladerivatadiuna qualsiasifunzione f (x)g (x) con f (x) > 0,utilizzandoilseguente“trucco”diusocomune: riscrivere f (x)g (x) nellaformaseguente:
f (x)g (x) = eg (x)log f (x) .
Si`esfruttataladefinizionedilogaritmo elog A = A elapropriet`adeilogaritmi log [f (x)g (x) ]= g (x) log f (x).Aquestomodo,sfruttandoladerivatalogaritmica,sipu`ocalcolareladerivata diunafunzionediquestotipo:
f (x)g (x) = eg (x)log f (x) = eg (x)log f (x) [g (x)log f (x)]
= f (x)g (x) g (x)log f (x)+ g (x) f (x) f (x)
Adesempio, (x x ) = e x log x = e x log x · (x log x) = x x · (log x +1)
3.3Derivatadiunafunzioneinversa
Ilprossimoteoremaciconsentir`a,tral’altro,didimostrareleformulediderivazione dellogaritmoedellefunzionitrigonometricheinverse,cheabbiamoenunciatonel paragrafo2.3.
TEOREMA 3.4 Sia f :(a,b) → R continuaeinvertibilein (a,b) e g = f 1 lasua inversa,definitain f ((a,b)).Supponiamoinoltrecheesista f (x0 ) =0 peruncerto x0 ∈ (a,b).Allora g ` ederivabilein y0 = f (x0 ) e
g (y0 )= 1 f (x0 ) (3.12)
Osserviamoche,assumendoladerivabilit`adi f 1 ,la(3.12)seguesubitodall’identit` a g (f (x))= x edallaregoladellacatena:
g (f (x)) · f (x)=1
dacui,se f (x) =0,la(3.12).Ladimostrazionecheabbiamodato,tuttavia,`enecessaria per dedurre laderivabilit`adi g dallenostreipotesisu f
La(3.12)haunsemplicesignificatogeometrico,ricordandocheigraficidi f e g = f 1 sonosimmetricirispettoallabisettrice y = x (sivedala figura3.12).
ConlanotazionediLeibniz,posto y = f (x), x = g (y ),(3.12)siscrivenellaforma
dx
dy = 1 dy dx (comese dx dy fosseunquozientealgebrico!)
Sifacciaattenzionealfattochenellaformuladiderivazionedellafunzioneinversa,le derivate f e g sonocalcolatein duepuntidiversi :`equestalaprincipaleattenzione daaverenell’applicazionediquestoteorema,comemostrerannoiprossimiesempi.
136 Capitolo3.Calcolodifferenziale © 978-88-08-32070-4
3.11
Derivatadellogaritmo Prendendomomentaneamenteperbuoneleregoledicalcolo dellefunzioniesponenzialienunciatenelparagrafo2.3(esucuitorneremonelparagrafo3.4), mostriamocomedaquestesipossanodedurre,medianteilteoremaprecedente,lederivate dellefunzionilogaritmiche.
Sappiamoche x =log a y ` elafunzioneinversadi y = a x ,perci`o:
(log a y ) = 1 (ax ) = 1 ax log a = 1 y log a
Tornandoaindicarelavariabileindipendentecon x possiamoscriverelaformulaottenuta nellaformapi`uconsueta
(log a x) = 1 x log a
einparticolare,per a = e,
(log x) = 1 x
3.12 Derivatadellefunzionitrigonometricheinverse Prendendoperbuoneleregoledi calcolodellederivatedellefunzioniseno,cosenoetangenteenunciatenelparagrafo2.3,che dimostreremonelparagrafo4.2,mostriamocomedaquestesipossanodedurre,medianteil teoremaprecedente,lederivatedellecorrispondentifunzioniinversearcoseno,arcocoseno, arcotangente.
Poniamo y =tg x, x =arctg y con x ∈ ( π/2,π/2), y ∈ R
dx
dy = 1 dy
dx = 1 1+(tg x)2 = 1 1+ y 2
Poniamoora y = sin x, x = arcsin y ,con x ∈ [ π/2,π/2], y ∈ [ 1, 1].Poich´eperqueivalori di x sihacos x = 1 (sin x)2 = 1 y 2 :
dx
dy = 1 cos x = 1 1 y 2 .
Analogamente,se y =cos x, x =arccos y con x ∈ [0,π ], y ∈ [ 1, 1],
dx
dy = 1 sin x = 1 1 y 2 .
Siosservichelefunzioni arcsin x, arccos x,puressendodefiniteecontinuein [ 1, 1], nonsonoderivabiliagliestremidell’intervallo:precisamente,inquestipuntihanno rettatangenteverticale(perci`oladerivata`einfinita).
L’utilit`adelteoremadiderivazionedellafunzioneinversaconsistenelfattochepermette dicalcolareladerivatadi g ancheinsituazioniincui g nonsisascrivereesplicitamente:
Figura3.12
Gliangoli α e β sonocomplementari (α + β = π/2) equindi
f (x)=tg α = tg π 2 β = 1/(tg β )= 1/(g (y ))
© 978-88-08-32070-4 3Regoledicalcolodellederivate 137
x O y
f(x) y = x g = f – 1 f
=
ESEMPI
ESEMPIO 3.13 Sia f (x)= x + e x .Lafunzione`estrettamentecrescenteintutto R,perch´esomma diduefunzionistrettamentecrescenti.Perci`o`einvertibile(capitolo2,teorema2.4);sia g la suainversa.Calcoliamo,adesempio, g (y0 )per y0 = f (0)=1.Siha
f (x)=1+ e x ; f (0)=2 =0; g (1)= 1 f (0) = 1 2
Sinotichegraziealteoremadiderivazionedellafunzioneinversaabbiamosaputocalcolare g (1)inunasituazioneincuinonconosciamol’espressioneanaliticadi g (x).
3.4Dimostrazionidialcuneformuledicalcolodellederivate
Proveremooraalcunedelleformuledicalcolodellederivateenunciateneiparagrafi 3.1,3.2e3.3.
Dimostrazione. Proviamolaregolaperladerivatadiuna potenzaaesponente intero Derivatadi xn positivo qualsiasi.Unadimostrazionedell’analogaregolaperesponenterealequalsiasi sar`adatanelparagrafo4.2.
Per f (x)= xn siha
f (x + h) f (x) h = (x + h)n xn h .
utilizzandolaformulaperlosviluppodelbinomiodiNewton(capitolo1,paragrafo 6.4),
f (x + h) f (x) h = xn + nxn 1 h + n(n 1) 2 xn 2 h2 + + hn xn h = nxn 1 h + n(n 1) 2 xn 2 h2 + + hn
h
= nxn 1 + n (n 1) 2 xn 2 h + + hn 1 → nxn 1
per h → 0, che`elaregola6dellatabella3.1per α = n interopositivo.
Dimostrazione. Lasciamoperesercizioladimostrazionedella(3.2),moltosemplice. Algebradelle derivate
Dimostriamola(3.3):fissato x ∈ (a,b),possiamoscrivere
f (x + h)g (x + h) f (x)g (x)= f (x + h)g (x + h) f (x + h)g (x)+ f (x + h)g (x) f (x)g (x)
equindi
f (x + h)g (x + h) f (x)g (x) h
= f (x + h) g (x + h) g (x) h + g (x) f (x + h) f (x) h → f (x)g (x)+ g (x)f (x)
poich´ e f (x + h) → f (x)quando h → 0,essendo f continuainquantoderivabile.
Proviamoorala(3.6):
1 h 1 g (x + h)
1 g (x) = g (x) g (x + h) hg (x) g (x + h) =
= g (x + h) g (x) h 1 g (x) g (x + h) →− g (x) g (x)2 ,
dovesi`esfruttatoancorailfattoche,essendoderivabile, g ` econtinua,perci` o g (x + h) → g (x)per h → 0
138 Capitolo3.Calcolodifferenziale © 978-88-08-32070-4
Notiamoinfinechedalle(3.6)e(3.3)sideduceanchela(3.4),infatti: f g = f · 1 g =perla(3.3)applicataa f e 1 g = f 1 g + f 1 g =perla(3.6)
= f · 1 g + f · g g 2 = f g fg g 2 ,cio`ela(3.4).
Dimostrazione. Siha(g ◦ f )(x + h) (g ◦ f )(x)= g (f (x + h)) g (f (x)). Derivatadiuna funzione composta Seponiamo
k = f (x + h) f (x),y = f (x), allora f (x + h)= y + k ,eperlacontinuit`adi f , h → 0implica k → 0.Conlenuove notazioni,
g (f (x + h)) g (f (x))= g (y + k ) g (y )
Osserviamooracheladefinizionediderivata
g (y )=lim k →0 g (y + k ) g (y ) k
sipu`oriscrivere,per k =0,
g (y + k ) g (y ) k = g (y )+ ε(k ), dove ε(k )indicaunaquantit`achetendeazeroper k → 0.Moltiplicandoamboi membridell’equazioneprecedenteper k sitrova
g (y + k ) g (y )= g (y ) k + ε(k ) k
relazionevalidaancheper k =0.Dunque:
g f (x + h) g f (x) = g (y ) k + ε(k ) k
Dividendoper h,eosservandoche k/h → f (x)siottienela(3.7).
Dimostrazione. Sia f (x0 )= y0 ; g (y0 )= x0 ;
f (x0 + h)= y0 + k ; g (y0 + k )= x0 + h
Consideriamoilrapportoincrementaledi g in y0 :
g (y0 + k ) g (y0 )
k = h f (x0 + h) f (x0 )
se k =0,f (x0 + h) f (x0 ) =0equindianche h =0;dunquel’ultimoquozientesi pu`oriscrivereanchenellaforma
1
f (x0 + h) f (x0 ) h
Inoltre,per k → 0siha g (y0 + k ) → g (y0 ) perch´ e g ` econtinua,essendol’inversadi unafunzionecontinuasuunintervallo(sivedailteorema2.5delcapitolo2);d’altro canto h = g (y0 + k ) g (y0 ) , quindiper k → 0anche h → 0, eperipotesi 1
f (x0 + h) f (x0 ) h → 1 f (x0 ) .
Quindi g ` ederivabilee
g (y0 )=lim k →0
g (y0 + k ) g (y0 )
k = 1 f (x0 )
Derivatadiuna funzioneinversa
© 978-88-08-32070-4 3Regoledicalcolodellederivate 139
Figura3.13 Rappresentazione graficadella disuguaglianza sin x<x< tg x
4LEFUNZIONITRASCENDENTIELEMENTARI:DERIVATEELIMITI NOTEVOLI
Traleregolediderivazionedellefunzionielementaricheabbiamoenunciatonelparagrafo2.3,finoranonabbiamodimostratoquellecheriguardanolefunzioniesponenziali, trigonometriche,elepotenzeaesponenterealequalsiasi.Lofaremoinquestoparagrafo. Vedremochequestodaunaparterichieder`aalcunirisultati“fini”sulcalcolodei limiti,chefinoranonavevamoincontrato,d’altrocantometter`ainlucecertepropriet` a importantidellefunzioniesponenzialietrigonometriche,chenegiustificanolapresenza inmoltimodellifisici.
4.1Limitinotevoli
Presentiamoquialcunirisultati,importantienonbanali,cheriguardanoilimitidelle funzionitrigonometricheedesponenziali,insiemeadalcuneloroconseguenze.Questi servirannoadimostrareleformuledicalcolodellederivatediquestefunzioni,ma costituisconoanchestrumentiutilialcalcolodilimitipi`ucomplessidiquelliincontrati nelcapitolo2.
Limitinotevolidisenoecoseno
Ilprossimoteoremaraccogliealcunirisultatiimportantisuilimitidellefunzioni trigonometriche:
TEOREMA 3.5(LIMITINOTEVOLITRIGONOMETRICI) Valgonoiseguentilimiti: lim
Siosservichetuttietreilimitidannounaformadiindeterminazionedeltipo 0 0 , chenon`epossibilerisolvereconsemplicipassaggialgebrici.Questofatto`eci`oche rendequestilimiti“notevoli”.
Dimostrazione. Osserviamosubitoche,essendo sin x e x funzionidispari, sin x/x `e funzionepariequindi`esufficientecalcolarelim x→0+ sin x/x
Atalescopo,osservandola figura3.13 sivedechel’areadeltriangolo OPA ` eminoredi quelladelsettorecircolare OPA,asuavoltaminorediquelladeltriangolo OTA.Nesegue
140 Capitolo3.Calcolodifferenziale © 978-88-08-32070-4
x→0 sin x x =1(3.13)
x→0 1 cos x x2 = 1 2 (3.14) lim x→0 1 cos x x =0 (3.15)
lim
P H T O x A HP = sin x AT = tg x AP = x 1
1 2 1 sin x ≤ 1 2 1 x ≤ 1 2 1 tg x, ossia sin x<x<
x.
tg
ESERCIZI
Calcolodiderivate,puntidinonderivabilit` a
3.1 Scriverel’equazionedellarettatangenteal graficodi y = f (x) nelpunto (x0 ,f (x0 )).
f (x) x0 f (x) x0
(a)sin x π 3 (e)log x 1
(b)(x log |x|)3 1(f ) e x 2 log2
(c)3x 2 +2x +12(g ) a x 2
(d)cos(log x) eπ/2 (h) e−|x| 1
3.2 Utilizzandoladefinizionediderivata,determinareilcomportamentonell’originedelleseguentifunzioni(tangenteorizzontale,cuspide,flessoatangente verticale...):
y = x 1/3 ,y = x 4/3 ,y = x 2/3 ,
y = x 5/3 ,y = x 1/2 ,y = x 3/2
(Questoargomentopermettedicompletarelagiustificazionedelgraficodellefunzionipotenzaaesponenterazionaleoreale,cheabbiamodescrittonel paragrafo5.1delcapitolo2).
3.3 Sia f = f (t) unagrandezzafisicavariabile neltempo t.Perleseguentifunzioni f ,calcolarela velocit`aistantaneadivariazione v = v (t)
(a) a + be kt
c + de kt
(c) At sin(ωt)
(b) e αt (c1 cos(ωt)+ c2 sin(ωt))(d) Atekt
3.4 Sia x = x (t) laleggeorariadiunpuntoinmotosuunaretta.Neiseguenticasicalcolarevelocit` a v = v (t)eaccelerazione a = a (t)
(a) a t3 T +3bt2 + x0
(b) at2 1+ ωt
(c) gt2 √ωt + b (t> 0)
(d) bt 3 √t2 T 2
Leletterediverseda t indicanoparametricostanti.
3.5 Calcolareladerivatadelleseguentifunzioni f (x) (specificandoipuntiincuieventualmentenon esiste).Ognieventualeletteradiversada x vatrattata comeunparametro(costante).
(a) x 3 5x 2 +3x 4(g ) √x x 3 2x +1
(b) x 2 3x +1 x2 +1
(c) |x| x 2 +2x +3
(d) x x 2 1
(h) R2 x +3Rx2 + 2R4 x
(i) x √x2 + a2
(l ) x a √bx + c
(e) x +1 x2 2 (m) 3 √ax2 + bx + c
(f ) x√x2 3x +1
3.6 Inbasealleregoledicalcolodellederivatee alla tabella3.1 dellederivatedellefunzionielementari,calcolareladerivatadelleseguentifunzioni f (x) (specificandoipuntiincuieventualmentenonesiste). Ognieventualeletteradiversada x vatrattatacome unparametro(costante).
(a)3x 4 +5x + x 3/2 2x 3 (l ) x cos 1 x
(b) 2x 2 3x +1 x +5 (m) 2sin x 3cos x cos x +4
(c) e x x 2 4x +3 (n) xe |x 2 +2x|
(d) ax + b cx + d (o) x +2 x 1 x
(e) e 2x (cos3x 2sin3x)(p) e x 2 log 2 |x|
(f ) xlog(3x)(q )arctg 1+ x 1 x
(g )log x +2 3 x (r )log |log x|
(h) 1 a arctg x a ,a> 0(s) e x+2 x 3
(i) 2+3e x 1 ex
3.7
(t)2x 2 +3x
Calcolareladerivatadelleseguentifunzioni, semplificandosepossibilel’espressioneottenuta.Studiareilsegnodelladerivata,neicasiuncuiquesto` e agevole.
(a)log(3x 2)(c) x 2 3x +1 log x
(b) x log x (d)log 2x 1 3x +2
3.8
Calcolareladerivatadelleseguentifunzioni, doveesiste.Studiareipuntidinonderivabilit`a,stabilendosesitrattadipuntiangolosi(inquestocaso, calcolareladerivatadestraosinistra),puntidicuspide,flessiatangenteverticale,puntiatangente verticale,tracciandoungraficolocaledellafunzione inqueipunti.Primadieseguireilcalcolodelladerivata,cercarediprevederequalisarannoipuntidi nonderivabilit`a,inbaseallaformadellafunzione.
(a) x 2 +3x 4 (d) e√x
(b) x 3
(e) e x 3 x +2 x 3
(c) 3 √2x2 + x 1(f )log 2 (1+ 3 √x)
© 978-88-08-32070-4 9Serie 191
Calcolodilimitiutilizzandoilimitinotevoli
3.9 Calcolareiseguentilimitiutilizzandoanche, dove`eutile,ilimitinotevolistudiatineiteoremi3.5 e3.6.
lim x→0 cos 3x 2 1 x2 sin2 x lim x→+∞ e 2/x2 1 (x +1)2
lim x→0 log 2 (1 5x) 5x sin(2x) lim x→0± √1+ x + x2 1 x2 cos x
Esercizisumassimieminimidiunafunzione
3.10 Dopoaverstabilitoildominiodelleseguenti funzioni,determinarneipuntidimassimoeminimo relativo.
(a) x 2 e x (e) x 2 log x
(b) x 3 + x 2 x +1(f ) e 2x x 2 2x 1
(c) 3 √xe x (g ) √x log x
(d) e 2x +2 e x +5 (h) x +2 x2 +1
Problemidimassimoeminimo
Impostareerisolvereiseguentiproblemidimassimoominimo,cercandodiimitareletecniche illustratenegliesempidelparagrafo5.3.Inparticolare,impostareilproblemainmododaridurload unproblemadimassimizzazioneominimizzazione diunafunzionediunavariabile.
3.11
Sivuolecostruireunascatola,senzacoperchio, colvincolochelabasesiaquadrataelasuperficie totaledellascatolamisuri108cm.Diqualidimensioni(latodellabaseealtezza)dev’essereaffinch´ e ilvolumesiailmassimopossibile?Equantosar`ail volume?
3.12
Unadittaproduttricedibirradesideraminimizzareilcostodellalattina.Essendodimateriale omogeneoevolumefissatooccorreminimizzarela superficietotaledelcilindrodivolumeparia33cl. Qualisonoledimensioni(altezzaediametro)della lattinaottimale?Esprimereilrisultatomedianteil rapportotraaltezzaediametro.
3.13
Determinareilcilindrodivolumemassimo inscrittoinunasferadiraggio R.Calcolareilrapportotraaltezzaeraggiodelcilindromassimizzante. Ilvolumedelcilindromassimo`emaggioreominore dimet`adelvolumedellasfera?
3.14 Determinareilparallelepipedoabasequadratadivolumemassimoinscrittoinunasferadiraggio
R ` Euncubo?Ilvolumedelparallelepipedomassimo ` emaggioreominoredimet`adelvolumedellasfera? (IlproblemafurisoltodaKeplero).
3.15 Consideriamounacirconferenzadiraggio r Sivuoledeterminareperqualeangolo θ ilsettore circolarehaminimoperimetro,fissatalasuaarea.Si tengapresenteche,misurandol’angoloinradianti, (i)l’areadelsettorecircolare` e A = 1 2 θr 2 ;
(ii)ilperimetrodelsettorecircolare` e p =2r + rθ Perci`o,fissatal’area A> 0,sichiededitrovareper quale θ ilperimetro p ` eminimoequantovaletale perimetrominimo.
3.16 Unuomodeveraggiungereunpuntochesi trovasull’altraspondadiunfiume,100metripi`ua valle;ilfiume`erettilineoelargo10metri;l’uomo pu`ocorreresullaspondadelfiumeconvelocit` a v , quindituffarsieattraversareanuotoilfiume,con velocit`ainferiore,paria δv (0 <δ< 1).Determinare dopoquantimetridicorsal’uomosidevetuffare, affinch´esiaminimoiltempoimpiegatoaraggiungerelameta.Sel’uomo`eunnuotatoreprovetto, δ sar`aquasiugualea1:determinareilvaloreesatto di δ perilqualeall’uomoconvienetuffarsiimmediatamente,senzapercorrereneancheunmetrosulla terraferma.
10 m
100 m
3.17 Conriferimentoalproblemaprecedente,supponiamoorachel’uomositrovisullarivadiun lagocircolarediraggio R edebbaraggiungereil puntodiametralmenteopposto.L’uomopu`ocorreresullasponda(circolare)dellagoconvelocit` a v , quindituffarsieattraversareanuotoilfiume,con velocit`ainferiore,paria δv (0 <δ< 1).Sirappresentilasituazionetracciandolacirconferenzadi centrol’origineeraggio R,scegliendocomepunto dipartenzailpunto (R, 0),eassumendocomeincognitadelproblemal’angolo θ cheindividuailpunto dellacirconferenzaincuil’uomodecidedituffarsi.Determinare θ cherendeminimoiltempodella traversata.
192 Capitolo3.Calcolodifferenziale © 978-88-08-32070-4
Statistica
Nelcapitoloprecedenteabbiamovistocomeattraversoilcalcolodelleprobabilit`asia possibiletrattarel’incertezza interminimatematici,sviluppandodelleregoleconcui noiattribuiamouncertogradodifiduciaalrealizzarsidiundatoevento.Inmolte situazioniconcretepossiamoformulareunmodelloprobabilisticoinbasealquale calcolarelaprobabilit`adiunevento.Abbiamoimparato,adesempio,comecalcolare laprobabilit`adiottenerepiantedipiselliconfioribianchinegliesperimentidiMendel.
InquestocapitolointrodurremoalcunenozionifondamentalidellaStatistica,che cipermetterannodidescrivereconaltristrumentisituazionidiincertezza,diprendere decisioniintalisituazionieinsiemedidarevalutazioniquantitativedelgradodi certezzacheabbiamocircaledecisioniprese.
Inizieremoconuncennoallastatisticadescrittivaincuiintrodurremol’analisidei dati.Cidedicheremoquindiallastatisticainferenzialeincuiaffronteremoilproblema dellastima(puntualeeintervallare)diparametrielaverificadiun’ipotesistatistica.
1CHECOS’ ` ELASTATISTICA?
Quotidianamentesiamobersagliatidadatistatistici.Spesso,leinformazionisono riferitenelcontestodiunanotiziadescrittadalquotidianocheleggiamoofornita inuntelegiornale.Qualchevoltaidatisonooffertiattraversopercentualiomedie: “Giovaniinglesi:l’80% nonsaleggereunacartastradale.Nonsonoingradodicapire unamappaesenzainavigatorisatellitarisisentonopersi” ;oppure “Elezioniregionali. Sondaggi:previstocrolloaffluenza.Secondoisondaggi,anchealle 15 l’affluenzasar` a moltopi`ubassarispettoaquelladelleultimeelezioni:nelleelezioniregionalidelLazio, Ipsosprevedeil 54%,BiDiMediail 56%,Quorum 55, 7%”.Altrevoltesitrattadi tabelleografici,comein figura9.1
Machecos’`ediprecisola statistica ?Laparoladerivadallatino status.Originariamente,infatti,lastatisticasioccupavadellerilevazioniufficialidapartedi istituzionistatali.Ghislininel1589indicalastatisticacome descrizionedellequalit` a checaratterizzanoedeglielementichecompongonounoStato.Nascequindicome unascienzasocialechestudiale popolazioniumane.Oggiconiltermine statistica indichiamolostudiodeifenomenicollettivi(ossiadiqueifenomenicheriguardanouna pluralit`adielementi ),chehannoattitudineavariare.Chiamiamo popolazione questa pluralit`adielementioggettodelnostrostudioedellaqualevogliamoconoscereunoo pi`uaspetti.Lepopolazionidicuisioccupalastatisticanonsonosololepopolazioni umane,anzi.Possonoesserepersonecomeglistudentidiunascuolaoglielettori diunaregioneogliabitantidiunquartiere;oppureoggetti(libri,pezziprodotti daunmacchinario..),oungenericoinsiemedielementi.Lapopolazionepu`oessere finitaseadesempioesaminiamotuttelemucchedalattedell’EmiliaRomagnainun determinatoperiododitempo,oppureillimitatacomeunaipoteticasequenzaditesta ecroceottenutalanciandounamonetaunnumeroinfinitodivolte.Pu`oessererealeo ipotetica;l’importante`echepossaesseredefinitainmodochiaro.
9
ESEMPIO 9.9
La tabella9.9 descriveladistribuzionedellefrequenzedell’et`adi40individui, raggruppateperclassi.
Tabella9.9 Frequenzedell’et` a di40persone, raggruppatein3 classi.
Tabella9.10 Terminicentrali delleclassidi frequenzadella tabella9.9.
Classidiet`a(anni) Numeropersone(frequenze) (0,20] 35 (20,40] 4 (40,60] 1 totale 40
Vogliamocalcolarelamediaponderata. Innanzituttoandiamoasostituireaciascunintervalloilterminecentralecomein tabella9.10
Terminicentrali Numeropersone(frequenze)
Quindicalcoliamolamediaponderata:
Siosservichenell’esempio9.8lamediaottenuta`eugualeaquellaottenutadaidati grezzi,mentrenell’esempio9.9onelcasodiunavariabilecontinuaabbiamosoltanto un’approssimazione.
Introduciamooraunaltroindicediposizionedetto mediana.Sitrattadiunvalore che,inuncertosenso,occupailpostocentraledelleosservazionidisposteinordine crescente.Ladefinizioneprecisa`elaseguente.
DEFINIZIONE 9.2 (Mediana) Ordiniamoidatiosservatidalpi`upiccoloalpi` u grande.Seilnumerototaledelleosservazioni n ` edisparilamedianacorrispondeal datocheoccupalaposizionecentrale,ossiaquelloinposizione (n +1)/2.Se,invece, n ` eparilamediana`ecalcolatacomelamediaaritmeticadeivaloricheoccupanole posizioni n/2e n/2+1.
Notiamochelamediana`eunvaloretalechealmenomet`adeidati`eminoreouguale diessoealmenomet`adeidati`emaggioreougualediesso.
ESEMPI 9.10
Diseguitosonoriportatiirendimentidelloscorsoannodi9fondicomunispecializzati inaziendedipiccoledimensioni:
53,844,559,339,237,344,256,666,562,4
Vogliamodeterminarelamediana.Perprimacosaordiniamoidatidalvalorepi`upiccoloa quellopi`ugrande:
37,339,244,244,553,856,659,362,466,5.
Abbiamo n =9datipercuilamedianasar`al’osservazionedipostocentrale(inposizione (n +1)/2=(9+1)/2=5),ossiailnumero53,8.
9.11
Calcoliamolamedianadeidatidell’esempio9.7.Inumeri
1067158401198
corrispondonoaileoniavvistatinelparconazionaledelKafuenellazonadiNgomaneiprimi 10giornidelloscorsoottobre.Percalcolarelamedianacomeprimacosariscriviamoidatiin ordinecrescente:
0467889101115
Inquestocasoabbiamoadisposizione n =10osservazioni.Lamediana,dunque,`elamedia aritmeticadeivaloricheoccupanoleposizioni 10/2=5e 10/2+1=5+1=6,ossiail numero8.
496 Capitolo9.Statistica © 978-88-08-32070-4
1 =10 f1
2 =30 f2 =4
3 =50 f3 =1 totale 40
a
=35 a
a
1 n n i=1 ai fi = 10 35+30 4+50 1 40 = 520 40 =13
9.12
Determinarelamedianadelladistribuzionedivotiriportatiin tabella9.11
Dallatabelladelladistribuzionedellefrequenzeriusciamoin questocasoarisalireaidatigrezzi.Liordiniamoinmodo crescente:
5555666666667777889.
Ilnumerodelleosservazioni` e n =19.Ilterminecentrale` e l’osservazioneindecimaposizione:lasciaallasuadestraealla suasinistraunegualenumeroditermini.
La mediana ` eugualea6.
Senonabbiamoadisposizionedatigrezzi,maraggruppatiperclassi,possiamo determinarela classemediana nellaqualericadel’osservazionechedividel’insiemedei datiraggruppatiinduegruppiugualmentenumerosi.Baster`aalloraindividuarela classeincorrispondenzadellaqualelafrequenzacumulativapercentualeprendeun valoremaggioreougualea50%etalechelafrequenzacumulativapercentualedella classeimmediatamenteprecedenteassumeunvalorestrettamenteminoredi50%.
9.13
Un’industriafarmaceuticamisuralaconcentrazionedipotassioinmEq/l(milliequivalentiperlitro)nelsanguedi50pazientiacui`estatosomministratounfarmaco.La tabella9.12 sintetizzalemisureraccolte.
Classi Frequenzaassoluta
Determiniamolaclasseincuicadelamediana.Nonabbiamodatigrezziadisposizione.Per primacosacostruiamolatabelladidistribuzionedellefrequenze(tabella9.13)
Classi Frequenza Frequenza Frequenzacumulata assoluta relativa percentuale
(3,4]70,14
(4,4,5]120,24
(4,5,5]180,36
(5,5,6]50,1
Osserviamolacolonnadellafrequenzacumulatapercentuale.Leggiamocheil38%delle osservazioni`eminoreougualea4,5,mentreil74%`eminoreougualea5.Possiamo concluderechelaclassemediana`el’intervallo(4,5, 5].
Ingeneralemediaemediananoncoincidono;sonotantopi`uvicinequantopi`uidati sonodispostiregolarmenteenonpresentanovalorimoltopi`ugrandiomoltopi`upiccoli rispettoaglialtri,detti anomali o outliers.Entrambigliindicifornisconounvalore pi`uomenocentratorispettoaidati.Lamediarisentemaggiormentedellapresenza deidatianomali.Perquesto,inpresenzadioutliers,convienecalcolarelamedianaper capiredovemaggiormentesiconcentranoidati.
9.14 Calcolaremediaemedianadeiseguentidati:
Lamediana`einveceugualea5.
Tabella9.11
Datirelativi all’esempio9.12.
ESEMPIO
Tabella9.12
Datirelativi all’esempio9.13.
Tabella9.13
Tabelladifrequenza peridatiin tabella9.12.
© 978-88-08-32070-4 2Statisticadescrittivaunivariata 497
Voto Frequenza 54 68 74 82 91
fa (3,4] 7 (4,4,5] 12 (4,5,5] 18 (5,5,5] 8 (5,5,6] 5
fa fr fc × 100
14
38
74
90
100
(5,5,5]80,16
ESEMPIO
2+3+5+6+22 5 =7,6
235622 Lamedia`eugualea
Figura9.12
Introduciamounindicedetto coefficientedicorrelazione perstabiliresetradue variabiliosservateesisteunacorrelazionepositivaonegativa.
DEFINIZIONE 9.9 Supponiamodiavere n osservazionicongiuntediduevariabili: {(x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ),...(xn ,yn )}.Chiamiamo coefficientedicorrelazione ilnumero
r = n i=1
(xi xn )(yi yn ) n i=1 (xi x)2 n i=1 (yi y )2 , (9.3)
dovecomealsolito xn = 1 n n i=1 xi e yn = 1 n n i=1 yi sonorispettivamentelamediadelle osservazioni {x1 ,...,xn } e {y1 ,...,yn }.
Possiamonotaredallasuadefinizionecheilcoefficientedicorrelazionepu`oavere segnopositivoonegativo: r ` epositivose,mediamente,avalorigrandi(piccoli)di X corrispondonovalorigrandi(piccoli)di Y ` E,invece,negativose,avalorigrandi (piccoli)di X corrispondonovaloripiccoli(grandi)di Y ;`equindiilsegnodi r checi permettedicapirechetipodicorrelazionesussistetralevariabili.
DEFINIZIONE 9.10 Diciamochetralevariabili X e Y c’`eunacorrelazione – positiva se r> 0; – negativa se r< 0;
– nulla (oppurenonc’`ecorrelazione)se r =0.
Le figure9.12 e 9.13 contengonograficichemostranorispettivamenteesempidi correlazionepositivaenegativa.
La figura9.14 mostraunesempiodiassenzadicorrelazionetraleduevariabili.
Ilcoefficientedicorrelazione`eunagrandezzaadimensionaleed`epossibiledimostrareche 1 ≤ r ≤ 1eche r = ±1seesoloseesistonoduecostanti m e q taliche
506 Capitolo9.Statistica © 978-88-08-32070-4
Esempio dicorrelazione positivatradue variabili X e Y Y X 0 0 20 20 40 60 80 100 406080100
Esempio dicorrelazione negativatradue variabili X e Y Y X 0 0 20 20 40 60 80 100 406080100
Figura9.13
yi = mxi + q per i =1, 2,...,n.
Figura9.14
Esempio dinessuna correlazionetradue variabili X e Y
Inquestocaso, r e m hannolostessosegno.
Parliamodi fortecorrelazione se0,8 ≤|r |≤ 1,di moderatacorrelazione se 0, 5 ≤|r | < 0,8edi debolecorrelazione 0 < |r | < 0,5.
3.2Regressionelineare
Torniamoalla figura9.11 dell’esempio9.23:ipuntisono(grossomodo)dispostilungo unarettacrescenteeilcoefficientedicorrelazione r =0, 917319163confermache esisteunafortecorrelazionepositivatratemperaturaefrequenzadelfriniredeigrilli. Ancheseipunti {(x1 ,y1 ),..., (xn ,yn )} nonsonoperfettamenteallineatipossiamo ugualmentecercareunarettadiequazione
y = mx + q
chepassi abbastanzavicino aciascunodiessicomein figura9.15a
Macomefacciamoadeterminarla?L’idea`equelladitrovareduenumeri m e q in modotalechelaretta y = mx + q passiilpi`upossibilevicinoalleosservazioni.Per ognicoppia(xi ,yi )introduciamol’erroreo residuo (figura9.15b):
ei = yi (mxi + q ), elafunzione L : R2 → R delleduevariabili m e q
L(m,q )= n i=1
(yi mxi q )2 = n i=1 e 2 i,
Figura9.15 a)Esempio direttadi regressione; b)errorideisingoli puntirispettoalla retta. x y x1 y1 y2 y4 y3 y5 x2 x3 x4
a) b) sommadeiquadratideiresidui,ossiadeiquadratidelledistanzetrailpunto(xi ,yi )eil Metododei minimiquadrati puntodiugualeascissa xi chesitrovasullaretta y = mx + q .Cerchiamooralacoppia dinumeri(m,q )cherendeminimoilvalore L(q,m).Questoprocedimentosichiama metododeiminimiquadrati,elarettachetroveremo`edetta rettadiregressione per gli n punti {(x1 ,y1 ),..., (xn ,yn )}.Ivaloridi m e q cercatisonoilpuntodiminimo dellafunzione L epertrovarliusiamoimetodistandarddelcalcolodifferenzialeper funzionididuevariabili.Cerchiamocio`e(m,q )taliche
© 978-88-08-32070-4 3Statisticadescrittivabivariata 507
Y X 020 –50 0 50 100
406080100
x5 x
x1 e1 e2 e3 e4 e5 y1 y2 y4 y3 y5 x2 x3 x4 x5
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂L ∂q =0, ∂L ∂m =0.
y
ESERCIZI
Statisticadescrittivaunivariata
9.1 Idatiseguentirappresentanoilnumerodiafidi perpiantatrovatein10piante:
17132147361225018.
Calcolaremedia,mediana,varianza,range.
9.2 Idatiseguentirappresentanoilnumerodifiori perpiantain9piantefiorite:
273942182133453721
Calcolaremedia,mediana,varianza,range.
9.3 Un’industriafarmaceuticamisuralaconcentrazionedipotassionelsanguedi50pazientiacui` e statosomministratounfarmaco.Laseguentetabella sintetizzalemisureraccolte.
Classi FrequenzaAssoluta (3,4] 7 (4,4,5] 12 (4,5,5] 18 (5,5,5] 8 (5,5,6] 5
1. Sicostruiscalatabelladellefrequenzerelativee cumulate.
2. Sirappresentitramiteistogrammaladistribuzionedellemisureraccolte.
3.Siindividuilaclassemodale.
4.Sidetermininoleclassicontenentiiquartili.
5. Valutareinmodoapprossimatomediaevarianza delleconcentrazioniosservate.
9.4 Leseguenti23temperaturesonostate registrateingradicentigradi.
6,44,447,499,559,1715,1514,798,87
5,122,27,615,9115,1731,137,0422,27 21,628,8419,7426,7111,1643,7119,15
1. Calcolareilminimo,ilmassimo,iquartili,ilrange, ladifferenzainterquartile,glieventualivalorierraticiooutlier,lamediaeladeviazionestandard deidatiraccolti.
2. Rappresentareladistribuzionedeidatimediante unboxplot.
3. Stabilirequalidegliindicicalcolatialpunto(1) cambierebberoselaprimatemperaturaregistrata fosseparia4,4anzich´e6,4.
9.5 Primadell’estatel’ufficiodelturismodiun paesedellaValtellinaharaccoltoidatisull’offerta alberghieradelcomune.Intuttonelcomunecisono10alberghi3stelle,iqualiperilmesediagosto
dell’annopassatohannofissatoleseguentitariffe(in euro)percameradoppia(pernottamento+prima colazione):
88 93 8789817487798693
1. Calcolareilminimo,ilmassimo,iquartili,ilrange, ladifferenzainterquartile,lamediaeladeviazione standarddeidatiraccolti.
2. Rappresentareladistribuzionedeidatimediante unboxplot.
3. Scriverelatabelladellefrequenze(assolute,relative,cumulateedensit`a)relativaaidatiutilizzando gliintervalli:
(70,75], (75,80], (80,85], (85,90], (90,95]
4.Costruirel’istogrammarelativoaidati.
9.6 Nellaseguentetabellasonoriportatiidatirelativia10puntivenditadiunacatenadinegozi.Per ognipuntovenditasonostaterivelatelevariabili: numerodidipendenti, X ,esuperficiein m 2 , Y unit`a12345 X 64279
Y 13014060120200
unit`a678910
X 32462
Y 809012016055
1. Rappresentaremedianteunbox-plotlavariabile X
2. Calcolaremedia,deviazionestandarderange dellevariabili X e Y .Cosasipu`oconcludere?
3. Siclassifichilavariabile Y secondoleseguenti classi:[50, 80),[80, 100),[100, 200]esirappresenti Y medianteunistogramma.
9.7 Ilrumoresimisuraindecibel(dB).Lasoglia diudibilit`aincondizioniidealiperunapersonacon unottimoudito`ecirca1dB;illivellosonorodiun sussurro`ecirca3dB;unaradioadaltovolumearriva a100dB,lasogliaditollerabilit`a`eintornoai120 dB.Ivaloriseguentisonoilivellidirumoremisurati in14differentioccasioniinprossimit`adellastazione diRomaTermini:
8982947511490102125658811010769122
1. Calcolareilminimo,ilmassimo,iquartili,ilrange, ladifferenzainterquartile,glieventualivalorierraticiooutlier,lamediaeladeviazionestandard deidatiraccolti.
2. Rappresentareladistribuzionedeidatimediante unboxplot.
3. Stabilirequalidegliindicicalcolatialprimopuntocambierebberosel’ultimodatoregistratofosse paria108anzich´e122(ericalcolaretaliindici).
© 978-88-08-32070-4 5Statisticainferenziale:verificadiipotesi 547
Statisticadescrittivabivariata
9.8 AlDipartimentodiMedicinaCardivascolare dell’Universit`adiPisa`estatacondottaunaricerca pertestarefinoachepuntol’ipertensione`eunfenomenogenetico.Aquestoscopo,sonostateesaminate 20famiglie,prendendolapressionearteriosadipadre (x)eprimogenito(y ),coniseguentirisultati: 20
i=1 xi =2980, 20 i=1 yi =2030, 20
i=1 x 2 i =451350, 20 i=1 y 2 i =210850, 20
i=1 xi yi =305700
1. Calcolareilcoefficientedicorrelazionetrale variabili.
2. Stimareicoefficienti m, q dellarettadiregressionedellapressionedelfiglio(var.dipendente) rispettoaquelladelpadre(var.indipendente).
3.Scriverel’equazionedellarettadiregressione.
4. Qual`elapressionemediaattesadelfigliosela pressionedelpadre`e130?Ese`e150?Ese`e170?
9.9 L’amministratoredelegatodiun’aziendaproduttricedibirrainbottigliaintendestimareicosti dellaconsegnaadomicilioaiclienti.Unfattorefondamentalechedeterminatalicosti`erappresentato daltemponecessarioperraggiungereilluogodella consegnaeperscaricarelecassedellebirre. ` Estato propostodicollegareiltempodiconsegna y conil numero x dellecassedibirra.Latabellaseguente riportailnumerodellecasseconsegnateeiltempo (inminuti)necessarioperlaloroconsegna,per20 clienti.
2.Calcolareilcoefficientedicorrelazione r
3. Stimareicoefficientidellarettadiregressione q , m
4.Scriverel’equazionedellarettadiregressione.
5. Prevedereiltempodiconsegnaperunclienteche ordina150cassedibirre.
6. Sipu`oricorrerealmodellostimatoperprevedere iltempodiconsegnadi500cassedibirra?
9.10 IlsignorRossi`econvintochelavelocit`adi guidanoninfluiscasuiconsumidellasuamacchina, semantieneunavelocit`acompresatrai70kmei120 kmorari.Perverificarequestasupposizione,misura iconsumidell’auto(interminidichilometripercorsi conunlitrodibenzina)adiversevelocit`atrai70km ei120kmorari.Ichilometripercorsiconunlitro allediversevelocit`asonostatiiseguenti:
velocit`a(x)72808896 km/l(y )10,2710,619,899,34
velocit`a(x)104112120 km/l(y )9,138,758,41
1.Calcolareilcoefficientedicorrelazione r .
2. Stimareicoefficienti q , m dellarettadiregressionedelconsumodicarburanterispettoalla velocit`a.
3.Scriverelarettadiregressione.
4. Supponiamochequestapersonafacciailprossimoviaggiosuunastradaconlimitedi90km/h. Checonsumosiattende?
9.11
Neidatiintabella y ` elapurezzadell’ossigenoprodottoinunprocessodidistillazionechimica, x la percentualediidrocarburopresentenelcondensatore didistillazione. Osservazione x y
1. Disegnareildiagrammadidispersioneperidati dellatabella.
1. Disegnareildiagrammadidispersioneperidati dellatabella.
2.Calcolareilcoefficientedicorrelazione r .
3. Stimareicoefficienti q , m dellarettadiregressionedellapurezzadell’ossigeno y controillivello diidrocarburo x
4.Scriverel’equazionedellarettadiregressione.
548 Capitolo9.Statistica © 978-88-08-32070-4
Cliente Numero Tempodiconsegna dicasse inminuti 152 32,1 264 34,8 373 36,2 485 37,8 595 37,8 6103 39,7 7116 38,5 8121 41,9 9143 44,2 10157 47,1 11161 43,0 12184 49,4 13202 57,2 14218 56,8 15243 60,6 16254 61,2 17267 58,2 18275 63,1 19287 65,6 20298 67,3
10,9990,01 21,0289,05 31,1591,43 41,2993,74 51,4696,73 71,3694,45 60,8787,59 81,2391,77 91,5599,42 101,4093,65
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Per i Capitoli 1-7 gli autori hanno rielaborato testi e figure tratti da: Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Zanichelli 2014; Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli 2009.
Realizzazione editoriale:
– Coordinamento editoriale: Isabella Nenci
– Redazione: Marzia Rivi
– Impaginazione e disegni: CompoMat, Configni (RI)
Copertina:
– Progetto grafico: Falcinelli & Co., Roma
– Immagine di copertina: © Tiago Alexandre Lopes su Unsplash
Prima edizione: maggio 2024
Ristampa: prima tiratura 5
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Marco Bramanti, Fulvia Confortola, Sandro Salsa Matematica per le scienze
Con fondamenti di probabilità e statistica
Matematica per le scienze è un libro destinato a chi affronta corsi universitari che toccano un ampio spettro di argomenti matematici, anche quando la matematica non è il fulcro del corso di studi. È un’opera ricca ma flessibile, pensata anche per un uso modulare, adattabile a percorsi ed esigenze diversi.
I primi quattro capitoli presentano – dopo una ripresa del linguaggio matematico di base (numeri, insiemi, operazioni, funzioni, grafici, limiti) – il calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di variabile reale, argomenti al cuore della maggior parte dei corsi di matematica generale e fondamentali per affrontare i capitoli successivi, che proseguono invece in direzioni diverse e mantengono tra loro una certa indipendenza. I capitoli dal 5 al 9 sono dedicati rispettivamente all’algebra lineare, con cenni di geometria analitica, alle equazioni differenziali ordinarie, ai rudimenti di calcolo infini-
Marco Bramanti è professore ordinario di Analisi matematica presso il dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Il suo settore di ricerca è principalmente nell’ambito delle equazioni alle derivate parziali lineari. Si occupa anche di formazione per insegnanti di scuola e di divulgazione.
Fulvia Confortola è professoressa associata di Probabilità e Statistica matematica presso il dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano.
Si occupa di equazioni differenziali stocastiche e controllo ottimo stocastico.
Sandro Salsa è professore emerito del dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Ha svolto attività di ricerca presso l’Università del Minnesota (Minneapolis), l’Institute for Advanced Study (Princeton), il Courant Institute of Mathematical Sciences (New York) e l’Università del Texas (Austin).
Inquadra e scopri i contenuti
tesimale in più variabili, al calcolo delle probabilità e alla statistica (descrittiva e inferenziale).
La presentazione dei contenuti segue il criterio dell’essenzialità, sottolineando i concetti importanti e il loro ruolo nella formalizzazione matematica, con attenzione ai prerequisiti necessari alla comprensione, richiamati ed esplicitati per colmare eventuali lacune nella preparazione di base. L’apparato dimostrativo proprio del metodo matematico è stato comunque mantenuto, perché la giustificazione del risultato rende consapevoli dei nessi logici e aiuta a capire.
Il ruolo della matematica nella modellizzazione dei problemi scientifici è messo in luce anche dai numerosi esempi presentati, scelti dagli ambiti delle scienze naturali, della biologia, della fisiologia, della fisica e, in misura minore, dell’ingegneria.
Alla fine di ogni capitolo sono proposti esercizi da risolvere, suddivisi per argomento.
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