Anteprima - Esercizi di analisi matematica 1

Esercizi di Analisi matematica 1 Seconda edizione

Inquadra e scopri i contenuti

Ogni capitolo è suddiviso in sezioni, ciascuna delle quali si apre con Richiami di teoria e prevede lo svolgimento preliminare di Esempi, che servono da guida alle principali tecniche risolutive.

Ogni sezione propone esercizi divisi per tipologia, con soluzione alla fine del capitolo: Test a risposta multipla, Esercizi più tradizionali, domande di tipo Vero o falso e quesiti che richiedono di Trovare l’errore; concludono il capitolo Ulteriori esercizi, in genere più impegnativi e spesso di carattere teorico, le cui soluzioni sono disponibili sul sito del libro.

Sandro Salsa è professore emerito di Analisi

Le risorse digitali

Sandro Salsa Annamaria Squellati

Esercizi di Analisi matematica 1 Seconda edizione

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Ebook Seconda edizione

matematica presso il Politecnico di Milano.

Annamaria Squellati è stata docente di Matematica presso l’Università Bocconi e il Politecnico di Milano.

Esercizi di Analisi matematica 1

Questa raccolta di esercizi prepara a sostenere l’esame di Analisi matematica 1 e, grazie ai richiami di teoria, può essere usata da sola o affiancare qualunque manuale.

Gli argomenti del volume, divisi in sette capitoli, sono: 1. Insiemi e numeri 2. Funzioni 3. Limiti e continuità 4. Calcolo differenziale 5. Serie numeriche 6. Calcolo integrale 7. Equazioni alle differenze.

Sandro Salsa Annamaria Squellati

Sandro Salsa, Annamaria Squellati

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MATEMATICA

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SALSA"SQUELLATI*ES ANAL MAT 1 2ELUMK

ISBN 978-88-08- 29956-7

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9 788808 299567 5 6 7 8 9 0 1 2 3 (60B)

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MATEMATICA

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page iii — #3

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Indice generale

Prefazione

v

1 Insiemi e numeri

1

1.1 Logica e insiemi

1 10

soluzioni

1.2 Sommatoria e produttoria. Principio di induzione soluzioni

1.3 Calcolo combinatorio soluzioni

1.4 Numeri reali soluzioni

1.5 Numeri complessi soluzioni

2 Funzioni 2.1 Funzioni

13 18 22 27 31 44 50 60

69

soluzioni

69 89

3 Limiti e continuità

101

3.1 Successioni

101 112

soluzioni

3.2 Limiti di funzioni soluzioni

3.3 Continuità

117 128

soluzioni

136 142

4 Calcolo differenziale

147

4.1 Derivate soluzioni

4.2 Applicazioni del calcolo differenziale soluzioni

147 159 166 190

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page iv — #4

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iv

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Indice generale

5 Serie numeriche 5.1 Serie numeriche

217

soluzioni

217 229

6 Calcolo integrale

237

6.1 Primitive

237 249

soluzioni

6.2 Integrali definiti soluzioni

6.3 Integrali generalizzati soluzioni

6.4 Funzioni definite da integrali soluzioni

7 Equazioni alle differenze 7.1 Equazioni alle differenze del primo ordine soluzioni

7.2 Equazioni alle differenze lineari del secondo ordine soluzioni

261 271 278 287 293 302

313 313 323 329 335

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page v — #5

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Prefazione

Questa raccolta di esercizi è rivolta agli studenti di un corso di laurea in una disciplina scientifica (e.g. Ingegneria, Fisica, Matematica, Economia, Informatica, Biologia, Scienze Naturali) e intende proporsi come un utile punto di riferimento per la preparazione a entrambe le prove, scritta e orale, di Analisi matematica 1. Grazie alla presenza di richiami teorici, può essere usata da sola o affiancare qualunque manuale.

Nella stesura degli esercizi ci siamo basati sulla convinzione che per ottenere una buona preparazione non sia necessario sottoporre chi studia a una meccanica risoluzione di esercizi ripetitivi, bensı̀ sia utile l’invito ad affrontare questioni di varia natura che agevolino nell’acquisizione di abilità sia teoriche sia tecniche.

Gli argomenti, divisi in sette capitoli, riguardano essenzialmente le funzioni di una variabile reale, per arrivare ai principali concetti del calcolo differenziale e integrale unidimensionale e alle loro applicazioni. Prerequisiti sono la conoscenza dei primi elementi di geometria analitica e la trigonometria elementare.

Il primo capitolo riguarda i concetti elementari di logica e teoria degli insiemi, con particolare risalto agli insiemi numerici N, R e C e al Principio di induzione.

Il secondo capitolo tratta le funzioni reali di una variabile reale, la loro tipologia e le loro caratteristiche grafiche.

Alla definizione di limite è dedicato il terzo capitolo, diviso in tre sezioni. Si parte dal caso discreto, introducendo prima le successioni, per poi passare ai limiti di funzioni e introdurre il concetto di continuità.

Il calcolo differenziale con le sue applicazioni è l’argomento del quarto capitolo, diviso in due sezioni. Centrali sono il concetto di derivata, la ricerca di massimi e minimi, il tracciamento del grafico di una funzione.

L’analisi del comportamento delle serie numeriche è l’obiettivo degli esercizi del quinto capitolo.

Nel sesto capitolo lo studente è chiamato ad affrontare problemi riguardanti il calcolo integrale e le sue applicazioni; in particolare, ad affinare le tecniche di ricerca delle primitive di una funzione, a maneggiare i teoremi fondamentali, a studiare funzioni definite attraverso integrali.

Obiettivo degli esercizi del settimo capitolo è l’analisi di semplici modelli matematici discreti, costituiti da equazioni alle differenze, analogo “discreto” delle equazioni differenziali, che occuperanno una parte importante del volume dedicato all’Analisi matematica 2.

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 21:09 — page vi — #6

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Prefazione

Ogni capitolo è suddiviso in sezioni, ciascuna delle quali si apre con richiami teorici e propone esercizi di diversa difficoltà, divisi per tipologia. La struttura di ogni sezione prevede: Richiami di teoria Per agevolare lo studente, riassumiamo le nozioni teoriche necessarie per svolgere le attività proposte. Ciò non deve comunque indurre a trascurare lo studio della teoria, prima di passare alla risoluzione degli esercizi.

Esempi Sono esercizi di media difficoltà, interamente svolti, che hanno lo scopo di fornire una guida per la soluzione degli esercizi presentati successivamente.

Test a risposta multipla Sono i quesiti più immediati. Consistono in una domanda che prevede una risposta da scegliere tra quattro possibili. Tranne che in casi particolarmente semplici, la risposta viene sempre motivata.

Esercizi Gli esercizi proposti richiedono un livello medio di preparazione. Molti sono del tipo assegnato nelle prove scritte per i diversi corsi di laurea.

Vero o falso? Lo studente è chiamato a decidere se una affermazione sia corretta o meno; la risposta richiede una buona padronanza dei concetti teorici.

Trovare l’errore Di carattere più applicativo rispetto ai precedenti, sono quesiti che hanno lo scopo di evidenziare gli errori commessi più di frequente.

Per ognuno degli esercizi delle tipologie illustrate sopra, le soluzioni si trovano alla fine della relativa sezione e sono sempre ampiamente motivate.

Per gli studenti che desiderano approfondire i vari argomenti, sono alla fine proposti Ulteriori esercizi Sono mediamente più impegnativi e spesso richiedono argomentazioni di carattere teorico. Le soluzioni di questi esercizi sono disponibili all’indirizzo online.universita.zanichelli.it/salsasquellati1 2e.

Gli Autori

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 237 — #243

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6 Calcolo integrale 6.1

PRIMITIVE RICHIAMI DI TEORIA

Una funzione G derivabile in un intervallo (a, b) si dice primitiva di f , se G′ (x) = f (x)

per ogni x ∈ (a, b).

La famiglia delle primitive di f si indica con il simbolo1 Z f (x)dx che prende il nome di integrale indefinito di f . Se G è una primitiva di f in un intervallo (a, b), tutte e sole le primitive di f nello stesso intervallo sono della forma G + k, con k costante, quindi se G è una primitiva di f , si ha2 Z f (x)dx = G(x) + k, k∈R (6.1) Primitive elementari

1 2

f (x)

k (k ̸= 0)

G (x)

kx

f (x)

G (x)

xα (α ̸= −1)

1 x

ex

ln |x|

ex

ax (a > 0)

sin x

cos x

ax ln a

− cos x

sin x

1 (cos x)2

xα+1 α+1 1 (sin x)2

1 1 + x2

√

1 1 − x2

sinh x

cosh x

1 (cosh x)2

tg x

−cotg x

arctg x

arcsin x

cosh x

sinh x

tanh x

Alcune volte, per comodità, il simbolo può essere usato anche per indicare una sola primitiva.

La definizione di primitiva può essere data anche per funzioni definite in insiemi diversi dagli intervalli. In tal caso non è vero che due primitive di una stessa funzione differiscano sempre per una costante.

Per indicare l’insieme delle primitive continueremo a usare la formula (6.1), sottointendendo che essa sia valida separatamente in ogni intervallo in cui è definita f (vedi “Vero o falso” 3 e 4).

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 238 — #244

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238

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Capitolo 6. Calcolo integrale

Calcolo delle primitive Integrazione per scomposizione. Si basa sulle proprietà di linearità. Come per il calcolo delle derivate valgono le proprietà di additività e di omogenenità: Z Z Z [f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx Z Z k · f (x) dx = k f (x) dx, k ∈ R Integrazione per parti. Se f e g sono due funzioni derivabili in (a, b), vale la formula Z Z ′ f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f ′ (x)g(x)dx La funzione f si chiama fattore finito, mentre g ′ si chiama fattore differenziale.

Integrazione per sostituzione. Se G (x) è una primitiva di f (x) e se x = ϕ(t) è una funzione derivabile e invertibile con inversa t = ψ (x), allora la funzione composta G [ϕ (t)] è una primitiva di f [ϕ (t)] ϕ′ (t), ossia Z Z f (x)dx = f [ϕ(t)] ϕ′ (t)dt t=ψ(x)

Esempi 1

Scriviamo le primitive della funzione √ 3 f (x) = x + 5 x − , x>0 x Per le proprietà di linearità si ha Z Z Z Z √ 1 f (x) dx = xdx + 5 xdx − 3 dx = x x2 2 = + 5 · x3/2 − 3 ln x + k = k∈R 2 3 √ 1 10 = x2 + x3 − 3 ln x + k, k∈R 2 3

2

Calcoliamo una primitiva della funzione f (x) =

x3 + 4 x−1

Dividendo il numeratore per il denominatore, si ottiene f (x) = x2 + x + 1 +

5 x−1

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 245 — #251

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245

6.1 Primitive

12

Calcoliamo Z

x2 √ dx 1 + x2

1 1 1 , √ e √ sono, rispettivamente, 2 2 2 1−x 1+x x −1 le derivate delle funzioni arcsin x e delle inverse delle funzioni iperboliche3 sinh x e cosh una√primitiva di una funzione che contiene una radice del √ √x, per calcolare tipo 1 − x2 , 1 + x2 o x2 − 1, si può pensare nei tre casi alla sostituzione x = sin t, x = sinh t o x = cosh t.

Ricordando che le funzioni √

Nel nostro caso, si pone x = sinh t, dx = cosh tdt, per cui 2

(sinh t)

Z q

Z 2

cosh tdt =

1 + (sinh t)

2 Z t e − e−t (sinh t) dt = dt = 2 2

e2t − 2 + e−2t e2t t e−2t dt = − − +k 4 8 2 8 sinh 2t t sinh t · cosh t t = − +k = − + k, k ∈ R 4 2 2 2 Z

=

Alternativamente si può procedere in modo analogo a quanto visto nell’esempio 2 precedente, scrivendo (sinh t) come sinh t · sinh t e integrando per parti. √ √

Dato che t = ln x + 1 + x2 e cosh t = 1 + x2 , sostituendo, si ottiene Z

√

p 1 x2 xp 1 + x2 − ln x + 1 + x2 + k, dx = 2 2 1 + x2

k∈R

Test a risposta multipla 1

Una primitiva della funzione f (x) = e1−2x è g (x) = O a e1−2x

2

e1−2x 2

O c −

e 2e2x

O d −2e1−2x

Quale tra le seguenti funzioni non è una primitiva di f (x) = sin 2x? g (x) = O a −

3

O b

cos 2x 2

O b − (cos x)

2

O c 2 cos 2x

O d (sin x)

2

2

Una primitiva di f (x) = xex che soddisfa la condizione f (0) = 1 è g (x) = 2

O a ex

3

2

O b

ex 1 + 2 2

O c non esiste

2

O d 2ex − 1

Vedi sezione 4.1, esercizio 13.

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 246 — #252

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246 4

Capitolo 6. Calcolo integrale 2

Quale tra le seguenti funzioni è una primitiva di f (x) = e−x ? g (x) = O a e−x

5

O c

7

2

O b −

e−x 2x

2

2

O c −

e−x 2

O d nessuna delle precedenti

L’insieme delle primitive della funzione f (x) = x sin 2x è g (x) = O a

6

i

x cos 2x +c 2 1 1 sin 2x − x cos 2x + c 4 2

b sin 2x − x cos 2x + c O x2 cos 2x + c 4

d O

x è g (x) = Una primitiva della funzione f (x) = √ 1 − x2 √ √ O a 1 − x2 O b − 1 − x2 O c arcsin x

1 O d − ln 1 − x2 2

Una primitiva della funzione f (x) = sign x in [−1, 1] è O a |x|

O c x |x|

O b x

O d non esiste una primitiva di f

Esercizi 1

Calcolare le primitive delle funzioni f (x) = (a)

x+2 2x − 3

(b)

x+3 (2x + 1)2

(c)

x2 x2 − 1

(d)

x−1

x2 + 2x + 5

2

Calcolare i seguenti integrali “quasi immediati” Z x Z e + cos x 2 (a) dx (b) cosh x (sinh x) dx ex + sin x Z Z 2dx x √ (c) (d) e2x cosh dx √ 2 x− x−2

3

Calcolare i seguenti integrali “quasi immediati”, applicando, eventualmente, il metodo di sostituzione Z Z Z p Z dx dx ex dx √ (b) (c) (a) x x2 + 1dx (d) √ x x ln x (e + 3)3 x 1−x

4

Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali fratte Z (a)

x+3 dx (x + 1)3

Z (b)

dx x(x2 + 2)

Z (c)

dx 2 x (x + 3)

Z (d)

dx x2 + x4

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 247 — #253

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247

6.1 Primitive

5

Calcolare i seguenti integrali, applicando la formula di integrazione per parti Z Z Z (a) x2 sin x dx (b) x ln (x + 3) dx (c) x cosh 2x dx

6

Utilizzando la formula di integrazione per parti, calcolare le primitive di f (x) = arctg x e di g (x) = arcsin x.

7

Scrivere la famiglia di primitive delle seguenti funzioni trigonometriche 1 3 (a) f (x) = (tg x) (b) g (x) = 2 2 (sin x) (cos x) sin x + cos x 1 (c) h (x) = (d) k (x) = 2 cos x + 1 (cos x) + sin (2x)

8

Scrivere la famiglia di primitive delle seguenti funzioni irrazionali r √ 1 x 2 √ (b) g (x) = 4 − x (c) h (x) = , (x > 3) (a) f (x) = √ 3 x−3 x+ x

9

Calcolare i seguenti integrali, applicando il metodo di sostituzione Z Z Z ln (ln x) 1 2ex + 3 (a) dx (b) dx (c) dx x sin x + 1 e2x + 1 Z p Z Z 1 1 2 dx (d) x + 2x + 2dx (e) dx (f) 2 sin x (sin x) + 1

10

11

x Scrivere la famiglia delle primitive della funzione f (x) = √ , applicando x+1 tutti e tre i metodi d’integrazione: scomposizione, sostituzione e per parti.

Per le seguenti funzioni scrivere la primitiva che passa per il punto a fianco indicato ln(x + 2) x2 p √ (b) f (x) = 1 + x

(a) f (x) =

(1, 0) (0, 0)

12

1 Calcolare le primitive g (x) della funzione f (x) = x ln 1 + 2 x lim g (x) = +∞.

e verificare che

x→+∞

Vero o falso?

1

V

F Una primitiva di f (x) =

1 in R\ {0} è g (x) = ln |x|. x

2

V

F Una primitiva di f (x) =

1 1 in R\ {0} è g (x) = − . x2 x

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 248 — #254

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248

3

Capitolo 6. Calcolo integrale

V

F Ogni primitiva di f (x) =

1 in tutto R\ {0} può essere scritta nella forma x

g (x) = ln |x| + k, 4

V

F Ogni primitiva di f (x) =

forma

xn eαx dx,

In,α =

n ∈ N, n ≥ 1, α ∈ R, α ̸= 0

Scrivere una formula ricorsiva per il calcolo dell’integrale Z In,α =

n

xα (ln x) dx,

Z

n

n ∈ N, n ≥ 1

(sin x) dx,

Calcolare gli integrali Z e

5

n ∈ N, n ≥ 1, α ∈ R

Scrivere una formula ricorsiva per il calcolo di In =

4

k∈R

Scrivere una formula ricorsiva per il calcolo dell’integrale Z

3

1 + k, x

Soluzioni online

Ulteriori esercizi

2

k∈R

1 in tutto R\ {0} può essere scritta nella x2

g (x) = −

1

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αx

Z sin (βx) dx e

eax cos (βx) dx

Posto Z Jn (x) =

dx n (1 + x2 )

n≥2

dimostrare la formula per ricorrenza Jn (x) =

6

2n − 3 x Jn−1 (x) + n−1 2 (n − 1) 2 (n − 1) (1 + x2 )

Se una funzione f definita in un intervallo (a, b) ha una discontinuità di prima specie, può avere una primitiva?

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 249 — #255

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249

6.1 Primitive

Calcolare le primitive della funzione

7

f (x) =

4x3 (1 + x2 )

3

integrando col metodo di sostituzione in due modi: nel primo, ponendo 1 + x2 = t, nel secondo, x = tg t. I risultati trovati sembrano diversi... Sono entrambi corretti?

Un teorema di Liouville afferma che: siano g = g (x) non costante e r = r (x)

8

una funzione razionale (rapporto tra due polinomi ). Allora se f (x) = eg(x) r (x) ha primitiva elementare, essa è ancora della forma F (x) = eg(x) h (x) con h funzione razionale.

Usando il teorema di Liouville, mostrare che le seguenti funzioni non hanno primitiva elementare. eax (a ∈ C) x 2 (d) eax (a)

sin x x (e) sin(x2 ) (b)

cos x x (f) cos(x2 ) (c)

6.1 Soluzioni Test a risposta multipla Le risposte esatte sono s1

O c d e d − 2x = dx 2e dx

s2

1 − e1−2x = e1−2x 2

O c d (2 cos 2x) = −4 sin 2x. Invitiamo il lettore a verificare che altre le funzioni dx differiscono per una costante.

s3

O b Le primitive di f si possono scrivere nella forma 2

ex +k g (x) = 2 con k costante reale. Imponendo il passaggio per (0, 1) si ottiene k =

1 .

2

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 250 — #256

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250

s4

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Capitolo 6. Calcolo integrale

O d 2

La funzione f (x) = e−x non ha “primitive elementari”. s5

O c Si applica la formula d’integrazione per parti, scegliendo sin 2x come fattor differenziale, Z Z 1 1 x sin 2xdx = − x cos 2x + cos 2xdx = . . .

2 2

s6

O b √

d x . Invitiamo il lettore a calcolare le altre derivate. − 1 − x2 = √ dx 1 − x2

s7

O d La funzione in O a ha come derivata f in [−1, 0) e in (0, 1] ma in x = 0 non è derivabile.

Esercizi

s1

Si tratta di funzioni razionali fratte; le primitive si calcolano applicando il metodo di scomposizione. (a) Riscriviamo l’integranda dopo aver diviso il numeratore per il denominatore

x+2 1 7 = 1+ 2x − 3 2 2x − 3 e poi integriamo ottenendo Z

Z Z x+2 1 7 1 7 dx = dx + dx = x + ln |2x − 3| + k, 2x − 3 2 2x − 3 2 4

k∈R

dato che Z

7 7 dx = 2x − 3 2

Z

2 7 dx = ln |2x − 3| + k, 2x − 3 2

k∈R

(b) Scriviamo x+3 A B = + 2 2 (2x + 1) (2x + 1) 2x + 1 da cui x + 3 = A + 2Bx + B = 2Bx + A + B

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 277 — #283

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277

6.2 Integrali definiti

Si ha perciò:

Z k Z ek Z ek 1 − ex t 1 1−t 1 dx = dt = − 2 − dt = 2x + 1 t (t2 + 1) t t + 1 t2 + 1 0 e 1 1

ek

1 2 = ln t − ln t + 1 − arctg t = 2 1 e2k 1 π 1 ln 2k − arctg ek + ln 2 + 2 e +1 2 4

= e quindi

Z k lim

k→+∞

s14

0

√ 1 − ex π dx = ln 2 − 2x e +1 4

Si ha 2 Ief f =

I02 T

Z T

sin2 (ωt + φ) dt.

0

Essendo [0, T ] un intervallo di periodicità, abbiamo Z T Z T sin2 (ωt + φ) dt = cos2 (ωt + φ) dt 0

e

0

Z T 0

da cui

2

sin (ωt + φ) + cos2 (ωt + φ) dt = T | {z } =1

Z T

sin2 (ωt + φ) dt =

0

T 2

e

I0 Ief f = √ 2

Vero o falso? s1

s2

Falso. È vero se f è non negativa, altrimenti è una “somma algebrica” di aree, quelle sopra l’asse x prese con segno positivo e quelle sotto con segno negativo (vedi esempio 3).

Z 0 Falso. Per esempio: (−1)dx = 1.

1

s3

( 1 Falso. Per esempio, la funzione f (x) = 2

0≤x<1 è integrabile e 1≤x≤2

Z 2 f (x) dx = 3 0

Z b s4

Falso. La variabile di integrazione è “muta”: dipende solo da f, da a e da b.

f (x) dx è un numero che a

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i “Squellati-main” — 2023/10/26 — 9:06 — page 278 — #284

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Capitolo 6. Calcolo integrale

Vero. Si può infatti scrivere

s5

Z 0

Z a f (x) dx = −a

Z a f (x) dx +

−a

f (x) dx 0

Ora, ponendo x = −s, si ha dx = −ds e Z a Z 0 Z 0 f (s) ds f (−s) ds = f (x) dx = − −a

0

a

dato che f (−s) = f (s) .

Vero. Ponendo x + a = s, si ha dx = ds e per x = 0 si ha s = a, per x = T si ha s = a + T ; perciò, per la formula di cambiamento di variabile, Z T Z a+T f (x) dx = f (s) ds

s6

0

a

Trovare l’errore s1

Che il risultato sia sbagliato è evidente: l’integrale di una funzione positiva non può essere negativo! Qual è, comunque, l’errore commesso? Si è applicata una formula senza verificarne le ipotesi di applicabilità: f non è integrabile perché non è limitata. Non lo è nemmeno in senso generalizzato (vedi la prossima sezione).

s2

È vero che se f è integrabile e dispari, per ogni a > 0, si ha Z a f (x) dx = 0 −a

La nostra f (x) = 1/x però non è integrabile perché non è limitata. Non lo è nemmeno in senso generalizzato (vedi la prossima sezione).

6.3

INTEGRALI GENERALIZZATI RICHIAMI DI TEORIA

Integrali su intervalli illimitati. Sia f definita su un intervallo illimitato del tipo [a, +∞), integrabile in ogni intervallo del tipo [a, k] con k > a.

Se il limite Z k

lim

k→+∞

f (x)dx

(6.5)

a

esiste finito, il suo valore si chiama integrale generalizzato di f su [a, +∞) e si indica con Z +∞

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Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati S.I.A.E. o con altre modalità indicate da S.I.A.E. Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale, strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume.

Le richieste vanno inoltrate a: Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi), Corso di Porta Romana 108, 20122 Milano e-mail: autorizzazioni@clearedi.org e sito web: www.clearedi.org L’autorizzazione non è concessa per un limitato numero di opere di carattere didattico riprodotte nell’elenco che si trova all’indirizzo www.zanichelli.it/chi-siamo/fotocopie-e-permessi L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale. La loro fotocopia per i soli esemplari esistenti nelle biblioteche è consentita, anche oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all’opera.

Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, né le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei e archivi, la facoltà di cui all’art. 71-ter legge diritto d’autore.

Per permessi di riproduzione, diversi dalle fotocopie, rivolgersi a ufficiocontratti@ zanichelli.it Licenze per riassunto, citazione e riproduzione parziale a uso didattico con mezzi digitali La citazione, la riproduzione e il riassunto, se fatti con mezzi digitali, sono consentiti (art. 70 bis legge sul diritto d’autore), limitatamente a brani o parti di opera, a)

esclusivamente per finalità illustrative a uso didattico, nei limiti di quanto giustificato dallo scopo non commerciale perseguito. (La finalità illustrativa si consegue con esempi, chiarimenti, commenti, spiegazioni, domande, nel corso di una lezione); b) sotto la responsabilità di un istituto di istruzione, nei suoi locali o in altro luogo o in un ambiente elettronico sicuro, accessibili solo al personale docente di tale istituto e agli alunni o studenti iscritti al corso di studi in cui le parti di opere sono utilizzate; c) a condizione che, per i materiali educativi, non siano disponibili sul mercato licenze volontarie che autorizzano tali usi.

Zanichelli offre al mercato due tipi di licenze di durata limitata all’anno accademico in cui le licenze sono concesse: A) licenze gratuite per la riproduzione, citazione o riassunto di una parte di opera non superiore al 5%. Non è consentito superare tale limite del 5% attraverso una pluralità di licenze gratuite, B) licenze a pagamento per la riproduzione, citazione, riassunto parziale ma superiore al 5% e comunque inferiore al 40% dell’opera. Per usufruire di tali licenze occorre seguire le istruzioni su www.zanichelli.it/licenzeeducative L’autorizzazione è strettamente riservata all’istituto educativo licenziatario e non è trasferibile in alcun modo e a qualsiasi titolo.

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Redazione: Natalia Nanni Impaginazione: CompoMat, Configni (RI) Copertina: – Progetto grafico: Falcinelli & Co., Roma – Immagine di copertina: © D3signAllTheThings/iStockphoto Prima edizione: maggio 2011 Seconda edizione: novembre 2023 Ristampa: prima tiratura 5 4 3 2 1

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