Γεν. Παιδεία γ λυκείου : Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Συναρτήσεις Γιάννης Τάτσης 2011

2 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΔΕΙΑ

Γιάννης Τάτσης

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου 3 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Διαφορικός Λογισμός  Βασικές έννοιες:  Τι ονομάζεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; Απάντηση: Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Παρατηρήσεις: 1. Από τον ορισμό είναι προφανές ότι τα στοιχεία του συνόλου Α πρέπει να εξαντλούνται. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτηση.

2. Το σύνολο Β λέγεται σύνολο άφιξης ή πεδίο τιμών και δεν είναι απαραίτητο τα στοιχεία του να εξαντλούνται. Δηλ. μπορεί να υπάρχει στοιχείο του Β που δεν έχει αρχέτυπο στο σύνολο Α.

3. Αν σε κάποια συνάρτηση τα στοιχεία του συνόλου Β εξαντλούνται τότε το Β λέγεται σύνολο τιμών της συνάρτησης, 4. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β συνήθως συμβολίζεται με: f: Α  Β  Πότε μια συνάρτηση f: Α Β λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Απάντηση: Όταν: Α  R και Β  R . Δηλ. τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα του συνόλου R των πραγματικών αριθμών. Παρατηρήσεις: 1. Στο εξής μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής , θα τη λέμε απλά συνάρτηση.

2. Αν f: Α Β και x  Α , τότε υπάρχει y  Β τέτοιο ώστε y  f  x  . Το f  x  λέγεται τιμή της f στο x.

3. Για να ορισθεί μια συνάρτηση f αρκεί να δοθούν:

Γιάννης Τάτσης

4 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΔΕΙΑ

a. Το πεδίο ορισμού της. b. Η τιμή f  x  για κάθε x  Α .

4. Όταν δίνεται ο τύπος της συνάρτησης χωρίς να δίνεται το πεδίο ορισμού της, τότε πρέπει να βρούμε το ευρύτερο υποσύνολο του R για τα στοιχεία του οποίου έχει νόημα ο τύπος.  ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ 1. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ  Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το IR. g x  Αν f  x   , τότε πρέπει και αρκεί t  x   0 . t x  Αν f  x   g  x  , τότε πρέπει και αρκεί g  x   0 . 

Αν f  x   ln g  x  , τότε πρέπει και αρκεί g  x   0 .

 Αν f  x   εφ g  x  , τότε πρέπει και αρκεί

π , κ Ζ.

2  Αν f  x   σφ g  x  , τότε πρέπει και αρκεί g  x   κπ, κ  Ζ . g  x   κπ 

2. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΗΣ f ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ x΄x  Η γραφική παράσταση Cf της f τέμνει τον x΄x στα σημεία (xi, 0) όπου xi οι ρίζες της εξίσωσης f  x   0 .  Η γραφική παράσταση Cf της f είναι πάνω από τον x΄x αν και μόνο αν f  x   0 .  Η γραφική παράσταση Cf της f είναι κάτω από τον x΄x αν και μόνο αν f  x   0 .  Σημείο τομής της γραφικής παράστασης Cf της f με τον y΄y είναι το σημείο (0, f(0)), με την προϋπόθεση το 0  Df .

Γιάννης Τάτσης

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου 5 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ

3. ΟΡΙΑ Για να βρούμε όρια: lim f  x  κάνουμε κατά κανόνα αντικατάσταση του x  x0

0 τότε: 0  Πρώτα παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε τον τύπο της συνάρτησης με x-x0 και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο κάνοντας αντικατάσταση του x 0 με τον x0 εφόσον δεν εξακολουθεί το όριο να έχει τη μορφή .

0  Αν στον αριθμητή ή τον παρονομαστή εμφανίζονται παραστάσεις της μορφής α  β , α  β , α  β , τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με αντίστοιχα, απλοποιούμε τον α  β, α  β, α  β, τύπο της συνάρτησης και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο.

x με τον x0 στον τύπο της f. Αν το όριο είναι της μορφής

4. ΔΕΝ ΞΕΧΝΑΜΕ ΤΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟ αx 2  βx  γ, α  0  αx 2  βx  γ  α  x  x1  x  x 2  με x1, x2 : οι πραγματικές ρίζες του τριωνύμου.  Στην περίπτωση που το τριώνυμο ΔΕΝ έχει πραγματικές ρίζες τότε ΔΕΝ αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων. h  x  ,x  x 0 f x   m ,x  x 0  Για x  x0 η f είναι συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων.  Στη συνέχεια βρίσκουμε το lim f  x  , έστω lim f  x   k :

5. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

x  x0

x  x0

i. Αν k = m τότε η f είναι συνεχής στο x0 ii. Αν k  m τ τότε η f δεν είναι συνεχής στο x0.

6. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ Cf ΣΤΟ Μ(x0, f(x0)). Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής: y=λx+β.  Βρίσκουμε την f΄(x).  Βρίσκουμε την f΄(x0)=λ = εφω (ω η γωνία της εφαπτομένης με τον άξονα x΄x).  Βρίσκουμε την f(x0). Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : y=λx+β , με β= f(x0)- λx0

Γιάννης Τάτσης

6 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΔΕΙΑ

 ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ Αν ε1, ε2 ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης λ1, λ2 αντίστοιχα τότε:  ε1 // xx  λ1  0  ε1 // ε2  λ1  λ2  ε1  ε2  λ1  λ2  1 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ    f  g  x     f   g  x    g  x  m1 m    f  x    m  f  x   f   x    f x  f x  e     e    f   x    1  f   x , f  x   0  ln f  x    f x 





 f x 

1 2 f x

 f   x , f  x   0

  ημ  f  x     συν f  x    f   x    συν  f  x     ημ  f  x    f   x  1 π    f x , f x  κπ  , κΖ  εφ  f  x         2 συν 2  f  x  

1   f   x  , f  x   κπ, κ  Ζ  σφ  f  x     2 ημ  f  x  

8. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ (ΒΗΜΑΤΑ)  Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.  Βρίσκουμε την παράγωγο της f.  Λύνουμε την εξίσωση f΄(x)=0, έστω ρ1, ρ2 οι ρίζες.  Λύνουμε τις f΄(x)>0 και f΄(x)<0.  Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων της f.  Υπολογίζουμε τις τιμές των ακροτάτων δηλ. f(ρ1), f(ρ2).

Γιάννης Τάτσης

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου 7 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

9x  x 2 α) f  x   2  5  x β) f  x   ln 14 2 2. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x 25  x a. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

25 b. Να δείξετε ότι: f  5συνx   2 11 3. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x  8x  8 a. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. b. Να λύσετε την ανισότητα: f  f  x    1 1 x 1 x x x 4. Δίνονται οι συναρτήσεις: f  x    5  5  , g  x    5  5  και 2 2 g x hx  . Να αποδείξετε ότι για κάθε x  R ισχύουν: f x i. iii.

f  x   f  x 

ii.

g  x   g  x   0

f x  0

iv.

 f  x    g  x   1 2

2

2

1  h  x     f  x  5. Να υπολογιστούν τα όρια: x 2  2x  8 x  11  3 i. lim ii. lim x 4 1  x2 x3 x  27  5 x  3 x 2 iii. lim x 1 x 1 3 2 6. Δίνεται η συνάρτηση f  x   x  9x  24x  λ, λ  R . Αν x1, x2 είναι 2

v.

θέσεις τοπικών ακροτάτων της f να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων Α  x1,f  x1   και Β  x 2,f  x 2   είναι σταθερή.

7. Να υπολογίσετε το lim f  x  στις παρακάτω περιπτώσεις: x  x0

1 x ,x 0 Α) f  x   1 0 x x x 2  5x  6  6 f x  , x0  0 Γ)   x 11 1

x 2  3x  2 , x0  1 Β) f  x   2 x x2

Δ) f  x  

x 1 , x0  1 3 x 1 Γιάννης Τάτσης

8 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΔΕΙΑ 8. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση:

 x 2 , x  0,4    4,     2 x  6x  8 στο σημείο x0  4 . f x   1  , x4  8 9. Για ποια τιμή του k  , η συνάρτηση  3  4x , x   0,1  1,3   f x   είναι συνεχής στο σημείο x0  1 ; x x  k , x 1  10. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: φ  x   f x 2  2x  4 k  x   f  συνx   συν  f  x  





ρ  x    f  ln x  

2



h  x   f eσυνx  2



  1  s  x   ημ  f      x   11. Ένα μόριο σκόνης κινείται κατά μήκος του άξονα x΄x και η θέση του κάθε χρονικά στιγμή t δίνεται από τον τύπο: x  t   t 3  2t 2  4t  1. i. Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του ως συνάρτηση του χρόνου. ii. Ποια είναι η ταχύτητα του μορίου σε χρόνο 1 sec; iii. Πότε το μόριο είναι στιγμιαία ακίνητο; iv. Πότε το μόριο κάνει επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη κίνηση; v. Ποιο είναι το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το μόριο στη διάρκεια των πρώτων 2 sec; vi. Πόσο μετατοπίσθηκε το μόριο από την αρχική του θέση στη διάρκεια των πρώτων 2 sec; 2 12. Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   α x  x  9  3β , α,β  και

τ x  f





ln x  f  x 

g  x   x  1. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους. f ii. Να ορίσετε τη συνάρτηση: h  g iii. Αν η γραφική παράσταση της h διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Κ(9,3) να βρείτε τα α, β.

Γιάννης Τάτσης

Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου 9 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ

iv. Για α = β = 1 να εξετάσετε αν η συνάρτηση h  x  , x  0,1  1,    t x   είναι συνεχής στο σημείο 2 , x  1  x0  1 3 13. Δίνεται η συνάρτηση f  x   2x  4x  2 . i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii. Να βρείτε το σημείο της γραφικής της παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του προηγουμένου ερωτήματος. f x  4 iv. Να υπολογίσετε το lim 2 . x1 2x  3x  1 αx 14. Δίνονται οι συναρτήσεις f  x   e και g  x   β  ln x με α, β  . a. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους. b. Να βρείτε για ποια τιμή του α η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α  0, f 0   είναι παράλληλη στην ευθεία y = -x. c. Να βρείτε για ποια τιμή του β η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cg της g στο σημείο Β 1, g 1  είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 2ης γωνίας των αξόνων. d. Αν Α είναι το σημείο της Cf με τον άξονα y΄y και Β το σημείο της Cg με τον άξονα x΄x και α = 1 , β = -1 να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο Α ταυτίζεται με την εφαπτομένη της Cg στο Β.

2 3 15. Δίνεται η συνάρτηση f  x   4  3x  x . i. Να βρείτε σημείο Μ της Cf ώστε η εφαπτομένη της ( ε ) στο Μ να είναι παράλληλη στην ευθεία ( η ) : 3x+y-4 = 0. Στην συνέχεια βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ). f   x   f  1 ii. Να υπολογίσετε το lim . x 1 f  x   f 1 iii. Για ποιες τιμές του x 

είναι f   x   0 ;

iv. Αν g  x   ln  f   x  , να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. x 16. Δίνεται η συνάρτηση f  x   ln  e  1 . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α. Γιάννης Τάτσης

10 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΔΕΙΑ

ii. Για ποιες τιμές του x  A η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x; iii. Να βρείτε τις τιμές του α  για τις οποίες ισχύει: f x f x α2  α  e x  1 f   x   6e    α  0 f   x  iv. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g  x   e   και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο Π. Ο. της.

2f x 1

Γιάννης Τάτσης