2
PAG.
INTRODUCCIÓN……………………………………………
04
HISTORIA SOBRE DERIVADA…………………………...
05
DEFINICIÓN DE DERIVADA……………………………..
06
TEOREMAS Y EJEMPLOS………………………………..
07
DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA….
10
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA…………………………………………….
11
REGLA DE LA CADENA…………………………………..
12
ENTRETENIMIENTO……………………………………...
13
CURIOSIDADES…………………………………………….
14
TIPS PARA ESTUDIAR…………………………………….
15
EJERCICIOS PROPUESTOS PARA REALIZAR……….
16
8 TIPS PARA PRESENTAR UN EXAMEN.........................
17
REFERENCIAS……………………………………………...
19
3
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal.
Los introductores fueron Newton y Leibnitz dos grandes matemáticos que comienzan un estudio sistemático de derivada con lo que le dieron origen al calculo diferencial y al mismo tiempo se les conoce la paternidad del calculo.
Gracias al cálculo de derivadas es posible resolver problemas en los que intervengan dos magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra alcance un valor máximo o mínimo.
La presente revista les permitirá observar de forma detallada varios aspectos relacionados con el tema de derivadas como lo son: la definición, teoremas, ejercicios resueltos y propuestos, además de técnicas de estudio y todo lo relacionado con este tema para una mejor comprensión.
4
HISTORIA SOBRE DERIVADAS Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III A.C.), pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz). Aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Isaac Newton y a Leibnitz a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales. Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era mas sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) ó y, él lo llamaba "cantidades fluentes", y la derivada, D f (x) era llamaba "fluxión". Además, se le escribía
en lugar de D f (x).
Leibnitz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como y para la derivada y la integral. Fue el primero en los símbolos utilizar el término "función" y el uso del símbolo " = " para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra de donde era oriundo Newton.
5
Saenz (2005), señala que la derivada de la función f es la función f´, tal que su valor es un número x del dominio de f es la derivada de f en x:
Otro símbolo para f´ es Df esto es Df= f´y en el caso de que se quiera especificar la variable independiente, se escribe Dx f, que se lee “la derivada de f respecto a x”. Se tiene entonces: DxF(x) = f´(x) Saenz (2005), explica que la derivada de f en a, denotada por f´(a) es el siguiente límite:
La derivada de f´(a), por ser un limite, puede o no existir. En el caso de que exista diremos que la función f es diferenciable en el punto a. En esta definición esta implícito que f deber estar definida en un intervalo abierto que contiene a a. Al límite anterior lo podemos expresar en otra forma ligeramente diferente. Si h= x – a, entonces x= a + h y x → a ↔ h → 0 Luego de la definición parte de la equivalencia:
Donde es común llamar a (delta x) a la diferencia x – a es decir: =x–a también se puede escribir de la siguiente manera uniendo la definición de derivada con la de equivalencia y así obtendremos la expresión tradicional para derivada:
6
Teorema 1: Derivada de una constante Si c es una constante, entonces: Si f(x) = 2 entonces f´(x) = 0 Esto es, la derivada de una función constante es cero.
Ejemplo Nº 01: f´(x) = Lim 2 – 2 = Lim 0 = Lim 0 = 0 h→0 h→0 h→0
Ejemplo Nº 02:
Teorema 2: Derivada de una potencia Si u es una función diferenciable de x y n es cualquier número real, entonces Si f(x)= x² entonces f´(x)=nx (n-1) Ejemplo:
7
Teorema 3: Derivada de una constante por una función Si f es una función diferenciable y c una constante, entonces cf(x) es diferenciable: f´(x) = c.g´(x) Esto es, la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función. Ejemplo:
Teorema 4: Derivada de una suma o de una resta. Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g son diferenciables y´= f´(x) + g´(x) Esto es, la derivada de la suma (o resta) de dos funciones es la suma (o resta) de sus derivadas. Ejemplo:
Teorema 5: Derivada de un producto Si f y g son funciones diferenciables, el producto fg es diferenciable
Esto es, la derivada del producto de dos funciones es la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. Ejemplo:
8
Teorema 6: Derivada de un cociente Si f y g son funciones diferenciables y g(x) ≠0, entonces el cociente f/g es tambiÊn diferenciable f´(x)
Esto es, la derivada del cociente de dos funciones es el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadrado del denominador. Ejemplo:
9
Es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto a la variable independiente es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas mas habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x).
Ejemplo: 1)
2)
10
Derivada de la Funci贸n exponencial
Con a>0 y a 卤 1
Derivada de la Funci贸n Logar铆tmica
Ejemplos: 1)
2)
11
Si y= f(u) es diferenciable en u y u=g(x) es diferenciable en x entonces la función fog es diferenciable en x y se cumple:
Ejemplo Nº 01: Sea y= 0² (f(x)) y u= x-3 (g(x)) Luego [F(g(x))]´ = f(x-3) = (x-3)² f´(g(x)) = 20* 1 = 2(x-3) = 2x – 6 Ejemplo Nº 02: Sea f(u) = u³ y u=g(x) = x-3 Luego F(g(x)) = f(x-3) = (x – 3)³ [F(g(x))]´ = f´ (g(x)) . g´(x) = 30² . 1 = 3 (x – 2)² = 3 (x² – 6x + 9) = 3x² – 18x + 27 12
CRIPTOGRAMA MATEMÁTICO
DIVERTI SOPA
13
La idea de derivada está vinculada estrechamente con la idea de límite, es decir que nunca se encuentra el valor de la incógnita. Sólo podemos aproximarnos a éste
La derivada es un concepto muy útil para aplicar a cuestiones cotidianas.
La variación de la velocidad en la carrera de maratón puede ser medida con derivadas.
14
Horario Saber administrar el tiempo es muy importante y una sugerencia es hacer un horario de estudio, para la cual es necesario investigar cuanto tiempo necesitas dedicarle a cada materia
Ambiente de Estudio Crea un ambiente en el que puedas estar concentrado sin distracciones. Busca las condiciones óptimas en las que puedes estudiar y apégate a ellas. No estudies acostado. Lo único que conseguirás es dormirte, la cama sirve para descansar no para estudiar
ºººº
Planeación y Organización Lo que puedes hace es un horario y revisarlo diariamente, asimismo anota tus metas académicas. Antes de empezar a estudiar prepara el espacio que vas a ocupar y ten todo el material a la mano. Evita todo tipo de distracciones, concéntrate y el tiempo invertido será más eficiente.
No te preocupes por tus fracasos, ¡ocúpate! 15
Calcular la derivada: 1) f(x) = 8 2) 5x³ 3) X + 3 X–3 4) f(x) = (3x – 2).( 3x – 2) 5) 0,5 x ³ - 0,3x² + 2,5x
Hallar la derivada de la función dada: 6) f(x) = 5senx + 2 cosx 7) f(x) = 1 - cosx 1 + cosx 8) f(x) = tanx . senx 9) f(x) = tanx - 1 secx 10)
11)
12)
13) 14) 16
Para que tu mente pueda rendir al mĂĄximo, duerme bien la noche anterior al examen.
LevĂĄntate temprano y llega puntual a la escuela, seguro de tus conocimientos.
No creas que tu memoria va a funcionar en un 100%. Por tanto, no te desesperes si algo se te olvida.
AsegĂşrate de que comprendes perfectamente el contenido de cada pregunta, antes de pretender responderla.
17
Concéntrate en resolver tu examen, no el de tu amigo o amiga.
No te sientas mal si otros terminan antes que tú. Tampoco quieras ser el primero en terminar; los exámenes no son carreras de caballos, así que tómate tu tiempo para resolverlo, revisar tus respuestas y si puedes corregir los errores que hayas cometido.
Asegúrate de contestar todas las preguntas.
Antes de entregar tu examen, revísalo. Asegúrate de que tu hoja de respuestas esté claramente marcada con un lapicero oscuro y borra cualquier marca de más.
Recuerda que el que saca las mejores calificaciones no es el más
inteligente, sino el mejor preparado.
18
http://argentina.aula365.com/post/derivadas
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://www.vitutor.com/fun/4/b_5.html
http://www.dervor.com/derivadas/derivada_suma.html
http://www.dervor.com/derivadas/derivada_potencia.html
http://www.dervor.com/derivadas/derivada_producto.html
http://www.derivadas.es/2009/12/12/definicion-de-derivadas/
http://www.vadenumeros.es/primero/derivada-potenciallogaritmica.htm
S谩enz, Jorge. Calculo Diferencial. Segunda Edici贸n.
19