รายงานสัม มนา เรื่อ ง On the properties of Lucas Number with binomial coefficients
จัด ทำา โดย นางสาวสิริลักษณ์ อินทรบุตร คบ 4 คณิตศาสตร์ รหัสนักศึกษา 524143024
นำา เสนอ
ดรกฤษณะ
โสขุมา
รายงานนี้เ ป็น ส่ว นหนึ่ง ของวิช า สัม มนาคณิต ศาสตร์ ภาค เรีย นที่ 2 ปีก ารศึก ษา 2555
มหาวิท ยาลัย ราชภัฎ หมู่บ ้า นจอมบึง 70150
องค์ค วามรู้ท ี่เ กี่ย วข้อ ง Édouard ลูค ัส (1842-1891)
ลูคัส Édouard François Édouard Anatole ลูคัสเป็นนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษ ที่ 19 ภาษาฝรั่งเศสสำาหรับผู้ซีรี่ส์ที่ชื่อลูคัส ลูคัสเกิดใน 1842 ในอาเมียง ฝรั่งเศสและได้รับการศึกษาใน École Normale ในเมืองที่ หลังจากนั้นเขา ก็ทำางานภายใต้ Le Verrier ทีห ่ อสังเกตการณ์ปารีส เขาทำาหน้าที่เป็นเจ้า หน้าที่ปืนใหญ่ในฝรั่งเศสปรัสเซีย (1870-1871) และกลายเป็นอาจารย์ของ คณิตศาสตร์ที่Lycée Saint Louis ในปารีสหลังจากความพ่ายแพ้ของ ฝรั่งเศส เขาเป็นอาจารย์ในภายหลังของคณิตศาสตร์ที่Lycée Charlema gne ยังอยู่ในปารีส ลูคัสมีชื่อเสียงมากที่สุดสำาหรับการทำางานของเขากับทฤษฎี จำานวน- เขาศึกษาชุด Fibonacci และที่เกี่ยวข้องกับลูคัสซีรีส์ ชุดลูคัสถูก กำาหนดไว้เกือบเหมือนกันกับ Fibonacci ชุด (จำานวนแต่ละคือผลรวมของ ก่อนหน้านี้สองยกเว้นครั้งแรกที่สองสมาชิกของชุด; f (n) = f (n-2) + f (n1) ) ความแตกต่างในความหมายก็คือว่าชุดลูคัสเริ่มต้นด้วย 2 และ 1 มากกว่า 1 และ 1 นี้ดูเหมือนว่าแตกต่างเล็ก ๆ ในตอนแรก แต่เมื่อเห็นชุด
หนึ่งอย่างต่อเนื่องตั้งแต่ 2 และ 1 ความแตกต่างที่เห็นได้ชัด (ดู ตัวเลขจำา นวนลูคัส ): ซีรี่ส์ Lucas: 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 ซีรี่ส์ Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ฟีโบนักชีและลูคัสซีรีส์มีความสัมพันธ์ในรูปแบบที่สำาคัญมาก สำาหรับ หนึ่งอัตราส่วนของตัวเลข Lucas เนื่องลู่ไป (1618 ) เช่นเดียวกับชุด Fibonacci แต่ก่อนที่คุณจะได้รับตื่นเต้นเกินไปเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกัน นี้โดดเด่นที่คุณควรรู้ว่าเป็นความจริงใด ๆ ชุด Fibonacci เหมือนเริ่มต้น ด้วยคู่ของตัวเลขใด ๆ ; ขีด จำากัด ของอัตราการเจริญเติบโต บางแหล่งเครดิตลูคัสกับ สูตร Binet ของ วิธีการหาตัวเลขฟีโบนักชี แต่ไม่ว่าลูคัสมาด้วยสูตรนี้จะเปิดให้อภิปราย นักคณิตศาสตร์สำาหรับผู้ที่สูตร มีชื่อ ฌาคส์ฟิลิปรี Binet จะให้เครดิตกับการหามันใน 1843 เพียงหนึ่งปี หลังจาก Édouard ลูคัสเกิด ประวัติของคณิตศาสตร์ที่เต็มไปด้วยชนิดของ ความสับสนนี้เพื่อให้ความจริงที่ว่าบางเครดิตลูคัสกับสูตรนี้ไม่แปลกใจ Édouard ลูคัสยังคิดค้นวิธีการของการทดสอบสำาหรับ primality (หรือ ไม่ว่าจำานวนเป็นสำาคัญ) ในปี 1876 เขาพิสูจน์ว่าจำานวน Mersenne 2 127-1 เป็นสำาคัญโดยใช้วิธีการของเขาเอง จำานวนที่ยังคงยืนเป็นนายกที่ ใหญ่ที่สุดที่เคยพบโดยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์และวิธีการของลูคัส สำาหรับการทดสอบสำาหรับ primality ยังคงใช้วันนี้ ประจำาไตรมาสสิ้นสุดวัน Fibonacci สิ่งพิมพ์ทางวิชาการที่อุทิศให้กับ การวิจัยต่อเนื่องเป็น Fibonacci คณิตศาสตร์บ่อยตีพิมพ์งานวิจัยใหม่เกี่ยว กับวิธีการที่ลูคัสของ primes
ทาวเวอร์ของฮานอยใน 1883 ลูคัสที่ เผยแพร่เกมทางคณิตศาสตร์ของเขาที่มีชื่อ เสียงทาวเวอร์ของฮานอยภายใต้นามแฝง "เอ็ม Claus" ("Claus" เป็น anagram ของ "ลูคัส") ทาวเวอร์ของฮานอย (ดูขวา) เป็น ปริศนาง่ายๆที่มีสามเข็มบนกระดานกับแผ่น
ดิสก์ที่มีขนาดน้อยไปหามากวางไว้จากบนลงล่างรอบ ๆ ตรงกลางตรึง วัตถุ คือการย้ายทั้งหมดของแผ่นจากที่หนึ่งไปยังอีกตรึงหนึ่งที่เวลาในจำานวนที่ น้อยที่สุดของการย้าย กฎเดียวก็คือแผ่นดิสก์ที่ไม่มีอาจจะอยู่ที่ด้านบนของ แผ่นดิสก์ที่มีขนาดเล็กได้ตลอดเวลา
ชุด จำา นวนลูค ัส นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Edouard Lucas (1842-1891) ซึ่งทำาให้ ชุดของตัวเลข 0 1 1 2 3 5 8 13 ชื่อตัวเลข Fibonacci พบชุดคล้ายคลึง กันเกิดขึ้นบ่อยครั้งเมื่อ investigatng รูปแบบจำานวน Fibonacci: 2 1 3 4 7 11 18 กฎของการเพิ่ม Fibonacci ล่าสุดสองที่จะได้รับต่อไปจะถูกเก็บไว้ แต่ที่นี่ เราเริ่มต้นจาก 2 และ 1 (ตามลำาดับนี้) แทน 0 และ 1 สำาหรับ (ธรรมดา) ตัวเลข Fibonacci ชุด ที่เ รีย กว่า ลูค ัส เบอร์ห ลัง จากที่เ ขาถูก กำา หนดให้เ ป็น ดัง นี้ : ที่เรา เขียนเป็นสมาชิกของ L n L n = L n-1 + L n-2 สำาหรับ n> 1 L0=2 L1=1 และนี่คือค่าบางอย่างเพิ่มเติมของ n กัน L กับตัวเลข Fibonacci สำาหรับการ เปรียบเทียบ: n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F n: n
L:
01123 5 8 21347
1 2 3 55 3 1 4
1 1 2 4 7 12 1 8 9 7 6 3
จำานวนลูคัสมีจำานวนมากของคุณสมบัติที่คล้ายกับที่ของตัวเลข Fibonacci และที่ไม่ซำ้ากันในชุดที่คุณตรวจสอบในสถานที่ที่น่าสนใจส่วน ข้างต้นตัวเลขลูคัสมักจะเกิดขึ้นในสูตรต่างๆสำาหรับตัวเลข Fibonacci นอก จากนี้ถ้าคุณมองไปที่หลายสูตรสำาหรับตัวเลขลูคัส คุณจะพบชุด Fibonacci จะมีเกินไป ส่วนถัดไปแนะนำาให้คุณบางส่วนของสมการเหล่านี้ ดังนั้นทุก ชุดทั่วไป Fibonacci ' สองเหล่านี้ดูเหมือนจะสำาคัญที่สุด ยกตัวอย่างเช่นที่นี่เป็นกราฟของอัตราส่วนของตัวเลขลูคัสต่อเนื่อง:
ในความเป็น จริง สำา หรับ ชุด ทุก รูป แบบโดยการเพิ่ม ล่า สุด สองค่า ที่ จะได้ร ับ ต่อ ไปและไม่ว ่า สิ่ง ที่ส องค่า ที่เ ราเริ่ม ต้น ด้ว ยเรามัก จะจบ ลงด้ว ยการที่ม ีเ งื่อ นไขการใช้อ ัต ราส่ว นพี = 16180339
จำา นวนฟีโ บนัก ชี ฟีโบนักชี (Fibonacci) (มักจะสะกดผิดว่า ฟีโบนักชี หรือ ฟิโบนักชี) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี มีชื่อเสียงโด่งดังที่สุดจากการค้นพบจำานวนฟี โบนักชี และบทบาทในการเผยแพร่การเขียนและวิธีการคำานวณระบบ
จำานวนฐานสิบที่ให้ค่าตามหลักแบบอาราบิก (Arabic positional decimal system) ที่ใช้กันในปัจจุบัน หลายคนยกย่องว่าเขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ เก่งที่สุดในยุคกลาง ลำาดับฟีโบนักชี คือ 1 1 2 3 5 8 13 21 โดยที่เลขสองตัวข้างหน้าบวก กันกลายมาเป็นผลลัพธ์ ของอีกตัวหนึ่งทางด้านขวา เช่น 2+3 =5 ไปเรื่อยๆ อย่างเช่น ในหนังสือ รหัสลับดาวินซี ที่ โซนิแยร์ทิ้งไว้ให้โรเบิร์ต แลงดอน และ โซเฟีย ที่ปรากฏในวรรณกรรม รหัสลับดาวินชี ความสัม พัน ธ์ร ะหว่า งจำา นวนลูค ัส และฟีโ บนัก ชี จาก
ทำาให้ได้ จำานวนฟีโบนักชี (
)
และ จาก ทำาให้ได้จำานวนลูคัส ( n
1 0 2
2 1 1
ทำาให้ได้ว่า ความสัมพันธ์ต่างๆดังนี้ 5
3 1 3
4 2 4
5 3 7
) ดังตารางนี้ 6 5 11
7 8 18
8 13 29
สำาหรับจำานวนเต็มบวก n และ
9 21 47
จำา นวนลูค ัส และฟีโ บนัก ชีใ นธรรมชาติ ในธรรมชาตินั้นจำานวนลูคัส และจำานวนฟีโบนักชี มีความคล้ายคลึง กันในการจัดวางหรือตั้งค่าทางชีวภาพทางธรรมชาติ ในที่นี้ขอยกตัวอย่าง จำานวนฟีโบนักชี เท่านั้น
ดอกคาโมไมล์สีเหลือง หัวแสดงจัดใน 21 (สีฟ้า) และ 13 (Aqua) เกลียว ที่ เกี่ยวข้องกับการเตรียมการดังกล่าวตัวเลข Fibonacci ติดต่อกันปรากฏใน หลากหลายของพืช ในสองตัวเลข Fibonacci ติดต่อกันเช่นแยกในต้นไม้ จัดของใบบนลำาต้น fruitlets จาก สับปะรด ออกดอกของ อาติโช๊ค uncurling เฟิร์นและการ จัดเรียงของ โคนต้นสน นอกจากนี้การเรียกร้องพิสูจน์คุณภาพมากมาย ของตัวเลข Fibonacci หรือส่วนทอง ในธรรมชาติจะพบในแหล่งที่นิยมเช่น ที่เกี่ยวข้องกับการแพร่พันธุ์ของกระต่ายเมล็ดทานตะวันเมื่อ spirals ของ เปลือกหอยและ เส้นโค้งของคลื่น ตัวเลข Fibonacci ยังพบในต้นไม้และใน ครอบครัวของผึ้ง
แบบจำาลองสำาหรับรูปแบบของ florets ในหัวของ ดอกทานตะวัน ที่ถูกเสนอ โดยเอช Vogel ในปี 1979 นี้มีรูปแบบ ที่ n คือจำานวนดัชนีของดอกและ c คือปัจจัย ที่ปรับค่าคงที่ florets จึงนอนอยู่บน เกลียวของแฟร์มาต์ มุมแตกต่าง ประมาณ 13751 ° เป็น มุมทอง แบ่งวงกลมสีทองในอัตราส่วน เพราะ อัตราส่วนนี้มีเหตุผลดอกไม่มีใครมีเพื่อนบ้านที่ตรงมุมเดียวกันจากใจกลาง ดังนั้น florets แพ็คได้อย่างมีประสิทธิภาพ เพราะเหตุผลประการที่ อัตราส่วนทองคำาเป็นรูปแบบของ F (j): F (J + 1) เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดของ จำานวนดอก n เป็นผู้ที่n ± F (ญ) สำาหรับ j ดัชนีบางซึ่งขึ้นอยู่กับ r ระยะห่าง จากจุดศูนย์กลาง ได้มีการกล่าวบ่อยครั้งที่ดอกทานตะวันและการเตรียม การที่คล้ายกันมี 55 เกลียวในทิศทางเดียวและอื่น ๆ 89 ใน (หรือบางคู่อื่น ๆ ของตัวเลข Fibonacci ทีอ ่ ยู่ติดกัน) แต่นี้เป็นจริงเพียงหนึ่งเดียวของช่วง หนึ่งของรัศมีโดยปกตินอกสุดและทำาให้เห็นได้ชัดเจนที่สุด สัม ประสิท ธิ์ท วิน าม
จากสูตรการคูณสำาหรับการกระจายทวินาม จะได้ว่า ทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำานวนเต็มบวกหรือศูนย์ คือ การนำา (a+b) มาคูณกัน จำานวน n วงเล็บ เช่น (a+b)4 = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) แต่ถ้าการกระ จายนั้นมีค่า n มากๆ ก็จะทำาให้หาค่าได้ยากขึ้น ดังนั้น เราจึงต้องใช้ ทฤษฎีบททวินามช่วยในการกระจาย สามเหลี่ย มของปาสคาล (Pascal’s triangle) เมื่อพิจารณาการกระจายทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำานวนเต็มบวกหรือ ศูนย์ จะได้ (a+b)0 = 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b2 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 เราจะเห็นว่าสามารถเขียนแผนภาพเฉพาะสัมประสิทธิ์ของการกระจายทวิ นาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำานวนเต็มบวกหรือศูนย์ ได้ดังนี้
n=0
1
n=1
1
n=2
1
n=3
1
n=4 n=5
1
1 1
3 4
5
2
1 3
1
6
4
1
10
10
5
1
n=6
1
6
15
20
15
6
1
แผนภาพนี้เรียกว่า “สามเหลี่ยมของปาสคาล”จากสามเหลี่ยมปาสคาล ทำาให้ เราทราบว่า 1 จำานวนแรกและจำานวนสุดท้ายของแต่ะแถมเท่ากับ 1 เสมอ 2 จำานวนใดๆ ในแต่ละแถว เกิดจากการบวกของจำานวน 2 จำานวน ที่ อยู่เหนือจำานวนนั้นๆ ไปทางซ้ายและทางขวาของแถวด้านบนที่ติดกัน 3 สามเหลี่ยมปาสคาลมีลักษณะสมมาตร 4 จำานวนทั้งหมดที่อยุ่ในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ n+1 จำานวน 5 ผลบวกของจำานวนทุกจำานวนในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ 2n ทฤษฎีบ ททวิน าม (Binomial Theorem) จากการพิจารณาสามเหลี่ยมของปาสคาลตามแผนภาพ เราจะสามารถ เขียนให้อยู่ในรูปของ C(n r) เมื่อ n r เป็นจำานวนเต็มบวกใดๆ ซึ่ง n>r>0 และ C(n r) = n! / (n-r)! r! ดังนี้ n=0
C(0 0)
n=1
C(1 0) C(1 1)
n=2
C(2 0) C(2 1) C(2 2)
n=3
C(3 0) C(3 1) C(3 2) C(3 3)
n=4
C(4 0) C(4 1) C(4 2) C(4 3) C(4 4)
n=5
C(5 0) C(5 1) C(5 2) C(5 3) C(5 4) C(5 5)
n=6
C(6 0) C(6 1) C(6 2) C(6 3) C(6 4) C(6 5) C(6 6)
ดังนั้น สิ่งที่ทราบเพิ่มเติมจากสามเหลี่ยมปาสคาล คือ (a+b)0 = C(0 0) (a+b)1 = aC(1 0) + bC(1 1) (a+b)2 = a2 C(2 0) + ab C(2 1) + b2 C(2 2)
(a+b)3 = a3 C(3 0) + a2b C(3 1) + ab2 C(3 2) + b2 C(3 3) (a+b)4 = a4 C(4 0) + a3b C(4 1) + a2b2 C(4 2) + ab3 C(4 3) + b4 C(4 4) (a+b)5 = a5 C(5 0) + a4b C(5 1) + a3b2 C(5 2) + a2b3 C(5 3) + ab4 C(5 4) + b5 C(5 5) (a+b)n = an C(n 0) + a(n-1)b C(n 1) + a(n-2)b2 C(n 2) + … + a(n-r)br C(n r) + … + ab(n-1) C(n n-1) + bn C(n n) จากการกระจายบททวินามข้างต้น จะสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบททวินามได้ ดังนี้ ทฤษฎีบ ททวิน าม ถ้า a b เป็นจำานวนจริง และ n r เป็นจำานวนเต็มบวกใดๆ และ n>r>0 แล้ว (a+b)n = an + a(n-1)b C(n 1) + a(n-2)b2 C(n 2) + … + a(n-r)br C(n r) + … + ab(n1) C(n n-1) + bn และเรียก C(n r) ว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม จากทฤษฎีบททวินาม เราจะได้บทสรุปว่า 1 การกระจายทวินาม(a+b)n แล้วจะได้ n+1 พจน์ 2 เนื่องจาก C(n 0) = C(n n) = 1 ทำาให้ทราบว่า an C(n 0) = an และ bn C(n n) = bn 3 กำาลังของ a เริ่มจาก n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 0 สำาหรับกำาลังสองของ b เริ่มจาก 0 เพิ่มขึ้นทีละ 1 จนถึง n 4 ผลบวกของกำาลังของ a กับ b ในแต่ละพจน์ จะเท่ากับ n เสมอ 5 C(n 0) + C(n 1) + C(n 2) + … + C(n n) = 2n 6 (a+b)n = ผลบวกของ a(n-r)br C(n r) เมื่อ r มีค่าตั้งแต่ 0-n 7 การหาพจน์และสัมประสิทธิ์ทวินาม ได้เท่ากับ Tr+1 = a(n-r)br C(n r) 8 C(n r) = C(n-1 r-1) + C(n-1 r) 9 การหาเศษของการหาร (a+b)n / a เมื่อ n เป็นจำานวนเต็มบวก สามารถ พิจารณาได้จากการหาค่าตัวเศษของ bn / a 10 เมื่อ n เป็นจำานวนเต็ม :
a (a+b)n + (a-b)n = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คี่จากการกระจาย
(a+b)n (a+b)n
b (a+b)n - (a-b)n = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คู่จากการกระจาย
การกระจายพหุน ามที่ม ีม ากกว่า 2 พจน์ข องเอกนาม พหุนาม (a1 + a2 + a3 + … + ak)n สามารถกระจายได้ C(n+k-1 k-1) พจน์ และสามารถหาพจน์ทั่วไปได้ ดังนี้ [n! / P1! P2! P3! … Pk!] (a1)P1 (a2)P2 (a3)P3 … (ak)Pk เมื่อ P1+P2+P3+ … +Pk = n และ P1 P2 P3 … Pk เป็นจำานวนเต็ม อัต ราส่ว นทองคำา (Golden Ratio) หรือ ฟี (Phi) เป็นค่าคงที่ ที่มีค่า 1618 โดยประมาณ หรือกล่าวได้ว่า เลข 2 จำานวน (คือ a และ b) จะเป็นอัตราส่วนทองคำาก็ต่อเมื่อ อัตราส่วนระหว่างจำานวน ที่มากกว่า (a) ต่อผลรวม (a+b) มีค่าเท่ากับอัตราส่วนระหว่างจำานวนที่น้อย กว่า (b) ต่อจำานวนที่มากกว่า (a) นั่นคือ ((a+b)/a)=(a/b) นั่นเองอัตราส่วน ทองคำานี้ เมื่อเรานำามาเขียนในรูปแบบพีชคณิต จะได้เป็น (1+sqrt(5))/2 โดยที่ sqrt(x) หมายถึง รากที่ 2 ของ x ความสัม พัน ธ์ร ะหว่า งอัต ราส่ว นทองคำา กับ อนุก รมฟิโ บนัค ชี่ (Fibonacci) อนุกรมฟิโบนัคชี่ คืออนุกรมที่มีค่าเป็นผลบวกของตัวเลข ในลำาดับก่อนหน้านั้น 2 จำานวน นั่นคือ 1123581321… นั่นเอง เมื่อเรานำา ตัวเลขที่อยู่ตด ิ กันในอนุกรมนี้มาหารกัน (ตัวมากตั้งแล้วหารด้วยตัวน้อย) จะพบว่า มันจะมีค่าใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำาเสมอ และเมื่อเรานำาตัวเลข ที่อยู่ตด ิ กันในอนุกรมนี้ที่มีค่ามาก ๆ มาหารกัน จะพบว่า จะมีค่าเป็น 1618 เสมอ ความสัม พัน ธ์ร ะหว่า งอัต ราส่ว นทองคำา กับ อนุก รมลูค ัส (Lucus) อนุกรมลูคัส คล้ายคลึงกับอนุกรมฟีโบนักชี คือเมือ ่ เรานำา ตัวเลขที่อยู่ตด ิ กันในอนุกรมนี้มาบวกกันแล้วนำาจำานวนที่มากหารด้วยจัดนำา จำานวนที่น้อยจะพบว่าจะมีค่าใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำาเสมอ และเมื่อเรา นำาตัวเลขที่อยู่ติดกันในอนุกรมนี้ที่มีค่ามาก ๆ มาหารกัน จะพบว่า จะมีค่า เป็น 1618 เสมอเช่นเดียวกับอนุกรมฟีโบนักชี่ สี่เ หลี่ย มผืน ผ้า ทองคำา (Golden Rectangle) คือ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านยาวต่อด้านสั้นเป็นอัตราส่วนทองคำา
เมื่อเราแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ออกเป็นสองส่วน โดยส่วนแรกเป็นสี่เหลียมจตุ รัสที่มีความยาวของด้านเป็นความกว้างของสี่เหลียมผืนผ้า เราจะพบว่าสี่เห ลียมผืนผ้าที่เหลือจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำาที่มีขนาดเล็กลง และเรา สามารถแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำาที่เกิดขึ้นใหม่นี้โดยวิธีการเดียวกันนี้ต่อ ไปเรื่อย ๆ ไม่รู้จบ
เพนทากอน (Pentagon) หรือ รูป ห้า เหลี่ย มด้า นเท่า จะมีอัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมเทียบกับความยาวของ ด้านหนึ่ง ๆ เท่ากับอัตราส่วนทองคำาเสมอ
เกลีย วฟิโ บนัค ชี่ (Fibonacci Spiral) เกิดจากการลากเส้นโค้งผ่านไปยังจุดแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำา เราจะได้เก ลียวฟิโบนัคชี่ที่ไม่รู้จบ เช่นเดียวกันกับลูคัส
อัต ราส่ว นทองคำา ในผลงานที่ส ร้า งโดยมนุษ ย์ เช่น มหาวิหารพาร์ธีนอน (Parthenon) ในเอเธนส์ มหาวิหารน็อตเตอร์ดาม (NotreDame Cathedral) ในปารีส ภาพวาดโมนาลิซ่า (Mona Lisa) ภาพ เดอะวิทรูเวียนแมน (The Vitruvian Man)
อัต ราส่ว นทองคำา ในธรรมชาติ เช่น เปลือกหอยนอติลุส (Nautilus Shell) เมล็ดดอก ทานตะวัน การแตกใบของต้นไม้ (ใบที่แตกใหม่จะทำามุม 1375 องศา กับ แนวใบเดิม ซึ่งเอา 360 องศา – 1375 องศา จะได้ 2225 เมื่อเอาไปหาร ด้วย 1375 จะได้ค่า Phi นั่นเอง) โครงสร้างร่างกายมนุษย์ เช่น ระยะจาก หัวถึงพื้น หารด้วยระยะจากสะดือถึงพื้น ระยะจากไหลถึงปลายนิ้ว หารด้วย ระยะจากข้อศอกไปถึงปลายนิ้ว ใบหน้าของมนุษย์ Padovan Sequcence ลำา ดับ Padovan เป็น ลำาดับ จาก จำานวนเต็ม P (n) ที่กำาหนดโดยค่าเริ่ม ต้น และ ความสัมพันธ์เกิดขึ้นอีก ค่าไม่กี่ครั้งแรกของ P (n) เป็น 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 49 65 86 114 151 200 265 (ลำาดับ A000931 ใน OEIS )
เกลียวสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านซึ่งเป็นไปตามลำาดับ Padovan ลำาดับ Padovan เป็นชื่อหลังจากที่ ริชาร์ด Padovan ผู้ประกอบ การค้นพบเพื่อ ดัตช์ สถาปนิก ฮันส์แวนเดอร์ Laan ในปี 1994 เรียงความ Dom ฮันส์แวนเดอร์ Laan: Modern ดั้งเดิม ลำาดับถูก อธิบายโดย เอียนสจ๊วต ของเขาใน วิทยาศาสตร์อเมริกัน พักผ่อน หย่อนใจทางคณิตศาสตร์ในคอลัมน์มิถุนายน 1996 นอกจากนี้ เขายังเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในหนังสือเล่มหนึ่งของเขา "ฮิสทีเรีย คณิตศาสตร์: เกมส์สนุกกับคณิตศาสตร์" คำานิยามข้างต้นให้เป็นหนึ่งโดยเอียนสจ๊วตและ MathWorld แหล่ งอื่น ๆ อาจเริ่มต้นลำาดับที่สถานที่ที่แตกต่างกันซึ่งในกรณีบางส่วน ของตัวตนในบทความนี้จะต้องปรับที่เหมาะสมกับ offsets Tribonacci Sequcence หมายเลข tribonacci มีลักษณะทั่วไปของ ตัวเลข Fibonacci กำาหนด โดย กำาหนดนิยามโดย ครั้งแรกไม่กี่ ตัวเลขที่สำาคัญ tribonacci เป็น 2 7 13 149 19341322569415713958901 ซึ่งมี 3 ดัชนี 5 6 10 86 97 214 801 4201 18698 96878 และอื่น ๆ กับ (EW Weisstein 21 มีนาคม 2009) ใช้เกณฑ์ของบราวน์ก็สามารถแสดงให้เห็นว่าตัวเลข tribonacci จะ เสร็จสมบูรณ์นั่นคือทุกตัวเลขที่เป็นบวกสามารถเขียนเป็นผลรวมของตัวเลข ที่แตกต่างกัน tribonacci นอกจากนี้ทุกตัวเลขที่เป็นบวกมีเอกลักษณ์ การ
ขยายตัว Zeckendorf เหมือน เป็นผลรวมของตัวเลขที่แตกต่างกัน tribonacci และผลรวมที่ไม่ประกอบด้วยสามตัวเลข tribonacci ติดต่อกัน การขยายตัวอย่างต่อเนื่อง การแสดงออกที่แน่นอนสำาหรับ จำานวน tribonacci จะได้รับอย่าง ชัดเจนโดย
ที่ไหน
เป็นสามรากของพหุนาม
นี้สามารถเขียนในรูปแบบเล็กน้อยรัดกุมมากขึ้นเป็น
Perrin Sequcence ลำาดับจำานวนเต็ม นิยามโดย ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น นี้ ซำ้า เป็นเช่นเดียวกับที่สำาหรับ ลำาดับ Padovan แต่มีเงื่อนไขที่แตกต่างกันเริ่มต้นคำาไม่กี่ครั้งแรกสำาหรับ 1 มี 3 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17 สมบัต ิ Summation ผลรวมของลำาดับเช่น 1 2 4 คือ 1 + 2 + 4 = 7 ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำาคัญที่จะแปลผล 1 + 2 + 4 ว่าเป็น (1 + 2) + 4 หรือ 1 + (2 + 4) เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์ เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำานวนจำากัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำาให้ลำาดับในการ บวกจำานวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำาหรับสมบัติการ สลับที่ของการบวกจำานวนไม่จำากัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)
ถ้าหากผลรวมหนึ่งๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจาก กัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำาแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวม ของจำานวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050 สัญ กรณ์ซ ิก มาตัว ใหญ่ คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัด มากขึ้น นั่นคือ สัญลักษณ์ผลรวม ∑ โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า
ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง i เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม m คือ ขอบเขตล่างของผลรวม และ n คือขอบเขตบนของผลรวม การที่ กำาหนดให้ i = m หมายความว่าดัชนี i เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ m พจน์ถัด ไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า i ขึน ้ ไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และ หยุดเมือ ่ i = n เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน i ก็ได้ เช่น
ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำาคัญ เรามักจะใช้ อักษรละตินช่วงกลาง (i ไปถึง q) เพื่อใช้แสดงจำานวนเต็มถ้าหาก เกิดความสับสนขึ้น บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัด ดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้ อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น จะมีความหมายเทียบเท่ากับ หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกัน ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น กล่าว
คือผลรวมของ f (k) บนทุกจำานวนเต็ม k ที่อยู่ในช่วงดัง คือผลรวมของ f (x) บนทุกสมาชิก x ในเซต S และ
คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำานวนเต็ม d ที่หาร n ได้ ลงตัว เป็นต้น นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำาเสนอแทนการ ใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำานวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น จะมีความหมายเหมือนกับ การพิส ูจ น์แ บบอุป นัย ทางคณิต ศาสตร์ การพิสูจน์ข้อความในแบบ “ทุกๆ จำานวนนับ nP(n)” หรือ “
”
เมื่อ n เป็นจำานวนนับนั้นมีวิธีหนึ่งที่นิยมใช้ คือ การใช้หลักการอุปนัย ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งวิธีการพิสูจน์แบบนี้มีการพิสูจน์เป็น 2 ตอนดังนี้ คือ
1) แสดงว่า P(1) จริง (คือ แสดงว่า n=1 เป็นจริง)
2) แสดงว่า P(k) = P(k+1) (คือแสดงว่า สำาหรับ k ใดๆ ถ้า n=k เป็นจริงแล้ว จะต้องแสดงให้ได้ว่า n=k+1 เป็นจริงด้วย) ถ้าทั้ง 2 ตอนนี้เป็นจริงแล้ว ก็จะสรุปผลได้ว่า “ P(n) เป็นจริง สำาหรับทุกๆ n ที่เป็นจำานวนนับ” ที่กล่าวมาแล้วทั้งหมดนี้หลักเกณฑ์กว้างๆ ที่มักจะพบในการพิสูจน์ ข้อความทางคณิตศาสตร์ ส่วนรายละเอียดในการพิสูจน์แต่ละแบบนั้น นักศึกษาจะได้พบในกระบวนวิชาต่างๆและอาจนำาความรู้เหล่านี้ไปช่วยใน การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ต่อไป
สมบัต ิข องจำา นวนลูค ัส กับ สัม ประสิท ธิ์ท วิน าม ผู้เ รีย บเรีย ง
:
นางสาวสิร ิล ัก ษณ์
รหัส นัก ศึก ษา
:
524143024
อาจารย์ท ี่ป รึก ษา
:
ดร.กฤษณะ
คำา สำา คัญ
อิน ทรบุต ร
โสขุม า
จำานวนลูคัส จำานวนฟีโบนักชี และสัมประสิทธิ์ทวินาม บทคัด ย่อ ในการศึกษาครั้งนี้จะเกี่ยวกับสมบัติบางประการของจำานวนลูคัส และสัมประสิทธิ์ ทวินามที่สามารถเขียนผลลัพธ์จำานวนลูคัสได้ในรูปแบบใหม่ได้โดยตรง และที่สำาคัญผลลัพธ์เหล่านั้นก็สัมพันธ์กับจำานวนฟีโบนักชีอีกด้วย บทนำา ในทางคณิตศาสตร์จำานวนฟีโบนักชีและลูคัสเป็นสิ่งที่น่าสนใจ มาอย่างยาวนานสำาหรับทฤษฎีบทและความสัมพันธ์ส่วนใหญ่จำานวนเหล่านี้ ทั้งทางวิทยาศาสตร์และธรรมชาติสามารถเห็นได้จากเอกสารอ้างอิง [1-5] สำาหรับกรณีอัตราส่วนของสองจำานวนต่อเนื่องกันนำาไปสู่อัตราส่วนทองคำา (ความสัมพันธ์ของอัตราส่วนทองคำาปรากฏในหลายการวิจัย โดย เฉพาะในฟิสิกส์วิศวกรรมศาสตร์สถาปัตยกรรมธรรมชาติและศิลปะนัก ฟิสิกส์ Naschie และ Marek-Crnjac แสดงบางตัวอย่างของอัตราส่วน ทองคำาในเรื่องเกี่ยวกับทฤษฎีทางฟิสิกส์และเรื่องอนุภาคพลังงานสูง [6-9]) เพราะฉะนั้นในงานวิจัยฉบับนี้เรามีความสนใจในการพัฒนาสิ่งใหม่บาง อย่างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้ได้กับจำานวนเหล่านี้ ในงานวิจัยฉบับนี้ เราได้ผลลัพธ์เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของจำานวนลูคัสแบบใหม่สำาหรับ แต่อย่างไรก็ตามเราควรทราบว่าลำาดับฟีโบนักชี นิยามโดย
และ
ตามลำาดับ อย่างไรก็ตามสำาหรับ
และลำาดับลูคัส โดย
และ
พจน์แรกของลำาดับฟีโบ
นักชี หมายถึงผลบวกในรูปกำาลังสองคือ หรือ
=
ผลบวกในรูปยกกำาลังสองเป็นแรงบันดาลใจของเราที่จะค้นหา การจัดผลบวกที่เกี่ยวข้องกับ กำาลังสองของจำานวนลูคัส และแรงบันดาลใจอีกอย่างหนึ่งสำาหรับงานวิจัย
ฉบับนี้ เราควรสังเกตในเอกสารอ้างอิง[10] Spivey ซึ่งได้นำาเสนอความ คล้ายแบบใหม่สำาหรับการประเมินผลการจัดผลบวกโดยใช้ผลต่างที่มี ขอบเขตดังนั้นเขาจึงขยายการเข้าใกล้แบบใหม่นี้ขึ้นจนนำาไปสู่การจัดผล บวกในรูปแบบ และผลบวกเกี่ยวกับการใช้และการไม่ใช้หมายเลขสเตอริง ในครั้งแรกเช่น ในที่นี้สนใจสำาหรับพหุนามฟีโบนักชี k ให้
เป็นลำา
เมื่อ n=0 ดับฟีโบนักชีที่ k นิยามว่า ถ้า k เป็นตัวแปรจริง x ในขณะที่
และ
สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับพหุนามฟีโบนักชี นิยามโดย เมื่อ n=1 เมื่อ n>1 (ดูใน[11]) หลายความสัมพันธ์สำาหรับการพัฒนามาจากของพหุนามฟีโบ นักชีได้ถูกพิสูจน์แล้วในบทสรุปเอกสารดังกล่าวเขายังเขียนไว้ใน อ้างอิง[12] สมบัติบางประการของจำานวนฟีโบนักชีกับสัมประสิทธิ์ทวินาม ได้มีการค้นหาความจริงและความจริงของสมบัติบางประการเหล่านี้มีความ จำาเป็นอย่างยิ่งในการพิสูจน์ผลลัพธ์หลัก
2 ผลลัพ ธ์ห ลัก งานวิจัยชิ้นนี้ เราค้นพบความจริงเกี่ยวสมบัติใหม่ของจำา นวนลูคัสที่สัมพันธ์กับจำานวนฟีโบนักชีโดยใช้สัมประสิทธ์ทวินามวิธีนี้นำาไป สู่การได้ผลลัพธ์ในรูปอย่างง่ายจากจำานวนลูคัสในแบบใหม่ที่เป็นทางตรง ทฤษฎีบ ทที่ 1 สำาหรับ
และ
เราจะได้มีความสัมพันธ์ว่า
(1) พิส ูจ น์
การพิสูจน์อาศัยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สำาหรับ
สำาหรับ
จะสังเกตได้โดยง่ายเมื่อแทน
จากที่เราทราบว่า
ใน (1) จะได้
ในบทนำาและสมบัติทั่วไป
ของจำานวนลูคัสทำาให้เมื่อแทนค่าจะได้ พบว่าเป็นจริงเพราะเมื่อเทียบกับตาราง จำานวนลูคัสดังนี้ เนื่องจากทราบว่า
และ
ทำาให้ได้
ค่าดังนี้ 1 2 3 4 5 6 7
2 1 3 4 7 11 18
11 12 13 14 15 16 17
123 199 322 521 843 1364 2207
8 9 10
29 47 76
18 19 20
3571 5778 9349
ยอมรับว่าเป็นจริงทุกกรณีสำาหรับจำานวนเต็มบวก
นั่นคือ
(2) นำา
บวกเข้าทั้งสองข้างของ (2)เราจะได้
จาก
เราจะได้ผลลัพธ์แรกคือ
ทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับ และสำาหรับทางขวามือของเครื่องหมาย เท่ากับเราสามารถเขียน
ดังนั้นโดยการกระทำาซำ้าเรา
สามารถเขียน ดังนั้นจะได้
จบการพิสูจน์
ในทฤษฎีบทถัดมาสำาหรับตัวแปรเฉพาะของ
เราจะสร้างสูตร
เฉพาะของจำานวนลูคัสในแบบผลต่างยกกำาลัง ทฤษฎีบ ทที่ 2 สำาหรับ
พิส ูจ น์
สำาหรับ
เราจะได้ความสัมพันธ์ต่อมา
และ
เราทราบว่า
(3)
จากเอกสารอ้างอิง[12] ใช้สมบัติในสมการ (3) และความเท่ากันจะได้ ให้ไว้ในเอกสารอ้างอิง [4] ทำาให้ได้รูปแบบทั่วไปดังนี้
หรือใช้เครื่องหมายในรูปผลบวก เราเขียนได้ว่า
ใช้ความเท่ากันของ สำาหรับ พิส ูจ น์ จาก (4)
และ
ซึ่งให้ไว้ในอ้างอิง [4] ให้ในเอกสารอ้างอิง [12]
และ
แทนค่า
ใน ( 4 ) จะได้
จบการพิสูจน์
ทฤษฎีบ ทที่ 3
สำาหรับ
และ
เราจะได้ความสัมพันธ์ตาม
มา
พิส ูจ น์
ทฤษฎีบทที่ 3 (a)
จาก
เราสังเกตพบว่า จะขอยกตัว อย่า งประกอบ
ให้ n = 1 จะได้
พบ ว่าเป็นจริง ให้ n = 3 จะได้
พบว่าเป็นจริง
ให้ n = 5 จะได้
พบว่าเป็นจริง พิจารณา
เพราะกรณีนี้ใช้สำาหรับ
จึงต้องกำาหนด
หรือ
เมื่อ
จะได้
หรือ
นั่นคือ
จบการ พิสูจน์ พิส ูจ น์
ทฤษฎีบทที่ 3 (b)
เราทราบว่า จากเอกสารอ้างอิง [4] ทำาให้เราทราบว่า สำาหรับ จะได้ว่า
และ
จะขอยกตัว อย่า งประกอบ n = 3 จะได้ พบว่า เป็นจริง และ
ทำาให้ได้ว่า จบการพิสูจน์ ทฤษฎีบ ทที่ 4
สำาหรับ
พิส ูจ น์ สำาหรับ
และ
เราจะได้ความสัมพันธ์ตามมา
พิสูจน์โดยใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์ จะเห็นได้ว่า
พบ ว่าจริง สำาหรับ
เราเขียนได้ว่า
พบ ว่าจริง สมมติให้เป็นจริงทุกกรณีสำาหรับจำานวนเต็มบวกและ ให้ จะได้
(5) ดังนั้น เราสามารถแสดงได้ว่าเป็นจริงสำาหรับ
เราสามารถเขียนสมการ (5) ใหม่โดยใช้ (3) ดังนี้ จาก (3) ที่กล่าวไว้ว่า
ได้ดังนี้
และจาก (5) ที่ให้
เมื่อแทนลงใน (3) จะได้
ทำาให้เราเขียน (5) ได้ว่า (6)
บวกเพิ่ม
ทั้งสองข้างของ (6) เราจะได้
พิจารณาทางซ้ายมือของสมการ
ทำาให้ได้ว่า
จาก
เราจะได้ผลลัพธ์แรก
ทางด้านขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราสามารถเขียน
พิจารณาจาก
และ
ทำาให้เขียนใหม่ได้ว่า
(7)
เพราะจากการพิจารณา
ดังนั้นจากที่รู้เอกสารอ้างอิง [4] ว่า (8)
โดยสมการ (8) เราจะเห็นได้ว่า
ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการ (7) ในรูปแบบอย่างง่ายว่า
และ
ให้
เราสามารถเขียน เราจะได้ผลลัพธ์
นั่นหมายถึงว่า
เพราะเราสามารถใช้สมการ (3) เราได้ผลลัพธ์
จากสมการ( 3 )ที่กล่าวว่า พิจารณากรณี
ทำาให้ได้ว่า จบการพิสูจน์
และ
พิส ูจ น์ ( )
โดยใช้หลักการอุปนัยเชิงทางคณิตศาสตร์
จะได้ว่า จาก
ให้
จะได้
จาก
ให้เป็นจริงบนทุกจำานวนจริงเต็มบวก จะได้
เป็นจริง
(9) พิจารณา
พิจารณา
จะได้
สมมติให้
จากสมการ( 3 ) ถ้า
จะได้
สามารถจัดเรียงสมการ ( 9 ) ใหม่ว่า ( 10 ) บวกด้วย
ทั้งสองข้างของสมการ +
จบการ พิสูจน์
ทฤษฎีบ ทที่ 5
สำาหรับ
และ
เราจะได้ความสัมพันธ์ตาม
มา a พิส ูจ น์
โดยใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
ให้
ให้
ให้เป็นจริงทุกกรณีบน จำานวนจริงเต็มบวก พิจารณา
จะได้
ให้เป็นจริง ( 11 ) พิจารณา
จะได้
จากทฤษฎีบทที่ 3 ( a ) เราทราบว่า เมื่อ
จะได้
พิจารณาสมการ ( 11 ) จะเขียนในรูปใหม่ได้ว่า
บวกด้วย
เข้าทั้งสองข้าง
b พิส ูจ น์
พิสูจน์โดยใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ พิจารณาเมื่อ
จะได้
พบว่าเป็น จริง พิจารณาเมื่อ
จะได้
พบว่าเป็นจริง
ให้เป็นจริงทุกกรณีที่เป็นจำานวนเต็มบวก พิจารณา
จะได้
ให้เป็นจริง
พิจารณา
จะได้
(12) จากทฤษฎีบทที่ 3 (a) เราทราบว่า จะได้
พิจารณา (12) จะได้
พบว่าเป็นจริง ตามความสัมพันธ์ของจำานวนลูคัสและจำานวนฟีโบนัก ชี ที่กล่าวว่า จบการพิสูจน์ จากที่ได้กล่าวมาของเอกสารนี้ พวกเราต้องการนำาเสนอ n สองอย่าง ตามมาคือ นอกจากผลลัพธ์ข้างต้นเกี่ยวกับผลลัพธ์จำานวนลูคัสบางอย่างที่ เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ทวินาม ซึ่งความจริงเราคิดว่าสิ่งนี้คือความ ต้องการของผู้อ่าน สำาหรับ
เรามีความสัมพันธ์ และ
การศึก ษาต่อ สำาหรับ
เรามีความสัมพันธ์ (13)
วิธ ีท ำา สำาหรับ
พิสูจน์โดยใช้การยกตัวอย่างประกอบ เมื่อแทนใน (13) จะได้
เป็น จริง
สำาหรับ
เมื่อแทนใน (13) จะได้
4 เป็น จริง
จากตัวอย่างประกอบพบว่า เมื่อ
ว่า
เรามีความสัมพันธ์
และจากงานวิจัยของอ.มนตรี ทองมูล มหาวิทยาลัยมหาสารคามพบ เมื่อ n เป็นจำานวนคู่ เมื่อ n เป็นจำานวนคี่ ทำาให้
จะได้ว่า
พิจารณาเมื่อ
หรือ
สำาหรับ
จะได้ว่า
สำาหรับ
จะได้ว่า
และจากงานวิจัยของอาจารย์พบว่า เมื่อ n เป็นจำานวนคู่ พบว่าค่าคำา ตอบที่ได้จะเป็นจำานวนตรงข้ามของจำานวนลูคัสเสมอ สำาหรับ
จะได้ว่า
4
พบว่าเมื่อ n เป็นจำานวน 2n+1 คำาตอบที่ได้จะเป็นคำาตอบเดียวกันกับ จำานวนลูคัส
บรรณานุก รม