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10 € ISBN 978-84-342-3605-9
ATLAS DE MATEMÁTICAS Entre la abstracción y lo cotidiano a todo color
ATLAS DE MATEMÁTICAS
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Este Atlas de matemáticas ofrece a los lectores una magnífica oportunidad de acceder a los aspectos fundamentales de las matemáticas y de comprender su lógica, muchas veces misteriosa y sorprendente, pero siempre fascinante. Para facilitar al máximo la comprensión, se ha realizado una obra predominante gráfica, partiendo de problemas extraídos de la vida cotidiana y empleando un lenguaje sencillo y claro. Se ha pretendido dar una visión suficientemente amplia de las diferentes partes en las que se divide la actividad matemática: de la aritmética al álgebra pasando por el análisis, la geometría o la estadística e incluyendo aspectos que tienen una historia muy reciente como la geometría fractal, la lógica difusa o la teoría del caos.
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Introducción Sistemas de numeración Números naturales Divisibilidad Números enteros Números racionales Números reales El sistema métrico Ecuaciones La regla de tres Créditos e hipotecas Funciones y gráficas La función lineal La función cuadrática La función exponencial Geometría Trigonometría Estadística Probabilidad Retos de la matemática actual
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Contenido del libro
El objetivo de esta obra es proporcionar al lector un completo y atractivo panorama de los campos fundamentales de la matemática, con numerosas ilustraciones acompañadas de unas breves notas que explican de una forma lógica y sencilla las teorías matemáticas, así como muchas de las innumerables aplicaciones que hoy día encuentran en los campos más diversos y que han contribuido decisivamente al colosal progreso de la humanidad.
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SUMARIO Introducción ................................................................................ 14 Sistemas de numeración .............................................................. 26 El sistema decimal.................................................................... 26 Los números romanos .............................................................. 27 El sistema binario .................................................................... 28 El sistema sexagesimal ............................................................ 29 Números naturales ........................................................................30 Suma de números naturales .................................................... 31 Resta ........................................................................................ 31 Multiplicación .......................................................................... 32 Potenciación ............................................................................ 32 División .................................................................................... 32 Radicación ................................................................................ 33 Divisibilidad .................................................................................. 34 Factores primos ........................................................................ 35 Máximo común divisor.............................................................. 36 Mínimo común múltiplo ............................................................ 37 Números enteros .......................................................................... 38 El origen del número cero ........................................................ 38 Los negativos............................................................................ 39 Suma de enteros ...................................................................... 40 Resta de enteros ...................................................................... 41 Multiplicación de enteros .......................................................... 42 División de números enteros .................................................... 45 Potencias de base natural con exponente entero ...................... 47 Potencias de base entera.......................................................... 47 Números racionales ...................................................................... 48 Las fracciones .......................................................................... 48 Suma y resta de fracciones ...................................................... 49 Multiplicación y división de fracciones ...................................... 50 Representación gráfica de fracciones ...................................... 51
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Sumario
Números reales.............................................................................. 52 Fracciones decimales .............................................................. 52 Suma y resta de números decimales ........................................ 54 Multiplicación .......................................................................... 54 División .................................................................................... 55 Números decimales periódicos ................................................ 56 Fracción generatriz de un número decimal .............................. 57 Números irracionales ................................................................ 58 El número áureo ...................................................................... 58 Un sistema de medida casi universal .......................................... 60 Unidades de longitud ................................................................ 60 Unidades de superficie.............................................................. 62 Unidades de volumen, capacidad y masa ................................ 62 Ecuaciones .................................................................................... 64 La búsqueda de las incógnitas.................................................. 64 Planteamiento .......................................................................... 65 Resolución ................................................................................ 67 ¿Qué es una ecuación? ............................................................ 68 La ecuación de segundo grado ................................................ 69 Resolución de la ecuación de segundo grado .......................... 70 Sistemas de ecuaciones .............................................................. 72 Planteamiento .......................................................................... 72 Método de Cramer .................................................................... 73 Método de reducción ................................................................ 75 Método de sustitución .............................................................. 77 Método de igualación................................................................ 79 La regla de tres y sus aplicaciones.............................................. 80 Proporcionalidad directa .......................................................... 80 Proporcionalidad inversa .......................................................... 82 Repartos proporcionales .......................................................... 83 Regla de tres compuesta .......................................................... 84 Tanto por ciento........................................................................ 85 Porcentaje de aumento ............................................................ 86 Porcentaje de disminución ........................................................ 87
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SUMARIO
Créditos e hipotecas...................................................................... 88 Interés compuesto .................................................................... 88 Interés simple .......................................................................... 89 Planes de inversión .................................................................. 90 Diferencia entre interés compuesto y anualidades .................... 90 Hipotecas.................................................................................. 91 Funciones y gráficas .................................................................... 92 Variables y fórmulas ................................................................ 92 Relaciones y funciones ............................................................ 93 La fórmula de la función .......................................................... 93 Tablas de valores ...................................................................... 94 La función lineal ............................................................................ 96 Gráfica de la función lineal........................................................ 96 Pendiente de una recta ............................................................ 96 La función afín.......................................................................... 98 La función cuadrática ................................................................ 100 Gráfica de la función cuadrática.............................................. 100 El problema del almacenamiento ............................................ 102 La función exponencial .............................................................. 104 Una función que crece rápidamente........................................ 104 El crecimiento continuo .......................................................... 105 Logaritmos.............................................................................. 106 El número e ............................................................................106 Elementos de la geometría plana .............................................. 108 Ángulos .................................................................................. 108 El grado sexagesimal.............................................................. 109 Polígonos ................................................................................ 110 Diagonales.............................................................................. 110 Superficie de un polígono regular .......................................... 111 Cuadriláteros .............................................................................. 112 Clasificación .......................................................................... 113
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Sumario
Triángulos .................................................................................... 116 Los triángulos según sus ángulos .......................................... 116 Teorema de Pitágoras ............................................................ 117 Los triángulos según sus lados .............................................. 118 Baricentro .............................................................................. 118 Ortocentro .............................................................................. 118 Circuncentro .......................................................................... 119 Incentro .................................................................................. 119 La circunferencia ........................................................................ 120 Longitud de la circunferencia.................................................. 120 Partes de un círculo ................................................................ 122 Superficie del círculo .............................................................. 122 Transformaciones geométricas .................................................. 124 Traslaciones............................................................................ 124 Vectores.................................................................................. 124 Giros ...................................................................................... 125 Simetría axial.......................................................................... 125 Homotecias ............................................................................ 126 Simetría central ...................................................................... 126 Semejanzas ............................................................................ 127 Teorema de Tales.................................................................... 127 Las razones trigonométricas ...................................................... 128 El seno de un ángulo .............................................................. 128 Otras razones trigonométricas ................................................ 129 Razones trigonométricas en la circunferencia de radio unidad ...................................................................... 131 Cálculo de longitudes aplicando las razones trigonométricas .................................................... 132 Razones trigonométricas en el segundo cuadrante ................ 133 Razones trigonométricas del tercer cuadrante ........................ 134 Razones trigonométricas del cuarto cuadrante........................ 134 Razones trigonométricas de ángulos mayores que 360º ........ 135 Funciones trigonométricas ........................................................ 136
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SUMARIO
Poliedros ...................................................................................... 140 Prismas y pirámides.................................................................... 144 Área y volumen del ortoedro .................................................. 146 Área y volumen de la pirámide .............................................. 147 Cuerpos de revolución ................................................................ 148 Superficie y volumen del cilindro ............................................ 148 Superficie y volumen del cono ................................................ 150 La esfera ...................................................................................... 152 Superficie y volumen de la esfera .......................................... 152 Partes de la superficie esférica .............................................. 153 Partes del volumen esférico .................................................... 155 Gráficos estadísticos .................................................................. 156 Conceptos básicos.................................................................. 156 Tablas de frecuencias ............................................................ 158 Datos agrupados en intervalos................................................ 160 Pirámides de población .......................................................... 163 Parámetros estadísticos ............................................................ 164 Media aritmética .................................................................... 164 Media y dispersión.................................................................. 167 Varianza y desviación típica .................................................... 168 Valores agrupados en intervalos ............................................ 170 Uso de la calculadora.............................................................. 171 Probabilidad ................................................................................ 172 Sucesos.................................................................................. 172 Diagramas .............................................................................. 175 Probabilidad condicionada ........................................................ 176 Influencias entre sucesos........................................................ 176 Independencia entre sucesos.................................................. 177 Realización de un diagrama de Venn ...................................... 178 Tablas de doble entrada.......................................................... 179
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Sumario
El modelo binomial...................................................................... 180 Utilización de modelo binomial................................................ 180 Números combinatorios .......................................................... 182 La campana de Gauss ................................................................ 184 La distribución normal ............................................................ 184 La normal estándar ................................................................ 185 Las tablas de la distribución normal estándar ........................ 186 El problema inverso ................................................................ 187 Ajuste de la binomial mediante la normal .............................. 188 Nuevos retos de la matemática actual ...................................... 192 La lógica borrosa .................................................................... 192 Funciones definidas por trozos................................................ 193 Geometría fractal .................................................................... 194 La teoría del caos .................................................................. 195 Índice alfabético de materias .................................................... 196
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NÚMEROS
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RACIONALES
Marina ha intentado cantar una canción compuesta por Alberto, pero el tono de Do le resultaba demasiado grave, por lo que han decidido transportar la canción al tono de La. ¿Sonará la melodía exactamente igual, aunque, naturalmente, más aguda? Para contestar a esta pregunta tendremos que estudiar si la distancia de la nota Do a la nota Re, en el primer pentagrama es la misma que la distancia de la nota La a la nota Si en el segundo.
LAS FRACCIONES Desde hace cientos de años se sabe que el sonido de una cuerda tensada depende de su longitud. Cuanto menor es dicha longitud, más aguda es la nota que se produce. 2 es una fracción. El tres, llamado denominador, indica que la unidad se ha dividido 3 en tres partes, mientras que el numerador, dos, indica que se han tomado dos de ellas.
1/3 Do
•
La guitarra de Marina.
Do
1/2
•
1/6 1/2
Si multiplicamos al numerador y al denominador de una fracción por el mismo número, la fracción que resulta es equivalente a la que teníamos: 2 = 4 3 6
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Matemáticas
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Longitud de la cuerda
1
8/9
64/81
3/4
2/3
16/27
128/243
1/2
Nota
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
Antes de sumar o restar dos fracciones, tenemos que transformarlas en otras dos equivalentes, pero que tengan el mismo denominador. Calculemos, por ejemplo, la distancia de la nota La a la nota Si: 16 – 128 = 16 · 9 27 243 27 · 9
– 128 = 144 – 128 = 16 243
243
243
243
Calculemos ahora la distancia de la nota Do a la nota Re: 1– 8 = 9 – 8 = 1 9 9 9 9 Busquemos una fracción equivalente cuyo denominador sea 243: 1 = 1 · 27 = 27 243 9 · 27 9 Por tanto, la distancia de las dos primeras notas en el tono de La es menor que la distancia entre las dos primeras notas en el tono de Do habiendo una ligera diferencia de 27 – 16 = 11 partes de cuerda. 243 243 243
➜
Cuando transportamos una canción a otro tono, suena muy parecida, pero no exactamente igual. Eso explica que la música escrita en el tono de Mi bemol resulte melancólica, mientras que en el tono de La suene triunfante.
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CRÉDITOS
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E HIPOTECAS
A José le ha tocado un premio de un millón de euros en la lotería. Un banco le ofrece un tipo de interés compuesto del 3 %. Esto significa que la cantidad depositada, llamada capital, aumentará al cabo de un año un 3 %, porcentaje que, como sabemos, equivale a multiplicar por 0,03 la cantidad de dinero. Este número decimal se llama rédito. Cuanto más tiempo tenga José el dinero en el banco, el capital final será mayor. Se llama interés a la diferencia entre el capital final y el inicial.
INTERÉS COMPUESTO ¿Qué cantidad tendrá José en el banco al cabo de tres años? Para contestar a esta pregunta podemos ir construyendo una tabla de interés compuesto o bien aplicar la fórmula de dicho interés: C = 1.000.000 · (1 + 0,03)3 = 1.092.727 euros.
➜
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Como los intereses se van acumulando al capital, el 3 % se aplica a cantidades mayores de dinero cada vez. Por consiguiente, el interés compuesto que el dinero produce anualmente no es constante, sino que cada vez es mayor.
Bombos para la realización de un sorteo (izquierda) y el billete de la suerte de José (arriba).
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Matemáticas INTERÉS SIMPLE Aunque los bancos y las cajas de ahorro normalmente utilizan el interés compuesto, existe otro tipo de interés, llamado interés simple, que se caracteriza fundamentalmente por una propiedad: los intereses generados cada año no se acumulan al capital, sino que son siempre los mismos. Esto significa que si José deposita un millón de euros a un interés simple del 3 %, el banco le dará cada año 30.000 euros. Por tanto, los intereses acumulados durante los tres años ascenderán a 90.000 euros y el capital final será 1.090.000 euros.
➜
Una misma cantidad de dinero produce menos intereses si se deposita a interés simple que a interés compuesto.
Cajero automático de un banco.
Año
Capital al inicio del año
Interés compuesto
Capital acumulado al finalizar el año
1
1.000.000
30.000
1.030.000 = 1.000.000 · 1,03
2
1.030.000
30.900
1.060.900 = 1.000.000 · 1,032
3
1.060.900
31.827
1.092.727 = 1.000.000 · 1,033
Año
Capital al inicio del año
Interés simple
Capital acumulado al finalizar el año
1
1.000.000
30.000
1.030.000 = 1.000.000 + 30.000
2
1.030.000
30.000
1.060.000 = 1.000.000 + 2 · 30.000
3
1.060.000
30.000
1.090.000 = 1.000.000 + 3 · 30.000
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POLIEDROS El octaedro también está limitado por triángulos equiláteros, en este caso ocho. Tiene seis vértices y doce aristas.
desarrollo del octaedro octaedro
El dodecaedro tiene doce caras. Cada una de ellas es un pentágono regular. El dodecaedro tiene veinte vértices y treinta aristas.
desarrollo del dodecaedro
dodecaedro
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Matemáticas
El icosaedro está limitado por veinte triángulos equiláteros, que confluyen en doce vértices. Posee treinta aristas.
desarrollo del icosaedro icosaedro
FÓRMULA DE EULER Todo poliedro regular cumple la fórmula de Euler: el número de sus caras más el de sus vértices es igual al de sus aristas más dos: c + v = a + 2
Este balón de fútbol está limitado por pentágonos y hexágonos regulares. Los poliedros limitados por polígonos regulares diferentes se denominan semirregulares.
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Introducción Sistemas de numeración Números naturales Divisibilidad Números enteros Números racionales Números reales El sistema métrico Ecuaciones La regla de tres Créditos e hipotecas Funciones y gráficas La función lineal La función cuadrática La función exponencial Geometría Trigonometría Estadística Probabilidad Retos de la matemática actual
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El objetivo de esta obra es proporcionar al lector un completo y atractivo panorama de los campos fundamentales de la matemática, con numerosas ilustraciones acompañadas de unas breves notas que explican de una forma lógica y sencilla las teorías matemáticas, así como muchas de las innumerables aplicaciones que hoy día encuentran en los campos más diversos y que han contribuido decisivamente al colosal progreso de la humanidad.