Ángulos con lados paralelos o perpendiculares 1. Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en el mismo sentido son iguales.
AO // A’O’ y OB // O’B’ <AOB = <A’O’B’ 2. Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en sentido contrario son iguales.
AO // D’O’ y OB // O’C’ <AOB = <C’O’D’ B
B’
O’
D’
A’
C’
O
A Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net
3. Dos ángulos de lados paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido y los otros dos en sentido contrario son suplementarios. B
B’
O’
C’
A’
O
A
Si se prolonga la recta A’O’ hasta O’C’ Tenemos que <AOB = <C’O’B’ (ángulos con lados paralelos dirigidos en el mismo sentido)
<A’O’B’ + <C’O’B’ = 180° (ángulos adyacentes)
Reemplazando <A’O’B’ + <AOB = 180°
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4. Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares, son iguales. B A’
B’ O’ O
A
AO A’O’ y OB O’B’ <AOB = <A’O’B’ 5.
Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios. B
B’ O’
A’ O
A
AO A’O’ y OB O’B’ <AOB + <A’O’B’ = 180° Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net
4. Dos ángulos obtusos de lados respectivamente perpendiculares, son iguales. B
B’ O’ A’ O
A
AO A’O’ y OB O’B’ <AOB = <A’O’B’
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Ejercicios de ejemplo B B’ 120°
C’
1) O’A’
OA, O’B’
OB
O’ A’
<A’O’B’=120° Hallar <AOB
O A Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios. Por lo tanto <B’O’C’=60°
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2) A’O’ // AO; B’O’ // BO, CD B’
AO, ED BO <CDE=48° B
C E O’
48°
D
O
Hallar <A’O’B’
A’
A
<A’O’B’ = <AOBO (Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en el mismo sentido son iguales). <CDE = <AOB = <A’O’B’ (Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares, son iguales). Por lo tanto <A’O’B’=48°
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3) AC // DE; EF //CD; <EBC= 2 <BED. Hallar < B, < C, < D Y < E. D
E
< BED = < ABE (alt. Int. Entre //) < EBC + < ABE = 180° (áng. ady. suplementarios) A C
B F
Reemplazando 2 < ABE + <ABE = 180° Despejando < ABE = 60°
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Triángulo: Porción del plano limitada por tres rectas que se cortan. C
b
Los puntos de intersección A, B y C se llaman vértices.
a
Los segmentos de rectas determinados por la intersecciones se llaman lados del triángulo y se designan por una letra minúscula correspondiente al vértice opuesto.
Los ángulos se designan por las letras de los vértices.
A
c
B
En resumen un triángulo tiene: 3 vértices, 3 lados y 3 ángulos. Perímetro: Es la suma de las dimensiones de los tres lados del triángulo, es decir, a+b+c Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net
C
Son aquellos que tienen dos lados iguales, los รกngulos opuestos a estos lados son iguales. b
a
El lado distinto se llama base AC = BC ; < A = < B A
c
B
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C
a
b
Tiene todos sus lados iguales, por lo tanto, sus ĂĄngulos tambiĂŠn son iguales.
AB = BC = CA A
c
B
<A= < B = < C
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C
b
A
a
c
B
Tiene sus tres lados diferentes y por lo tanto sus ángulos también son distintos. AB ≠ BC ≠ CA; < A ≠ < B ≠ < C
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C
b
A
a
c
Sus ĂĄngulos son agudos
< A, < B y < C menores de 90°
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B
C a
b A
c
Tiene un ángulo obtuso < A mayor que 90°
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B
C
b
a
A
c
B
Tiene un ángulo recto que mide 90°
En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. AB y AC Catetos BC Hipotenusa Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net