Toegepaste wiskunde, 7e druk - Inkijkexemplaar - 9789006153163

Toegepaste wiskunde

Jan

Blankespoor Kees de Joode Aad Sluijter

7 e druk

Toegepaste wiskunde Basisboek

Toegepaste wiskunde

Basisboek

drs. J.H. Blankespoor

drs. C. de Joode

ir. A. Sluijter

Zevende, herziene druk

COLOFON

Auteurs

drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode

ir. A. Sluijter

Opmaak binnenwerk

Crius Group

Opmaak omslag

Crius Group

Basisontwerp omslag

OudZuid ontwerp, uitvoering ThiemeMeulenhoff.

Tekeningen

Tiekstramedia, Groningen

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt slimme flexibele leeroplossingen met een persoonlijke aanpak. Voor elk niveau en elke manier van leren. Want niemand is hetzelfde. We combineren onze kennis van content, leerontwerp en technologie, met onze energie voor vernieuwing. Om met en voor onderwijsprofessionals grenzen te verleggen. Zo zijn we samen de motor voor verandering in het primair, voortgezet en beroepsonderwijs.

Samen leren vernieuwen.

www.thiememeulenhoff.nl

ISBN 978 90 06 15316 3 Zevende druk, eerste oplage, 2024

© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2024

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd.

Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk.

Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

Voorwoord

Bij de zevende druk

Dit basisboek, zevende druk, is een herziening van de zesde druk van het deel Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs: Inleiding van deze boekenserie. De behandelde onderwerpen zijn grotendeels gelijk gebleven, maar er zijn in diverse hoofdstukken wel wijzigingen doorgevoerd. De tekst is in diverse hoofdstukken gewijzigd, vaak zijn er voorbeelden en opgaven toegevoegd en ook zijn er enkele hoofdstukken omgewisseld.

Aan hoofdstuk 1 is het rekenen met wortels van getallen toegevoegd. Hoofdstuk 2 bevat de inhoud van het oude hoofdstuk 3 en hoofdstuk 3 de inhoud van het oude hoofdstuk 4. Hoofdstuk 4 bevat de stof van het voormalige hoofdstuk 2 en is uitgebreid met symbolische machten en logaritmen. Aan hoofdstukken 5 (Functies) en 6 (Exponentiële en logaritmische functies) is het verschuiven en vermenigvuldigen van grafieken toegevoegd.

In hoofdstuk 7 (Goniometrie) staan de onderwerpen uit de voormalige hoofdstukken 7 en 8, waarbij de meetkunde beperkt is tot de driehoeksmeetkunde.

In hoofdstuk 8 (Differentiaalrekening) is de stof van het voormalige hoofdstuk 10 te vinden. Hoofdstuk 9 is nu het laatste hoofdstuk en behandelt de vectoren, net als in de vorige druk.

Dit basisboek is geschikt voor opleidingen in het hoger onderwijs waar een beroep wordt gedaan op de basisvaardigheden van de wiskunde.

Het boek is ook bruikbaar als voorbereiding op een technische studie, door bijvoorbeeld studenten met een havo/vwo-opleiding die geen wiskunde B in het pakket hebben. Ook is dit boek uitermate geschikt tijdens of na een mbo-studie als voorbereiding op een technische opleiding in het hoger onderwijs.

In (techniek)opleidingen waar vrij veel wiskunde wordt gebruikt, zijn ook de herziene delen 1 en 2 uit de serie Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs aan te bevelen.

Amersfoort, april 2024

De auteurs

Rekenen met getallen

Bij hoofdstuk 1

In dit hoofdstuk wordt het rekenen met getallen herhaald en verdiept. Rekenen met breuken en de volgorde van bewerkingen krijgen ruime aandacht.

Hoofdstuk 1 bevat de volgende onderwerpen.

• rekenen met gehele getallen

• commutatieve, associatieve en distributieve eigenschap

• volgorde van bewerkingen

• rekenen met breuken

• vereenvoudigen van breuken

• kleinste gemeenschappelijke veelvoud

• decimale getallen

• procenten en promillen

• afronden

• wetenschappelijke notatie

• machten

• vierkantswortels

Rekenen met getallen 1

Dit hoofdstuk gaat over het rekenen met diverse soorten getallen, zoals gehele getallen, getallen met breuken, getallen met komma’s en negatieve getallen. Daarbij maken we afspraken over de volgorde van de verschillende bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, enzovoort). We gaan in op het gebruik van een rekenmachine en besteden aandacht aan verschillende getalnotaties. Machten en wortels komen beknopt aan de orde.

1.1 Getalverzamelingen en rekenkundige bewerkingen

De getallen waarmee we hebben leren tellen en rekenen zijn 0, 1, 2, 3, enzovoort. In de wiskunde heten ze natuurlijke getallen. Samen vormen deze getallen de verzameling van de natuurlijke getallen, die we noteren met een verfraaide letter: ℕ

Dus: ℕ = {0, 1, 2, 3, … , 7, 8, … , 19, …}.

Opmerkingen

1. Als we een verzameling noteren door het opsommen van de elementen, dan gebruiken we accolades, zie hierboven bij de verzameling ℕ

2. In dit boek is het getal 0 het kleinste natuurlijke getal. In sommige andere boeken is 1 het kleinste natuurlijke getal.

3. Een natuurlijk getal is opgebouwd uit cijfers. We kennen 10 verschillende cijfers, namelijk: 0, 1, 2, 3, …, 8, 9. Het getal 127 is opgebouwd uit de cijfers 1, 2 en 7. Het getal 5 is opgebouwd uit slechts één cijfer, namelijk 5. Cijfers zijn slechts symbolen om getallen te kunnen aanduiden. Rekenen gebeurt met getallen.

Voorbeeld 1

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Als we willen aangeven dat 3 een natuurlijk getal is, noteren we dat zo: 3 ∈ ℕ. Het symbool ∈ heet ‘epsilon’, de Griekse letter ‘e’; de eerste letter van het woord element

We kunnen 3 ∈ ℕ uitspreken als:

‘3 is een element van (de verzameling van) de natuurlijke getallen’, of als ‘3 behoort tot (de verzameling van) de natuurlijke getallen’, of als ‘3 is een natuurlijk getal’.

Optellen

Als we twee (natuurlijke) getallen bij elkaar optellen, ontstaat de zogenaamde som van die twee getallen. De som van twee natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal.

De som van 2 en 5 is 7, want 2 + 5 = 7 en de uitkomst 7 is weer een natuurlijk getal, dus: 7 ∈ ℕ ■

Aftrekken

Als we twee (natuurlijke) getallen van elkaar aftrekken, ontstaat het zogenaamde verschil van die twee getallen. Het verschil van twee natuurlijke getallen kan een natuurlijk getal zijn, maar het is ook mogelijk dat de uitkomst geen natuurlijk getal, maar een negatief geheel getal is.

Het verschil van 7 en 3 is 4, want 7 3 = 4. De uitkomst 4 is weer een natuurlijk getal. Het verschil van 2 en 5 is 3, want 2 5 = 3. De uitkomst 3 is geen natuurlijk getal. ■

Als we de verzameling van de natuurlijke getallen uitbreiden met de negatieve gehele getallen dan ontstaat de verzameling van de gehele getallen, die we noteren met een verfraaide letter: ℤ, (Z komt van het Duitse woord voor getallen, namelijk ‘Zahlen’).

Er geldt dus: ℤ = { , 11, 10, , 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 17, , 384, }

Nu geldt bijvoorbeeld: 2 ∈ ℤ, en ook: 17 ∈ ℤ.

Het aftrekken van een negatief getal komt overeen met het optellen van het tegengestelde van dat getal.

Het aftrekken een negatief getal is te zien als het optellen van zijn tegengestelde.

➤ 7 ( 3) = 7 + 3 = 10

➤ 13 ( 5) = 13 + 5 = 8 ■

Opmerking

De hierboven geplaatste haakjes om 3 en 5 zijn nodig omdat er geen twee bewerkingen direct achter elkaar mogen staan.

Bij hele grote gehele getallen wordt ter verduidelijking soms een ‘lage’ punt gebruikt. Ook wordt wel een kleine witruimte in de notatie van zo’n getal gebruikt.

Het getal 12238906 wordt genoteerd als 12.238.906 of 12 238 906. De punt of witruimte staat steeds om de 3 cijfers, van achteraf gerekend.

Let op: De ‘lage’ punt is anders dan de punt voor vermenigvuldigen, die op halve hoogte staat (zie hieronder).

Voorbeeld 4

Voorbeeld 5

Voorbeeld 6

Rekenen met getallen

Vermenigvuldigen

Als we twee getallen met elkaar vermenigvuldigen dan ontstaat het zogenaamde product van deze getallen. Het product van twee gehele getallen is weer een geheel getal. Vermenigvuldigen noteren we voorlopig met het maalteken (×), later zullen we overgaan op een notatie met een punt ( ).

We berekenen enkele producten.

Bij de laatste berekening in het voorbeeld moeten haakjes geplaatst worden bij 4, omdat er anders twee bewerkingen na elkaar staan. De haakjes bij 2 zijn niet nodig, maar mogen wel.

Delen

Als we twee getallen op elkaar delen dan ontstaat het zogenaamde quotiënt van deze getallen. Het quotiënt van twee gehele getallen kan een geheel getal zijn, maar ook een niet-geheel getal. Een deling kunnen we op meerdere manieren noteren. We kunnen gebruikmaken van de schuine deelstreep (/), de rechte deelstreep ( ), maar ook van het deelteken (:). Het quotiënt van 11 en 5 kunnen we noteren als 11 / 5, als 11 5 , of als 11 : 5

We bekijken twee delingen van gehele getallen.

➤ Voor de deling 21 / 3 geldt 21 / 3 = 7, want 7 × 3 = 21

➤ Nog een deling: 36 /( 9) = 4, want 4 × ( 9) = 36. Let op de noodzakelijke haakjes.

We bekijken de deling 17 / 3

Het quotiënt 17 / 3 ligt tussen 5 en 6, want 5 × 3 = 15 en 6 × 3 = 18. Het quotiënt van 17 en

3 is dus geen geheel getal. Als we 17 door 3 delen dan is de uitkomst 5 met een rest van

2. Deze rest delen we ook door 3, dit geeft 2 3 . De uitkomst van de deling 17 / 3 is daarom gelijk aan 5 + 2 3 , dat wordt genoteerd als 5 2 3 . ■

De getallen die ontstaan uit de deling van twee gehele getallen noemen we gebroken getallen of rationale getallen. Als we deze getallen toevoegen aan de verzameling van de gehele getallen (ℤ) dan krijgen we de verzameling van de rationale getallen. De verzameling van de rationale getallen wordt genoteerd met een verfraaide letter: ℚ (Q van quotiënt).

ℚ = { , 11, , 8 3

en: 1 2 ∈ ℚ, 72 121 ∈ ℚ en 11 ∈ ℚ

21 ,

Ieder rationaal getal is te schrijven als de deling van twee gehele getallen. Er zijn vele manieren om één bepaald rationaal getal op te schrijven.

Voorbeeld 7

Verschillende schrijfwijzen voor rationale getallen.

Voorbeeld 8

Voorbeeld 9

Voorbeeld 10

Ook ieder geheel getal is als een quotiënt van gehele getallen te schrijven en is dus een rationaal getal.

Het gehele getal 5 kan op verschillende manieren worden geschreven als quotiënt.

Een breuk bestaat uit een deel boven de breukstreep en een deel onder de breukstreep. Het getal boven de breukstreep heet de teller en het getal onder de breukstreep heet de noemer.

In de breuk 25 11 is 25 de teller en is 11 de noemer.

Een breuk kan ook geschreven worden als een product van een geheel getal en een breuk met teller 1.

Het vijfelfde deel is gelijk aan vijfmaal éénelfde deel, oftewel 5 11 = 5 × 1 11 .

Er geldt ook

33 = 14 × 1 33

Vereenvoudigen van breuken Hierboven bleek dat er vele vormen zijn waarin een rationaal getal kan worden weergegeven. Vaak kunnen we een rationaal getal vereenvoudigen. Dit is te bereiken door zowel de teller als de noemer van een breuk door hetzelfde getal te delen. Als we een rationaal getal zo ver mogelijk vereenvoudigen dan schrijven we het getal met een zo klein mogelijke, maar wel positieve, noemer.

Voorbeeld 11

We vereenvoudigen de breuk 42 140 zo ver mogelijk.

De teller en de noemer zijn beide deelbaar door twee, dus 42 140 = 21 70

De teller is ook nog deelbaar door 3, maar de noemer niet. Delen door 3 gaat dus niet.

De teller en de noemer zijn allebei ook nog deelbaar door 7

We krijgen dan: 42 140 = 21 70 = 3 10

Verder vereenvoudigen gaat niet. Dus 3 10 is de zo ver mogelijk vereenvoudigde vorm van 42 140 .

Voorbeeld 12

De berekening in bovenstaand voorbeeld kunnen we ook uitvoeren door teller en noemer te ontbinden in factoren en deze factoren daarna zo mogelijk ‘tegen elkaar weg te delen’.

Dit kan als volgt worden genoteerd.

Voorbeeld 13

Bij het tegen elkaar wegdelen van de gelijke factoren 2 in teller en noemer delen we in feite teller en noemer door 2. We kunnen ook zeggen dat teller en noemer met een factor 1 2 worden vermenigvuldigd.

In totaal is zowel de teller als de noemer gedeeld door 2 × 7 = 14. Dit is het grootste getal dat een deler is van zowel 42 als 140. Dit wordt de grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van teller en noemer genoemd. Als we teller en noemer hierdoor delen, hebben we de breuk zo ver mogelijk vereenvoudigd.

Definitie

Voor de grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van een aantal positieve gehele getallen geldt:

• de ggd is een positief geheel getal, én

• de ggd is een deler van alle betreffende getallen, én

• de ggd is zo groot mogelijk.

We laten hieronder zien hoe we een breuk zo ver mogelijk kunnen vereenvoudigen, maar eerst kijken we naar delers, priemgetallen en priemfactoren

Definities

• Een deler van een positief geheel getal is een positief geheel getal zodanig dat bij deling door dit getal de uitkomst weer een geheel getal is.

• Een priemgetal is een positief geheel getal, groter dan 1 dat alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf.

• Priemfactoren zijn factoren van een product, die bovendien een priemgetal zijn.

Enkele priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 en 19.

Geen priemgetallen zijn 1 (dat is niet groter dan 1), 4 (dat is naast door 1 en 4 ook deelbaar door 2), 12 (dat is naast 1 en 12 ook deelbaar door 2, 3, 4 en 6). ■

Het getal 1 heeft slechts één deler; alleen 1 is een deler van 1.

Het getal 8 heeft 4 delers, namelijk 1, 2, 4 en 8; hiervan is alleen 2 een priemfactor.

Het getal 14 heeft ook 4 delers, namelijk 1, 2, 7 en 14; hiervan zijn 2 en 7 priemfactoren.

Het getal 12 heeft 6 delers, namelijk 1, 2, 3, 4, 6 en 12; hiervan zijn 2 en 3 priemfactoren.

Het getal 13 heeft 2 delers, namelijk 1 en 13. ■

14

We vereenvoudigen de breuk 132 154 zo ver mogelijk.

We ontbinden de teller en de noemer eerst afzonderlijk in priemfactoren.

Teller:

= 2 ×

Noemer: 154 = 2 × 77 = 2 × 7 × 11.

Het vereenvoudigen gaat dan als volgt.

×

Een andere manier is om eerst de ggd van teller en noemer te berekenen.

Voor het vinden van deze ggd kunnen we bovenstaande ontbinding in priemfactoren gebruiken. Er geldt ggd(132,154) = 2 × 11 = 22.

Zo ver mogelijk vereenvoudigen gaat dan als volgt

Opgaven bij 1.1

3 Bereken zonder rekenmachine.

4 Bereken zonder rekenmachine. Voer de berekeningen uit in de volgorde waarin de bewerkingen staan.

a 12 8 + 3 ( 5)

b 2 × 4 × ( 3)

8 × ( 5) × 2

15 /( 5)/( 3)

c 5 ( 3) + 2 f 2 × ( 5) × 5

5 Geef van ieder getal aan of het een natuurlijk en/of een geheel en/of een rationaal getal is.

1 8

6 Bereken de delers van onderstaande getallen.

7 Bereken de priemfactoren van onderstaande getallen.

8 Vereenvoudig zonder rekenmachine de volgende breuken zo ver mogelijk.

9 Vereenvoudig zonder rekenmachine de volgende breuken zo ver mogelijk. Haal, waar mogelijk, gehelen voor de breuk.

1.2 Volgorde van bewerkingen

Als we berekeningen maken met meer dan twee getallen en meerdere soorten bewerkingen door elkaar, dan moeten er afspraken worden gemaakt over de prioriteitsvolgorde van de bewerkingen. Er zijn verschillende afspraken mogelijk.

In dit boek kiezen we voor de prioriteitsvolgorde H(MW)(VD)(OA).

Dit betekent dat haakjes (H) de hoogste prioriteit hebben. Vervolgens komen met gelijke prioriteit machtsverheffen (M) en worteltrekken (W). Daarna komen met gelijke

Voorbeeld 15

Rekenen met getallen

prioriteit vermenigvuldigen (V) en delen (D) en ten slotte met gelijke prioriteit optellen (O) en aftrekken (A). Bij gelijke prioriteit worden de bewerkingen uitgevoerd in de volgorde waarin ze voorkomen. Haakjes worden, ook als dit niet strikt noodzakelijk is, gebruikt ter verduidelijking.

Opmerking

Rekenmachines en computers gebruiken bij berekeningen maar één soort haakjes, de zogenaamde ronde haakjes ‘(‘en’)’. Bij het gebruik van haakjes binnen haakjes is het dan soms moeilijk te zien welke haakjes bij elkaar horen. In geschreven tekst wordt daarom ook wel gebruikgemaakt van andere haken, zoals accolades { en } en teksthaken [ en ].

We voeren een aantal berekeningen uit. Let goed op de haakjes en op de prioriteit van de bewerkingen.

Voorbeeld 16

Nog een aantal berekeningen. Let op de haakjes en op de prioriteitsvolgorde.

In bovenstaand voorbeeld waren de haakjes om 4 noodzakelijk om te voorkomen dat er twee bewerkingen direct na elkaar zouden komen te staan.

De hierboven afgesproken prioriteitsvolgorde wordt ook in rekenmachines gebruikt.

Opgaven bij 1.2

1 Bereken zonder rekenmachine.

a 2 + 3 + 4 × 5

b 2 + 3 × 4 + 5

c 2 × 3 + 4 + 5

2 Bereken zonder rekenmachine.

a 8 + 10 / 2 + 3

b 8 + (10 / 2) + 3

c (8 + 10)/ 2 + 3

3 Bereken zonder rekenmachine.

a 3 × ( 4) 5 + 6 7 × 8

b 6 + 8 / 4 + 6 × 8 / 4

c 4 + (3 + 5) + 4 × (3 + 5)

d 2 + 3 × (4 + 5)

e (2 + 3) × (4 + 5)

f 2 + (3 + 4) × 5

d 8 + 10 /(2 + 3)

e 10 + 8 / 2 + 3

f (10 + 8)/ 2 + 3

d 4 + (3 + 5) + (4 × 3) + 5

e 4 + 3 + ( 5 4) × 3 + 5

f 4 + 3 ( 5) × ( 4) × 3 + 5

4

Bereken zonder rekenmachine.

a 5 × 4 3 + 8 (− 4) × 9 d 8 × {4 + (3 + 5)/ 2} 11 × (1 + 4)

b 5 + 6 / 2 + 3 × 6 / 9 e 7 7 ( 7) + 7 × 3

c 17 / 1 + 16 3 × 8 / 2 + 2 f 4 × {13 + (2 + 5) × ( 2)} + 4 + 4 × 4 /( 2)

1.3 Eigenschappen van bewerkingen

We bekijken een aantal eigenschappen van de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en combinaties daarvan.

Commutatieve eigenschap (wisseleigenschap)

Bij optellen en vermenigvuldigen mag de volgorde van de getallen waarmee de bewerking wordt uitgevoerd, worden omgewisseld.

Er geldt bijvoorbeeld 3 + 4 = 4 + 3 en 8 + ( 4) = 4 + ( 8)

En ook 3 × 4 = 4 × 3 en 4 × ( 8) = 8 × 4.

Een bewerking waarbij de volgorde mag worden omgewisseld heet commutatief. De bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn dus commutatief.

De bewerking ‘verschil nemen’ is niet commutatief: 3 4 = 1 en 4 3 = 1, dus 3 4 ≠ 4 3

Ook de bewerking delen is niet commutatief: 12 / 3 ≠ 3 / 12.

Notatie

Hierboven hebben we het ≠-teken gebruikt. Dit is het zogenaamde ongelijkheidsteken en geeft aan dat de uitdrukkingen links en rechts van dit teken niet gelijk zijn aan elkaar.

Associatieve eigenschap (groepeereigenschap)

Als we drie getallen optellen of vermenigvuldigen, kunnen we deze getallen op twee manieren groeperen. De uitkomst van de berekening is gelijk.

De som van de getallen 3, 4 en 5 kan op twee manieren gegroepeerd worden:

(3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 en 3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12. De uitkomsten zijn gelijk.

Omdat de volgorde niet uitmaakt mogen we schrijven 3 + 4 + 5

Bij vermenigvuldigen geldt iets soortgelijks:

(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 60 en 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60. De uitkomsten zijn gelijk. Omdat de volgorde niet uitmaakt mogen we schrijven 3 × 4 × 5

We zeggen dan dat de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen associatief zijn.

Distributieve eigenschap (verdeeleigenschap)

Als we met verschillende bewerkingen en haakjes te maken hebben dan kunnen we de distributieve eigenschap gebruiken om de berekening op een andere manier uit te voeren.

We laten zien dat geldt 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)

Berekening van het linkerlid (links van het =-teken): 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27.

Voor het rechterlid geldt: (3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27 De uitkomsten zijn gelijk.

In 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5) is de bewerking ‘met 3 vermenigvuldigen’ verdeeld (gedistribueerd) over het getal 4 en het getal 5.

Zo geldt ook 3 × (4 5) = (3 × 4) (3 × 5) = 12 15 = 3

De distributieve eigenschap geldt ook als het getal waarmee vermenigvuldigd wordt achter de haakjes staat (3 4) × ( 5) = 3 × ( 5) 4 × ( 5) = 15 + 20 = 5.

Vermenigvuldigen mag worden gedistribueerd over de termen van een som of een verschil; vermenigvuldigen is distributief over optellen en aftrekken.

Ook

Dit laat zien dat ‘delen door een getal’ distributief is over optellen en aftrekken.

De laatste twee berekeningen kunnen ook via vermenigvuldigen uitgevoerd worden.

12 + 8 4 = (12 + 8) × 1 4 = 12 × 1 4 + 8 × 1 4 =

en 12 8 4 = (12 8) × 1 4 = 12 × 1 4 8 × 1 4 =

Opgaven bij 1.3

1 Hieronder staat een aantal beweringen. Geef steeds aan of de bewering waar of niet waar is.

Als de bewering waar is, geef dan aan welke eigenschap is gebruikt. Als hij niet waar is, geef dan een verbetering.

a 3 × (4 5) = 3 × 4 3 × 5 d 3 (4 5) = (3 4) 5

b 3 × (4 5) = 3 × 4 3 × 5 e ( 4 + 5) = 1 × (4 5)

c 3 × (4 × 5) = (3 × 4) × 5 f 3 × ( 4 + 5) = 3 × ( 4) 3 × 5

2 Hieronder staat een aantal beweringen. Geef steeds aan of de bewering waar of niet waar is.

Als de bewering waar is, geef dan aan welke eigenschap is gebruikt. Als hij niet waar is, geef dan een verbetering.

3 Hieronder staat een aantal beweringen. Geef steeds aan of de bewering waar of niet waar is.

Als de bewering waar is, geef dan aan welke eigenschap is gebruikt.

a ( 3 × 12)/ 3 = ( 3 / 3) × (12 / 3)

8 5 × 3 = 8 × 3 5 × 3

250 /(2 × 5) = (250 / 2) × (250 / 5)

Voorbeeld 17

1.4 Rekenkundige bewerkingen met breuken

In deze paragraaf gaan we rekenkundige bewerkingen uitvoeren met breuken. We beginnen met optellen en aftrekken. Daarna komen vermenigvuldigen, delen en combinaties ervan met optellen en aftrekken aan de orde.

Voor we aan de slag gaan maken we een notatieafspraak.

Notatie

Het vermenigvuldigen van twee getallen noteren we voortaan met een punt (op halve hoogte, dus niet onderaan) in plaats van een kruisje.

Dus: 5 ⋅ 3 = 5 × 3

Optellen en aftrekken

De vraag hoeveel 3 appels plus 5 peren is, kun je niet beantwoorden. Appels en peren zijn niet op te tellen. Wel kun je zeggen: 3 appels zijn 3 vruchten en 5 peren zijn 5 vruchten, in totaal dus 8 vruchten. Iets dergelijks kun je doen als gevraagd wordt naar de som van 5 fietsen en 2 auto’s. Als we ze als voertuigen zien dan kunnen we zeggen dat de som 7 voertuigen is. Kennelijk moeten we ze eerst ‘eenzelfde naam geven’, gelijknamig maken, voordat we ze kunnen optellen.

Bij het optellen en aftrekken van breuken is het ook nodig om ze eerst gelijknamig te maken. We moeten er dan voor zorgen dat alle breuken dezelfde noemer hebben.

We tellen twee breuken met ongelijke noemer op. We maken de breuken daarom eerst gelijknamig; we geven ze een gelijke noemer.

Na het gelijknamig maken blijft de noemer bij het optellen gelijk. Dat was ook zo bij het optellen van de vruchten en de voertuigen.

In bovenstaand voorbeeld hebben we voor de noemer 6 gekozen, dit is het product van de noemers 2 en 3. De vraag is of het product van de noemers altijd een verstandige keuze is.

We bekijken de som 1 8 + 5 6 .

Eerst berekenen we deze som door als nieuwe noemer het product van de beide noemers te kiezen. De noemer wordt dan 8 ⋅ 6 = 48. De berekening verloopt als volgt.

We haden ook direct voor noemer 24 kunnen kiezen. Dan krijgen we het volgende

De berekening is korter en er komen minder grote getallen in voor. Wel moet vooraf een geschikte noemer berekend worden.

Voorbeeld 18

Voorbeeld 19

Voorbeeld 20

Rekenen met getallen

De gezochte geschikte noemer is zo klein mogelijk, maar wel een veelvoud van de beide noemers, dus een veelvoud van zowel 8 als 6. We zoeken dus naar het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers.

Definitie

Voor het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van een aantal positieve gehele getallen geldt:

• het kgv is een positief geheel getal, én

• het kgv is een veelvoud van alle betreffende getallen, én

• het kgv is zo klein mogelijk.

In bovenstaand voorbeeld hebben we gezien: kgv(8,6) = 24.

Het kgv is te vinden door van alle getallen een rijtje veelvouden op te schrijven en vervolgens te zoeken naar het kleinste getal dat in alle rijtjes voorkomt.

Het kgv van 6 en 15 vinden we als volgt.

Veelvouden van 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ....

Veelvouden van 15: 15, 30, 45, ....

We zien dat 30 het kleinste getal is dat in beide rijtjes voorkomt, dus kgv(6,15) = 30. ■

Bij het berekenen van het kgv kan werk worden bespaard door te beginnen met de veelvouden van het grootste getal en daarna te kijken welke van die getallen een veelvoud zijn van het op één na grootste getal. Zo verder gaand tot het kleinste getal vinden we uiteindelijk het kgv. Dit werkt ook bij het berekenen van het kgv van meer dan twee getallen.

Het kgv van 8 en 12 vinden we als volgt.

Veelvouden van 12: 12, 24, 36, 48, ....

Veelvouden van 8 in het vorige rijtje: 24, 48, ....

We zien dat 24 het kleinste getal is dat in beide rijtjes voorkomt, dus kgv(8,12) = 24. ■

Het kgv van 9, 12 en 15 berekenen we als volgt.

Veelvouden van 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, ...

Veelvouden van 12 in het vorige rijtje: 60, 120, 180, ...

Veelvouden van 9 in het vorige rijtje: 180, ...

Dus: kgv(9,12,15) = 180. ■

Opdracht

Bereken kgv(3,5,6) op de manier van voorbeeld 20.

We gaan verder met enkele voorbeelden over het optellen en aftrekken van breuken.

Voorbeeld 21

We berekenen 2 15 + 7 9

Er geldt kgv(15,9) = 45. De nieuwe noemer wordt dus 45. In de eerste breuk vermenigvuldigen we daarom teller en noemer met 3 en in de tweede breuk met 5.

berekenen

In voorbeeld 20 is berekend: kgv(9,12,15) = 180. We maken de breuken gelijknamig met noemer 180.

geeft het volgende.

Het kan ook anders.

In de voorbeelden 23 en 24 werden twee manieren van berekenen gebruikt. Meestal is de eerste methode het minst foutgevoelig. Als er grote gehele getallen voorkomen kan de tweede manier de voorkeur hebben.

In het volgende voorbeeld staat een aantal berekeningen. Enkele tussenstappen zijn weggelaten. Vul deze zonodig zelf in.

Voorbeeld 27

22

Rekenen met getallen

Voorbeeld 28

Het vermenigvuldigen van breuken

Als we twee breuken met elkaar vermenigvuldigen dan vermenigvuldigen we de tellers met elkaar en vermenigvuldigen we de noemers met elkaar. De teller van het product is dus het product van de afzonderlijke tellers en de noemer van het product is het product van de afzonderlijke noemers.

We berekenen een aantal producten.

29

De berekening van het product van de breuken

en 1 5 kan als volgt.

We kunnen ook eerder gelijke factoren in teller en noemer wegdelen.

We zien dat gelijknamig maken bij vermenigvuldigen van breuken niet aan de orde is.

Het delen van breuken

We bekijken een deling, waarbij in de noemer een breuk staat. We vermenigvuldigen teller en noemer met een gelijk getal en zorgen er daarbij voor dat de noemer 1 wordt. Dit kan als volgt.

Algemeen gaan we als volgt te werk. Als we een deling hebben met in de noemer een breuk, dan vermenigvuldigen we teller en noemer met het omgekeerde (de reciproke) van de breuk in de noemer. We hanteren de regel: ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk’.

Hierboven was de noemer gelijk aan 3 8 en we vermenigvuldigden dus met 8 3 .

In de eerste berekening in voorbeeld 30 is de noemer 2 5 . We vermenigvuldigen dus met 5 2

Een andere manier is om de breuken in teller en noemer te vermenigvuldigen met het product van de beide noemers. In bovenstaande berekening krijgen we dan het volgende.

Voorbeeld 30 We maken een viertal delingen met gebroken getallen.

Opdracht

Bereken in bovenstaand voorbeeld de overige delingen ook op de ‘tweede manier’.

Het toepassen van de regel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk’ heeft als nadeel dat het een truc is en we daarom vaak niet goed weten wat we aan het doen zijn. Het antwoord is natuurlijk wel goed.

Voorbeeld 31

Gecombineerde bewerkingen

In de volgende voorbeelden combineren we bewerkingen met breuken.

We berekenen 3 4 ⋅ ( 5 6 8 9 ) op twee manieren.

Bij de eerste manier maken we gebruik van de distributieve eigenschap; we werken dus de haakjes weg.

Bij de tweede manier herleiden we eerst het verschil dat tussen de haken staat.

Opgaven bij 1.4

1 Bereken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van:

en 3

2 Bereken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van:

12

24 en 9

3 Bereken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van:

6, 9 en 15

4, 6 en 10

10, 25 en 28

8, 20 en 35

4 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk. Geef twee vormen van het antwoord. Een vorm als breuk en een vorm waarbij de gehelen er zo mogelijk uit gehaald zijn.

5 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk. Geef twee vormen van het antwoord. Een vorm als breuk en een vorm waarbij de gehelen er, zo mogelijk, uit gehaald zijn.

6 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk. Geef twee vormen van het antwoord. Een vorm als breuk en een vorm waarbij de gehelen er, zo mogelijk, uit gehaald zijn.

7 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk. Geef twee vormen van het antwoord. Een vorm als breuk en een vorm waarbij de gehelen er, zo mogelijk, uit gehaald zijn.

8 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk.

9 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk.

10 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk.

11 Bereken zonder rekenmachine en vereenvoudig zo ver mogelijk.

De serie Toegepaste wiskunde is geschikt voor alle opleidingen waar wiskundige vaardigheden een belangrijke plaats innemen.

De nadruk ligt op het trainen van (basis-) vaardigheden van de wiskunde. De student past de wiskundige vaardigheden zoveel mogelijk toe in praktische situaties.

Deze serie kent de volgende indeling:

z Het Basisboek behandelt het basisniveau wiskunde en is geschikt als voorbereiding op een technische studie voor studenten met een mbo-opleiding of een havo/vwo-opleiding zonder wiskunde B. Tevens is het geschikt voor opleidingen waarin een basisniveau voor wiskunde voldoende is.

z Deel 1 behandelt de gehele propedeusewiskunde van de meeste techniekopleidingen in het hoger onderwijs.

z Deel 2 is vooral bedoeld voor techniekopleidingen in het hbo, die ook na de propedeuse wiskundeonderwijs aanbieden en voor studenten in de propedeusefase van een technische universiteit.

BASISBOEK

Dit deel van de serie is onder andere geschreven voor studenten die willen beginnen aan een opleiding in het hoger onderwijs waarin wiskunde wordt gebruikt en die niet over de benodigde voorkennis beschikken. Het boek kan ook gebruikt worden bij (doorstroom-)cursussen en bij techniekopleidingen in het mbo.

Alle elementaire wiskundeonderwerpen komen uitgebreid aan de orde.

Het getalbegrip en het rekenen met getallen wordt uitgebreid geoefend. Ook het omgaan met symbolen en het manipuleren van formules krijgt veel aandacht.

Daarnaast worden onderwerpen behandeld als vergelijkingen en ongelijkheden, wortels, exponenten en logaritmen en de bijbehorende standaardfuncties. De belangrijkste begrippen en toepassingen uit de driehoeksmeetkunde komen aan bod en goniometrische functies worden besproken. Het begin van de differentiaalrekening wordt behandeld en er wordt een inleiding op de vectorrekening aangeboden.

Jan Blankespoor

Kees de Joode

Aad Sluijter