Unidad didáctica: Funciones Contexto: La siguiente unidad didáctica será impartida en el primer curso de Bachillerato, modalidad de Ciencias y Tecnología (Matemáticas I) bloque de Análisis.
Introducción: El estudio y conocimiento de los diferentes tipos de funciones es uno de los temas más importantes de este curso, ya que es necesario el conocimiento de muchos, y muy diferentes, conceptos. Además, el estudio de funciones, es una unidad que les servirá para otros campos, como estadística, probabilidad y física, entre otros. En esta unidad didáctica se pretende que el alumno adquiere una serie de aptitudes y destrezas que le ayuden afrontar el estudio completo de cualquier función. Además, se pretende que con la representación gráfica de funciones, que es una pequeña parte de esta unidad, los alumnos visualicen los conocimientos adquiridos en unidades anteriores, como es el caso de geometría.
Temporización: El tiempo estimado para la realización de la presente unidad didáctica son 7 sesiones, equivalentes a 1 semana y media de curso escolar. En caso de que el número de sesiones estimado sea insuficiente, se aumentarán el número de las mismas. Al termino de las 7 sesiones programadas, se realizará la correspondiente prueba objetiva, con la que se pretende evaluar el nivel de conocimientos adquiridos por el alumno.
Objetivos: 1. Saber identificar una función. 2. Conocer los diferentes tipos de funciones: racionales, lineales, cuadráticas, trigonométricas, etc. 3. Calcular el dominio de cualquier tipo de función. 4. Saber reconocer si se trata de una función simétrica (par o impar) o no simétrica. 5. Saber identificar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 6. Conocer los distintos tipos de asíntotas y saber calcularlos. 7. Saber identificar y calcular los máximos y los mínimos (relativos y absolutos). 8. Saber calcular los puntos de corte con los ejes 0Y y X0. 9. Aprender el estudio de la continuidad de una función. 10. Conocer los distintos tipos de discontinuidad. 11. Aprender los distintos métodos de cálculo y resolución de límites e indeterminaciones. Contenidos: Procedimentales: 1. Aplicar las reglas básicas (denominador != 0,raíces no negativas) para el cálculo de dominios 2. Conocer los puntos básicos de un estudio completo de funciones (dominio, recorrido, simetría, intervalos de crecimiento/decrecimiento, máximos y mínimos, asíntotas, puntos de corte con los ejes y continuidad) 3. Aplicar las distintas formas de resolución, para resolver los diferentes tipos de indeterminaciones (multiplicar y dividir por el conjugado, L'Hôpital, etc). 4. Conocer la definición de derivada y las reglas básicas de derivación. Conceptuales: 1. Representación de funciones con el programa GeoGebra, para la identificación de todos los puntos
básicos del estudio de funciones.
2. Interpretación de los resultados obtenidos en cada uno de los puntos del estudio. Metodología: Utilizaremos una metodología abierta, flexible y activa, donde dejaremos que el alumno sea el protagonista y el profesor sólo intervendrá de guía (corrigiendo los posibles errores que puedan tener los alumnos). Serán clases dinámicas en las que los alumnos realizarán los ejemplos en la pizarra para demostrar si, realmente, han adquirido los conceptos expuestos por el profesor. Para el desarrollo de ésta unidad didáctica se utilizará el programa GeoGebra, ya que nos permitirá representar gráficamente las funciones, y esto nos servirá de ayuda para el estudio de las mismas.
Descripción de las sesiones: Primera sesión: Presentaremos la definición de función, usando precisamente el ejemplo de una “no función”, para ayudarles no sólo a comprender el concepto si no a saber identificar las que no pertenecen al conjunto de las funciones. Les presentaremos las distintas formas de presentar a una función (mediante datos en una tabla, con una regla predeterminada, gráfica, fórmula, etc.). Introduciremos los conceptos de dominio y recorrido, usando en este punto varios ejemplos con el programa GeoGebra. Utilizaremos ejemplos básicos para el cálculo de los dominios y preguntas clave a la hora de enfrentarnos a un problema de cálculo de dominios, por ejemplo: cuando tenemos una función que se expresa como un cociente, debemos plantearnos la siguiente pregunta ¿qué valor no puede tomar el denominador de un cociente?,si tenemos una función radical deberíamos plantearnos la siguiente pregunta ¿cómo no puede ser una raíz?. En este punto, cuando se resuelvan varios ejemplos (por los alumnos), podemos utilizar el GeoGebra para ver cómo representa esas funciones y poder entender lo que significa “sacar un punto del dominio” (viendo que no tiene imagen). Segunda sesión: Introducimos el concepto de simetría y cómo calcular si un función es PAR o IMPAR. Introducimos varios ejemplos y los representamos en el programa GeoGebra para ver la diferencia entre función par y función impar, seguidamente ponemos ejemplos de funciones que no son simétricas y también las representamos. Para hallar los intervalos de crecimiento/decrecimiento les pondremos ejemplos de gráficas en los que es más intuitivo y directo el cálculo del mismo. En este punto, aprovechamos también para introducir los conceptos de máximo relativo/absoluto y mínimo relativo/absoluto, ya que gráficamente es más fácil entender el concepto (también se verá gráficamente, cuándo una función no tiene máximos/mínimos absolutos). Para finalizar la sesión, algunos alumnos saldrán a calcular los puntos estudiados hasta este momento en varias funciones que el profesor les presentará. Tercera sesión: Siguiendo con el estudio de funciones, presentaremos el concepto de asíntota y los diferentes tipos de asíntotas. Resolveremos la cuestión de ¿cómo calcular las asíntotas? Dependiendo del tipo de asíntota que sea (vertical, horizontal u oblicua) y representaremos varias funciones (cada una con un tipo diferente de asíntota) para interiorizar mejor el concepto e identificarlas gráficamente. A continuación, presentaremos los puntos de corte con los ejes X e Y y pondremos varios ejemplos (que resolverán nuestros alumnos) para practicar el cálculo de los mismos. Para concluir la sesión número 3, propondremos varios ejercicios para practicar los diferentes puntos del estudio de funciones, de forma que los conocimientos se acumulen e interioricen de forma factorial. Cuarta sesión: En esta sesión empezaremos el punto más complejo del estudio de funciones: la continuidad. Presentaremos el concepto de forma formal y rigurosa y a continuación gráficamente con varios ejemplos en el GeoGebra. Presentamos los diferentes tipos de discontinuidad (evitable, de salto finito e infinito), cómo calcularlos e identificarlos. Además, en este apartado introduciremos las condiciones de continuidad en las funciones a trozos con parámetros para determinar qué valor/es deben de tomar los parámetros para cumplir las condiciones de continuidad. En este punto, el programa GeoGebra nos ayudará a revisar los valores de los parámetros obtenidos, ya que al definir una función a trozos con varios parámetros sin determinar nos deja mover los trozos hasta “hacerlos encajar” y justo nos da el valor, de esta forma demostraremos la importancia de la óptima resolución y la exactitud del parámetro, a la hora de estudiar una
función de dichas características. En esta sesión se le entregará a los alumnos una hoja con 20 ejercicios (cálculo de dominios, estudio de funciones, continuidad, etc.) para que practiquen y desarrollen las habilidades “adquiridas” a lo largo de estas sesiones. La entrega de dicha relación de ejercicios tendrá un peso del 3% de la nota de dicho bloque. Quinta sesión: Cálculo de límites: introduciremos el concepto de “límite” de forma rigurosa y con diversos ejemplos (sustituyendo valores altos en funciones para ver los distintos comportamientos). En este punto, presentaremos la teoría básica de límites (en + y – infinito) cuando tenemos un cociente de polinomios (en función del grado del numerador y el denominador). Pondremos algunos ejemplos, de tal forma que además de aplicar directamente la teoría básica del grado de los polinomios, lo comprobaremos con la sustitución de números (para comprobar la aproximación). Después, presentaremos los diferentes tipos de indeterminaciones (0/0, ∞+(-)∞, …) y algunos de los métodos utilizados para resolverlos (multiplicar y dividir por el conjugado, suma, L`Hôpital, factorización, etc.) Para este punto del tema, se les entregará una hoja de 10 ejercicios, todos de límites, para que los alumnos puedan practicar los diferentes métodos de resolución. La entrega de dicha hoja de ejercicios contará un 3% de la nota de dicho bloque. Sexta sesión: En esta sesión introduciremos el concepto de “derivada”, exponiendo varios ejemplos cotidianos (velocidad de un móvil, etc.) para la comprensión de dicho concepto. Se presentará también el concepto de forma rigurosa (concepto de límite) y se les entregará una tabla de “derivación” para que vayan practicando. En este punto, si la asimilación del concepto es buena, se introducirá el cálculo de máx./mín. con las derivadas. (Este punto queda sujeto a la evolución de los alumnos). Se les entregará una hoja de derivadas, con funciones básicas (suma, resta, multiplicación, cocientes, potencias, etc) para que vayan aplicando las fórmulas de derivación. Séptima sesión: Para la última sesión (salvo que la asimilación de los conceptos no sea la esperada), el profesor tendrá preparada una hoja de ejercicios variados para que los alumnos los resuelvan en la pizarra. Si la evolución de la clase es favorable, se concretará la fecha del examen correspondiente a este bloque. En caso contrario, se utilizarán, como máximo, dos sesiones más para la consulta de dudas y la realización de ejercicios.
Criterios de evaluación: Se valorará la participación activa en clase (ejercicios en la pizarra), la entrega de las relaciones de ejercicios correspondientes a este bloque. Además, será necesario obtener más de un 4,5 en el examen correspondiente a este bloque para poder añadir los puntos obtenidos en las relaciones de ejercicios entregadas. Si la nota obtenida es superior o igual a 5, el alumno habrá superado la materia correspondiente a este bloque. Si el alumno obtiene una nota inferior, deberá presentarse al examen de recuperación.