14.ª Edição – Março 2011 Calheta
2010/2011
O NOSSO BLOG: matlandiacalheta.blogspot.com 2010/2011
Daniela Moura n.º3 e Jéssica Segala nº8 T. – 6.4
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Jéssica e Andreia – T. 9.1
Desafio 1
Quanto é 8 dividido em duas partes?
Elisa Rubina n.º9 – T. 6.5
Curiosidades: O
Como surgiu a raiz quadrada? símbolo
raiz
apareceu
pela
primeira vez em 1525, por Christoph Rudolf (1499 - 1545) no livro de álgebra Die Cross, o primeiro livro germânico sobre álgebra, que é das mais antigas obras impressas a usar fracções decimais, bem como o moderno símbolo para raízes. O símbolo, criado por Rudolff, não teve aceitação imediata nem mesmo na Alemanha, sua terra natal. 3
Sabe-se que, em 1655, John Wallis já utilizava o símbolo e o índice de raiz quadrada da mesma forma que hoje utilizamos. Catarina N.º4 -‐ T. 6.3
Desafio 2 - As dez moscas
Como é que distribuirias dez moscas em nove quadrados? Cada quadrado não pode levar mais do que uma mosca.
Diogo Miguel n.º 4 e Luís Carlos n.º 15 T. 6.4
Sabias que...
O maior número aceite no sistema de potências sucessivas de dez, é o Centilhão, registado pela primeira vez em 1852. Representa a centésima potência de um milhão, ou seja, o número 1 seguido de 600 zeros apenas é utilizado na GrãBretanha e na Alemanha. Pedro Henrique e João Francisco – T. 6.4 Francisco Jardim – T. 12.1
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Passatempos... Jogo do 24
Catarina n.4 – T. 6.3
As linhas azuis estão inclinadas ? Jéssica e Andreia – T. 9.1
Anedotas Na aula antes do teste, o professor disse aos alunos: "Os exercícios do teste serão parecidos aos das aulas, apenas os números serão diferentes, não todos por exemplo, o pi continuará a ser 3,14. Nelson Granel n.º15 T. 11.5
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Desafio 3 A Patrícia precisa de comprar canetas. Numa papelaria vendem-‐se conjuntos de 2 canetas por 4 euros e conjuntos de 3 canetas por 5 euros. Qual é a quantidade mínima que a Patrícia tem que gastar para comprar 40 canetas? Marisa Fernandes n.º16 – T. 11.4
Desafio 4
– O Lago
Um lago demora 20 dias a encher. Em cada dia enche o dobro do dia anterior. Quantos dias demora a encher metade do lago? Ana Cabo – T. 9.3 Olívia Maurício – T.5.5
O golfista entrevista o jovem que ia passar a transportar os seus tacos: Preciso de alguém que seja bom a matemática. Responda-me depressa: quanto dá 5 mais 4 mais 3? - 10? - Óptimo, está contratado! Rodrigo Jardim Pedro Miranda – T. 7.4
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Desafio 5: Escadas Rolantes Procura-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subiu um degrau de cada vez enquanto que a outra subiu dois. Ao chegar ao topo, a primeira contou 21 degraus enquanto a outra 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (Obs.: a escada está em andamento). Sónia e Cristina – T. 10.4
Passatempo... 4
9 8 1
6 1 8
6 2 9
5 4 9
7 3
9 8
6 2 4
1
2 3 3 8 5
Duarte Canha n.º6 Maria Gonçalves n.º15 T. 6.1
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Adivinha!! Que número sou? Sou menor do que 50. Sou primo. A soma dos meus algarismos é 5. Dividido por 5 dou resto 3. Quem sou eu?
Carina Maciel T. 9.3
Um pouco de Historia da Matematica Matemático: Thales de Mileto Temas: Semelhança de triângulos Relação numérica entre os triângulos rectângulos Thales de Mileto Nasceu por volta do ano 640 a.C., na Ásia Menor (actualmente Turquia). Thales era um homem muito prático, considerado o primeiro filósofo que introduziu a geometria na Grécia. Destacou-‐se na elaboração dedutiva de teoremas sobre geometria plana, no entanto não existem documentos da sua época que possam confirmar, com certeza, a veracidade desta afirmação. Thales está entre os Sete Sábios. Iniciou a sua vida como comerciante de azeite na cidade de Mileto, litoral da Ásia Menor e conta-‐se que um ano, antevendo uma grande produção de azeitonas, monopolizou todos os lagares de fazer o azeite, obtendo assim um grande lucro, tornando-‐se rico, o suficiente, para dedicar o resto da sua vida ao estudo. Realizou várias viagens pelo litoral do Mar Mediterrâneo (entre 600 a. C. e 550 a. C.), conhecendo assim as obras de Thales de Mileto alguns matemáticos e astrónomos de algumas regiões, sobretudo do (624 a. C. - 548 a.C.) Egipto. Dirigiu obras hidráulicas e diz-‐se também que desviou a direcção do rio Halis mediante a construção de diques. Foi mais célebre como astrónomo pois previu o eclipse total do Sol, visível na Ásia Menor, crendo-‐se também que descobriu a constelação da Úrsula Menor e que considerava a Lua 700 vezes menor que o Sol. Também acredita-‐se que conheceu o percurso do Sol de um trópico a outro. 8
Explicou os eclipses do Sol e da Lua. Acreditava que o ano tinha 365 dias. Estudou rectas e ângulos e realizou demonstrações formais e rigorosas, sobre relações geométricas do círculo e do triângulo isósceles. Foi ele o responsável pelo cálculo da altura de uma pirâmide a partir do comprimento da sua sombra, em determinado horário do dia e dependendo da posição do Sol. Esquematicamente temos: Observemos o desenho abaixo, a vara é colocada no extremo da sombra da pirâmide, ponto C, e a partir da sua sombra forma o triângulo DCE que é semelhante ao triângulo ABC. Notemos que, nesta explicação é necessário o conhecimento de teoremas sobre triângulos.
AB BC DC × BC , onde AB = = DC CE CE Da mesma maneira, Thales de Mileto mediu também a distância de um navio à praia, supostamente usando a semelhança de triângulos. Esquematicamente temos: de um ponto O na praia, fixemos o olhar ao navio (ponto B). Tracemos uma perpendicular AO a OB. De A fixemos o olhar a B. Escolhendo um ponto C na base AO, tracemos uma paralela a OB, que é perpendicular à base. Os triângulos ACD e AOB são semelhantes, logo:
OB OA OA × CD , onde OB = = CD CA CA Como as distâncias podem ser calculadas ao longo da praia, podemos então calcular a distância OB. Resumindo, a base e o olhar para o navio podem ser quaisquer, não sendo necessário serem perpendiculares, desde que os ângulos do olhar para o navio e o comprimento da base sejam conhecidos. Na filosofia, Thales defendeu a existência de uma substância fundamental que dá origem ao movimento e à transformação da vida, afirmando “o morto resseca, enquanto os germes são húmidos e os alimentos cheios de seiva”. Até a sua época todas as explicações do Universo eram mitológicas. Nenhum dos seus escritos sobreviveu. As suas ideias filosóficas são conhecidas devido à Metafísica de Aristóteles. Actualmente, sabemos que grande parte da geometria exercida por Thales era já familiar aos Babilónios. Referências:
• Galeria de matemáticos do Jornal Elementar, vol.1.Lisboa, 1991 • Struik, Dirk, Historia Concisa Das Matemáticas, Gradiva, 1997.
Prof. Fátima Gonçalves 9
Nota Final: Para terminar quero apenas salvaguardar que as pesquisas apresentadas neste Jornal, foram feitas por alunos e professores da Escola Básica e Secundária da Calheta. Mas... Está aberta a outras escolas! Participem!
O nosso Blog Visita-‐nos em matlandiacalheta.blogspot.com, coloca questões, dúvidas, responde aos desafios!! E se tiveres alguma curiosidade que gostasses que fosse publicada (que ainda não tenha saído nas publicações do Jornal MatLânda) envia-‐nos para o email do Laboratório de Matemática. Participa!! Ficamos à tua espera! Soluções da 13.ª Edição
Quadrados Mágicos 2 9 4 Desafio 1 2 + 2 -‐ 2 -‐ 2 = 0 ( 2 + 2 ) : ( 2 + 2 ) = 1 7 5 3 2 : 2 + 2 : 2 = 2 2 + 2 -‐ 2 : 2 = 3 6 1 8 Desafio 2 – Alice no País das Dúvidas Se o caminho fosse o 1, teríamos as placas 1 e 2 correctas, o que contraria o enunciado. Se o caminho fosse o 3, novamente teríamos 2 placas correctas, a 2 e a 3. Portanto o caminho certo é o 2 e a única placa verdadeira é a 3. Passatempos -‐ Caminho do Cachorro 50, 59, 34, 143, 55, 147 Quantos rectângulos vês aqui? 7 rectângulos Desafio 3: Preencher as Nuvens: 5 Desafio 4: Diferença de Patos e Cachorros O total de patos e cachorros é 21: P+C = 21 O total de pés é 54. Patos têm 2 patas e cachorros têm 4 patas, então: 2P+4C = 54 Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos: P = 21-‐C Substituindo na segunda equação temos: Agora basta encontrar o P: 2(21-‐C)+4C = 54 P = 21-‐C 42-‐2C+4C = 54 P = 21-‐6 2C = 54-‐42 P=15 2C = 12 C = 6 Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-‐6 = 9. Desafio 5: Mais um pouco de Geometria Não há grandes métodos para descobrir a medida, porque a [AB] é igual a [CD] que é igual ao raio do círculo. Logo é igual a 10 cm. Desafio 6: Jantar de Amigos
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De acordo com o enunciado do problema teriam de estar presentes pelo menos 3 amigos. Podemos ir por tentativas. • Se fossem 3 amigos, cada um pagaria 240 / 3 = 80. Se dois deles não tivessem trazido dinheiro o terceiro teria de ter pago a despesa desses dois, pelo que pagaria mais 160 euros e não os 10 euros que o enunciado refere. • Se fossem 4 amigos, cada um pagaria 240 / 4 = 60. Se dois deles não tivessem trazido dinheiro os dois restantes teriam de ter pago mais 60 euros cada um e não os 10 euros que o enunciado refere. ... • Para 8 amigos. A despesa de cada um seria 240 / 8 = 30 euros. Como dois não tinham dinheiro os restantes teriam de dividir 60 euros igualmente por cada um deles. Ora, como 60 / 6 = 10 euros, então está de acordo com o enunciado do problema. Passatempo 4 1 7 3 6 2 9 5 8 9 6 3 8 5 7 1 2 4 8 5 2 4 9 1 3 7 6 1 2 9 6 8 4 5 3 7 3 7 8 9 2 5 6 4 1 6 4 5 7 1 3 2 8 9 2 9 4 1 3 8 7 6 5 5 8 1 2 7 6 4 9 3 7 3 6 5 4 9 8 1 2 Adivinha: É o ANO Desafio 7 Podemos notar que a figura é parecida com um "A". Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é: !!!" = 286 Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece: Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não formam triângulos. Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação. E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si. Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser formados é: !!!" − !!! − !!! − !!! = 286 − 20 − 20 − 4 = 242 Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos! Desafio 8 Moedas Coloque a moeda 4 em cima da 7; a moeda 6 em cima da 2; a 1 em cima da 3; e finalmente, a 8 em cima da 5.
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Laboratório de Matemática MatLândia (Antiga Sala de Estudo Pav. 4)
Professores de Matemática Escola Básica e Secundária da Calheta
Professores organizadores: Prof. Prof. Prof. Prof. Prof. Prof.
Alexandra Cruz Fernando Menezes Marisa Mendes Marisa Silva Nélia Nascimento Tânia Marinho
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