MATEMATIKA. Vadovėlis gimnazijų II klasei

Uždavinynas

PIRMOJI KNYGA

Savarankiški ir kontroliniai darbai

Vadovėlis gimnazijų II klasei

Mokytojo knyga

10

Vadovėlis Pirmoji knyga Antroji knyga

Matematika

Matematikos vadovėlio mokomąjį komplektą gimnazijų II klasei sudaro:

ISBN 978-5-430-05439-7

a k i t a m e t a M asei

ijų II kl z a n m i g s i l ė Vadov

10

YGA N K I J O M R I P

Turinys 1. Skaičiai ir skaičiavimai 5

1.1. Paprasčiausi kvadratinių šaknų pertvarkiai 5 1.2. Kubinės šaknys 8 1.3. Realiųjų skaičių palyginimas. Tikslios ir apytikslės reikšmės 12 Santrauka 18 Pasitikrinkite 19

2. Kvadratinės ir racionaliosios nelygybės 20

2.1. Nelygybė. Nelygybės sprendiniai. Ekvivalentieji pertvarkiai 20 2.2. Kvadratinės nelygybės 22 2.3. Racionaliųjų nelygybių sprendimas intervalų metodu 29 2.4. Trupmeninių racionaliųjų nelygybių sprendimas 32 Santrauka 36 Pasitikrinkite 37

3. Trigonometriniai sąryšiai stačiajame trikampyje 40

3.1. Kampų matavimas 40 3.2. Smailiojo kampo sinusas ir kosinusas 43 3.3. Smailiojo kampo tangentas 48 3.4. To paties argumento trigonometrinių funkcijų tapatybės 51 3.5. Stačiojo trikampio sprendimas 53 Santrauka 60 Pasitikrinkite 61

4. Tiesės ir plokštumos erdvėje 64

4.1. Stereometrijos pirminės sąvokos. Tiesių tarpusavio padėtys 64 4.2. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas 72 4.3. Kampai erdvėje. Tiesės ir plokštumos statmenumas 77 4.4. Kampai tarp plokštumų. Statmenosios plokštumos 84 4.5. Kūnų kirtimas plokštuma 88 Santrauka 94 Pasitikrinkite 96

5. Lygčių sistemos 98

5.1. Lygčių sistemų sprendimas grafiniu būdu 98 5.2. Lygčių sistemų sprendimas keitimo būdu 104 5.3. Uždavinių sprendimas sudarant lygčių sistemas 107 Santrauka 112 Pasitikrinkite 113

Atsakymai 114 Dalykinė rodyklė 124 Priedai 126

Turinys Mieli gimnazistai! 4 6. Kombinatorika ir tikimybės 5 6.1. Kombinatorinės sudėties taisyklės 5 6.2. Kombinatorinės daugybos taisyklės 9 6.3. Kombinatorika be formulių 15 6.4. Elementarieji įvykiai. Įvykių reiškimas elementariaisiais įvykiais 22 6.5. Įvykio tikimybė 27 6.6. Kombinatorikos taikymas apskaičiuojant įvykių tikimybes 32 6.7. Įvykio tikimybės apskaičiavimas, kai bandymas nėra klasikinis 36 Santrauka 42 Pasitikrinkite 43

7. V–X klasės matematikos kurso kartojimas 46 7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

Skaičiai ir skaičiavimai 46 Kombinatorika, tikimybių teorija ir statistika 60 Algebriniai reiškiniai 80 Lygtys, nelygybės, lygčių sistemos, nelygybių sistemos 86 Funkcijos 90 Planimetrija 99 Stereometrija 124 Trigonometrija 129

Atsakymai 132 Pagrindiniai žymenys 153 Dalykinė rodyklė 155 Naudota literatūra 159

3

ai i š y r ą s i a i n i tr Trigonome trikampyje stačiajame

3.1. Kampų matavimas ŠIAME SKYRELYJE Pakartosite apskritimo lanko ilgio formulę. Prisiminsite centrinius kampus, kampo didu­ mo apskaičiavimo formules.

Prisiminkime, ką žinome apie apskritimo lan­ką, centrinį kampą ir jų matavimą iš žemesniųjų klasių matematikos kurso. πR

• Apskritìmo lañko il̃gis l = 180° · α° (3.1 pav.); • kam̃po didùmas matuojamas láipsniais ir radiãnais; • 1° – tai centrinis kampas, atitinkantis apskritimo 1 apskritimo ilgio; lanką, kurio ilgis lygus 360 • 1 radianas – tai centrinis kampas, atitinkantis apskritimo lanką, kurio ilgis lygus to apskritimo spindulio ilgiui (3.2 pav.);

3.1 pav.

π · α° rad; • α° kampo radianinis matas yra α = 180°

• 1 rad kampas turi 180 π laipsnių, t. y.

1 rad = 180° °�; π ≈ 57,3��

π • 1�������������� °������������� kampas turi 180 radianų, t. y. π 1���� °��� = 180 rad ≈ 0,0175 rad.

3.2 pav.

40

1

Į apskritimo, kurio spindulio ilgis 30 cm, lanką remiasi 36° didumo centrinis kampas. Apskaičiuokime to lanko ilgį. πR · α°: Taikome formulę l = 180° π 30 · 36° = 6π (cm). l = 180°

2

Kampą α = 72° išreikškime radianais.

3

5 π išreikškime laipsniais.

Kampą α = 12

π α = 180° · 72° = 52 π = 0,4π.

5 π = 180° · 5 = 75�� α = 180° · 12 °�.

12 π 4

Kampą α = 47°15´ išreikškime radianais.

Pirmiausia minutes paverskime laipsnio dalimis: 1° – 60 minučių, x° – 15 minučių; x = 15 : 60 = 0,25°.

Tuomet α = 47°15´ = 47,25°. π · 47,25° = π · 47 1 = π · 189 = 21 π. α = 180° 80 4 4 180 180

5

Koordinačių plokštumoje pavaizduokime šiuos centrinius kampus: 45°; 110°; 180°.

3.3 pav.

Darbas grupėmis Remdamiesi lentelės duomenimis, įsitikinkite kai kurių dažnai pasitaikančių kampų laipsninio ir radianinio mato sąryšiu: 0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

0

π 6

π 4

π 3

π 2

π

3π 2

2π

41

3

Tr

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

3.1 Išreikškite šių kampų didumus radianais: 12°; 12°30´; 27°; 120°; 140°.

3.2 Išreikškite šių kampų didumus laipsniais:

π ; 7π ; π ; 3π .

18 20 9 4

3.3 Koordinačių plokštumoje nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys r = 2 cm, ir pažymėkite šiuos centrinius kampus: 30°, 120°. Apskaičiuokite juos atitinkančių apskritimo lankų ilgį (0,1 cm tikslumu).

3.4 Apskaičiuokite kampų didumus (radianais), kurie šiuos smailiuosius kampus papildo iki stačiojo kampo:

7π ; π .

20 12

3.5 Apskaičiuokite kampų didumus (laipsniais), kurie yra gretutiniai šiems kam­ pams: 2π ; 11π; 7π .

5 20 9

3.6 Apskritimo, kurio spindulio ilgis 13 cm, lanką atitinkantis centrinio kampo didumas 130°. Apskaičiuokite to lanko ilgį (π ≈ 3,14).

3.7 Apskritimo lanką atitinka 100° centrinis kampas, o jo ilgis – 10 cm. Apskaičiuo­ kite to apskritimo spindulio ilgį (π ≈ 3,14).

3.8 Koordinačių plokštumoje pavaizduokite šiuos centrinius kampus: 10°; 8π ; 6π .

3

3.9 Apskaičiuokite kampo didumą (laipsniais), kurį valandinė laikrodžio rodyklė nubrėžia per:

a) 1 h; d) 4 h;

b) 2,5 h; e) 12 h;

c) 3 h; f) 24 h.

3.10 Apskaičiuokite kampo didumą (radianais), kurį minutinė laikrodžio rodyklė nubrėžia per: a) 1 h;

d) 4 h;

b) 2,5 h; e) 12 h;

c) 3 h; f) 24 h.

3.11 Sūpuoklės, įtvirtintos taške C, svyruoja tarp taškų A ir B 7 metrų ilgio lanku (3.4 pav.). Žinoma, kad AC = 6 m. Apskaičiuokite kampo ACB di­dumą (laipsnio tikslumu).

42

3.4 pav.

3.2. Smailiojo kampo sinusas ir kosinusas ŠIAME SKYRELYJE Susipažinsite su trigonometrinėmis funkcijomis sinusu ir kosinusu. Išmoksite apskaičiuo­ ti smailiojo kampo sinusą ir kosinusą. Iš trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu rasite laipsniais išreikšto kampo sinuso ir kosinuso reikšmes nurodytu tiks­ lumu. Apskaičiuosite tikslias 30°, 45° ir 60° kampų sinuso ir kosinuso reikšmes.

Koordinačių plokštumoje nubrėžkime apskritimą taip, kad jo centras sutaptų su koordinačių pradžia, o spindu­ lys būtų lygus 1. Toks apskritimas vadinamas vie­netiniù apskritimù.

Pasukus apskritimo spindulį OM0 apie tašką O bet kokiu kampu α (išreikštu laipsniais 0° ≤ α° ≤ 90°), taš­ kas M0 pereina į tašką Mα (3.5 pav.). Taško M0 koordi­ natės yra (1; 0), o taško Mα koordinates pažymėkime xα = |OA| ir yα = |OB|. Kiekvieną kampą iš nurodyto 3.5 pav. intervalo laipsniais [0°; 90°] atitinka vienintelė taško Mα padėtis ant apskritimo. Iš brėžinio matome, kad, kai kampo didumas α = 90°, taško Mα koordinatės yra (0; 1). Taigi, kampo didumui kintant nuo 0° iki 90°, taško Mα abscisė kinta nuo 1 iki 0, o ordinatė – nuo 0 iki 1.

APIBRĖŽTIS. Taško Mα ordinatė yα vadinama kam̃po α sìnusu* ir žymima yα = sin α, o abscisė xα – kam̃po α kòsinusu** ir žymima xα = cos α.

Lygybė yα = sin α skaitoma taip: ygrek alfa lygu sinus alfa, o lygybė xα = cos α skaitoma taip: iks alfa lygu kosinus α.

Kadangi sinuso ir kosinuso reikšmė priklauso nuo kampo didumo, tai sinuso ir kosinuso apibrėžtis mums nusako funkcinę priklausomybę tarp kampo didumo ir to kampo sinuso ar kosinuso reikšmės.

Sinusas ir kosinusas vadinami trigonomètrinėmis fùnkcijomis (gr. trigonon – trikampis, metreō – matuoju).

* Sinusas kilęs iš lotynų kalbos žodžio sinus, reiškiančio išlinkimą. ** Kosinusas kilęs iš lotynų kalbos žodžių co – su, kartu ir sinus – išlinkimas.

43

3

Tr

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

Daugiau apie trigonometrines funkcijas sužinosite XI ir XII klasėse.

X klasėje nagrinėsime tik tokias trigonometrines funk­cijas, kurių argumento reikšmės kinta nuo 0° iki 90° (apibrėžimo sritis), o jų reikšmių aibė yra [0; 1] (reikš­mių sritis).

Atkreipkite dėmesį į tai, kad kampo sinuso reikšmės didėja nuo 0 iki 1, kai kampo didumas kinta nuo 0° iki 90°, o kosinuso reikšmės mažėja, kai kampo didumas kinta nuo 0° iki 90°.

Apskaičiuokime sin 30°, sin 45° ir sin 60°.

3.6 pav.

Koordinačių plokštumoje nubrėžkime vienetinį apskritimą, kurio centras – koor­ dinačių pradžios taškas O. Pradinį apskritimo spindulį pasukę prieš laikrodžio rody­ klę 30°, 45° ir 60° kampu, gausime spindulius OA2, OA3 ir OA4 (3.6 pav.). Jų galų A2, A3 ir A4 ordinatės bus lygios atitinkamų spindulių bei teigiamosios x ašies dalies sudaromų kampų sinusui, o abscisės – kosinusui.

Nagrinėsime tris stačiuosius trikampius OA2E2, OA3E3 ir OA4E4, kurių kiekvieno įžambinė lygi 1, o smailieji kampai yra tokie: Â A2OE2 = 30�°

 A3OE3 = 45°

Trikampio OA2E2 statinis, esantis prieš 30��������� °�������� kampą, yra lygus pusei įžambinės, todėl A2E2 = 12 OA2 = 12 ˛ ˛ 1 = 12 . Vadinasi, taško A2 ordi­natė lygi 12 ir

Trikampis OA3E3 yra statusis lygiašonis, todėl pagal Pitagoro teoremą apskaičiuojame, kad jo

sin 30���� °��� =

1.

2

statinių ilgiai yra 22 .

Vadinasi, taško A3 ordi­natė lygi 22 ir

sin 45���� °��� = 22 .

 A4OE4 = 60° Trikampio OA4E4 stati­ nis OE4 yra prieš 30��°� kampą, todėl OE4 = 12 .

Kitą statinį A4E4 ran­ dame pagal Pita­goro teoremą:

A4E4= 12 – b 1 l = 3 .

2 2 Vadinasi, taško A4 ordinatė lygi 23 ir 2

sin 60° = 23 .

Užduotis. Apskaičiuokite sin 0° ir sin 90°. Į simi n kite! α

0°

30°

45°

60°

90°

sin α

0

1 2

¿2 2

¿3 2

1

Darbas grupėmis. Apskaičiuokite cos 0°, cos 30°, cos 45°, cos 60° ir cos 90°.

44

Į simi n kite! α

0°

30°

45°

60°

90°

cos α

1

¿3 2

¿2 2

1 2

0

Žinant kampo didumą, galima rasti to kampo sinusą (arba kosinusą) ir atvirkščiai, žinant kampo sinusą (arba kosinusą), galima rasti to kampo didumą.

1

a) Apskaičiuokime sin 50° reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu sin 50° reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padė­ tis – DEG):

Gauname ≈0,766.

Pastaba. Užrašas DEG rodo, kad įvedamo kampo didumas matuojamas laipsniais.

Vadovėlio gale esančioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, sinusų stul­ pelyje, randame, kad sin 50° ≈ 0,766. b) Apskaičiuokime cos 50° reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu cos 50° apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈0,643.

Vadovėlio gale esančioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, kosinusų stulpelyje, randame, kad cos 50° ≈ 0,643.

2

a) Apskaičiuokime sin 75°32´ reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu sin 75°32´ reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo pa­ dėtis – DEG): .

Gauname ≈0,968.

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės sinusų stulpelyje randame, kad sin 75°32´ reikšmė yra tarp sin 75° reikšmės 0,966 ir sin 76° reikšmės 0,970.

Taigi 1° kampo pokytį atitinka sinuso pokytis, lygus 0,970 – 0,966 = 0,004. Vadi­ nasi, kai kampas padidėja 32´, jo sinusas padidėja 0,004 · 32 = 0,002.

60 Taigi sin 75°32´ ≈ 0,966 + 0,002 ≈ 0,968.

45

3

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

Tr

b) Apskaičiuokime cos 85°22´ reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu cos 85°22´ apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈0,081.

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės kosinusų stulpelyje randame, kad cos 85°22´ reikšmė yra tarp cos 85° reikšmės 0,087 ir cos 86° reikšmės 0,070.

Taigi 1° kampo pokytį atitinka kosinuso pokytis, lygus 0,070 – 0,087 = –0,017.

22 ≈ –0,006.

Vadinasi, kai kampas padidėja 22´, jo kosinusas sumažėja – 0,017 · 60 Gauname: cos 85°22´ ≈ 0,087 – 0,006 ≈ 0,081.

3

a) Apskaičiuokime sin 2π reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

5

Skaičiuotuvu sin 2π 5 reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padė­ tis – RAD):

Gauname ≈0,951.

Pastaba. Užrašas RAD rodo, kad įvedamo kampo didumas matuojamas radianais.

Mygtuku

įjungiame komandą, nurodytą virš mygtuko, todėl pirmiau rei­

kia paspausti jį, o paskui – norimą mygtuką. b) Apskaičiuokime cos 2π reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

5

Skaičiuotuvu cos 2π reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis 5 RAD):

Gauname ≈0,309.

4

a) Apskaičiuokime kampo A didumą, kai sin A = 0,755 (atsakymą užrašykime 1° tiks­lumu).

Skaičiuotuvu kampo A reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padė­ tis – DEG):

Gauname ≈49°.

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės sinusų stulpelyje ieškome skaičiaus 0,755. Jį atitinka 49° kampas. Taigi  A ≈ 49°. b) Apskaičiuokime kampo A didumą, kai cos A = 0,755 (atsakymą užrašykime 1° tikslumu).

46

Skaičiuotuvu kampo A reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈41°.

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, kosinusų stulpelyje, ieškome skai­ čiaus 0,755. Jį atitinka 41° kampas. Taigi  A ≈ 41°.

3.12 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite: a) sin 10°; b) sin 17° 23´;

c) sin 55°; d) sin 88° 34´.

Atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu ir patikrinkite skaičiuotuvu.

3.13 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite: a) cos 2°;

b) cos 17° 30´; c) cos 30°; d) cos 88°.

Atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu ir patikrinkite skaičiuotuvu.

3.14 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite smailiojo kampo didumą (1° tikslumu), jeigu jo sinusas lygus: 5. a) 0,681; b) 0,707; c) 0,920; d) 11 Atsakymą patikrinkite skaičiuotuvu.

3.15 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite smailiojo kampo didumą (1° tikslumu), jeigu jo kosinusas lygus: 3. a) 0,891; b) 0,777; c) 0,422; d) 11 Atsakymą patikrinkite skaičiuotuvu.

3.16 Apskaičiuokite skaičiuotuvu (atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu): a) sin π9 ;

b) sin π6 ;

c) sin 2π 15 ;

d) sin 3π 11 .

3.17 Apskaičiuokite skaičiuotuvu (atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu): π

a) cos 9 ;

π

b) cos 3 ;

2π

c) cos 15 ;

3π d) cos 11 .

3.18 Ar yra toks kampas, kurio sinusas lygus: π

a) 4 ;

b)

3;

3.19 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:

a) 2 sin 30° +

3 · sin 60°;

π

c) 7 ; π

d) 0,910? π

b) sin2 4 + sin2 3 .

3.20 Kas daugiau: a) sin 25° ar sin 40°;

c) sin 70° ar cos 70°;

b) cos 35° ar cos 55°; d) sin 20° ar cos 20°;

e) sin 29° ar 12 ;

f) cos 59° ar 12 ?

47

3

Tr

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

3.21 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę:

π

π

a) 3 cos 0° – 4 cos 90° + 2 cos 30°; b) cos 2 – 2 cos 4.

3.22 Apskaičiuokite reiškinio sin α + sin 2 α + sin 3 α reikšmę, kai α = 30°.

3.23 Patikrinkite, ar teisinga nelygybė: a) cos 60° + cos 45° > 1;

b) sin 30° + cos 60° > 1.

3.3. Smailiojo kampo tangentas ŠIAME SKYRELYJE Susipažinsite su trigonometrine funkcija tangentu. Išmoksite apskaičiuoti smailiojo kampo tangentą. Iš trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės, taip pat skaičiuotuvu rasite laipsniais išreikšto kampo tangento reikšmes nurodytu tikslumu. Apskaičiuosite tikslias 30°, 45° ir 60° kampų tangento reikšmes. * Susipažinsite su trigonometrine funkcija kotangentu.

3.7 pav.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy nubrėžki­ me vienetinį apskritimą. Per vienetinio apskritimo taš­ ką A0, esantį x ašyje, nubrėžkime to apskritimo liestinę l (3.7 pav.). Apskritimo pradinį spindulį OA0 pasukime prieš laikrodžio rodyklę laisvai pasirinkto didumo kampu α. Apskritimo spindulį pratęskime, kol jis susikirs su lies­ tine. Sakykime, taškas A – spindulio ir liestinės sankirtos taškas. Kuo labiau kampas artės prie stačiojo kampo, tuo aukščiau apskritimo spindulys kirs liestinę, o kai kampas bus lygus 90°, tas spindulys pasidarys lygiagretus su lies­ tine, ir jos nekirs. Grafiškai pavaizduotos priklausomybės argumentą – kampą α, atitinka funkcijos reikšmė, t. y. liestinės atkarpos ilgis, kurį pažymėsime raide y.

Apibūdinome funkciją, kuri vadinama kam̃po α tángentu** ir žymima y = tg α.

Skaitoma taip: ygrek lygu tangentas alfa. Įrodykime, kad jei taškas M(a; b) yra vienetinio apskritimo spindulio OM galas ir spindulys OM su teigiamąja x ašies kryptimi sudaro kampą α, tai to kampo tangentas lygus taško M ordinatės bei abscisės santykiui: tg α = ba . Įrodymas. Pažymėkime: A0A = tg α, OA0 = 1, MN = b, ON = a. * Ši tema skiriama labiau matematika besidomintiems mokiniams. ** Žodis tangentas kilęs iš lotynų kalbos žodžio tangens – liečiantis.

48

Statieji trikampiai AOA0 ir MON yra panašūs, todėl

A0 A = MN , arba tg α = b . Taigi tg α = b , arba (žr. 3.2 skyrelį) 0 = OA ; iš čia OA ON ON a a 1 0 α sin tg α = cos α . Tai ir reikėjo įrodyti.

Trigonometrinės funkcijos y = tg α apibrėžimo sritis D (tg α) = [0°; 90°), jos reikšmių sritis E (tg α) = [0°; + ∞). Kampo didumui kintant nuo 0° iki 90°, tangento reikšmės didėja nuo 0 iki + ∞.

A0 A MN

Pavyzdžiui, apskaičiuokime tg 60°, pirma išreiškę jį sinuso ir kosinuso santykiu: 3

sin 60c = 2 = tg 60° = cos 1 60c

3.

2

Užduotis. Apskaičiuokite: tg 0°, tg 45°, tg 30°, tg 90°. Į simi n kite! α

0°

30°

45°

60°

90°

tg α

0

¿3 3

1

¿3

–

* Be sinuso, kosinuso ir tangento, yra daugiau trigonometrinių funkcijų.

Dažnai naudojama trigonometrinė funkcija – kotángentas. Žymima ctg α, skai­ toma: kotangentas alfa. α. Ši trigonometrinė funkcija apibrėžiama taip: ctg α = cos sin α Užduotis. Apskaičiuokite: ctg 0°, ctg 30°, ctg 45°, ctg 60°, ctg 90°.

Kai žinomas kampas, galima rasti to kampo tangentą ir atvirkščiai, žinant kampo tangentą, galima rasti to kampo didumą.

1

Apskaičiuokime tg 50° reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu tg 50° apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈1,192.

Vadovėlio gale esančioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje, tangentų stulpelyje, randame, kad tg 50° ≈ 1,192.

49

3

Tr

2

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

Apskaičiuokime tg 35° 28´ reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

Skaičiuotuvu tg 35° 28´ apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈0,712.

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės tangentų stulpelyje randame, kad tg 35°28´ reikšmė yra tarp tg 35° reikšmės 0,700 ir tg 36° reikšmės 0,727.

Taigi 1° kampo pokytį atitinka tangento pokytis, lygus 0,727 – 0,700 = 0,027.

28 = 0,012.

Vadinasi, kai kampas padidėja 28´, jo tangentas padidėja 0,027 · 60 Gauname tg 35°28´ ≈ 0,700 + 0,012 ≈ 0,712 .

3

Apskaičiuokime tg 2π reikšmę (atsakymą užrašykime 0,001 tikslumu).

5

Skaičiuotuvu tg 2π reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis 5 RAD):

Gauname ≈3,078.

4

Apskaičiuokime kampo A didumą, kai tg A = 0,754 (atsakymą užrašykime 1° tiks­ lumu).

Skaičiuotuvu kampo A reikšmę apskaičiuojame taip (pradinė skaičiuotuvo padėtis DEG):

Gauname ≈37°.

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelės tangentų stulpelyje ieškome skaičiaus 0,754.

Jį atitinka 37° kampas. Taigi  A ≈ 37°. * Norint skaičiuotuvu apskaičiuoti kampo kotangentą, iš pradžių reikia apskai­ čiuoti to kampo tangento reikšmę, paskui – jam atvirkštinį skaičių. Tam paspaudžia­ mi šie skaičiuotuvo klavišai: ir

* Užduotys, kuriose apskaičiuojama kotangento reikšmė, skiriamos labiau matematika besidomin­ tiems mokiniams.

50

3.24 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite: a) tg 15°;

b) tg 27° 34´;

c) tg 72°;

d) tg 80° 30´.

Atsakymą užrašykite 0,001 tikslumu ir patikrinkite skaičiuotuvu.

3.25 Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų reikšmių lentele, raskite smailiojo kam­ po didumą (1° tikslumu), jeigu jo tangentas lygus:

a) 0,577;

b) 5,670; c) 20,011; Atsakymą patikrinkite skaičiuotuvu.

2. d) 11

3.26 Naudodamiesi skaičiuotuvu, apskaičiuokite (atsakymą užrašykite 0,001 tiks­ lumu): π a) tg 9 ;

π

b) ctg 6 ;

2π

c) tg 15 ;

2π

d) ctg 15 .

3.27 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę : a) 3 tg 60° · tg 45°; 2 π

b) 7 tg 30° · ctg 30°; 2 π

2 π

c) 5 – sin 4 + 2 cos 4 – 5 tg 4 ; d) 2 sin 60° · ctg 60°; e)

4 – 2 tg2 45c + tg 4 30c ; 3 sin 90c – 4 cos2 60c + 4 tg2 45c 3

3.28 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a) tg α2 + tg 3α , kai α = 90°;

f)

]2a cos 60cg2 – ^b tg 45ch2 + ]3ab sin 0cg2 . ]5a cos 90cg3 + 2a sin 30c – 2b cos2 45c

b) sin 2α + ctg α – 2 ctg 2α, kai α = 45°.

3.4. To paties argumento trigonometrinių funkcijų tapatybės ŠIAME SKYRELYJE Sužinosite, kaip to paties argumento trigonometrinių funkcijų reikšmės siejamos ta­ patybėmis. Išmoksite taikyti trigonometrines tapatybes: sin2 α + cos2 α = 1, tg α = sin α , cos α

ctg α = cos α . sin α

Žinome, kad vienetinio apskritimo bet ku­ rio taško M koordinatės, išreikštos kampu α, yra cos α ir sin α; čia α – vienetinio apskritimo spin­ dulio OM ir teigiamosios x ašies krypties sudaro­ mas kampas. Taigi tašką M galime nurodyti taip: M(cos α; sin α). Trikampis ODM yra statusis.

Kadangi spindulio ilgis lygus vienetui, tai pagal Pitagoro teoremą gauname x2 + y2 = 1.

3.8 pav.

51

3

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

Tr

Įrašę į ją taško M koordinates cos α ir sin α, gauname tapatybę, siejančią to paties argumento sinusą ir kosinusą: sin2 α + cos2 α = 1.

Iš čia: sin2 α = 1 – cos2 α ir cos2 α = 1 – sin2 α.

To paties argumento tangento, sinuso ir kosinuso bei kotangento, sinuso ir kosi­ nuso sąryšius jau nustatėme (žr. 3.3 skyrelį): sin α , ctg α = cos α . tg α = cos α sin α

Darbas grupėmis Įrodykite, kad: 1) tg α · ctg α = 1; 2) 1 + tg2 α = cos1 ; 2 α

1 3) 1 + ctg2 α = . sin2 α

1

Išsiaiškinkime, ar yra toks kampas α, kuris tenkina sąlygas sin α = 12 , cos α = 32 .

Patikriname, ar sin2 α + cos2 α = 1: 2 2 b 1 l + b 2 l = 1 + 4 = 25 ≠ 1.

9 36 2 3 4 Atsakymas: tokio kampo nėra.

2

Pertvarkykime reiškinius: a) cos α – cos α ∙ sin² α = cos α (1 – sin2 α) = cos α · cos2 α = cos3 α; b) cos2 α – 1 = – ]1144 – cos2 α g = – sin2 α; 2 44 3 sin2 α

c) (sin α + cos α) – 2 sin α · cos α = sin2 α + 2 sin α · cos α + cos2 α – – 2 sin α · cos α = sin2 α + cos2 α = 1; 1 1 2 d) 1 + cos + 1 – cos = 1 – cos α +]1 + cos αg = = 22 ; 2 α α 2

]1 + cos α g 1 – cos α 1 – cos α sin α 2 sin α = cos α + sin α ]1 + sin α g = cos2 α + sin α + sin2 α e) 1 +cossinα α + tg α = 1 +cossinα α + cos = α ]1 + sin α gcos α ]1 + sin α gcos α 1 + sin α = = cos1 α . ]1 + sin α gcos α

3.29 Ar yra toks kampas α, kuris tenkina sąlygas: 9 ; cos α = 40 ; a) sin α = 41 41

b) tg α = 59 ; ctg α = 1,8?

3.30 Patikrinkite, ar: a) sin2 30° + cos2 30° = 1; c) tg 45° · ctg 45° = 1;

52

b) sin2 60° + cos2 60° = 1; d) tg 60° · ctg 60° = 1.

3.31 Apskaičiuokite reiškinio reikšmę: a) sin 30° · sin 45° + cos 30° · cos 45°; c) sin 90° · sin 30° – cos 30° · cos 90°;

3.32 Suprastinkite reiškinius: a) (cos α – sin α)2 + (cos α + sin α)2; c) sin α – sin α + cos α; 2

4

4

e) cos4 α + 2 sin2 α · cos2 α + sin4 α;

b) sin 60° · cos 45° · tg 30°; d) sin2 90° + cos2 60° + tg2 45°.

2 b) 1 – cos2 α ;

1 – sin α 2 2 d) 2 – sin2 α – cos 2 α ; 2 + sin α + cos α

f) 1 –sincosα α – cos α.

2

3.33 Apskaičiuokite sin α · cos α, kai sin α + cos α = 0,5.

3.34 Įrodykite tapatybes: a) sin2 α + cos2 α + tg2 α =

1 ; cos2 α

α = 1 ; c) ctg α + 1 +sincos sin α α

b)

tg2 α 1 + ctg2 α – tg2 α · 2 1 + tg α ctg2 α

= 0;

d) (tg α + ctg α)2 – (tg α – ctg α)2 = 4.

3.35 Smailiojo kampo: a) sinusas lygus 0,6; apskaičiuokite šio kampo kosinusą; b) kosinusas lygus 0,25; apskaičiuokite šio kampo sinusą; c) tangentas lygus 3; apskaičiuokite šio kampo kosinusą.

3.5. Stačiųjų trikampių sprendimas ŠIAME SKYRELYJE Išmoksite apskaičiuoti stačiojo trikampio elementus (kraštinių ilgius ir kampų didumus), kai žinomi du jo elementai. Spręsdami praktinius uždavinius, mokysitės taikyti įgytas žinias.

Uždaviniai, kuriuos sprendžiant reikia rasti nežinomus trikampio elementus, kai ži­ nomas pakankamas kiekis duotųjų elementų skaitinių reikšmių, vadinami trìkampio sprendìmo uždaviniai̇̃s.

Koordinačių plokštumoje nubrėžkime sta­tųjį trikampį ABC taip, kad jo statinis AC būtų x ašyje, o smailiojo kampo vir­ šūnė A sutaptų su koordinačių pradžios tašku. Tada toje pačioje koordinačių plokš­ tumoje nubrėžkime vienetinį apskritimą, kurio centras – taškas A (3.9 pav.). Šis aps­ kritimas kirs trikampio ABC įžambinę AB taške M, o statinį AC – taške D.

3.9 pav.

53

3

Tr

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

Pažymėkime: BC = a, AC = b, AB = c, AD = 1. Iš taško M nuleiskime statmenį į x ašį. Gausime statųjį trikampį AME. Taško M koordinatės yra cos α ir sin α, t. y.

M(cos α; sin α), taigi AE = cos α, ME = sin α.

Trikampiai AME ir ABC yra panašūs, todėl ME BC

arba

sin α a

Iš čia

AE , AE = ME , = AM , AE = AM , ME = AC AB AC AB BC AC BC

= 1c , cosb α = 1c , sinaα = cosb α , cosb α = sinaα .

sin α = ac , cos α = bc , tg α = ba , ctg α = ba .

Į simi n kite ! α esantis statinis = a , sin α = Prieš kampą c Įžambinė α esantis statinis = b , cos α = Prie kampo c Įžambinė kampą α esantis statinis = a , tg α = Prieš b Prie kampo α esantis statinis Prie kampo α esantis statinis = b . ctg α = Prieš a kampą α esantis statinis

Pagrindiniai stačiųjų trikampių sprendimo uždaviniai 1 uždavinys. Žinoma stačiojo trikampio įžambinė ir vienas smai­ lusis kampas. Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus.

Sprendimas. Sakysime, kad žinoma įžambinė c ir smailusis kam­ pas A (3.10 pav.).

Kadangi  A +  B = 90°, tai  B = 90° –  A. Ieškome statinių ilgių.

Iš lygybės sin A = ac gauname a = c · sin A,

3.10 pav.

o iš lygybės cos A = bc gauname b = c · cos A. Pastaba. Radus vieno statinio ilgį, kito statinio ilgį galima ap­ skaičiuoti ir remiantis Pitagoro teorema.

1 Žinoma: c = 90 mm, Â A = 65°.

Reikia rasti: a, b, Â B. Sprendimas. Â B = 90° – 65° = 25°.

Iš lygybės sin A = ac gauname a = c · sin A = 90 · sin 65° ≈ 90 · 0,906 ≈ 82 (mm).

Iš lygybės cos A = bc gauname b = c · cos A = 90 · cos 65° ≈ 90 · 0,423 ≈ 38 (mm).

Atsakymas: a ≈ 82 mm, b ≈ 38 mm, Â B = 25°.

54

2 uždavinys. Žinomas stačiojo trikampio statinis ir vienas smai­ lusis kampas. Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus.

Sprendimas. Sakysime, kad žinomas statinis a ir smailusis kam­ pas A (3.11 pav.).

Kadangi  A +  B = 90°, tai  B = 90° –  A. Ieškome statinių ilgių.

Iš lygybės tg B = ba gauname b = a · tg B, o iš lygybės sin A = ac gauname c = sina A .

Pastaba. Radus statinio b ilgį, įžambinės ilgį galima apskaičiuo­ ti ir remiantis Pitagoro teorema.

2

3.11 pav.

Žinoma: a = 6 cm, Â A = 15°.

Reikia rasti: b, c, Â B. Sprendimas. Â B = 90° – 15° = 75°.

Iš lygybės tg B = ba gauname b = a · tg B = 6 · tg 75° ≈ 6 · 3,732 ≈ 22 (cm), o iš 6 ≈ 23 (cm).

6 lygybės sin A = ac gauname c = sina A = sin15 ≈ 0, 259 c Atsakymas: b ≈ 22 cm, c ≈ 23 cm, Â B = 75°.

3 uždavinys. Žinomas stačiojo trikampio statinis ir įžambinė.

Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus.

Sprendimas. Sakysime, kad žinomas statinis a ir įžambinė c, be to, a < c (3.12 pav.).

Iš lygybės sin A = ac randame kampo A didumą, tada – kampo B didumą: Â B = 90° – Â A.

Statinio b ilgio ieškome remdamiesi Pitagoro teorema arba gali­ me apskaičiuoti taip: iš lygybės cos A = bc gauname b = c · cos A arba iš lygybės sin B = bc gauname b = c · sin B. 3

3.12 pav.

Žinoma: a = 528 mm, c = 697 mm.

Reikia rasti: b,  A,  B. ≈ 0,758. Iš trigonometri­ Sprendimas. Iš lygybės sin A = ac gauname sin A = 528 697 nių funkcijų reikšmių lentelės randame, kad  A ≈ 49°.  B = 90° –  A = 90° – 49° ≈ 41°.

Iš lygybės cos A = bc gauname b = c · cos A = 697 · cos 49° ≈ 697 · 0,653 ≈ ≈ 457 (mm).

Atsakymas: b ≈ 457 mm, Â A ≈ 49°, Â B ≈ 41°.

4 uždavinys. Žinomi stačiojo trikampio statiniai (3.13 pav.). Reikia apskaičiuoti kitus trikampio elementus.

Sprendimas. Sakysime, kad žinomi statiniai a ir b.

55

3

Tr

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

Iš lygybės tg A = ba randame kampo A didumą, tada – kampo B

didumą: Â B = 90° – Â A. Įžambinės c ilgio ieškome remdamiesi Pitagoro teorema arba jį galime apskaičiuoti taip: iš lygybės sin A = ac gauname c = sina A , arba iš lygybės sin B = bc gauname c = sinb B , arba iš lygybės cos B = ac gauname c = cosa B .

3.13 pav.

4

Žinoma: a = 12 cm, b = 7 cm.

Reikia rasti: c,  A,  B. Sprendimas. Iš lygybės tg A = ba gauname tg A = 12 ≈ 1,714. Iš trigonometrinių 7 funkcijų lentelės sužinome, kad  A ≈ 60°.  B = 90° –  A = 90° – 60° ≈ 30°.

Iš lygybės sin A = ac gauname c = sina A = sin1260c ≈ 0,12 ≈ 14 (cm).

866 Atsakymas: c ≈ 14 cm , Â A ≈ 60°, Â B ≈ 30°.

5

Pagal šiuos kelio ženklus apskaičiuokime nuokalnės ir įkalnės kampus. a) b)

3. 14 pav.

Nurodytus kelio ženklus galima pakeisti tokiais geometriniais brėžiniais: a)

b)

3.15 pav.

a) 12 % nuokalnė (3.15 pav., a).

Remdamiesi brėžinio duomenimis, gauname: tg α = iš čia α ≈ 6,84°; b) 8 % įkalnė (3.15 pav., b).

Remdamiesi brėžinio duomenimis, gauname: tg α = iš čia α ≈ 4,57°.

56

12 100

= 0,12;

8 100

= 0,08;

6

Saulės spindulys krinta į žemę, sudarydamas 35° kam­ pą su horizontu (3.16 pav.).

Apskaičiuokime (1 cm tikslumu), kokio ilgio šešėlį meta 2 m aukščio stiebas.

Sprendimas. Žinome stačiojo trikampio ABC stati­ nio AB ilgį ir smailųjį kampą α, todėl, apskaičiavę to kampo tangentą, galime sužinoti kito statinio ilgį:

3.16 pav.

AB , arba tg α = 2 , x = 2 ≈ 2 tg α = AC ≈ 2,86.

0, 7002 x tg 35c Atsakymas: 2 m aukščio stiebas meta 2,86 m ilgio šešėlį.

Darbas grupėmis 1. Nubraižykite kampą α, kai: a) sin α = 35 ;

b) cos α = 32 ;

c) tg α = 12 ;

d) ctg α = 34 ;

e) sin α = 0,2;

f) cos α = 0,2.

2. Apskaičiuokite šių stačiųjų trikampių smailiojo kampo α reikšmę 0,01° tikslumu: a)

b)

c)

d)

e)

f)

3.17 pav.

3. Raskite nežinomus stačiojo trikampio elementus: a)�� c = 4,  A = 50°; ��� b)� b = 0,3,  B = 25°; ��� c)� a = 6,  A = 14°; d)�� c = 113, b = 15; ��� e)� a = 261, b = 380; ��� f)� c = 17, b = 8.

4. *Jei A ir B yra stačiojo trikampio smailieji kampai, tai sin A = cos B; sin B = cos A, t. y. cos (90° – A) = sin A; sin(90° – A) = cos A. Įrodykite.

57

3

Tr

pyje

me trikam

iaja ryšiai stač

riniai są igonomet

3.36 Iš švyturio, kurio aukštis virš jūros lygio H = 150 m, plaukiantis pro šalį laivas

tam tikru momentu buvo matomas kampu α ≈ 9° (3.18 pav.). Apskaičiuokite atstumą nuo švyturio iki laivo.

3.18 pav.

3.37 Aukštyje H = 950 m virš jūros lygio skrendančio lėktuvo pilotas, pastebėjęs po

lėktuvu jūroje žuvų būrį, radiograma pranešė apie jį netoliese plaukiojančio laivo žvejams (3.19 pav.). Apskaičiuokite laivo atstumą iki žuvų būrio, žino­ dami, kad radiogramos siuntimo momentu laivas iš lėktuvo buvo matomas kampu α = 26° 30´.

3.19 pav.

3.38 Matuojant upės plotį, viename jos kran­te, prie pat vandens, buvo įrengta

a ilgio bazė AB ir iš jos stebimas kitame krante prie pat vandens augantis me­dis C (3.20 pav.). Iš bazės galo A tas medis buvo matomas stačiuoju kam­pu, o iš galo B – kampu β. Ap­skaičiuokite upės plotį, kai a = 45 m, o β = 25°.

3.20 pav.

58

3.39 Geležinkelio linija, einanti per kalnus, kas 30 m pakyla 0,8 m. Raskite gele­ žinkelio pakylos kampą.

3.40 Pagal 3.21 paveikslo duomenis apskaičiuokite, į kokį aukštį pakilo berniukas.

3.21 pav.

3.41 Šaltkalviui reikia pagaminti plokščią lygiašonio trikampio ABC formos detalę.

Pagal techninius reikalavimus viršūnės C kampo didumas turi būti 41°, o detalės plotas lygus 12,43 cm². Kokio ilgio turi būti šio trikampio šoninė kraštinė, kad detalė atitiktų minėtus reikalavimus? Atsakymą pateikite 0,01 cm tikslumu.

3.42 Stačiakampio įstrižainė, kurios ilgis 6 cm, dalija to stačiakampio kampą santykiu

3 : 7. Apskaičiuokite stačiakampio kraštinių ilgius. Atsakymą pateikite 0,1 cm tikslumu.

3.43 Lygiašonės trapecijos pagrindų ilgiai 3 cm ir 6 cm, o šoninės kraštinės ilgis 5 cm.

Apskaičiuokite trapecijos kampų didumus (1° tikslumu).

3.44 Skritulio spindulio ilgis 3,35 cm. Iš taško, nutolusio nuo skritulio centro atstumu d = 8,32 cm, nubrėžtos dvi liestinės. Apskaičiuokite kampo tarp jų didumą.

3.45 Lygiašonio trikampio aukštinės ilgis 8 cm, o kampas prieš aukštinę – 30°. Ap­ skaičiuokite trikampio plotą.

3.46 Lygiagretainio aukštinių ilgiai 8 cm ir 12 cm, o kampo tarp lygiagretainio kraštinių didumas 60°. Apskaičiuokite lygiagretainio kraštinių ilgius ir jo plotą.

3.47 Rombo kraštinės ilgis 6 dm, o vieno kampo didumas 150°. Apskaičiuokite rombo plotą (vienetų tikslumu).

59