Funcao Exponencial by Stefane Gaffuri

FUNÇÃO EXPONENCIAL Num primeiro mês você vai ao banco e deposita R$100,00 a um juro de 3% ao mês. Passando-se um mês, qual será o seu rendimento? Pense um pouco.

Se inicialmente você tinha R$100,00 mais R$3,00 do juro, logo você terá R$103,00, ou seja, 100(1+0,03) = 1001,03.

Agora, pense no mês seguinte: No mês seguinte o seu juro será calculado sobre os seus R$100,00 que você colocou no banco ou sobre os R$103,00 que você obteve com os juros deste mês? Vale a pena se calcular o juro somente em cima do que você colocou no primeiro mês?

Então o que acontece é que agora o seu capital é R$103,00 e é ele quem vai ser a base para o cálculo de juros deste mês. Qual será o seu capital no final do 2o mês? Pense um pouco!

Logo ao final do 2o mês o seu capital será (103,00*3%), ou seja, [(100*1,03)*1,03] ou 100*(1,03)2. No final do 10º mês o seu saldo (se você não retirar nem colocar mais capital no banco) será 100*(1,03)10 ou seja o capital inicial multiplicado pelo juro elevado ao tempo de aplicação. Vamos analisar os gráficos dessa situação?

Gráfico 1

Gráfico 2

Como pode-se observar o gráfico formado não é uma reta. Para este tipo de gráfico podemos então escrever f(x)=100(1,03)x em termos de função. Funções como esta são chamadas Funções Exponenciais.

Os pré-requisitos para o estudo desse tipo de Função são os conceitos e as propriedades envolvidas na potenciação e na radiciação no conjunto dos reais. Vamos relembrá-las?

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Potenciação

Assista o vídeo abaixo sobre Potências e suas propriedades. http://www.youtube.com/watch?v=VBf0CaRRues&feature=related

Agora vamos resumir as idéias principais do vídeo. Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação. 2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.

Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16

↓ Fatores iguais.

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.

Representamos uma potência da seguinte forma:

A base sempre será o valor do fator. O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. A potência é o resultado do produto.

CUIDADO!! Cuidado com os sinais. 

Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:  2 4   2   2   2   2  16

 3 2

 3  3  9

 Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo: 3 Ex. 1:  2    2   2   2 

4  2 

8

 Se x  2 , qual será o valor de “  x 2 ”? 2  2    4 , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado. Observe:

2  x 2  2  4 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.

Propriedades gerais Propriedade

Regra

am . an = am+n

Repete-se a base e somam-se os expoentes

am an = am-n (am)n = am.n

Repete-se a base e subtraem-se os expoentes Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes

(a . b)n = an . bn

Eleva-se cada fator ao expoente comum Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente comum

A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades: a) a m  a n  a m n Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potencias de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes. Ex. 1.: 2 x  22  2 x 2 Ex. 2.: a 4  a 7  a 47  a11 Ex. 3.: 4 2  3 4  neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. 42  34

 16  81  1296

Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim:

a m  a n  a m n ou a mn  a m  a n

Exemplo: a 7 n  a 7  a n

am  a m n Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias n a de bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.

Ex. 1:

 3 4 x

a4 a5

Ex. 2:

 a 45  a 1

Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

am an c)

 a m n ou a m  n 

Exemplo: a 4 x 

a4 ax

a 

m n

 a mn Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .

 

 4 32  4 6

 

 b x4  b 4x

Ex. 1: 4 3

Ex. 2: b x

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

a 

 a mn ou a mn 

m n

 a

a 

m n

 

Ex.: 3 4 x  3 4

3 

x 4

Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado

numa potencia de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. x 

Ex. 1: Ex. 2:

Ex. 3: 25 Ex. 4: x

1 2

x1  x

 x 



1 2

25  5 3

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

 a

a e)   b

 1 Ex. 2:   5



Ex.:

 a5

an , com b  0 bn



2 Ex. 1:   3

ou a



22 32



4 9



12 52



1 25

Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja a   b



a  bn  2 Ex. 1: x  a 



Ex.:



2 3

1 1

2    3



2 3

 x 2  a2  4 3  x 3  64x 3

Ex. 3: 3 x

an  bn

Ex. 2: 4x 

a    b



 34 

 x

1  3 4   x 2   

 34  x

 3 4  x 2  81x 2

Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

a  bn

 a n  b n ou a n  b n 

g) a n 

Ex.:

x yx

y

 x  y 

1 an

Ex. 3

a  bn

1:  1    a

13  a3

1  a3

O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente.

 x y

2 Ex. 2:   3

2

3    2



32 22



9 4

1 1 1 Ex. 3:  41      



4

Obs.: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

1 1 ou n n a a

a n 

Ex.:

 a n

1  x2 2 x

2 2 1 2   3   x 3 3 3x 3 x 3

CUIDADO !!! 

 2 



3 



1   a

3

 1     2

1    3

a    1



13 33

a3  3 1

 13 2 3 



1 8

Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a base.

1 27

 a3

Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.

EXERCÍCIOS 1. Calcule as potências: a) 6 2 b) (-6)2 c) -62 d) (-2)3 e) -23 f) 50 g) (-8)0 h)  3  2

 3    2

k) l) m) n)

028 132 (-1)20 (-1)17

o)   3   5

O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:

2. a) b) c) d) e)

16 8 6 4 2

3. Qual é a forma mais simples de escrever: a) (a . b)3 . b . (b . c)2 3 2 5 4 b) x . y . y7 .x.x

Sendo a  27.38.7 e b  25.36 , o quociente de a por b é: a) 252 d) 48 b) 36 e) 42 c) 126 Calcule o valor da expressão: 2

1

2 1  1 A           3 2  4

2

 1 1 3.    6. Simplificando a expressão  2  4 , obtemos o número: 2  1 3 3.     3 2 a)  6 c) 6 7 7 7 7 b)  d) 6 6

e)  5 7

1 e b  3 , qual o valor numérico da expressão a 2  ab  b2 ? 3

Quando a  

Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:

a) 2-3 = b) 10-2 = c) 4-1 =

Exemplos mais complexos: 1

 1     4xy 3    2  x

4xy 

3 1

(1)

 

(2) x.y

 1    3   xy 

3 2

 1  (3)  4 3   a .b 

3

1 4xy 3  x2 1



3 2

x .y

 a 4 .b 3      1  

a  .b 

4 3



1 4x 3 y 3



1 1  2 6 3.2 x .y x .y



 

1 1  2 3 4xy x



3 3

a 4.3 .b 3.3  a 12 .b 9 1



 12



a  .y  4 2



(4)  a . y 4



3 2

 1    4 3   a .y 



3 2

1 a . y 3.2 4.2



1 a .y6 8



nº negativo elevado a expoentepar, fica positivo.

 1  12 1    4 3   42 32  8 6 a y a y a y 



(5) 8.y .a



 1    2   8.y .a 

2



8.y .a  2

  .a

82. y

2 2



1 64.y 4 .a 2

Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses. 1  (6)  2   4 

1  2   4 

3

1  (7)  c   2 

3

 8  1     4 

3

9     4

 2c  1      2 



3

 4    9

2c  12 22



43 64  3 729 9

2c  1  2c  1 4 ou



4c 2  4c  1 4c 2  2c  2c  1  4 4

1  c   2   c2 

1  1 1 1 1 1    c     c    c2  c    c    2  2 2 2 2 2 

c c 1 2c 1 1 4c 2  4c  1    c2    c2  c   2 2 4 2 4 4 4

EXERCÍCIOS 9. Efetue: a 6 .a 4 

f) (x3 )5  g) (2 x 2 )3 

8 b) a 3 

h) 5a 2b3  

2 2





c)  2ab3    a c    c   b  

 



 3a   2  b 

 2ab3   4   5x   

 3x 2 y   3 3   d)  a b   3  3 xy 2   2 2  2a b   

2



4 k)   1   2

 3a 

e) 3x   4

2

10.

Sabendo que a    2  4  , determine o valor de a. 

5

Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões:

2n  4 3

8  2 3n 1

 Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e

2n  22  2  2 3n 1

por

Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base.

1 2 n 2 2 n 2 2 n n  23n  2  n  2 3 n  2 2   2  2  ou 2 2n 213n 1 2 3n  2

Exercícios 10.

Simplifique as expressões: 4n  2n 1 3  3n b) E  a) E  4n 1 3  3n 1 n2

c) G 

25n  2  100 5n 1

Notação científica

Os números reais podem ser representados de inúmeras formas, de acordo com o que se esteja trabalhando, observe: 4 = 8/2 = 4*2 = (–2)*(–2) 3 = 9/3 = 1*3 = (–1)*(–3) 10 = 20/2 = 2*5 = (–2)*(–5)

Nas situações acima, podemos decidir de que forma iremos representar as quantidades. Mas existem alguns casos nos quais é mais conveniente mostrar os números na forma de notação científica, que serve para representar números muitos pequenos ou muito grandes. Por exemplo: O coração humano bate cerca de 110 000 000 de vezes por ano.

No universo, existem cerca de 10 000 000 000 000 000 000 000 de estrelas.

Os números do exemplo acima podem ser escritos na forma de notação científica. Essa forma de representação utiliza números entre 1 e 10, com 1 ≤ x < 10, multiplicado por potências de 10 com expoentes inteiros. No caso do número 110 000 000, podemos representá-lo da seguinte forma 1,1 x 108, pois 108 = 100 000 000. De maneira geral temos, Todo número real não nulo, com expressão decimal finita, pode ser representado sob a forma:

Essa forma de representação é denominada notação científica. Transformando Números grandes 5 000 000 → 5, 000 000 Note que a vírgula andou 6 casas para a esquerda, então esse número expresso por notação científica fica: 5 x 106.

Números pequenos 0, 000 000 0021 → 2,1 A vírgula avançou 9 casa para a direita, então esse número será expresso pela notação científica: 2,1 x 10–9. Obs.: Número grande: o expoente aumenta. Número pequeno: o expoente diminui. Radiciação Assista ao vídeo abaixo para relembrar o conteúdo de Radiciação. http://www.youtube.com/watch?v=K73GLTmT8Ys

Definição A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: n

Ex. 1: Ex. 2:

a  b



4  2

pois

22  4

8  2

pois

23  8

bn  a

n  

e n  1

Na raiz

a , temos:

O número n é chamado índice; O número a é chamado radicando.

Propriedades dos Radicais a)

 a

Ex. 1:

2  2

Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência.

1 3

 4

 6

Ex. 2: Ex. 3:

Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no p

sentido contrário ou seja a índice do radical). Exemplo : 2

ab 

a b



 b n

 a

n n

 n a p (o denominador “n” do expoente fracionário é o

 5 23 .

 a1  a

a n b

Ex.:

 1   b n   

Ex.:



1 m n b

a3  b6

a6 b5



1m  n b 1



a6 b5



 2

 21  2

a3  3 b6



a b

m bn

6 5

2 2



 a

a3 b

b

 a  b2

a3 b5

 5

Ex.:

 1   5 2   

n m



m n



1 3 2 5

Ex.:

3 2



13  2 5 1



32

 5

3 

EXERCÍCIOS 12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:

1  100 1 b)   16 4 c)  9

d)  0,01  e)

0,81 

2,25 

13. Calcule a raiz indicada:

4 12

14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: a) b) c) d)

7 4

23 

3 

a5 

e) f)

x2 



15. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?

Operações com Radicais Adição e Subtração Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais. Exemplos:

1 4  2  3  1 3    2  3  2  5 3  35 3

3 4 3 2 3 

2) 2 3  3 3  2 3 5

fatores externos

Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma. 3) 4 2  2 2  3 5  6 5 

4  2

2  3  6 5 

2 2  3 5 não pode ser mais reduzida

4) 3 2  7  5 2  4 

3  5 

2  7  4   2 2  3

EXERCÍCIOS Simplifique 12 10  6 10  8 10 :

21.

22. Determine as somas algébricas: 7 a) 3 2  23 2  5 3 2  3

4 5 5 5 5     6 2 5 3

23. a) 5 b) 8 c) 6

Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: 28  3 20  2 63  2 45 

2  5 8  13 18  15 50  9 72 

45  12 48  6 108  10 20  3 1 1 d) 90  250  10  2 4 4

c) 53 2  83 3  2  43 2  83 3  d) 85 7  4 6  125 7  104 6 

f) 53 32  g)

23 8 256  3 16  23 2  3 4  5 5

64  5 486  5 2 

h) 43 81  813 375  103 24  64

729

125

96  486  2 6  9 243  4

24. Calcule as somas algébricas: a)  10 x  4 x  6 x  x  b) 4a  81b  6 9a  8 144b  c) 3 27  3 8a  3 1000a  d)  2a4 a5  12a4 a  34 a9  e) a2 x  a 4 x  3 a3  4a a 

x2 y y x x   81x  4 9 100

g) h)

a  5 b  34 a  8 b 

a 4c 4 b 4c 5 c   a4  2 8 16

Multiplicação Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 1º CASO: Radicais têm raízes exatas. Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados: 16  3  8  4   2   8

Exemplo:

2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido. Exemplos: 3 5 

a) b)

35 

x  y 3 x2 3 y 4



15 3

x  y  x2  y 4



x 3  y 5 pode parar aqui!

Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão:

x 3  y5 

x 3  3 y5  x  3 y3 2  x  3 y3  y2  x  3 y3  3 y2  x  y  3 y2

c) 2 2  3 5  2  3  2  5  6 2  5  6 10 A ordem dos fatores não altera o produto

3º CASO: Radicais têm índices diferentes. (multiplicação)

O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador).

Exemplos:

Multiplicamos numerador e denominador da fração por 2 e transformamos na fração equivalente

3 2 

1 32

1  24

a x 

1 a3

1 x4

 3

1 2 2 2

 a

1  24

1 4 3 4

x



1 3 4 3

2 34

1  24



32  4 21 

32  2 

2 4

 a 12  x 12 

a 4  12 x 3 

a 4  x3

ATENÇÃO: -

2  2  2 2 , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.

 

2  2  2  2  2 por que? 2  2  ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então: 2

Conservamos a base e somamos os expoentes.

2 2  2

1 2

2

1 2

regra de

potenciaçã o    2

1 1 2 2

 2

11 2

 22

 21  2

Divisão A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 1º CASO: Os radicais têm raízes exatas. Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. Exemplo:

81 : 3 27  9 : 3  3

2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. Devemos conservar o índice e dividir os radicandos. Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!

Exemplos:

x : xy  3

20 : 3 10 

x3 xy



x3 xy



20  10

x2 y 3

3º CASO: Radicais com índices diferentes. O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical .

2: 2  3

Exemplo:

1 22



1 23

1 1  22 3



3 2 2 6



1 26



Racionalização de Denominadores Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 1) Temos no denominador apenas raiz quadrada: 4  3

4 3   3 3

4 3



 3

4 3 3

2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: (a)

2 3



Temos que multiplicar numerador e denominador por



23 x2 3

x1  x 2



23 x2 3

x 1 2



23 x2 3



23 x2 x

x 2 , pois 1 + 2 = 3.

(b)

1 5



Temos que multiplicar numerador e denominador por



5 5

x2  x3



x 2 3



7 3





2 7

 3  

  2 7  3  3  7    3

7 3 7



x 3 , pois 2 + 3 = 5.

x3 x

O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador. 2) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:



 

2 7  3 2 7  3   73 4

 7  3   7  3    7 2 

7  3 3 7 

7 3 2



 3 2   7 2   3 2

Exercícios 27. a) b) c) d) e) f)

Calcule 6 7 5 7 3 7  5 2  3 50  2 18  23 81  3 24  53 3 

4 5 3 2 

35 2  5 2  4 32 3 

g) 8 10  2 5

2 h) 5  5  4.1.4 

6  6  4.1.5  2 2

i) 28.

Simplifique os radicais e efetue:

a) 2 2 x3  x 8x  8x3  b) 43 343  23 3  3 24  3 192  c) 4 y x  3 y 2 x  3x x  5 x 3 

29. Efetue: a) 3a x  2 x x  4a 2 x  9 x 3  b) 5 a 5  4a 3  a 4a 3  a 

c) 2 4 x  8  3 25x  50  4 16 x  32  d)  3b a  7 b2a  3a a  a3 

30. Escreva na forma mais simplificada: a) x. x  b) 3 x  x  c) a  7 a  d)



x 3 e) x2  x f) x 3 .x 4 

31. Efetue as multiplicações e divisões: a) 3 a5 . ab.4 a 2b2  b) c) d)

g) h) i)

4a 2 x . 4a 2 x 2 

x3 . x 

x .x 7  a 3 a4  a a 

3 4

 a a 3



52  b4 

a 3 a 4 a 

a5 a3



xy .3 x2 y 2 . x3 y 

32.Efetue: a) b) c)

a 3b 2

a 5b

x2 y3 3

6 d) 2  27  4



e) 3 b  53 b  1 4 b 



f) 

3. 125  5.4 25

2 33. Quando x   , o valor numérico da expressão 3x 2  x  2 é: 3

a) 0 b) 1 c) –1 34.

1 3

e) 

2 3

Se x  36 e y  9 3 :

a) x é o dobro de y; b) x  y  1 c) x  y

d) y é o triplo de x; e) x  y  1

FUNÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

Definição: f(x) = bax A função f : R-R+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR + (reais positivos, maiores que zero).

Propriedades: (1)

axay = ax+y,

(2)

a1 = a

(3)

x<y  ax<ay, quando a>1 e x<y  ay<ax, quando 0<a<1

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o grรกfico abaixo: x y

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o grรกfico abaixo:

x y

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1

0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+

f(x) é decrescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

Vídeo de como montar um gráfico da Função Exponencial http://www.youtube.com/watch?v=COyGnWdgOXE

Agora é a sua vez! Atribua valores para x e monte os seguintes gráficos exponenciais: 1)

y=4x

y=8x

y=10x

4) 5)

Exemplo 1: Quem já tomou algum remédio? É claro que todos nós já tivemos que tomar algum tipo de remédio. Eis aqui uma coisa bem interessante a respeito da “meiavida” dos remédios. Na bula de alguns remédios elas vêm expressas como o tempo de ação máxima do remédio. Vejamos o exemplo de um remédio de 25mg.

f(0) = 25 f(1) = 12,5 f(2) = 6,125 f(3) = 3,0625 f(4) = 1,53125

Observe o grรกfico para os valores acima:

Depois de 6 horas que você tomou o remédio ele chega a meia-vida, ou seja, o instante 1. Ao passar mais 6 horas, o instante 2, ele chega a metade da meia vida e assim sucessivamente. Sendo que chegará um ponto em que quase não existirá mais remédio no seu organismo, mas isso não quer dizer que ele chegou ao índice zero, apenas diminuiu muito a quantidade do remédio no seu organismo. Podemos perceber pelo gráfico que essa função não é linear, pelos valores encontrados na descrição da função vemos que ela leva uma progressão aritmética (0,1,2,3,…) em uma progressão geométrica (25; 12,5; 6,125; 3,0625; 1,53125; …) cuja razão é 0,5 e isso caracteriza uma função exponencial, como nos mostra o próximo resultado: Teorema: Seja f:ℝℝ+ uma função monótona injetiva (isto

é, crescente ou

decrescente). As seguintes afirmações são equivalentes: (1) f(nx) = f(x)n para todo nℤ e todo xℝ; (2) f(x)=ax para todo xℝ, onde a=f(1);

(3) f(x+y) = f(x)f(y) para quaisquer x, y ℝ.

A demonstração deste teorema encontra-se no livro

A matemática no

Ensino Médio – Volume 1- Elon Lages Lima, et al. págs.183-185. Para encontrar a lei de formação da função, pelos valores obtidos como no exemplo 1, utilizamos o seguinte resultado. Teorema: Seja f:ℝℝ+ uma função monótona injetiva tal que, para x,h ℝ quaisquer, o acréscimo relativo [g(x+h)-g(x)]/g(x) dependa apenas de h, mas não de x. Então se b=g(0) e a=g(1)/g(0), tem-se g(x) = bax para todo xℝ. A demonstração deste teorema encontra-se no livro Ensino Médio – Volume 1- Elon Lages Lima, et al. pág.186.

Voltando no exemplo 1 teremos: f(0)=b f(1)/f(0)=a

f(0) = 25 = b f(1) = 12,5 f(1)/f(0)= 12,5/25=1/2=a

A matemática no

Logo: f(x) = bax f(x) = 25(1/2)x

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais: a) f(x) = 3x Solução Faremos antes uma tabela dos valores da função X

f(x)

30 = 1

31 = 3

32 = 9

33 = 27

34 = 81

Como esses poucos valores podemos ter uma idéia do gráfico da função e assim esboçamos o gráfico:

b) f(x) = 2x + 1 Solução Construiremos primeiramente uma tabela dos valores da função: x

f(x)

-1

2-1 + 1 = 20 = 1

2 0 + 1 = 21 = 2

2 1 + 1 = 22 = 4

2 2 + 1 = 23 = 8

Com esses poucos valores podemos ter uma idéia do gráfico e assim o esboçamos:

2) Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funções exponenciais.(Lembre-se de que a base é denominada por “a”) a) f(x) = 5x Solução: é crescente, pois a base é maior do que um, isto é, a>1.

b) f(x) = Solução: é decrescente, pois a base está entre zero e um, isto é, 0<a<1. c) f(x) = 4x Solução: é crescente, pois a base é maior do que um, isto é, a>1. d) f(x) = (0,1)x Solução: é decrescente, pois a base está entre zero e um, isto é, 0<a<1. e) f(x) = (π)x Solução: é crescente, pois a base é maior do que um, isto é, a>1 π = 3,14...

Para termos ideia de onde é usada a função exponencial veja este exemplo:

número

bactérias

meio

cultura

cresce

aproximadamente segundo a função n(t)=200030,04t, sendo t o número de dias após o início do experimento. Calcule: a)

O número n de bactérias no início do experimento;

Em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.

Solução: a) Sabemos que o início o t=0 logo temos que calcular n(0) n(0) = 200030,040 n(0) = 200030 n(0) = 20001 n(0) = 2000 Logo, o número de bactérias no início do experimento era de 2000.

b) Temos agora que o número inicial era de 2000 quando ele triplicar o número será de 6000. logo precisamos ter n(t)=6000, mas n(t)=200030,04t. Temos então que 200030,04t = 6000 200030,04t = 20003 30,04t=3 0,04t = 1 t=1/0,04 t=25 Então, para triplicar as bactérias do início do experimento serão necessários 25 dias.

EXERCÍCIOS

1) Uma amostra de 4 kg de uma substancia radioativa se desintegra à razão de 0,25% ao ano. a) Qual é a equação que expressa a massa M dessa amostra, em quilograma, em função do tempo t, em ano? b) Com o auxilio de uma calculadora cientifica, calcular a massa dessa amostra daqui a trinta anos.

2) Um investidor da bolsa de valores observou que durante um período de t dias consecutivos de queda no valor de uma ação, o percentual de desvalorização foi o mesmo a cada dia e que o valor da ação, que era R$ 200,00, no inicio desse período, passou a ser

reais ao

final desse período. Calcule o valor de k.

3) Devido ao declineo da qualidade de vida em uma bairro, prevê-se que, durante os próximos quatro anos, um imóvel sofrerá desvalorização de 10% ao ano. a) Se hoje o valor do imóvel é de R$ 200.000,00, escreva uma equação que expresse o valor do imóvel V, em real, em função do tempo t, em ano, para os próximos 4 anos.

b) Qual será seu valor daqui a quatro anos?

4) Um pesquisador observou que uma população de bactérias cresce 20% ao dia. a) Se atualmente a população é de 10.000 inidividuos, escreva uma equação que expresse o número P de indivíduos em função do tempo t, em dia.

b) Qual será a população daqui 5 dias.

c) Construa o gráfico dessa função.

ALGUMAS APLICAÇÕES Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções. Lei do resfriamento dos corpos Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo. A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma: f(t) = C eA t então obtemos que: A = Ln(30)-Ln(32) C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por: f(t) = 124,09468 e-0,0645385t e quando f(t) = 37 temos que: t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos que pode ser observado através do gráfico. Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas. Curvas de aprendizagem Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma: f(x) = c - a e-k.x onde c, a e k são constantes positivas.

Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x. A função: f(x) = c - a e-k.x cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c. Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção. Crescimento populacional Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t: N(t)=No ert onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população. O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex. Note abaixo:

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre. Exemplo Uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,... Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem? No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então N(12)=600=200 er12 logo e12r=600/200=3 assim ln(e12r)=ln(3) Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim: r=ln(3)/12=0,0915510 Finalmente: N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias. Desintegração radioativa

Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então: N(t) = No e-k.t esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente. Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade. Se N=No/2 para t=T, temos No/2 = No e-k.T assim T=Ln(2)/k Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos: Substância Meia-vida T Xenônio 133 5 dias Bário 140 13 dias Chumbo 210 22 anos Estrôncio 90 25 anos Carbono 14 5.568 anos Plutônio 23.103 anos Urânio 238 4.500.000.000 anos Para o Carbono 14, a constante de decaimento é: k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano