Música o Matemáticas by Orquesta Sinfónica de Galicia

Consorcio para la promoción de la Música

Guía didáctica

MÚSICA o MATEMÁTICAS

J. S. BACH El Arte de la Fuga W. A. MOZART Dúo de la mesa I. XENAKIS Mikka (Para violín electrónico) W. A. MOZART Juego de dados musicales

Autores: Florian Vlashi María Remedios Cruz Araújo

Prólogo La imagen que sirve para ilustrar la portada de esta guía es el cuadro “Los Embajadores” de Hans Holbein el Joven, pintado en 1533 y considerado una de las obras maestras del Renacimiento. Hoy se encuentra en la National Gallery de Londres. El cuadro representa al embajador de Francia en Londres, Jean de Dinteville, y al obispo de Lavaur, Georges de Selve, embajador ante la Santa Sede. Los personajes están rodeando un mueble con dos estantes donde hay varios objetos relacionados con las cuatro artes que se estudiaban en el Quadrivium, y que representan las cuatro ciencias matemáticas: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía.

En el estante inferior aparecen: Un globo terráqueo. Un libro de aritmética. Una escuadra, que mantiene abierto el libro de aritmética. Un laud, con una cuerda rota. Un libro de himnos luteranos. Un compás.

Estante inferior

En el estante superior: Una esfera celeste. Varios relojes de sol.

Estante superior

Un libro: AETATIS SVAE 25 (es decir: Tiene 25 años) Un instrumento astronómico medieval: Toquetum Además de estos objetos aparece un crucifijo en la esquina superior izquierda que se ve pese a la gran cortina de terciopelo verde que cubre el fondo. Este crucifijo en muchas reproducciones del cuadro no se ve por el redimensionamiento de los márgenes. Pero lo más reseñable de este cuadro es un raro objeto que ocupa el primer plano y que se mantuvo como algo misterioso durante mucho tiempo. Este objeto se denomina “hueso de sepia” y no es más que una figura vista en anamorfosis, es decir que el objeto tridimensional ha sufrido una deformación para poder ser representado en forma bidimensional. El objeto oculto es un cráneo humano. Para corregir la deformación y observar el cráneo se puede usar el dorso de una cuchara. También se puede ver la figura oculta usando métodos informáticos.

El cráneo, visto en anamorfosis

Uso de una cuchara para corregir la deformación

Pero ¿cuál es el significado oculto del cuadro?. Un embajador representa el poder político, el otro el poder de la Iglesia. Los objetos de las estanterías el poder de las ciencias. Pero como contraste de tanto materialismo aparece un cráneo que nos habla de la vanidad humana. Lo importante en la tierra la muerte lo deshace.

Tal vez sea la música la matemática del sentimiento y la matemática la música de la razón. Pedro Puig Adam ( 1900-1960) Matemático español.

Introducción La palabra música proviene del griego musiké (el arte de las musas). Por esta razón la paternidad de la música es atribuida a los griegos. El término matemáticas proviene del griego mathema, que significa conocimiento. Etimológicamente mathema se contrapone a musiké en el siguiente sentido: Mathema: es lo que necesita estudio, conocimiento e instrucción para ser conocido, como por ejemplo la Astronomía, la Aritmética,… Musiké: es lo que se puede entender sin haber sido instruido o estudiado y se refiere a la Poesía, la Retórica,…

Orígenes En la época anterior a la Antigua Grecia el hombre primitivo ya había encontrado música en la naturaleza, y había aprendido a usar objetos como huesos, cañas, palos, troncos, conchas,… para producir nuevos sonidos, además de usar su propia voz. Ciertos instrumentos de percusión y cuerda (similares a liras y arpas) aparecen en excavaciones de la antigua Sumeria y se supone que estos objetos tienen unos 50 siglos (30 siglos antes de Cristo). En Egipto hace unos 40 siglos la voz humana era considerada como el instrumento más poderoso para contactar con el mundo de los muertos. En el siglo X a.C. (hace unos 30 siglos), en Asiria en las grandes celebraciones y fiestas colectivas la música profana era considerada un ingrediente fundamental. Con toda seguridad en el siglo VI a.C., en Mesopotamia, ya conocieran las relaciones numéricas entre longitudes de cuerdas. 1:1……….. Unísono (dos cuerdas iguales de igual longitud producen la misma nota) 1:2……….. Octava (si una cuerda es doble de otra el sonido diferirá en una octava) 2:3………… Quinta 3:4…………..Cuarta

Do4 Octava: Do5 Quinta: Sol4 Cuarta:

Fa4

Estas proporciones de las cuerdas fueron estudiadas por Pitágoras en el siglo IV a. C. así como sus derivaciones armónicas. Esto dará lugar al inicio de la teoría musical occidental Europea. Los inicios de la matemática también se remontan a los orígenes de las civilizaciones. Las ideas primitivas mediante la abstracción van evolucionando poco a poco. Aparece la necesidad de llevar un registro del paso del tiempo, nace así el concepto de número, después las primeras operaciones, el cálculo, las mediciones, los primeros estudios de la forma, de los objetos geométricos, la geometría… La Matemática desde sus inicios ha tenido una vertiente práctica, y su finalidad era solucionar problemas y generalizar sus resultados. Los primeros matemáticos de los que tenemos conocimiento son los griegos Tales de Mileto y Pitágoras.

Pitágoras Pitágoras es el inventor de la filosofía y él a sí mismo se denomina filósofo. En la palabra filosofía recogió dos formas de conocimiento: contemplación y comprensión. Dicho de otro modo el arte de filosofar consiste en aprender a ver y saber escuchar. Por lo tanto las matemáticas y la música, lo que se aprende por los ojos, y lo que se aprende por los oídos, son los dos fundamentos de la filosofía pitagórica, y ambas se unen en el concepto pitagórico de harmonia que significa: proporción de las partes de un todo. Pitágoras fue el primero en llamar Cosmos al conjunto de todas las cosas. El universo está en movimiento y este movimiento y las fuerzas que mueven a los astros se ajustan en un todo harmónico. Así, el Cosmos es “harmonía”. Creía que las órbitas de los cuerpos celestiales que giraban en torno a la Tierra producían sonidos que armonizaban entre sí, dando lugar a un sonido bello al que llamaba “música de las esferas”

Pitágoras establecía un paralelismo entre los intervalos acústicos considerados como base de la música y las distancias que nos separan de los planetas. 1 tono

distancia Tierra – Luna

1/2 tono

distancia Luna – Mercurio

1 tono y medio

distancia Venus – Sol

Cuarta

distancia Luna – Sol

Quinta

distancia Tierra – Sol

Los pitagóricos dividieron la ciencia Matemática en cuatro secciones: aritmética, geometría, astronomía y música, que constituían la esencia del conocimiento. Aristóteles nos dice sobre la relación que encontraban los pitagóricos entre matemática y música: “Como los pitagóricos veían que las propiedades y las relaciones de la armonía musical están determinadas por los números y que todas las cosas están también conformadas según los números y que estos son lo primero en toda la naturaleza, pensaron que las relaciones de los números son las relaciones de todas las cosas y que el cielo entero es armonía y número.” Las 7 artes liberales Quadrivium (saberes exactos): Geometría, Aritmética, Música, Astronomía. Trivium (saberes humanos): Gramática, Dialéctica, Retórica. Quatrivium o Matemáticas: Matemáticas o Quadrivium (el estudio de lo inmutable)

Cantidad (lo discreto, números)

Números en reposo Aritmética

Números en movimiento Música

Magnitud (lo continuo, medidas)

Medidas en reposo Geometría

Medidas en movimiento Astronomía

Esta clasificación muestra lo que fue el plan de estudios durante siglos, desde la Antigua Grecia hasta el Renacimiento. Por lo tanto la música estaba considerada una parte de las matemáticas. “”

Propiedades que comparten Música y Matemáticas 1. Lenguajes universales: esta es la propiedad fundamental y la más excepcional que comparten la Música y la Matemática. 2. Son lenguajes abstractos: cada uno de estos lenguajes tiene su propia notación y no puede ser comprendido por los no iniciados. 3. La teoría de ondas: la teoría de ondas juega un papel prioritario en la percepción de la música y esta teoría se puede analizar matemáticamente. 4. Buscan la belleza: tanto los músicos como los matemáticos puros buscan la belleza a través de sus creaciones.

Afinación y Temperamento Hemos dicho anteriormente que ya en Mesopotamia, alrededor del siglo VI a. C. se conocían las relaciones numéricas entre las longitudes de las cuerdas. Después Pitágoras, en el siglo IV a. C., estudia estas relaciones en profundidad lo que dará lugar a un sistema de afinación. A lo largo de la Historia han aparecido centenares de afinaciones de las que sólo se siguen utilizando media docena. Pero ¿qué es un sistema de afinación? Un sistema de afinación es el conjunto de los sonidos que se utilizan en la música. En el conjunto de las frecuencias de todos los sonidos hemos de elegir algunos y descartar el resto. Los sonidos admitidos se denominan notas musicales. Según sea la naturaleza de los números elegidos, que representan las frecuencias de los sonidos, se tiene dos tipos de sistemas de afinación: las afinaciones y los temperamentos. Afinación: cuando todos los números son racionales. Temperamento: cuando algunos o todos los números son irracionales Actividad 1: ¿Recuerdas lo que era un número racional y un número irracional? Número Racional: es todo aquel que se puede expresar a través de una fracción.

Número Irracional: es aquel número real que no se puede expresar en forma de fracción. Recuerda que un número no puede ser a la vez racional e irracional. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales: 3,2;

1,01001…; 7; π;

2 ; 1,010101….; 1,02022; 1,020220222…

Aunque ahora, a posteriori establecemos esta clasificación en relación al tipo de números utilizados, lo cierto es que los temperamentos surgieron como aproximaciones a las afinaciones sin que se tuviese en cuenta el tipo de números implicados en cada caso. Hoy en día podemos preguntarnos si este tema sigue siendo interesante para alguien que no se dedique al estudio de la Historia de la Música. Pero tanto músicos como musicólogos siguen necesitando estudiar y comprender este tema en profundidad, sobre todo en lo referente a dos campos: La búsqueda de nuevas afinaciones aumenta las posibilidades de creación musical. La recuperación de la fidelidad a la hora de interpretar partituras antiguas. De hecho, incluso la expresión "buen temperamento", empleada al menos a partir de la obra Clave bien temperado (Das wohltemperierte Klavier I, 1721) de J. S. Bach, resulta imprecisa. Buen temperamento no designa una única forma de afinar y continúa siendo un tema de discusión conocer si se trataba realmente del sistema de afinación de 12 notas por octava o se trataba de otro temperamento de los que en la época se utilizaban en Alemania.

La octava En todos los sistemas de afinación aparece el concepto de octava. Esta idea es bastante intuitiva en música, basta pensar lo que sucede cuando un hombre y una mujer cantan juntos. El hombre suele cantar una octava más grave aunque todo el mundo diría que están interpretando las mismas notas. Recordando lo expuesto en relación a las longitudes de las cuerdas vibrantes: si una cuerda tiene longitud 1 una cuerda emitirá un sonido una octava más grave si tiene longitud 2. En cuanto a las frecuencias de los sonidos: si un sonido tiene frecuencia f entonces otro una octava más aguda tendrá frecuencia doble 2f.

Observamos que la relación entre longitud de una cuerda y frecuencia del sonido es una razón inversa: si la cuerda es el doble de larga, la frecuencia del sonido será la mitad. Las distintas octavas de un sonido tendrán frecuencias: f,

2f,

4f,

8f,

16f,…

Por tanto es más cómodo suponer que las notas están en el intervalo [ 1,2 ] Afinar es elegir una cantidad finita de puntos del intervalo [1, 2]

Siete notas La comparación entre las longitudes de las cuerdas tirantes dio lugar a cuatro relaciones que tomaron nombres propios 1/1 2/3 3/4 1/2

unísono quinta cuarta octava

Entre los números cuyas propiedades eran especialmente útiles en la predicción de sucesos destacaban el 4 (cuatro estaciones) y el 7 (siete días de la semana). De hecho probablemente la antigua escala mesopotámica era de siete notas. Desde los pitagóricos en occidente se considera que las notas fundamentales son 7 y las demás son alteraciones de estas. Sostenidos (#): son las alteraciones que aumentan la frecuencia de un sonido. Bemoles (b): son las alteraciones que disminuyen la frecuencia de un sonido.

Tonos y Semitonos Dado que para producir los intervalos afinados sólo disponemos de las cuatro relaciones anteriores, las definiciones de tono y semitono se obtienen a partir de ellas. Tono: decimos que una nota es un tono más alta que otra si la primera se puede obtener de la segunda subiendo dos quintas y bajando una octava. FA1→DO2→SOL2→→SOL1 Semitono cromático: decimos que una nota es un semitono cromático más alta que otra si la primera se puede obtener de la segunda subiendo siete quintas y bajando cuatro octavas. FA1 →DO2→ SOL2 →RE3→ LA3→ MI4→ SI4→ FA#5→→→→→FA#1

Semitono diatónico: decimos que una nota es un semitono diatónico más grave que otra si la primera se puede obtener de la segunda subiendo esta cinco quintas y bajándola tres octavas. FA1→ DO2→ SOL2→ RE3→ LA3→ MI4→→→→MI1

Afinación Pitagórica Después de un periodo de estudio en las escuelas mesopotámicas, Pitágoras lleva las teorías de la música y los principios de afinación a Grecia. El sonido de una cuerda vibrante varía en razón inversa a su longitud: “cuanto más corta es la cuerda más aguda es la nota producida” Divide el intervalo de octava en siete notas y además las distintas notas musicales se obtienen combinando las cuatro relaciones conocidas entre las longitudes de las cuerdas vibrantes. L 3L/4 2L/3 L/2

UNÍSONO CUARTA QUINTA OCTAVA

El sistema de afinación pitagórico se puede expresar en forma axiomática como: La música se basa en 7 notas. La longitud de las cuerdas siempre puede ser multiplicada o dividida por 3. La longitud de las cuerdas siempre puede ser multiplicada o dividida por 2. En lugar de manejar longitudes de cuerdas estudiaremos las frecuencias producidas por ellas. Todas las notas se obtienen aumentando o disminuyendo quintas, es decir dada una nota de frecuencia f podemos multiplicar o dividir por 3/2 cualquier número de veces para obtener otra. Además como hemos dicho que una afinación consiste en elegir puntos de [1, 2] debemos multiplicar o dividir el resultado por una potencia adecuada de 1/2 de forma que el resultado esté en el intervalo [1,2]. El orden de las notas según las quintas son: …Lab Mib Sib Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# Re# La# Mi# Si# Fa##... Ejemplo Suponemos un sonido de frecuencia f, por ejemplo SOL, y lo subimos tres quintas. La nota obtenida será:

3 2

27 8

Para trasladar esta nota a la misma octava que f hay que multiplicar dos veces por 1/2.

27 8

1 2

27 1 8 4

27 =f 32

33 25

Este resultado es la frecuencia de la nueva nota afinada. Actividad 2: Suponemos un sonido de frecuencia f, por ejemplo DO, y lo subimos cinco quintas. Calcula la frecuencia de la nueva nota afinada trasladándola a la misma octava que la anterior.

Método para obtener las notas 1.- Asociamos cada una de las notas con un número, es decir 0 = Do, 1 = Re, 2 = Mi, 3 = Fa, 4 = Sol, 5 = La, 6 = Si

2.- Escribimos tablas de 7 columnas y 4 filas 0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

6 6 6 6

4 4 4 4

5 5 5 5

6 6 6 6

En la primera fila marcamos la nota central (3) 0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

A partir de la nota 3 marcamos las notas que se obtienen contando 5 casillas (OJO porque la casilla de partida también se cuenta) 0

0 0 0

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

Cada vez que hemos marcado una casilla nueva hemos aumentado una quinta, y repitiendo el proceso siete veces obtenemos las notas naturales en el orden siguiente: Fa – Do – Sol – Re - La - Mi - Si Para obtener más notas ampliamos el número de matrices o tablas. Con ellas aparecerán, en un sentido, las notas con un sostenido, con dos, etc y en el sentido contrario las notas con 1 bemol, 2 bemoles, etc.

Cada vez que vamos de una nota marcada a otra bajando en la tabla multiplicamos por 3/2 tantas veces como notas marcadas haya. Y en el sentido contrario lo que haremos es dividir por 3/2 . Ejemplo: A partir de un Do (natural), ¿cómo se obtiene un Fa# y un Mib?

a) Desde el Do (natural) al Fa# hay que subir 6 quintas (hemos contado 6 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:

Para que el Do (natural) y el Fa# estén en la misma octava debemos dividir por una potencia de 2 , en concreto 2 3, es decir:

b) Desde el Do (natural) al Mib hay que bajar 3 quintas (hemos contado 3 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:

Para que el Do (natural) y el Mib estén en la misma octava debemos multiplicar por una potencia de 2 , en concreto 2 2, es decir :

Las fracciones para obtener las notas más frecuentes son las siguientes:

Para el sistema pitagórico, por ejemplo un Lab y un Sol# son dos notas diferentes

Actividad 3: Calcula las frecuencias de La b y Sol# a partir de Do natural y comprueba que son notas distintas.

¿Cuántas notas deben aparecer en una octava? Con este método podríamos generar una cantidad infinita de notas dentro de una misma octava. Dado que manejar un número infinito o muy elevado de notas sería inoperativo parece lógico pensar que debemos conformarnos con aceptar como “sonidos iguales” a los sonidos que sean “muy parecidos”. De ahí que nos quedemos con 12 notas de la tabla anterior: Mib Sib Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol#, y aceptemos como notas iguales por ejemplo: La# y Sib.

Justa entonación Cuando para representar la tercera mayor se toman los 4/5 de la cuerda vibrante base de longitud L, entonces se dice que la nueva afinación se llama justa.

La forma de incorporar esta nueva razón sería ajustando algunas notas de la afinación pitagórica. Dado que en la afinación pitagórica la tercera mayor no se considera un intervalo consonante sino que se calcula subiendo cuatro quintas (y bajando dos octavas) se aprecia una diferencia entre ambas construcciones.

Tercera pitagórica

3 2

1 2

81 64

Do 1,2656

Tercera justa

5 4

Do 1,25

Temperamentos Los temperamentos surgen para evitar en la práctica los problemas que acabamos de analizar. Lo que se hace es templar o disminuir las quintas de manera que los resultados obtenidos sean aceptables. Los temperamentos más utilizados en nuestros días son dos: Temperamento igual de 12 notas (regular e igual) Temperamento de Holder (regular mesotónico)

Matemáticamente los temperamentos se obtienen de la siguiente forma: Si queremos obtener n notas distintas dividimos el intervalo [1,2] en n subintervalos iguales. De forma que si el primer subintervalo va de 1 a x el segundo va de x a x2, y así sucesivamente hasta el último que irá de xn-1 hasta xn.

Como sabemos que el extremo superior del intervalo es 2 igualamos y despejamos x:

Por lo tanto las notas afinadas en un temperamento de n notas serán: n

, … ,

n 1

Temperamento igual de 12 notas El intervalo [1,2] se divide en 12 semitonos iguales. 12

2 = 1,05946…;

En otra notación:

0 12

;

1 12

;

2 12

; … ;

11 12

;

12 12

2 ;… ;

;

Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12 notas resulta totalmente uniforme:

Aunque este temperamento tiene la ventaja de que se puede modular fácilmente, tiene el inconveniente de que no existen intervalos justos. La aproximación de las quintas es bastante buena, sin embargo las terceras mayores están muy desviadas. En la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento en el que el intervalo justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado.

En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades de los temperamentos. En términos generales, es preferible la perfección en las quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992).

Temperamento de Holder William Holder (1614-1697) divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4. 53

2 ;

… ;

;

El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente iguales. En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7 notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica:

El mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un número excesivamente grande.

Actividad 4: Suponiendo que la frecuencia de DO es f, calcula las frecuencias de SOL# y de LAb con la afinación temperada de Holder. (Observa que los resultados son casi análogos a los de la afinación pitagórica que vimos en la actividad 3)-

Veamos una tabla donde se comparan las frecuencias de las notas de la escala central fijado el diapasón en 440 Hz para La4

NOTA: Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La4 , a 440 Hz. Actividad 5: En la columna de la afinación temperada de 12 notas (3ª columna) multiplica la 12

2 para obtener la frecuencia de SI. (Comprueba que la frecuencia del DO por afinación de la tabla es correcta).

J. S. Bach (1685 - 1750) El español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) sistematizó el Temperamento igual de 12 notas en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. En 1627 el matemático francés Mersenne formula en su obra Armonía Universal la relación entre la longitud de la cuerda y la frecuencia. Esto permitía la creación de una escala en donde todos los intervalos son iguales: la escala cromática de 12 semitonos. Se resolvía así el problema de cambiar de tonalidad sin reajustar la afinación. Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades, usando el modo mayor y el menor. Dada la complejidad de hacer modulaciones en un sistema de afinación pitagórico, Bach demuestra las posibilidades de modulación creada por una afinación igual.

Transformaciones Geométricas y Homotecias Una transformación geométrica en el plano hace corresponder a una figura otra figura de igual forma y tamaño. Una homotecia en el plano hace corresponder a una figura otra de igual forma pero de distinto tamaño, tanto mayor como menor. (La homotecia podemos definirla como un cambio de escala). Las transformaciones se pueden llamar Movimientos en el Plano y son de tres tipos: Traslaciones Giros (Rotaciones) Simetrías axiales (Reflexiones) Veamos una figura con forma de “ele” invertida

Esto es una transformación geométrica ya que la figura no cambió de forma ni de tamaño (la figura está girada 90º)

Esto no es una trasformación geométrica porque la figura cambió de tamaño (está agrandada) Esto es una Homotecia.

Analizamos cada caso: Traslación En una traslación se conserva la forma y el tamaño, pero la figura está desplazada de lugar según una dirección dada. Traslación horizontal

Traslación vertical

Giro La figura resultante está girada según un ángulo de giro Giro de 90º

Giro de 180º

Tanto la traslación como el giro son movimientos directos: conservan la orientación (la “ele invertida” sigue siendo una “ele invertida”)

Simetría axial Para hacer una simetría axial se necesita un eje (es decir una recta)

Las simetrías son movimientos inversos: no conservan la orientación. (la “ele invertida” pasa a ser una “ele”) Hay otro movimiento más al que podemos llamar: Deslizamiento Deslizamiento En realidad un deslizamiento es una composición de una simetría axial con una traslación en la dirección del eje de simetría

Estos 4 movimientos en el plano: Traslaciones, Giros, Simetrías y Deslizamientos podemos aplicarlos para construir Frisos (cenefas) y Mosaicos. Friso (o cenefa) En un friso hay un motivo inicial y este motivo se repite periódicamente. Aunque hay infinidad de motivos que pueden dar origen a una cenefa y podríamos pensar que hay un número ilimitado de combinaciones de realizarla, en realidad generar un friso depende de muy pocos movimientos geométricos.

Mosaico Un mosaico es una forma de recubrir el suelo(o una pared) con baldosas entre las cuales no habrá agujeros ni solapamientos. o Hay mosaicos con baldosas iguales o Hay mosaicos con baldosas diferentes Existen sólo 17 estructuras básicas de Mosaicos periódicos. Esto fue demostrado recientemente, en 1981, por el cristalógrafo ruso Fedorov. En la Alhambra de Granada hay representaciones de cada uno de los 17 modelos posibles.

Mosaico de baldosas iguales

Mosaicos de baldosas diferentes

Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

Escher es un artista holandés conocido por sus grabados que tratan de teselados y de figuras imposibles. La obra de Escher ha interesado mucho a los matemáticos. Utiliza las traslaciones y homotecias de una forma muy original. El trabajo gráfico de M. C. Escher estuvo muy influenciado por los diseños de arte musulmán que descubrió visitando Granada.

En la obra “Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle” (Douglas Hofstadter1979) el autor relaciona los logros creativos de Bach y Escher, además de los del lógico y matemático Kurt Gödel.

En resumen Traslaciones Giros (Rotaciones)

•

Movimientos Simetrías axiales (Reflexiones) Deslizamientos

Homotecias

La geometría en la música Las transformaciones geométricas que en matemáticas conservan la forma de una figura, en música se corresponden con transformaciones que conservan los intervalos (en el caso de los movimientos) o que conservan la proporción entre ellos (en el caso de las homotecias). En casi cualquier composición se pueden encontrar ejemplos de este tipo de transformaciones. Esto no quiere decir que el compositor sea consciente de estar realizando una “transformación geométrica”, pero su oído y su experiencia le indican que conservar los intervalos o sus proporcione es una excelente forma de familiarizar al oyente con el motivo musical sin que este tenga que ser repetido exactamente.

Simetrías en la música: Reflexiones (4 ejemplos) o Simetría en la altura de la melodía por medio de un eje vertical: es una reflexión horizontal o Simetría vertical de la altura de un acorde: La simetría se realiza respecto de la nota LA o Simetría del ritmo en el tiempo: A tempo - accel - decel - a tempo o Simetría de la intensidad del sonido en el tiempo Piano - Forte - Piano

Actividad 6: Puedes identificar el tipo de reflexión del siguiente ejemplo

Veamos ahora una rotación y otro tipo de reflexión (inversión). o Primero tenemos un giro o rotación respecto a SI Se mantienen los intervalos en orden inversa por ser un giro: RE

•

- MIb - RE SOL - FA# - SOL 1/2↑ 1/2↓ GIRO 1/2↓ 1/2↑

o En segundo lugar se realiza una reflexión(simetría respecto a la nota SOL, en clave de FA) Se mantienen los intervalos en el mismo orden pero con distinto sentido por ser una reflexión: LA - SOL - FA - MI - SOL FA - SOL - LA - SIb* - SOL 1↓ 1↓ 1/2↓ 1 ½ ↑ 1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓ *Nota: Fuga nº 6 en Re menor de J. S. Bach (el SI es Bemol)

Continuemos con una reflexión desplazada y dos tipos de reflexión con homotecia: o Primero tenemos un desplazamiento con simetría horizontal DO MI SOL MI → DO MI SOL MI → DO MI SOL MI Hay una traslación 3 veces DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO Hay una reflexión respecto a la nota SOL o Reflexión con homotecia en la duración(disminución del tempo) DO RE MI FA SOL FA MI RE DO Negras corcheas o Reflexión con homotecia en la compresión del sonido FA SOL LA SI DO# DOb SI SIb LA 1↑ 1↑ 1↑ 1↑ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓

Gioachino Antonio Rossini (1792 - 1868)

La repetición es uno de los procedimientos más usado en la música. La repetición constante causa un efecto hipnótico, una adaptación del oído y ayuda a recordar la melodía.

Las oberturas de Rossini son un ejemplo de traslación melódica. Las frases se repiten cada vez con más intensidad, en crescendo. Precisamente el clímax se alcanza rompiendo la traslación.

F. Chopin (1810-1849) Una doble traslación. Estamos en Mib Mayor LAb SOL MI DO → 1/2↓ 1 ½ ↓ 1 ½ ↓

REb DO SIb SOL 1/2↓ 1 ↓ 1 ½ ↓

LAb SOL MI DO REb DO SIb SOL → LAb SOL MI DO REb DO SIb SOL

L. van Beethoven (1770-1827) Homotecia en la duración. o 1er compás: SOL FA# MI RE# MI Semicorcheas Corchea o 2º compás: SOL FA# MI RE# MI Corcheas Negra o 3er compás: SOL FA# MI RE# MI Negras Negra

Reflexión desplazada (Simetría + Traslación) La transformación geométrica ocurre 132 compases después de la primera aparición (se repite todo salvo el compás en rojo). En este caso Beethoven, en la Sonata nº 29, tuvo que ser consciente de que estaba utilizando una transformación geométrica.

J. S. Bach (1685 - 1750) Veamos ahora 8 compases de la Invención I a dos voces (BWV 772) de J. S. Bach de su música para clave. o El sujeto de la fuga aparece en el 1er compás en una elipse roja DO RE MI FA RE MI DO SOL 1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓ 1↑ 1 ½↓ 5ª

En el mismo compás ya aparece el sujeto trasladado (una 8ª más grave) En el compás siguiente aparece otra vez pero subiéndolo una quinta (do → sol) SOL LA SI DO LA SI SOL RE En el quinto compás vuelve a aparecer subiéndolo una 2ª Mayor (do → re) RE MI FA# SOL MI FA# RE SOL Hay una variación en la última nota que debería ser un LA En el octavo compás aparece otra vez pero ya con nota final LA En el último compás aparece otra vez el sujeto pero ya no guarda la misma relación interválica: LA SI DO RE SI DO LA … o La elipse azul se usa para marcar una simetría del sujeto

Sujeto:

RE 1↑

1↑

MI FA RE MI DO SOL 1/2↑ 1 ½ ↓ 1↑ 1 ½↓ 5ª

Reflexión: LA SOL FA MI SOL FA LA SOL 1↓ 1↓ 1/2↓ 1 ½ ↑ 1↓ 1 ½↑ 1↓ Aunque no siempre guarda la relación interválica (3er compás 2ª parte) FA

MI RE

o El rectángulo rojo marca un motivo que aparece en la mano izquierda en corcheas: SI DO RE MI y que se traslada bajando una tercera la primera vez: SOL LA SI DO (aquí tampoco se guardan los intervalos)

o El rectángulo verde marca otro motivo que aparecerá mas adelante.

Actividad 7: Comprueba la relación interválica de los rectángulos rojos 1ª vez: SI

2ª vez: SOL LA

3ª vez: MI

SOL LA

FA#

4ª vez: SOL LA

5ª vez: SI

6ª vez: RE

FA#

SOL

Tanto las simetrías en espejo como las traslaciones son frecuentes en la música de Bach a muchos niveles. En la obertura de La Invención en dos partes nº 6 en Mi Mayor aparece una simetría en espejo entre los dos pentagramas de la partitura con una traslación al cabo de cuatro compases. La famosa Ofrenda Musical está formada por las siguientes formas musicales: Ricercar 5 Cánones Trío Sonata 5 Cánones Ricercar Esta composición presenta una indudable simetría en su distribución, aunque en este caso no es nota a nota. Además los 10 Cánones de esta obra son un ejemplo de la operación de traslación. Pero esto no es lo único, dentro de la Ofrenda Musical el Canon 1 es conocido por el Canon del Cangrejo. En esta pieza cada violín toca la parte del otro al revés resultando ser una simetría en espejo vertical. De esta obra volveremos a hablar más adelante.

La geometría en las obras de Bach Durante muchos años Bach no fue consciente del rigor científico de sus obras. En palabras de su hijo CPE Bach “(mi padre) no se dejaba arrastrar por profundas consideraciones teóricas y dedicaba en su lugar sus energías a la práctica” Tras 9 años de negativa, en 1774 Bach accedió a entrar en la Sociedad de las Ciencias Musicales (Sozietat der Musicalischen Wissenschaften). Esta sociedad creada por L.C. Mizler, un alumno de Bach, que además de músico fue matemático, físico, filósofo y médico. Su propósito era investigar la relación entre la música y las matemáticas, de hecho el propio Mizler publicó un trabajo basado en el “Ars Combinatoria” de Leibniz. JS Bach para ingresar presentó una pieza a canon basada en su “Vom Himmel hoch (BWV 769)” junto con un canon a 6 voces de las Variaciones Goldberg. Además por exigencias de la sociedad

también aportó un retrato, que se ha convertido en la imagen más conocida de Bach.

La genialidad de Bach alcanza su cenit en el contrapunto y en la fuga, composiciones donde la estructura geométrica es incuestionable. Se parte de uno o varios temas y se les somete a Transformaciones geométricas: Traslaciones – Giros – Reflexiones – Deslizamientos y Homotecias, que confieren a la obra una estructura muy rígida pero donde el “Cantor de Leipzig” encontró una fuente de inspiración. La suprema importancia de este compositor está en el hecho de que pese a la rigidez estructural, sus obras poseen una velocidad y una brillantez en la improvisación que resultan admirables. El biógrafo de JS Bach, J.N. Forkel (1749-1818) nos comenta una anécdota refiriéndose a una visita de Bach a rey de Prusia Federico II (1712-1786): Una noche, en los momentos en que [Federico II] preparaba ya su flauta y sus músicos estaban preparados para comenzar, un funcionario […] dijo[…] “Señores el viejo Bach está aquí”. […] El rey renunció a su concierto de esa noche e […] invitó a Bach […] a tocar […] alguna improvisación. […] Bach le pidió al rey un tema para una fuga, ofreciéndose a interpretarla de inmediato, sin preparación alguna. El rey quedó admirado […] y expresó el deseo de oir una fufa a seis voces obligadas. Pero como no cualquier tema se presta para una armonía tan rica, Bach mismo eligió uno, y al punto, con asombro de todos los presentes lo desarrolló de la misma sabia y magnífica manera como había desarrollado antes el tema del rey. La dificultad de componer una fuga a 6 voces es altísima y el hecho de improvisarla está sólo al alcance de unos pocos elegidos. En palabras de Hofstadler (Autor del libro: “Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle” 1979): “la tarea de improvisar una fuga a 6 voces puede compararse, por decir algo con jugar con los ojos vendados 60 partidas simultáneas de ajedrez y ganarlas todas”. El Arte de la Fuga (1751) es una de las obras maestras de la Historia de la música y puede verse como una colección de ejemplos brillantes de transformaciones geométricas.

El Arte de la Fuga Fue escrita en el último año de su vida y es una obra didáctica incompleta que sobrecoge por su inmensa trascendencia y belleza. El libro del Arte de la fuga se compone de catorce fugas y cuatro cánones, o más bien, a juicio de Spitta, de una gigantesca fuga en quince capítulos. Esta creación, descansa sobre un único tema en re menor, «bastante insignificante por sí mismo». La homogeneidad del inacabado

opus es tan grande que las fugas requieren una ejecución conjunta, Interpretadas aisladamente pierden algo de su peculiar grandeza, y tan solo brillan esplendorosas cuando suenan agrupadas. El Arte de la Fuga (Die Kunst der Fuge, BWV 1080) probablemente JS Bach la comenzaría a componer entre 1738 y 1742. Fue publicada inacababa en 1751, un año después de la muerte del compositor. Está formada por 14 Fugas(la última incompleta) y 4 Cánones, todos ellos basados en el mismo sujeto en Re menor. Fue publicada sin indicaciones de instrumentación ni de orden, lo que ha dado lugar a múltiples versiones.

Fugas: 4 Fugas simples (Contrapunctus I - IV) 3 Fugas con respuestas invertidas (Contrapunctus V- VII) 4 Fugas dobles / triples (Contrapunctus VIII - XI) 2 Fugas en espejo (Contrapunctus XII- XIII) 1 Fuga cuádruple inconclusa (Contrapunctus XIV)

Cánones: Canon per Augmentationem in contrario motu Canon alla Ottava Canon alla Duodécima in contrapunto alla Quinta Canon alla Decima in contrapunto alla Terza El Contrapunctus XIV es una fuga a 3 temas, el tercero de los cuales está basado en el considerado tema BACH (las notas B-A-C-H están escritas en notación alemana, donde B es Sib, A es La, C es Do y H es Si)

Actividad 8: Escucha el contrapunto nº 1 de El Arte de la Fuga.

Veamos algunos ejemplos:

Los sujetos de las dos primeras fugas son prácticamente iguales, con una pequeña modificación al final, en la segunda aparecen corcheas con puntillo:

El sujeto de la fuga nº3 utiliza ya una transformación geométrica:

La línea melódica es justo la contraria que en el primer sujeto. Donde antes subía un intervalo, ahora baja y además en la misma cantidad. Se puede encontrar una pequeña "trampa" en el primer intervalo para conseguir la tonalidad deseada. En la fuga nº4 el procedimiento utilizado es el mismo pero un poco más grave que en el nº 3.

Estos cuatro primeros contrapuntos son "simples", entendiendo por tales aquellos en las que las posteriores entradas de los sujetos no sufren modificaciones importantes, es decir, siempre volvemos a escuchar el sujeto tal como se enuncia al principio de cada contrapunto. Actividad 9: Escucha los cuatro primeros contrapuntos de El Arte de la Fuga. Comprueba que los sujetos de las cuatro primeras fugas siguen los ejemplos anteriores.

A partir del contrapunto nº5 las transformaciones geométricas empiezan a ser más complicadas.

Actividad 10: La fuga XII tiene dos partes: Rectus e Inversus. Vamos a comparar las dos primeras páginas de ambas fugas. Comparando los distintos compases de ambas partituras vemos que existen reflexiones (inversiones) en las entradas de las distintas voces: Compases: • 1-4 Rectus: Entrada de Bajo. • 1-4 Inversus: Entrada de Soprano. • •

5-9 Rectus: Entrada de Tenor. 5-9 Inversus: Entrada de Alto.

• •

10-13 Rectus: Entrada de Alto. 10-13 Inversus: Entrada de Tenor.

• •

14-18 Rectus: Entrada de Soprano. 14-18 Inversus: Entrada de Bajo.

Identifica estas inversiones en las partituras siguientes.

Manuscrito de la primera página del Arte de la Fuga. Fuga nº 1

Bach y los Números Veamos el Abecedario alemán de la época de Bach Antes de nada hay que reseñar que en esa época en Alemania la I y la J eran la misma letra y lo mismo ocurría con la U y la V

A B C D E F G H I=J K L M N O P Q R S T U=V W X Y Z

Ahora a cada letra le asignamos un número natural de forma consecutiva

A B C D E F G H I=J K 1 2 3 4

5 6 7 8

U=V W

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24

Vamos a ver cuánto suma el nombre BACH, de la siguiente manera: B 2

A 1

C 3

H 8

Sumamos ahora: 2+1+3+8= 14

Actividad 11: Realizamos la misma operación con el nombre completo del compositor(J S BACH):: Suma tú ahora y calcula el resultado.

Ahora observamos que el Coral para órgano de Bach “Vor deinen Thron tret ich hiermit” en su manuscrito original contiene 14 notas en su primera frase y en total tiene 41 notas. ¿Es casualidad o está escrito así de forma deliberada? http://icking-music-archive.org/scores/bach/bwv668/Bach-VorDeinenThron.pdf En esta página web puedes ver la pieza de órgano a la que nos referimos. Observa que el coral es los que está escrito en el primer pentagrama. Actividad 12: Cuenta las notas de la primera frase del coral. Cuenta las notas de todo el coral.

Cuando con anterioridad nos hemos referido a que Bach ingresó en la Sociedad de las Ciencias Musicales. Este ingreso no se produjo hasta que nuestro compositor no constató que ya se había dado de alta en esta Sociedad el socio nº 13, por lo tanto Bach fue admitido como socio nº 14. ¿Otra casualidad? Actividad 13: Suma ahora las letras de la palabra CREDO.

En la primera sección del Credo de la Misa en Si menor la palabra “Credo” se repite 43 veces.

Además la dos primeras secciones del Credo tienen en total 129 compases, es decir 43x3=129, y esta multiplicación por 3 representa la Trinidad. http://erato.uvt.nl/files/imglnks/usimg/9/99/IMSLP01259-Bach_Bmin3.pdf http://imslp.info/files/imglnks/usimg/9/99/IMSLP01259-Bach_Bmin3.pdf En esta página podéis ver el Credo de la Misa en Si menor. La primera sección son las 5 primeras páginas. La segunda sección va de la página 6 a la página 17. Actividad 14: Contar las veces que sale la palabra Credo en la primera sección, son sólo 5 páginas. Como hay 5 voces el trabajo se puede repartir. Cada alumno contará los “credo” que hay en cada voz. Además se pueden contar los compases de la primera y segunda parte del Credo.

Palíndromos Un Palíndromo es una frase, una expresión, una sucesión que se puede leer igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Uno de los palídromos más conocidos es:

Dábale arroz a la zorra el abad Geométricamente hablando un Palíndromo es una reflexión horizontal (simetría) de una melodía.

Haydn (1732-1809) El Minueto al Rovescio, uno de los movimientos de la Sonata en La mayor (Hob XVI-26) que Haydn, compuso en 1773. La composición se divide en dos partes, donde la segunda es una reflexión exacta de la primera. Dicho de otro modo, ambas juntas forman un palíndromo musical, una partitura “capicúa”. En este caso Haydn era realmente consciente del uso de la simetría en la composición musical.

El propio Haydn también es el autor de la sinfonía El palíndromo (Sinfonía nº 47) que contiene otro minueto y un trío palindrómicos.

Mozart (1756 - 1791) La obertura de la famosa Sinfonía nº 40 en sol menor es un ejemplo de simetría traslacional. Mozart era un apasionado de los juegos de todo tipo entre ellos los dados y la lotería. Su hermana Nannerl, recordó que en una ocasión cubrió las paredes de las escaleras y de todas las habitaciones de la casa con números y cuando ya no quedaba espacio libre, continuó en la casa de al lado. Incluso los márgenes del manuscrito de Mozart de la Fantasía y Fuga en do mayor contiene cálculos de las probabilidades de ganar la lotería. El musicólogo británico Donald Tovey identificó las “proporciones bellas y simétricas” de las composiciones de Mozart como una de las razones clave de su popularidad. La siguiente composición, “El dueto del espejo” o también llamado “Dúo de la Mesa”, se trata de un divertimento en Sol mayor para dos violines, atribuido a Mozart. La partitura está diseñada para que ambos violinistas puedan ejecutarla a la vez, ¡pero cada uno leyéndola en sentido contrario! Por ejemplo, colocando la partitura en una mesa, los dos violinistas se deben colocar enfrentados, en lados opuestos de la mesa, con la partitura situada entre ambos. De esta forma, comenzando a la vez, mientras uno interpreta el primer compás, el otro se encuentra ejecutando el último (que para él es el primero, naturalmente), y cuando el primer violinista avanza hasta el segundo compás, el otro violinista avanza hasta el penúltimo.

¿Cómo se ha creado esta curiosa composición y, sobre todo, cuál es “el truco” que permite a ambos violinistas intercambiarse sus voces (principal y acompañamiento) sin dejar de armonizar en ningún momento? Para ello, observemos la siguiente partitura. Se trata de la primera mitad de la partitura anterior (para el primer violinista), a la que se le ha añadido la segunda mitad de la partitura anterior “girada 180 grados” (que es la primera mitad que interpreta el segundo violinista). Se han coloreado las figuras en función del intervalo -diferencia de altura- que separa cada dos notas ejecutadas al mismo tiempo: azul significa la misma nota (aunque sea en distinta octava) verde los intervalos de tercera dorado los de sexta rojo el resto.

De esta forma, podemos comprobar que a lo largo de la mitad de la ejecución, los intérpretes están ejecutando o bien las mismas notas o bien notas separadas por intervalos de tercera o sexta, pues las veces que se desvían de esta norma (figuras rojas) son meros adornos. Así que la segunda voz no sólo armoniza con la primera, sino que sigue un camino “casi paralelo” a ella. Con ello se consigue que cuando reconstruimos la partitura completa, volviendo a girar la segunda voz 180 grados, cada una de las dos voces, al encontrarse con “el camino” seguido por la otra, no lo encuentre extraño (y nuestro oído tampoco, por supuesto). Actividad 15: Escucha el Dúo de la Mesa de Mozart.

El Número Áureo El número áureo tiene diversas denominaciones Número áureo Número de Oro Divina proporción (Fray Luca Pacioli) Extrema y media razón (Euclides) Sección áurea (Leonardo da Vinci) Una Razón es el cociente de dos números: a La razón de a y b es b

6 =3 2 5 Otro ejemplo la razón de 5 y 3 es 1,666…. 3 Por ejemplo la razón de 6 y 2 es

Una Proporción es una igualdad entre dos razones, esto es Por ejemplo

5 3

a b

c d

10 6

El origen del Número de Oro hay que buscarlo al tratar de dividir un segmento en partes desiguales pero de la forma más general posible. a

Medida del segmento: a+b Medida de la parte mayor: a Medida de la parte menor: b Después de estudiar las distintas proporciones que se pueden formar igualando dos razones cualquiera se llegó a la conclusión de que la forma más general de dividir un segmento en dos partes desiguales es la siguiente: “la parte mayor (a) es a la menor (b) como el segmento total (a+b) es a la mayor (a)” a a b Esto da origen a la proporción b a a Haciendo un cambio de variable y llamando x= , obtenemos la ecuación de b 2 segundo grado: x – x – 1 = 0, cuyas soluciones son: Φ=

5 2

= 1,6180339…

Φ‟=

5 2

= -0,6180339…

Estas soluciones se las suele denotar con el nombre de la letra griega Φ (phi= fi) en honor a Phidias, escultor griego que utilizaba mucho este número en las proporciones de sus obras. Nos vamos a quedar con el resultado positivo y vamos a ver qué representa esta solución. Volviendo al segmento quiere decir que si la parte mayor midiese 1 metro, la parte menor mediría 0,618 metros

a= 1

b=0,618

Por lo tanto el segmento total tendría una longitud de 1,618 metros Actividades 16 – 17 – 18 – 19: Resuelve la ecuación de 2º grado: x2 – x – 1 = 0 a a b Comprueba si se verifica la igualdad para a=1 y b=0,618 b a Mide con una regla el largo y el ancho de tu carnet de identidad y calcula la razón de los dos números (el resultado es aproximadamente 1,6) Mide el largo y el ancho de un billete de 5 € y calcula la razón de los dos números. El número Φ también se puede obtener a través de la sucesión de Fibonacci (Leonardo di Pisa). Esta sucesión empieza por dos unos y cada nuevo número se obtiene de la suma de los dos anteriores: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… Ahora el número Φ se obtiene como límite de las sucesivas divisiones de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci:

1 1

2 =2 1

3 =1,5 2

5 = 1,66… 3

8 = 1,6 5

……….

144 =1,61797… 89

Observamos que el resultado cada vez está más próximo a 1,6180339… Leonardo de Pisa fue un matemático italiano que vivió a caballo de los siglos XII y XIII, y usó como seudónimo el nombre de Fibonacci. En 1202, cuando contaba con 27 años descubrió esta serie.

Sección áurea en la Naturaleza y en el Arte La sucesión tiene múltiples aplicaciones en diversos campos: En Botánica, en Arte en Música, en Arquitectura, en el Crecimiento de poblaciones, … Música Si non detenemos en el 7º número de la sucesión de Fibonacci: 13 Comprobamos que en la secuencia….5 8 13…., 13=5+8 Curiosamente 13 son los semitonos de una escala cromática 8 son las notas de la escala principal (notas blancas) 5 son las notas de la escala pentatónica (negras), en grupos de 2 y 3 teclas

La Construcción de instrumentos Stradivarius usaba el número Φ en la construcción de sus famosos violines. Así por ejemplo las distancias entre las distintas partes del violín guardan relación con el número 1,618.

Botánica Número de pétalos de ciertas flores

El iris tiene 3 pétalos. El hibisco 5 pétalos. La driada 8 pétalos. La margarita tiene 13 pétalos.

Arte

La armonía entre las proporciones para hacer un trazado del hombre perfecto se plasma en este dibujo de El Hombre de Vitrubio que Leonardo da Vinci hizo en 1509 para ilustrar el libro “La Divina Proporción” de Luca Pacioli. La relación entre la altura del hombre y la distancia de los pies al ombligo es el número de oro.

Proporciones del rostro humano

Representación de la cabeza humana acorde con La Divina Proporción (grabado de la edición de 1509, Paganino dei Paganini, Venecia).

Arquitectura El Partenón de Atenas. Precisamente este edificio fue diseñado por Phidias, el escultor griego a quién le debe su nombre el número fi = phi

La gran Pirámide de Egipto

Zoología La concha del Nautilus

Actividad 20: Mide las falanges primera, segunda y tercera del dedo medio (corazón) de tu mano izquierda y calcula las razones entre ellas. Haz lo mismo con las falanges del dedo índice de la mano izquierda.

La sección áurea en la música La sección áurea aparece frecuentemente como hemos visto en la arquitectura y en el arte, pero también en la música. Muchos compositores con una fuerte concepción arquitectónica, como Bach o Mozart, dividen a menudo sus composiciones en secciones cuyas extensiones guardan aproximadamente una proporción áurea.

G. Dufay (1400? - 1474) Un exponente de este método fue Guillaume Dufay (14001474), quien derivó el tempo de sus motetes de una catedral florentina utilizando la antes mencionada sección áurea (1:1.618). Dufay fue de los primeros en utilizar las traslaciones geométricas de manera deliberada. El uso de secuencias rítmicas como una técnica formal se utilizó entre los años 1300-1450 y el músico G. Machaut lo utilizó en algunos motetes.

J. S. Bach (1685 - 1750) El canon es una forma musical en la que las distintas partes se incorporan sucesivamente repitiendo la melodía de la voz principal. Lo sorprendente del Canon del Cangrejo de Johann Sebastian Bach es que el acompañamiento repite exactamente lo hecho por la voz principal pero en sentido inverso, lo cual se puede ver perfectamente en la partitura: el pentagrama de abajo repite lo escrito en el de arriba pero invertido en el tiempo. Lo diré de otra manera: una melodía interpretada marcha atrás se sirve de acompañamiento a sí misma. No es de extrañar que se haya escrito respecto de Bach y Escher que "ambos fueron matemáticos experimentales del más alto rango". No sé si alguno de los dos aceptaría tal descripción, pero lo que es evidente es que ambos exploraron hasta sus últimas consecuencias las posibilidades de la simetría. La partitura puede escribirse en un pentagrama sobre una cinta de Moebious. En este enlace puede verse la partitura y escucharse la música además de ver como se enrolla la partitura hasta formar una banda de Moebius. http://www.youtube.com/watch?v=cwhLDLQLI44 Empieza en el segundo 53 Para ver la construcción de una cinta de Moebius se puede consultar esta página: http://www.youtube.com/watch?v=tK_dMNqXy2I

El logotipo de Caixanova era una banda de Moebius.

Mozart

(1756 - 1791)

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es muy cercana a la razón áurea. ¿Esta construcción será deliberada o acaso es pura intuición? Por ejemplo, la sonata Nº 1 de Mozart para piano subdivide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El cociente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de la proporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundo movimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos secciones principales arrojan una proporción 46/28 = 1,6428, también muy cercana a Φ. La sonata Nº 2 subdivide el primer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente es 88/56 = 1,5714, también bastante próximo a la relación áurea.

Aunque desde luego no toda la música se secciona de esta manera, es uno de los posibles principios para la organización del tiempo en la música. Otro es la simetría, según el cual las secciones tienen igual duración. Curiosamente, la simetría funciona mejor en el corto plazo (a nivel de frases o motivos), mientras que la relación áurea domina las grandes extensiones. Se ha argumentado que en tiempos considerables el ser humano es incapaz de percibir objetivamente la duración, pero es posible que sí exista una percepción inconsciente de la estructura general.

Ludwig van Beethoven

(1770 - 1827)

Tampoco se sabe si Beethoven fue consciente o no, pero en su Quinta Sinfonía, el famoso tema está distribuido siguiendo la razón áurea. Cada vez que aparece el tema está separado del siguiente un número de compases que pertenece a la serie.

Béla Bartók (1881 - 1945) En el siglo XX, Béla Bartok, célebre compositor húngaro, adoptó la relación áurea como principio rector para la estructuración de varias de sus obras. No sólo utilizó este principio para establecer las proporciones entre los diferentes segmentos, sino que la utilizó para construir acordes y melodías. En la figura se reproduce el análisis gráfico efectuado por Larry Solomon de la Fuga de la Música para Cuerdas, Percusión y Celesta de Bartok, donde se observa que la proporción áurea ha sido sistemáticamente utilizada para segmentar temporalmente la obra.

Análisis gráfico de la Fuga de la “Música para Cuerdas, Percusión y Celesta” de Béla Bartok según Solomon. Recordamos la sucesión se Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… Compuesta en cuatro partes, el primer tiempo de esta obra es una fuga de 89 compases. En los primeros 55 compases se va poco a poco creando una tensión que halla su punto culminante en el 56 para concluir 34 compases después. Las cuerdas tocan con sordina desde el compás 1 al 34 y sin sordina los 21 compases siguientes, completando así los 55 compases iniciales. Una vez alcanzado el clímax las cuerdas siguen tocando sin sordina durante 13 compases y los 21 finales con sordina.

55 compases

34 compases

Para ampliar información: http://www.sectormatematica.cl/musica/Musica%20y%20Matematicas%20De%20Sc hoenberg%20a%20Xenakis.pdf En las páginas 8-14.

Probabilidad Un experimento se llama determinista cuando ya sabemos de antemano que resultado va a tener. Ejemplo: Si un automóvil va a 100km/h por una carretera durante dos horas. ¿Qué espacio ha recorrido? Evidentemente 200 km, y esto lo sabemos porque el espacio viene dado en función del tiempo y de la velocidad, e = v · t, y esto ocurre siempre. e=v·t e = 100 km/h · 2 h = 200 km Un experimento se llama aleatorio cuando en su resultado interviene el azar. Ejemplo: Lanzar un dado al aire. En principio hay 6 resultados posibles y no sabemos cual va a salir en cada momento. En principio puede salir cualquiera. Veamos ahora unas definiciones matemáticas. Espacio Muestral, E: es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento. E lanzamiento dado= {1,2,3,4,5,6} E lanzamiento moneda= {c, +} Sucesos elementales: Son los elementos de E Sucesos aleatorios: Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. = Suceso imposible (suceso vacío) E = Suceso seguro (suceso total) El conjunto de todos los sucesos aleatorios se llama S Además si E tiene n-elementos, entonces S tiene 2n – elementos. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda E = {c,+} tiene 2 elementos S = { , c, +, E} tiene 22 = 4 elementos Lanzamiento de un dado E = {1,2,3,4,5,6} tiene 6 elementos S = { ,1,2,3,4,5,6, {1,2}, {1,3}, … {2,3,4,5,6}, E } tiene 26 = 64 elementos

Probabilidad de un suceso Cuando un experimento aleatorio se realiza muchas veces en idénticas condiciones el número de veces que aparece un suceso dividido entre el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Este número se llama probabilidad de un suceso. (Ley de los grandes números de J. Bernouilli)

En notación de Laplace:

P(suceso) =

favorables nº casos posibles

nº casos

Ejemplo 1: Volvemos al lanzamiento de un dado: Espacio muestral E = {1,2,3,4,5,6} Todos los sucesos elementales son equiprobables (en cada tirada del dado tanto puede salir una cara como otra) Entonces de cada 6 veces que lancemos el dado hay una vez teórica que saldrá la cara 1, otra vez que saldrá la 2,… 1 1 1 1 1 1 P(1)= P(2)= P(3)= P(4)= P(5)= P(6)= 6 6 6 6 6 6

Ejemplo 2: Ahora lanzamos dos dados a la vez. Veamos primero cual es el espacio muestral. Para ello tenemos que sumar los resultados de ambos dados. Dados 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

E= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} hay 11 sucesos elementales. En este caso no todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad. Si nos fijamos en el cuadro hay 36 celdas, o sea 36 resultados posibles pero por ejemplo el 2 o el 12 sólo aparecen una vez cada uno, en cambio el 7 aparece 6 veces. Así las probabilidades de cada suceso serán:

1 36 5 P(8) = 36 P(2) =

2 36 4 P(9) = 36 P(3) =

3 36 3 P(10) = 36 P(4) =

4 36 2 P(11) = 36 P(5) =

P(6) =

5 36

P(12) =

P(7) =

6 36

1 36

Combinatoria La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. El punto de partida será el principio de la multiplicación o estrategia del producto. Hay tres tipos de ordenaciones: Variaciones (interviene el orden de los elementos). Permutaciones(interviene el orden de los elementos). Combinaciones( no interviene el orden de los elementos). Cada una de ellas puede ser con o sin repetición. Veamos las fórmulas:

Variaciones

Permutaciones Combinaciones

Sin Repetición Vm,n = m•(m-1)• …• (m-n+1)

Con Repetición VR m,n = mn

Pm = m!

PR m; n1,…,nk =

Cm,n =

m! n! m n !

m! n1! ... nk! m n 1! CRm,n= m! n 1 !

Mozart (1756 - 1791) Mozart, en 1777, a los 21 años, describió un juego de dados que consiste en la composición de una pequeña obra musical; un vals de 32 compases que tituló “Juego de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición” (K 294). Cada vals consta de dos partes un minueto y un trío y cada uno de ellos tendrá 16 compases. Mozart compone 176 compases para los minuetos y 96 compases para los tríos. Estos compases están sueltos. El juego descrito por Mozart se basa en componer cada vals escogiendo algunos de estos compases.

Para hacer esta elección Mozart nos dejó dos tablas. La primera es para escribir los minuetos y la segunda tabla es para componer los tríos. Las columnas están numeradas en romano, son 16, e indican el número de orden del compás. Las filas en la primera tabla se numeran de 2 a 12, que indican los 11 resultados posibles de lanzar dos dados. Las filas en la segunda tabla se numeran de 1 a 6 e indican los resultados posibles de lanzar un dado. La elección sería de la siguiente manera: por ejemplo en la primera tirada lanzamos dos dados y el resultado obtenido es 9 entonces el primer compás será elegido dentro de la primera columna justo en la intersección con la fila 9, en este caso el 119, y así sucesivamente. El método funciona porque los compases correspondientes a la misma columna son variaciones sobre una misma base armónica, por eso el resultado será armónicamente coherente. Las tablas son las siguientes:

1 2 3 4 5 2 96 22 141 41 105 3 32 6 128 63 146 4 69 95 158 13 153

6 122 46 55

Minueto 7 8 9 11 30 70 134 81 117 110 24 66

10 121 39 139

11 26 126 15

5 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7

12 9 56 132

13 112 174 73

14 49 18 58

15 109 116 145

16 14 83 79

34 67 160 52 170

6 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1

7 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151 8 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172 9 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111 10 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8 11 3

87 165 61 135 47 147 33 102 4

12 54 130 10 103 28 37 106 5

31 164 144 59 173 78

35 20 108 92 12 124 44 131

Trío 1

1 72

59 25 81 41 89 13 36

2 56 82 42 74 14 3 75 39 54

10 11 12 13 14 15 16 5

46 79 30 95 19 66

26 71 76 20 64 84

65 43 15 80

4 40 73 16 68 29 55 5 83

35 47 88

34 93 48 69 58 90 21

61 22 67 49 77 57 87 33 10

28 53 37 17 44 70 63 85 32 96 12 23 50 91

6 18 45 62 38

27 52 94 11 92 24 86 51 60 78 31

Tabla original de Mozart para los minuetos:

Cada minueto de Mozart está formado de dos partes. Primero se interpretan 8 compases, se repiten y después se interpretan los 8 siguientes también con repetición. Observamos que todos los compases que están situados en la columna octava, por ejemplo 5, 24, 30, 33, … , tienen dos versiones una para hacer la repetición y otra para continuar.

Actividad 21: Escucha algunas de las posibles composiciones de El Juego de Dados de Mozart.

Pero ahora nos preguntamos: ¿Cuántos minuetos distintos se pueden componer con estos 176 compases? ¿Cuántos tríos distintos se pueden componer con estos 96 compases? ¿Cuántos valses distintos se pueden componer? Veamos primero cuantos minuetos se pueden escribir:    

Como 1er compás elijo uno de los de la 1ª columna: hay 11 para elegir. Como 2º compás elijo uno de los de la 2º columna: hay 11 para elegir. … Como compás 16 elijo uno de los de la columna 16ª: hay 11 para elegir.

Luego usando el principio de multiplicación de la combinatoria tendríamos las siguientes elecciones posibles: 11x11x…x 11 (16 veces) = 1116

46 000 000 000 000 000 = 46 mil billones

Para calcular cuántos tríos se pueden construir procedemos de la misma forma, la única diferencia es que en cada columna sólo hay 6 compases para escoger:  Como 1er compás elijo uno de los de la 1ª columna: hay 6 para elegir.  … Análogamente: 6x6x…x6 (16 veces) = 616

3 000 000 000 000 = 3 billones

Sabiendo que cada vals está compuesto por un minueto más un trío (vals = minueto+trío) el número total de valses será: Para cada minueto elegido entre 46 mil billones podemos escoger un trío entre 3 billones. 1116 · 616 = (11 · 6)16 = 6616 = 1,2 · 1029 cuatrillones

12 seguido de 28 ceros = cien mil

¡Más que granos de arena hay en toda la Tierra!

De entre los 46 mil billones de minuetos posibles no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. De hecho sólo uno de ellos tiene la probabilidad más alta. Este será el minueto formado por los 16 compases obtenido cuando los dos dados suman 7. Esta es la partitura de la composición más esperada:

En cambio los 3 billones de tríos tienen todos la misma probabilidad de ocurrir. Por otro lado estas pequeñas composiciones de 32 compases con repetición tardan en interpretarse unos 60 segundos cada una: 30 segundos cada minueto y 30 segundos cada trío. Vamos a ver cuántas versiones distintas podemos interpretar en un año.

¿Cuántos segundos hay en un año? 1 año = 365 días = 365 días · 24 horas/día · 3600 segundos/hora = 31 536 000 seg ¿Cuántos minuetos de 30 segundos cada uno puedo interpretar en un año (tocando día y noche)? Si en 30s se realiza una versión en 31 536 000s se realizarán x versiones.

31536000 30

1051200 1.000.000

En un año se interpretarían un millón de versiones aproximadamente. ¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los minuetos? Como hay casi 46 mil billones de minuetos y cada año se puede interpretar 1 millón de versiones se tardaría en interpretar todas 46 mil millones de años. Se estima que el Big Bang (inicio del Universo conocido) ocurrió hace unos 15 mil millones de años y que la existencia de nuestro Sistema Solar, que tiene media vida, va a durar otros 5 mil millones de años. Por lo tanto interpretar todas las realizaciones posibles de esta obra, sin descanso, requeriría la colonización de otros Sistemas Planetarios.

Actividad 22: ¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los tríos? ¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los valses completos?

Otra pregunta que nos podríamos hacer es ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que se repita la misma obra? En este caso hay que distinguir tríos de minuetos, pues los tríos son todos equiprobables sin embargo hay minuetos que son más probables que otros. Ya por último nos preguntamos: De entre las 6616 1,2 · 1029 obras distintas posibles, si cada habitante del planeta Tierra, unos 7 000 millones, interpretara una obra distinta cada 5 minutos. ¿cuánto tiempo tardarían en agotarse? (1,2 · 1029 ) : (7 · 109 ) = 17 · 10 18 cada humano debe interpretar 17 trillones de versiones Si una versión se toca cada 5 minutos, 17 trillones de versiones se tocarán en x minutos: x = (17 · 10 18 ) · 5 = 85 · 1018 minutos pasados a años serán: ( 85 · 1018 ) · (365 · 24 · 60 ) = 160 · 1012 , unos 160 billones de años. ¡Recuerda que el Universo sólo tiene 15 mil millones de años!

Actividad 23: Si todos los minuetos posibles son interpretados uno cada 30 segundos, por cada uno de los habitantes del planeta, unos 7 mil millones de personas. ¿Cuánto tiempo tardarían en agotarse? ¿Y todos los tríos? ¿Y todos los valses, si estos tardan un minuto en ser interpretados?.

Todas las obras de Mozart han sido catalogadas por su número Köchel y esta obra en particular, Musikalisches Würfelspiel es la K. 294 (Anh.C), así que ha sido propuesto que cada realización pudiera tener un número particular Köchel que la identifique. Es relativamente simple hacer una extensión con 16 “dígitos” utilizando un sistema de base 11, por ejemplo, los “dígitos” 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y A. La correspondencia entre la suma de los dados y cada uno de los 16 compases representaría a la suma igual a 2 con “0”, la suma igual a 3 con “1” y finalmente la suma igual a 12 con “A”. Así la partitura más probable tendría el número Köchel, K. 294.5555555555555555. Por ejemplo la versión que se generaría con 16 lanzamientos de dos dados de sumas (4, 12, 11, 6, 7, 7, 11, 8, 3, 5, 4, 8, 2, 12, 10, 7),sería K 294. 2A94559613260A85.

Actividad 24: Escribe el número de Köchel de la versión del minueto generada por 16 lanzamientos de dos dados de sumas (8,3,7,12,7,11,5,7,2,9,7,12,4,10, 5,5)

Actividad 25: Implicamos a los alumnos para que escriban 8 compases rítmicos en 4x4, todos distintos. • ¿Cuántas piezas rítmicas distintas de 8 compases se pueden hacer usando todos estos 8 compases (no se pueden repetir)? •

Si cada pieza dura unos 10 segundos y una clase de música dura 50 minutos, ¿cuántas piezas se pueden interpretar en cada clase?

•

¿Cuántas clases necesitaría para interpretarlas todas?

•

Si puedo repetir los compases, ¿cuántas piezas rítmicas distintas de 8 compases puedo hacer?

Iannis Xenakis (Braïla, 1922 - París, 2001) Xenakis nació en 1922 en Rumania, aunque su familia era griega. Su madre era pianista y lo introduce en la música desde temprana edad. Pero ella muere cuando él tiene cinco años de edad, hecho que le traumatiza, "su muerte me dejó profundamente asustado", diría años más tarde. A la edad de 10 años Xenakis vuelve a Grecia y su padre lo envía a un internado. Allí estudia filosofía, literatura europea, matemáticas, ciencias y música. Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano. Estalla la Segunda Guerra Mundial y Xenakis debe interrumpir sus estudios de ingeniería. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel. En 1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946 acaba sus estudios de ingeniería. En 1947 llega a París y entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso arquitecto Le Corbusier. Xenakis participa en varios proyectos importantes tales como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de proporciones. Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con Honegger y Milhaud, pero no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la composición musical. A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar sistemáticamente las matemáticas en la composición. En su obra podemos encontrar piezas cuyos principios compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios geométricos y en otras ramas de las matemáticas. Xenakis es también un pionero de la música electrónica. Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la aplicación de la informática a la música.

Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta 1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga enfermedad.

Procesos estocásticos Un proceso estocástico es todo aquel que evoluciona en el tiempo de forma total o parcialmente aleatoria. Veamos unos ejemplos: La temperatura en una ciudad: aumenta por el día y baja por la noche, aumenta en verano y baja en invierno. La variación es pues parcialmente aleatoria. Las variaciones del precio de unas acciones: aunque se espera que a largo plazo el crecimiento sea positivo, la evolución de un día a otro es aleatoria. Los números que salen en un sorteo de lotería. Son totalmente aleatorios. Podemos definir un proceso estocástico mediante una ley de probabilidad que rige la evolución de una variable x (temperatura, variación del precio de acciones, números extraídos en la lotería,…) a lo largo de un tiempo t. Así en los diferentes momentos del tiempo t0 < t1 < t2 … podemos obtener la probabilidad de los valores correspondientes x0 < x1 < x2… En el instante t1 observamos el valor de x1 y podemos condicionar la probabilidad de futuros sucesos a la luz de esta información.

La Música estocástica Xenakis se sentía ajeno a dos de las corrientes musicales más importantes del S. XX: El serialismo, abanderado por Pierre Boulez, contra el que reacciona por su enorme complejidad que impide al oyente seguir el entramado de las líneas. Esta corriente proponía el uso de una serie de sonidos, normalmente utilizaba

los doce sonidos que se encuentran en una octava, sin que se pudiera repetir una sola nota hasta no haber aparecido los doce sonidos. El indeterminismo (o música casual, o postserialismo), personalizado en John Cage. Xenakis califica este movimiento como sonidos tocados libre y aleatoriamente, y que no transmiten ningún significado estético musical al oyente. La respuesta a los problemas estéticos de ambas tendencias viene dada por las Matemáticas. Xenakis introduce sobre todo la probabilidad en el mundo de la composición. A pesar de la excesiva formalización del proceso compositivo logra dotar a su obra de gran expresividad. Xenakis tenía preferencia por los grandes bloques de sonido. Al buscar un tipo de causalidad apropiada para los efectos sonoros en masa comenzó a aplicar a su música las teorías de la Probabilidad matemática, especialmente “La ley de los grandes números”, formulada por el matemático suizo Jacques Bernoulli en el S. XVIII. Esta ley, de la que ya hemos hablado con anterioridad, en términos sencillos dice que cuanto más aumente el número de ocasiones en las que se produce un hecho casual (aleatorio) más posibilidades habrá de qué el resultado se encamine hacia un fin determinado. Usando “La ley de lo grandes números”, Xenakis definió la música estocástica como música indeterminada en sus detalles pero que sin embargo se dirige hacia un final definido. Las matemáticas las utiliza como una herramienta y cuando traslada los cálculos a unas indicaciones musicales concretas los ajusta con el fin de obtener los resultados musicales previamente prefijados. Los principios formales de la música, tales como la altura, la duración y el instante de comienzo de cada sonido son controlados estadísticamente.

La música estocástica esta gobernada por las leyes de la probabilidad. Xenakis encuentra tres puntos de inflexión para componer música estocástica: Intenta reproducir sonidos y estructuras propias de la naturaleza. Así la música es concebida como el medio más idóneo para reflejar la realidad universal. En palabras del compositor “la música es el arte que, antes que las demás artes, ha creado un puente entre el ente abstracto y su materialización sensible”. El hombre siempre ha intentado determinar la naturaleza mediante reglas universales; el uso de estas reglas se hace necesario a la hora de componer música. Xenakis acudió a las leyes de Poisson y Gauss, (la teoría cinética de gases), que postula que toda alteración, movimiento o alternancia en el espacio y tiempo se puede medir y acaso prever según la posibilidad de cálculo de probabilidades. No hay más que aplicar estas reglas sobre los timbres y estructuras tonales para que sea el principio de incertidumbre el que

guíe toda composición musical. El resultado es una música libre, liberada de la determinación serial. Sólo la intencionalidad del autor pueden medir el valor de una obra. Dos aspectos influyeron decisivamente al desarrollo de la música estocástica y en particular a la proyección creativa de Xenakis: Su “visión arquitectónica” El desarrollo de la tecnología computacional. Dos tipos de escritura musical son usados por el compositor de forma recurrente: Los Glissando: Si en Geometría la línea recta es la forma espacial más básica, en música lo serán los glisandos, que son variaciones constantes y continuas de alturas de sonido. Estas estructuras sonoras más tarde las llevará a la arquitectura. El Pizzicato: que intenta asemejar al movimiento de las moléculas de gas.

Un aspecto de importancia capital para el desarrollo de la música estocástica fue el auge de la computación. El uso de sofisticadas computadoras, permitía al compositor el poder preocuparse de aspectos estéticos, ya que todos los complicados y fatigosos cálculos algebraicos y probabilísticos que determinaban el desarrollo de la composición, eran relegados y resueltos por el ordenador. La primera composición realizada por ordenador y calculada para un conjunto de 10 instrumentistas, fue “ST/ 10-1”; Xenakis utilizó el IBM 7090, que le fue cedido durante 1hora por el centro de investigación científica IBM-France, aunque el trabajo de producción posterior le ocupó meses. Estas son algunas de las leyes de la probabilidad, y otros campos matemáticos que usó en algunas de sus obras: Distribución aleatoria de puntos en un plano: Diamorphoses Ley de Maxwell-Boltzmann : Pithoprakta Restricciones mínimas: Achorripsis Cadenas de Markov: Analogicas Distribución de Gauss: ST/IO,Atrés Teoría de juegos: Duel, Stratégie Teoría de grupos: Nomos alpha Teoría de conjuntos y álgebra booleana : Henna, Eona.

Otro de los campos matemáticos en los que el compositor se ha movido, incluyendo nuevas definiciones para la composición musical, es la Teoría de Conjuntos, pero

incomprensible para la mayoría de los compositores que han decidido estudiarla o imitarla. Según palabras de su autor, extraídas del prefacio de su libro “Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition”: “Los acontecimientos naturales, tales como la colisión del granizo o la lluvia sobre superficies duras, o el canto de las cigarras en un campo veraniego. Estos acontecimientos sonoros están constituidos por miles de sonidos aislados; esta multitud de sonidos, vista como una totalidad, es un nuevo acontecimiento sonoro. Este acontecimiento masivo está articulado y forma un molde temporal flexible, que de por sí sigue las leyes aleatorias y estocásticas. Si alguien desea formar una gran masa a partir de notas puntuales, como con pizzicati de cuerdas, debe saber estas leyes matemáticas, que, en cualquier caso, no son más que una estricta y concisa expresión de cadenas de razonamiento lógico. Todo el mundo ha observado los fenómenos sonoros de una multitud política de decenas o cientos de miles de personas. El río humano grita un lema con un ritmo uniforme. Entonces otro lema surge desde la cabeza de la manifestación; se extiende hacia la cola, reemplazando el primero. Una onda de transición pasa de la cabeza a la cola. El clamor llena la ciudad y la fuerza inhibidora de la voz y el ritmo llegan a un clímax. Es un acontecimiento de gran poder y belleza en su ferocidad. Entonces, el impacto entre los manifestantes y el enemigo se produce. El perfecto ritmo del último lema se rompe en un gran grupo de gritos caóticos, que también se extiende hasta la cola. Imagina, además, los estallidos de las ametralladoras y el silbido de las balas intercalándose en ese desorden total. La multitud se dispersa rápidamente y después del infierno sonoro y visual sólo queda el silencio, lleno de desesperación, polvo y muerte. Las leyes estadísticas de estos acontecimientos, separadas de su contexto político o moral, son las mismas que aquellas de las cigarras o de la lluvia. Son las leyes de transición desde el orden absoluto al desorden total de una manera continua o explosiva. Son leyes estocásticas [Xenakis, 1971].”

Mikka Obra para violín solo de 4 minutos de duración, compuesta en 1971. Es una aplicación de la música estocástica de Xenakis. Consiste en una serie de glissandos calculados por ordenador, en el que los intervalos y cuartos de tono son recorridos sin detenimiento, explotando fuertes contrastes de dinámicas y alturas. Estos glissandos confieren a la pieza una textura musical muy insinuante y delicada. Actividad 26: Escucha la obra Mikka de Xenakis.

El crítico musical Paco Yánez escribió la siguiente nota de prensa publicada en Mundoclasico.com (ISSN 1886-0605) el 08/05/2007, después del concierto del martes 24 de abril de 2007, del „Festival de Música Cidade de Lugo‟ donde se programó un interesante concierto que, bajo el título El violín en el Siglo XX, estuvo

interpretado por el violinista albanés Florian Vlashi (Durres, 1963) y compuesto por obras de Manuel Quiroga, Paulino Pereiro, Sergei Procofiev, Iannis Xenakis y Alfred Schnittke. Precisamente el mismo violinista que interpretará la obra en el concierto didáctico “Música o Matemática”. “Si alguna interpretación de Vlashi resultó especialmente reveladora esa fue, para mí, la de Mikka.[…]; en la [interpretación]de Vlashi prima los aspectos expresivos de la obra, en la que destaca su carácter femenino (algo que el propio Xenakis señalaba), lírico y hasta sensual. Pude contrastar esta opinión tras el concierto con el propio violinista, cuyo amor por Mikka es conocido desde que hace ya años la incorporara a su repertorio. Este énfasis en la expresividad no implica, en absoluto, una pérdida en el rigor técnico y constructivo de su ejecución. Técnicamente la lectura de Vlashi me ha parecido deslumbrante en cuanto a matices, control del recorrido y velocidad del glissando, dominio de la transición dinámica -aquí muy matizada, buscando una progresión más sutil e ínfima que brusca y abrupta-, y precisión en la medida con el arco en los pasajes más centelleantes y ágiles, muchos de ellos cristalinamente desarrollados, con una presencia totalmente nítida de cada nota hasta en los pasajes de volumen apenas audible.

A pesar de que el concepto y ejecución de la obra por parte de Vlashi (que la interpretó de forma entregadísima, como su lenguaje corporal manifestaba) son idóneos para facilitar el acceso del público a esta difícil composición, siempre habrá a quien estas piezas le resulten aún desconcertantes, cuando no perturbadoras o molestas. Y lo digo porque al final del concierto, ya en la calle, Paulino Pereiro y yo fuimos testigos de un comentario que nos hizo esbozar una sonrisa a ambos, por parte de una mujer que decía que “el virtuoso ha estado muy bien, pero si la obra del Xenakis ese dura cinco minutos más subo al escenario y le pego con el paraguas”. Obviamente, el público es muy libre de tener sus gustos, pero siempre me ha parecido la crítica más interesante la de aquel/aquella que comprende la obra en profundidad y desde ese conocimiento la comparte o la rechaza, que es una opción totalmente lícita y respetable”.

Actividad 27: Después de escuchar la obra Mikka de Xenakis lee el texto del crítico musical Paco Yánez y comenta tus impresiones respecto a esta pieza. ¿Estás de acuerdo con la “señora del paraguas”?

Fractales Un fractal es una estructura donde si se analiza a distintas escalas se encuentran una y otra vez os mismos elementos. Encontrar fractales, por ejemplo en la naturaleza,

resulta muy fácil. Y es que los fractales tienen menor o mayor presencia en los diferentes entornos y objetos que podemos encontrar en la realidad. El matemático Benoît Mandelbrot en los años sesenta observó fractales en muchas estructuras naturales: nubes, montañas, líneas de costas, conductos pulmonares, vasos sanguíneos, helechos,…

Hoja de Helecho

Fractal diseñado por ordenador

Posiblemente el caso más espectacular es la demostración de que la música clásica contiene formas fractales en su interior. La música clásica de Beethoven es un ejemplo muy representativo. Pero también existe poesía fractal e incluso formas de escritura fractal que ponen de manifiesto la relación que existe entre la realidad y las matemáticas.

Fractales en la música Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en obras clásicas. El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.

Beethoven

(1770 - 1827)

A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.

Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la 16; B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 per铆odos. Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3 y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a' compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4) agrupadas cada una de a 2 (1 y 2). En conjunto pues la obra se divide en 32 --> 16 -> 8 --> 4 --> 2, una sucesi贸n binaria que goza de autosimilitud propia de una estructura fractal.

Música Tecno Pero la unión música-fractal no queda ahí. Actualmente algunos sintetizadores son usados para crear música techno con bases fractales. También hay autores que están experimentando con este tipo de música que promete. Richard F. Voss – físico estadounidense – conjetura que existe una filiación entre la manera en que nuestro sistema sensorial envía la información al sistema nervioso y las dimensiones fractales de manera que la música con estructura fractal es grata al oído humano.

Las estructuras repetitivas de Philip Glass Philip Glass estudió matemáticas y filosofía en la Universidad de Chicago. Uno de sus héroes de juventud fue el señor Einstein (su primera ópera se titularía Einstein on the Beach). Después le daría por la música, y se convirtió en una de las grandes figuras del minimalismo musical. Como es normal, rechaza la etiqueta, aunque para ello se invente otra al decir que lo suyo es trabajar con "estructuras repetitivas". En cierta ocasión dijo en The Wall Street Journal: "Los matemáticos experimentan los mismos tipos de entusiasmos que todos los demás. La belleza de las matemáticas es algo de lo que los matemáticos hablan todo el tiempo, y la elegancia de un teorema matemático es casi tan buena como su prueba. No sólo es cierto, sino que es elegante. Por lo que entramos en cuestiones cuasi estéticas." La influencia de la matemática no solo es visible en la repetición de estructuras musicales, o en su filosofía estética: también la utiliza directamente como material sonoro, como en el caso de sus knee plays, pequeñas piezas musicales que sirven para entretener al personal mientras se realizan los cambios de escenario. En estas piezas se puede escuchar una voz recitando números. Lo curioso es que resulta de lo más sugerente.

John Cage

(1912 - 1992)

John Milton Cage Jr. (Los Ángeles 1912 – Nueva York 1992) fue un compositor, instrumentista, filósofo, poeta, pintor y aficionado a la micología. Fue uno de los pioneros de la música aleatoria y de la música electrónica. Y uno de los compositores estadounidenses más influyentes del Siglo XX. Uno de sus maestros fue el compositor Arnold Schoenberg, durante el periodo comprendido entre los años 1933-35. Pero su principal influencia se encuentra en diferentes culturas orientales. Estudió filosofía india, budismo zen y el clásico texto

chino “I Ching”, este libro se convierte en una herramienta habitual compositiva de Cage. Cage es conocido principalmente por su composición de 4´ 33´´ tres movimientos que se interpretan sin tocar una sola nota.

4′ 33″ 4′33″, pronunciado cuatro, treinta y tres, es la obra más conocida de Cage. Está escrita en tres movimientos y compuesta en 1952. La pieza puede ser interpretada por un instrumento solista o por cualquier conjunto de instrumentos. En la partitura la única palabra escrita es “tacet”, que significa silencio. El material sonoro de la obra son los ruidos que oye el espectador durante ese tiempo. En el transcurso de una clase que dio en la Universidad de Passer, en 1947, Cage mencionó por primera vez la idea de una pieza compuesta exclusivamente de silencio, pero una obra así le pareció incomprensible en Occidente. Sin embargo en 1951, Cage visitó la cámara anecioca de la Universidad de Harvard. El compositor entró en ella esperando escuchar el silencio, pero oyó dos sonidos: uno agudo y otro grave. Un ingeniero le explicó que el agudo era su sistema nervioso y el grave era su sistema circulatorio. Ante la imposibilidad del silencio decidió escribir finalmente la obra. John Cage sobre la premier de 4′33″ escribió: “No entendieron su objetivo. No existe eso llamado silencio. Lo que pensaron que era silencio, porque no sabían como escuchar, estaba lleno de sonidos accidentales. Podías oir el viento golpenado fuera durante el primer movimiento. Durante el segundo, gotas de lluva comenzaron a golpetear sobre el techo, y durante el tercero la propia gente hacía todo tipo de sonidos interesantes a medida que hablaban o salían.”

Actividad 28: Escucha la obra 4′33″ de John Cage. Después anota lo que has sentido y qué has escuchado durante estos cuatro minutos y medio. Al final poned en común los resultados.

ORGAN²/ASLSP Organ²/ASLSP (As SLow aS Possible) es otra pieza musical de Cage escrita para órgano en 1987 y es una adaptación de una obra escrita para piano (las obras para piano suelen tener una duración entre 20 y 70 minutos). La curiosidad de esta pieza es que se ejecuta de una forma muy lenta y por tanto es la de mayor duración jamás escrita. La interpretación actual de esta pieza está llevándose a cabo en la iglesia de San Buchardi en Halberstadt, Alemania, y empezó en 2001. Se estima que finalizará en 2640, por los tanto después de 639 años. La partitura consta de 8 páginas y el “tempo” está ajustado para una duración tan larga. De hecho hay una línea temporal debajo del pentagrama que marca cada año. La obra comenzó con un silencio que duró 17 meses y después se tocó el primer acorde que se prolongó durante 2 años. Las notas, que se mantienen poniendo unos pesos en los pedales del órgano, están sonando constantemente ya que un fuelle eléctrico proporciona un flujo continuo de aire al órgano. http://www.youtube.com/watch?v=30GzB2VHv_w&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=JqETWOiMNwo&feature=related En estas páginas se puede ver y oir la obra en el escenario real.

La iglesia de San-Burchardi en Halberstadt, Alemania

Conclusión

La música y las matemáticas a lo largo de la historia han estado y continúan estando muy cercanas. La música necesita orden y la matemática proporciona instrumentos para producir y analizar ese orden. Números, fracciones, operaciones, potencias, raíces, logaritmos, simetrías, homotecias, progresiones, combinatoria, probabilidad,… toda la construcción armónica es pura matemática. En el cuadro de Holbein a pesar de su orden formal, todos los ojos se dirigen a un elemento que nos produce una ilusión visual. Gracias a la geometría podemos descifrar este objeto.

Además de ilusiones visuales también tenemos ilusiones auditivas. El efecto Shepard es uno de ellos. En el efecto Shepard nos parece estar oyendo una subida continua en la altura sonora, mientras que la realidad es que no nos elevamos en absoluto. El engaño se produce porque cada nota es en realidad un acorde compuesto por la misma nota en distintas octavas. En realidad, no se escuchan notas aisladas, sino acordes compuestos cada uno por seis notas en seis octavas diferentes. Los cambios de volumen y ambigua posición de las notas en las escalas producen el efecto. A pesar de lo bien que funciona nuestro oído, esto consigue engañarlo. http://www.ilustrae.com/ilustrae/2008/07/el-tono-shepard.html En esta página puedes escuchar el efecto Shepard.

Anexo 1:

Propuesta didáctica

TÍTULO CONCIERTO:

MÚSICA O MATEMÁTICA

Curso

Temporalización

Secundaria y Bachillerato

3 sesiones

OBJETIVOS

ÁREA: MÚSICA – MATEMÁTICAS

Diferenciar los distintos temas o motivos que aparecen en una audición. Valorar el silencio y el sonido como fenómenos naturales y como elementos musicales. Utilizar de forma autónoma diversas fuentes de información –medios audiovisuales, internet, textos, partituras y otros recursos gráficos- para el conocimoento y el disfrute de la música. Entonar con buena voz melodías que se realicen de manera individual o colectiva. Imitar o improvisar con instrumentos sencillos, formulas rítmicas y melódicas. Despertar el interés por el conocimiento del folclore y tradiciones del lugar en el que viven, así como valorar las distintas manifestaciones artísticas del patrimonio cultural de otros pueblos. Participar en la organización y realización de actividades musicales desarrolladas en diferentes contextos, con respeto e disposición para superar estereotipos e prejuícios. Experimentar con los códigos y elementos musicales y matemáticos (convencionales y no convencionales) para elaborar sencillas producciones propias e instrumentarlas. Percibir y comprender las posibilidades del sonido, las palabras, el gesto y el movimiento como elementos de representación. Identificar los propios sentimientos, emociones y necesidades, y comunicarlos a los demás así como identificar y respetar el de los otros. Identificar e analizar las características, organización e interacciones de aspectos relevantes del entorno natural, social y cultural. Promover posiciones solidarias e respetuosas con otras culturas a partir de la propia identidad. Utilizar de manera responsable y creativa las TICS y el material relacionado con la experimentación y con el trabajo de campo para aprender a aprender. Realizar operaciones sencillas con números enteros, fracciones, potencias y raíces, y aplicar correctamente la jerarquía de las operaciones. Operar con números en notación científica. Distinguir entre un experimento aleatorio y otro determinista, reconocer un espacio muestral, y un suceso elemental y aplicar las propiedades de las frecuencias relativas de los sucesos elementales. Calcular la probabilidad de un suceso usando la regla de Laplace. Resolver ecuaciones completas de segundo grado usando la fórmula general. Conocer los movimientos y semejanzas de una figura en el plano e identificar movimientos y homotecias presentes tanto en el arte como en el medio natural. Comprender y valorar la relación que hay entre los códigos musical y matemático y como las herramientas proporcionadas por las matemáticas nos permiten conocer mejor y profundizar en determinados aspectos musicales. Conocer también la relación entre estas dos disciplinas y el arte.

CONTENIDOS

La audición y el reconocimiento de las distintas partes de una obra, la melodía. La partitura como elemento de apoyo pera una audición. El musicograma y el pictograma. La expresión vocal y el canto. La imitación. La relación del arte con las matemáticas. El trabajo en grupo y la colaboración. Realización de operaciones con potencias y raíces. Cálculo de la probabilidad de sucesos mediante la regra de Laplace. Análisis crítica de la informacións referidas a contextos de azar. Uso de las herramientas que proporciona el estudio de figuras semejantes para la realización de numerosos estudios dentro de una partitura. Sensibilización y actutud crítica ante el consumo indiscriminado de música y la contaminación sonora. Interacción entre música, matemática y arte. El respeto por el trabajo propio y de los demás compañeros.

MÉTODOS PEDAGÓGICOS

Metodología:

Las actividades están diseñadas y presentadas para realizarse en pequeño grupo, gran grupo y de forma individual. Se pretende que el alumnado sea partícipe tanto de las actividades propuestas por el profesorado como de otras que a ellos mismos se les ocurran, ya sean variantes de las anteriores o totalmente innovadoras. Se buscará una metodología dinámica, activa y participativa en la que de modo constante se pueda observar en el alumnado la evolución en el proceso de enseñanza-aprendizaje, procurando el desarrollo personal y social del alumnado para su integración en un sistema de valores y en un cuerpo de saberes organizados. Plan lector y TIC:

Cada centro podrá adecuar a los planes y proyectos en los que participa las actividades propuestas ya que están relacionadas unas con la lectura y el uso de la biblioteca dentro del plan lector y otras se presentan para el uso de las nuevas tecnologías dentro del plan TIC. Además hay actividades de debate y puesta en común de opiniones que pueden ser integradas dentro del Plan de Convivencia.

COMPETENCIAS

BÁSICAS

Las competencias básicas según el Decreto 130/2007 , del 28 de junio por el que se establece el currículo de la educación primaria en la Comunidad Autónoma de Galicia son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Competencia en comunicación lingüística. (C1) Competencia matemática. (C2) Competencia en el conocimiento y en la interacción con el mundo físico. (C3) Tratamiento de la información y competencia digital. (C4) Competencia social y ciudadana. (C5) Competencia cultural y artística. (C6) Competencia para aprender a aprender. (C7) Autonomía e iniciativa personal. (C8)

En esta unidad didáctica se presentan junto a los criterios de evaluación las competencias básicas ya que parten de los objetivos iniciales y se evalúan dentro de esos mismos criterios. La numeración que hace referencia a cada uno de ellos está representada por C1, C2, C3…

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD RECURSOS

Para este apartado se tendrán en cuenta las características personales, físicas e afectivas que pueden darse dentro da aula. De cualquier forma es imposible recoger toda la variedad de situaciones y necesidades que pudieran aparecer. En general daremos unas indicaciones básicas para que todo el alumnado pueda participar en el mayor número de actividades posibles. El principal objetivo a seguir será que todos los niños y niñas que realicen cualquier actividad participen de una forma activa. Muchas veces con alumnado con diversidad funcional (alumnado que presenta dificultades visuales, auditivas, motoras, intelectuales…) no sabemos como implicarlos en la dinámica del aula. Daremos algunas pautas genéricas. En casos concretos podemos apoyarnos en el departamento de Orientación. Material de clase del alumnado; material audiovisual: reproductor de CD e DVD, discografía, equipos informáticos; material de plástica: ceras o lápices de colores, láminas, tijeras, pegamento…; biblioteca; pizarra digital.

EVALUACIÓN

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Reconocer los temas principales de las obras trabajadas. (C1, C6, C7, C8) Analizar y reconocer los componentes básicos de una pieza musical usando documentos impresos como una partitura, o un comentario de la obra. (C1, C4, C6, C7, C8 ) Determinar la época y la cultura musical a la que pertenecen distintas piezas escuchadas con anterioridad en el aula. (C3, C4, C5, C6, C7) Exponer de forma crítica la opinión personal respecto a distintas piezas musicales. (C1, C5, C6, C7, C8 ) Calcular el resultado de operaciones básicas con números naturales y fracciones, decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada. (C1,C2, C4, C7, C8 ) Identificar con destreza las transformaciones geométricas de figuras planas en el arte así como sencillas transformaciones musicales sobre una partitura. (C1, C2, C4, C6, C7, C8 ) Expresar con instrumentos sencillos, con la voz o gestualmente formulas rítmicas y melódicas propuestas.(C1, C2, C3, C6, C7, C8) Fomentar una actitud respetuosa hacia la escucha de un concierto en vivo y valorar el trabajo de los instrumentistas. (C1, C3, C5, C6, C7, C8) Mostrar respecto y responsabilidad hacia el trabajo personal y el del grupo.(C1, C3, C5, C7, C8) Realizar las tareas y las actividades artísticas propuestas.(C1, C3, C6, C7, C8) INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Registro de datos, test de autoevaluación , controles, observación directa, asistencia a los conciertos con una actitud positiva… AUTO EVALUACIÓN

Revisar cada uno de los objetivos planteados y analizar su grado de consecución. Adecuación de los objetivos al nivel del alumnado. Realización del test de autoevaluación Resultou ben:

Aspectos a mellorar:

Anexo 2: RESPUESTA A LAS ACTIVIDADES

Actividad 1: ¿Recuerdas lo que era un número racional y un número irracional? Número Racional: es todo aquel que se puede expresar a través de una fracción. Número Irracional: es aquel número real que no se puede expresar en forma de fracción. Recuerda que un número no puede ser a la vez racional e irracional. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales: 3,2;

1,01001…; 7; π;

2 ; 1,010101….; 1,02022; 1,020220222…

Números Racionales: 3,2;

1,010101….; 1,02022;

Números Irracionales:1,01001…; π;

2 ; 1,020220222…

Actividad 2: Suponemos un sonido de frecuencia f, por ejemplo DO, y lo subimos cinco quintas. Calcula la frecuencia de la nueva nota afinada trasladándola a la misma octava que la anterior. Subimos por quintas desde el DO DO-SOL-RE-LA-MI-SI La nueva nota será SI. Su frecuencia será:

3 2

1 2

35 2

35 27

243 128

f 1,8984...

Actividad 3: Calcula las frecuencias de La b y Sol# a partir de DO natural y comprueba que son notas distintas.

Frecuencia de SOL# DO-SOL-RE-LA-MI-SI-FA#-DO#-SOL# Subimos 8 quintas y bajamos 4 octavas. 8

3 1 38 38 f f f 2 2 28 2 4 212 Frecuencia de LAb LAb-MIb-SIb-FA-DO Bajamos 4 quintas y subimos 3 octavas. 2 3

2 1

2 4 23 34

27 34

6561 4096

128 81

f 1,6018...

f 1,5802...

Cuadro de afinación de Holder Frecuencia de SOL# De las 53 partes en que Holder divide la octava de DO a SOL# hay que subir 36 partes. 9+9+4+9+5=36 53

1,6013...

Si la frecuencia de DO es f, entonces la frecuencia de SOL# será: f •1,6013… Frecuencia de LAb De las 53 partes en que Holder divide la octava de DO a LAb hay que subir 35 partes. 9+9+4+9+4=35 53

1,5804...

Si la frecuencia de DO es f, entonces la frecuencia de LAb será: f •1,5804… Nota: Observa que con la afinación Pitagórica y el temperamento de Holder las frecuencias de estas notas son casi análogas Frecuencias SOL# LAb

Afinación Pitagórica f •1,6018… f •1,5802…

Temperamento de Holder f •1,6013… f •1,5804…

Actividad 5: En la columna de la afinación temperada de 12 notas (3ª columna) multiplica la 12

2 para obtener la frecuencia de SI. (Comprueba que la frecuencia del DO por afinación de la tabla es correcta). Frecuencia de DO, en la afinación temperada de 12 notas (tabla, columna 3): 261,6256 Para llegar a un SI hay que multiplicar por 12

211

2048

1,8877486...

Frecuencia de SI = 261,6256 • 1,8877= 493,8833 que coincide con la afinación dada por la tabla.

Actividad 6: Puedes identificar el tipo de reflexión del siguiente ejemplo

Simetría vertical de la altura de un acorde: La simetría se realiza respecto de la nota SI

Actividad 7: Comprueba la relación interválica de los rectángulos rojos. 1ª vez: SI

2ª vez: SOL LA

3ª vez: MI

SOL LA

FA#

4ª vez: SOL LA

5ª vez: SI

6ª vez: RE

FA#

SOL

1ª vez: 1/2 tono – 1 tono – 1 tono 2ª vez: 1 tono – 1 tono – 1/2 tono 3ª vez: 1 tono – 1/2tono – 1 tono 4ª vez: 1 tono – 1 tono – 1/2 tono 5ª vez: 1/2 tono – 1 tono – 1 tono 6ª vez: 1 tono – 1 tono – 1/2 tono

Actividad 8: Escucha el contrapunto nº 1 de El Arte de la Fuga.

Actividad 9: Escucha los cuatro primeros contrapuntos de El Arte de la Fuga. Comprueba que los sujetos de las cuatro primeras fugas siguen los ejemplos anteriores.

5-9 Rectus: Entrada de Tenor. 5-9 Inversus: Entrada de Alto.

• •

10-13 Rectus: Entrada de Alto. 10-13 Inversus: Entrada de Tenor.

•

14-18 Rectus: Entrada de Soprano.

•

14-18 Inversus: Entrada de Bajo.

Identifica estas inversiones en las partituras siguientes.

Hay un extenso análisis de estas partituras en el enlace: http://www.teoria.com/articulos/analysis/kdf/XII/esp/index.html Donde además se ven animaciones y se pueden escuchar las melodías de los distintos temas.

Actividad 11: Realizamos la misma operación con el nombre completo del compositor (J S BACH): Suma tú ahora y calcula el resultado.

A B C D E F G H I=J K

U=V W

1 2 3 4

5 6 7 8

J 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

S 18

B 2

A 1

C 3

21 22 23 24

H 8

9+18+2+1+3+8= 41

Actividad 12: Cuenta las notas de la primera frase del coral. Cuenta las notas de todo el coral.

http://icking-music-archive.org/scores/bach/bwv668/Bach-VorDeinenThron.pdf En esta página web puedes ver la pieza de órgano a la que nos referimos. Observa que el coral es los que está escrito en el primer pentagrama de cada sistema. Primera frase: 14 notas. Todo el Coral: 41 notas.

Actividad 13: Suma ahora las letras de la palabra CREDO.

C 3

R 17

E 5

D 4

O 14

3+17+5+4+14 = 43

Actividad 14: Contar las veces que sale la palabra Credo en la primera sección, son sólo 5 páginas. Como hay 5 voces el trabajo se puede repartir. Cada alumno contará los “credo” que hay en cada voz. Además se pueden contar los compases de la primera y segunda parte del Credo.

http://imslp.info/files/imglnks/usimg/9/99/IMSLP01259-Bach_Bmin3.pdf En esta página podéis ver el Credo de la Misa en Si menor. La primera sección son las 5 primeras páginas.

Fíjate que en la parte vocal de La Misa en Si menor de Bach en vez de contar con las cuatro voces que suelen aparecer normalmente, la voz de soprano está doblada y por lo tanto aparecen las 5 voces siguientes: Soprano I, Soprano II, Alto, Tenor, Bajo. Soprano I : 10 veces. Soprano II: 7 veces. Alto: 8 veces. Tenor: 10 veces. Bajo: 8 veces. En total: 10+7+8+10+8= 43 veces se repite la palabra “Credo”

Primera parte del Credo: 45 compases. Segunda parte del Credo: 84 compases. En total: 45+84= 129 compases.

Actividad 15: Escucha el Dúo de la Mesa de Mozart.

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/64/historia_02.pdf Aquí está el palíndromo de Mozart: “Mirror Mozart” o “Dúo de la Mesa”

Actividades 16 – 17 – 18 – 19: Resuelve la ecuación de 2º grado: x2 – x – 1 = 0 a a b Comprueba si se verifica la igualdad para a=1 y b=0,618 b a Mide con una regla el largo y el ancho de tu carné de identidad y calcula la razón de los dos números (el resultado es aproximadamente 1,6) Mide el largo y el ancho de un billete de 5 € y calcula la razón de los dos números.

16. Los coeficientes son: a=1, b=-1. c=-1

4 1 ( 1) 2 1

1 1

1 4 2

5 2

{ 2 1 5 2

1,618 0,618

17. Para los números a=1 y b=0,618 veamos que dan los mismos resultados: a 1 1,618 b 0,618 a b 1 0,618 1,618 1.618 a 1 1 18. Largo del carné de identidad: 8,5cm Ancho del carné de identidad: 5,4cm 8,5 1,57 1,6 5,4 19. Largo del billete de 5€: 11,9cm Ancho del billete de 5€: 6,2cm 11,9 1,9 ; el billete de 5€ se aproxima poco al rectángulo áureo. 6,2

Haré los cálculos con las medidas de las falanges de mi mano izquierda. En cada caso estas medidas serán distintas. Dedo corazón: Primera falange: 5,8cm Segunda falange: 3,5cm Tercera falange: 2,5cm La razón de la primera y segunda falange es

La razón de la segunda y tercera falange es

5,8 3,5

1,65

3,5 1,4 2,5

Dedo índice: Primera falange: 5,6cm Segunda falange: 3,3cm Tercera falange: 2,3cm La razón de la primera y segunda falange es

5,6 3,3

1,69

3,3 1,43 2,3 Todas estas razones son números bastante próximos al número áureo. La razón de la segunda y tercera falange es

Actividad 21: Escucha algunas de las posibles composiciones de El Juego de Dados de Mozart.

http://www.youtube.com/watch?v=569cWshoPgQ&feature=related El director narra como va a ser el concierto. http://www.youtube.com/watch?v=-XeD0FgBXWU&feature=related Se explica el procedimiento y se ve la computadora que generará las partituras del concierto en tiempo real. http://www.youtube.com/watch?v=bKOFWYYvfRo&feature=related Ejecución de los tres valses escogidos por el ordenador. http://www.youtube.com/watch?v=iwFYNmMlYoY&feature=related En las noticias explican el proceso matemático. http://www.youtube.com/watch?v=a1fyhRTKsZ0&feature=related En esta página hay bastantes combinaciones realizadas a piano, propuestas por un ordenador japonés. http://www.sectormatematica.cl/musica/matematica%20en%20la%20musica.pdf Se habla sobre Mozart y su juego de dados.

Actividad 22: ¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los tríos? ¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los valses completos?

Habíamos visto que para calcular el número de tríos que se pueden construir procedemos de la misma forma que con los minuetos, la única diferencia es que en cada columna sólo hay 6 compases para escoger:  Como 1er compás elijo uno de los de la 1ª columna: hay 6 para elegir.  … Por lo tanto: 6x6x…x6 (16 veces) = 616

3 000 000 000 000 = 3 billones de tríos distintos.

Por otro lado estas pequeñas composiciones de 32 compases con repetición tardan en interpretarse unos 60 segundos cada una: 30 segundos cada minueto y 30 segundos cada trío. Vamos a ver cuántas versiones distintas podemos interpretar en un año. ¿Cuántos segundos hay en un año? 1 año = 365 días = 365 días · 24 horas/día · 3600 segundos/hora = 31 536 000 seg ¿Cuántos tríos de 30 segundos cada uno puedo interpretar en un año (tocando día y noche)? Si en 30s se realiza una versión, en 31 536 000s se realizarán x versiones.

31536000 30

1051200 1.000.000

En un año se interpretarían un millón de versiones aproximadamente. ¿Cuántos años necesitaríamos para realizar todos los tríos? Como hay sobre 3 billones de tríos y cada año se puede interpretar 1 millón de versiones, entonces: 1 año x años 1 millón de tríos 3 billones de tríos

3.000.000.000.000 1.000.000

3.000.000 (tres millones de años)

Para interpretar todos los minuetos: se tardaría 46 mil millones de años. Para interpretar todos los tríos: se tardaría 3 millones de años. (46 · 109) · (3 · 106) = 46 · 3 · 109+6 = 138 · 1015 = 138 000 000 000 000 000 = 138 mil billones de años.

Actividad 23:

Si todos los minuetos posibles son interpretados uno cada 30 segundos, por cada uno de los habitantes del planeta, unos 6 mil millones de personas. ¿Cuánto tiempo tardarían en agotarse? ¿Y todos los tríos? ¿Y todos los valses, si estos tardan un minuto en ser interpretados?.

Los minuetos son: 46 mil billones = 46 · 1015 Los tríos son: 3 billones = 3 · 1012 Los valses son: 138 mil cuatrillones = 138 · 1027 En un ano hay 31 536 000 segundos. Si cada 30 segundos se interpreta una pieza Entonces en un año se pueden interpretar aproximadamente 1 000 000 de piezas Si cada habitante del planeta realiza aproximadamente 1 000 000 de piezas al año, entonces los 6 000 000 000 de personas tocarían en un año x piezas: x= 1 000 000 • 6 000 000 000 = 6 000 000 000 000 000 = 6 · 1015 piezas al año. Luego los 46 · 1015 minuetos tardarían en tocarse: (46 · 1015) : (6 · 1015) = 7,7 años Los 3 · 1012 tríos tardarían en tocarse: 3 billones de tríos repartidos entre los 6 mil millones de habitantes tocan a 500 piezas por persona. 500 piezas · 30 segundos = 15 000 segundos. Como una hora tiene 3600 segundos, entonces dividiendo tenemos: 15 000 : 3 600 = 4,16 4 horas 10 minutos. Los 138 mil cuatrillones de valses tardarían en tocarse: Como los valses tienen una duración de 1 minuto entonces tardan el doble de tiempo en tocarse que las otras piezas, por lo tanto en un año cada habitante podrá tocar 500 000 piezas. Con lo cual los 6 mil millones de habitantes del planeta sólo podrían tocar 3 mil billones de piezas al año: 3 · 1015 (138 · 1027) : (3 · 1015) = 46 000 000 000 000 años = 46 billones de años.

Actividad 24: Escribe el número de Köchel de la versión del minueto generada por 16 lanzamientos de dos dados de sumas (8,3,7,12,7,11,5,7,2,9,7,12,4,10, 5,5)

Utilizando un sistema de base 11, con los “dígitos” 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y A. La correspondencia entre la suma de los dados y cada uno de los 16 compases representaría a la suma igual a 2 con “0”, la suma igual a 3 con “1” y finalmente la suma igual a 12 con “A”.

Así la versión que se generaría con 16 lanzamientos de dos dados de sumas (8, 3, 7, 12, 7, 11, 5, 7, 2, 9, 7, 12, 4, 10, 5, 5), sería K 294. 615A5935075A2833.

Actividad 25: Implicamos a los alumnos para que escriban 8 compases rítmicos en 4x4, todos distintos. • ¿Cuántas piezas rítmicas distintas de 8 compases se pueden hacer usando 8 compases distintos (no se pueden repetir)? •

Si cada pieza dura unos 10 segundos y una clase de música dura 50 minutos, ¿cuántas piezas se pueden interpretar en cada clase?

•

¿Cuántas clases necesitaría para interpretarlas todas?

•

Si puedo repetir los compases, ¿cuántas piezas rítmicas distintas de 8 compases puedo hacer?

Por ejemplo construimos estos 8 compases rítmicos, (pueden ser otros cualquiera pero siempre diferentes): I

I I

Nº de piezas distintas de 8 compases: Son las permutaciones de 8 elementos P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40 320 piezas distintas Nº de piezas que se pueden interpretar en una sesión. Suponemos que cada pieza tocada con las palmas dura 10 segundos En una sesión de 50 minutos hay; 50 x 60 = 3 000 segundos Entonces puedo interpretar en una sesión; 3 000 : 10 = 300 piezas. Nº de clases para interpretarlas: Contamos el número de semanas de clases de un curso: sobre 35 semanas. Cada semana suponemos que tiene 3 sesiones: 35 x 3 = 105 sesiones en el curso. Para interpretar las 40 320 piezas distintas a razón de 300 piezas por sesión se necesitan; 40 320 : 300 = 135 clases. Por lo tanto en un curso no se darían interpretado todas.

Nº de piezas rítmicas distintas de 8 compases pero pudiendo repetirlos:

Si puedo repetir los compases, en cada elección tengo los 8 compases para escoger. 88 = 8·8·8·8·8·8·8·8 = 16 777 216, Casi 17 millones de piezas distintas y sólo con los 8 compases anteriores.

Actividad 26: Escucha la obra Mikka de Xenakis.

Actividad 28: Escucha la obra 4′33″ de John Cage. Después anota lo que has sentido y qué has escuchado durante estos cuatro minutos y medio. Al final poned en común los resultados.