On a Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers

Page 1

ON A GOLDEN PAIR OF IDENTITIES IN THE THEORY OF NUMBERS ROBERT PETER SCHNEIDER

We exploit two useful, general lemmas involving a change in the order of certain double summations, to prove an interesting relationship between the golden ratio, the MĂśbius function, the Euler totient function and the natural logarithm—central players in the theory of numbers. Original problems are included, as our purpose in writing this paper is to encourage the reader to gain facility with the lemmas to discover new identities, as much as it is to highlight the principal theorem. Let ℤ+ denote the positive integers. Let đ?œ™ denote the golden ratio đ?œ™=

1+ 5 , 2

a constant that has historically attracted much attention; which obeys the well-known identity [4] đ?œ™ =1+

1 . đ?œ™

Let đ?œ‘ denote the Euler totient function, such that đ?œ‘(đ?‘›) denotes the number of positive integers less than đ?‘› ∈ ℤ+ , that are co-prime to đ?‘› [2, p. 233]. It is a pleasing coincidence of notation that the present theorem involves two different number theoretic quantities, đ?œ™ and đ?œ‘, denoted by the Greek letter phi; hence our use of both stylistic variants of the letter. Let đ?œ‡ denote the MĂśbius function, defined [2, p. 234] as đ?œ‡ đ?‘› =

0 if đ?‘› is non − squarefree, 1 if đ?‘› is squarefree, having an even number of prime factors, −1 if đ?‘› is squarefree, having an odd number of prime factors. vv

Theorem We have the pair of reciprocal identities ∞

đ?œ™=− đ?‘˜=1

1 =− đ?œ™

∞

đ?‘˜=1

đ?œ‘(đ?‘˜) 1 log 1 − đ?‘˜ , đ?‘˜ đ?œ™ đ?œ‡(đ?‘˜) 1 log 1 − đ?‘˜ đ?‘˜ đ?œ™

highlighting a connection between the golden ratio đ?œ™ and the factorization of integers that is not obvious; and displaying a sort of inverse relationship between the MĂśbius function đ?œ‡ and Euler totient function đ?œ‘, with respect to đ?œ™ and the natural logarithm.

To begin our proof of the theorem, we require two general lemmas. Three additional lemmas lead to the desired result. In the following, let â„? and â„‚ denote the real and complex numbers, respectively. Lemma 1 Let đ?‘–, đ?‘—, đ?‘˜, đ?‘›, đ?‘‘ ∈ ℤ+ . Let đ?‘“ and đ?‘” denote functions defined on integer arguments. Let [đ?‘&#x;] denote the greatest integer less than or equal to đ?‘&#x; ∈ â„? . Then we have the identity đ?‘›

đ?‘› đ?‘—

đ?‘›

đ?‘“(đ?‘˜)đ?‘”(đ?‘‘) =

đ?‘“(đ?‘–đ?‘—)đ?‘”(đ?‘—).

đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘— =1 đ?‘–=1

PROOF. Let đ?›żđ?‘˜ (đ?‘—) denote the function đ?›żđ?‘˜ đ?‘— =

1 if đ?‘— | đ?‘˜ 0 if đ?‘— ∤ đ?‘˜

from which it follows that đ?‘›

đ?‘”(đ?‘‘) =

đ?‘”(đ?‘—)đ?›żđ?‘˜ đ?‘—

đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘— =1

where đ?‘› ≼ đ?‘˜. Now, let us consider the double summation đ?‘›

đ?‘›

đ?‘“(đ?‘˜)đ?‘” đ?‘‘ = đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜ đ?‘›

=

đ?‘“ đ?‘˜ đ?‘˜=1

đ?‘›

đ?‘“ đ?‘˜

đ?‘›

đ?‘” đ?‘— đ?›żđ?‘˜ đ?‘—

đ?‘˜=1

đ?‘” đ?‘‘ đ?‘‘|đ?‘˜

=

đ?‘— =1

đ?‘›

đ?‘”(đ?‘—) đ?‘— =1

đ?‘“(đ?‘˜)đ?›żđ?‘˜ đ?‘—

.

đ?‘˜=1

Noting that đ?‘— | đ?‘˜ if and only if đ?‘˜ = đ?‘–đ?‘— for some đ?‘– ∈ ℤ+ , then, the function đ?›żđ?‘˜ đ?‘— is equal to the function Δđ?‘— đ?‘˜ evaluated at đ?‘˜ đ?›żđ?‘˜ đ?‘— = Δđ?‘— đ?‘˜ =

1 if đ?‘˜ = đ?‘–đ?‘— 0 if đ?‘˜ ≠đ?‘–đ?‘—

so that đ?‘›

đ?‘“(đ?‘˜)đ?›żđ?‘˜ đ?‘— = đ?‘˜=1

where 1 ≤ � ≤

đ?‘› đ?‘—

, as there are

đ?‘› đ?‘—

đ?‘›

đ?‘“(đ?‘˜)Δđ?‘— đ?‘˜ = đ?‘˜=1

đ?‘› đ?‘—

đ?‘“(đ?‘–đ?‘—) , đ?‘–=1

multiples of đ?‘— less than or equal to đ?‘›.

Then đ?‘›

đ?‘“(đ?‘˜)đ?‘” đ?‘‘ đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜ đ?‘›

đ?‘›

=

đ?‘” đ?‘— đ?‘— =1

đ?‘›

đ?‘“ đ?‘˜ đ?›żđ?‘˜ đ?‘— đ?‘˜=1

=

đ?‘” đ?‘— đ?‘— =1

đ?‘”(đ?‘—) đ?‘— =1

=

đ?‘› đ?‘—

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘“(đ?‘–đ?‘—) đ?‘–=1

đ?‘“ đ?‘˜ Δđ?‘— đ?‘˜ đ?‘˜=1

đ?‘› đ?‘—

=

đ?‘”(đ?‘—)đ?‘“(đ?‘–đ?‘—) , đ?‘— =1 đ?‘–=1

which proves the lemma. In the attached diagram we illustrate the proof for the case đ?‘› = 10, noting that the argument does not depend on the value of đ?‘›. We have an đ?‘› Ă— đ?‘› array with entries of the form đ?‘“(đ?‘–)đ?‘”(đ?‘—). Across row đ?‘– we take a sum over the divisors of đ?‘–, notated more concisely on the right-hand side of the diagram; and along column đ?‘— we take a sum over the multiples of đ?‘— less than or equal to đ?‘›, notated at the bottom. The sum of all the columns is seen to be equal to the sum of all the rows.

Lemma 2 Using the notations introduced in Lemma 1, the following identity holds ∞

∞

∞

đ?‘“(đ?‘˜)đ?‘”(đ?‘‘) = đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘“(đ?‘–đ?‘—)đ?‘”(đ?‘—) đ?‘— =1 đ?‘–=1

assuming đ?‘“ and đ?‘” are chosen such that both sides converge. PROOF. Letting đ?‘› approach infinity in Lemma 1, then the number

đ?‘› đ?‘—

of multiples of đ?‘— less than or

equal to đ?‘› also approaches infinity on the right-hand side, yielding Lemma 2. A number of well-known results in the theory of numbers, as well as results that are infrequently encountered or possibly new, may be obtained from these two lemmas, depending on the choices of functions đ?‘“ and đ?‘”. We encourage the reader to experiment with substituting various functions into Lemmas 1 and 2, using a sourcebook of known summation identities such as [3] for inspiration, to seek new theorems. We note below an interesting identity we have found, as an example of formal techniques that may be useful in applying Lemmas 1 and 2. Example Let đ?‘&#x;8 đ?‘› denote the number of representations of đ?‘› as the sum of eight squares of integers −đ?‘ [5], counting changes in order and sign of the non-zero integer arguments. Let đ?œ đ?‘ = ∞ đ?‘˜=1 đ?‘˜ denote the Riemann zeta function [2, p. 245] with đ?‘ ∈ â„‚, which converges for đ?‘…đ?‘’ đ?‘ > 1. Then we have ∞

đ?‘˜=1

đ?‘&#x;8 đ?‘˜ = 16 đ?œ đ?‘ đ?œ đ?‘ − 3 đ?‘˜đ?‘

1−

1 2đ?‘ −1

+

1 22đ?‘ −4

,

đ?‘…đ?‘’ đ?‘ > 4.

PROOF. We have the identity of Jacobi [5] đ?‘&#x;8 đ?‘› = 16

−1

đ?‘›+đ?‘‘ 3

đ?‘‘ .

đ?‘‘|đ?‘›

Then, letting đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜ −đ?‘ , đ?‘” đ?‘‘ = 16 ∙ −1 ∞

đ?‘˜=1

đ?‘&#x;8 đ?‘˜ đ?‘˜đ?‘

∞

= đ?‘˜=1

1 16 đ?‘˜đ?‘

đ?‘˜+đ?‘‘ 3

đ?‘‘ in Lemma 2, we have ∞

−1

đ?‘˜+đ?‘‘ 3

đ?‘‘

= 16

đ?‘‘|đ?‘˜ ∞

đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜ ∞

= 16

−1

đ?‘— =1 đ?‘–=1 ∞

= 16 đ?‘— =1

−1 đ?‘— đ?‘— 3 đ?‘—đ?‘

đ?‘–đ?‘—

đ?‘—

đ?‘—3

−1 đ?‘–đ?‘

đ?‘–đ?‘—

−1 (đ?‘–đ?‘—)đ?‘ ∞

đ?‘–=1

−1

đ?‘˜

−1 đ?‘‘ đ?‘‘3 đ?‘˜đ?‘

∞

= 16 đ?‘— =1 ∞

= 16 đ?‘— is even

∞

đ?‘— đ?‘ −3

đ?‘— is even

∞

= 16 đ?‘— is even

đ?‘–=1

1

= 16

= 16

∞

(−1)đ?‘— đ?‘— đ?‘ −3

∞

đ?‘— đ?‘ −3

đ?‘–=1

đ?‘–=1

+ đ?‘— is odd

+ đ?‘— is odd

đ?‘— is odd

đ?œ đ?‘ −3 ∙đ?œ đ?‘ + 1− đ?‘ −3

1 2đ?‘ −3

đ?‘–=1

∞

đ?‘–=1

1

+

∞

(−1)đ?‘— đ?‘— đ?‘ −3

−1 đ?‘— đ?‘ −3

∞

1 đ?‘–đ?‘

1

2

∞

∞

1 đ?‘–đ?‘

đ?‘–đ?‘—

−1 đ?‘–đ?‘

đ?‘–=1

(−1)đ?‘–đ?‘— đ?‘–đ?‘

∞

1

∞

−1 đ?‘— đ?‘— đ?‘ −3

đ?‘— đ?‘ −3

(−1)đ?‘–đ?‘— đ?‘–đ?‘

−1 đ?‘–đ?‘

∞

đ?‘–=1

đ?œ đ?‘ −3 ∙ 1−

đ?‘–

−1 đ?‘–+1 đ?‘–đ?‘ 1 2đ?‘ −1

đ?œ đ?‘

by well-known identities [2, p. 247] for the zeta function with terms of alternating sign, and terms of odd or even parity. Simplifying this final expression yields the desired identity; and noting that đ?œ đ?‘ − 3 is only convergent for đ?‘…đ?‘’ đ?‘ − 3 > 1, proves the domain with respect to đ?‘ . See the Problems section of the present work for additional such identities, with details left to the reader. Returning to the proof of the principal theorem, we will require the following, less general lemmas. Lemma 3 We have the identity relating the functions đ?‘“ and đ?œ‘ đ?‘›

đ?‘›

đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜=1

đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘“ đ?‘˜ đ?œ‘ đ?‘‘ . đ?‘˜

PROOF. This expression follows from the well-known identity [2, p. 234] đ?œ‘(đ?‘‘) = đ?‘˜. đ?‘‘|đ?‘˜

Then we have đ?‘›

đ?‘›

đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜=1

đ?‘“ đ?‘˜ đ?‘˜=1

1 đ?‘˜

đ?‘›

đ?œ‘ đ?‘‘ đ?‘‘|đ?‘˜

= đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘“ đ?‘˜ đ?œ‘ đ?‘‘ . đ?‘˜

Lemma 4 We have the identity relating the functions đ?‘“ and đ?œ‡ đ?‘›

đ?‘“ 1 =

đ?‘“ đ?‘˜ đ?œ‡ đ?‘‘ . đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

PROOF. This expression follows from the well-known identity [2, p. 235] đ?œ‡ đ?‘‘ = đ?‘‘|đ?‘˜

1 if đ?‘˜ = 1 0 if đ?‘˜ > 1.

Then we have đ?‘›

đ?‘›

đ?‘“ đ?‘˜ đ?œ‡ đ?‘‘ = đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘›

đ?‘“ đ?‘˜

đ?œ‡ đ?‘‘

đ?‘˜=1

=đ?‘“ 1 +

đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘“ đ?‘˜ đ?‘˜=2

đ?œ‡ đ?‘‘

= đ?‘“ 1 + 0.

đ?‘‘|đ?‘˜

Lemma 5 We have the pair of identities ∞

− đ?‘˜=1

đ?œ‘(đ?‘˜) đ?‘Ľ log(1 − đ?‘Ľ đ?‘˜ ) = , đ?‘˜ 1−đ?‘Ľ

∞

− đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ log(1 − đ?‘Ľ đ?‘˜ ) = đ?‘Ľ đ?‘˜

with đ?‘Ľ ∈ â„?, 0 ≤ đ?‘Ľ < 1. PROOF. To prove the first identity of this lemma, let đ?‘“ đ?‘˜ = by Lemma 2; then, noting the identities −

đ?‘Ś log 1−đ?‘Ą 0 đ?‘Ą

đ?‘Śđ?‘˜

∞ đ?‘˜=1 đ?‘˜

đ?‘Ľđ?‘˜ đ?‘˜

in Lemma 3, letting đ?‘› tend to infinity

= − log 1 − đ?‘Ś [3, p. 20, No. 100] and

đ?‘‘đ?‘Ą [3, p. 184, No. 997], with 0 < đ?‘Ś < 1 and đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ą ∈ â„?, we find ∞

− đ?‘˜=1

đ?œ‘(đ?‘˜) đ?‘˜2

đ?‘Ľđ?‘˜

0

log 1 − đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = − log 1 − đ?‘Ľ , đ?‘Ą

0 ≤ � < 1,

as we have, from Lemmas 2 and 3 and the above identities from [3], ∞

− log 1 − đ?‘Ľ = đ?‘˜=1

đ?‘Ľđ?‘˜ = đ?‘˜

∞

đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘Ľđ?‘˜ đ?œ‘ đ?‘‘ = đ?‘˜2

∞

∞

đ?‘— =1 đ?‘–=1

đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— đ?œ‘ đ?‘— đ?‘–đ?‘— 2

đ?‘–

∞ đ?‘Ś đ?‘–=1 đ?‘– 2

=

∞

đ?œ‘(đ?‘—) đ?‘—2

= đ?‘— =1

∞

đ?‘–=1

(đ?‘Ľ đ?‘— )đ?‘– đ?‘–2

∞

= đ?‘— =1

đ?‘Ľđ?‘—

đ?œ‘(đ?‘—) − đ?‘—2

log 1 − đ?‘Ą đ?‘Ą

0

.

Differentiating both sides of this identity with respect to đ?‘Ľ, we obtain 1 = 1−đ?‘Ľ

∞

đ?‘˜=1

đ?œ‘ đ?‘˜ đ?‘˜

−

log 1 − đ?‘Ľ đ?‘˜ đ?‘Ľ

.

Finally, multiplying both sides by đ?‘Ľ yields the first identity. đ?‘Ľđ?‘˜

To prove the second identity, let đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜ 2 in Lemma 4, letting đ?‘› tend to infinity; then, again noting the identity

đ?‘–

∞ đ?‘Ś đ?‘–=1 đ?‘– 2

=−

đ?‘Ś log 1−đ?‘Ą 0 đ?‘Ą ∞

− đ?‘˜=1

đ?‘‘đ?‘Ą, we find by similar reasoning

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜2

đ?‘Ľđ?‘˜

0

as

log 1 − đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘Ľ, đ?‘Ą

∞

đ?‘“ 1

= đ?‘Ľ = đ?‘˜=1 đ?‘‘|đ?‘˜

∞

= đ?‘— =1

đ?œ‡(đ?‘—) đ?‘—2

∞

đ?‘–=1

(đ?‘Ľ đ?‘— )đ?‘– đ?‘–2

đ?‘Ľđ?‘˜ đ?œ‡ đ?‘‘ = đ?‘˜2 ∞

= đ?‘— =1

0 ≤ � < 1,

∞

∞

đ?‘— =1 đ?‘–=1

đ?œ‡(đ?‘—) − đ?‘—2

đ?‘Ľđ?‘—

0

đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— đ?œ‡ đ?‘— đ?‘–đ?‘— 2

log 1 − đ?‘Ą đ?‘Ą

.

Differentiating with respect to đ?‘Ľ, we obtain ∞

1= đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜

−

log 1 − đ?‘Ľ đ?‘˜ đ?‘Ľ

.

Multiplying both sides by đ?‘Ľ yields the second identity. Proof of the theorem Noting that đ?œ™ −1 < 1, we may make the substitution đ?‘Ľ = đ?œ™ −1 in the two identities from Lemma 5. Using the identity đ?œ™ −1 = đ?œ™ − 1 to simplify algebraically on the right-hand side of the first expression đ?œ™ −1 1 1 = = =đ?œ™ 1 − đ?œ™ −1 đ?œ™ − 1 đ?œ™ −1 completes the proof.

Problems Use the theorem and lemmas to prove the following identities. In these exercises, let đ?‘–, đ?‘—, đ?‘˜, đ?‘š, đ?‘›, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘‘ ∈ ℤ+ ; đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?›ź, đ?œƒ ∈ â„?; đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ?‘ ∈ â„‚. 1. Prove the following identity from the theorem and properties of the golden ratio đ?œ™ ∞

đ?‘˜=1

đ?œ‡ đ?‘˜ − đ?œ‘(đ?‘˜) 1 log 1 − đ?‘˜ = 1. đ?‘˜ đ?œ™

2. Prove that the following identities result from letting đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜ đ?‘Ž , đ?‘” đ?‘‘ = đ?œ‡ đ?‘‘ in Lemma 1 for 0 ≤ đ?‘Ž ≤ 4 đ?‘›

đ?‘› = 1 đ?‘˜

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜=1 đ?‘›

đ?‘› đ?‘˜

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜=1 đ?‘›

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜2 2 đ?‘˜=1 đ?‘›

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜3 đ?‘˜=1 đ?‘›

đ?‘› đ?‘˜

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜4 6 đ?‘˜=1

5

đ?‘› đ?‘˜

đ?‘› đ?‘˜ 4

3

2

+3

+2

+ 15

+

đ?‘› đ?‘˜

4

đ?‘› đ?‘˜

đ?‘› đ?‘˜ đ?‘› đ?‘˜ 3

2

= 2 đ?‘› đ?‘˜

+

+

+ 10

đ?‘› đ?‘˜ đ?‘› đ?‘˜

= 6

2

3

+

= 4 đ?‘› đ?‘˜

= 30.

Find additional identities by letting đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘˜ đ?‘Ž for đ?‘Ž > 4. 1

3. Let đ?‘“ đ?‘˜ = đ?œ‹(đ?‘Ľ đ?‘˜ )đ?‘˜ −đ?‘ , đ?‘” đ?‘‘ = đ?œ‡ đ?‘‘ in Lemma 2, where đ?œ‹ đ?‘Ś denotes the number of primes less than or equal to đ?‘Ś > 0; then, allowing the notation đ??˝đ?‘ đ?‘Ś = ∞

đ?œ‹ đ?‘Ľ = đ?‘˜=1

1

∞ −đ?‘ đ?‘–=1 đ?œ‹(đ?‘Ś đ?‘– )đ?‘– ,

prove that

1 đ?œ‡ đ?‘˜ đ??˝đ?‘ đ?‘Ľ đ?‘˜ , đ?‘ đ?‘˜

which yields the well-known identity of Riemann đ?œ‹ đ?‘Ľ =

∞ đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜=1 đ?‘˜

1

đ??˝1 đ?‘Ľ đ?‘˜

[1, p. 34] for đ?‘ = 1.

Let đ?‘•(đ?‘Ľ, đ?‘˜) denote a decreasing function of đ?‘˜ for any fixed đ?‘Ľ > 0. Find other identities for đ?œ‹ đ?‘Ľ by 1

replacing đ?‘Ľ đ?‘˜ with đ?‘• đ?‘Ľ, đ?‘˜ in the above.

4. Let đ?‘“ đ?‘˜ = đ?‘Ľ đ?‘˜ sin đ?‘˜đ?œƒ , đ?‘” đ?‘‘ = đ?œ‡ đ?‘‘ in Lemma 2; then, noting the identity đ?‘Ś sin đ?›ź 1−2đ?‘Ś cos đ?›ź +đ?‘Ś 2

∞ đ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ś

sin(��) =

[3, p. 134, No. 715], prove that ∞

đ?œ‡ đ?‘˜ đ?‘˜=1

đ?‘Ľ đ?‘˜ sin(đ?‘˜đ?œƒ) = đ?‘Ľ sin đ?œƒ , 1 − 2đ?‘Ľ đ?‘˜ cos(đ?‘˜đ?œƒ) + đ?‘Ľ 2đ?‘˜

đ?‘Ľ < 1.

5. Noting the identity đ?‘‘đ?‘ = đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘‘|đ?‘˜

đ?‘˜ đ?‘‘

đ?‘

,

prove that 1 lim đ?‘›â†’∞ đ?‘› where đ?œ đ?‘Ľ đ?‘ =

đ?‘›

đ?œ đ?‘› (đ?‘ ) = đ?œ đ?‘ + 1 , đ?‘˜

đ?‘˜=1

đ?‘˜ −đ?‘ with đ?‘…đ?‘’ đ?‘ > 1.

đ?‘˜â‰¤đ?‘Ľ

6. Using the notations introduced in Problem 3, prove that ∞

đ?œ‹ đ?‘Ľ

1 đ?‘˜

∞

=

đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

and, more generally,

∞

đ??˝đ?‘ đ?‘Ľ = đ?‘˜=1

1 đ?œ‘ đ?‘˜ đ??˝đ?‘ +1 đ?‘Ľ đ?‘˜ . đ?‘ +1 đ?‘˜

7. Let đ?‘“ denote an arbitrary function such that ∞ đ?‘— =1

respect to đ?‘—. Noting that

đ?‘“ đ?‘?đ?‘—

đ?‘‘|đ?‘—

đ?œ‡ đ?‘‘

1 đ?œ‘ đ?‘˜ đ??˝1 đ?‘Ľ đ?‘˜ , đ?‘˜

∞ đ?‘— =1 đ?‘“(đ?‘?đ?‘—)

converges when đ?‘? is constant with

= đ?‘“ đ?‘? from Lemma 4, prove by recursion the

2đ?‘š-tuple summation ∞

∞

∞

đ?‘“ 1 =

∞

‌ đ?‘˜ 1 =1 đ?‘˜ 2 =1 đ?‘˜ 3 =1

đ?œ‡ đ?‘˜1 đ?œ‡ đ?‘˜3 đ?œ‡ đ?‘˜5 ‌ đ?œ‡ đ?‘˜2đ?‘š −1 đ?‘“ đ?‘˜1 đ?‘˜2 đ?‘˜3 ‌ đ?‘˜2đ?‘š . đ?‘˜ 2đ?‘š =1

Acknowledgements The author is indebted to his mentor, Professor David Leep at the University of Kentucky, for his guidance at every stage of the preparation of this report; and to Cyrus Hettle, Richard Ehrenborg, Colm Mulcahy, Andrew Granville, Neil Calkin, Kevin James and Russell Brown for their helpful suggestions. References 1. Edwards, H. M. Riemann’s Zeta Function. New York: Dover Publications, Inc., 2001. 2. Hardy, G. H., and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. New York: Oxford University Press, USA, 1980. 3. Jolley, L. B. W. Summation of Series. New York: Dover Publications, Inc., 1961. 4. Weisstein, Eric W. "Golden Ratio." MathWorld - A Wolfram Web Resource. February 1, 2010 <http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html>. 5. Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function." MathWorld - A Wolfram Web Resource. June 30, 2009 <http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html>.

Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.