UNIDAD 9: “UTILICEMOS TRIGONOMETRÍA”
r T o l u Círc
i r t é m i g ono
o i r a t i co un
René Cortez Arévalo
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Un cĂrculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y con radio igual a 1 se llama un cĂrculo unitario.
ď‚„ Si
el punto P(x,y) pertenece al cĂrculo unitario, y el segmento OP es un radio, entonces OP intercepta un arco dirigido q va desde el eje de x hasta P (arco S).
El arco interceptado, arco S, tiene la misma medida que el ángulo central ϴ.
En el círculo unitario definimos sin(s) = sin(ϴ) como la distancia, y, vertical desde P hasta el eje de x. Similarmente, definimos cos(s)=cos(ϴ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P.
Arco s
Si
el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1. En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto.
Radio = 3
Vimos anteriormente que en un triángulo recto:
opuesto sin(θ ) = hipotenusa adyacente cos(θ ) = hipotenusa Utilizando el triángulo recto imaginario podemos traducir estas razones a:
y sin(θ ) = r x cos(θ ) = r
Similarmente podemos usar el triángulo recto imaginario que se forma dentro del círculo para determinar las otras 4 razones trigonométricas:
op y tan(θ ) = = ady x ady x cot(θ ) = = op y hip r sec(θ ) = = ady x hip r csc(θ ) = = op y
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos. y 2 sin(θ ) = = r 2 x 2 cos(θ ) = = r 2
y tan(θ ) = = x
2 =1 2
(
P 2, 2
)
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos. r 2 2 2 csc(θ ) = = = = 2 y 2 2 r 2 2 2 sec(θ ) = = = = 2 x 2 2 x cot(θ ) = = y
2 =1 2
(
P 2, 2
)
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra. Sabemos que: •el radio es 1 3 4 3 P , •x= 5 5 5 4 •y= y 5
•Por lo tanto,
4 3 sin(θ ) = cos(θ ) = 5 5 y 4 tan(θ ) = = x 3
θ
x
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra. Las relaciones recíprocas son:
5 csc(θ ) = 4
5 sec(θ ) = 3
x 3 cot(θ ) = = y 4
3 4 P , 5 5 y θ
x
PRÁCTICA
Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos. 5 12 P 13 , 13
P(15, 8)
Radio = 1
Radio = 17
Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos. 5 12 P 13 , 13
5 cos( θ ) = 13 12 sin ( θ ) = 13 12 tan ( θ ) = 5 13 sec( θ ) = 5 13 csc( θ ) = 12 5 cot ( θ ) = 12
SOLUCIONES Radio = 1
15 17 8 sin ( θ ) = 17 P(15, 8) 8 tan ( θ ) = 15 17 sec( θ ) = 15 17 csc( θ ) = 8 15 cot ( θ ) = 8 cos( θ ) =
Radio = 17
Gráfica de Funciones Trigonométricas
Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que podemos extender las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en el círculo. Recuerde:
También hemos enfatizado el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo formando ángulos. Recuerde que aunque aquí se muestran algunos ángulos más conocidos podemos hallar el seno o el coseno a ángulos con cualquier medida.
Hallar la razón trigonométrica indicada.
1. sin( 158π ) = − sin π ≈ −0.3827 8
2. cos(30π ) = cos( 0) = 1 4π π 3. tan(-240 ) = tan − = − tan = − 3 3 3 o
4. sin (5) ≈ - 0.9589 Nota que el 5 representa 5 radianes. Un ángulo que mide 5 radianes está en 4to cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS definir las funciones trigonométricas se define como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en radianes. De esta forma el Dominio los números reales. El Rango de las funciones f(ϴ) = sen(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ) es [-1,1]. Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones trigonométricas f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ). Dominio de una función trigonométrica es el conjunto de los Reales. Para
GRÁFICAS DE F(X)=SIN(X) Y G(X) = COS(X)
Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones de seno y coseno armando una tabla de valores.
GRﾃ：ICA DE F(X)=SIN(X) Localizemos estos puntos en un plano trigonomﾃｩtrico.
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
GRﾃ：ICA DE F(X)=SIN(X) Localizemos estos puntos en un plano trigonomﾃｩtrico.
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
GRﾃ：ICA DE G(X)=COS(X) Localizemos estos puntos en un plano trigonomﾃｩtrico.
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
GRﾃ：ICA DE G(X)=COS(X) Localizemos estos puntos en un plano trigonomﾃｩtrico.
Unamos los puntos con una curva suave y continua.
GRﾃ：ICAS DE F(X)=SIN(X) Y G(X)=COS(X) Observemos las grﾃ｡ficas en un mismo plano trigonomﾃｩtrico.
GRﾃ：ICAS DE F(X)=SIN(X)
GRﾃ：ICAS DE F(X)=COS(X)
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) 1. 2.
3.
En las gráficas anteriores se puede observar el gran parecido que existe entre ambas. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la gráfica de f(x)=sin(x). Podemos describir este parecido diciendo que f(x)= sin(x) = cos(x-[π/2]).
Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º mide π/2 (en números reales o radianes).
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) En las gráficas anteriores también se puede observar que los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente para múltiplos de 2π. 5. Este comportamiento se puede describir f(x) = sin(x) = sin(x + 2nπ ) donde n pertenece a los enteros (n ∈ Ζ). 6. También podemos decir que g(x) = cos(x) = cos(x + 2nπ ) donde n ∈ Ζ. 4.
CREANDO NUEVAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS •
Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.
•
F(x)=2 sin(x)
•
F(x) = sin(2x)
•
F(x) = 2 sin(x +1)
•
F(x) = 2 sin(x) + 1
GRﾃ：ICA DE F(X) = 2 SEN(X)
GRﾃ：ICA DE F(X) = SIN(2X)
CREANDO NUEVAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: TRANSFORMACIONES
•
Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.
•
F(x)=2 cos(x)
•
F(x) = cos(2x)
•
F(x) = 2 cos(x +1)
•
F(x) = 2 cos(x) + 1
GRﾃ：ICA DE F(X)=2COS(X)
GRﾃ：ICA DE F(X)=COS(2X)
GRÁFICA DE H(X)=TAN(X) Vamos
a construir una tabla con algunos valores de tangente para varios ángulos. Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está definido para algunos ángulos. ¿Por qué?
Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es posible definir la función tangente de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, la función tangente no está definida (¿por qué?).
-3π
-10
-8
-2π
-6
-4
-π
-2
0
2
π
4
6
2π
8
3π
10 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 -0.200 -0.400 -0.600
tan(x)
-0.800 -1.000
Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).