Ricky Conde. SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS DEL TEMA 3 Movimientos verticales: 1.
Razona sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) En una caída libre el vector velocidad y el vector aceleración tienen sentido contrario. b) En un lanzamiento vertical el vector velocidad y el vector aceleración tienen siempre la misma dirección. Solución a)
Falso. El vector aceleración de la gravedad siempre es vertical y hacia abajo y como el objeto está bajando, la velocidad también es vertical y hacia abajo. Verdadero. Como su nombre indica, el movimiento es vertical. Si la velocidad y aceleración tuviesen direcciones distintas, la velocidad cambiaría de dirección y ya no sería vertical.
b)
2.
Un astronauta con su nave espacial en reposo sobre la superficie de un planeta deja caer una piedra desde una altura de 3,5 m. La piedra choca con el suelo 0,83 s después. Determina el módulo de la aceleración de la gravedad debida a dicho planeta. ¿Cuánto tiempo tardaría en caer la piedra en la Tierra?. Solución Se aplica la ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, sin velocidad inicial, y se despeja la aceleración:
y
1 2 gt 2
De aquí:
g
2 y 2 3,5 10,16 m / s 2 2 2 t 0,83
Para obtener lo que tardaría en caer en la Tierra, utilizamos la misma expresión, pero con la aceleración de la gravedad de la Tierra:
y 3.
1 2 gt 2
Despejando el tiempo:
t
2y g
2 3,5 0,845 s 9,8
Se arroja una piedra verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Hallar al cabo del primero, tercero y séptimo segundo: a) el desplazamiento; b) la velocidad. Utilizar estos datos para construir una gráfica de v frente a t y determinar en ella (gráficamente), cuándo tendrá la piedra una velocidad de 20 m/s; d) cuál será la aceleración en el instante en que la piedra ha alcanzado su posición más elevada y justamente comienza a invertir su movimiento; e) ¿cuánto tiempo tardará la piedra en caer de nuevo al nivel de lanzamiento?. Solución a)
Para obtener el desplazamiento se calculan las posiciones inicial y final y se obtiene la diferencia: En el primer segundo, de la ecuación de movimiento: y = v0t + ½ at2= 10t – 4,9t2, se obtiene: y1 = y(t = 1) – y (t = 0) = y (t = 1) = 5,1 m En el tercer segundo: y3 = y(t = 3) – y (t = 2) = -14,5 m En el séptimo: y7 = y(t = 7) – y (t = 6) = -53,7 m
b) Se aplica la ecuación de la velocidad del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: v = v0 + at V1 = 10 – 9,8 = 0,2 m/s v3 = -19,4 m/s v7 = -68,6 m/s c)
La gráfica de v frente a t: v(m/s) 10
1,02
t(s)
d) La aceleración es la de la gravedad, -9,8 m/s2, la misma que tiene en todo el trayecto. 1
Ricky Conde. e)
En el instante en que llega al suelo la posición es y = 0, por lo que sustituyendo en la ecuación de movimiento se obtendrá el instante en que llega al suelo desde que salió: y = 0 = 10t – 4,9t2
4.
De aquí:
t = 10/4,9 = 2,04 s.
Desde una ventana situada a 15 m del suelo se lanza hacia el piso de arriba un manojo de llaves. El manojo no llega a su destino y termina cayendo al suelo después de 4 s. Determina la velocidad con la que se lanzó el manojo y la altura máxima (medida desde el suelo) que alcanzan las llaves. y
v0 15 m 0 Solución
1 1 y y0 v0t at 2 15 v0t 9,8t 2 2 2 1 Sustituyendo los datos en el instante en que llega al suelo: 0 15 v0 4 9,8 42 2 a) A partir de la ecuación del movimiento:
De donde: v0 = 2,3 m/s b) La altura máxima es aquella para la que la velocidad es cero. De la ecuación de la velocidad:
v v0 at 2,3 9,8t 0 De donde: t = 0,235 s. Calculamos ahora la altura en este instante: 1 y 15 2,3 0,235 9,8 0,2352 15,27 m 2 Principio de independencia: 5.
Un muchacho está parado en un vagón plano de un tren que se mueve a una velocidad de 8,2 m/s respecto al suelo. El muchacho tira una piedra verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 12,5 m/s. a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la piedra para una mujer que está parada en el suelo fuera del tren?. b) Si el muchacho coge la piedra cuando vuelve a la misma elevación desde que la lanzó. ¿ Cuál es el alcance horizontal de la piedra de acuerdo al muchacho? ¿Y de acuerdo a la mujer?. c) ¿Cuánto tiempo estuvo la piedra en el aire de acuerdo a ambos observadores?. V0 vv Solución a)
La velocidad tiene dos componentes: la del vagón y la de lanzamiento, que son perpendiculares, por lo que su valor sera:
v 8,22 12,52 14,95 m / s b)
Para el muchacho el alcance es cero, ya que la piedra se mueve verticalmente y vuelve a caer en su mano. Para la mujer, por el contrario, la piedra se ha desplazado horizontalmente, debido al movimiento del vagón. Se obtiene, en primer lugar, el tiempo que tarda la piedra en volver al suelo, a partir de la ecuación de un movimiento vertical: y y0 v0t
1 2 at 12,5t 4,9t 2 0 2
De aquí, t = 2,55 s
Ahora se obtiene el desplazamiento horizontal que observa en este tiempo la mujer, que tiene lugar con la velocidad del vagón: x = 8,22,55 = 20,92 m. c)
Ya se ha deducido en el apartado anterior, es 2,55 s.
2
Ricky Conde. 6.
Una nadadora quiere cruzar un río de 100 m de anchura en dirección perpendicular a la corriente, pero va a parar 20 m aguas abajo. Hallar la velocidad de la corriente, si la de la nadadora es de 2 m/s. Solución 20 m
100 m
Del movimiento de la nadadora perpendicular a la corriente se obtiene el tiempo que tarda en llegar a la otra orilla: Como es rectilíneo y uniforme: 100 = 2t De aquí: t = 50 s Para obtener la velocidad de la corriente se parte de que el desplazamiento en su dirección ha sido de 20 m en 50 segundos, por lo que: v = 20/50 = 0,4 m/s 7.
Se cruzan dos trenes en sentido contrario con velocidades respectivas de 80 km/h y 45 km/h. Un viajero del primero observa que el segundo tren tarda 6 s en pasar por delante de él. Calcular: a) la velocidad relativa del segundo tren respecto al primero y b) la longitud del segundo tren. Solución a) b)
La velocidad relativa es la diferencia de velocidades, pero como son de sentidos contrarios, el valor se obtiene sumando las que nos dan: 125 km/h = 34,72 m/s A partir de la velocidad relativa, como el tiempo que tarda en pasar el tren es 6 s, su longitud, que equivale a la distancia recorrida será: L = vt = 34,726 = 208,3 m.
Lanzamientos horizontales: 8.
Dos aviones se dirigen a una misión que consiste en enviar ayuda humanitaria a un grupo de refugiados. Los pilotos de ambos aviones mantienen una discusión; el primer piloto dice que los paquetes que contienen la ayuda deben lanzarse justo cuando se encuentren sobre la vertical del grupo de refugiados ya que la ayuda cae en caída libre. El segundo piloto dice que la ayuda debe lanzarse varios cientos de metros antes, ya que los paquetes salen con la misma velocidad que lleva el avión. ¿Qué piloto tiene razón?. Razona tu respuesta. Solución El segundo, ya que los paquetes llevan la misma velocidad horizontal que el avión y describirán, por tanto, un lanzamiento horizontal, yendo a caer a cierta distancia horizontal del punto en que se dejan en libertad.
9.
Se desprende del mástil de un velero, que se mueve con una velocidad de 10 m/s, una figura decorativa. Uno de los tripulantes se encuentra justo debajo de la figura. Explica de forma razonada si el tripulante debe moverse o no para que la figura no impacte sobre su cabeza. Solución Debe moverse para que no le caiga encima, ya que tanto el tripulante como la figura tienen inicialmente la velocidad horizontal del velero, por lo que para él la figura cae libremente en la vertical donde se encuentra.
10. Un helicóptero que vuela a 300 m de altura sobre la superficie de un pantano, con una velocidad de 76 km/h, deja caer una bolsa de comida para los peces. ¿Cuánto tiempo tardará en caer el paquete? ¿Dónde se encontrará el helicóptero en ese momento? Solución y v0 300 m x a)
Se trata de un lanzamiento horizontal. En primer lugar escribimos las ecuaciones de las coordenadas indicadas en la figura para este movimiento: 3
Ricky Conde.
76 t 21,11t 3,6 1 y y0 at 2 300 4,9t 2 2
x v0t
El tiempo que tarda en caer se obtiene haciendo y = 0, ya que en ese momento llega al suelo: 300- 4,9t2 = 0
De aquí:
t = 7,82 s
b) El helicóptero se mueve horizontalmente a 300 m de altura, con la misma velocidad horizontal del paquete, por lo que se encontrará en la misma vertical del paquete y a una distancia horizontal desde el punto de lanzamiento de: x = 21,117,82 = 165,18 m Lanzamientos oblicuos: 11. Realiza un esquema de la trayectoria de un lanzamiento oblicuo e indica los vectores velocidad y aceleración en varios puntos. ¿Varía el módulo o la dirección de la aceleración de un punto a otro?. ¿Qué valor tiene la componente Y de la velocidad en el punto de altura máxima?
v
Solución y a)
v
a
a
v
a
. x b) No, ya que la aceleración es la de la gravedad, debida al peso, y cerca de la superficie dela Tierra es constante en módulo, dirección y sentido. c) Cero, ya que en ese instante el móvil pasa de subir a bajar, por lo que la velocidad cambia de signo. 12. Una pelota de golf es golpeada de forma que el módulo de su velocidad inicial es 42 m/s y el ángulo de lanzamiento es 34 º. El campo está nivelado. Calcula: a) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. b) El tiempo de vuelo de la pelota. c) La altura máxima. d) El alcance horizontal. Solución
y
v0 x Antes de empezar a resolver el problema escribimos la ecuación de movimiento, con ayuda de la figura:
x v0 cost 42 cos 34º t 34,8t y v0 sent a)
1 2 gt 42sen34º t 4,9t 2 23,49t 4,9t 2 2
En el punto de altura máxima la velocidad vertical es 0. La velocidad en el eje y vale, en cualquier instante: v y v0 y at v0 sen gt 42 sen34º 9,8t Igualando a 0 y despejando: t = 2,4 s
b) El tiempo de vuelo coincida con el instante en que llega al suelo ( y = 0), por lo que de la ecuación de la coordenada y:
23,49t 4,9t 2 0
c)
De aquí: t = 0 y t =4,8, que es el tiempo pedido. La altura máxima es el valor de y en el instante obtenido en a):
ymáx 23,49 2,4 4,9 2,42 28,15 m 4
Ricky Conde. d) El alcance es la coordenada x al llegar al suelo. En el apartado b) se dedujo que llega a los 4,8s, por lo que sustituyendo en x:
xmáx 34,8 4,8 167,13 m 13. Una piedra es lanzada al aire formando un ángulo de 40 o con respecto a la horizontal. ¿Es posible que su velocidad y su aceleración sean paralelas en todo momento? Si no es posible, razonar la respuesta. ¿En algún instante del movimiento su velocidad es perpendicular a su aceleración?. Si es posible especificar cuándo y si no lo es, razonar la respuesta. Solución a)
No, ya que la aceleración es siempre vertical y la velocidad tiene componentes x e y, variando además esta última a lo largo del tiempo. b) Sí, en el punto más alto de la trayectoria, ya que la velocidad vertical es cero y por tanto la velocidad es horizontal y perpendicular a la aceleración que es vertical. 14. Un jugador de hockey sobre hielo golpea un disco desde la superficie del hielo de forma que pasa rozando por encima de una pared de vidrio cuya altura es de 2,80 m. El tiempo de vuelo hasta este punto fue de 0,650 s y la distancia horizontal recorrida de 12,0 m. Calcula: a) La velocidad inicial del disco. b) La altura máxima alcanzada. Solución
y
v0 x Se escribe en primer lugar la ecuación de movimiento:
x v0 cost
y v0 sent a)
1 2 gt 2
Para obtener la velocidad inicial se sustituyen en la ecuación de movimiento los datos que nos dan. Como en t = 0,65 s x vale 12 m e y vale 2,8 m , queda:
12 v0 cos 0,65
De aquí se obtiene: v0 = 20 m/s y = 22,1º
1 2,8 v0 sen 0,65 9,8 0,652 2
b) Escribimos la ecuación de la velocidad vertical e igualamos a cero y después se obtiene la altura correspondiente a ese instante:
v y v0 sen gt 20sen22,1º 9,8t 0
De aquí: t = 0,768 s
y 20sen22,1º0,768 4,9 0,7682 2,86 m 15. Un bate golpea a una pelota y 3,2 s más tarde es recogida a 30 m de distancia. a) Si estaba 1 m por encima del suelo cuando fue lanzada y recogida, ¿cuál es la mayor altura que alcanzó sobre el suelo? b) ¿Cuáles fueron las componentes horizontal y vertical de su velocidad en el momento del lanzamiento? c) ¿ Cuál era el módulo de su velocidad al ser recogida?. d) ¿Con qué ángulo respecto a la horizontal abandonó el bate?. Solución
y
v0 x 5
Ricky Conde. A partir del sistema de referencia de la figura escribimos la ecuación de movimiento:
x v0 cost v0 xt y y0 v0 sent a)
1 2 1 gt y0 v0 y t gt 2 2 2
Sustituyendo los datos del enunciado se deducen las componentes de la velocidad inicial:
30 v0 x 3,2 1 1 1 v0 y 3,2 9,8 3,22 2 De aquí: v0x = 9,38 m/s, v0y = 15,68 m/s Se escribe la ecuación de la velocidad en el eje y, se iguala a cero y el tiempo obtenido se sustituye en la coordenada y, que nos dará la altura máxima:
v y voy gt 15,68 9,8t
De donde: t = 1,6 s
y 1 15,68 1,6 4,9 1,62 13,54 m b) Las componentes de la velocidad inicial ya se han obtenido antes: 9,38 y 15,68 m/s, respectivamente. c) Las componentes de la velocidad al ser recogida son: vx es la inicial, ya que no cambia, es decir, 9,38 m/s vy vale: v y 15,68 9,8 3,2 15,68 m / s
v 9,38 (15,68) 18,27 m / s El módulo de la velocidad será: d) Para obtener el ángulo que forma la velocidad inicial con la horizontal se parte de las coordenadas, que forman un triángulo rectángulo. Como se deduce de la figura: 2
arctg
voy vox
arctg
2
15,68 59,12º 9,38
Cuestiones y problemas generales:
16. Una piedra es lanzada con una velocidad inicial de 3 i + 2 j (m/s). ¿Cuál es la velocidad en el punto más alto de su trayectoria?¿ Cuál es su aceleración en dicho punto?. Solución
a) En el punto más alto la velocidad sólo tiene componente x y como es la misma en todo el recorrido, será: v = 3 i b) La aceleración es constante en todo el trayecto, la aceleración de la gravedad: a = g .
17. Una moto llega a una zanja. Se ha construido una rampa con una inclinación de 10º con el fin de que la moto pueda saltar por encima. Si la distancia horizontal que debe atravesar la moto para alcanzar el otro lado de la zanja es de 7 m, ¿con qué velocidad debe abandonar la rampa?. Solución y
v0 x
A partir de la figura escribimos la ecuación de movimiento:
6
Ricky Conde. x v0 cost v0 cos10º t y y0 v0 sent
1 2 1 gt v0 sen10º t gt 2 2 2
Al llegar al otro lado x = 7, y = 0, de donde, sustituyendo:
7 v0 cos10º t 0 v0 sen10º t
De aquí se obtiene:
1 2 gt 2
v0 = 14,16 m/s
18. Una piedra lanzada horizontalmente desde lo alto de un campanario choca contra el suelo a una distancia de 18 m de su base. a) Sabiendo que la altura de la torre es de 24 m, calcular la velocidad con la que fue lanzada la piedra. b) Calcular la velocidad de la piedra justo antes de que ésta golpee el suelo. Solución y v0 18 m x
a)
Se trata de un lanzamiento horizontal. Fijándonos en la figura escribimos la ecuación de movimiento y al sustituir x por 18 e y por 0, queda:
x v0t 18
De aquí: v0 = 8,13 m/s.
y 24 4,9t 2 0
b) Escribimos la expresión de la velocidad y sustituimos el tiempo, que es t = x/v0 = 18/8,13 = 2,21 s:
v vx i v y j
Como en el eje x es constante y en el y es uniformemente acelerado:
v 8,13i gtj 8,13i 21,70 j m / s
Su módulo vale: v = 23,17 m/s
19. Se desprende del borde de un tejado un martillo. Éste tarda 0,14 s en recorrer la altura de una ventana de 1,50 m de altura que está situada como se indica en la figura. ¿A qué altura sobre el marco superior de la ventana se encuentra el tejado?. Solución 0 1,5 m y Tomando el sistema de coordenadas de la figura, la ecuación de movimiento queda:
y
H
1 2 gt 2
Se escribe la ecuación cuando el martillo pasa por el marco superior e inferior de la ventana:
1 2 gt 2
1 H 1,5 g (t 0,14) 2 2
Resolviendo el sistema se obtiene: H = 5,13 m
20. Desde un puente de 23 m de altura se distingue un tren de vapor que se acerca a 36 km/h para pasar por debajo de dicho puente. ¿ A qué distancia del puente debe estar la chimenea de la locomotora para que una piedra que se deje caer desde lo alto del puente se introduzca en dicha chimenea?. Dato: Distancia del extremo de la chimenea al suelo 3 m. 7
Ricky Conde. Solución
y
0
x
Eligiendo el sistema de referencia de la figura, la ecuación de movimiento para la piedra queda:
x0
x D 10t y0
Para la chimenea:
y 20 4,9t 2
Igualando las dos posiciones se obtiene:
D = 20,2 m
21. Guillermo Tell, el arquero legendario y héroe de la independencia de Suiza, fue obligado a lanzar una flecha a una manzana colocada sobre la cabeza de su hijo. Si Tell estaba a 13 m de su hijo y lanzó la flecha con una velocidad de 58 m/s, ¿con qué ángulo sobre la horizontal lanzó la flecha? Supón que la flecha comienza su trayectoria a la misma altura que la manzana. Solución
y
v0 x
x 16,11cost La ecuación de movimiento para la flecha es:
y 16,11sent 4,9t 2
13 16,11cost Cuando llega a la manzana queda:
0 16,11sent 4,9t 2
Resolviendo la ecuación: =1,1º
22. Completa la siguiente tabla:
Símbolo
v an
v0 r at a
Representa Velocidad Módulo de la aceleración normal Módulo de la velocidad inicial Posición Módulo de la aceleración tangencial Aceleración
Escalar o vectorial Vector Escalar
Unidad en el S.I. m/s m/s2
Escalar
m/s
Vector Escalar
m m/s2
vector
m/s2
8
Ricky Conde. 23. Un jugador de balonmano lanza horizontalmente un balón con una velocidad de 20 m/s desde una altura que dista 2 m del suelo. Otro jugador está a 14 m del lanzador. ¿Alcanzará bien la pelota sin moverse? Solución y v0 2m x Escribimos la ecuación de movimiento:
x v0t 20t y y0
1 2 gt 2 4,9t 2 2
Igualando y a 0 se obtiene el tiempo que tarda en llegar al suelo y después el alcance, que da: x = 12,8 m, por lo que no alcanza la pelota el jugador que está a 14 metros.
24. Un globo sube verticalmente con velocidad de 5,1 m/s y suelta un objeto cuando está a 22 m del suelo. Calcular: a) la posición y velocidad del objeto al cabo de ¼ de s y de 2 s e interpreta los resultados; b) el tiempo que tarda en llegar al suelo y su velocidad en ese instante. Tomar g = 10 m/s2Solución
V0 22 m y
0 a)
La ecuación de movimiento para el objeto es:
y 22 5,1t 4,9t 2
La velocidad: v 5,1 9,8t Sustituyendo t = 0,25 s: y = 22,97m v = 2,65 m/s Sustituyendo t = 2 s: y = 12,6 m v = -14,5 m/s
0 22 5,1t 4,9t 2 Resolviendo: t = 2,68 s La velocidad valdrá: v 5,1 9,8t 21,38 m / s
b) Haciendo y = 0
25. Un aguerrido arquero se encuentra de vigía en la copa de un árbol a una altura de 15 m sobre el suelo. Como se encuentra aburrido decide disparar una flecha. Si la velocidad inicial de la flecha es de 22 m/s y el ángulo que forma la flecha con la horizontal es de 60º, determina la altura máxima que alcanzará la flecha y el alcance máximo de la misma. Solución
y
v0 x Igualando la velocidad vertical a 0:
v y 22sen60º 9,8t 0
Escribimos la coordenada y y sustituimos el tiempo anterior:
De aquí: t = 1,944 s
y 15 22sen60º t 4,9t 2 33,52 m
Para obtener el alcance igualamos y a 0 y sustituimos el tiempo obtenido en la ecuación de la coordenada x:
9
Ricky Conde.
y 15 22sen60º t 4,9t 2 0
De aquí: t = 4,56 s
x = 22cos60º t = 50,17 m
26. Un tren de mercancías se mueve con velocidad constante de 10 m/s. Una niña de pie sobre una plataforma del mismo lanza una moneda al aire y la recoge al caer. Respecto a la plataforma la velocidad inicial de la pelota es de 15 m/s hacia arriba. a) ¿Cuáles son el módulo y la dirección de la velocidad inicial de la moneda vista por un niño de pie junto a la vía? b) ¿Cuánto tiempo está la moneda en el aire de acuerdo con la niña? ¿ Y de acuerdo con el niño?. c) ¿Qué distancia horizontal ha recorrido la moneda durante el tiempo que está en el aire de acuerdo con la niña? ¿Y de acuerdo con el niño? d) ¿Cuál será la aceleración de la moneda según la niña? ¿ Y según el niño?. e) Dibuja la trayectoria desde el punto de vista de ambos observadores. R: a) v = 18,03 m/s, = 56,31º; b) t = 3,06 s; c) niña: x = 0, niño: x = 30,6 m; d) V0 vv
a)
La velocidad tiene de coordenadas: vx = 10 m/s vy = 15 m/s La dirección respecto a la horizontal será: = arctg 15/10 = 56,31º
El módulo: v = 10 15 18,03 m/s b) El tiempo es el mismo para los dos. Se deduce de la ecuación de movimiento: 2
2
y 0 15t 4,9t 2
c)
De aquí: t = 3,06 s De acuerdo con la niña ninguna, ya que respecto a ella no lleva velocidad horizontal. Para el niño habrá recorrido: x = 10t = 30,6 m
d) Para los dos será la aceleración de la gravedad: a = -9,8 j (m/s2). e) Para la niña es un lanzamiento vertical y para el niño un lanzamiento parabólico:
10