Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
ВОВЕД Во оваа тема предмет на проучување се геометриските тела. Притоа посебно внимание ќе обрниме на пресметување на плоштина и волумен на некои геометриски тела, т.е. на проблемот на мерење на просторот Р, во кој ќе бидат сите наши разгледувања во оваа тема. Во десетгодишното школување се запознав со коцката, квадратот, конусот, топката тетраедарот и други геометриски фигури во просторот. Тоа се примери на геометриско тело поими кој овде прецизно ќе ги објаснам. За таа цел воведувам неколку дефиниции за дефинирање на поимот геометриско тело кои се од исклучителна важност во математиката воопшто. Дифиниција 1. Нека О е точка од просторот Р е r є R. Геометриската фигура составена од точките, чиешто растојание од дадена точка О е помало од r , ја нарекуваме отворена топка и ја означуваме со Т(О,r). Секоја отворена топка со центар со точката О ја нарекуваме
околина
на
точката
О.
Дефиниција 2 .Нека F е фигура во просторот p. За точката А ќе викаме дека е внатрешна точка на F ако постои околина на А која се содржи во F. За точката М ќе велиме дека е гранична точка со фигурата F , ако секоја околина на М содржи точки од F и точки што не и припајѓаат на F. Дифиниција 3.За фигурата F ќе велиме дека е сврзлива, ако кои било две точки од F можат да се сврзат со линијата која целосно лежи во F , т.е. секоја точка од линијата и припаѓа на фигурата F. Дефиниција 4.За фигурата F ќе велиме дека е област, ако F е сврзлива и секоја нејзина точка е внатрешна. Дефиниција 5.Нека е дадена област G.Фигурата составена од областа G и нејзините гранични
точки
ја
нарекуваме
затворена
и
ја
означуваме
со
.
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Дефиниција 6. За фигурата F ќе велиме дака е ограничена ако постои Т[O,r] таква, што F T[O,r]. Дифиниција 7. За геометриското тело F ќе велиме кека е полиедер ако неговата граница е составена од конечен број многуаголници. Значи, секоја затворена и ограничена област ја нарекуваме геометриско тело.
Општо слободно,речено,геометриско тело (или, кратко тело) е ограничен и затворен дел од прсторот. Ако површината со која е затворено геометриското тело составена само од многуаголници тогаш за него се вели дека е рабесто тело или полиедар. За полиедрите важи Ојлерова теорема : Ако еден полиедар има t- темиња, s- ѕидови и r- рабови тогаш за овие броеви важи
t+s=r+2
Дефиниција: За секој полиедар ќе велиме дека е правилен полиедар ако неговите ѕидови се правилни складни многуаголници и во секое теме се среќаваат ист број рабови. Постојат
само
пет
правилни
полиедри,
а
тоа
се
тетраедар,хексаедар,октаедар,додекаедар и икосоедар уште познати како Платонови тела. Не постои правилен полиедар чии ѕидови се правилни n-аголници за n 6 . Во табелата се прикажани Платоновите тела. Tetraedar
Heksaedar (kocka)
Oktaedar
Dodekaedar
Ikoсоedar
Цртеж
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ Број на ѕидови и нивни облик
4 триаголници
6 квадрати
8 триаголници
12 петаголници
20 триаголници
Број на рабови
6
12
12
30
30
Број на темиња
4
8
6
20
12
Плоштина и волумен на призма Нека имаме две различни паралелни рамнини ∑ и ∑1 потоа една права р што ги прободува тие две рамнини и уште еден многуаголник, на пример петоаголник ABCDE, што лежи на ∑,како на цртеж1.
Цртеж1
Низ
Цртеж 2
темињата
на
избраниот
многуаголник
да
повлечеме прави, паралелни со прават р; на цртеж 2; нивните прободни точки на раммнината ∑ 1 се означени со A1 B1C1D1 E1. Четириаголниците ABB1 A1, BCC1 B1 итн. На цртежот 2 се парарелограми e складен со петаголникот ABCDE. Геометриската фигура што е состевена од тие два петаголника и петте парарелограми, издвоено е претставена на црт. 3, таа една површина што го разбива _____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
множеството точки од просторот на деве области-внатрешна и надворешна. Внатрешната област, заедно со таа површина образуваат едно гемоетриско тело што се вика петаголна призма. Многуаголниците од кои е состевена површината на една призма се викаат нејзини ѕидови. Секоја призма има два меѓусебе складни ѕидови кои што лежат на парарелни те рамнини; тие се викаат основи на призмата. Другите ѕидови се парерлограми; тие се викаат бочни ѕидови, а нивната унија-бочна површина. Општо за кој било призма темињата на основите се викаат темиња на призмата, а страните на ѕидовите од призмата-нејзини рабови. Рабовите што нележат на оснновите се викаат бочни рабови, а тие од основите –основни рабови.
Цртеж 3 Призмите според видот на нивните основи може да бидат: триаголни, четириаголни, петаголни итн. Призма при која бочните рабови се нормални на рамнините од основите се вика права призма. Кај призмите I и II на цртеж 3 бочните рабови се норамални на основите, па според тоа тие се прави призми. Ако бочните рабови на една призма не се норамални на основите, тогаш таа се вика коса призма. Такви се призмите III и IV на цртежот. Призмата I од црт. 3 е четираголна и права; за неа велиме дека е права четириаголна призма.
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Растојанитето меѓу рамнините на основите на една призма се вика висина на призмата. За призмата IV од црт. 3 тоиа е, на пример, должината на остечката ММ1 а за призмата II од цртеж 3 тоа е должината на кој и да било бочен раб, на пример АА 1. Права призма со основа правилен многуаголник се вика правилна призма. Ако една призма се пресече со рамнина, се добива многуаголник кој што се вика пресек
на
призмата.
Разликуваме
неколку
видови
на
пресеци
и
тоа:паралелен,дијагонален, нормален и кос пресек, прикажани на црт .4
Црт.4
Отсечка чи крајини точки се две темиња на една призма што не лежата на ист ѕид се вика просторна дијагонала или само дијагонала на призмата.
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Призма со основа парарелограм се вика парарелпипитед.
На
ској ѕид
основа
парарелопипедот му одговара само еден ѕид со кој нема ниеден заеднички раб;а за такви два ѕида се вели дека се спротивни еден на друг. Ако парарелопипедот е прав и има основа парвоаголник тој се вика правоаголен парарелопипед или квадар. Должината на трите раба што излегуваат од едно теме се вика димензии на квадарот. Квадар на кој димензииите му се еднакви е коцка.За еден полиедер ќе велиме дека е призма ако два негови ѕида се складни многуаголници што лежат на две паралелни рамнини и ако другите ѕидови се такви паралелограми што секој од нив има заедничка страна со споменатите два ѕида. Збирот од плоштините на сите ѕидови на една призма се вика плоштина на призма. Плоштината на една многуаголна призма се состои од две основни (кои што се скалдни многуаголници) и бочна површина (која што се состои од парарелограми). Споре тоа, за плоштината Р на една призма имаме: P=2B+M
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Каде што се B е означено плоштината на една основа,а со М плоштината на бочната површина. Ќе изведиме сега едно правило за пресметување на М (т. е. плоштината на бочната површина) кај права призма. Знамеме дека бочнитре ѕидови на права призма се правоаголници. Затоа ако нејзините основни рабови се a,b…,f и висината е H , тогаш: M a H b H ....... f H (a b ...... f ) H
Бидејќи збирот a+b+..,+f е периметарот L на основата т. е. a+b+…+f=L, следува дека M L H
Пример 1. Пресметај ја плоштината на правилна шестрана призма со основен раб a= 5cmи висина h = 12cm . Решение.Според условот на задачата основита на призмата се правилни шестаголници, па затоа секоја од нив има полоштина B = призма е М=6аh = 360 c P = 2B + M = (2
+ 360) c
=
. Бочната плоштина на на оваа
, па затоа плоштината е = 15(5
+ 24)c
Волуменот на правоаголен паралопипед(ако основата на призмата е паралелограм тогаш таа призма ја нарекуваме паралелопипед) со рабови a b и c е еднаков на abc, т.е. V= abc Пример 2. Основата на права призма е ромб со дајагонали 18cm и 24cm . Пресметај го волуменот на призмата ако дијагоналата на бчниот ѕид е 17 cm. Решение. Плоштината на основата е B =
= 216c
за страната на ромбот добиваме
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
a=
=15cm
Конечно за волумен на призмата добиваме V= Bh= 1728c
Волумен на коса призма
V=Bh Пример 3. Коса тристрана призма има основни рабови 5 , 6 и 9cm и бочен раб 10cm. Пресметај го волуменот на призмата ако бочниот раб со рамнината зафаќа агол од
Решение.Според Хероновата формула за плоштина на на основата добиваме B=
=10
c
А
А’ следува дека h=l tg
за волуменот на призмата имаме V = Bh= 10
5
= 10
cm = 5
cm . Конечно
= 100
Плоштина и волумен на пирамида И пирамидата е посебен вид геометриска фигура.Таа може да се дефенира слично како и призмата.да замислиме една рамнина ∑, еден n-аголник на неа на пример петаголникот ABCDE и една точка Ѕ што нележи на ∑. Ако од точката Ѕ повлечеме отсечки до темињата на петаголникот ,
ќе
добиеме
пет
триаголници
ABS,BCS,……
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ Површината што се состои од тие пет триаголници и дадениот петаголник го дели множеството точки од просторот на две области: внатрешна и надворешна. Внатрешната област заедно со површината е составена од дадениот петаголники добиените триаголници, се вика петаголна пирамида . Пирамидата е издвоено претставена. дадениот петаголник се вика
основа
на
пирамидата,
добиените
триаголници
ABS,BCS,….бочни ѕидови, а точката Ѕ –врв на пирамидата. Врвот Ѕ и темињата на основата се викаат темиња на пирамидата, а бочните ѕидови ја сочинуваат нејзината бочна површина. И кај пирамидата разликуваме :основни и бочни рабови. На црт.4 е преставена триагонална пирамида SABC, а на црт. 5 – четириаголна пирамида SABCD. Отсечката ЅЅ’, каде што Ѕ е врвот на пирамидата , а Ѕ’ е неговата ортогонална проекција врз основата, се вика висина на пирамидата (црт.4); точката Ѕ’се вика подножје на висината. Обично и за растојанието т.е.должината ЅЅ’, се вели дека е висина на пирамидата. Ако пирамидата ја пресечеме со
рамнина
тогаш
се
добива
многуаголник што се вика пресек на пирамидата. Пресекот
на
пирамида
со
рамнина што минува низ врвот и низ која било дијагонала на основата се вика
диагонален
пресек.
Тој
секогаш е триаголник. На црт.6 е преставен еден диагонален пресек (триаголникот ACS) на пирамидата SABCDE.
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ Секоја пирамида при која основата е правилен многуаголник, а подножјето на висината паѓа во центарот на основата, се вика правилна пирамида. Така имаме: правилна триаголна пирамида , правилна четириаголна пирамида итн.
Бидејќи пирамидата има една основа и бочна површина, за да ја пресметаме нејзината плоштина доволно е да ја пресметаме плоштината B на основата и плоштината М на бочната површина, која ја нарекуваме боцна плоштина, а потоа плоштината на пирамидата да ја пресметаме според формулата Р= В +М Пример 4.Колку ќерамиди се потребни за покривање една куќа чиј покрив има форма на правилна четиристрана пирамида со основен раб 8m и висина 3m, ако за поривање на 1
се потребни 20 ќерамиди.
Решение. Со a да го означиме основниот раб, а со h висината на пирамидата. Треба да ја определиме бочната плоштина на дадената пирамида.Притоа за апотемата имаме l=
=
5m, па затоа М= 4 =80 Бидејќи за 1
се потребни 20 ќерамиди , а треба да се покрие 80
куќата ни се потребни 20
, за покривање на
= 1600 ќерамиди
Пример 5: Да ја пресметаме плоштината на правилна четириаголна пирамида (црт.9)со основен раб а=14 cm и бочен раб ѕ=25cm? Решение:За основата имаме:B=a2=142=196cm2 А за бочната површина: M 4
ah 2ah 2
Каде што h е апотема.Апотемата ќе ја пресметаме со помош
на
Питагоревата
теорема
од
правоаголниот
триаголник AES . _____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
h2=s2-(
2
-72=625-49=576 h=24cm
M=2. 14. 24=672, P=B+M=196+672 P=868cm 2
За волуменот V на пирамидата каде В е плоштина на основата на пирамидата и h е нејзината висина точна е формулата V
BH 3
Пример 6. Да се пресмета волуменот на на правилна четиристрана пирамида о со основен раб 14cm и апотема 25cm. Решение. За висината на пирамидата имаме H= =
=24cm, од каде што следува дека волуменот V= BH=
H=
=1568
Пример 7. Една правилна четиристрана порамида има полиштина Р=800c плоштина М=544 c
и бочна
. Да се пресмета волуменот на пирамидата.
Решение. Основата на пирамидата е квадрат. Кека страната на квадратот е а, а висината на бочната страна h . Имаме Р=
и М=
=544 од што следува
= 800 –
544 =256, па затоа а= 16cm, h=17cm. Понатаму, од правоаголниот триаголник SOL т.е. H= 15cm. Конечно , за воллуменот на пирамидата имаме V
BH 256 15 1280cm 3 3 3
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на потсечена пирамида Потсечена пирамида го нарекуваме делот од пирамидата, зафатен со најзината основа и пресечената рамнина паралелна на нејзината основа,отсекот од пирамигата ја нарекуваме дополнителна пирамида на потсечената пирамида. Парарелните
многуаголници
ги
нарекуваме основи на потсечената пирамида, а другите ѕидови ги нарекуваме бочни ѕидови и тие ја формираат бочната површина на потсечената пирамида .Основата на потсечената пирамида ја нарекуваме долна основа, а основата која лежи во потсечената рамнина ја нарекуваме горн а основа на потсечената пирамида Бидејќи потсечената пирамида има две основи и бочна површина, за да ја пресметаме најзината плоштина доволно е да ги
пресметаме
плоштините В и
н а
основите и плоштината М на бочната површина, која ја нарекуваме бочна плоштина, а
потоа
плоштината
на
потсечената пирамида да ја пресметаме според формулата
Р=В+
+М
За бочната плоштина на правилна потсечена пирамида важи следнава теорема: Теорема-1: Бочната плоштина на правилна потсечена
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
пирамида е еднаква на производот од полузбирот на периметрите на двете основи и бочната висина ( апотема ). Доказ:Нека е дадена правилна потсечена пирамида со основни рабови а и а 1 и апотема h (црт.4).Тогаш плоштинта на еден нејзин бочен ѕид е
h Со оглед дека
бочните ѕидови на правилната потсечен пирамида се складни рамнокраки трапези, плоштината М ќе биде : M=n
h=
h=
h
Пример 8.Основните рабови на правилна четиристрана потсечена пирамида се 40cm и 10cm. Пресметај ја висината на потсечената пирамида ако нејзината плоштина е 3400 . Решение.Плоштината на четиристраната потсечена пирамида со основи а и ја пресметуваме со формулата Р=
и апотема l Oд
условот на задачата имаме 3400=
па затоа
= 17cm.
Сега, од ЕFM наоѓаме h =
= 8cm
Пример 9:При првилна триаголна потсчена пирмида дадена е висината H=9cm и радиусите на опишаните кружници околу основите R=12cm, R1=6cm.Пресметај ја плоштината на таа потсечена пирамида.
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Решение:Нека е дадена потсечената пирамида ABCA1 B1C1(црт.2) од формулата за радиус на опишаната кружница околу рамностран триаголник R=
добиваме
.За радиусите r , r 1на впишаните кружници при основите на
a=12
потсечената пирамида добиваме: R= 2
Од триаголникот МQN следува:h= Плоштината
на
потсечената
пирамида
=
ќе
=3
cm
биде:P=
+
2
3
Волумеот на потсечената пирамида со висина h и плоштина на основите В и
се пресметува според формулата
V= Во случај на правилна четиристрана потсечена пирамида со висина h и основни рабови
и
имаме
V= а во случај на правилна тристрана потсечена пирамида со висина h и основни рабови
и
имаме
V= Пример 10. Волуменот на правилна тристрана потсечена пирамида е 196
c
, едниот
основен раб е 10 cm а висината 12cm. Пресметај го вториот основен раб.
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Решение. Имаме, 196 196
=
(
c
,
=10 cm , =12cm . Со замена во ја добиваме
+10 ) , од која после средувањето ја имаме квадратната равенка
+ 10 -96=0 Решенијата на последната равенка се
=6 и
= -16. Второто решение го отфрламе,
бидејќи должината не може да биде негативна.Според тоа,вториот основен раб е 6cm.
Плоштина и волумен на цилиндер Нека е дадена една рамнина ∑,една кружница k и права p што минува низ една точка T од кружницата , а е нормална на ∑(цтр.1) Да замислиме дека точката Т почнува да се движи по кружницата , а правата p да остнува паралелна на својата првобитна положба (црт.2).
На тој начин подвижната права р опишува една површина; тоа е цилиндрична површина (црт.3). Подвижната права се вика генератриса или (изведница), а кружницата –директриса или (водилка) на цилиндричната површина. Да ја пресечеме ова површина со уште една рамнина
1,
паралелна со ∑ Круговите кои што цилиндричната површина ги отсекува од рамнините ∑ и ∑ 1 и дел од просторот т.е. образуваат едно геометриско
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ тело што се вика прав кружен цилиндар, а ние ќе го викаме, само цилиндар.. Круговите се викаат основи, а делот од цилиндричната површина-бочна површина на цилиндарот. Отсечката ОО1 што ги сврзува центрите на основите се вика оска на цилиндарот.Таа се вика и висина на цилиндарот. Кога цилиндарот ќе се пресече со рамнина што минува низ неговата оска се добива еден правоаголник што се вика осен пресек . Цилиндарот чиј осен пресек е квадрат т.е.Н=2R, се вика рамностран цилиндар ако цилиндарот се пресече по една негова генератриса и по периферијата на основите тогаш може да се види дека неговата мрежа е составена од два круга (основите) и еден правоаголник (бочната површина) Од мрежата се гледа дека плоштината Р на цилиндарот е Р=2В + М
P 2R ( R H ) Пример 11. Дијагоналата D=24cm на оскиниот пресек на прав цилиндер со рамнината на основата зафаќа агол од 45
.
Пресметај ја
плоштината на цилиндерот. Решение. Бидејќи дијагоналата на оскинот пресек зафаќа агол од 45 заклучуваме дека оскиниот пресек е квадрат, т.е. цилиндерот е рамностран. Значи, 2r=h=
т.е. r=6
со замена добиваме
Р= Волуменот на цилиндер со радиус на основата пресметува со формулата V=Bh, каде B=
и висина
се
e плоштина на
основата на цилиндерот.
V R 2H
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Пример 12. а) Бочната површина на цилиндерот е квадрат со страна а. Пресметај го неговиот волумен . б) Пресметај го волуменот на водоводна цевка со должина 6m, ако дијаметарот на надворешната површина е 3cm а дијаметарот на внатрешната површина е 2.4cm. Решение. а) Јасно, едната страна на бочната површина е висината на цилиндерот, па затоа h=a. Другата страна на бочната површина е еднаква на должинта на кружницата на основата, па затоа a= 2 цилиндерот добиваме V=
т.е r=
. Заменуваме во формулата V=
и за волуменот на
.
б) Од условот на задачата имаме h=6m=600cm, D=3cm и d=2.4cm. Според тоа волуменот на цевката е V=
Пример 13: Да ги пресметаме плоштината Р и волуменот V на цилиндар со радиус на основата R=6cm, плоштината на осниот пресек Q=240cm 2 Решение:Од Q=2RH се добива:
H= =
=20,
H=20cm
Потоа; P=2Rπ(R+H)=2. 6π(6+20)=312π V=R2π . H=6 2π.20=720π P=312π cm 2, V=720πcm 3
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на конус Definicija 1: Rotacionoto telo dobieno so rotacija na otse~kata AV koja ne e paralelna so oskata AS i krugot koj e soodveten na paralelata na to~kata V go narekuvame prav kru`en konus. Definicija 2: Neka k(O,r) e krug vo ramninata i to~kata Y ne pripa|a na ramninata. Mno`estvoto od to~ki od site otse~ki YH, takvi {to Hk go narekuvame kru`en konus. Ako pravata YOkoja ja narekuvame oska na konusot, ne e normalna na ramninata , toga{ za kru`niot konus velime deka e kos konus.
Preseci na konus so ramnina Y
R1
M1 k
k
O
R
Paralelen M presek
Oskin presek
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ Ако конусот се пресече по една негова генератриса и по периферијата на основата тогаш
може
да
се
види
дека
неговата мрежа е составена од еден s
круг(основата) и еден кружен исечок
s
(бочна површина),како на црт,9.Од
M L=2R
мрежата на конусот се гледа дека
плоштината Р на конусот е :
k
Р=В+М
BR
Kos presek k
2
Бидејќи плоштината В на основата е; В=R2π Mre`a na konus
M
а плоштината М на бочната површина
2 Rs Rs 2
Следува дека: P=R2π+Rsπ P=Rπ(R+s)
За кокусот ке велиме дека е рамностран ако генератрисата е еднаква на дијаметарот на основата. т.е. 2R=s Пример 14. а) Висината на прав конус е 12cm , а радиусот на основата е 5cm. Пресметај ја неговата плоштина. б) Правоагоел триаголник о катети 20cm и 15cm ротира околу права која минува низ темето на правиот агол и е парарелна на хипотенузата. Пресметај ја плоштината на ротационото тело. Решение.a) Изводницита на конусот е
=
cm = 13cm. Ако замениме во (2) за плоштина на конус добиваме P=
=5
б) Телото кое се добива е крикажано на цртежот и неговата плоштина е збир на плоштините на обвивката на
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
цилиндерот “опишан” од хипотенузата АВ и на обвивките на конусите “опишани” од катетите ВС и СА, за кои радиусот е висината Од правоаголниот Но,
повлечен од темето С.
имаме
= 25c
, па затоа
Конично, бараната плоштина е
P Волменот на конус со радиус на основата r и висина h се пресметува со формулата каде што
е плоштина на основата на конусот
R 2H V 3 Пример 15.а) Ќе го пресметаме волуменот на ротационото тело од приметор 11 б). За таа цел од волуменот на цилиндерот кој се добива со ротација на катетите АС и ВС. Ако со ги означиме висините на конусте, тогаш имаат ист радиус еднаков на висината
и бидејќи сите три тела , за волуменот на ротационото тело
добиваме
= 2400 б) 20
Ќе го пресметаме волумент на на кос конус со најголема генератриса , најмала 13
и дијаметар 2
Полупериметарот s на триаголникот
e s = 27
, па од Хероновата
формула за нековата плоштина добиваме
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Според тоа, за висината на
повлечена од страната АВ, која е и висина на конусот е
Конечно, волуменот на конусот е Пример 16:Да ги пресметаме плоштината Р и волименот V на конус со радиус на основата R=5cm и плоштината на бочната површина М=65πcm2 . Решение:Од М=Rπs се добива : s
M 65 13cm Од R 5
Па потоа , V=
s2=R2 + H2 се добива :H= s 2 R 2 169 25 12cm
P=Rπ(R+s)=5 π (5+13)=90π,
R 2H 5 2 12 100 P=90π cm2, V =100π cm3 3 3
Плоштина и волумен на потсечен конус Definicija: Delot od konusot zafaten so negovata osnova i prese~nata ramnina paralelna so osnovata go narekuvame potse~en konus. Teorema: Ako konusot go prese~eme so ramnina paralelna so ramninata na osnovata toga{: 1. Izvodnicata i visinata na piramidata se razdeleni vo ist odnos t.e. SO
SO 1
SM
SM 1
R R1
2. Plo{tinata na osnovata i plo{tinata na presekot se odnesuvaat kako kvadratite od nivnite rastojanija do vrvot na konusot t.e. 2
B R 2 R 2 SO B1 R 12 R 12 SO 2 1
За
плоштоната
на
потсечениот
конус
може
да
се
каже
следното:Плоштината Р на потсечениот конус е еднаква за збирот на плоштините на двете основи и бочната плоштина (обвивката) т.е. Р=В +В 1+ М
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ Кадешто В и В1 се плоштини на основите, а М е бочната плоштина.Ако со R и r ги означиме р адиусите на основите, нивните плоштини ќе бидат В=R2π , B1=r2π За бочната плоштина на правиот потсечен конус ке ја докажеме следната :
Теорема :Бочната плоштина М на прав потсечен конус со радиуси на основата R и r генератрисата s е: M=π(R+r)s Доказ: Нека потсечениот прав конус е добиен од прав конус со врв s и основа кругот k (O,R) и паралелниот пресек кругот K 1 ( O,r) црт.1.Со s да ја означиме генератрисата на отсечениот конус со врв s и основа K(O1,r) тогаш генератрисата на целиот конус е s+s 1.Бочната плоштина М на потсечениот конус ја добиваме како разлика на бочните плоштини на двата конуси т.е. М=Rπ(S+S1)- r π s1=RπS+π(R-r)S1 Генератрисата s 1 ќе ја изразиме во звисност од R,r и s за што ќ го разгледаме оскиниот пресек SAB на конусот. Од триаголникот AOS и A1O1S1 следува дека е :
Во врска со тоа за М добиваме: M=Rπs + π (R-r) Пкоштината Р на потсечениот конус ќе биде:
P R 2 r 2 (R r)s Потсечен конус го нарекуваме делот од конусот, зафатен со неговата основа и пресечената рамнина парарелна со основата.
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Основата на конусот ја нарекуваме долна долна основа на потсечениот конус, а пресекот наконусот и рамината го нарекуваме горна основа на потсечениот конус .Разликуваме прав и кос потсечен конус. Пример 17. Плоштината на поголемата основа на прав потсечен конус е 144
, а неговата висина е 8cm. Пресметај
ја неговата плоштина ако радиусите на основите се однесуваат како 2:1 Решение. Од условот на задачата за радиус на поголемата основа имаме
па затоа R = 12cm. Ако со r го означиме
радиусот на помалата основа, тогаш R:r=2:1 , од каде наоѓаме r=6cm. Од
следува
Конечно, ако замениме во (2) за плоштина на потсечен конус добиваме
Формулата на волумен на потсечен конус ке ја добиеме по сличен пат како и неговата плоштина.За таа цел ќе ја докажеме следнава : Теорема : Волуменот V на потсечен конус со радиус R и r на основите и висината H се пресметува со формулата V= Доказ: Нека потсечениот конус е добиен од конусот со врв s чија основа е кругот K(O,R) И паралелниот пресек кругот К(О 1,r) (црт.4.)Со H да ја означиме висината на потсечениот конус , а со H1 висината на отсечениот конус со врв s и основата кругот К (О1r) тогаш висината на целиот конус е H+H 1. _____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________ Волуменот на потсечениот конус е еднаков на разликата од волумените на целиот отсечен конус т.е. V= Висината H1 на отсечениот конус може да се изрази со R,r и H ако разгледаме еден оскин пресек SAB на конусот. Од триаголникот AOS и триаголникот A1O1S1 следува дека
Според тоа за волуменот V добиваме: V= т.е.добиваме :
Пример 18. Ќе пресметаме волумен на ротационо тело. Радиусите на основите се R=
а висината е
Сега волуменот на ротационото тело го добиваме ако од волуменот на потсечениот конус го одземеме волуменот на конусот. Имаме
Пример19: Рамностран триаголник со плоштина Р=144
ротира околу оска која
минува низ едно негово теме и е нормална на
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
една страна што излегува од тоа теме .Пресметај го волуменот на добиеното ротационо тело. Решение : Добиеното ротационо тело е потсечен конус од кој е изваден цел конус со основа помалиот круг .Од условот на задачата имаме . =144
каде што а=24cm
Во врска со тоа имаме дека :R=24cm , r=12cm, H=12 Волуменот V
на ротационото тело е еднаков на разликата од
волумените на потсечениот и цел конус т.е. V=
(576+288+1440)-
2
Плоштина на топка и делови од топка Плоштината на топка со радиус R e еднаква на удвоениот производ на пресечениот круг кој минува низ центарот на топката т.е.
Пресекот на топка со рамнина секогаш е круг;ако рамнината минува низ центарот , тогаш пресечниот круг има радиус како топката и се вика голем круг.(црт.3.)
Во зависност од положбата на пресеците на топката (сферата) со рамнина може да ги истакнеме следните делови на топката и сферата: а)Дел од топката што се добива кога неа ќе ја пресечеме со рамнина која минува низ нејзиниот центар се вика топкин отсечок.Отсечеокот е ограничен со
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
обвивката (дел од сферата ) кој се вика калота со висина О1А=h, и круг со радиус кој се вика основа на отсечокот б) дел од топката меѓу два паралелни пресека се вика топкин слој.Токиниот слој е ограничен со сферна обвивка кој се вика зона ( појас) и со два круга со радиус r и r1 чие растојание е висина h на слојот в) Дел од топката ограничен со една калота и бочна обвивка на конус чија основа е основата на отсечокот,а врвот му е центарот на топката се вика топкин исечок(сектор) .Плоштина на калота со висина h отсечена од сфера со радиус R е еднаква Плоштина на топкиниот појас со висина h, тој може да се добие како разлика на две калоти, од кој ако висината ја означиме со x тогаш висината на големата калота е h+x. Од пратходното кажано, за плоштина на топкин појас со висина h отсечен од кружницата со радиус R имаме
Волумен на топка и делови од топка Волуменот на топка се пресметува со формулата
Волуменот на калота со висина h отсечена од топката со радиус R се пресметува со формулата
_____________________________________________________________________________________
Плоштина и волумен на геометриски тела ____________________________________________________________________________
Пример 20:Да ги пресметаме плоштината и волуменот на топка , за која е познато дека плоштината на еден нејзин голем круг изнесува Q=2826cm 2 Решение:Од Q=R2π добиваме дека: R2π=2826, R2=900,
3,14R2=2826 R=30cm
Според тоа : P=4R2π=4 . 900 .3,14=113040, V= R3
=
4 27000 36000 3
т.е. P=11304cm2 , V= 36000 cm3
_____________________________________________________________________________________