Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
---------------------------------------------------------------------------------------------- Eksponencijalna i logaritamska funkcija Eksponencijalna funkcija Mnogu procesi vo prirodata mo`at da se opi{at so pomo{ na ekponencijalna funkcija.Toa se procesite na radioaktivnoto raspa|awe, menuvaweto na atmosverskiot pritisok so zgolemuvaweto na nadmorskata viso~ina,zgolemuvaweto na brojot na bakteriite vo procesot na nivnoto razmno`uvawe, prekr{uvaweto na svetlinata pri minuvawe niz voden sloj i dr. Ztoa od interes e ispituvaweto na ovie funkcii.
Tek i grafik na eksponencijalna funkcija. Vo prethodnata u~ebna godina ja izu~ivme funkcijata f(x)=x2 , kade osnovata na stepenot e promenliva x,a pokazatelot e konstanta, neja ja narekuvavme kvadratna funkcija. Ovde }e ja obrabotime funkcijata od oblik f(x)=2x (i sli~ni na nea) kade osnovata e konstanta a pokazatelot (eksponentot ) e promenlivat x, neja }e ja narekuvame eksponencijalna funkcija.
Pro{iruvawe na poimot za stepen. Poznato e deka i za stepeni so pokazatel cel, odnosno racionalen broj va`at slednite svojstva: 10
a m a n a m n ;
60
2
am a mn , a 0; n a
7
30
(a m ) n a mn ;
80
0
0
4
50
0
(a b) a b ; a n an ( ) n ,b 0; b b n
n
n
0
9
100
a1 a; def
a 0; a 0 ; 1 a n n , a 0 a 0
m n
a n a m , a 0; a 1; ako
a0
toga{
an 0
I na krajot od ova razgleduvawe da zabele`ime deka za stepen so realen pokazatel va`i: -Za sekoj a R, a 0 i x R takov {to r x s, kade r i s se racionalni broevi, a x e realen broj za koj va`i a r a x a s . -Za a 1i x R va`i a x =1. --Za sekoj a R, 0 a 1 i x R takov {to r x s, kade r i s se racionalni broevi a x e realen broj za koj va`i a r a x a s .
1
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------Primeri: 10
1 4
3 i3
5
osnovata na stepenite e 3 pri {to 3>1 toga{ 1
1 5 kade 5 2.236 zna ~ i 3 4 3 5 4
20
0,2
2
i 0,2 0 ,1 osnovata na stepenite 0,2 pri {to 0<0,2<1 toga{ 0,1 2
zna~i 0,2 0,1 0,2 2 . 30
2
2
8
16, 2
2 8
16 , 2
28
16 2
16
16
2 4 16 2 2 2 2 16 16 16 .
40
52 53 5 23 55 5 5 5 5 5 3125
50
34 : 32 34 2 32 9
Poom i osnovni svojstva na eksponencijalna funkcija. Definicija: Funkcijata f : R R , zadadena so f ( x) a x kade a R, a 0 i a 1 se narekuva esponencijalna funkcija. Od definicijata kako i od svojstvata 10 do 100 koi va`at i za stepen so pokazatel realen broj mo`eme da gi navedeme slednite svojstva na eksponencijalna funkcija: 10 Domenot Df (definicionata oblast) za esponencijalna funkcija f ( x) a x e mno`estvoto na realni broevi t.e Df =R. 20
Mno`estvoto Vf na vrednosti na esponencijalna funkcija f ( x) a x e: Vf =R+.
30 Za x=0, esponencijalna funkcija f ( x) a x e ima vrednost f (0) 1 40 Esponencijalna funkcija f ( x) a x , za a 0 monotono raste dodeka za 0 a 1 , monotono opa|a na celiot domen Df . Dokaz: Svojstvata 10 i 2 0 sleduvaat direktno od definicijata. Od a 0 1 , sleduva svojstvoto 3 0 . Poslednoto svojstvo 40 }e go doka`eme so doka`uvawe na implikaciite:
a)
a 1 x1 x2 a x1 a x2 ,t.e. f(x1 ) f(x2 )
b)
0 a 1 x1 x2 a x1 a x2 ,t.e. f(x1 ) f(x2 )
2
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------a)
Neka a 1, x1 x2 R x1 x2 t.e. x 2 x1 h, kade h o
Od a h 1 sleduva : a x2 a x1 h a x1 a h a x1 Kako posledica od svojstvoto 4 0 se izveduvaat i svojstvata: 50 Ako a 1 a x1 a x2 x1 x2 , 60 Ako 0 a 1 a x1 a x2 x1 x2 , 70 Ako a 0, a 0 a x1 a x2 x1 x2 . Dokaz: ]e ja doka`eme samo prvata posledica, bidej}i ostanatite dve se doka`uvaat analogno. Neka a 1 i a x1 a x2 za, x1 i x1 gi imame slednite mo`nosti x1 x2 , x1 x2 ili
x1 x2 .
10 x1 x2 ne e vozmo`en bidej}i toga{ od svojstvoto 40 sleduva a x1 a x2 {to protivre~i na uslovot. 20 x1 x2 isto taka x1 x2 ne e vozmo`en bidej}i toga{ bi imale a x1 a x2 zna~i ostanuva samo x1 x2 . Primeri: Da ja odredime definicionata oblast na funkciite: 10 y 3 x1 Definicionata oblast D e sekoe a R, t.e D=R 0
2
y4
1 x 3
D R\{ 3 } 5
0
3
1 2 y ( ) x 4 D R\{ 2,2 } 3
Da ja opredelime monotonosta na funkcijata: x
x
1
0
y 0,3 , 2 x
0
y ( 2) , 3 x
0
y4
x 1
,
0
4
2 y , 3
0
5
1 , y 5 , 6 y 0,2 2x
0
-Funkciite pod 10 i 40 monotono opa|aat bidej}i osnovata na stepenite e brojot pome|u 0 i 1 (svojstvo 4 0 ) a funkciite pod 20, 30, 40 i 50 monotono rastat bidej}i osnovata na stepenot e broj pogolem od 1.
3
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
---------------------------------------------------------------------------------------------- Grafik na eksponencijalna funkcija. Sega ostanuva da go konstruirame grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 vo odnos na zadaden pravoagolen koordinaten sistem xOy. Grafikot na funkcijata f(x)=x2 e mno`estvoto na to~ki x, a x , x R t.e G= x, a x , x R Za grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 spored dosega ka`anoto imame: - grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 se nao|a nad x-oskata. - grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 ja se~e y-oskata vo to~kata (0,1) bidej}i a 0 1 za sekoe a R i a 1 .
Primeri: Da go konsruirame grafikot na eksponencijalnata funkcija f ( x) 2 x f ( x) y
f (2) 2 2
10
1 1 , 22 4
f( 0 ) 2 0 1,
f( 1 ) 21 2
x
...
-2
-1
0
1
2
…
f ( x) 2 x
…
1/4
1/2
1
2
4
…
Od ovoj slu~aj oskata Ox se narekuva asimptota na krivata, grafik na razgleduvanata funkcija f ( x) 2 x . x
0
2
x
x
x
x
3 5 1 1 1 y 4 , y 3 , y 2 , y , y , y 1, y , y , y , 2 4 4 3 2 x x 2 4 y ,y 3 5 x
x
x
4
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
0
3
1 y 2
x
x
...
-2
-1
0
1
2
…
f ( x) (1 / 2) x
…
4
2
1
1/2
1/4
…
5
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------40
Vo ist koordinaten sistem da gi nacrtame graficite na funkciite:
y 2 x i y 2 x
0
5
y2
x
ye
x
y 3 x i y 3 x
y 3
0
x
6
6
1 y 2
x
1 y 3
x
1 y 4
x
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
---------------------------------------------------------------------------------------------- Grafici na eksponencijalnite funkcii. y a x p i
y a x m,
y a x p m
Vo slednite primeri }e ja sogledame polo`bata na grafikot na funkcijata spored analiti~kiot zapis. Primeri: Vo ist koordinaten sistem da gi nacrtame graficite na funkciite: x
1
0
x
x
1 1 1 y , y 2, y 1 2 2 2
x
1 y 2
-2
-1
0
1
2
X
-2
-1
0
1
2
4
2
1
1 2
1 4
y 3x
1 9
1 3
1
3
9
6
4
3
5 2
9 4
y 3 x 1
1 3
1
3
9
27
3
1
0
y 3 x2
1 81
1 27
1 9
1 3
1
x
x
1 y +2 2 x
1 y -1 2
20 y 3 x , y 3 x1 , y 3 x 2 ,
1 2
3 4
7
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------30
y 3 x1 2
40
y 3 x 2, y 3 x , y 3 x 1,
50
y 2x , y 2 x2 , y 2 x 2 1,
8
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
---------------------------------------------------------------------------------------------- Eksponencija ravenka. Definicija: Ravenkata vo koja nepoznatata se nao|a vo stepenoviot pokazatel na barem eden stepen , so osnova pozitiven realen broj, razli~en od 1 se narekuva eksponencijalna ravenka. 10 Eksponencijalnata ravenka koja so identi~ni transformacii mo`e da se dovede vo vidot: a f ( x ) a g ( x ) , a 0, i a 1. Vrz osnova na monotonosta na eksponencijalnata funkcija sleduva deka za a 0, i a 1. ravenkata (10 ) e evivalentna na ravenkata f ( x) g ( x) . Zna~i ovde stepenite vo ekponencijalnite ravenki gi dobivame od ednakvite osnovi. Primeri: 10
5 x 25 5 x 5 2 x 1
20
2 x3 4 2 x3 2 2 x 3 2 x 5 x
0
3
40
x
2
x
9 2 2 3 2 2 4 3 3 2 3 3
2
x 2
2 x 2 x 1 2 x 2 56 2 x 2 x 2 4 2 x 56 7 2 x 56 2 x 8 2 x 2 3 x 3
20 Eksponencijalnata ravenka od vidot F[a f ( x ) ] 0 kade a 0 i a 1 koja so smena a = y preminuva vo ravenkata F[ y] 0 . Ako re{enijata na ravenkata f[y] 0 se y i (i 1,2,...) toga{ re{avaweto na ravenkata f ( x)
F[a f ( x ) ] 0 se sveduva na re{avawe na vkupnosta na ravenkite a f ( x ) y i (i 1,2,...) . Vo ovoj slu~aj velime deka eksponencijalnata ravenka ja re{avame so voveduvawe na smena. Primeri: Da se re{at ekponencijalnite ravenki: 10
7 2 x 8 7 x 7 0 7 2 x 7 x
2
y 2 8 y 7 0 y1, 2
7 x 1, 7 x 7 0
72x 8 7 x 7 0
y 7x
8 64 28 8 6 1,7 y1 1 y 2 7 2 2
7 x 7, (7 x 71 )
x1 0
9
x2 1
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------20
3 2 x 5 2 3 x 2 32 x41 3 x2 2 0 3 32 x 4 3 x 2 2 0 3 32( x 2) 3 x 2 2 0 3y 2 y 2 0
y1, 2
3 x2 1 x 2 30
32
x
43
x
3 40
x
1
1 1 24 1 5 2 1. 6 6 3
3 0
y2 4 y 3 0
3
x
2 x 2 x3 72
y 3 y1,2
3
y 3 x2 0
2 y1 1, y 2 , 3
x
4 16 12 4 2 1,3 2 2 x 0 x 1
2 x 2 x 23 72
y1 1, y 2 3
2x 8
2 x (1 8) 72
x3
Logaritamska funkcija Logaritamskata funkcija e u{te edna funkcija so koja }e se zapoznaeme.Taa nao|a golema primena, kako vo matematikata taka i vo drugite nauki. No najnapred potrebno e da se zapoznaeme so noviot poim, poimot logaritam.
Poim za logaritam Definicija: Logaritam na pozitiven realen broj b , za osnova a, (a 0 i a 1 ) , e realniot broj x, so koj treba da se stepenuva osnovat a a za da se dobie brijot b .
log a b x a x b Ako vo ravenstvoto a b, x go zamenime so log a b ja dobivame relacijata: a Neposredno od definicijata za logaritam sleduva: x
10
log a 1 0, bidej}i a 0 1
20
log a a 0, bidej}i a 1 a log a a n n, bidej}i a n a n .
30
log a b
b.
-Koristej}i ja definicijata za logaritam da se proveri to`nosta na slednive ravenki: 10
log 5 5 0 51 5
2 20 log 3 27 2 ne e to~no bidej}i 3 27
-Da se opredeli logaritmandot na logaritmite: 30
log 3 b 2 32 b b 9
40
10
log
2
b4
2
4
bb4
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------5
0
5
1 1 log 1 b 5 b b 32 2 2
-Da se opredeli osnovata na logaritmite: 60
log a 4 2 a 2 4 a1 2, a2 2
70
1 log a 125 3 a 3 125 a 3 5
3
a
1 5
-Da se opredelat logaritmite: 80 90
log 2 8 x 2 x 8 2 x 2 3 x 3 1 1 log 5 x 5x 5 x 5 2 x 3 25 25
-Koristej}i go osnovniot logaritamski identitet da se presmeta:
21log2 3 21 2 log2 3 2 3 6
100
7 log 7 2 2
120
52log5 2 52 5log5 2 25 2 50
130
32log 3 5 32 3log 3 5 9
110
1 1 9 9 3 log 3 5 5 5
Osnovni pravila na logaritmiraweto -Algebarskite izrazi se logaritmiraat vrz osnova na slednite pravila: Teorema1: Logaritam za osnova a, a 0, a 1, od proizvodot na dva pozitivni realni broja e ednakov na zbirot od nivnite logaritmi za istata osnova t.e log a xy log a x log a y . Dokaz: Soglasno so osnovniot logaritamski identitet za broevite x i y imame:
x a log a x i y a log a y mno`ej}i gi soodvetnite strani na ravenstvoto dobivame: x y a log a x a log a y = a log a xlog a y toga{ na ravenstvata log a a n n i log a a 1 log a ( x y) log a a log a log a y log a x log a y Teorema1: Logaritam za osnova a, a 0, a 1, od koli~nik na dva pozitivni realni broja e ednakov na razlikata od logaritmite na delenikot i delitelot za istata osnova t.e:
log a
x log a x log a y . y
11
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------Dokaz: Delej}i gi soodvetnite strani na ravenstvoto dobivame:
x x a log a x log x log a y = log y a log a x log a y toga{ log a log a a a log a x log a y y a a y Teorema1: Logaritam za osnova a, a 0, a 1, od stepen na pozitiven realen broj
x n , (n R) e ednakov na proizvodot od pokazatelot na stepenot n i logaritmot za osnova log a x n n log a x. a na osnovata x na stepenot t.e Dokaz: Vo osnovniot logaritamski identitet x a log a x dvete strani gi stepenuvame na n-ti
stepen, pa imame: x n a log a x
n
a n log a x toga{ log a x n log a a n log a x n log a x .
Posledica: Logaritam za osnova a, a 0, a 1, od koren na pozitiven realen broj e ednakov na logaritmot za osnova a od potkorenoviot broj, podelen so korenoviot pokazatel t.e:
log a
x
log a x n
Primeri: Da gi logaritmirame izrazite: 10 0
3
0
4
50 60 70
5x log 5x log 5 log x x2 y z
3
log
2 x3 y 2 w 4
x2 y z
log
3
20
3( x y) log 3( x y) log 3 log(x y)
1 log x 2 log y log z 3 2 log x log y 3 log z 2
2 x3 y 2 w 4
2 1 log 2 log x log y log w 4 log z 3 3
z z 4 xyz 4 xyz log log 4 log x log y log z log 3 3 3 2 xy 2 z 2 log 2 xy 2 z 2 log 2 log x 2 log y 2 log z x=5,43•13,573 logx=log(5,43•13,573) logx=log5,433 +log13,573 logx=log5,43+3log13,57 logx=0,734799829+3•1,132579848 logx=0,734799829+3,397739543 logx=4,132539372 x=13+68,73535
12
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------Sli~no za bilo koj pozitiven realen broj x imame lg x k lg a , k -se narekuva karakteristika , lg a se narekuva mantisa na logaritam od brojot x i se ozna~uva so m. Bidej}i 1 a 10 imame deka lg a e broj ne pomal od 0 i pomal od 1. Kratko }e zapi{eme lg x k m, kade x R ,k Z,m [ 0,1) . Za nao|awe na karakteristika za bilo koj pozitiven realen broj va`i: 1) Karakteristikata na dekaden logaritam na brojot x , 0<x<1, e negativen broj ~ija apsolutna vrednost e ednakva na brojot na nulite pred prvata cifra na x {to ne e nula. 2) Karakteristikata na dekaden logaritam na brojot x ,x>1 e za eden pomala od brojot na cifrite na negoviot cel del.
Vrski me|u logaritmi so razli~ni osnovi. ]e poka`eme deka e dovolno da gi znaeme logaritmite so edna osnova (naj~esto 10) za da mo`eme da premineme na logaritmi so druga osnova. Preminuvaweto od logaritmi so edna osnova kon logaritam so druga osnova e dadeno so slednava vrska me|u logaritmite so razli~ni osnovi:
log a b
log c b , log c b
a,b,c R ,
a,c 1
b go logaritmirame so osnova s i pritoa log c b log b . dobivame: log c (a a ) log c b log a b log c a log c b log c a Dokaz: Osnovniot logaritamski identitet a
log a b
Direktna posledica od osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi e slednava:
log a b
1 , a , b R , a, b 1 . log a
Vo osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi }e go izbereme b za nova osnova na logaritmite:
log a b
log b b 1 . log b a log a b
Primeri: Na najednostave na~in da presmetame: 10 log 81 3
1 1 log 3 81 4
1 1 log 2 2 log 2 2 3 log 2 1 3 3 2 3 0 2 log 32 2 log 2 32 log 2 2 5 5 log 2 2 15 lg 5 lg 7 lg 11 lg 13 lg 15 30 log 3 5 log 5 7 log 7 11 log11 13 log13 15 lg 3 lg 5 lg 7 lg 11 lg 3 lg 3 5 lg 3 lg 5 lg 5 1 1 log 3 5 lg 3 lg 3 lg 3
13
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------lg 2 lg 9 lg 32 2 lg 3 4 log 3 2 log 2 9 2 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 0
50 log 7 8 log 4 49
lg 8 lg 49 lg 2 3 lg 7 2 3 lg 2 2 lg 7 3 lg 7 lg 4 lg 7 lg 2 2 lg 7 2 lg 2
-Od osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi sleduvaat i slednive vrski:
1 log a b k log 1 b log a b log a kb
a)
b)
a
log a kbk log a b
c) Dokaz:
a)
b)
c)
lg b lg a k lg b log 1 b 1 a lg a lg b k k log a kb lg a k
lg b 1 log a b k lg a k lg b lg b log a b 1 lg a lg a
log a kb
k lg b lg b log a b k lg a lg a
-Koristej}i gi vrskite me|u logaritmi so razli~ni osnovi da presmetame: Primeri:
10
log
20
log 2 3
1 log a 3 2 log a 3 2b 1 2 1 1 1 1 a log 2 a 3 log 2 a log 23 a log 8 a 3 log a 8 b
a
3 log
3
1 a3
-Vo vrska so logaritmi so razli~ni osnovi mo`eme da ka`eme i slednovo: Mno`estvoto od logaritmi na site pozitivni realni broevi so ista osnova a, (a 0, a 1) se vika logaritamski sistem so osnova a .
log 1 4 30
log
4 ako log 1 3 a log 3 2
4 3
2
log 1 3
2
0
4
log 30 8 ako lg 5 a i
lg 3 b
log 2 2 2 2 4 1 1 3 log 1 3 log 1 3 2 2 2 2
10 lg 8 lg 2 3 lg 2 5 3(lg 10 lg 5) 3(1 a) log 30 8 lg 30 lg(10 3) lg 10 lg 3 1 b 1 b 1 b 3
3 lg
14
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
---------------------------------------------------------------------------------------------- Tek i grafik na logaritamska funkcija Da se potsetime,pri definiraweto na logaritam }e ka`eme deka log a x, kade a 0 i a 1 , ima smisla za sekoj pozitiven realen broj x, a vrednosta na log a x, mo`e{e da bide koi da bilo realen broj bidej}i pokazatelot b na stepenot ab =x , e koj i da bilo realen broj. Sega mo`eme da ja dodademe slednata definicija: Definicija: Funkcijaata f:R+ R, zadadena so f(x)= log a x, kade a>0 i a 1 e realen broj i x e nezavisna realna promenliva se narekuva logaritamska funkcija. 1) Domenot Df (definicionata oblast) za logaritamskata funkcija f(x) = log a x, e mno`estvoto na pozitivni realni broevi t.e Df= R+. 2) Mno`estvoto Vf na vrednosti na logaritamskata funkcija f(x) = log a x, e sekoj realen broj, t.e Vf = R. 3) Za x= 1, logaritamskata funkcija f(x) = log a x, ima vrednost f(1) =0 4) Logaritamskata funkcija f(x) = log a x, za x>, monotono raste dodeka za 0<x<1 monotono opa|a na celiot domen Df. Dokaz: Svojstvata 1) i 2) sledat direktno od definicijata na logaritamska funkcija. Od log a 1 0 sleduva svojstvoto 3) dodeka svojstvoto 4) }e go doka`eme so doka`uvawe na implikacijata: a) a>1 x1 <x 2 log a x1 < log a x2 , t.e f(x1 )<f(x2 ) b) 0< a<1
x1 <x2 log a x1 < log a x2 , t.e f(x 1 )>f(x2 )
Kako posledica od svojstvoto 4) se izveduvaat i slednive svojstva: 5) Ako a>1
log a x1 < log a x2 , toga{ x 1<x 2 6) Ako 0<a<1 log a x1 < log a x2 , toga{ x 1 > x2 7) Ako log a x1 = log a x2 , toga{ x 1 =x2 Dokaz: ]e ja doka`eme samo prvata posledica, bodej}i drugite se doka`uvaat analogno. Neka a>1 i log a x1 < log a x2 , za x 1 i x2 gi imame slednite mo`nosti x 1 >x2 , x1 =x 2 ili x1<x2 Prviot slu~aj x 1 >x 2 ne e mo`en bidej}i toga{ od svojstvoto 4) sleduva log a x1 > log a x2 , {to protivre~i na uslovot. Vtoriot slu~aj x 1 =x2 isto taka ne e vozmo`en bidej}i toga{ bi imale log a x1 = log a x2 , zna~i ostanuva samo x 1<x2. Primeri: Da ja odredeime definicionata oblastna funkciite: 1) log 2 ( x 3) x 3 0 x 3. zna ~ i D f ( 3,) 2) log 5 (4 x) 4 x 0 x 4. zna ~ i D f (,4 ) 3) log 3 ( x) x 0 x 0. zna ~ i D f ( ,0 ) 2 2 4) log 7 ( x 4) x 4 za sekoe x R zna ~ i D f ( , )
15
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------Da ja opredelime monotonosta na funkciite: 1) y=lgx,
2) y=log0,2x, 3) y=log5 (2+x) 4) y=log1/2x 5) log0,3 (x-4) 6) y=log7 (1+x 2 )
Funkciite pod 1), 3), 5) monotono rastatat bidej}i osnovata na logaritmite e broj polem od 1 dodeka funkciite po 2), 4), 6) monotono opa|aat bidej}i osnovata na logaritmite e broj pome|u 0 i 1. (svojstvo 40 )). 5) log2 (1-x 2 ), 1-x2 >0 6) log 1 3
(1-x) (1+x)>0
D f = (-1, 1).
x2 ( x 2)( x 1) 0 D f (,1) (2, ) x 1
Grafik na logaritamska funkcija
Sega ostanuva da go konstruirame grafikot na logaritamskata funkcija f ( x) log a x vo odnos na pravoagolen koordinaten sistem xOy. Grafikot na funkcijata f ( x) log a x e mno`estvoto od to~ki (x, log a x), x R+, t.e G={(x, log a x), x R+}. Za grafikot na logaritamskata funkcija f ( x) log a x , a>0, a 1,spored dosega ka`anoto imame : -od svojstvoto 1) sleduva deka toj se nao|a desno od ordinantnata oska x. -od svojstvoto 2) sleduva deka toj se nao|a i pod i nad apscisnata oska y. -od svojstvoto 3) sleduva deka toj se~e x oskata vo to`kata (1,0). Primeri: 1) Da go konstruirame grafikot na funkcijata: f ( x) log 2 x Na primer za x=4 imame f(x)=log2 4=2, za x=
1 1 1 f( )=log2 =-1 2 2 2
lg 3 0,477 1,585 lg 2 0,301 3 3 3 za x= , f log 2 log 2 3 log 2 2 1,585 1 0,585 2 2 2 za x=3, f(3)=log2 3=
x
1 4
1 2
1
3 2
2
3
4
y=log2 x
-2
-1
0
0,585
1
1,585
2
y=log2 x
16
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------2)
f ( x) log 1 x
x=3
f(x)= log 1 3 1
3
3
lg 2 lg 2 0,301 0,631 1 lg 1 lg 3 0 0 , 477 3 lg 3 lg 5 lg 5 0,699 x=5 f(5)= log 1 5 1,465 i.t. n. 1 lg 1 lg 3 0 , 477 3 lg 3 x=2 f(2)= log 1 2
x
1 9
1 3
1
2
3
5
y=log1/3x
2
1
0
-0631
-1
-1,465
y=log1/3x
3)
y log 2 ( x 1) 2 log 2 x log 2 ( x 1) log 2 ( x 1) 2 y log 2 x
y log 2 ( x 1) y log 2 ( x 1) 2
17
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------4)
y=log3 x
i
y=-log3 x
Logaritamski ravenki. Definicija: Ravenkata vo koja nepoznatata se nao|a vo logaritmandot ili vo logaritamskata osnova na barem eden logaritam se vika ligaritamska raven ka. 10 Ligaritamskata ravenka od vidot log a x b , logaf(x)=b a>0, a 1kade {to a,b R ima edinstveno re{enie x=a b ,sli~no se re{avaat i logaritamskite ravenki od vidot: loga f(x)=b i logf(x)c=b. Primeri:
1) log5 x=2 x=5 2 x=25 2) lg(x+2)=3 x+2=103 x=998 3) log2 (x 2 -1)=3 x2 -1=23 x2 =9 x1 =-3,x2 =3
20 Logaritamska ravenka koja so pomo{ na nekoi identi~ni transformacii mo`e da se dovede vo vidot: loga f(x)= loga g(x), a>0, a 1 e ekvivalentna so ravenkata f(x)=g(x) pri {to f(x)>0 i g(x)>0 Primeri: 1) lg2+lgx=1 lg2x=lg10 2x=10 x=5 2) log2 x+log2 (x+1)=1 log2 x(x+1)=log2 2 3) lg(x-3)-lg(x-7)=lg5
lg
x(x+1)=2
x 2+x-2=0
x 1 =-2, x2 =1
x 3 lg 5 x 3 5 x 35 x 8 x7
20 Logaritamskata ravenka od vidot F[loga f(x)]=0 a>0, a 1 so smenata loga f(x)=y se sveduva na ravenkata F[y]=0 Ako re{enijata na ovaa ravenka se yi ( i=1,2,…) toga{ re{avaweto na ravenkata F[loga f(x)]=0 se sveduva na re{avawe na vkupnosta na ravenkata: loga f(x)=y; yi ( i=1,2,…)
18
Eksponencijalna i logaritamska funkcija.
----------------------------------------------------------------------------------------------Primeri: 1) logx3+log3 x=2 y2 -2y+1=0
1 1 log 3 x 2 y 2 (smena y=log3x) log 3 x y
y=1 zna~i logx3=1 odtuka x=3
2) log2 x+log4 x=6
1 3 log2 x=6 log2 x=6 log2x=4 x=16 2 2 lg x lg x lg 3 1 (lg x) 2 (lg 3) 2 x1 3, x2 lg 2 lg 3 lg 2 3
log2x+
3) log2 x • log3 x=log2 3
40 Ravenki koi se re{avaat so prethodno logaritmirawe na dvete strani na raven kata: Primeri:
x3 logx=100=lg100
(3-lgx)lgx=2
(lgx)2 -3lgx+2=0
lgx=1 lgx=2 x1 =10 x 2=100
19