Cap. 5 Aplicaciones de la derivada
MOISES VILLENA MUÑOZ
Entonces:
(
dV πH = 2rR − 3r 2 dr R
Por lo tanto: h =
)
dV =0 dr πH 2rR − 3r 2 = 0 y para el óptimo: R r = 0 ∨ r = 23 R
(
)
2 HR − rH HR − 3 RH 1 = = H R R 3
Ejemplo 4 A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro?
SOLUCIÓN: Esquemáticamente tenemos:
Aplicando la ley del coseno para calcular la distancia de separación z , resulta:
(
z 2 = (60 − x )2 + y 2 − 2(60 − x )( y ) cos 45 o
Además como v =
)
e entonces e = vt y para cada distancia tenemos: t x = v x t = 20t y y = v y t = 30t
Reemplazando queda:
(
z 2 = (60 − x )2 + y 2 − 2(60 − x )( y ) cos 45 o
)
( )
z = (60 − 20t ) + (30t ) − 2(60 − 20t )(30t ) 2
2
2
2 2
Maximizar z es lo mismo que maximizar z por tanto si z = D tenemos: 2
2
( )
D = (60 − 20t )2 + (30t )2 − 2(60 − 20t )(30t )
136
2 2