PROBLEMAS E INVESTIGAÇÕES COM TECNOLOGIA
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# FUNÇÕES
E|1
FICHA TÉCNICA TÍTULO Problemas e investigações com tecnologia # Funções EDIÇÃO Associação de Professores de Matemática ORGANIZAÇÃO Grupo de Trabalho T3 AUTORES João Almiro (coordenação), Adelina Precatado, Alexandra Ferrão, Ana Fraga, Ana Mafalda Pereira, Anete Ferreira, António José Mendes, António Vidal Santos, Branca Silveira, Carmo Pereira, Celina Pereira, Eduardo Cunha, Isabel Duarte, Jacinto Salgueiro, João Cavaleiro, Joaquim Pinto, José Paulo Viana, Manuel Teles Lagido, Manuela Pires, Raul Gonçalves, Silvéria Sabugueiro DESIGN Esferagráfica IMPRESSÃO Tondelgráfica APOIO Texas Instruments ISBN 978-972-8768-55-3 DEPÓSITO LEGAL 373571/14 TIRAGEM 1000 exemplares 1.ª EDIÇÃO Março de 2014
# INTRODUÇÃO
A APM, desde a sua criação, deu especial atenção à utilização educativa das novas tecnologias procurando que, com elas na sala de aula, fossem valorizados aspetos essenciais no sentido de melhorar o ensino/aprendizagem da matemática. Foi neste contexto que nasceu o grupo de trabalho T3, hoje com 16 anos. A tecnologia mudou radicalmente nestes 16 anos e hoje, sem sombra de dúvida, poderemos encará-la sobretudo como um instrumento de investigação ao dispor dos alunos e não apenas para efetuar cálculos, confirmar resultados ou apresentar uma “ilustração animada” de conteúdos matemáticos. É nesta perspetiva, de colocar nas mãos do aluno um instrumento tecnológico de investigação matemática (hoje a TI-nspire), que o grupo T3 tem trabalhado, de forma colaborativa, quer na construção e debate de propostas quer na formação de professores. É também como resultado deste trabalho coletivo do grupo que surge a publicação “Problemas e investigações com tecnologia - Funções”, com o intuito de, mais uma vez, partilhar com os professores de matemática um conjunto de propostas de investigações, de desafios e de problemas que, tirando partido da tecnologia, possam ser apresentados aos alunos em sala de aula. Estamos convictos que a surpresa e, porque não dizer, a beleza de algumas descobertas, em atividades como as que aqui propomos, poderão contribuir para o empenho de muitos alunos na sua aprendizagem da matemática. Esta publicação apresenta enunciados e propostas de resolução que, esperamos, facilitem a aplicação em sala de aula, nomeadamente na forma de tirar partido do uso da tecnologia. A título de exemplo, deixamos algumas dessas questões: - Onde se intersetam as retas tangentes ao gráfico de uma função quadrática em pontos de abcissas simétricas? - Onde é que a tangente no ponto médio de dois zeros de uma função polinomial do 3.º grau interseta o eixo Ox? - Como modelar a população de coelhos e lobos numa reserva natural? - Como analisar o fenómeno da consonância e dissonância quando se tocam duas notas musicais? - Qual é o canteiro de flores de área máxima para x metros de cerca? - Como descobrir uma função (polinomial, exponencial, logarítmica,...) que descreva um bom caminho entre bandeiras num Slalom? A tecnologia de que hoje já dispomos, e que não podemos nem devemos ignorar, permite-nos o estabelecimento da diferença entre aprender a matemática como um saber acabado, um conjunto de procedimentos sequenciais, mais ou menos memorizados, que rapidamente se esquecem (e se tornam inúteis pouco tempo depois dos testes e exames) e a possibilidade de serem eles (os alunos), com os instrumentos disponíveis, a investigar e a descobrir as propriedades escondidas e tantas vezes inesperadas, a resolver problemas novos, a ter razões para efetuar algumas demonstrações e, quem sabe, adquirir também o gosto pela matemática.
Grupo de trabalho T3, da APM
# ÍNDICE
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS
E - Enunciados | R - Resoluções
MOEDA EM MOVIMENTO
E | 09
R | 45
TANGENTES À PARÁBOLA
E | 10
R | 47
UM TRIÂNGULO A PARTIR DA PARÁBOLA
E | 11
R | 50
NO EIXO DA PARÁBOLA
E | 12
R | 53
TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
E | 13
R | 55
LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
E | 14
R | 59
ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
E | 15
R | 64
MAIS ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
E | 17
R | 69
TANGENTES E FUNÇÕES CÚBICAS
E | 18
R | 72
UM TRIÂNGULO A PARTIR DA HIPÉRBOLE
E | 19
R | 74
POR ONDE ANDAM OS VÉRTICES DA FUNÇÃO RACIONAL
E | 20
R | 77
NÓ DA AUTOESTRADA
E | 21
R | 79
TANGENTE E NORMAL
E | 22
R | 82
COMPUTADORES E TELEMÓVEIS
E | 23
R | 84
EXPONENCIAIS E TANGENTES
E | 24
R | 86
NA LINHA COM CURVAS
E | 25
R | 89
ENTRE TANGENTES
E | 26
R | 91
A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
E | 27
R | 95
COELHOS E LOBOS
E | 30
R | 100
ONDAS MUSICAIS
E | 31
R | 102
PERÍODO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
E | 34
R | 105
QUADRADO INSCRITO NUM QUADRADO
E | 35
R | 107
RETÂNGULOS DE PERÍMETRO CONSTANTE
E | 36
R | 109
# FUNÇÕES CÚBICAS
# FUNÇÕES RACIONAIS
# FUNÇÕES IRRACIONAIS
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
# FUNÇÕES E GEOMETRIA
# E AINDA… SLALOM
E | 37
R | 111
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
E | 39
R | 116
COEFICIENTES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
E | 40
R | 121
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
E | 41
R | 124
# FUNÇÕES
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PROBLEMAS E INVESTIGAÇÕES COM TECNOLOGIA
E - ENUNCIADOS
E - ENUNCIADOS
E|7
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // MOEDA EM MOVIMENTO
MOEDA EM MOVIMENTO
A partir de uma janela de um apartamento que está a 20 metros do solo, atira-se uma moeda verticalmente para cima com velocidade de módulo 10m/s. Despreza-se a resistência do ar e considera-se o sentido positivo do movimento de baixo para cima. Considerando o valor da aceleração de 9,8m/s2 a expressão que traduz a lei do movimento da moeda é:
em que h representa a altura da moeda, em metros, em função do tempo t, em segundos:
1. Qual foi a altura máxima atingida pela moeda? 2. Quanto tempo demora a moeda a passar novamente pela janela? 3. Durante quanto tempo esteve a moeda no ar? 4. Determina o valor algébrico da velocidade 2,5 segundos após o lançamento. 5. Nesta equação de movimento, a velocidade inicial é representada pelo coeficiente do termo do 1.º grau, neste caso 10m/s, como facilmente poderás demonstrar. Com que velocidade inicial deveria ter sido lançada a moeda
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para que tivesse ultrapassado o topo do prédio, o qual tem uma altura de 30 metros?
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# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES À PARÁBOLA
TANGENTES À PARÁBOLA
1. Considera uma função quadrática qualquer e investiga onde se intersetam as retas tangentes ao gráfico da função em pontos de abcissas simétricas.
2. Prova a tua conjetura para a função que consideraste.
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Resolução na R|47
3. Faz a demonstração para o caso geral de uma função quadrática.
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA PARÁBOLA
UM TRIÂNGULO A PARTIR DA PARÁBOLA
Considera a função
.
Por um ponto de abcissa p traçamos a tangente ao gráfico de f. A tangente interseta os eixos coordenados nos
pontos A e B.
Seja o triângulo BOA, em que O é a origem do referencial.
1. Como varia a área do triângulo em função de p? 2. Prova analiticamente o resultado obtido. .
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Resolução na R|50
3. Estuda agora o mesmo caso mas para a função
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# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // NO EIXO DA PARÁBOLA
NO EIXO DA PARÁBOLA
Considera a função
e representa-a num referencial.
Marca dois pontos da parábola, um de cada lado do eixo dos yy . Traça a reta que une estes dois pontos.
1. Faz uma conjetura sobre a relação entre o declive da reta e as abcissas x1 e x2 desses pontos. 2. Faz uma conjetura sobre a relação entre a ordenada na origem da reta e as abcissas x1 e x2. 3. As conjeturas serão válidas, qualquer que seja a posição relativa dos pontos?
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Resolução na R|53
4. Prova a validade das conjeturas.
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
Considera uma função do tipo
e representa-a num referencial.
Por um ponto qualquer da parábola traça a tangente ao gráfico da função f.
1. Faz uma conjetura sobre a relação entre a ordenada do ponto de tangência e a ordenada na origem da reta tangente. 2. Demonstra a tua conjetura. 3. O que aconteceria se a função fosse do tipo
?
4. Demonstra analiticamente o resultado a que chegaste.
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Resolução na R|55
Adaptado de “!e Case for CAS” (Böhm e outros, 2004)
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# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
Quando se estudam as transformações nos gráficos da função quadrática usualmente utiliza-se o modelo , por ser mais simples a interpretação gráfica da variação dos parâmetros a, h e k. No entanto, se utilizar o modelo
, o que acontece ao vértice da parábola quando se fixam dois
dos parâmetros e se faz variar o outro?
1. Fixa os parâmetros a e b e varia somente o parâmetro c. Qual o lugar geométrico das várias posições que o vértice vai percorrendo? 2. E o que acontece ao vértice da parábola se variar o parâmetro b e se fixarem os outros dois? 3. De igual modo, se se fixarem os parâmetros b e c e se variar o parâmetro a, qual o lugar geométrico dos pontos
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Resolução na R|59
correspondentes às várias posições que o vértice vai percorrendo?
# FUNÇÕES CÚBICAS // ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
1. Representa graficamente uma função de 3.º grau com três zeros, do tipo:
. Considera o ponto P do gráfico cuja abcissa é a média aritmética de dois dos zeros. Traça a tangente ao gráfico nesse ponto.
1.1. Onde é que esta tangente interseta o eixo Ox? 1.2. Experimenta alterar os zeros na expressão analítica da função e verifica se a coincidência se mantém. 1.3. Faz uma conjetura sobre a localização do ponto de interseção da tangente no ponto P com o eixo Ox. 1.4. Demonstra analiticamente a conjetura a que chegaste para o caso da primeira função que criaste. 2. Representa graficamente uma função do 3.º grau com “curva e contracurva”. Marca um ponto B no plano, traça por ele uma paralela a Ox e determina as três interseções com o gráfico da função cúbica.
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Resolução na R|64
Traça a tangente ao gráfico no ponto P cuja abcissa é a média das abcissas de dois dos pontos anteriores.
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# FUNÇÕES CÚBICAS // ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
2.1. Onde é que esta tangente interseta o gráfico da função cúbica? 2.2. Se deslocares o ponto B, o resultado anterior mantém-se? 2.3. Depois de teres feito a investigação na questão 1. poderias ter chegado a esta conclusão mesmo sem fazer as construções para este caso. Porquê? 3. Representa graficamente uma função cúbica com “curva e contracurva”. Através de um ponto B, exterior ao gráfico, traça uma reta oblíqua. Determina as três interseções da reta com o gráfico da função cúbica. Traça a tangente ao gráfico no ponto P cuja abcissa é a média das abcissas de dois dos pontos anteriores.
3.1. Onde é que a tangente em P interseta de novo o gráfico da função cúbica? 3.2. Altera a reta oblíqua, quer deslocando o ponto B, quer alterando o seu declive.
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Resolução na R|64
O resultado anterior mantém-se?
# FUNÇÕES CÚBICAS // MAIS ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
MAIS ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
1. Representa graficamente uma função cúbica de zeros 2, 3 e 5. Define um ponto P qualquer do plano e por ele traça a reta perpendicular ao eixo Oy, de tal modo que intersete
o gráfico da função em três pontos. Determina as suas coordenadas. Desloca o ponto P (e a reta) e observa as abcissas dos três pontos.
1.1. Que relação existe entre estas três abcissas? Sugestão: Lembra-te de quais são os zeros da função. 1.2. Experimenta com uma nova função (por exemplo, com zeros 2, 2 e 5) e verifica se a propriedade anterior se mantém. 1.3. Qual a relação da abcissa do ponto de inflexão da curva com os zeros da função cúbica? Sugestão: pode utilizar-se o resultado da alínea anterior. 2. Representa graficamente uma função do 3.º grau que tenha três zeros, de preferência inteiros. Criando um ponto livre P, traça uma reta qualquer que passe nesse ponto e intersete o gráfico da função em três
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pontos. Observa e regista as abcissas desses três pontos.
2.1. Que relação existe entre estas abcissas? 2.2. Altera a posição da reta e verifica se a relação anterior se mantém.
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# FUNÇÕES CÚBICAS // TANGENTES E FUNÇÕES CÚBICAS
TANGENTES E FUNÇÕES CÚBICAS
Representa graficamente uma função cúbica de tal modo que a origem do referencial coincida com o seu ponto de inflexão. A tangente à curva num ponto qualquer T interseta o gráfico num segundo ponto P.
1. Que relação existe entre as abcissas de T e P?
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Resolução na R|72
2. Escolhe outra função nas mesmas condições. A relação anterior mantém-se?
# FUNÇÕES RACIONAIS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA HIPÉRBOLE
UM TRIÂNGULO A PARTIR DA HIPÉRBOLE
Considera a função
.
Por um ponto de abcissa a traça-se a tangente ao gráfico de f.
A tangente interseta os eixos coordenados nos pontos A e B.
Considera o triângulo BOA, em que O é a origem do referencial.
1. Como varia a área do triângulo em função de a? 2. Considera agora a famíla de funções
com
.
2.1. Investiga, neste caso, a área do triângulo BOA.
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Resolução na R|74
2.2. Demonstra a tua conjetura.
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# FUNÇÕES RACIONAIS // POR ONDE ANDAM OS VÉRTICES DA FUNÇÃO RACIONAL
POR ONDE ANDAM OS VÉRTICES DA FUNÇÃO RACIONAL
Considera a família de funções
em que k é um número real positivo.
Chamemos vértices aos pontos cujas ordenadas correspondem ao mínimo relativo e ao máximo relativo da curva. Estes vértices alteram-se para cada valor de k.
1. Investiga sobre que linha se vão situar os vértices das curvas desta família.
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Resolução na R|77
2. Demonstra algebricamente o resultado a que chegaste.
# FUNÇÕES IRRACIONAIS // NÓ DA AUTOESTRADA
NÓ DA AUTOESTRADA
Uma junta regional tem de tomar decisões sobre a localização de um nó de autoestrada que irá servir duas cidades da sua região. As propostas dos dois municípios apontavam para dois pontos da autoestrada, cada um deles à distância mais curta de cada uma das cidades ou, caso houvesse um só nó, sugeriam que a sua localização estivesse a igual distância das duas cidades. Para além dos problemas económicos resultantes dos custos das deslocações desde cada uma dessas cidades até à autoestrada com implicações no desenvolvimento local, a Junta considerou fundamental o custo da obra. Foi colocado aos técnicos o problema de localizar o nó de consenso dos municípios, assim como localizar o nó ideal que corresponda ao mais baixo custo da obra dos acessos, esta sim da responsabilidade da Junta. Da cartografia disponível, retirava-se que a região de implantação é plana e sem obstáculos especiais, que a distância entre as duas cidades é de 41km e as distâncias de cada uma das cidades à autoestrada são 20km e 29km, situando-se as duas do mesmo lado da autoestrada.
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Resolução na R|79
O trabalho dos técnicos deve ser reportado aos municípios e à Junta com argumentação sobre a solução a adotar.
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# FUNÇÕES IRRACIONAIS // TANGENTE E NORMAL
TANGENTE E NORMAL
. Seja P um ponto da curva e S a sua projeção ortogonal sobre o
Considera o gráfico da função eixo Ox.
Traça a normal à curva no ponto P e considera N o ponto de interseção da normal com o eixo Ox.
1. Faz uma conjetura sobre a relação que existe entre o valor de
e a abcissa de P.
2. Demonstra a validade da tua conjetura.
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resolução na pág 22
Resolução na R|82
Adaptado de uma proposta de: António Barão, Célia Dias, Fernanda Oliveira e Helena Couto
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // COMPUTADORES E TELEMÓVEIS
COMPUTADORES E TELEMÓVEIS
Uma empresa de marketing analisa dados relativos às vendas mensais de dois produtos, telemóveis e computadores, no mesmo período de tempo. O número N de computadores vendidos, em milhares, t meses após o início das vendas, é bem aproximado por . Na tabela, apresenta-se o número V de telemóveis vendidos, em milhares, t meses após o início das vendas. t (meses)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
V (milhares)
5,66
7,094
7,867
10,029
10,942
13,862
15,233
18,789
21,152
Um modelo que se ajusta bem à nuvem de pontos correspondente ao número V de telemóveis vendidos, em função de t, é da forma
.
1. Determina o valor das constantes a e b recorrendo à calculadora. Apresenta os valores de a e b com arredondamento às centésimas. 2. Se o número de telemóveis vendidos seguir esta tendência, prevê quantos telemóveis serão vendidos no 12.º mês.
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Resolução na R|84
3. Em que mês o número de telemóveis vendidos ultrapassou o número de computadores vendidos?
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# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // EXPONENCIAIS E TANGENTES
EXPONENCIAIS E TANGENTES
Considera a família de funções
.
1. 1.1. Para
, averigua a relação que existe entre a abcissa dum ponto P do gráfico da função f e a abcissa do
ponto de interseção da reta tangente ao gráfico nesse ponto com o eixo Ox.
1.2. Demonstra a validade da tua conjetura. 2. 2.1. Representa algumas funções exponenciais com bases diferentes: - Marca um ponto
sobre cada um dos gráficos das funções representadas;
- Constrói a reta tangente a cada um dos gráficos das funções no ponto
associado;
- Arrasta cada um desses pontos de forma que a respetiva tangente passe pela origem do referencial. Averigua qual o lugar geométrico que contém o conjunto desses pontos
.
2.2. Demonstra a tua conjetura. 2.3. Considerando, ainda, os pontos do tipo
da alínea 2.1., analisa a relação que existe entre a sua abcissa e a
Resolução na R|86
base da função exponencial.
Baseado numa sugestão de Helen Skala, U. of Wisconsin-La Crosse
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# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // NA LINHA COM CURVAS
NA LINHA COM CURVAS
Considera a família de funções
, sendo o parâmetro k um número real.
Determina o lugar geométrico dos pontos Pk pertencentes ao gráfico da função que, ao variar k, verificam a condição da tangente ao gráfico nesses pontos passar pela origem.
1. Realiza, na tua calculadora, a construção indicada e estabelece uma conjetura sobre o lugar geométrico pretendido. 2. Demonstra a tua conjetura.
resolução na pág 22
Resolução na R|89
Adaptado de http://espaceeducatif.ac-rennes.fr/jahia/Jahia/lang/fr/pid/16554 (Setembro de 2013)
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# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // ENTRE TANGENTES
ENTRE TANGENTES
Considera as famílias de funções
e
, sendo o parâmetro k um número real positivo.
Considera três pontos M, N e P com a mesma abcissa a, situados, respetivamente, sobre os gráficos das funções f1, f2 e sobre o eixo das abcissas. A tangente ao gráfico de f1, em M, interseta o eixo das abcissas em M’ e a tangente ao gráfico de f2 , em N, interseta o eixo das abcissas no ponto N’ . Realiza, na tua calculadora, a construção indicada.
1. Será possível obter valores para k e a que transformem as duas tangentes em retas perpendiculares? 2. A partir da construção anterior: 2.1. Determina qual a posição relativa dos três pontos M’ , N’ e P . 2.2. Que podes concluir sobre a variação do comprimento do segmento de reta [M’N’ ] ao variar o parâmetro k? 3. Demonstra cada uma das tuas conjeturas.
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resolução na pág 22
Resolução na R|91
Adaptado de http://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/spip.php?article88 (Setembro de 2013)
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
A função logística descreve muitas situações de crescimento de populações ao longo do tempo e o seu gráfico tem esta forma:
Se considerarmos a variável independente x como o tempo decorrido, podemos ver que, no início, a função é praticamente constante, com valores muito próximos de zero. A partir de certa altura, o crescimento confunde-se com uma exponencial para depois se começar a atenuar, acabando a função por estabilizar num certo valor. Ou seja, podemos identificar várias fases: na primeira fase ainda não há condições para a população se desenvolver e os valores da função são praticamente nulos; na segunda fase, surgem as condições ideais e a população cresce sem entraves, como uma exponencial; a seguir, na terceira fase, começam a surgir dificuldades (falta de espaço vital, falta de alimentos suficientes) e o crescimento começa a atenuar-se; na fase final, atinge-se o ponto de saturação para as condições existentes, a população atingiu o seu máximo e já não consegue aumentar mais. Considera a função logística do tipo
, com os parâmetros m, a e b positivos.
Nesta tarefa pretende estudar-se a influência destes parâmetros no gráfico da função logística. Em cada caso, mantêm-se fixos dois dos parâmetros e faz-se variar o terceiro.
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e
, considera-se a família de funções
Varia o valor de m e indica qual é a sua influência no gráfico da função.
.
Resolução na R|95
1. Fazendo
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# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
2. Fazendo m = 8 e b = 0,5, considera-se a família de funções
.
Varia o parâmetro a, entre 0 e 50. Observa o gráfico da função para diferentes valores de a e indica qual é a sua influência.
3. Fazendo
e
, considera-se a família de funções
.
Varia o parâmetro b, entre 0 e 4. Observa o gráfico da função para diferentes valores de b e indica qual é a sua
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resolução na pág 22
Resolução na R|95
influência.
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
4. Foi detetada uma nova estirpe do vírus da gripe, altamente contagiosa mas, felizmente, benigna. A epidemia rapidamente alastrou em Portugal. De acordo com os dados recolhidos pela Direção Geral de Saúde, a percentagem da população atingida pela gripe ao longo dos primeiros três meses é a indicada no quadro seguinte:
Semana População infetada (%)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,1
1,9
3,5
5,8
9,5
15,0
21,8
29,9
37,2
43,6
47,9
50,9
4.1. Faz a nuvem de pontos correspondente a estes dados. 4.2. Constrói um modelo logístico que traduza a evolução da percentagem da população infetada ao longo do tempo.
Resolução na R|95
4.3. De acordo com o teu modelo, que percentagem da população portuguesa é previsível que apanhe a gripe?
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# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // COELHOS E LOBOS
COELHOS E LOBOS
Os ambientalistas usam modelos sinusoidais para modelar populações de predadores e presas. Num estudo particular, a população de coelhos e lobos numa certa reserva natural pode ser modelado pelas seguintes funções:
em que
e
representam, respetivamente, o número de coelhos e de lobos existentes na reserva, decor-
ridos x meses.
1. Nos casos em que uma espécie predadora depende apenas de uma presa, os ciclos populacionais são aproximados nas duas espécies. Será que neste caso a população de lobos depende apenas da população de coelhos? 2. Indica um período em que o número de lobos aumenta e o número de coelhos também aumenta. 3. Descreve como se relacionam as variações das populações de coelhos e de lobos existentes na reserva no período de um ano.
Resolução na R|100
Adaptado de: http://www.regentsprep.org/Regents/math/algtrig/ATT7/graphpractice3.htm (Setembro de 2013)
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# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // ONDAS MUSICAIS
ONDAS MUSICAIS
Todos os sons têm uma característica comum: são produzidos pela vibração de um objeto. Quando um objeto vibra, provoca a vibração de todas as moléculas que estão à sua volta, produzindo ondas sonoras, que poderão ser musicais. Um possível modelo matemático que relaciona a pressão do som (y) com o tempo (x), é uma função do tipo:
y = a sen (bx+c) + d O parâmetro a, a que chamamos amplitude, permite-nos distinguir sons fortes de sons fracos. A frequência de uma onda sonora permite-nos distinguir sons agudos de sons graves. A frequência é inversa do período da função e indica o número de ciclos por unidade de tempo, sendo medida em Hertz (um Hertz corresponde a um ciclo por segundo). O parâmetro b, da família de funções referida, está relacionado com o período e com a frequência de uma onda sonora. A mudança de fase tem a ver com o deslocamento que o gráfico da função sofre na horizontal e está relacionada com os parâmetros b e c referidos anteriormente. 1. Na tabela da página seguinte estão registados os valores de uma recolha de um som feita com recurso a uma calculadora TI-nspire, um microfone e um Lab Cradle. Os valores da pressão do som encontram-se arredondados às centésimas. 1.1. Introduz os valores da tabela numa folha de cálculo e representa a respetiva nuvem de pontos. 1.2. Determina a amplitude, a mudança de fase, o período (positivo mínimo) e a frequência da onda sonora. 1.3. Indica uma expressão da função que modela a onda sonora recolhida. 1.4. Representa graficamente a função que obtiveste em 1.3.. Ajusta-se aos dados que recolheste inicialmente? 1.5. Seleciona a função que a calculadora faz automaticamente usando a regressão sinusoidal. Compara-a com a
Resolução na R|102
função que obtiveste anteriormente, tanto no que se refere aos parâmetros, como à sua representação gráfica.
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# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // ONDAS MUSICAIS
Tempo (segundos) 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0011 0,0012 0,0013 0,0014 0,0015 0,0016 0,0017 0,0018 0,0019 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033 0,0034 0,0035 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039
Pressão som 2,08 2,09 2,14 2,23 2,35 2,48 2,62 2,76 2,89 3,00 3,07 3,11 3,11 3,07 3,00 2,89 2,77 2,63 2,49 2,35 2,24 2,15 2,10 2,08 2,10 2,16 2,26 2,38 2,52 2,66 2,80 2,92 3,02 3,09 3,12 3,11 3,06 2,97 2,86 2,73
Resolução na R|102
2. Quando duas notas são tocadas ao mesmo tempo, o som produzido tanto pode ser agradável como desagradável para o ouvido (pelo menos, no paradigma da música clássica). No primeiro caso, diz-se que as notas são consonantes. No segundo, por oposição, diz-se que as notas são dissonantes e muitas vezes consegue ouvir-se um batimento em intervalos regulares, pontuado por marcados silêncios periódicos: “Uahamm… uahamm… uahamm… uahamm… uahamm…” E|32
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // ONDAS MUSICAIS
O fenómeno da dissonância pode ser analisado matematicamente, através da análise de gráficos das ondas sonoras relativas às notas que são tocadas simultaneamente, ou seja, “adicionadas”. Nos gráficos seguintes mostra-se o efeito da consonância e da dissonância que se obtiveram adicionando as funções correspondentes a duas notas musicais.
Consonância
Dissonância
Na figura em baixo encontram-se as frequências das várias notas musicais.
Como a frequência está relacionada com o período e com os parâmetros das funções trigonométricas, facilmente se pode escrever a expressão da função correspondente a uma nota musical. Por exemplo a nota Dó é:
Resolução na R|102
Propomos-te que encontres num teclado ou em http://www.virtualpiano.net/ notas consonantes e dissonantes e que explores este fenómeno com a ajuda da calculadora. Experimenta adicionar diversas notas, aos pares, e observa os gráficos respetivos. Em que condições são duas notas dissonantes? E consonantes?
E|33
# FUNÇÕES // PERÍODO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
PERÍODO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Resolução na R|105
Conjetura sobre o período das funções trigonométricas do tipo:
E|34
# FUNÇÕES E GEOMETRIA // QUADRADO INSCRITO NUM QUADRADO
QUADRADO INSCRITO NUM QUADRADO
Considera um quadrado [ABCD] com 10cm de lado e quatro pontos móveis M, N, O e P que se deslocam à mesma velocidade sobre os lados do quadrado de modo que,
como é sugerido na fi-
gura. A cada posição dos pontos M, N, O e P corresponde um quadrado [MNOP].
1. Entre que valores pode variar o valor de a? 2. Como varia a área do quadrado [MNOP] em função de a?
Resolução na R|107
3. Faz uma investigação para determinar o valor de a de modo que a área do quadrado inscrito seja mínima.
E|35
# FUNÇÕES E GEOMETRIA // RETÂNGULOS DE PERÍMETRO CONSTANTE
RETÂNGULOS DE PERÍMETRO CONSTANTE
O António dispõe de 16,4 metros de cerca para construir um canteiro de flores retangular. Quais devem ser as dimensões do canteiro de modo a que a área para plantar flores seja máxima?
Imagem da autoria de Rosa Maria Barracha, professora do GR600 do
Resolução na R|109
Agrupamento de Escolas Poeta António Aleixo – Portimão
E|36
# E AINDA... // SLALOM
SLALOM
Nas provas de Slalom, o esquiador tem de fazer um percurso contornando bandeiras ou passando entre duas bandeiras que formam uma porta. Define uma janela com -1
x
7 e -1
y
8.
Representa os pontos (1, 4), (2, 4), (5, 4) e (6, 4) que serão as bandeiras do Slalom.
1. Descobre uma trajetória do esquiador que seja definida por uma função quadrática e que passe nas duas portas sem tocar nas bandeiras. 2. O público que assiste à prova ocupa a zona do plano definida por
. Encontra uma nova trajetória quadrática
do esquiador que não passe pelo público. 3. Define por uma função cúbica a trajetória do esquiador que passa nas portas e no intervalo entre elas. 4. Na figura seguinte, está representada a trajetória realizada pelo campeão suíço que venceu este Slalom. Encon-
resolução na pág 22
Resolução na R|111
tra a expressão de uma função por ramos com esta representação.
E|37
# E AINDA... // SLALOM
5. Representa ainda os pontos (9, 4) e (10, 4) para obter mais uma porta e descobre uma trajetória sinusoidal nas condições das perguntas anteriores. 6. Visualiza uma nova janela com -4 ≤ x ≤ 16 e -3 ≤ y ≤ 10 e marca os pontos (1, 0), (1, 1), (5, 4), (6, 3), (13, 7) e (13, 8) para posição das bandeiras. Determina uma função logística cujo gráfico seja a trajetória de um slalom que passe nas três portas sem lhes tocar. 7. O Márcio participa numa prova de gincana com a sua bicicleta. Num dos exercícios tem de atravessar um retângulo desenhado no solo, de um lado até ao lado oposto, fazendo slalom entre dois pinos, sem lhes tocar e sem pisar os lados do retângulo, situações que o penalizam. Entenda-se que fazer slalom entre os pinos significa passar o primeiro por um dos lados (esquerda ou direita) e passar o segundo pelo outro lado. A figura abaixo pretende representar uma planta do local da prova, onde se pode visualizar o retângulo (entre as retas de equação y = 1 e y = 3), o lado de partida (na reta de equação x = 1) e o lado de chegada (na recta de equação x = 11). Os pontos mais a cheio no interior do retângulo representam os pinos.
Encontra uma trajetória possível para a prova do Márcio, sabendo que não pode ter penalizações, mas que seja o
Resolução na R|111
gráfico de uma função cúbica na escala determinada pelo referencial.
E|38
# E AINDA... // INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
O esquema seguinte mostra como se pode obter, graficamente, a imagem de um ponto P, por composição de duas
funções (g o f).
P (a, g(f(a))) A (a, 0)
1. Considera as funções
e
.
Representa graficamente as funções indicadas e a bissetriz dos quadrantes ímpares y = x. Marca, no eixo dos xx, o ponto genérico A, de abcissa a, e recria o esquema representado na figura. Confirma que, ao movimentares o ponto A, o ponto P se desloca segundo o processo indicado. 1.1. Obtém o lugar geométrico do ponto P, ao movimentares o ponto A. 1.2. Determina, analiticamente, a expressão
, representa-a graficamente e confirma que o gráfico
coincide com o traçado geométrico do ponto P. 2. Considerando a função
, qual será a expressão da função
? Adapta o esquema
gráfico a esta nova situação. 3. Se a função f for representada pela expressão
, qual será o gráfico correspondente a
?
Terias que impor alguma restrição ao gráfico obtido através da tua construção? 4. No caso de
, como adaptarias o teu esquema gráfico a esta nova situação?
Aplica a nova construção à função m(x) no caso em que
.
Confirma, analiticamente, o resultado obtido graficamente. Qual é o domínio da função m(x)?
Considera a função f(x) = x2 – 2. Investiga, graficamente, se existem pontos cíclicos. No caso de existirem, determina, analiticamente, as respetivas coordenadas.
Resolução na R|116
5. Dada uma função f, pretende-se encontrar pontos no respetivo gráfico, denominados pontos cíclicos, tal que f(a) = b e f(b) = a, correspondentes ao seguinte esquema:
E|39
# E AINDA... // COEFICIENTES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
COEFICIENTES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1. Considera as funções lineares do tipo
, com a, b, c números reais diferentes de zero e que são
elementos consecutivos de uma progressão aritmética (por exemplo
).
1.1. Traça diversas funções lineares nestas condições. 1.2. Estabelece uma conjetura sobre uma caraterística comum aos respetivos gráficos. 1.3. Demonstra essa conjetura. 2. Será que no caso das funções quadráticas do tipo
, com a, b, c nas mesmas condições do item
Resolução na R|121
anterior, também acontece algo semelhante? Investiga e demonstra o resultado obtido.
E|40
# E AINDA... // SOLUÇÕES DA EQUAÇÃ0
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
1. Considera as funções
e
e representa-as graficamente.
2. Utilizando as capacidades da calculadora investiga quantas soluções tem a equação
. Para cada
uma das soluções encontradas indica um intervalo de amplitude 0,5 que a contenha. 3. Confirma analiticamente os resultados obtidos na alínea anterior. 4. Considera a função
e determina um valor aproximado, com um erro inferior a 0,0005, para
Resolução na R|124
o zero negativo da função utilizando o método de Newton-Raphson.
E|41
PROBLEMAS E INVESTIGAÇÕES COM TECNOLOGIA # FUNÇÕES
R - RESOLUÇÕES
R - RESOLUÇÕES
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // MOEDA EM MOVIMENTO
MOEDA EM MOVIMENTO
Para responder às primeiras quatro questões podem utilizar-se as funcionalidades de análise do gráfico, determinando-se o máximo, a abcissa do ponto de ordenada 20, o zero positivo da função e a derivada do ponto de abcissa 2,5.
Assim sendo, pode dizer-se que a moeda atingiu uma altura máxima de 25,1 metros, que demora cerca de 2 segundos para voltar a passar pela janela, que esteve no ar durante cerca de 3,3 segundos e que o valor algébrico da velocidade, 2,5 segundos após o lançamento, é -14,5m/s. Para responder à última questão pode começar-se por efetuar um procedimento gráfico de determinação da solução e confirmar posteriormente por um procedimento analítico. Note-se que o coeficiente do termo de 1.º grau corresponde ao valor da velocidade inicial. Assim sendo, compreende-se facilmente que um aumento desse valor levará a um aumento da altura máxima que atingirá a moeda. Experimenta-se diferentes valores para o coeficiente do termo de 1.º grau de modo que a altura máxima atinja 30 metros, sabendo que têm de ser superiores a 10 metros porque com esse valor a altura máxima é de cerca de 25 metros.
Enunciado na E|09
R|45
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // MOEDA EM MOVIMENTO
Observa-se que com uma velocidade inicial superior a 14m/s a moeda ultrapassará os 30 metros de altura. Sabe-se que a velocidade da moeda se anula quando atinge a altura máxima. Sendo a lei do movimento da moeda descrita pela expressão
, a lei da velocidade é
, que corresponde à função derivada de h .
velocidade é Assim,
..
Ao encontrar o valor de b que é solução da equação
obtém-se o valor da velocidade inicial para o
qual a altura é 30 metros e sabe-se assim que para valores superiores a esse, a moeda ultrapassará a altura pretendida. . Considerando o contexto, conclui-se que 14 é o valor procurado.
Enunciado na E|09
R|46
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES À PARÁBOLA
TANGENTES À PARÁBOLA
função 1. Traça-se o gráfico da função
, por exemplo, e marca-se um ponto qualquer, A, sobre
a parábola:
Com vista à obtenção do ponto B, de abcissa simétrica à de A, faz-se a reflexão deste ponto relativamente a traça-se a reta perpendicular aa
,
que passa neste ponto e encontra-se a sua interseção com a parábola:
Traçam-se as retas tangentes à parábola nos pontos A e B e determina-se o seu ponto de interseção:
Enunciado na E|10
R|47
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES À PARÁBOLA
Analisa-se o que se passa quando se alteram as coordenadas do ponto A:
Tudo indica que o ponto de interseção das tangentes tem de coordenadas
)e
2. Sejam função
.
, dois pontos de abcissas simétricas, do gráfico da
.
. O declive da reta tangente ao gráfico de f em , pelo que uma equação desta reta será
) é
e a sua ordenada na origem .
De modo semelhante se conclui que uma equação da reta tangente ao gráfico de f em será
Enunciado na E|10
R|48
.
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES À PARÁBOLA
Interseção das duas retas: .
.
Logo o ponto de interseção das tangentes tem de coordenadas 3. Sejam gráfico da função
) e
, dois pontos de abcissas simétricas, do .
O declive da reta tangente ao gráfico de f em na origem
) é
e a sua ordenada
, pelo que uma equação desta reta será
.
De modo semelhante se conclui que uma equação da reta tangente ao gráfico de f em será
.
Interseção das duas retas:
.
R|49 Enunciado na E|10
Logo o ponto de interseção das tangentes tem de coordenadas
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA PARÁBOLA
UM TRIÂNGULO A PARTIR DA PARÁBOLA
1. Na figura seguinte está representado o triângulo BOA construído a partir da tangente ao gráfico num ponto qualquer de abcissa p.
Define-se a abcissa p e a área do triângulo como variáveis, para serem capturadas numa folha de cálculo, à medida que varia a abcissa. Mostra-se uma recolha de dados na figura seguinte:
Enunciado na E|11
R|50
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA PARÁBOLA
Ao fazer-se uma nuvem de pontos dos valores obtidos, a sua visualização sugere o traçado de uma função quadrática:
Assim, com o auxílio da calculadora determina-se a regressão quadrática que melhor se ajusta a esta nuvem.
Numa folha de cálculo pode-se comparar os valores da área do triângulo recolhidos (coluna B) com os valores das imagens obtidas através da função quadrática (coluna C), verificando que existem diferenças significativas entre eles.
Enunciado na E|11
R|51
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA PARÁBOLA
Com o objetivo de tentar melhorar a função que melhor se ajusta aos nossos dados, experimentou-se uma regressão cúbica. Nos ecrãs seguintes mostra-se a função obtida, bem como as imagens calculadas através dessa função (coluna D).
Como se pode observar, comparando os valores das colunas B e D, trata-se de um bom modelo. A expressão da , pois os outros coeficientes são desprezáveis, por serem da ordem de 10-13.
função obtida é
2. Pode obter-se este resultado analiticamente da seguinte maneira: Sendo equação é:
então
. Logo o declive da reta tangente no ponto de coordenadas
e a sua
.
O zero da reta tangente é 3. Para
é
, sendo a área do triângulo BOA igual a:
.
, o estudo pode ser feito como nas questões anteriores.
A função que relaciona a abcissa p com a área do triângulo é neste caso:
.
Extensão:
Enunciado na E|11
R|52
Do mesmo modo se pode encontrar o modelo que relaciona a abcissa de um ponto do gráfico de uma função do tipo
com a área do correspondente triângulo BOA.
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // NO EIXO DA PARÁBOLA
NO EIXO DA PARÁBOLA
1. e 2. Para responder às duas primeiras questões representam-se o gráfico da função
e a reta que une
dois pontos da parábola e determinam-se o ponto de interseção da reta com o eixo dos yy e o declive dessa reta. Nas figuras seguintes encontram-se dois exemplos:
A observação das abcissas dos pontos, do declive da reta e da sua ordenada na origem parece sugerir que: - o declive da reta se obtém adicionando as abcissas; - a ordenada na origem é igual ao simétrico do produto das abcissas. 3. Para verificar que estas conjeturas se verificam para outros valores definem-se as abcissas x1 e x2 , a ordenada na origem da reta e o seu declive como variáveis. Neste caso, opta-se por uma captura manual dos dados das quatro variáveis para a folha de cálculo. Na figura que se segue estão representados alguns dos dados recolhidos. Estes permitem confirmar as conjeturas efetuadas nas duas primeiras questões e alargar a conjetura para outros pontos.
lado do eixo dos yy, um de cada lado ou um deles sobre o eixo da parábola.
R|53 Enunciado na E|12
Os dois resultados parecem manter-se válidos quaisquer que sejam as posições relativas dos pontos, do mesmo
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // NO EIXO DA PARÀBOLA
4. Para provar a primeira conjetura, basta determinar o declive da reta: . Para provar a segunda, determina-se a equação da reta e a sua ordenada na origem: . Substituindo as coordenadas x e y pelas coordenadas do ponto de abcissa
, por exemplo, obtém-se:
.
Extensão: Poderia estudar-se também estes resultados para o caso geral da função
Enunciado na E|12
R|54
.
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
1. Representa-se graficamente uma função do tipo
e cria-se um seletor para o parâmetro a. Coloca
se um ponto P sobre a parábola, traça-se a tangente ao gráfico da função nesse ponto e faz-se a sua interseção
com o eixo Oy.
Se se fizer variar quer o valor do parâmetro a quer as coordenadas do ponto P, observa-se que a ordenada do ponto de tangência e a ordenada na origem da reta tangente são simétricas.
Enunciado na E|13
R|55
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
2. Para demonstrar esta conjetura considera-se
) um ponto do gráfico da função
.
Determina-se o declive da reta tangente ao gráfico no ponto P: e a ordenada na origem desta reta: Logo, a ordenada na origem da reta tangente ao gráfico de
. no ponto P é simétrica à ordenada desse ponto.
3. Faz-se variar um parâmetro de cada vez para investigar se todos têm influência na ordenada na origem da reta tangente ao gráfico no ponto P.
Começa-se por atribuir o valor 1 ao parâmetro a, 0 ao parâmetro b e faz-se variar o c para se estudar primeiro o
caso das funções
Enunciado na E|13
R|56
:
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
Parece continuar a existir uma simetria entre as ordenadas dos dois pontos, não em relação à origem do referencial, mas em relação ao vértice da parábola, o que sugere que a média das ordenadas de P e Q é igual à ordenada do vértice da parábola. Continuando a estudar o caso das funções
faz-se variar o parâmetro a:
Mantém-se a simetria encontrada anteriormente. O parâmetro a parece não ter influência na relação entre as
ordenadas do ponto de tangência e do ponto de interseção da reta tangente com o eixo Oy. Estuda-se agora o possível efeito do parâmetro b:
Enunciado na E|13
R|57
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // TANGENTES E SIMETRIAS EM PARÁBOLAS
Continua a verificar-se a mesma simetria, mas como neste caso a parábola sofre uma deslocação horizontal, a simetria da ordenada do ponto de tangência é com o ponto de interseção da reta tangente com o eixo de simetria da parábola que deixou de coincidir com o eixo Oy. Parece poder concluir-se que numa função quadrática,
, a ordenada de qualquer ponto,
P, do seu gráfico e a ordenada do ponto de interseção, Q, da reta tangente em P com o eixo de simetria da parábola são simétricas relativamente ao vértice da parábola.
) um ponto do gráfico da função
4. Considera-se
Determina-se o declive da reta tangente ao gráfico no ponto P:
. .
Designa-se por B a ordenada na origem da reta tangente ao gráfico de f em P: . Logo a equação da reta tangente ao gráfico de f em P é: . . Calculam-se as coordenadas do ponto Q, interseção desta reta com o eixo de simetria da parábola: . Verifica-se que as ordenadas de P e Q são simétricas em relação ao vértice da parábola: , que é como se sabe a ordenada do vértice da parábola.
Enunciado na E|13
R|58
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
1. Para responder à primeira questão, representa-se o gráfico da função
, fixam-se os parâ-
metros a e b e varia-se apenas o parâmetro c. Apresentam-se dois exemplos, em que se optou pelo traçado geo-
métrico do vértice da parábola quando se varia o parâmetro c.
No primeiro, fixaram-se
e
No segundo, fixaram-se
e
. Variando o parâmetro c, o vértice percorre a reta de equação x = 3.
e o vértice percorre a reta de equação x = -2.
A variação do parâmetro c influencia apenas o deslocamento vertical da parábola e, por consequência, a ordenada do vértice. Assim, o vértice vai percorrer uma reta vertical. Os exemplos sugerem que o valor constante da equação da reta vertical se obtém fazendo o simétrico da metade do quociente de b por a, que é o valor conhecido da
abcissa do vértice, que não depende do parâmetro c.
. R|59 Enunciado na E|14
Assim, o lugar geométrico pedido é a reta de equação:
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
2. Para responder à segunda questão, fixam-se os parâmetros a e c e varia-se o parâmetro b. Ao fazer uma simulação com
e
, parece que o vértice da parábola percorre uma parábola que tem
por eixo de simetria o eixo dos yy, passa no ponto de coordenadas (0,-2) e terá como equação
Experimentam-se outros valores para os parâmetros a e c. Seja
e
.
.
A parábola obtida parece ter as mesmas características da simulação anterior, tem por eixo de simetria o eixo dos
yy, passa no ponto de coordenadas (0,2) e terá como equação E se a for negativo ou tiver valores absolutos diferentes da unidade? Para
Enunciado na E|14
R|60
e
, obtém-se a parábola de equação
.
.
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
Para
e
, obtém-se a parábola
Para
e
, obtém-se a parábola
.
.
Experimentando outros valores para os parâmetros a e c, parece que o vértice da parábola vai percorrer uma , resultado que se prova analiticamente.
R|61 Enunciado na E|14
parábola de equação
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
Numa função quadrática na forma e
, as coordenadas do vértice da parábola são:
.
Sendo b o parâmetro a variar, resolve-se a equação Substituindo b na equação
em ordem a b, tem-se:
.
, obtém-se:
(c.q.d.) 3. Para responder à terceira questão, fixam-se os parâmetros b e c e faz-se variar o parâmetro a. No exemplo que se apresenta, fez-se
e
.
O vértice parece percorrer a reta de equação
.
Experimentando-se outros valores para os parâmetros b e c, por exemplo, b=4 e c=2, parece obter-se a reta de equação
Enunciado na E|14
R|62
.
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // LUGARES GEOMÉTRICOS EM PARÁBOLAS
Atribuindo outros valores aos parâmetros b e c, parece que o lugar geométrico pretendido é a reta de equação:
em ordem a a obtendo-se
Substitui-se na expressão da ordenada do vértice
.
, resultando:
(c.q.d.)
R|63 Enunciado na E|14
Para provar esta conjetura, resolve-se a equação
# FUNÇÕES CÚBICAS // ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
1.1. Cria-se uma função do 3.º grau, com três zeros (por exemplo, 2, 4 e 7).
Escolhem-se dois zeros (por exemplo, 2 e 4) e constroem-se os respetivos pontos. Representa-se o ponto médio M desses dois zeros.
Traça-se em seguida a reta vertical que passa por M.
Determina-se o ponto P, interseção desta reta com o gráfico da função. Representa-se a tangente ao gráfico da função no ponto P.
Finalmente, determina-se a interseção da tangente com o eixo Ox.
Verifica-se que a tangente corta o eixo horizontal precisamente no terceiro zero. Mas não terá sido um acaso?
Enunciado na E|15
R|64
Será sempre assim?
# FUNÇÕES CÚBICAS // ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
1.2. Pode alterar-se um dos zeros na expressão analítica da função substuindo, por exemplo, o valor 2, por 2,68.
A tangente continua a intersetar o eixo horizontal no terceiro zero. Para variar rapidamente um zero da função, cria-se um seletor, neste exemplo z1 substituindo-se na expressão da
função o terceiro zero por z1.
Agora, deslocando o cursor, variamos o zero para qualquer valor desejado. A tangente continua a passar sempre pelo terceiro zero.
Enunciado na E|15
R|65
# FUNÇÕES CÚBICAS // ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
1.3. A tangente ao gráfico da função no ponto P interseta o eixo Ox no terceiro zero. 1.4. Para a demonstração considera-se a função inicial
.
O declive da reta tangente obtém-se a partir da derivada de f, assim:
A média dos dois zeros é 3 e f’(3) = – 1.
Logo, a equação da tangente é do tipo y = – x + b.
Como a tangente passa no ponto P de coordenadas (3, 4), tem-se: 4 = – 3 + b A equação da tangente é y = – x + 7.
A interseção com o eixo horizontal ocorre quando y = 0 : 0 = – x + 7
7 = b.
x = 7 (c.q.d.)
NOTA: Apesar de mais trabalhosa, pode também fazer-se a demonstração para o caso geral da função .
2.1. Escolhe-se uma função cúbica qualquer, por exemplo,
.
Cria-se um ponto B e traça-se uma reta horizontal por esse ponto. Representa-se a interseção dessa reta com o gráfico da função. Determina-se o ponto médio de dois desses pontos. Traça-se a reta vertical que passa por esse ponto e obtém-se o ponto P, interseção dessa reta com o gráfico.
Representa-se a tangente ao gráfico em P.
A tangente ao gráfico da função passa no terceiro ponto de interseção.
Enunciado na E|15
R|66
# FUNÇÕES CÚBICAS // ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
2.2. Deslocando o ponto B para diferentes posições, observa-se que a tangente ao gráfico da função passa sempre pelo terceiro ponto de interseção.
2.3. Esta situação é idêntica à da questão 1., verificando-se apenas uma translação vertical correspondente à ordenada do ponto B. Ou seja, pode imaginar-se que a reta horizontal é o eixo Ox, ficando-se, assim, na situação da investigação anterior. 3.1. Escolhe-se, por exemplo, a função que passa por B. Os restantes passos são idênticos aos da questão 2..
. Cria-se um ponto B e uma reta oblíqua
Verifica-se, também neste caso, que a tangente passa no terceiro ponto de interseção.
Enunciado na E|15
R|67
# FUNÇÕES CÚBICAS // ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
3.2. A reta pode ser alterada deslocando o ponto B (mantendo-se o declive), ou mudando o declive.
Qualquer que seja a posição da reta, mantém-se a propriedade: a tangente passa sempre no terceiro ponto de interseção.
Enunciado na E|15
R|68
# FUNÇÕES CÚBICAS //MAIS ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
MAIS ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
1.1. Representa-se o gráfico da função cúbica, cria-se um ponto P no plano, traça-se a reta horizontal a passar em P e determinam-se os pontos de interseção da reta com o gráfico da função. Determinam-se as coordenadas dos três pontos. Deslocando o ponto P, pode alterar-se a posição da reta e observar, em cada caso, o que acontece.
Pela sugestão dada, estas três abcissas estarão relacionadas com os zeros da função. A soma dos zeros é 2+3+5 = 10 e tem-se, nos dois exemplos das figuras: 4,87 + 3,32 + 1,81 = 10 4,41 + 4,01 + 1,58 = 10 Parece verificar-se que, para qualquer que seja a posição da reta, a soma das três abcissas é igual à soma dos zeros. 1.2. Altera-se o zero na expressão analítica.
Verifica-se que a soma dos zeros é agora 9 e que a soma das três abcissas é também a mesma: R|69 Enunciado na E|17
4,71 + 3,05 + 1,24 = 9 .
# FUNÇÕES CÚBICAS // MAIS ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
1.3. Um ponto do gráfico de uma curva é de inflexão se aí houver alteração da concavidade. Nas funções cúbicas, há sempre uma parte da curva com a concavidade virada para cima e outra com ela virada para baixo. Portanto, existe sempre um ponto de inflexão.
O gráfico tem uma simetria central, cujo centro é o ponto de inflexão I. Pode usar-se o resultado da investigação anterior. Considerando uma reta horizontal a passar no ponto de inflexão, a soma das abcissas dos três pontos de interseção vai ser igual à soma dos zeros (9 no caso da função cúbica que se usou na questão anterior). Devido à simetria central, o ponto de inflexão é o ponto médio dos outros dois pontos. Logo, a sua abcissa é a média das três abcissas (e também dos três zeros).
. Conclusão: numa função cúbica de zeros x1 , x2 e x3 , a abcissa do ponto de inflexão é igual à média dos zeros: .
Enunciado na E|17
R|70
# FUNÇÕES CÚBICAS // MAIS ENCONTROS IMEDIATOS DO 3.º GRAU
2.1. Seja, por exemplo, uma função cúbica com zeros -3, -1 e 5:
.
Representa-se o seu gráfico e tal como nas investigações anteriores, constrói-se um ponto exterior, uma reta a passar por ele e faz-se a interseção da reta com o gráfico da função, determinando-se as coordenadas desses pontos.
Para procurar a relação pedida, testa-se a propriedade que se encontrou na investigação realizada na questão anterior, quando a reta era horizontal. A soma dos zeros é: -3 +(-1) + 5 = 1 . A soma das abcissas dos três pontos é: -4,16 + 0,54 + 4,62 = 1 . Neste caso particular, a soma das abcissas dos três pontos continua a ser igual à soma dos zeros. 2.2. Altera-se a posição da reta, deslocando o ponto P ou mudando o declive, e regista-se as coordenadas dos três pontos de interseção. Por exemplo:
Nestes dois casos, a soma das abcissas dos três pontos é: -4,71 + 1,13 + 4,58 = 1 e -2,34 – 1,27 + 4,61 = 1 . A relação mantém-se: a soma das abcissas dos três pontos é igual à soma dos zeros. Se experimentares com R|71 Enunciado na E|17
qualquer outra função cúbica, o resultado observado mantém-se.
# FUNÇÕES CÚBICAS // TANGENTES E FUNÇÕES CÚBICAS
TANGENTES E FUNÇÕES CÚBICAS
1. Tendo em conta a investigação realizada na tarefa “Mais encontros imediatos do 3.º grau”, para que o ponto de inflexão esteja em (0, 0), basta que um dos zeros seja 0 e os outros sejam simétricos. Seja então, por exemplo,
.
Traça-se a tangente num ponto qualquer T, determina-se o ponto de interseção P da tangente com o gráfico da função e indicam-se as coordenadas destes pontos.
Desloca-se o ponto T e observa-se os valores das abcissas dos dois pontos.
Qualquer que seja a posição de T, xP é o dobro do simétrico de xT.
E nunciado na E|18
R|72
# FUNÇÕES CÚBICAS // TANGENTES E FUNÇÕES CÚBICAS
2. Escolhe-se outra função, alterando os zeros simétricos. Por exemplo,
.
A relação mantém-se: xP = –2 xT . Pode experimentar-se com outras funções cúbicas, nomeadamente para o caso das que são injetivas. Escolhe-se então uma função cúbica ímpar, para que o ponto de inflexão esteja na origem do referencial. Por exemplo,
.
Como se pode observar nas figuras a relação não se altera. NOTA: A partir das conclusões anteriores, pode estabelecer-se uma relação entre as abcissas de T, de P e do ponto de inflexão
F para uma função cúbica qualquer.
Pensando que através de uma translação é possível deslocar o gráfico de qualquer função cúbica de modo que o ponto de inflexão coincida com a origem, tem-se:
xP – xF = – 2 (xT – xF).
Enunciado na E|18
R|73
# FUNÇÕES CÚBICAS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA HIPÉRBOLE
UM TRIÂNGULO A PARTIR DA HIPÉRBOLE
1. Começa-se por construir o triângulo BOA a partir da tangente ao gráfico da função
num ponto qualquer
de abcissa a.
Pedindo de seguida a medição da área do triângulo verifica-se que se obtém sempre o mesmo valor qualquer que seja a:
Enunciado na E|19
R|74
# FUNÇÕES RACIONAIS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA HIPÉRBOLE
A área do triângulo BOA é sempre igual a duas unidades de área qualquer que seja o valor da abcissa do ponto de tangência. 2.1. Considera-se agora a família de funções
. Inserindo um seletor para k e pedindo o valor
das áreas dos triângulos construídos do mesmo modo, obtém-se:
Enunciado na E|19
R|75
# FUNÇÕES RACIONAIS // UM TRIÂNGULO A PARTIR DA HIPÉRBOLE
A área do triângulo é igual a 2.2. Seja
.
um ponto do gráfico da função
O valor da derivada da função em neste ponto é:
.
é
. Assim, uma equação da reta tangente ao gráfico
.
Logo a equação reduzida da reta tangente no ponto
é:
.
A altura e a base do triângulo formado pela reta tangente ao gráfico da função e os eixos coordenados são respetivamente, a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo Oy e a abcissa do ponto de interseção da mesma com o eixo Ox. Interseção com Oy : Interseção com Ox
.
:
.
Então as coordenadas dos pontos de interseção da reta tangente com os eixos coordenados são Logo, a área do triângulo é
Enunciado na E|19
R|76
.
e
.
# FUNÇÕES RACIONAIS // POR ONDE ANDAM OS VÉRTICES DA FUNÇÃO
POR ONDE ANDAM OS VÉRTICES DA FUNÇÃO RACIONAL
1. Com vista a criar um parâmetro k positivo que se possa manipular, insere-se um seletor, definindo-se como valor mínimo 0,1 e valor máximo 10. Representa-se graficamente algumas funções da família
e
determinam-se os seus extremos relativos para vários valores de k.
Analisando as coordenadas destes pontos, conjetura-se que, para cada caso, o valor da abcissa é igual a mais ou menos raiz quadrada de k e o valor da ordenada é o dobro do valor da abcissa. Para testar esta conjetura, pode-se recorrer à calculadora para obter o traçado geométrico dos vértices e confir-
R|77
se sobrepõe a este traçado. Enunciado na E|20
mar que a reta de equação
# FUNÇÕES RACIONAIS // POR ONDE ANDAM OS VÉRTICES DA FUNÇÂO RACIONAL
Confirma-se assim que os vértices das curvas da família de funções
estão sobre a reta de equação
. 2. Uma demonstração desta conjetura pode ser feita, recorrendo ao cálculo diferencial, determinando-se os extremos relativos desta família de funções. Uma vez que, em
,
facilmente se conclui que os zeros desta função são
e
e que
estes são os valores das abcissas dos extremos relativos da família de funções. Calcula-se as ordenadas destes pontos:
.
Isto prova que os extremos relativos da família de funções
são do tipo
ou
ou seja, que a ordenada de cada um destes pontos é igual ao dobro da sua abcissa e por isso pertencem à reta de equação
Enunciado na E|20
R|78
.
# FUNÇÕES RACIONAIS // NÓ DA AUTOESTRADA
NÓ DA AUTOESTRADA
Considera-se o eixo Ox como sendo a autoestrada. O ponto A(0, 20) representa a cidade A.
Para localizar o ponto B, interseta-se a circunferência de centro em A e raio 41 com a reta de equação y = 29. O ponto B terá de coordenadas (40, 29).
Por B traça-se uma perpendicular ao eixo das abcissas, encontra-se assim o nó ideal, P, para a cidade B. O nó ideal
para a cidade A é a origem do referencial.
Traça-se o segmento de reta [O P], segmento a que pertencerá o nó ideal.
Pretende-se determinar o ponto N, pertencente ao referido segmento, de modo que a soma das distâncias de A
a N e de N a B seja mínima.
Este ponto N deslocando-se ao longo do segmento vai permitir medir as sucessivas distâncias de A a N e de N
a B, e assim, construir o lugar geométrico dos pontos de abcissa igual à de N e ordenada d (soma das duas distâncias).
Enunciado na E|21
R|79
# FUNÇÕES IRRACIONAIS // NÓ DA AUTOESTRADA
Por observação e fazendo variar N vê-se que o nó ideal terá coordenadas (16,3; 0), e a distância mínima é de aproximadamente 63,253km.
Analiticamente, pode determinar-se as coordenadas do ponto B. Atendendo à figura:
, e consequentemente, x = 40.
Para encontrar a expressão que traduz a soma das distâncias de N a A e de N a B, considera-se x a distância de
O a N e 40 - x a distância de N a P.
Enunciado na E|21
R|80
# FUNÇÕES IRRACIONAIS // NÓ DA AUTOESTRADA
Assim, pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo [AON], a distância de A a N é dada por: Considerando o triângulo [NBP], tem-se
.
.
Deste modo, a função soma destas duas distâncias obtém-se:
.
Através do estudo analítico desta função, poderá confirmar-se o valor do seu mínimo já determinado com recurso à geometria. Mas... há sempre um mas! Não se pode esquecer que a nossa tarefa é encontrar o nó ideal tendo em conta que caso só haja um nó (nó de consenso) este tem que estar a igual distância das duas cidades. Ora, em termos matemáticos será um ponto que está sobre a mediatriz do segmento de reta [AB]. Veja-se então a figura seguinte:
Pode observar-se nesta figura que o ponto N de coordenadas ( 25,51; 0 ) está a igual distância das duas cidades
(d1 = d2). Portanto, ligando diretamente quer a cidade A quer a cidade B ao ponto referido terão de ser construídos aproximadamente 64,835km de estrada. Em jeito de conclusão, a Junta terá que decidir se escolhe o nó mais económico ou o que está à mesma distância R|81 Enunciado na E|21
das duas cidades, respeitando a vontade das autarquias.
# FUNÇÕES IRRACIONAIS // TANGENTE E NORMAL
TANGENTE E NORMAL
1. Começa-se por representar o gráfico da função f, bem como os pontos P, S e N.
Recorde-se que a normal à curva no ponto P é a reta perpendicular à tangente à curva nesse ponto.
Após análise às coordenadas dos pontos P, S e N verifica-se que
, donde
,
quaisquer que sejam as coordenadas do ponto P.
2. Para demonstrar a conjetura, começa-se por definir as coordenadas do ponto P. Uma vez que este ponto per-
tence ao gráfico da função f as suas coordenadas serão
.
Sendo o ponto S a projeção ortogonal do ponto P sobre o eixo Ox, tem-se que as suas coordenadas serão S (a, 0).
Como o ponto N é o ponto de interseção da reta normal com o eixo Ox será do tipo
Enunciado na E|22
R|82
.
# FUNÇÕES IRRACIONAIS // TANGENTE E NORMAL
A equação da reta tangente, t, à curva da função f que passa pelo ponto P será do tipo Assim,
.
Logo a equação da reta tangente é: . A reta v, normal à curva, é a reta perpendicular à reta tangente e passa pelo ponto P, donde
v
.
Assim, a equação da reta normal à curva é: . Pretende-se determinar a abcissa do ponto N sabendo que o mesmo pertence ao eixo Ox e à reta normal à curva, pelo que : . Já se conhecem as coordenadas dos pontos
,
e
A diferença entre as abcissas dos pontos S e N permite concluir que
.
.
R|83 Enunciado na E|22
Assim,
.
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // COMPUTADORES E TELEMÓVEIS
COMPUTADORES E TELEMÓVEIS
1. Introduzem-se os valores das variáveis em duas colunas de uma folha de cálculo.
Pode obter-se a nuvem de pontos.
De seguida faz-se a regressão exponencial.
Enunciado na E|23
R|84
Assim os valores das constantes a e b são, com aproximação às centésimas, 4,96 e 1,18, respetivamente.
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // COMPUTADORES E TELEMÓVEIS
2. Representa-se o gráfico da função de modo a calcular o número de telemóveis que serão vendidos no 12.º mês. Calcula-se
, obtendo-se assim o valor pretendido.
No 12.º mês foram vendidos aproximadamente 36146 telemóveis. 3. Acrescenta-se o gráfico da função N e calcula-se o ponto de interseção.
Assim, o número de telemóveis vendidos ultrapassou o número de computadores vendidos durante o 11.º mês.
Enunciado na E|23
R|85
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // EXPONENCIAIS E TANGENTES
EXPONENCIAIS E TANGENTES
.
1.1. Representa-se o gráfico da função
Traça-se a reta tangente ao gráfico num ponto ao acaso. Obtêm-se as coordenadas do ponto de interseção da reta tangente com o eixo Ox e as coordenadas do ponto P. Arrasta-se este ponto sobre a curva.
Ao comparar as respetivas abcissas pode-se conjeturar que a abcissa do ponto de interseção da reta tangente com o eixo Ox difere em uma unidade da abcissa do ponto de tangência. 1.2. Seja
e
A derivada da função f é :
um ponto qualquer do gráfico da função f.
O valor da derivada da função em
. é:
(declive da reta tangente ao gráfico).
Pelo que a equação reduzida da reta tangente no ponto
é:
.
Interseção com Ox: .
Enunciado na E|24
R|86
Logo, a abcissa do ponto de interseção da reta tangente ao gráfico nesse ponto com o eixo Ox tem menos uma unidade do que a abcissa do ponto
.
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // EXPONENCIAIS E TANGENTES
2.1. Procedendo-se de modo semelhante ao da alínea 1.1. obtém-se:
Assim, o lugar geométrico que contém o conjunto dos pontos
2.2. Seja
e
A derivada da função f é:
é a reta
.
um ponto qualquer do gráfico da função f.
O valor da derivada da função em
é:
(declive da reta tangente ao gráfico).
Dado que a reta tangente ao gráfico neste ponto passa na origem do referencial a ordenada na origem é zero. Como o ponto Q pertence à reta tangente, então
é:
. .
R|87 Enunciado na E|24
Assim a equação reduzida da reta tangente no ponto
# FUNÇÕES QUADRÁTICAS // EXPONENCIAIS E TANGENTES
Quanto à ordenada de todos os pontos Q nas condições da alínea 2.1. Ou seja, todos os pontos Q têm ordenada , donde pertencem à reta de equação
.
2.3. Como se verifica na demonstração da conjetura da alínea anterior, a relação que existe entre a abcissa do ponto
e a base da função exponencial é:
.
A abcissa do ponto Q é o inverso do logaritmo natural da base da função exponencial.
Enunciado na E|24
R|88
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // NA LINHA COM CURVAS
NA LINHA COM CURVAS
1. Começa-se por inserir o seletor que definirá o valor do parâmetro k. Representa-se, em seguida, um ponto genérico Pk sobre o gráfico da função fk , e constrói-se a reta que passa pela origem, O, e pelo ponto Pk. Desloca-
-se o ponto Pk até à reta ficar tangente ao gráfico. Para facilitar esta construção, identifica-se um outro ponto
de interseção da reta com o gráfico, Ik , e mede-se a distância entre esses dois pontos. Em seguida, desloca-se o ponto Pk no gráfico, de forma à distância obtida ser o mais próxima possível de zero. Regista-se a posição obtida
para o ponto Pk.
Altera-se o valor de k e repete-se o processo, registando-se cada nova posição do ponto Pk.
Enunciado na E|25
R|89
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // NA LINHA COM CURVAS
Observa-se que os pontos Pk , parecem alinhar-se sobre uma reta vertical (recorreu-se ao traçado geométrico para visualizar as retas tangentes e os respetivos pontos Pk , ao variar o parâmetro k).
2. O declive da reta tangente a fk , num ponto genérico Pk do gráfico, é
A equação dessa tangente num ponto de abcissa a é Como a reta passa na origem, tem-se:
. .
.
Sendo o ponto Pk , de abcissa x, verifica-se a condição:
Logo, independentemente do valor do parâmetro k, os ponto Pk alinham-se segundo a reta vertical x = conforme se pode observar na figura seguinte:
Enunciado na E|25
R|90
,
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // ENTRE TANGENTES
ENTRE TANGENTES
1. Começa-se por inserir o seletor que definirá o valor do parâmetro k. Representa-se, em seguida, o ponto gené-
rico P de coordenadas (a, 0), e obtêm-se os pontos M e N, interseções da reta vertical que passa por P, com os gráficos de f1 e f2 , respetivamente.
Depois de construir as duas tangentes e os respetivos pontos de interseção com o eixo das abcissas ( M’ e N’ ), mede-se o ângulo entre as duas tangentes.
Selecionando valores para k e movimentando o ponto P, observa-se a variação do ângulo entre as duas tangentes. Embora este ângulo se aproxime de 90º ao deslocar o ponto P bastante para a esquerda (ou para a direita),
qualquer que seja o valor de k, as tangentes só serão perpendiculares na situação particular de k=1, como se irá provar mais adiante.
Enunciado na E|26
R|91
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // ENTRE TANGENTES
2.1. Constrói-se uma circunferência de centro P e raio
e observa-se que a circunferência passa sempre por N’
independentemente da abcissa a e do valor de k selecionado:
2.2. Para realizar uma conjetura, irá efetuar-se uma captura de dados das variáveis k e d = d (M’, N’) que cor-
responderão na folha de cálculo às variáveis par_k e dist, obter a respetiva representação gráfica e encontrar o modelo de regressão que melhor se ajuste:
Enunciado na E|26
R|92
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // ENTRE TANGENTES
Pode observar-se que a variação do comprimento
é inversamente proporcional ao valor de k, sendo a
constante de proporcionalidade igual a 2. 3.
1ª conjetura: O declive da reta tangente ao gráfico de f1 em M (xM = a) é gente ao gráfico de f2 em N (xN = a) é
. O declive da reta tan-
. Assim, se queremos que as duas retas tangentes sejam
perpendiculares, o produto dos seus declives terá que ser igual a -1. Pelo que,
.
Logo, independentemente da abcissa a do ponto P, as retas tangentes só serão perpendiculares quando k = 1.
Enunciado na E|26
R|93
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // ENTRE TANGENTES
2ª conjetura: As coordenadas do ponto M’ , são obtidas intersetando a reta tangente ao gráfico de f1 em M, com o eixo das abcissas: . Logo M’ tem . coordenadas (
, 0).
Por raciocínio análogo obtém-se para N’ as coordenadas (
, 0).
Donde, calculando as coordenadas do ponto médio de [M’N’], obtém-se (a, 0), confirmando-se que P é o ponto médio do segmento.
3ª conjetura: Do resultado anterior, conclui-se que
, isto é, para cada valor de k, o comprimento
do segmento é independente do valor de a.
Conclui-se também que o comprimento do segmento de reta [M’N’] é inversamente proporcional ao valor do parâmetro k, com constante de proporcionalidade 2.
Enunciado na E|26
R|94
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
1. Depois de se criar o seletor de m, faz-se o gráfico da função numa janela adequada, por exemplo, e
. Experimentando diferentes valores do parâmetro, obtêm-se gráficos como os seguintes:
Vê-se que o aumento de m provoca um “alongamento” vertical do gráfico. 2. Fazendo variar o parâmetro a, obtêm-se gráficos como estes:
Enunciado na E|27
R|95
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
O aumento do parâmetro a provoca uma translação horizontal do gráfico no sentido positivo. 3. Fazendo variar o parâmetro b, os gráficos que se obtêm são como estes:
Vê-se que, quando o valor de b aumenta, se dá uma compressão horizontal do gráfico da função. Por isso, quanto maior for o valor b, mais rápida é a fase de transição entre as fases inicial e final.
Enunciado na E|27
R|96
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
4.1. Introduzem-se os dados em duas listas e representa-se a nuvem de pontos correspondente.
4.2. Esta nuvem de pontos sugere o modelo de uma função logística do tipo Tendo em conta que
.
, o valor de m terá de ser ligeiramente superior a 50,9. Escolhe-se, por exem-
plo, m=55, a=10 e b=1.
Enunciado na E|27
R|97
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
O valor de m parece adequado, o de a tem de aumentar (para o gráfico se deslocar para a direita) e o de b diminuir (para a fase de transição ser mais lenta). Fazendo-se várias tentativas e por aproximações sucessivas, obtêm-se gráficos como os seguintes:
A função
parece ajustar-se razoavelmente à nuvem de pontos.
Embora menos rico do ponto de vista pedagógico, em vez de a procura ser feita por tentativas, pode pedir-se a regressão logística, feita automaticamente com a calculadora.
Enunciado na E|27
R|98
# FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS // A FAMÍLIA DE FUNÇÕES LOGÍSTICAS
Neste caso, o modelo seria dado com maior aproximação pela função
.
Pode mesmo comparar-se os dois modelos, o obtido por tentativas e o da regressão, com os valores reais.
Como se vê, as diferenças são pequenas. Tal como se esperava, os valores obtidos com a regressão feita automaticamente são ligeiramente melhores que os valores obtidos pelo modelo construído por tentativas. 4.3. De acordo com os modelos encontrados, a percentagem da população portuguesa que é previsível que apanhe a gripe é, respetivamente, de 55% ou de 55,25%.
Enunciado na E|27
R|99
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // COELHOS E LOBOS
COELHOS E LOBOS
1. Representam-se os gráficos das duas funções na mesma janela de visualização, por exemplo [0;12] x [0;30000]
Determinam-se dois máximos consecutivos de cada uma das funções.
Facilmente se verifica que a diferença entre as abcissas desses máximos é 4 em ambos os casos. Assim, pode concluir-se que o ciclo de ambas as populações é de quatro meses e que existe dependência da população de lobos em relação à população de coelhos.
Enunciado na E|30
R|100
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // COELHOS E LOBOS
2. Uma forma simples de analisar períodos em que ambas as populações estão a crescer será através do estudo do sinal das funções derivadas de ambos os modelos. Representam-se os gráficos das funções derivadas.
Um dos períodos de tempo pedido pode ser determinado a partir de dois zeros consecutivos da combinação dos dois gráficos para limitar um intervalo onde ambas as funções derivadas são positivas.
Verifica-se que, por exemplo, no período decorrido entre os 3,00 e os 3,43 meses ambas as populações estavam a crescer. 3. Pela análise dos gráficos das funções e das respetivas funções derivadas pode dizer-se que: - num ano, ambas as populações atingem três máximos e três mínimos; - existe uma tendência geral para que, quando a população de lobos diminui a população de coelhos aumenta e, quando a população de lobos aumenta a população de coelhos diminui. No entanto, existem períodos de 0,43 do mês (cerca de 13 dias) em que ambas as populações estão a aumentar ou ambas as populações estão a diminuir. Estas situações são conhecidas como mecanismos de “atraso”. O “controlo” que as duas populações efetuam uma R|101 Enunciado na E|30
à outra tem um atraso permanente que explica as oscilações.
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // ONDAS MUSICAIS
ONDAS MUSICAIS
1.1. Introduzem-se os dados na calculadora e representa-se a respetiva nuvem de pontos:
1.2. A partir dos valores máximo e mínimo da recolha de dados calcula-se a amplitude:
Para o cálculo da mudança de fase pode desenhar-se a reta horizontal de equação: (ordenada do mínimo + amplitude)
Por observação da abcissa do primeiro ponto mais próximo da reta representada, pode afirmar-se que a mudança de fase será um valor aproximado de 0,0006. Observando os tempos em que se verificam, por exemplo, dois máximos consecutivos determina-se o período: Como a frequência é o inverso do período:
Enunciado na E|31
R|102
.
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // ONDAS MUSICAIS
1.3. O modelo considerado foi:
.
O parâmetro a é a amplitude já calculada:
.
O parâmetro b calcula-se a partir da relação:
, logo
.
O parâmetro c está relacionado com a mudança de fase já calculada, que, tendo por base a função
, cor-
responde à translação horizontal associada ao vetor (0,0006;0), que no modelo considerado corresponde ao vetor . Assim:
, logo
.
O parâmetro d que está relacionado com a translação vertical do gráfico, tendo por base a função foi calculado anteriormente e é igual a: A função encontrada é:
, já
. .
1.4. O gráfico da função encontrada ajusta-se razoavelmente à nuvem de pontos, registando-se um ligeiro desvio para a direita.
1.5. Fazendo a correlação sinusoidal na calculadora pode observar-se na figura abaixo que os valores dos parâmetros deste modelo se aproximam significativamente dos valores calculados anteriormente.
Enunciado na E|31
R|103
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // ONDAS MUSICAIS
Na figura abaixo, pode observar-se as duas funções sobrepostas à nuvem de pontos, verificando-se apenas pequenas diferenças.
2. Representam-se aqui dois exemplos de consonância e dois exemplos de dissonância. Entre outras conclusões que se podem tirar, constata-se que usualmente notas seguidas são dissonantes (exemplo: Dó e Ré, Si e Dó, Sol e Lá) e que terceiras, quintas e oitavas são consonantes (exemplo: Dó e Mi, Dó e Sol, Dó e Dó uma oitava acima)
Dó e Sol
Enunciado na E|31
R|104
Si e Dó
Dó e Dó uma oitava acima
Sol e Lá
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // PERÍODO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
PERÍODO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Para conjeturar sobre o período desta família de funções, pode considerar-se a janela e faz-se variar os parâmetros a e b. De seguida apresentam-se alguns exemplos:
(a,b)
Período
Representação
(a,b)
(2,3)
(2,4)
(2,6)
(3,6)
(4,4)
(4,5)
Período
R|105 Enunciado na E|34
Representação
# FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS // PERÍODO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Representação
(a,b)
Período
Representação
(a,b)
(6,8)
Período
(6,9)
Observando-se estes exemplos, é possível conjeturar sobre o período pedido. Verifica-se graficamente que o período é uma fração de numerador Assim, o período das funções do tipo
e o denominador parece ser o
. será
.
A demonstração afigura-se com um nível de complexidade que não justifica a sua inclusão nesta publicação.
Enunciado na E|34
R|106
# FUNÇÕES E GEOMETRIA // QUADRADO INSCRITO NUM QUADRADO
QUADRADO INSCRITO NUM QUADRADO
1. O valor de a varia entre 0 e 10cm. 2. e 3. Constroem-se os quadrados [ABCD] e [MNOP] e determina-se a área deste úlitmo. Sugestões para a construção: - Coloca-se o ponto M sobre o lado [AB];
- Os pontos N, O e P, obtêm-se recorrendo a ferramentas de Geometria, por exemplo o compasso;
- Determina-se
e a área do quadrado [MNOP].
Numa folha de cálculo faz-se a captura de dados para cada uma das variáveis (valor de a e medida da área do qua-
drado [MNOP]), deslocando o ponto M ao longo do lado [AB], para recolher um número significativo de valores.
Representa-se o gráfico de dispersão com os valores recolhidos, que indicia uma função quadrática.
Enunciado na E|35
R|107
# FUNÇÕES E GEOMETRIA // QUADRADO INSCRITO NUM QUADRADO
De seguida, determina-se com a ajuda da calculadora a respetiva regressão quadrática.
Determina-se o mínimo da função quadrática.
O valor de a de modo que a área do quadrado inscrito seja mínima é:
.
Este resultado pode ser também obtido analiticamente. Para se obter a expressão analítica da função quadrática determina-se a expressão que representa o comprimento Considera-se
e
.
.
Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se:
logo a área do quadrado [MNOP] é dada por:
.
Pretende-se determinar o valor de a de modo que a área do quadrado inscrito seja mínima. A função derivada de A é:
.
Calcula-se o zero da função derivada: Como
Enunciado na E|35
R|108
, para
e
. para
, conclui-se que o valor da área é mínima para
.
# FUNÇÕES E GEOMETRIA // RETÂNGULOS DE PERÍMETRO CONSTANTE
RETÂNGULOS DE PERÍMETRO CONSTANTE
Constrói-se um segmento de reta [AC] de comprimento 8,2cm, correspondente ao semiperímetro do canteiro,
um ponto B, sobre o segmento [AC] e uma circunferência de centro em B e que passe por C.
Constrói-se um retângulo [ABDE] de lado [AB] e perímetro 16,4cm. Numa folha de cálculo faz-se uma captura de dados (comprimento de [AB] e área do retângulo).
Numa página de gráficos, representa-se a nuvem de pontos que sugere o gráfico de uma função quadrática.
Enunciado na E|36
R|109
# FUNÇÕES E GEOMETRIA // RETÂNGULOS DE PERÍMETRO CONSTANTE
Determina-se a regressão quadrática e sobrepõe-se à nuvem de pontos.
Fazendo uma análise do gráfico, encontram-se os valores pretendidos.
Assim, as dimensões do canteiro, de modo que a área para plantar flores seja máxima, são 4,1m x 4,1m. Este resultado pode ser obtido através de uma abordagem analítica. Assim, a expressão que representa a área do canteiro, retangular, de largura x e comprimento y é dada por: Então:
, para
A função derivada de A é:
para
Enunciado na E|36
R|110
, para .
.
.
Calcula-se o zero da função derivada: Como
.
.
Por outro lado, sabe-se que:
. e
, para
, conclui-se que o valor da área é mínima
# E AINDA… // SLALOM
SLALOM
Para cada uma das perguntas existe uma infinidade de funções que satisfazem as condições exigidas, pelo que as propostas de resolução apresentam apenas exemplos dessas funções. 1. Considerando a família de funções quadráticas
,
.
Pode tomar-se como abcissa h do vértice da parábola a abcissa do ponto médio das bandeiras centrais e definir a família de funções quadráticas seguinte:
,
.
Inserem-se seletores para a e k. Por experimentação modificam-se os valores dos parâmetros a e k até obter uma parábola nas condições do enunciado. Se
e
Assim, a parábola representada pela função
obtém-se o gráfico seguinte:
é uma possível trajetória para o
esquiador fazer o seu percurso. Para um percurso mais suave e mais curto pode usar-se
.
NOTA: Pode usar-se, também a família de funções R|111 Enunciado na E|37
,
# E AINDA… // SLALOM
e inserir seletores para a, x1 e x2 ( x1 e x2 representam as abcissas dos pontos de ordenada 4 pertencentes à parábola), obtendo-se uma função que verifique as condições impostas. 2. Para que o esquiador não passe pelo público, basta impor que , Por exemplo, se
e
na expressão:
. e
tem-se:
3. Para que a trajetória do esquiador passe nas portas e no intervalo entre elas considera-se a família de funções cúbicas seguinte: ,
.
x1 , x2 e x3 , representam as abcissas dos pontos de ordenada 4 que pertencem ao gráfico da função. O gráfico seguinte foi obtido para
4. Uma possível solução é:
Enunciado na E|37
R|112
.
e
.
# E AINDA… // SLALOM
5. Marcam-se os pontos (9, 4) e (10, 4) para obter uma nova porta e insere-se a expressão: ,
.
Inserem-se seletores para a, c e d . Por experimentação modificam-se os valores dos parâmetros a, c e d até obter uma curva nas condições do enunciado. Podem escolher-se os valores dos parâmetros tendo em conta uma amplitude pequena, o período da função e o seu deslocamento na horizontal, por exemplo:
.
e
6. A função logística cujo gráfico é a trajetória de um slalom que passa nas três portas sem lhes tocar, é obtida pela família de funções:
,
.
Inserem-se seletores para a, b e c. Por experimentação modificam-se os valores dos parâmetros a, b e c até obter uma curva nas condições do enunciado. e obtém-se
e a visualização seguinte, para
toma-se, por exemplo,
e
:
R|113 Enunciado na E|37
Pode escolher-se um valor para a próximo de 8 e dado que
# E AINDA… // SLALOM
Pode também recorrer-se a uma página de listas e folha de cálculo. Supondo que o percurso inclui os pontos médios das portas, representados pelas suas abcissas e ordenadas na folha de cálculo seguinte:
Pede-se o cálculo de uma regressão logística e obtém-se:
Ou recorrendo a uma página de dados e estatística:
Enunciado na E|37
R|114
# E AINDA… // SLALOM
Voltando a uma página de gráficos a partir da regressão calculada anteriormente:
7. A trajetória apresentada no gráfico seguinte, representado pela expressão , não penaliza a prova do Márcio.
R|115 Enunciado na E|37
, para
# E AINDA… // INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
1.1. Introduzem-se as funções
e
, a bissetriz dos quadrantes ímpares e o ponto A,
genérico, pertencente ao eixo dos xx. Com o auxílio de retas perpendiculares aos eixos coordenados, começa-se por determinar: - f(a), imagem da abcissa do ponto A, pela função f; - em seguida, projeta-se, horizontalmente, esse valor sobre a bissetriz y=x; - através de uma nova projeção, agora vertical, sobre a função g(x), obtém-se o valor de g(f(a)); - finalmente, através de uma projeção horizontal sobre a reta vertical inicial, de abcissa a, obtém-se o ponto P pretendido, de coordenadas (a, g(f(a))).
Utilizando o traçado geométrico sobre o ponto P e deslocando o ponto A, pode observar-se o lugar geométrico correspondente ao gráfico da função composta (gof)(x).
Enunciado na E|39
R|116
# E AINDA… // INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
1.2. Determina-se a expressão analítica da função h, composta das duas funções, gof e compara-se o respetivo gráfico com o gráfico obtido na alínea anterior. ,
Pode observar-se que os dois gráficos coincidem ponto por ponto. 2. Começa-se por adaptar a construção anterior à nova situação:
Enunciado na E|39
R|117
# E AINDA… // INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
Em seguida, obtém-se a expressão analítica e comparam-se os dois gráficos, não esquecendo de analisar o domínio da função composta: ,
.
3. Alterando no esquema a função inicial, e mais uma vez com recurso ao traçado geométrico, obtém-se a representação gráfica da função composta. Neste caso, tem que atender-se ao respetivo domínio, concluindo-se que os dois gráficos não são coincidentes:
,
Enunciado na E|39
R|118
.
# E AINDA… // INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
4. Mais uma vez, tem que se adaptar o esquema de construção, tornando-se desta vez, um pouco mais complicado, por ser a função composta de três funções coincidentes:
Analiticamente: ,
D fofof A partir do domínio da função composta, conclui-se que não há coincidência dos dois gráficos. 5. Das condições do enunciado, pode concluir-se:
O que facilita a obtenção gráfica dos pontos cíclicos, através da interseção do gráfico da função composta com a bissetriz dos quadrantes ímpares:
Enunciado na E|39
R|119
# E AINDA… // INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
Conseguindo obter-se, aproximadamente, as coordenadas dos quatro pontos cíclicos desta função.
Analiticamente:
e, através do recurso à regra de Ruffini e à fórmula resolvente,
=0 Confirmando-se, analiticamente, os quatro pontos cíclicos, bem como os valores aproximados obtidos graficamente.
E nunciado na E|39
R|120
# E AINDA… // COEFICIENTES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
COEFICIENTES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1.1. e 1.2. Começa-se por inserir os seletores que definem o valor de b, segundo termo da progressão e r, razão da progressão aritmética. Representa-se a equação linear genérica
, nas condições definidas por:
, com .
Através de uma construção auxiliar, utilizando uma reta coincidente com o gráfico da função, e utilizando o traçado geométrico, pode observar-se que existe um ponto comum aos diversos gráficos obtidos ao manipular qualquer um dos seletores.
1.3. Considera-se duas equações lineares genéricas nas condições do enunciado, com, respetivamente, o segundo
e
) e razões r e p (
e
) e determina-se a sua interseção:
. R|121 Enunciado na E|40
termo b e m (
# E AINDA… // COEFICIENTES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Logo,
e, por consequência, para valor de y obtém-se:
. Provando-se que os gráficos de todas as equações lineares do tipo ax + by + c = 0, com os coeficientes na forma de progressão aritmética, têm um ponto comum de coordenadas (1, - 2).
2. Depois de inseridos os respetivos seletores, representa-se a equação ções enunciadas, por:
, com .
nas condi-
.
A maneira mais fácil de analisar algumas características comuns a este tipo de funções, será acrescentar uma função concreta nas condições do enunciado (por ex: comportamento dos gráficos desenhados.
Enunciado na E|40
R|122
) e, manipulando os seletores, observar o
# E AINDA… // COEFICIENTES EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Observa-se a existência de dois pontos de interseção, de coordenadas (-1, - 2) e (1, - 2). Prova-se, genericamente, a existência de dois pontos invariantes nos gráficos das funções quadráticas do tipo , com b,
, determinando-se as respetivas coordenadas.
Procura-se a interseção de duas funções, nas condições definidas com, respetivamente, segundo termo b e m
(
e
) e razões r e p (
e
):
. Logo:
e, por consequência, obtêm-se os pontos invariantes (-1,-2) e (1,-2), confirmando-se os valores observados anteriormente através da análise gráfica.
Enunciado na E|40
R|123
# E AINDA… // SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
1. Gráficos das funções
e
:
2. Numa primeira análise a equação parece ter apenas duas soluções, mas fazendo a representação gráfica da função
tem no mí-
, pode verificar-se a existência de três zeros, pelo que a equação
nimo três soluções.
Observando o gráfico de h, verifica-se que as três soluções estão nos intervalos
,
e
Uma vez que as imagens dos extremos de cada um dos intervalos têm sinais contrários, pode garantir-se, utilizando o Teorema de Bolzano, que as soluções da equação em estudo pertencem a estes intervalos.
Enunciado na E|41
R|124
.
# E AINDA… // SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
3. Utilizando os corolários do Teorema de Lagrange e do Teorema de Rolle pode estudar-se o número de zeros da função h.
Começa-se por calcular os zeros da função derivada de h. Representando graficamente a função derivada , os zeros que são visíveis são aproximadamente 0,154 e 5,24.
Poderá haver mais zeros da função derivada que não sejam visíveis. No entanto, como se pode verificar analiticamente, a função segunda derivada tem somente um zero, pelo que a função primeira derivada tem no máximo dois zeros. Se assim não fosse, como entre dois zeros de uma função existe pelo menos um zero da função derivada, se a função tivesse mais de dois zeros, a função derivada teria de ter mais zeros. Assim, a função primeira derivada tem exatamente os dois zeros apresentados e a função h tem no máximo três zeros. Pelo Teorema de Rolle sabemos que entre os dois zeros da função derivada existe pelo menos um zero da função
h. Como as imagens destes valores pela função h têm sinais contrários, como se pode verificar na figura abaixo, podemos concluir, utilizando o Corolário do Teorema de Bolzano que a função tem um zero no intervalo
Como em
e e outro em
.
, pode ainda concluir-se que existem mais dois zeros da função, um .
Para determinar intervalos de amplitude 0,5 que contenham os zeros da função, utiliza-se o Teorema de Bolzano.
Enunciado na E|41
R|125
# E AINDA… // SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
4. O Método de Newton – Raphson tem por objetivo determinar valores aproximados do zero de uma função f num intervalo
, onde:
- a função é contínua; - as derivadas da função até à segunda ordem são contínuas; - a função tem um único zero nesse intervalo. É um método iterativo que parte de uma estimativa inicial do zero da função, x0 e gera uma sucessão {xn} de valosendo xn a aproximação
res aproximados dados através da fórmula de recorrência
do zero da função na iteração n. Geometricamente pode ver-se que o valor xn+1 é a abcissa do ponto de interseção com o eixo dos xx, da recta tangente ao gráfico da função no ponto (xn , f(xn)), ou seja, no ponto correspondente ao valor anterior da sucessão. Com efeito, sendo a reta tangente ao gráfico da função f no ponto (xn , f(xn)) dada por
, pode verificar-se que a abcissa do ponto de interseção da reta com o eixo do
xx é dada por
, sendo este valor uma nova aproximação do zero.
Prova-se que é condição suficiente para que o método de Newton convirja, que f’e f”sejam não nulas e preservem o sinal em ]a, b[ e que a aproximação inicial, x0, seja tal que f(x0) f”(x0)>0.
.
O zero negativo está, como vimos, no intervalo
As condições de convergência para as funções primeira e segunda derivadas verificam-se, pois e
Enunciado na E|41
R|126
.
# E AINDA… // SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
A aproximação inicial a escolher é
uma vez que
.
Para determinar os sucessivos valores aproximados considera-se a função
e calculam-se as
imagens dos vários valores x0 obtidos e os respetivos erros até que a precisão do valor aproximado seja a pretendida (erro inferior a 0,0005).
Extensão: Usando o Método de Newton-Raphson podem resolver-se problemas como o seguinte: Uma empresa produz q gramas/dia de um certo produto, onde o custo,
, em euros, pode ser definido por
. A firma vende qualquer quantidade desse produto a um preço constante de 10€ por grama. Recorrendo ao método de Newton, encontra o ponto de equilíbrio para este produto, isto é, determina, com aproximação ao , a quantidade de produto que tem de ser produzida por dia, para a empresa não ter nem lucro nem prejuízo. Observa o número de iterações necessárias para obter este resultado.
Enunciado na E|41
R|127