APOSTILA DE GEOMETRIA ESPACIAL PROF. GUILHERME MARIN Geometria espacial é a parte da matemática que estuda os sólidos.
PRISMAS 1) Prisma Quadrangular Regular: os polígonos das bases são quadrados, e os polígonos das faces laterais são retângulos iguais.
Ab = a 2 Al = 4.a.h At = Al + 2. Ab
V = Ab.H
2) Prisma Triângular Regular: os polígonos das bases são triângulos, e os polígonos das faces laterais são retângulos.
Ab =
a2 3 4
Al = 3.a.H At = 2. Ab + Al V = Ab.H
3) Prisma Hexagonal Regular: Os polígonos das bases são hexágonos regulares de lado a e os polígonos das faces laterais são retângulos de lados a e H.
Ab =
6.a 2 3 4
Al = 6.a.H At = 2. Ab + Al V = Ab.H
Ex(s): 1) Calcule a área lateral, a área total e o volume de um prisma quadrangular regular cuja aresta da base mede 7cm e altura 10cm.
2) Determine o volume de um prisma quadrangular regular cuja diagonal da base mede 6 2 cm e a área lateral é o dobro da área da base.
3) Calcule a área total de um prisma quadrangular regular, de altura 8cm, cuja a base está inscrita num circulo de comprimento 4π cm.
CILINDRO DE REVOLUÇÃO Chama-se cilindro de revolução o sólido obtido girando um retângulo em torno do eixo de um de seus lados.
Ab = π .r 2 Al = 2π .r.H At = 2. Ab + Al V = Ab.H
Ex(s): 1) Determine o perímetro da base, a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cilindro de revolução cujo raio da base mede 6cm e a geratriz 10cm.
2) O volume de um cilindro de revolução é 567π cm3 e a sua geratriz mede 7cm. Calcule a área total do cilindro.
3) A área lateral de um cilindro circular reto é 150π cm2. Se a medida da altura é o triplo da medida do raio da base, calcule o seu volume.
4) O perímetro da base de um cilindro circular reto é 12π cm. Sabendo que a geratriz do cilindro mede 9cm, calcule a área de sua secção meridiana.
CONE DE REVOLUÇÃO Chama-se cone de revolução o sólido obtido girando um triângulo retângulo em torno do eixo de um dos lados que compõe o ângulo reto.
Ab = π .r 2 Al = π .r.g At = Ab + Al V=
Ab.H 3
g2 = r2 + H 2
Ex(s): 1) Determine a área lateral, área total e o volume de um cone circular reto cujo o raio da base mede 3cm e a altura 4cm.
2) Num cone de revolução a área da base é 36π cm2 e a área total 96π cm2. Calcule o volume do cone.
3) O perímetro da base de um cone circular reto é 10π cm e a área lateral é 65π cm2. Calcule o volume do cone.
4) Calcule a área da secção meridiana de um cone circular reto de raio da base 8cm, sabendo que a geratriz mede 12cm.
PIRÂMIDES 1) Pirâmide Hexagonal Regular: é o sólido em que a base é um hexágono regular e as faces laterais são triângulos iguais.
Ab =
6 2 3 4
Al = 6.a.h At = Ab + Al V=
Ab.H 3
2 = a2 + H 2 2
a 3 +H2 h = 2 2
2) Tetraedro Regular: e a pirâmide em que todas as quatro faces são triângulos eqüiláteros iguais.
Ab =
2 3 4
2
a 3 +H2 h = 6 2
Al =
3 2 3 4
2
At = Ab + Al V=
Ab.H 3
a 3 +H2 a = 3 2
3) Pirâmide Triangular Regular: é o sólido em que a base é um triângulo equilátero e as faces laterais são triângulos iguais.
Ab =
2 3 4
Al =
3.a.h 2
At = Ab + Al V=
Ab.H 3
2
a 3 +H2 = 3 2
2
a 3 +H2 h = 6 2
4) Pirâmide Quadrangular Regular: é o sólido em que a base é um quadrado regular e as faces laterais são triângulos iguais.
Ab = a 2 Al =
4.a.h 2
2
a h = +H2 2 2
At = Ab + Al V=
Ab.H 3
2
a 2 +H2 = 2 2
Ex(s): 1) Calcule a área lateral, área total e o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da base mede 8cm e a altura 4cm.
2) A área da base de um tetraedro regular é 9 3 cm2, calcule seu volume.
3) Uma pirâmide quadrangular regular tem aresta da base igual a 12cm e altura 4cm. A que distância do vértice se deve passar um plano paralelo à base de modo que a área da secção formada seja 81cm2?
4) Uma secção feita a 3cm do vértice de uma pirâmide quadrangular regular tem área igual a 1/3 da área da base. Calcule a altura da pirâmide.
5) Uma pirâmide quadrangular regular de altura 6 e área da base 27 é interceptada por um plano paralelo à base cuja a distância ao vértice é 2. Determine o volume do tronco da pirâmide assim determinado.
PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO É o sólido em que todas as faces são retângulos:
Ab = a.b
d 2 = a2 + b2
Al = 2.a.c + 2.b.c
D2 = d 2 + c2
At = 2. Ab + Al V = a.b.c
Ex(s): 1) Calcule a área lateral, área total, o volume e a diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 5cm, 4cm e 3cm.
2) A diagonal de um paralelepípedo retângulo mede 77 cm. Os lados da base medem 4cm e 6cm. Calcule a área lateral do paralelepípedo.
3) As medidas das três dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 4, 5 e 8 e a soma destas medidas é 68cm. Calcule o volume do paralelepípedo.
CUBO É o sólido em que todas as faces são quadrados.
Ab = a 2 d =a 2
D2 = d 2 + a2
Al = 4a 2 At = 2 Ab + Al
V = a3
Ex(s) 1) A área lateral de um cubo é 36cm2. Calcule sua área total.
2) O volume de um cubo é 125cm3. Calcule a diagonal de uma face do cubo.
3) A soma de todas as arestas de um cubo é 72cm. Calcule a diagonal de uma face do cubo.
ESFERA Esfera é o sólido que se obtém girando-se um semicírculo em torno do seu diâmetro.
DIAM = 2 R
A = 4πR 2 V=
4πR 3 3
ACM = πR 2
Ex(s): 1) Calcule a área, o volume e a área do círculo máximo de uma esfera de 4cm de raio.
2) O volume de uma esfera é 288π cm3. Calcule a área da superfície da esfera.
3) A área da superfície de uma esfera é 16π cm2. Calcule seu volume.
4) Um plano intercepta uma esfera a 6cm do centro, determinando uma secção de 8cm de raio. Calcule o volume da esfera.
5) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cubo de área total 96cm2.
6) Calcule a área total de um cubo inscrito numa esfera de raio 6 3 cm.