GEOMETRIA Relaçþes MÊtricas Triângulo Qualquer, Leis dos Senos e Cossenos. 1) Determine o valor de x nos casos:
82 = 72 + 102 − 2 10 đ?‘Ľ 64 = 49 + 100 − 20đ?‘Ľ 64 − 149 = −20đ?‘Ľ 20đ?‘Ľ = 85 85
đ?‘Ľ = 20 đ?‘œđ?‘˘ đ?‘Ľ =
17 4
cm
2 49 2 = 52 + 72 + 2 7 đ?‘Ľ 116 = 25 + 49 + 14đ?‘Ľ 116 − 25 − 49 = 14đ?‘Ľ 42 = 14đ?‘Ľ 42 đ?‘Ľ= → đ?‘Ľ = 3 đ?‘?đ?‘š 14 2) Determine x e y nos casos:
2 5 2 = 52 + 52 − 2 5 đ?‘Ľ 20 = 25 + 25 − 10đ?‘Ľ 20 − 50 = −10đ?‘Ľ −30 = −10đ?‘Ľ 30 đ?‘Ľ= đ?‘œđ?‘˘ đ?‘Ľ = 3 đ?‘?đ?‘š 10
52 = đ?‘Ś 2 + 32 đ?‘Ś 2 = 25 − 9 đ?‘Ś 2 = 16 đ?‘Ś = 16 đ?‘Ś = 4 đ?‘?đ?‘š
2 11 2 = 32 + 52 + 2 5 đ?‘Ľ 44 = 9 + 25 + 10đ?‘Ľ 44 − 25 − 9 = 10đ?‘Ľ 10 = 10đ?‘Ľ đ?‘Ľ = 1 đ?‘?đ?‘š
32 = đ?‘Ś 2 + 12 đ?‘Ś2 = 9 − 1 đ?‘Ś2 = 8 đ?‘Ś= 8 đ?‘Ś = 2 2 đ?‘?đ?‘š
3) Calcule a altura h, relativa ao lado BC, nos casos: a)
x www.issuu.com/prof_bernardo
3 5 2 = 52 + 102 − 2 10 đ?‘Ľ 45 = 25 + 100 − 20đ?‘Ľ 20đ?‘Ľ = 100 + 25 − 45 20đ?‘Ľ = 80 đ?‘Ľ = 4 đ?‘?đ?‘š
52 = â„Ž2 + đ?‘Ľ 2 â„Ž2 = 25 − 16 â„Ž2 = 9 â„Ž= 9 â„Ž = 3 đ?‘?đ?‘š
PĂĄgina 1
42 = â„Ž2 + đ?‘Ľ 2 â„Ž2 = 16 − 4 â„Ž2 = 12
2 19 2 = 42 + 62 + 2 6 đ?‘Ľ 76 = 16 + 36 + 12đ?‘Ľ 12đ?‘Ľ = 76 − 16 − 36 12đ?‘Ľ = 24 đ?‘Ľ = 2 đ?‘?đ?‘š
b)
â„Ž = 12 â„Ž = 2 3đ?‘?đ?‘š
x 4) Determine o lado BC de um triângulo acutângulo ABC, em que AC = 7 cm, AB = 5 cm e a projeção de AC sobre AB mede 1 cm.
X 2 = 72 + 52 − 2 1 5 X 2 = 49 + 25 − 10 X 2 = 64
X = 64 X = 8 đ?‘?đ?‘š 5) Determine a medida do lado AB de um triângulo ABC, obtusângulo em A, sendo BC = 8 cm, AC = 5 cm e a projeção do lado AB sobre AC igual a 3 mm.
82 = đ?‘Ľ 2 + 52 + 2 0,3 5 64 = đ?‘Ľ 2 + 25 + 3 đ?‘Ľ 2 = 64 − 25 − 3 đ?‘Ľ 2 = 36 đ?‘Ľ = 6 đ?‘?đ?‘š 6) A base de um triângulo mede 10 cm, e os outros dois lados 14 cm e 8 cm, respectivamente. Determine as projeçþes desses dois lados sobre a base do triângulo.
142 = 82 + 102 + 2 đ?‘š 10 196 = 64 + 100 + 20đ?‘š 20đ?‘š = 196 − 100 − 64 20đ?‘š = 32 đ?‘š = 1,6 đ?‘?đ?‘š đ?‘› = 10 + đ?‘š = 10 + 1,6 = 11,6 đ?‘?đ?‘š 7) Calcule x nos triângulos abaixo: a)
b)
đ?‘Ľ 2 = 42 + 62 − 2 4 6 . cos 60° 1 đ?‘Ľ 2 = 16 + 36 − 48. 2 2 đ?‘Ľ = 28 ďƒ đ?‘Ľ = 28 ďƒ đ?‘Ľ = 2 7 đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 60°
=
10 đ?‘ đ?‘’đ?‘› 45Âş
ďƒ
đ?‘Ľ 3 2
đ?‘Ľ 2 = 10 3 ďƒ đ?‘Ľ =
=
10 2 2
10 3 2
.
ďƒ 2 2
đ?‘Ľ 2 2
=
10 3
ďƒ đ?‘Ľ=
2
ďƒ
10 6 2
ďƒ
đ?‘Ľ=5 6 www.issuu.com/prof_bernardo
PĂĄgina 2
c)
đ?‘Ľ 2 = 22 +
2
2
−2 2
2 . cos 135°
2 2
đ?‘Ľ 2 = 4 + 2 − 4 2. − đ?‘Ľ2 = 6 + 4 đ?‘Ľ = 10 d)
đ?‘Ľ 20 = đ?‘ đ?‘’đ?‘› 30° đ?‘ đ?‘’đ?‘› 120Âş đ?‘Ľ
=
20
đ?‘Ľ=
20
1 2
ďƒ
3 2
3
.
3 3
đ?‘Ľ 3 2
=
20 2
ďƒ đ?‘Ľ=
ďƒ đ?‘Ľ 3 = 20
20 3 3
8) Ache o valor de cos x. A seguir, consultando uma tabela, determine x, em graus: a)
142 = 62 + 102 − 2 6 10 . cos đ?‘Ľ 196 = 36 + 100 − 120 cos đ?‘Ľ 120 cos đ?‘Ľ = −60
cos đ?‘Ľ = −
60 120
ďƒ cos đ?‘Ľ = −
1 2
Logo đ?‘Ľ = 120Âş b)
82 = 52 + 72 − 2 5 7 . cos đ?‘Ľ 64 = 25 + 49 − 70 cos đ?‘Ľ 70 cos đ?‘Ľ = 10 10
cos đ?‘Ľ =
70
ďƒ cos đ?‘Ľ =
1 7
= 0,14
Logo � ≅ 82º 9) Ache sen x e consulte uma tabela para obter o ângulo x: a)
8 6 = đ?‘ đ?‘’đ?‘› 60° đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ 8 3 2
=
6 đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ
ďƒ 8 đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ =
6 3 2
ďƒ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ =
3 3 8
� ≅ 41° www.issuu.com/prof_bernardo
PĂĄgina 3
b) 14
6
= đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ ďƒ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 120°
đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ =
3 3 14
14 3 2
=
6
đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ
ďƒ 14 đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ =
6 3 2
ďƒ đ?‘Ľ ≅ 22°
10) Um agrimensor quer medir a distância entre duas ĂĄrvores que se encontram em margens opostas de um rio. A partir de um ponto C, ele obteve as seguintes medidas: AC = 20 m, Ě‚ = 75° e Ě‚ = 45°. Qual ĂŠ a distância entre as duas ĂĄrvores? Dados: (sen 45° = 0,71; sen 60° = 0,87 e sen 75° = 0,97). đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 45°
=
20 đ?‘ đ?‘’đ?‘› 60Âş
ďƒ
đ?‘Ľ 0,71
=
20 0,87
0,87 đ?‘Ľ = 20. 0,71 ďƒ đ?‘Ľ =
đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°
đ?‘Ľ
14,2 0,87
ďƒ đ?‘Ľ = 16,32 đ?‘š
11) uma ponte deve ligar os pontos A e B indicados na figura. Para executar esse projeto, o engenheiro responsåvel levantou as seguintes medidas: AC = 30 m, BC = 50 m e ̂ = 120°. Qual deve ser a extensão da ponte?
đ?‘Ľ 2 = 502 + 302 − 2 50 30 . cos 120° 1 đ?‘Ľ 2 = 2500 + 900 − 3000. − 2 2 đ?‘Ľ = 4900 đ?‘Ľ = 70 đ?‘š 12) Duas ĂĄrvores localizam-se em lados opostos de um lago. O ângulo entre as linhas de visĂŁo de um observador que as vĂŞ ĂŠ de 120° e o ângulo formado por uma dessas linhas e a linha que une as ĂĄrvores ĂŠ de 45°. Sabendo que a 3ÂŞ linha mede 100 m, qual ĂŠ a distância entre as ĂĄrvores?
đ?‘Ľ
100
=
đ?‘ đ?‘’đ?‘› 120° đ?‘ đ?‘’đ?‘› 45° đ?‘Ľ 100 3 2
đ?‘Ľ=
=
2 2
100 3
2
ďƒ đ?‘Ľ 2 = 100 3
.
2
2
=
100 6 = 50 6 đ?‘š 2
13) Num triângulo ABC, dois lados medem 6 3 cm e 4 cm, e formam um ângulo de 60°. Determine a årea dessa região triangular.
60° =
â„Ž 6 3 =
đ?&#x;” đ?&#x;‘
đ?’‰
.â„Ž 2
3 â„Ž = 2 6 3
→ →
=
→
4.9 = 18 2
â„Ž=9 2
đ?&#x;’ www.issuu.com/prof_bernardo
PĂĄgina 4
14) (Vunesp – SP) Uberaba, Uberlândia e Araguari são cidades do triângulo mineiro localizadas conforme a figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância aproximada de Uberaba a Uberlândia. (Dados: sen 36° = 0,59; cos 36° = 0,81; sen 132° = 0,74; sen 132° = 0,74 e cos 132° = - 0,67 .)
đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 36°
=
140
→
đ?‘ đ?‘’đ?‘› 132°
đ?‘Ľ 0,59
=
140 0,74
0,74 đ?‘Ľ = 140. 0,59
đ?‘Ľ
đ?‘Ľ=
82,6 = 111,62 đ?‘˜đ?‘š 0,74
15) Um navio se encontra num ponto A, distante 10 milhas de um farol F. No mesmo instante, outro navio se encontra num ponto B distante 15 milhas do farol , de tal modo que o ângulo ̂ = 60°. Qual Ê a distância entre os dois navios nesse instante?
đ?‘‘ 2 = 102 + 152 − 2 10 15 . cos 60° 1 đ?‘‘ 2 = 100 + 225 − 300. 2 2 đ?‘‘ = 175 đ?‘‘=
175 = 5 7
16) (Unicamp – SP) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incĂŞndio florestal em F. Conhecendo os ângulos Ě‚ = 45°, Ě‚ = 105° e Ě‚ = 30° e a distância AB = 15 km, determine as distâncias AF e BF. (Dados: sen 30° = 0,5; sen 45° = 0,71; sen 105° = 0,97) đ??´đ??š đ?‘ đ?‘’đ?‘› 105° đ??ľđ??š đ?‘ đ?‘’đ?‘› 45°
= =
đ??´đ??ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 30° đ??´đ??ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› 30°
→ →
đ??´đ??š 0,97 đ??ľđ??š 0,71
= =
15 0,5 15 0,5
→ đ??´đ??š =
14,55
→ đ??ľđ??š =
10,65
0,5
0,5
= 29,1 đ?‘˜đ?‘š = 21,3 đ?‘˜đ?‘š
17) (FGV – SP) Qual Ê a årea do triângulo abaixo?
â„Ž 1 â„Ž → = → â„Ž = 2 → đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘œ đ?‘› = 2 4 2 4 đ?‘š 3 đ?‘š đ?‘?đ?‘œđ?‘ 30° = → = →đ?‘š=2 3 4 2 4 2 3+2 2 đ?‘š+đ?‘› â„Ž đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = = = 2 3+2= 2 2 2 đ?‘ đ?‘’đ?‘› 30° =
â„Ž đ?‘š
a)
4
đ?‘›
b) 2 + 1
c) 2 ( 3 +1)
www.issuu.com/prof_bernardo
d) 2 ( 2 +1)
3+1
e) 3 +1
PĂĄgina 5
18) (Vunesp – SP) A årea de um triângulo retângulo Ê de 12
2
. Se um dos catetos ĂŠ
2 3
do outro, calcule a medida da
hipotenusa desse triângulo.
đ?‘Ž
2đ?‘Ľ đ?‘Ľ 3 2đ?‘Ľ 2 = 12 → = 24 → đ?‘Ľ 2 = 36 → đ?‘Ľ = 6 đ?‘‘đ?‘š 2 3 đ??´đ??ś = 4 đ?‘‘đ?‘š đ?‘’ đ??´đ??ľ = 6 đ?‘‘đ?‘š đ?‘Ž2 = 36 + 16 → đ?‘Ž = 52 → đ?‘Ž = 2 13đ?‘‘đ?‘š
19) (Mack – SP) Qual Ê a årea da região limitada por um paralelogramo cujos lados medem 10 cm e 16 cm, sabendo que formam um ângulo de 30°?
đ?‘ đ?‘’đ?‘› 30° =
â„Ž 1 â„Ž → = → â„Ž = 5 đ?‘?đ?‘š 10 2 10
ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž = 5. 16 = 80 đ?‘?đ?‘š2 20) Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 5 cm e formam entre si um ângulo de 60°. Calcule os comprimentos das diagonais.
đ?‘ đ?‘’đ?‘› 60° =
â„Ž 3 â„Ž → = → â„Ž = 2 3 đ?‘?đ?‘š 4 2 4
đ?‘?đ?‘œđ?‘ 60° =
đ?‘š 1 đ?‘š → = → đ?‘š = 2 đ?‘?đ?‘š 4 2 4
đ?‘Ľ2 = 2 3
2
+ 32 → đ?‘Ľ = 21 đ?‘?đ?‘š
đ?‘Ś2 = 2 3
2
+ 72 → đ?‘Ľ = 61 đ?‘?đ?‘š
21) Calcule o raio do cĂrculo circunscrito ao triângulo ABC, sabendo que o lado
mede 18 cm, e o ângulo ̂ 120°.
18 18 = 2đ?‘… → = 2đ?‘… → 18 = đ?‘… 3 đ?‘ đ?‘’đ?‘› 120° 3 2 đ?‘…=
18 3
.
3 3
→ đ?‘… = 6 3 đ?‘?đ?‘š
22) Calcule o diâmetro do cĂrculo circunscrito ao triângulo ABC, sabendo que o lado
mede 6 2 cm, e o ângulo ̂ 45°.
6 2 6 2 = 2đ?‘… → = 2đ?‘… → 6 2 = đ?‘… 2 đ?‘ đ?‘’đ?‘› 45° 2 2 đ?‘… = 6 đ?‘?đ?‘š đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘œ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘–âđ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ??ˇ = 12 đ?‘?đ?‘š
www.issuu.com/prof_bernardo
PĂĄgina 6