MATEMATICA 1 by Pilar Capcha Chavez

MATEMATICA

CONJUNTOS

¿Qué aprenderemos hoy?  

¿Qué materiales utilizaremos?

A identificar conjuntos y sus propiedades A resolver problemas que impliquen la utilización de las clases de conjuntos y las relaciones entre ellos.

Libro de consulta de matemática nivel secundaria, que contenga el tema de conjuntos y sus relaciones

Lee con atención la siguiente lectura BIOGRAFÍA GEORG CANTOR (San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. (...)En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño». Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna (...) Extracto de “Biografía de Cantor, Georg Ferdinand” http://www.biografica.info/biografia-de-cantor-georg-ferdinand-423

Investiga con tus compañeros: a) Menciona tres matemáticos que dieron aportes en la teoría de conjuntos. En una tabla, compara sus aportes y sus vidas. b) ¿Qué entiendes por conjunto? Escribe brevemente al respecto. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López

Determinación de conjuntos



Recordemos: Por extensión: Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran uno a uno sus elementos. Por ejemplo:

A 

1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10

t , a, r, e

Por comprensión: Un conjunto se determina por comprensión cuando se nombra una cualidad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo:

x/ x

, x 10

x / x son las letras de la palabra tarea

Actividades 4. En tu cuaderno determina por comprensión los siguientes conjuntos: a) A

2, 4,6

c) F

f , u, t , b, o, l

b) B

0;1;3;6;9;12;15;18;21;24

d) L

m, a, t, e, i, c

5. En tu cuaderno determina por extensión los siguientes conjuntos: a) Q

x/ x

c) H

b) K

las letras de la palabra abracadabra

,x 2

d) M

los satelites de la tierra x/ x

, x 5 10

Clases de conjuntos Recordemos: 

Conjunto vacío o nulo: Es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo:

R 

x/ x

, 15 x 16 , G

x / x es un caballo volador

Conjunto unitario: Es aquel que tiene un solo elemento. Por ejemplo:

x / x es la capital del Perú ; J

x/ x

,7 x 8

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

Conjunto finito: Es aquel que tiene una cantidad limitada de elementos:

P 

x/ x

, x 2 20 , K

x / x son las letras de la palabra conjunto

Conjunto infinito: Es aquel que tiene un número ilimitado de elementos. Por ejemplo:

x / x son las estrellas del universo ; Y

x/ x

, x 10

Conjunto Universal: es el aquel que contiene o incluye a otros conjuntos. Se representa con la letra U. Por ejemplo: Si:

x / x son aves

x / x son herbívoros

x / x son animales

x / x son carnívoros

Por lo tanto:

Relaciones entre conjuntos 

Inclusión de conjuntos: Se dice que el conjunto A está incluido en B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Se denota:

Se lee A B

Por ejemplo: Sean los conjuntos : A

B C 

2,3, 4,5,6 , B 2, 4,6 y C 2,8,9 A porque 2, 4 y 6 también son elementos del conjunto B A porque no todos los elementos de C pertenecen al conjunto A

Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si poseen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo: Si : R 1, a, 2, b, t y S a, t , 2, b,1

S puesto que todos los elementos de R son también los de S



Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos iguales. Por ejemplo: Si F x / x, son los números naturales impares y G x / x, son los números naturales pares



Conjunto potencia: Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Si el conjunto dado es A, se denota P ( A) . Por ejemplo: Si A

a, b entonces A

a b a;b

En general: Si un conjunto “A” tiene “n” elementos P( A) 2n subconjuntos.

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Actividades 1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos, infinitos y unitarios a) L

x / x es un día de la semana

..............................................................

b) K

x / x, x N

..............................................................

c) F

x / x, x N

..............................................................

d) O

x /x es un habitante de la luna

..............................................................

e) Z

x/ x

..............................................................

, 489 x 491

2. Halla la relación a) A

U b) C S

, , y que existe entre cada par de conjuntos

x/ x

, x 10

x / x, x x / x son las vocales de la palabra mamá x / xes la primera letra del alfabeto

x/ x

,9 x 15

13;14;15;16;17

d) I

x/ x

,8 x 16

x/ x

,8 2x 12

¿Qué aprendimos hoy? 3. “W” es unlos conjunto unitario, hallarpor x +extensión y. Si: 1. Si Determina siguientes conjuntos . Siunnúmero x=2y W a) A2x x3;/ x y ; es par menor que10 b) B

x/ x

c) C

x / x es una vocal de la palabra murciélago

d) D

x / x eslacapital del país Atlántida

;8 x 12

2. Determina los siguientes conjuntos por extensión a) A

2;4;6;8

b) B

p; e; r; u

c) C

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 4 Prof. Beatriz Toledo López

3. Sean los conjuntos: X 1;2;3;4;5;6 ; Y Escribe a) c) e) g)

2;4;6 y Z

x/ x

;1 x 6

, , o , según corresponda:

X...........Z 3............Y 12..........X Z...........5

b) 2...............Z d) 6...............X f) 0...............Z h) 4...............Y

4. Halla el valor de “x” para que los siguientes conjuntos sean unitarios: a) M

x;6

..........................................................................................

2x 1;19

..........................................................................................

x 13;2

.........................................................................................

c) . L

Reforzando lo aprendido 1. Repasa en un libro de consulta los siguientes temas:  Determinación de conjuntos  Clases de conjuntos  Relaciones entre conjuntos

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Aula Virtual - Conjuntos http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm Video “ Operaciones con conjuntos” http://www.youtube.com/watch?v=IlVLknpaBBU Teoría de conjuntos http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_conjuntos

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OPERACIONES CON CONJUNTOS

¿Qué materiales utilizaremos?

¿Qué aprenderemos hoy? 



A realizar operaciones entre conjuntos A resolver problemas que implican las operaciones con conjuntos.

Libro de consulta de matemática nivel secundaria, que contenga el tema de conjuntos y sus operaciones.

Lee con atención la siguiente lectura: LA PARADOJA DEL BARBERO “En un lejano poblado de un antiguo emirato, donde todo el mundo debía ir afeitado, había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas y maestro en limpiar pies. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Y el barbero pensó: - En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar, ¡pero yo soy el único barbero de mi pueblo! Fue a contárselo al emir y éste vio que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.” Explicación de la paradoja: Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos conjuntos normales. La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo. Pero también existen conjuntos de conjuntos, como el conjunto potencia que es el conjunto de subconjuntos de M. Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo. Esto último no es difícil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares. Extracto de “Paradoja de Russell” http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russell

De la lectura, responde: ¿Cómo entiendes la paradoja del barbero? Explica tu respuesta por medio de ejemplos. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

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Operaciones con conjuntos Recordemos: 

Unión de conjuntos: La reunión o unión entre dos conjuntos A y B está formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B, o a ambos. Se denota:

A B Por ejemplo: Sean los conjuntos A

A B



1 3

a c

A B



x/ x

A x B

1; a;2; c;3 y B

a; b; c; d

a; c

7 3 3 5

A∆ B

A-B A

a; b; c; d y B

a; e; i; o; u

b; c; d

b a

A-B

Diferencia simétrica: Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica entre dos conjuntos se denota: A B ( A B) ( B A) A B ( A B ) ( A B)

A∆B A

x/ x A x B

A B

Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es aquel conjunto formado por todos los elementos comunes entre A y B. Se denota:

Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B es aquel conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se denota:

AUB

Por ejemplo: Sean los conjuntos A

1;2;3;4;5;6;7

Por ejemplo: Sean los conjuntos A

4;5;6;7

A∩B



A 2

1;2;3;4 y B

A b

AUB

x/ x A x B

A∩B A

B 8

Por ejemplo: Sean los conjuntos A

A B

1;3;5;6 y B

A B A B

A B

1;6

3;5;7;8 Hallar A B 7;8

1;6;7;8 2 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades

Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno

1. Dados los siguientes conjuntos: A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6} Halla y grafica: a) A

b) C

c) A

A B

e) C A

B C

h) C B

i) B

k) A

B C

l) A B

n) A

C A

o) B C A

x/ x

;15 x 23 B

j) A C m)

B C

2. Dados los conjuntos: A

C Halla C

f) A B

x/ x

A C

;" x "es divisor de 30

20; 22; 25; 27; 30

Complemento de un conjunto Para el conjunto A, el complemento de este conjunto es lo que le falta para ser igual al conjunto universal (U). Se denota:

A´ U

x/ x U

x A

Por ejemplo: Sea U 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 y los conjuntos A

1;3;5;7 ; B

x / x U ;4 x 8 y

2;4;6;8;10 :

Hallar A´ Si U

Hallar B´

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

Si U

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

x / x U ;4 x 8

2;4;6;8;10

2;4;6;8;9;10

B´

1;2;3;4;8;9;10

A´

1;3;5;7;9

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 B

Si U

1;3;5;7

A´

Hallar C´

7 9

B 7

2 5

4 8

3 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1. Dados los conjuntos: U 3;4;7;9;1;5 , A a)

A´ B

1;3;7;4 y B

4;9;5 . Hallar: e)

B´ A

A B´

b) A´ B´

f) A B´

c) A´

g) B´ A

B´ A

d) A´ B´

h) B

A´ A

¿Qué aprendimos hoy? 1. Dados los conjuntos: x 5 ;B

x/ x

; x 15

x/ x

; xes par y 2 x 10 ; C

x/ x

;x 3

x 7

Hallar y graficar: a) AUA ´ b) C

g) C

A´

c) A B

h) A D´

i) A`

d) B C A

j) C A´

e) C´ A

k) B´

C A

f) C A ´

l) A

C´

2. Dados los conjuntos: A

b; e; c; r; o B

p; e; r; o C

t; r; i; g; o D

l; a; p; i; z

Hallar y graficar: k) C A k) A

k) C B

B C

l) A D

C B

l) D

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Resuelve los siguientes problemas: a)

De un grupo de 85 personas: 40 estudian, 50 trabajan y 10 estudian y trabajan ¿Cuántos no estudian ni trabajan?

De los 50 alumnos de un salón de clases; a 30 alumnos les gusta el curso de Razonamiento Matemático, 27 alumnos prefieren Razonamiento Verbal y 5 alumnos prefieren otros cursos ¿cuántos alumnos prefieren solamente Razonamiento Verbal?

Reforzando lo aprendido 1. Repasa en un libro de consulta los siguientes temas:  Operaciones con conjuntos  Complemento de conjuntos

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LOS NÚMEROS NATURALES Sumilla Durante el desarrollo de la ficha, descubriremos el origen de los números naturales y desarrollaremos ejercicios que impliquen el orden en N y operaciones básicas como la adición, sustracción, multiplicación y división en números naturales. 

A resolver problemas con números naturales y sus operaciones básicas.

¿Qué aprenderemos hoy?  

¿Qué materiales utilizaremos?

A comparar y ordenar números naturales. A resolver problemas con números naturales y sus operaciones básicas.

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Santillana. Lima – Perú 2008. Video Nº .....: Los Números Naturales

Lee con atención la siguiente lectura: Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Nosotros representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras. Nuestro sistema actual de numeración utiliza diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,10) que se llaman dígitos por la relación con tienen con los dedos de la mano. En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a América a través de los árabes. www.perueduca.edu.pe/web/visitante/recurso s/galeria-de-

Estas diez cifras son de origen indo-arábigo (hindú y imagenes?p_p_id=31&p_p_lifecycle=0&p_p_st ate=maximized&p_p_mode=view&_31_struts_ árabe). Los árabes usaban las cifras del 1 al 9 y, en sus action=%2Fimage_gallery%2FviewImage&_31_f olderId=&_31_ImageId=54849 relaciones comerciales con la India, conocieron que los matemáticos hindúes usaban el cero y lo incorporaron a su sistema de numeración que es el que usamos actualmente. Extracto de: http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00100.html http://www.elhuevodechocolate.com/mates/mates3.htm

Investiga con tus compañeros y responde: a) En tus actividades diarias ¿Cómo utilizas los números naturales? Menciona dos ejemplos ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ 1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1.

Observa con atención el video: “Los números naturales”. Luego dialoga con tus compañeros sobre:

a) ¿Qué entiendes por valor posicional en números naturales? ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ b) ¿Cómo reconoces que un número natural es mayor que otro? Explica tu respuesta. ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ I. Completa con los signos ,  ,  según corresponda: a)

Operaciones con números naturales Recordemos: 

Adición en números naturales a) b) c) d)



De Clausura : Conmutativa: Asociativa: Elemento neutro:

2  y 5   2 + 5 = 7  12 + 13 = 13 + 12 (15 + 8) + 3 = 15 + (8 +3) 17 + 0 = 17

Sustracción de números naturales Recuerda que puedes profundizar en las operaciones de adición y sustracción utilizando el libro de consulta MATEMÁTICA 1ERO – Edit. Bruño de la página 11 a 13 u otro texto con el tema tratado.

www.perueduca.edu.pe

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

Multiplicación en números naturales 17 x 5 85



factores producto

a) b) c) d)

Conmutativa: 3x4=4x3 Asociativa: (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) Elemento neutro: 15 x 1 = 15 Distributiva de la multiplicación: (2 + 5) x 3 = (2 x 3) + (5 x 3) respecto a la adición y sustracción 4 x (15 - 6) = (4 x 15) - (4 x 6)

División en números naturales dividendo

Recuerda que puedes profundizar en las operaciones de multiplicación y división utilizando el libro de consulta MATEMÁTICA 1ERO – Edit. Bruño de la página 14 a 16 (multiplicación) y 21 a 22 (división) u otro texto con el tema tratado.

divisor

2 9

cociente

residuo

www.perueduca.edu.pe

Actividades 1. Escribe las propiedades que se han aplicado en cada caso: a) b) c) d) e) f)

(2 + 3) + 8 = 2 + (3 + 8) 9x8=8x9 3+0=3 85 x 0 = 0 25 + 13 = 13 + 25 6 x (2 + 3) = (6 x 2) + (6 x 3)

: : : : : :

.......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... ..........................................................................

2. Desarrolla los siguientes ejercicios: a) 15 x 100 =

b) 7 x (4 + 3) =

c) 12 – (6 x 4) =

d) 15 + 8 – 3 =

3. Calcula el valor de cada cuadrado para que cumpla con la igualdad requerida: a)

25 x

 75

 2  38

b) 13 + c)

 38

240  350

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¿Qué aprendimos hoy? 1.

Resuelve los siguientes ejercicios: a) La diferencia entre dos números es 43 y el mayor excede a la diferencia en 72 ¿Cuáles son los números?

b) En una reunión de 50 personas entre damas y caballeros, se sabe que por cada 2 damas hay 3 caballeros ¿Cuántas damas hay?

c) Al comprar 4 chompas pago con S/. 200 y recibo S/. 12 de vuelto ¿cuánto cuesta cada chompa?

d) En una división el divisor es 94, el cociente 12 y el residuo 8. ¿Cuál es el valor dividendo?

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Completa el término que falta en cada una de las siguientes operaciones: a)

8 x 4

7 3 3.

7 1 + 5 1 1 1 9

2 5

8 7 3

En parejas plantea un problema en las que intervengan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en números naturales. Cada grupo compartirá su trabajo recogiendo las sugerencias y aportes con el fin de mejorar el ejercicio planteado.

Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño* 

Actividad 1: Los números naturales (Pág. 10)



Actividad 2: Adición, sustracción y multiplicación de números naturales (Pág. 15)



Actividad 8: División de números naturales (Pág. 22)

Actividades de Extensión

Proyecto: “Elaboramos preguntas”

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Operacionas naturales

combinadas

con

números

www.sectormatematica.cl/.../operaciones_ combinadas_en_N.pdf Operaciones con números naturales http://colegiocampotejar.com/colegio/archivos web/tercercicloprimaria/matessexto/tema2/te ma2.swf Los números naturales – Valor posicional http://fds.oup.com/www.oup.com/pdf/es/978 8467310177-a.pdf

nuestro

banco

Responsables: Tutor y estudiantes Objetivo: Realizar un banco de preguntas de matemática para 1er grado. Tareas: Con tus compañeros de aula organiza a los estudiantes de tu sección para la elaboración de ejercicios matemáticos relacionados con la realidad de la región. Plantear diferentes formas de solución y de potencializar las actividades.

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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN NATURALES

¿Qué aprenderemos hoy? Estima el resultado de operaciones con números naturales.  Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales.  Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran números naturales y sus operaciones básicas. 

¿Qué materiales utilizaremos? - Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño – Perú 2008. - Video Nº .....: Potenciación en números naturales

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN N La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo y se coloca el número de veces que se multiplica. Por ejemplo:

7 x7 x7

73 podemos escribir 73

343

"Ahora vamos a plantearnos el problema inverso..."

7 es la BASE, 4 es el EXPONENTE que indica cuantos factores 7 hay que multiplicar 343 es el resultado o la

POTENCIA

Aquí nos preguntamos: ¿qué número elevado a la quinta da 32? 5

Esta pregunta se escribe así: 32 x La operación se llama RADICACIÓN, y se lee: la raíz quinta de 32 es x. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

5 es la INDICE 32 es el RADICAL x es la RAÍZ

Extracto de: http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota005.htm

Investiga con tus compañeros y responde:

a) ¿Qué relación encuentras entre la potenciación y multiplicación en números naturales? .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... 1

Potenciación en números naturales Recordemos:

Exponente

Base

Potencia

Propiedades;

Ejemplo:

3x4

Producto de potencias de igual base:

Potencia de un cociente:

Potencia de un producto:

32 x42

4 5

144

43 53

Ejemplo:

64 125

2 x2

Ejemplo:

Potencia de una potencia

Cociente de potencia de la misma base:

35 32

23 x 2

Actividades 1.

Observa con atención los videos: “Potenciación en números naturales”. Luego dialoga con tus compañeros sobre: a) ¿En qué caso, el resultado de una potencia es igual a uno?

Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1

a) 23 x 2 x 2 2

5 2

4 5

g) (4 x 4 ) (4 x 4 )

b) 35 x 3 5

112 x 18 15 x 114 6

h) 5 x5

f) 1517 1515

64 i) 2 6

Halla en cada caso el valor de “x” para que cumpla con la igualdad: a) x 4 16 ; x

b) 9 x

81 ; x

c) x x

27 ; x

Radicación en números naturales Recordemos: m

Índice

Propiedades;

Raíz

Radical

Producto de raíces de igual índice:

Cociente de raíces de igual índice:

Ejemplo:

128 2

25 x 3 5 25 x 5

Ejemplo:

8 4

Raíz de una raíz:

Raíz de una potencia:

Ejemplo:

128 2

3x2

Actividades I. En tu cuaderno, realiza los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la radicación en N: b)

1600

54 x 34 4

2 x4

98 6 4

II. Halla el valor de “y” en los siguientes casos: a)

121 ; y

8 ;y

3 x 2 100 20

144

4 ; y

Operaciones combinadas en N Recordemos: Sin signos de colección: Veamos un ejemplo: 2 2

3 x 2 100 20

144

1º

Calculamos las potencias y raíces

2º

Calculamos los productos y cocientes

3º

Finalmente, realizamos sumas y diferencias.

3 x 2 100 20 12 4

5 12 = 17 3

Con signos de colección: Veamos un ejemplo: 12

3 2

12 8

1º

Resolvemos las operaciones encerradas en paréntesis

2º

Resolvemos las operaciones entre corchetes

3º

Finalmente, resolvemos las operaciones entre llaves

3 2

12 8

4 4 1

3 2 1 2

12 3 9

Actividades 1.

En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones: a)

12x 18 3x2

6 x8 4 9

38 25 8 x 3

64 x 2

4x 3 6x 5 3 6

1 2

15 (23 10 2) x 5 (3 x 2 4)

d) e)

3x 5

6 2 x 23

7x3

4 3 x2

3 (8 2 x 3)

7x 4

9 3

Expresa cada frase como operación combinada: a) b) c)

El doble de 4 menos el triple de la raíz cúbica de 8. La raíz cuadrada de la diferencia entre 25 y 16. El triple de 4 menos la raíz cúbica de 8.

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) 81 33 b) 42 x 48 44 x 46 c) 26 d)

253

( (

) )

(

)

(

)

En tu cuaderno, resuelve las operaciones combinadas: a) 2 5 3 x1 2(3 2) x3 b) 4 x 9 x 8 6 4

c) 7 x 52 2 x 103 85 d) 7 x 9 x 8 1 7

5 2 x 24 2 x 9 3 9

5x 7 x 5 4 8 4

Resuelve los siguientes problemas: a)

Las edades de un padre y su hijo suman 47 años, si uno de ellos es 23 años mayor ¿cuál es la edad del padre?

Si Juan tiene S/. 220.00, Miguel el duplo de Juan y Sebastián tanto como Juan y Miguel. ¿Cuánto tienen entre los tres?

Reforzando lo aprendido Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño* 

Actividad 6: Potenciación en números naturales (Pág. 19)

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Raíz cuadrada : Página interactiva con ejercicios interactivos de raíces cuadradas exactas e inexactas: http://genmagic.org/mates2/rc1c.swf Operaciones combinadas en N http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf Operaciones combinadas con números naturales www.sectormatematica.cl/.../operaciones_combinadas_en_N.pdf

LOS NÚMEROS ENTEROS

¿Qué aprenderemos hoy? 



¿Qué materiales utilizaremos?

A interpretar el significado de números enteros en diversas situaciones y contextos. A comparar y ordenar números enteros.

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño Lima – Perú 2008. Video Nº .....: Los Números Enteros

¿Qué sabes sobre los números enteros? Lee el siguiente artículo EL PUEBLO MÁS FRÍO DEL MUNDO Oymyakon, en la república rusa de Yakutia, es el polo helado de la Tierra; en 1926 alcanzó la temperatura más baja registrada jamás en territorio habitado: 71,2 grados bajo el punto de congelación. La localidad está situada en el noreste de Rusia, en una meseta a 750 metros sobre el nivel del mar: Allí donde el invierno dura como mínimo nueve meses. Debe su clima extremo a las cadenas montañosas que la rodean, y que impiden que escapen las pesadas masas de aire frío que cubren el valle como si fueran de plomo. Artículo del recopilado de: DIARIO EL PAÍS España - 31/01/2001

www.perueduca.edu.pe

Responde: a) ¿Cómo representarías la temperatura en grados bajo el punto de congelación? ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

b) ¿Qué otro ejemplo similar conoces? ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... 1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades 1. Observa con atención el video (Los Números Enteros – 1er grado) y dialoga con tus compañeros sobre: a)

¿Cómo está conformada la recta de enteros? ¿Cómo se representan los números naturales en dicha recta?

Menciona 3 instrumentos de medida, que realicen mediciones tomando en cuenta los números enteros.

Repasa las páginas 45, 46 y 47 del libro MATEMÁTICA – Edit. Bruño (*) Temas:

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuerce los temas tratados.

- Los Números Enteros. - La recta numérica y los números enteros. - Igualdad de números enteros. - Opuesto de un número entero. - Valor absoluto.

Valor Absoluto Recordemos:

x se lee valor absoluto de “x” Si x ≥ 0, entonces x

Si x ≺0, entonces x

Actividades 2.

Realiza las siguientes operaciones: a) 3 =

b) 8 =

e) 22 =

f) 7 =

g) (5) ( 8) =

j) 2

8 10 =

45 6 = 2a a =

l) 9

25 10 =

13 = 3=

2 Prof. Beatriz Toledo López

Comparación de números enteros En la recta numérica, observamos que los números están ordenados en forma creciente, por lo que:

-∞

...

-5

-4

-3

-2

-1

+∞

...

“Entre dos números enteros ubicados en la recta numérica, es mayor el que está a la derecha del otro” Por ejemplo a)

4>-3

-1 < 3

-3 > -5

3 > -4

-9

-11

-7

-20

-3

-4

Actividades 3.

Coloca el signo <, > ó = según corresponda:

a) -6

-8

-1

e) -5

-15

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Observa los puntos en la recta numérica y completa:

-∞

...

+∞

3 Prof. Beatriz Toledo López

Efectúa las siguientes operaciones: a) 3

b) 8

28 =

100

f) 17

Coloca el signo >, < o = según corresponda: a)

Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.* 

Actividad 1: Los números enteros (Pág. 45)



Actividad 2: La recta numérica y los enteros (Pág. 46)



Actividad 3: Valor absoluto (Pág. 47)



Actividad 4: Relación mayor y menor (Pág. 48)

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Los Números enteros http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/1.swf http://www.extremate.es/Definitivo%20Enteros/textoentero.swf http://www.genmagic.net/mates2/ne1c.swf La recta de los enteros http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/rect aentera/rectaentera.swf Comparación de números enteros http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/numenteros/com parar/comparar_ep.html 4 Prof. Beatriz Toledo López

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

¿Qué materiales utilizaremos?

¿Qué aprenderemos hoy? 



A comparar y ordena números enteros. A resolver problemas con números naturales y sus operaciones básicas.

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008. Video Nº .....: Multiplicación y división de números enteros

Lee con atención, la siguiente lectura: Los números enteros: origen e historia Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en Oriente, y no llega a Occidente hasta el siglo XVI. En Oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores (...) http://recurso Los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del stic.educacion .es/bancoima Álgebra geométrica, pero este siempre referido a las propiedades de la genes/web/ operación de restar, tales como, por ejemplo, (a – b).(c – d) = ac + bd – ad –bc; dejándolos como restas indicadas. Sin embargo fueron los indios los encargados en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y negativos. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas (...).La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV (...). Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su “Anteitung Zur Álgebra” (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1(...). Extracto de “Los números enteros: origen e historia” http://personales.ya.com/casanchi/mat/enteros01.pdf

Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Qué entiendes por números enteros? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. b) ¿Qué relación tienen los números naturales con los enteros? ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López

Actividades I. Observa con atención los videos: “adición y sustracción de enteros” y “multiplicación y división de enteros”. Luego dialoga con tus compañeros sobre: a) ¿Cómo se realiza la adición y sustracción de números enteros? b) ¿Qué diferencia encuentras entre las operaciones con números naturales y los enteros? II. Repasa de tu libro MATEMÁTICA – EDIT. BRUÑO, los siguientes temas(*):      

Adición de números enteros - Propiedades (Pág. 48 a 50) Sustracción de números enteros (Pág. 52 a 53) Multiplicación de números enteros - Propiedades (Pág. 55 a 57) Potenciación de números enteros – Propiedades (Pág. 58 a 59) División de números enteros – Propiedades (Pág. 60) Radicación de números enteros – Propiedades (Pág. 61 a 62)

(*) De no contar con el texto, consulta otras fuentes sobre los temas propuestos.

Operaciones con números enteros Recordemos: 

Adición de números enteros: Se presentan dos casos: Caso 1: Adición de números enteros con el mismo signo Se suman los valores absolutos y se coloca el signo de los sumandos. Por ejemplo: 5 2 ( 8) ( 10)



2 8

Caso 2: Adición de números enteros con signos diferentes Se halla la diferencia de los valores absolutos y se le antepone el signo del sumando con mayor valor absoluto. Por ejemplo:

7 10

16 3

9 5

Sustracción de números enteros: Para calcular la diferencia de dos números enteros, se suma al minuendo, el opuesto del sustraendo. Es decir: a b a ( b) . Ejemplo:

( 6) ( 7) ( 6) (7) 13 ( 5) ( 2)

( 5) ( 2)

2 Prof. Beatriz Toledo López

Multiplicación y división de números enteros:



Para ambos casos se cumple lo siguiente: En la multiplicación de enteros 

El producto de dos números enteros del mismo signo es positivo. Por ejemplo: ( 4) x ( 5) ( 3 ) x ( 4)



En la división de enteros: 

El cociente de dos números enteros del mismo signo es positivo. Por ejemplo:

20 12

El producto de dos números enteros con diferente signo es negativo. Por ejemplo: ( 9) x ( 2) ( 5) x ( 12)

( 27 ) ( 3) ( 422 ) ( 2)



9 211

El cociente de dos números enteros con diferente signo es negativo. Por ejemplo:

18 60

( 80) ( 77)

( 5) ( 7)

16 11

Potenciación y radicación en números enteros:



Para ambos casos se cumple lo siguiente: En la potenciación de enteros

En la radicación de enteros: 



La potencia es negativa solo cuando la base tiene signo negativo y el exponente es impar. En los demás casos siempre la potencia siempre será positiva. Por ejemplo:

( 1) 250

( 2)



8 16



;

Cuando el índice es impar y el radical negativo, la raíz es negativa. Por ejemplo:

(2) 4

Cuando el índice es par o impar y el radical positivo, la raíz es positiva.

Cuando el índice es par y el radical negativo, no existe solución en . Por ejemplo:

Reforzando lo aprendido 1. Desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: a) –14 + (– 27) + 31 – (+ 58) =

b) +50 – (–98) + 14 – (–42) =

c) (–10) + 15 – (–69) =

d) –13 + (–12) – (+31) + (–9) =

e) 68 – (–96) + (–16) =

f) –15 + (–72) + (– 39) =

g) (– 790) + (–474) =

h) + 87 – (–36) – 12 =

2. Calcula el valor de “a” en cada caso: a) 25 a = 75 ; a =

b) 12 x (a + 5) = 144 ; a =

c) 15 + a = 38 ; a =

d) 5a 2

e) a 5 500 ; a =

f) a – 240 = 350 ; a =

;a=

3 Prof. Beatriz Toledo López

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Resuelve los siguientes ejercicios: a) La diferencia entre dos números es 43 y el mayor excede a la diferencia en 72 ¿Cuáles son los números?

b) En una reunión de 50 personas entre damas y caballeros, se sabe que por cada 2 damas hay 3 caballeros ¿Cuántas damas hay?

c) Al comprar 4 chompas pago con S/. 200 y recibo S/. 12 de vuelto ¿cuánto cuesta cada chompa?

d) En una división el divisor es 94, el cociente 12 y el residuo 8. ¿Cuál es el valor dividendo?

4 Prof. Beatriz Toledo López

Completa el término que falta en cada una de las siguientes operaciones: a)

1 4 3 9 9 6 2 6 4 6 2 8 5 4 2 7 1 7 6 8 6

8 0 + 1 5 9 2 7 0 1 4 6

9 6 3 9 6 1

5 1

4 5 3

0 0 9 8 7 1 2 1 8

Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.*      

Actividad 5: Adición de números enteros (Pág. 50) Actividad 7: Sustracción de números enteros (Pág. 54) Actividad 8: Multiplicación de números enteros (Pág. 57) Actividad 9: Potenciación de números enteros (Pág. 59) Actividad 10: División de números enteros (Pág. 61) Actividad 11: Radicación de números enteros (Pág. 62)

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otras fuentes que refuercen los temas tratados.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Ejercicios desarrollados con números enteros http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/da tos/01/1.swf Números enteros – Operaciones básicas. http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/1.swf Test matemático – Adición de números enteros http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/01/8.swf El fondo marino - Animación interactiva de operaciones con números enteros http://www.santillanaenred.cl/hipertextos/2009/matematica7/recursos_red/a_fondomarino/animacion.swf?xref =es_texto.xml&skeleton=carcasa.swf

5 Prof. Beatriz Toledo López

07 NÚMEROS RACIONALES Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los números racionales y sus operaciones encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

Recursos

A identificar números racionales.  A realizar operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de racionales.  A resolver problemas simples que involucran operaciones con números racionales. 



Libro de Matemática

¿Cómo empezamos? 1. Lee el texto y responde las siguientes preguntas:  ¿Los números naturales y enteros pertenecen al conjunto de números racionales?  ¿Cómo se llaman los números fraccionarios no enteros? 2. Investiga y responde:  Menciona un ejemplo diario en el que se apliques la idea de números racionales.

NÚMEROS RACIONALES Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros. El término “racional” hace referencia a una “ración” o parte de un todo. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional. Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Fuente: http://www.utchvirtual.net/recursos_didacticos/documentos/matematicas/numeros-racionales.pdf

1 Beatriz Toledo López

07 Actividades 1.

En este espacio de la ficha desarrollaremos las actividades en dos formas:  Presentando un resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Si deseas profundizar el tema te recomiendo que repases las páginas 72 a 80 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Números racionales  Propiedades  Operaciones con números racionales

Propiedades de los números racionales Recordemos: Numerador

a b

Denominador

Si b ≠ 0

Reducción: Igualdad: Toda fracción puede ser representada por su fracción reducida. Si a y b son números racionales iguales entonces a = b. 25 20 10 5 2 a a 2 b 3 45 36 18 9 3 b Densidad: Entre dos números racionales diferentes siempre es posible encontrar otro número. 7 x5 2 x3 35 6 33 Ejemplo: 7 y 2 y y 3

3x5

5 x3

Actividades 1. Simplifica las siguientes fracciones: a)

100 75 108 54

26 12

145 80

111 900

1008 711

2. Halla el valor de “x” e “y” para que las fracciones sean iguales: a)

x 2 3

7 y 2

2x 7

22 y 4

3x 1 15

3. Menciona 6 números racionales que se encuentran entre

7 2y 1

4 5 y 5 6

2 Beatriz Toledo López

Adición y sustracción de números racionales Adición en Q Homogéneas

a b

c b

Heterogéneas

a c ,b b

a b

c d

Homogéneas

ad bc ,b y d bd

a b

23 17 4

11 7 5 6

40 4

c b

a c ,b b

Heterogéneas

a b

c d

Ejemplo:

Ejemplo: 23 17 4 4

Sustracción en Q

66 35 30

97 71 11 11

101 30

ad bc ,b y d bd

Ejemplo:

97 71 11

33 15 19 6

28 11

198 185 114

28 11

13 114

Actividades 1. Realiza las operaciones de adición y sustracción de racionales en los siguientes ejercicios : a) 21 34 45

13 4

4 7

91 24 5 9

14 3

1 9

1 5

e) 6

9 7 15

4 65

76 32

11 32

56 114 98 98

3 5 8 7

2. Halla el valor de “m” en los siguientes ejercicios: a)

2 18 m 5 5

3 m 2

6 3

12 3m 13

2 13

Multiplicación y división de números Q Multiplicación en Q a c x b d

a xc ; siendo b 0 bxd Por ejemplo:

3 1 x 8 11

3 x1 8 x 11

División en Q a b

c d

a d x b c

a xd siendo b 0, c 0 y d 0 b xc

Por ejemplo:

3 88

51 2 4 3

51 3 x 4 2

153 8

3 Beatriz Toledo López

07 Actividades 1. En tu cuaderno resuelve las siguientes operaciones: a)

1 3 x 6 5

7 8

1 3 8 3 11 x x x x 2 6 2 7 23

12 12 4 x 17 2 3

2 8

4 8

1 2

1 4 x 3 3

3 2 5

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Una vez que hayamos terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades iniciaremos con la elaboración y resolución de problemas con números racionales. En parejas elabora 2 problemas cotidianos en las que se presenten las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números racionales.

…………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………….……… 2. 3.

Luego intercambien los ejercicios con otros grupos y resuélvanlo. Compartan las dificultades que tuvieron en el desarrollo de los ejercicios y planteen alternativas que permitan la resolución de problemas con números racionales en forma sencilla.

¿A DÓNDE NOS LLEVA NUESTRO APRENDIZAJE? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1.

Marca V (verdadero) o F (falso)según corresponda : a.

31 se 22

encuentra entre

(

)

15 6

5 2

(

)

3 4

2 3

3 2 4 3

(

)

11 2 23 3

11x2 23x3

(

)

3 18 y 2 11

4 Beatriz Toledo López

07 2.

Completa los casilleros con la igualdad en cada caso: a)

16 5

1 4

7 x 4

21 10

1 7

4 7

2 3

13 4

6 5

7 4

6 5

12 7

1 2

1 8

13 5

1 4

7 10

9 10

5 4

13 8

8 5

11 5

Resuelve los siguientes problemas: a)

Compré una nevera para mi casa por S/. 750.00. María, mi vecina, quiere que se la venda y el precio de venta es el 3/5 del precio de compra. ¿Cuánto me debe cancelar María?

Pablo tiene 30 canicas y Pedro tiene 1/6 de lo que tiene Pablo. Si a Pedro le obsequiaron 10 canicas más ¿Cuántas canicas tiene al final Pedro?

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Proyecto: “Elaboramos nuestro banco de preguntas”

Todo sobre fracciones: Operaciones http://www.gobiernodecanarias.org/educacion /9/Usr/eltanque/todo_mate/fracciones_e/fracci ones_ej_p.html Suma, resta, multiplicación y división de números racionales http://www.aplicaciones.info/decimales/fraccio n.htm Actividades interactivas: equivalentes http://www.masmates.com/

Fracciones

Responsables: tutor y estudiantes Objetivo: Realizar un banco de preguntas de matemática relacionado con el tema “Números racionales”. Tareas: Organízate con tus compañeros para la realización de un folleto con los problemas grupales planteados en la ficha. Recuerda relacionar los problemas con la realidad de tu región. No olvides incluir el solucionario con las respuestas y pasos a seguir en cada caso.

5 Beatriz Toledo López

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL

¿Qué aprenderemos hoy?

¿Qué materiales utilizaremos?

A transformar fracciones en decimales y viceversa.  A realizar operaciones que involucran la fracción generatriz de una expresión decimal. 

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008. Video Nº .....: Los números decimales.

¿CÓMO SURGIÓ LA ESCRITURA DECUIMAL? Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10). Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales (de denominador 60). Un defensor a ultranza de las fracciones decimales fue François Viète (1540-1603). En 1579, en unos de sus trabajos escribe 141421'35624 como 141421.35624. Unas páginas más adelante escribe 314159'26535 como 314159. y un poco más adelante escribe este mismo número como 314159.26535, con la parte entera en negrita. En algunas ocasiones usa un guión vertical para separar la parte entera de la fraccionaria, es decir 314159|26535. Sin embargo, no fue Viète, sino el flamenco Simon Stevin, quien en 1585 acometió la tarea de explicarlas con todo detalle y de una manera muy elemental, el verdadero propagador de la utilización de fracciones decimales. En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier (1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo de separación decimal. Extracto de Números Decimales www.juntadeandalucia.es/.../decimales/numerosdecimales.htm

Investiga con tus compañeros y responde:

Extracto de HISTORIA DE LOS NUMEROS RACIONALES http://platea.pntic.mec.es/~bgarcia/racional.htm a) ¿Los números naturales pueden expresarse en forma decimal. Fundamente tu

respuesta ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. b) ¿Cuántos números racionales se encuentran entre 1 y 2? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. 1 Prof. Beatriz Toledo López

Expresiones decimales Todo número racional tiene expresión decimal, que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador.

4 10

12 5

0, 4

112 1,1313... 99

2, 4

Expresiones decimales exactas Son aquellas que el residuo de dividir su numerador y denominador es igual a 0. 3 1,5 2 Expresiones decimales infinitas Se dan cuando la división del numerador entre el denominador nunca tiene fin. Periódicas puras

Periódicas mixtas

Cuando el periodo empieza después de la coma decimal

Cuando el periodo comienza después de algunas cifras que no son periódicas.

7 9

17 30

0, 777... 0, 7

0,5666... 0,56

Actividades 1. Observa con tus compañeros el video “ Los números decimales” y responde: a) ¿Cómo puedes expresar tu edad en números decimales? Menciona un ejemplo: 2. Resuelve en tu cuaderno lo siguiente: a) Escribe la expresiones decimales de cada una de las siguientes fracciones: a) 17 10

1 6

12 8

5 2

3. Indica si las expresiones decimales de las siguientes fracciones son puras o mixtas: a)

23 450

.......................................................

146 33

.......................................................

1 6

.......................................................

77 33

.......................................................

2 Prof. Beatriz Toledo López

Generatriz de una expresión decimal periódica

Generatriz de expresión Decimal Periódica Pura

Para hallar la fracción generatriz basta escribir el periodo como numerador y como denominador a un número compuesto por tantos nueves como cifras tenga el periodo.

0, 444... 0, 4

4 9

Generatriz de Expresión Decimal Periódica Mixta

Para hallar la fracción generatriz basta escribir como numerador la parte no periódica seguida de un periodo menos la parte no periódica y como denominador un número compuesto de tantos nueves según tenga la parte periódica y ceros según la parte no periódica.

3781 37 9900

0,3781 33,333... 33,3 33

3 9

100 3

2,312 2

(312 31) 900

3744 9900

281 900

2081 900

Actividades 1. En tu cuaderno, escribe en forma de fracción cada expresión decimal : a)

0,56

b) 0, 9

8,78

e) 9,89

d) 8,113

0, 011

2. Halla el valor de la fracción generatriz reducida a su mínima expresión: a) 0,1233

b) 2, 212

c) 3,58

Operaciones con fracciones y decimales Para operar fracciones y decimales, lo podremos realizar en las siguientes formas: 

Convirtiendo todos los términos en fracciones:

Ejemplo: a)

1 2

5 2

3 0,5 2

1 2

5 2

3 2

1 2

10 2

b) 3, 2 x

9 3 x 7 8

16 9 x3 5 7 x8

16 27 5 56

432 280

3 Prof. Beatriz Toledo López

Convirtiendo todos los términos en decimales:



Ejemplo: a) 0, 21 0,12 b) (0,5 x1, 2)

3 7, 2 0, 21 0,12 0, 75 7, 2 7,99 4

4 3

(0,6)(0, 8) 0, 48

Actividades 1.

En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones 2 0,34 (0, 4) a) 5

75 1 1 12,3 2 2 3

3 2, 43 2

8, 23

1 10,3 2

8 18,3 2

11 23

Operaciones combinadas en Q Recordemos: 

Sin signos de colección:

Veamos un ejemplo:

1º

1 4 2 2,3 1, 4 2 5 5 1 4 5 2,3 x 1, 4 2 5 2

Calculamos los cocientes y productos de fracciones o expresiones decimales respetando las reglas

2º

Estandarizamos la conversión de fracciones a expresiones decimales o viceversa según sea conveniente

3º

Finalmente, realizamos sumas y diferencias.

1 2,3 2 1, 4 2 0,5 2,3 2 1, 4 2, 2

4 Prof. Beatriz Toledo López

Con signos de colección:



Veamos un ejemplo: 3 2

2,1

1 (2,7 1,3) 0, 2 2

0,1

1º

Resolvemos las operaciones encerradas en paréntesis

2º

Resolvemos las operaciones entre corchetes

3º

Resolvemos las operaciones entre llaves

4º

Estandarizamos las expresiones según sea conveniente y finalmente operamos

3 2

1 (2,7 1,3) 0, 2 2

2,1 3 2

1 x4 0, 2 2

0,1

2,1 2, 2 0,1

1,5 0 1, 5

Actividades 1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) 0,3 4,3

1 0,1 10

b) [( 15,9) 12,1][( 10,9) ( 0,8)] 2 4 1 2 2 4 9 9 7 2 5 8 c) 2 d)

1 21 0, 4 2

2 2 3 9

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) 0, 4 =

(

)

b) 0, 357

(

)

(

)

(

)

3 1 3 0, 2 4 5 10 1 [23 2, 2(1,5 0, 75)] 6,5 d) 2

5 Prof. Beatriz Toledo López

Resuelve los siguientes problemas: a) Un ciclista ha recorrido 145,8 km en una etapa, 136,65 km en otra etapa y 162,62 km en una tercera etapa. ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1000 km? Expresar el resultado en fracción.

b) En la fiesta de cumpleaños de Martha, la quinta parte de la torta se repartirá con sus amigos del colegio y lo restante para su familia. ¿Cuánto le corresponde a la familia de Martha? Expresar el resultado en decimales

Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.*  Actividad 8 : Expresión decimal de un número racional (*) Si no cuentas con el libro de (Pág. 84) 

Actividad 9: Generatriz de una expresión decimal

consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

periódica (Pág. 86)

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Conociendo más las fracciones http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA13/MultiDivfracciones.html Expresiones decimales de números racionales http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales:_Expresi%C3%B3n_decimal_d e_una_fracci%C3%B3n Conociendo más acerca de las expresiones decimales http://www.aplicaciones.info/decimales/decima.htm

6 Prof. Beatriz Toledo López

ECUACIONES E INECUACIONES

¿Qué aprenderemos hoy? 



¿Qué materiales utilizaremos?

A resolver problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. A identificar inecuaciones lineales .

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008. Video Nº .....: Ecuaciones

ORIGEN DE LAS ECUACIONES LINEALES La primera fase que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un Álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada Álgebra Geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de Cy el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones de la vida diaria. Extracto de Ecuaciones Lineales http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html

Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una inecuación? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. b) Explica con tus palabras la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. 1 Prof. Beatriz Toledo López

Ecuaciones Recordando: 2do miembro

2x 4 6 x 1er miembro

Ecuaciones Equivalentes Cuando dos ecuaciones contienen las mismas soluciones

Ecuaciones Compatibles Contiene una única solución

4x 5 2x 3 2x 8 x 4

4x 2 6 8x 4 12 x 1 para ambos

Ecuaciones Indeterminadas Contiene soluciones

infinitas

Ecuaciones Incompatibles La ecuación no contiene solución

4 x 5 4( x 1) 1 4x 5 4x 4 1 4x 4x 5 5 0x 0

4 x 5 4( x 1) 4x 5 4x 4 4x 4x 4 5 0x 1

x tiene infinitas soluciones

Actividades 1. Observa con tus compañeros el video “ Ecuaciones” y responde: a) Explica con tus palabras ¿Qué es una ecuación? b) ¿Qué propiedades de los números racionales utilizamos en la resolución de ejercicios con ecuaciones? Explica con 1 ejemplo tu respuesta. 2. Enlaza cada ecuación con su equivalente:

2x 5



 3x 6

4( x 1) (3x 2)



 36 x 96

6( x 3) 2



 6 x 15

3. Determina que ecuaciones son compatibles, Indeterminadas e Incompatibles. a)

5x 6 3x 2

b) 8x 7 4(2 x 2) 1 c)

6(2 x 1) 2 12 x 4

x (2 x 2)

4x 1

2 Prof. Beatriz Toledo López

Resolución de ecuaciones Podemos resolver ecuaciones en Q, de dos formas diferentes: Modelo tradicional

Modelo de los operadores

Observemos el siguiente ejemplo:

Hallar el valor de x en: 2 x 6 5

Hallar el valor de x en: 2 x 6

Prop. monotonía de la multiplicación



2x 6 2 2

Prop. monotonía de la sustracción .



2x 6 6 10 6

Prop. monotonía de la división



2x 2

4 2

Realizamos operaciones



5 2 2

10 –6

Actividades 1. En tu cuaderno, resuelve las siguientes ecuaciones de la manera tradicional : a)

3(1 2 x) 4(1 x)

2x 3

2( x 2) 3(1 x)

3x 2

x 2(1 x)

2(1 2 x) x

3x 2( x 1)

2( x 2) 3

2(3x 1) 4

3(1 x) 2

I. Resuelve las siguientes ecuaciones según el modelo de operadores: a)

3x 4 2

5 2

5x 3 8

1 8

4x 1 9

1 27

Inecuaciones Recordando:

x 4 12 1er miembro

2do miembro

3 Prof. Beatriz Toledo López

Resolución de Inecuaciones La técnica para resolver las inecuaciones es similar a la utilizamos para resolver una ecuación. Por ejemplo: 5x 6 16 1 Se suma o resta la misma cantidad a ambos miembros 2 Se multiplica o divide por un número positivo 3 Operamos respectivamente 4

5x 6 6 16 6 5 x 5

C.S.

Hallamos el conjunto solución

10 5

x/ x

Actividades 1.

En tu cuaderno, resuelve las siguientes operaciones a) c)

6x 24 x 8 12

12 x 1 16

28 20

3, 6 x 30 45

3 x 2 1 9

¿Qué aprendimos hoy? 1.

Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) x 8(2 x 1) 17 x 3 es indeterminado

(

)

b) 2 x 8( x 2) 3x 1 es compatible

(

)

c) x 2( 4 4 x) 32 3x es incompatible

(

)

d) 5x 3( x 20) 15x 2(3x 6) es incompatible

(

)

2. Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 3 a) 15 6x 24 b) 21 x 2 0 6

c) 15 x 5 8

4 Prof. Beatriz Toledo López

Resuelve los siguientes problemas: a) María viaja en auto de Lima a Cañete con una velocidad de 100km/h. Si la distancia es de 12 000 km y sólo avanzó 1034,5 km en medio día ¿Cuánto le falta recorrer para llegar a su destino?

b) Rafael divide un número de cifras entre otro que tiene una cifra; el resultado de dicha operación es 383 873 ¿Qué valores puede tomar el número de una cifra?

Reforzando lo aprendido Reforzando lo aprendido Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.* 

Actividad 12 y 13:Ecuaciones e Inecuaciones en Q (Pág. 92-93)

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Pasos para resolver una ecuación http://classtools.net/widgets/priority_chart/priority_chart51612.htm/ Conociendo más acerca de las inecuaciones http://www.amolasmates.es/flash/inecuacion.swf Conociendo más acerca de las ecuaciones http://www.genmagic.net/mates2/eq1_cast.swf

5 Prof. Beatriz Toledo López

DIVISIBILIDAD

¿Qué aprenderemos hoy?  

¿Qué materiales utilizaremos?

A reconocer múltiplos y divisores. A realizar operaciones que involucren el criterio de divisibilidad en números naturales.

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008. Video Nº .....: Divisores y múltiplos

UN POCO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS Los números primos son unos números “rebeldes” que no se dejan dividir por otros números; están, pues, vacíos de divisores entre la unidad y ellos mismos. Estos números llamaron la atención de los estudiosos hace más de 2.000 años. Ya Euclides (300 a.C.) demostró que el número de números primos es infinito.(..) Eratóstenes (matemático y geógrafo griego que vivió en el s. III a. C.) se inventó una criba para ir obteniéndolos. El método es muy sencillo, aunque muy lento: en la lista de todos los números positivos (exceptuando el 1, que no es primo pues sólo tiene un divisor: el propio 1), respetamos cada número que vamos encontrando sin tachar (por ejemplo, el 2 al empezar la tarea) pero vamos tachando todos los múltiplos de ese número, mayores que él. Así, iremos tachando los de 2 (4, 6, 8, etc.), luego los de 3 que no hayan sido tachados antes (9, 15, etc.); y, sucesivamente, los múltiplos de los números que van quedando sin tachar (los de 5, 7, 11, etc.). De esta forma van quedando, filtrados y ordenados, los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. Extracto de Divisibilidad http://www.scribd.com/doc/3463233/divisibilidad

Investiga con tus compañeros y responde: a) ¿Cuál es la diferencia entre un divisor y un múltiplo? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. b) ¿Los múltiplos de un número son infinitos? ¿Por qué? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

1 Prof. Beatriz Toledo López

Múltiplos y divisores Múltiplos

Divisores

Un número es múltiplo de otro cuando el primero contiene al segundo una cantidad exacta de veces

Un número es divisor de otro cuando el primero se puede dividir exactamente con el segundo.

Múltiplos de 12: {0, 12, 24, 36,48,…}

Divisores de 12:{1,2,3,4,6, 12}

“0 es múltiplo de todo número”

“1 es divisor de todo número”

Actividades 1. Observa con atención el video: “Divisores y múltiplos”. Luego dialoga con tus compañeros sobre: a) Plantea tres ejemplos con múltiplos y divisores de números naturales

b) Investiga y explica con tus propias palabras ¿Qué es divisibilidad? 2. Halla los 8 primeros múltiplos de los siguientes números: 23 = ........................................................................................................ 11 = ........................................................................................................ 17 = ........................................................................................................ 13 = ........................................................................................................ 3. Halla los divisores de los siguientes números: 64 = ........................................................................................................ 88 = ........................................................................................................ 111 =....................................................................................................... 128 = ...................................................................................................... 4. Completa los espacios en blanco con “divisor” o “múltiplo" según corresponda: 4 es........................................... de 12

20 es ........................................ de 5

19 es .........................................de 190

369 es .......................................de 3

2 Prof. Beatriz Toledo López

Números primos y compuestos

Números Primos

Números Compuestos

Se denomina número primo aquel que posee solo dos divisores: la unidad y él mismo.

Los números compuestos tienen más de 2 divisores.

2, 3 , 5, 7, 11,…

4, 6 ,18, 111, 42,…

Actividades 1. Observa con atención el video: “Números primos y compuestos”. Luego dialoga con tus compañeros sobre: a) b)

Menciona tres ejemplos cotidianos de la utilización de los números primos Investiga sobra la criba de Erastótenes

2. Encierra en un círculo los números primos y en un cuadrado los números compuestos.

3. ¿Cuáles de los siguientes números son compuestos? a) 123 c) 583

b) 317 d) 401

4. Resuelve: La raíz cuadrada de la suma de dos números primos menores que 20 es 6 ¿Cuáles son esos números?

3 Prof. Beatriz Toledo López

Criterios de divisibilidad

Divisibilidad por 2 Cuando la última cifra es par o termina en 0

Divisibilidad por 3 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3

Divisibilidad 5 Cuando la última cifra termina en 0 o 5.

124; 100 ; 882 ;…

369 = 3+6+9 = 18 es múltiplo de 3

10,10005, 40,60, …

Divisibilidad por 9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 468 = 4 + 6 + 8 = 18 que es múltiplo de 9 711= 7 +1+1= 9 que es múltiplo de 9

Divisibilidad por 11 Cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las cifras que ocupan lugar par ; da como resultado igual a 0 o un múltiplo de 11. Por ejemplo: 132 (1+2)- 3 = 0

Actividades 1.

Agrupa los números del cuadro según su criterio de divisibilidad. 12 111 a) b) c) d) e)

25 500

20 236

16 222

32 6

18 99

16 34

11 82

24 84

300 14

Divisibles por 2:....................................................................................................... Divisibles por 3:....................................................................................................... Divisibles por 5:....................................................................................................... Divisibles por 9:....................................................................................................... Divisibles por 11:.....................................................................................................

¿Qué aprendimos hoy? 1. Halla los divisores comunes entre los siguientes números: f) 12 y 36

b)15 y 36

c)40 y 11

4 Prof. Beatriz Toledo López

2. Escribe verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a) b) c) d)

23 es múltiplo de 3 11 es divisor de 1 234 321 231 es divisible por 2 171 es un número primo

( ( ( (

) ) ) )

3. Resuelve los siguientes problemas: a) Queremos dividir en trozos iguales, de la mayor longitud posible, dos tablas de madera de 60 y 72 cm de longitud respectivamente. Calcule la longitud de cada trozo

b) En una clase de Matemáticas hay 24 alumnos. Para realizar un trabajo grupal, se forman en cada clase grupos del mismo número de alumnos de manera que ha el menor número de grupos posibles ¿Cuántos alumnos conforman cada grupo?

Reforzando lo aprendido

Desarrolla las actividades del Libro MATEMÁTICA 1er Grado – Editorial Bruño.* 

(*) Si no cuentas con el libro de consulta, utiliza otro material que refuercen los temas tratados.

Actividad 13 y 14: Criterios de Divisibilidad (Pág. 27-29)

Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Criterios de Divisibilidad http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/glosario/divisibilidad.swf

Juego de Divisores http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/jgc.htm Algo más de Divisores http://www.aprendermatematicas.com/sama/divisibilidad.swf

5 Prof. Beatriz Toledo López

FUNCIONES Sumilla A través del análisis de situaciones cotidianas y el conocimiento de las funciones podrás realizar resolver ejercicios y situaciones propuestas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Identificar la gráfica de una función. Representar una función mediante tablas, gráficas y ecuaciones.  Analizar las características de las gráficas de las diversas funciones. 



Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. Lee el texto y completa el cuadro :  Cierta mañana Luana desea comer manzanas para lo cual la vendedora le dice que el kilogramo de manzanas cuesta S/. 2. ¿Cuánto le costará 2, 5, 7 y 10 kg? Completa el cuadro: kg

S/.

http://www.gifanimados

2. A partir del análisis responde a las siguientes preguntas:  ¿Cuánto le costó si compró 3 kilos?  ¿Cuánto le costó si compró 5 y 10 kilos respectivamente?  Si el kilogramo de pera cuesta el doble que el de la manzana. ¿Podrá comprar con S/.10, 2 kg de pera y 1 kg de manzana? ESCRIBE EN TU CUADERNO TUS RESULTADOS.

1 Prof: Juana Tueros Huamaní

11 FUNCIONES En nuestro quehacer diario siempre estamos relacionando el producto con su precio o con su peso, etc. En realidad estamos aplicando el concepto de función. Habrás escuchado por ejemplo: El gasto total de panes depende del número de panes; o el gasto total se expresa en función del número de panes. Frases como “….depende del….”, “…..en función….” expresan una correspondencia o relación entre dos sucesos o entre los elementos de dos conjuntos. ¿Pero qué es una función? Una función f de A en B, es un conjunto de pares ordenados (x, y) en el cual dos pares distintos no tienen la misma primera componente. Su denotación es: f(y) = axf: A → B, y se lee; f es una función de A en B. En toda función se distingue lo siguiente:

Conjunto de partida Conjunto de llegada Regla de correspondencia

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN Existen diversos lenguajes para expresar una función, para ello vamos partir de un caso: Juan tiene que en ómnibus y le dice que hay que pagar S/ 10 por kilómetro. ¿Cuál es la función que expresa el valor de cada pasaje según el número de kilómetros?

LENGUAJE VERBAL

Es un texto o una frase que relaciona las 2 magnitudes. Un ómnibus a S/. 10 el km. Depende o es función del número de kilómetros recorridos.

LENGUAJE NUMÉRICO

Es una tabla que relaciona las dos magnitudes. km 1 2 … 70 S/. 10 20 … 700

LENGUAJE ALGEBRAICO

LENGUAJE GRÁFICO

Es una expresión que relaciona las 2 magnitudes. Si x indica el número de kilómetros e y el valor de cada pasaje, la relación entre las dos variables(x e y) nos da la siguiente expresión: y = 10x Se ubica los pares ordenados en el plano cartesiano, es decir se relacionan las 2 magnitudes.

2 Prof: Juana Tueros Huamaní

¿Cómo identificar cuando una gráfica representa una función? Al trazar rectas paralelas al eje y, si pasa sólo por un punto de la gráfica entonces podemos afirmar que representa una función, caso contrario no es una gráfica de una función, observa la siguiente gráfica:

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente(x). Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x). Se representa por: D(f) RANGO DE UNA FUNCIÓN Al conjunto de todos los valores de la variable dependiente (y). Los valores en el rango usualmente están asociados con el eje vertical. (El eje y) Se representa por: R(f) Ahora tú identifica el dominio y rango de la siguiente función. Dados: A= 3;4;5 y B= 2;4;5;6;7 , determina el dominio y rango de f: A =

B / f ( x)

x 1

Elaboramos una tabla de f(x) x

f(x)

D(f) = ………………………… R(f) = ………………………………. R(f) = ………………………… Puedes también realizar diagramas sagitales.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html

3 Prof: Juana Tueros Huamaní

Tipos de Funciones

Tipos

Lineal

Cuadrática o de segundo grado

¿Qué es? Es una función de la forma f(x)=mx+b, el dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de los números reales. Nota: Una función de la forma f(x)=mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.

Una función cuadrática es una función de la forma f(x)=ax2+ bx +c, con a diferente de cero, donde a, b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula:

Notación simbólica

Gráfica 6 4 2 -6

-4

-2

0 -2 0

-4 -6

f(x) = mx + b

En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). 20 15

f(x) = x 2

10 5 0 -5

f(x) = -x 2

La función f(x)=x2 es una función cuadrática decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito. 0 -5 0

-5

-10 -15 -20

Función constante

Es una función de la forma f(x)=mx+b, el dominio y el rango de una función lineal es el conjunto de los números reales. Nota: Una función de la forma f(x)=mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.

2 1.5 1 0.5 0

f(x) = b

-4

-2

El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}.

4 Prof: Juana Tueros Huamaní

Tipos

Función Identidad

Valor Absoluto

Notación simbólica

¿Qué es? La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. La función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el cero y los números reales positivos.

Gráfica 2 1

f(x) = x

-4

-2

0 -1 0

-2 -3

f(x) = |x|

Llegó el momento de poner en práctica lo aprendido sobre funciones. Ejercicios 1. Identifica: De los siguientes pares de magnitudes, indica la magnitud independiente y la dependiente. a) La longitud del lado y el área de un terreno cuadrado. b) El volumen de una caja de leche y la longitud de su arista. c) La distancia recorrida por un auto y el tiempo que tarda en recorrerla. 2. Calcula: f(x)=-3x2 Luego dibuja la gráfica. 3. Interpreta: a) Sea la función que asocia “a cada número su mitad más dos unidades”.  Escribe la expresión algebraica.  Construye una tabla de valores y grafica la función.  ¿Qué tipo de gráfica dibujaste? y ¿porqué? b) Para realizar un paseo, tu sección acordó dar una cuota de S/.15 por cada alumno. 4. Completa la tabla y representa gráficamente. Alumnos(x)

Cuota (y)

5. Identifica qué función es a partir de la tabulación: a) f(x) = 3x+1 b) f(x) = x2 c) f(x) = x d) f(x) =|x| 6. Sean los conjuntos A = {2; 3; 5} y B = {1; 4; 6; 8}. DETERMINA: R1 = {(x, y) A x B / y es múltiplo de x} R2 = {(x, y) A x B / 3 x = y}

5 Prof: Juana Tueros Huamaní

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.

Elabora un listado de términos matemáticos que estén relacionados con el tema de funciones y elabora un pupiletras, luego busca su significado. Busca en periódicos y/o revistas tipos de gráficos y elabora un mini-álbum con su leyenda respectiva. Busca en tu entorno objetos y/o situaciones que representen los diversos tipos de funciones.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) El dominio de una función son las segundas componentes b) Toda función es una relación. c) Una gráfica lineal es decreciente cuando m es positivo. d) La función afín tiene como gráfica una curva. 2. Tabula y grafica las siguientes funciones: x a) b) c) d)

( ( ( (

) ) ) )

2;3

f(x) = 3x+1 f(x) = x2 f(x) = x f(x) =|x|

3. Elabora la tabla de valores y grafica las funciones. x a)

3x 1

x 3

2x 3 ; x

2;4

2;2

2x 3 x2

2x2

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre funciones: http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/fun cion.html

1;3

2x 1

1;3

Proyecto: “Elaboramos nuestro juego matemático” Responsables: tutor y estudiantes Objetivo: Realizar un juego de dominó referido al tema de “función”.

6 Prof: Juana Tueros Huamaní

LENGUAJE GRÁFICO

LA GEOMETRIA DE NUESTRO ENTORNO Sumilla A través del reforzamiento del tema podrás desarrollar ejercicios relacionados con la geometría en situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Conocer los elementos básicos de la geometría.  Graficar los elementos geométricos.  Resolver problemas simples que involucran conocimientos geométricos. 



Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. OBSERVA CADA FIGURA Y RESPONDE:

a) b) c) d)

(FIG 1) (FIG 2) (FIG 3) En la figura 1. ¿Cuántos planos observas? En la figura 2. ¿Que tipos de líneas observas? Graficar En la figura 3. ¿Grafica todos los ángulos que observas? ¿Crees que los objetos de tu entorno contiene elementos geométricos?

Si tienes dificultad después de haberlo intentado, te sugiero leer la siguiente información.

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA Es importante la observación de todo lo que nos rodea para poder comprender la importancia de la geometría. La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos.

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¿Qué debo saber? ELEMENTO

PUNTO

RECTA

PLANO

IDEA DE Se representa con una pequeña cruz y se le designa con una letra de imprenta mayúscula. Se representa con una porción de la misma y se le designa con una letra minúscula y/o mayúscula.

DENOTACIÓN A

COMO SE LEE Punto A

Recta

EJEMPLO EN EL ENTORNO La marca de un lápiz.

El borde de tu cuaderno.

Recta b b

Está compuesto por infinitos puntos.

Plano P

Una tabla picar.

En la recta podemos identificar: La semirrecta y el segmento. SEMIRRECTA

SEGMENTO:

Es cuando un punto separa a la recta en 2 porciones. Aquel punto se llama origen.

Es la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto.

Podemos encontrar rectas paralelas y perpendiculares.

LÍNEAS PARALELAS

Nunca se cruzan Su simbología es //

LÍNEAS PERPENDICULARES

Se cortan en un punto Su simbología es

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Recordemos:

Ángulos-construcción

Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo.

Los instrumentos que se utilizan para la construcción y medición de ángulos son compás y transportador respectivamente. Con el compás:

Marca un punto. Coloca el compás con una abertura determinada, la que tú quieras, ni muy pequeña ni muy grande. Realiza un arco grande, que sobrepase los sesenta grados de sobra, al ojo lo puedes hacer de noventa grados, media vuelta o el círculo completo. NO IMPORTA. A continuación marca un punto en el arco o círculo que has hecho. Si es un arco, hazlo cerca de un extremo. Ahora, sin cambiar la abertura del compás, dejándolo exactamente igual que lo tenías, colócalo en el punto que has marcado y haz una marca que señale sobre el propio arco. Ahora ya está hecho, deberías tener tres puntos: Uno en el centro y dos en el arco (o círculo). Si los unes con la regla, obtendrás un ángulo de grados en el centro.

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Ejercicios

1. MARCA LA RESPUESTA CORRECTA: a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar por un punto? (I) uno (II) finito (III) infinito b) ¿Cuántos planos se pueden trazar por un punto? (I) ninguno (II) finito (III) infinito c) ¿Se pueden trazar más de una recta por dos puntos distintos? (I) Si (II) No d) ¿Se pueden tener más de una recta que interseque a un plano en un punto? (I) Si (II) No 2. CONSTRUYE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS Y DENÓTALOS CORRECTAMENTE: a) 300

b) 600

c) 900

d) 1500

e) 1800

3. GRAFICAR: En una recta ubica cuatro puntos y escribe todos los segmentos que puedes obtener.

4. INVESTIGAR: Con ayuda de un texto busca la definición de los ángulos del recuadro, dibújalos y denótalos correctamente, luego grafica objetos de tu entorno que se relacione con dichos ángulos.

AGUDO

LLANO

RECTO

OPUESTOS POR EL VÉRTICE

OBTUSO

SUPLEMENTARIOS

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¿Qué aprendimos hoy? 1.

2. 3.

Una forma de recordar lo aprendido es ponerlo en práctica en nuestro entorno. Elige a un compañero y con una cámara fotográfica iniciarás una aventura de tomar fotos donde captures en objetos o situaciones la idea de elementos geométricos estudiados. Luego elaborarán un álbum identificando y denotando correctamente las dificultades que encontraron. Compartan sus impresiones con los demás grupos.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. Coloca V O F según convenga. a) Un ángulo llano mide 90º. b) La regla nos permite medir ángulos. c) Dos rectas paralelas nunca se cortan. d) La simbología de paralelas es //. e) Un segmento no está contenido en una recta.

( ( ( ( (

) ) ) ) )

2. Dibuja el croquis para llegar de tu casa al colegio con las respectivas calles y/o avenidas. Identifica en ello que calles son paralelas y perpendiculares.

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Todo sobre lo referente a ángulos y sus medidas: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/usr/eltanque/angulos/principal_p.html Todo referente a ejercicios: http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_08_01_01Exponen_Ecuaciones/0_Exponen_Ecuaciones.html

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LOS ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los ángulos encontraremos su aplicación en actividades cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Medir correctamente los ángulos.  Graficar los tipos de ángulos.  Graficar bisectrices y mediatrices. 

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Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. Observa las siguientes imágenes y completa:

a) La flecha roja indica un ángulo de……. y se llama…………………. b) La flecha amarilla indica un ángulo de…. y se llama………………. c) Estima la suma de los 2 ángulos.

2. Investiga y responde: Menciona otros ejemplos de tu vida diaria en el que se apliques la idea de ángulos. LOS ÁNGULOS En geometría, se define como el conjunto de puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto de partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos con un punto extremo común.

 B

AB es una semirrecta BC es una semirrecta B es el punto de partida

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DENOTACIÓN DE ÁNGULOS Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del ángulo en las cercanías del vértice; por ejemplo,  a o < 1.

1 http://portales.educared.net/wikiEducared/images/d/df/DibujoTecnico_I-1_19.gif

Clasificación de los Ángulos

SEGÚN SU MAGNITUD Agudo: Menor de 90º. Recto: Son aquellos iguales a 90°. Sus lados son dos rayos llamados rayos perpendiculares.

SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS

SEGÚN SU POSICIÓN

Complementarios: Cuando 2 ángulos miden 90°.

Ángulos Consecutivos: El mismo vértice y un lado común.

Suplementarios: Cuándo 2 ángulos miden 80°.

Obtuso: Son aquellos mayores de 90°. Ángulos Llanos: Son aquellos iguales a 180°. Sus lados son dos rayos opuestos.

Ángulos adyacentes: Son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son rayos opuestos. Opuestos por el Vértice: Son aquellos cuyos lados de uno son las prolongaciones en sentido contrario de los lados del otro.

Relaciona la definición con la gráfica correspondiente:

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13 Actividades En este espacio de la ficha desarrollarás las siguientes actividades:  Revisando esta ficha y la anterior podrás resaltar los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado.  Comparte con un compañero las actividades y/o ejercicios desarrollados. Revisa la página 104 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño y desarrolla la actividad 1. Te permitirá aplicar lo estudiado y retomar para el siguiente tema.

Bisectriz y mediatriz de un ángulo

BISECTRIZ

MEDIATRIZ

Bisectriz: Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. La propiedad de cada uno de los puntos de una bisectriz es que equidista de los lados del ángulo. Para trazar una bisectriz se dibuja un arco de radio arbitrario con centro en el vértice. Este arco corta a los lados en los puntos M y N. La bisectriz b es la mediatriz de la cuerda MN.

Dado un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por el punto medio.

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Ejercicios 1. Resuelve los siguientes problemas verbales, construyendo la figura cuando sea necesario. a)

Determina el complemento de 72°.

¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37° se le suma el suplemento de 93°.

Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

Determina el complemento del suplemento de 143°.

Determina el ángulo que es el triple de su complemento.

Determina el complemento de 42° 18'.

Operaciones de ángulos con grados, minutos y segundos. Adición y sustracción

Multiplicación y división

Se debe sumar y/o restar por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un minuto, y cada 60 minutos forman un grado, debe hacerse el correspondiente ajuste del resultado:

La multiplicación respecto de un ángulo, al igual que la división puede realizarse respecto de un número natural; pero es una operación que tiene sentido lógico en cuanto el resultado no sea superior a la medida máxima posible para un ángulo, que son 360°.

Ejemplo: ABC = 30° 45’ 13” + DEF = 42° 45’ 53” Suma: 30° + 42° = 72° 45’ + 45’ = 90’ 13” + 53” = 66” Reducción: 66” = 1’, 6” 90+1’ = 1°, 31’ Total: ABF = 72 + 1 = 73°, 31’, 6”

Ejemplo: ABC = 12° 45’ 13” × 5 Multiplicación: 12° × 5 = 60° 45’ × 5 = 225’ 13” – 5 = 65” Reducción: 225’ = 3°, 45” 65” = 1’, 5” Resultado: 60°+3° = 63°, 45’ + 1°= 46’ Total: 63°, 46’, 5” Ejemplo: ABC = 125° 46’ 0” ÷ 5 Conversión previa: 46’, 0” = 45’, 60” 60” ÷ 5 = 12” División: 45’ ÷ 5 = 9’ 125° ÷ 5 = 25° Reducción: No se requiere Resultado: 25°, 9’, 12”

4 Prof:Juana Tueros Huamaní http://www.escueladigital.com.uy/geometria/2_angulos.htm#operaciones

Ejercicios

1.- Realiza las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de ángulos. a) 112° 24’ 55’’+ 59° 45’’ b) 35° 24’ 55’’ - 14° 14’ 48’’ c) 36° 17’ 57’’ x 3 d) 24° 35’ 13’’: 3 e) 109° 63’’- 36 20’ 2’’ f) 19° 35’ 16’’ x 4 http://www.vitutor.net/1/67.html

2.- Con ayuda de tu transportador grafica el complemento y el suplemento de los siguientes ángulos.

SU COMPLEMENTO a) b) c) d) e)

27° 36° 79° 57° 60°

SU SUPLEMENTO a) b) c) d) e)

20° 75° 60° 57° 35°

En forma gráfica halla la bisectriz de los siguientes ángulos: a) 46° b) 80° c) 100°

d) 46°

¿Qué aprendimos hoy? 1.

En esta oportunidad como verás has desarrollado actividades referente a la medición y cálculo con ángulos. Observa a tu alrededor y elige 3 objetos que sean posibles de medir ángulos e inventa 2 problemas cotidianos en las que se presenten al menos dos operaciones con ángulos.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1) Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: Coloca V o F según convenga. a) Un ángulo llano mide 180°.

(

)

b) La mediatriz no es perpendicular.

(

)

c) El transportador permite medir los ángulos.

(

)

d) Su complemento de 60° es 40°.

(

)

2) Con ayuda de tu transportador mide todos los siguientes ángulos posibles en:

3) ¿Cuánto mide cada ángulo? Luego traza la bisectriz respectiva.

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre ángulos: Teoría y ejercicios. http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/0inicio/bisectriz.htm http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/rectasnotables/rnotables1.htm

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14 CONOZCAMOS A LOS POLÍGONOS Sumilla Mediante la explicación de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los polígonos verás su aplicación en situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Conocer los elementos de los polígonos.  Resolver problemas simples que involucran áreas. 

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Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. Jacinto tiene su terreno donde cría burros y chanchos.  ¿Qué forma tienen sus terrenos? 9m

15 m

10 m

a) ¿Los lados de los terrenos son iguales? b) ¿Puedes calcular el área del primer y segundo terreno?. De ser así ¿a cuanto asciende cada uno?

POLÍGONOS Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas) y sus elementos son:

Vértice

Vértice Lado Diagonal Angulo interno Angulo externo

Convexo

Diagonal

Ángulo exterior

Ángulo interior

Cóncavo

No tiene ángulos que apunten hacia Sus ángulos internos son mayores a 180° dentro. En concreto, los ángulos internos (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva"). no son mayores que 180°.

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos.html

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Clasificación de los polígonos Recordemos: Cuando son regulares (sus lados iguales) podemos clasificarlos:

Nombre del Polígono Triángulo

Número de lados

Imagen

Angulo interno

60° Cuadrilátero

90° Pentágono

………… Hexágono

………… Heptágono

………… Octágono

………… Nonágono

Decágono

Undecágono

Dodecágono

…………

………..

A partir de 13 lados los polígonos no llevan un nombre especial a excepción de 15 lados (Pentadecágono) 20 lados (Icosígono) se dice: “polígono de 13 lados” “polígono de 14 lados”. Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cuadrilateros.html

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ANGULOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES

ANGULO INTERNO

NUMERO DE DIAGONALES

ANGULO EXTERNO

( n 2) x180º n

la suma es: (n-2) x 180°

360º n

La suma es:

n(n 3) 2

http://www.geoka.net/geometria/area.html

Los polígonos regulares tienen 2 elementos notables:

Centro

Apotema

Es el punto en el interior del polígono Es el segmento que une el centro con el punto equidistante (está a igual distancia) de medio de uno cualquiera de los lados. La apotema es perpendicular al lado del polígono. todos los vértices.

ÁREA DE UN POLÍGONO Recordemos que: El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono. l = Longitud del lado n = Números de lados P = Perímetro A = Área

nx1

PerímetroxApotema 2

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14 Ejercicios

1.- Dibuja un cuadrilátero convexo y dos cóncavos. 2.- Indica cuantos triángulos se obtienen al trazar desde uno de los vértices las diagonales en cada uno de los siguientes polígonos convexos. a) Hexágono

b) Cuadrilátero

c) Pentágono

3.- Dibuja en un papel cuadriculado los siguientes polígonos e indica sus elementos: a) Heptágono cóncavo

b) Hexágono convexo c) Un decágono convexo.

4.- Resuelve las siguientes situaciones: a) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un dodecágono regular? b) La suma de los ángulos interiores de un polígono es 900°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? c) ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo, un hexágono y un octágono? Calcula y traza las diagonales respectivas.

¿Qué aprendimos hoy? 1. Elige un compañero de aula y dibujen un polígono cóncavo y convexo relacionado con un objeto de tu aula y/o casa. 2. Colecciona etiquetas de productos que tengan forma poligonal e indica sus elementos. 3. Desarrolla los ejercicios de la página 109, cualquier duda consulta con tu tutor. 4. Elabora un pupiletras con todos los términos utilizados en este tema e intercambia con tu compañero(a) y resuelve. 5. ¿Cuántos triángulos puedes obtener en los siguientes gráficos trazando sus diagonales?

6. Construye polígonos regulares a partir de un círculo.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: Marca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) Un polígono regular tiene sus ángulos de igual medida. b) Un polígono irregular tiene sus lados iguales. c) El triángulo no tiene diagonales. d) Todo polígono puede ser dividido en triángulos.

( ( ( (

) ) ) )

2. Resuelve los siguientes problemas: a) Si el área de un pentágono regular es 175 m2 y su apotema mide 7 cm. Calcula la medida de su lado. Grafica

b) Si el área de un octógono regular es de 30 m2 y su apotema mide 3 cm. Calcula la medida de su lado. Grafica

Si tienes internet, ingresa a las páginas web: Todo sobre polígonos: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/poligon.htm Todo sobre polígonos: Ejercicios. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aula.htm

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LAS ÁREAS DE LAS REGIONES POLIGONALES Sumilla A través del reforzamiento del tema y el desarrollo de los ejercicios sobre áreas poligonales podrás comprender su aplicación en situaciones cotidianas diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Calcular las áreas de las regiones poligonales .  A resolver problemas simples que involucran áreas. 

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¿Cómo empezamos? Observa las siguientes polígonos y realiza lo que se te solicita:

(fig. 1)

(fig. 2)

(fig. 3)

(fig. 4)

(fig. 5)

a) Divide cada uno de ellos en triángulos (fig.1), rectángulos (fig.2), trapecios y triángulos (fig.3) y trapecios (fig.4) b) ¿Qué características en común tienen las figuras del 1 al 4? c) ¿En qué se diferencia la figura 5 de las demás? d) ¿Qué objetos de tu entorno tienen estas formas de las figuras? e) Lee el siguiente fragmento y extrae los términos nuevos para ti y busca su significado. Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm

Hoy estudiaremos todo lo referente a las áreas de regiones poligonales, presta mucha atención a todo lo que leerás y harás.

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15 Actividades En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado. Revisa las páginas 114 a la 123 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Áreas de regiones poligonales.  Propiedades de cuadriláteros.  Cálculo con áreas. ESQUEMA GENERAL DE LOS CUADRILÁTEROS

¿Cómo calcular las áreas de los cuadriláteros? Recordemos: Cuadrado

Rectángulo

Romboide

A a2

A b h

h=a

Rombo

Dxd 2

Trapecio

( B b) a 2

h=a Fuente: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/area2.htm

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TRIÁNGULOS Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Consideraciones: La suma de los ángulos internos es de 180°. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.

bxh 2

CARACTERÍSTICA Y PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS

CUADRADO

Es rectángulo y rombo a la vez. Tiene lados iguales y 4 ángulos rectos. Tiene diagonales iguales y perpendiculares.

RECTÁNGULO

Tiene ángulos rectos. Las diagonales son iguales.

ROMBO

Los lados son iguales. Las diagonales son perpendiculares.

TRAPECIO

Tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llama BASE MAYOR y base menor. La distancia entre los lados paralelos en forma perpendicular se llama altura (h). En el trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales. En el trapecio rectángulo tiene sólo un ángulo de 90°.

TRAPEZOIDE

No tiene lados paralelos. Es un cuadrilátero sin propiedades.

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CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

CÍRCULO

CIRCUNFERENCIA

Es una superficie plana limitada por una Es la línea curva cerrada y plana, cuyos circunferencia. puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

Lo = 2 r

r r

Ejemplo:

El radio de un platillo (círculo) es de es 4 cm.

El radio de un platillo(círculo) es de es 4 cm.

Hallar su área.

Hallar la longitud de su contorno.

A = (3, 14).(4cm) 2 A = (3, 14)16cm2 A = 50, 24 cm2

Lo=2 r L o = 2(3, 14)(4cm) L o = 6, 28(4cm) L o = 25, 12cm

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Ejercicios

1. Calcula el área y el perímetro de los siguientes gráficos (usa la regla para medir).

2. Calcula el área de la región sombreada considerando que todos son cuadrados cuyo lado mide 6 cm.

3. Resuelve las siguientes situaciones aplicando tus conocimientos de área. a) Si el área de una región rectangular mide 56 cm2 y su largo mide 8 cm. ¿Cuánto mide el ancho? b) El piso de un dormitorio es de 4 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuántas cajas de losetas se necesita para cubrir el piso, si cada caja cubre 2 m2? c) Hay que ponerle baldosas a un patio de forma triangular cuya base mide 8 m y su altura es de 3 m. ¿Cuántas cajas de baldosas se necesita si cada caja alcanza para cubrir 3 m2? d) Hallar la cantidad de galones de pintura que se necesita para pintar el frente de un edificio cuyas medidas son de 20 m de largo y 10 m de ancho. Cada galón de pintura cubre 10 m2.

e) “Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 50 cm de largo y 20 cm de ancho”. ¿Cuántos metros de alambre necesita? 4. Calcular el área del circulo y la longitud de la circunferencia: a) d = 6 cm b) r = 5 cm 5. Calcula el área del rombo sabiendo que: a) D = 8 cm

d = 4 cm

b) D = 100 cm

d = La cuarta parte de la D

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¿Qué aprendimos hoy? Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades. Refuerza tus conocimientos realizando lo siguiente: 1.

Elige un ambiente de tu casa y observa todos los objetos que tengan forma de triángulos cuadriláteros y circulo además realiza un afiche matemático.

Compartan en grupo los resultados del desarrollo de los ejercicios y la resolución de problemas de tu libro, página 123.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Marca la respuesta correcta. 1. La suma de los ángulos de un cuadrilátero vale: A) Depende de que cuadrilátero sea. B) 180° C) 90°

D) 360°

2. ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero? A) 1

B) 4 C) 8

D) 2

3. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son: A) Iguales B) 4 Complementarios C) Semejantes

D) Suplementarios

Resuelve las siguientes situaciones: 1. Observa la siguiente región rectangular: ¿Cuánto mide X?

A) 300 cm

B) 80 cm

C) 65 cm

D) 12 cm

Área = 60 cm2 5 cm X cm

Si tienes internet ingresa a la página web:

Todo referente a cuadriláteros: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/unidad11. pdf

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1 BUSCANDO A LOS POLIEDROS

Sumilla A través del reforzamiento de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los poliedros en hechos cotidianos.

¿Qué materiales utilizaré?

¿Qué aprenderé hoy? Identificar los principales elementos y características de los poliedros.  Diferencia y determina la relación entre prisma y pirámide.  Calcular las áreas del prisma, de la pirámide, del cilindro, del cono y la esfera. 

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Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria – Editorial Bruño. Lima – Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Relaciona las fotos (derecha) con las imágenes del centro identificando las figuras que dan origen a los poliedros (izquierda):

Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos o un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo; una lata de conservas y una tiza sugieren un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho de helado a un cono. a) b) c) d)

Elabora un cuadro con: Nombre del sólido - figura que lo genera a partir de las imágenes. ¿Cuántas bases tienen cada poliedro? ¿Qué entiendes por poliedros?. Da tu idea. Lee la página 124 de tu libro.

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Fuente: http://jesmanzan.wordpress.com/2008/03/17/u11-longitud-capacidad-masa-ysuperficie/

Fuente: http://www.korthalsaltes.com/es/index.html

CUERPO SÓLIDO Es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Pueden ser:

Poliedros: Sólidos limitados por caras en forma de polígono. Tetraedro Icosaedro Prismas Pirámides

Cuerpos de revolución: Sólidos limitados con una o todas sus caras curvas (cuerpos redondos). Cilindro Cono Esfera

Todos los poliedros tienen vértice, caras y aristas además se cumple que: C = Cara V = Vértice C+V A = Arista C+V=NroA+ 2

= Nº A + 2

Ejercicios

1. •

Aplica la fórmula de Euler: En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla. Poliedro Nº de caras (C) (1) (2) (3) (4)

Nº de vértices (V)

Nº de aristas (A)

Dibuja 3 objetos reales que sean poliedros.

Bien, estando ya familiarizado que son poliedros y conocer su suplementos pasaremos al estudio de los poliedros más conocidos, para ello te invito a leer la página 125 de tu libro.

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PRISMAS CONCEPTO

GRÁFICO

TIPOS

Es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases.

FÓRMULA

Según su base puede ser: Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal

PB .h

PB .ap 2

AB .h

Un caso particular son los paralelepípedos cuyas caras son todas rectangulares.

2 AB

Ejemplo: El área lateral de un prisma de base cuadrada es 120 cm2 y su altura mide 6 cm. Calcula el volumen del prisma. SOLUCIÓN:

Hallamos el lado de la base: AL

120 = PB.6

PB .h

Calculamos el volumen del prisma: V El volumen es 150m3 .

AB .h

PB = 20

l=5

V = 52 .6 = 150

Ejercicios

1. Calcula el volumen de un prisma de 25 cm2 de base y 8cm de altura. 2. Las aristas de una caja de zapatos miden 12 cm y 35 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la caja.

PIRÁMIDE CONCEPTO Es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera, y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice común.

GRÁFICO

TIPOS Según su base puede ser: Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide Pentagonal

FÓRMULA

PB . Ap 2

AB .h 3

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Ejemplo: Calcula el área lateral, total y volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista y 12 cm de altura.

Ap 2

122

4.10

40cm

40.30 260cm 2 2 260 102 360cm 2

AL AT V

13cm

100.2 3

400cm3 2

1. El volumen de una pirámide es 48 cm y el área de su base es 16 cm . Calcula la altura de la pirámide. 2 . Halla la apotema y el área total de una pirámide triangular regular de 10 cm de arista.

Ejercicios CUERPOS DE REVOLUCIÓN: CILINDRO Se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

CONO Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

ESFERA Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro.

2 rg

A 4 r2

2 rg

.r 2 .h

2 AB 2 r2

.r 2 .h 3

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Ejemplo: Calcular el volumen de un cilindro si su radio mide 5 cm y su altura 12 cm. SOLUCIÓN:

.r 2 .h

3, 14.52.12 = 942 cm

Ejercicios 1. Calcula el volumen de un tanque de un camión cisterna sabiendo que su diámetro, mide 2, 70 m y su altura 5, 5 m. 2. Un cilindro contiene petróleo hasta la tercera parte. ¿Qué volumen falta llenar si la altura es el triple del radio de la base que mide 21 cm?

DESARROLLO DE LAS PLANTILLAS

Un desarrollo de cada sólido platónico Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3. 4.

En parejas inventa 2 problemas cotidianos con poliedros que hay en tu zona. Luego intercambien los ejercicios con otras parejas, resuélvanlos y escriban las dificultades que encontraron. Para profundizar el tema lee las páginas 126 y 129 de tu libro y resuelve los casos propuestos. Reproduce las plantillas de los poliedros, ármalos e identifica sus elementos.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Explica razonadamente cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas. a) El cilindro es un poliedro. b) Hay poliedros con 3 caras. c) El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es como mínimo 4. 2. Calcula el volumen de una esfera de 6 cm de radio. Grafica. 3. Se tiene un gorro de fiesta infantil en forma de cono cuyas dimensiones son: 12 cm de altura y 16 cm de diámetro. Calcula la cantidad de papel que se usó para forrarlo. 4. Calcula el área total del envase de la figura.

8 cm

10cm

5. Calcula la generatriz de un cilindro cuya área total es 408, 2 cm2, si el radio de la base mide 5 cm. 6. Calcula la superficie esférica de una pelota que tiene 30 cm de diámetro. 7. Investiga de que poliedros están hechas las pelotas de fútbol. 8. Haz un listado de los minerales que tienen forma de poliedro y dibújalos.

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:

Todo sobre poliedros: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/esfera.html http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/ poliedros/poliedros.htm http://www.vitutor.net/2/2/3.html

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EL MUNDO DEL SISTEMA INTERNACIONAL (S.I.)

Sumilla A través del reforzamiento de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las conversiones y sus operaciones podrás aplicarlos en hechos cotidianos.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Conocer las unidades de medida de longitud, masa, superficie y capacidad.  Resolver problemas simples que involucran conversiones. 



Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Busca en esta sopa de letras términos que crees se relacionan con el tema:

K I L O G R A M O M S I R F R M E N B E A I E U I T A C G R A M O G R N K U A M I O M O B L N N I L K O S N Ñ D A N I P I I M P F D R M P E O Y W S T C E H J S T Q N M X A M A A O a) Escribe los términos que encontraste b) ¿Todas son unidades de medida? c) Busca el significado de cada término extraído y lee la página 153 de tu libro.

UNIDADES DE LONGITUD

UNIDADES DE MASA

UNIDADES DE CAPACIDAD

Fuente: http://jesmanzan.wordpress.com/2008/03/17/u11-longitud-capacidad-masa-y-superficie/

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Veamos a continuación las unidades de longitud

Como verás necesitamos conocer cómo convertir de una unidad mayor a menor y viceversa. Para ello nos ayudará la tabla de conversiones de la página 153 de tu libro.

DE MAYOR A MENOR

DE MENOR A MAYOR

Convierte 17 m a mm Convierte 300 cm a dm x1000 :10 17m 17,000 m 300 cm 30 dm Como sabes un metro tiene 1000 mm, Al convertir una unidad a otra mayor, debes por tanto, debes multiplicar por 1000. de dividir entre 10.

Ejercicios

1. Escribe las siguientes longitudes: a) 23 m a cm

b) 400 cm a m

c) 20 dm a km

d) 20 mm a cm

e) 21 m a cm

f) 550 dm a mm

g) 30 m a mm

h) 13 km a m

i) Convertir a metros: 0,7 km + 76 m + 12,5 2. Estima las siguientes mediciones haz uso de una cinta métrica y/o regla. El largo de la puerta del salón…………………. La estatura de un compañero………………… El ancho de una caja……………………………….. 3. Resuelve los ejercicios de tu libro página 154.

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Las unidades de masa Recuerda: 1 g = 1000 mg 1 kg = 1000 g 1 t = 1 000 kg

Como verás necesitamos conocer cómo convertir de una unidad mayor a menor y viceversa. Para ello nos ayudará la tabla de conversiones de la página 155 de tu libro.

DE MAYOR A MENOR

DE MENOR A MAYOR

Convierte 3 kg a mg x1000

x1000

3 kg 3000 g 3 000 000 mg Al convertir una unidad menor, sabes que cada kg contiene 1000 g y cada g 1000 mg, por lo que multiplicas dos veces por 1000.

Convierte 4000 kg a t :1000

4 000 kg 4t Al convertir a una unidad mayor, sabes que el kg de una milésima parte de la tonelada, por lo que debes dividir entre 1000.

PARA LA LONGITUD Y MASA SE CUMPLE CONCLUSIÓN: De una unidad grande a más pequeña se MULTIPLICA X 10. De una unidad pequeña a más grande se DIVIDE: 10.

Ejercicios

1. Indica 2 objetos que pesan aproximadamente: a) 1 kg b) 100 g c) 1 g d) 1 mg 2. En qué unidad se mide: a) Un perro b) Un carnero c) Una vaca 3. Cuántos kg equivale: a) 400 g b) 600 g c) 12 000 g d) 6 t 4. Resuelve la siguiente situación. El Señor Quispe compra las siguientes frutas: (Ver el recuadro)

e) 40 mg

1 1 kg de manzanas,1 kg de plátanos, 250 g de fresas, 2 kg de naranjas. 2 2

a) ¿Cuántos gramos pesan sus compras en total? b) Sus bolsas sólo resisten 4 kg de peso, de lo contrario las asas se rompen. ¿Cuántas bolsas necesitan?

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Unidades de superficie

km , hm , dam , m , dm , cm

Como verás necesitamos conocer cómo convertir de una unidad mayor a menor y viceversa. Para ello nos ayudará la tabla de conversiones de la página 158 de tu libro.

DE MAYOR A MENOR 2

DE MENOR A MAYOR 2

Convierte 2 ha en m 2 1 ha = 100 a : 1 a = 100 m 2 ha = 2 x 100 a = 200 a 2 = 200 x 100 m 2 = 20 000 m

Convierte 120 000 m a ha 2

:100

300 dm 3m Ahora divide entre 100 dos veces 2 120 000 m = 1200 a 1 200 a = 12 ha

RECUERDA: Para calcular medidas de capacidad se multiplica por 100 (de una cantidad mayor a menor) y se divide entre 100 (de una cantidad menor a mayor).

Ejercicios

1) Convierte a cm2 a) 2 dm2

b) 13 m2

c) 150 mm2

d) 4 ha2

2) Calcula buscando primero convertir a la misma unidad (lo negrito es la unidad a convertir). Ejemplo: 14 m2 + 25 dm2 = 1400 dm2 + 25 dm2 = 1425 dm2 a) 3 m2 + 41 dm2

b) 17 m2 + 1 dm2

c) 8 dm2 + 2 cm2

d) 9 dm2 + 31 cm2

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Unidades de volumen

km , hm , dam , m , dm , cm

A la capacidad se entiende también como volumen porque intervienen 3 dimensiones; largo, ancho y altura por ello encontraremos mediciones como m3, cm3, mm3. Por ejemplo el volumen de un recipiente, el paquete de un helado, la cajita de fósforo, etc. Para el caso de conversiones necesitamos conocer la tabla de la página 160 de tu libro.

DE MAYOR A MENOR

DE MENOR A MAYOR

Convierte 20l a cl 20 l x 10 x = 200 dl = 200 dl x 10 = 2000 cl

Convierte 300 ml a l 300 ml : 10 = 30 cl 30 cl : 10 = 0, 30 dl 0,30 dl : 10 = 0, 03 l

RECUERDA: Para calcular medidas de capacidad se multiplica por 10 (de una cantidad mayor a menor) y se divide entre 10 (de una cantidad menor a mayor). Es importante también que recuerdes algunas equivalencias como:

1dm3

1 l = 1000 ml 1 hl = 100 l

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Ejercicios

1. En general en que unidades se expresa el volumen de: a) Lata de atún b) Botella de aceite c) Piscina 2. Convierte a ml a) 7 l

b) 45 l

c) 80 l

d) 4 dal

3. Indica a la unidad inmediata inferior a) 17 l

b) 230 hl

c) 240 cl

d) 9 dal

¿Qué aprendimos hoy? 1.

En esta oportunidad se ha desarrollado un tema de mucha relevancia como los otros, en nuestro quehacer diario lo aplicamos a cada instante.

Es importante leer las páginas designadas de tu texto para complementarla nuestra información sobre el Sistema Internacional (S.I.) y en grupo elaboren un listado de objetos, alimentos de tu región con sus respectivas unidades de medición.

Compartan en grupo las dificultades que tuvieron en el desarrollo de los ejercicios y planteen otras. formas más sencillas de resolver ejercicios de conversión.

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? Desarrolla los ejercicios para reforzar tus aprendizajes: 1. TE RETO: En el menor tiempo ordena según el peso. (estima)

MOCHILA

BORRADOR

PELUCHE

CUADERNO

HOJA DE PAPEL

TARJETA VIRTUAL

MOCHILA

SILLA

MESA

SOBRE

MOTOTAXI

BICICLETA

LIBRO

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2. Dibuja una balanza de: a) Cartas

b) Personas

c) De cocina

d) Comercial

3. Completa la tabla y halla PRODUCTOS que pesen más o menos igual.

Productos

Dibujo

Peso

Una gomita dulce

Un sobre de polvo de hornear

10g

Una barra de chocolate

100 g

Una barra de mantequilla

250 g

Un paquete de harina

1000 g

Da un ejemplo

4. Resuelve las siguientes situaciones. a) Averigua cuántos litros de agua se consumen en tu colegio diariamente y durante una semana. (Elabora una tabla) 5. Convierte a la unidad indicada entre paréntesis: a) 135, 5 m (cm) b) 2450 cm (km) c) 8 m - 4, 5m (cm)

d) 0, 6 m (mm)

6. Mide el ancho y el largo de un billete de S/.10 y calcula el área del billete.

7. Un gimnasio mide 30 m de largo por 17 m de ancho. Calcula su área. ¿Cabe una cancha de básquetbol (26 m x 14 m) en el gimnasio? 30 m 17 m

8. María serrucha una tabla de 2 m de largo en 5 pedazos iguales. ¿Cuántos centímetros miden estos pedazos?

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre Longitud, masa: http://jesmanzan.wordpress.com/2008/03/17/u11-longitud-capacidad-masa-y-superficie/ http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htm Juegos interactivos de longitud, masa y capacidad. http://www.genmagic.net/fisica/fc22c.swf

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LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con los transformaciones geométricas podrás aplicarlas a situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré?

Identificar simetrías axial y puntual. Reconocer si las imágenes tienen su eje de simetría.  Resolver casos que involucran simetría axial con respecto a una recta o con respecto a un punto.  



Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. Observa las imágenes :

Ganchillo que utiliza un mosaico hexagonal. M. Cruz Lobo.

a) ¿Qué figura representa cada una de las imágenes? b) ¿Qué de común tienen todas las imágenes? ¿Hay un motivo principal que se repite? c) ¿Puedes crear una imagen que tengan las mismas características? TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. La nueva figura se llamará "homólogo" de la original. Las transformaciones se clasifican en: Directa: El homólogo conserva el sentido del original en el plano cartesiano. Inversa: El sentido del homólogo y del original son contrarios. Fuente: http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/

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Actividades 1. En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizando actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado.  Emplea correctamente los instrumentos de medición. 2. Revisa las páginas 136 a la 140 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Transformaciones en el plano  Simetría axial  Simetría puntual

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

CONCEPTO DE TRANSFORMACIÓN: Cambio de posición, tamaño o forma que puede experimentar una figura o un cuerpo geométrico. TIPOS DE TRANSFORMACIONES: Existen las siguientes transformaciones: a) Simetría axial b) Simetría central c) Rotación d) Traslación e) Homotecia En esta oportunidad nos centraremos a las 2 primeras transformaciones . SIMETRIA AXIAL

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PASOS: Se trazan líneas perpendiculares desde el vértice hasta el eje de simetría. Se prolonga en la misma dirección, pasando el eje de simetría. La distancia de A al eje de simetría debe ser igual del eje a A’. El eje de simetría puede tomar distintas posiciones: Ejercicios: 1. Indica los vértices de la figura y realiza la transformación con respecto al eje. a)

2. Traza el eje de simetría de las siguientes imágenes si las tuviera.

SIMETRIA AXIAL

O A’

PASOS: Se ubica un punto central. (O) Se traza desde cada vértice una línea que pase por el centro “O”. La distancia de AO debe ser igual a OA’ al igual que los demás puntos.

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EJERCICIOS: 1. Aplica la simetría axial en los siguientes ejercicios propuestos: a)

2. En tu cuaderno dibuja un sistema de ejes cartesianos y construye un pentágono cuyas coordenadas son: A (2, 2); B (-2, 8); C (-10, 0); D (-4, -4); E (0, -2); luego traza su imagen a través del origen (0, 0). 3. Con otro color construye la imagen del mismo polígono tomando como centro de simetría el punto (4, 2). 4. Dibuja un eje de simetría en las siguientes figuras.

¿Qué aprendimos hoy? 1. Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades propuestas, elige a un compañero y juntos resuelvan los ejercicios propuestos de tu libro páginas: 139 y 140. 2. Realiza una creación propia aplicando una simetría axial y puntual con respecto a una figura que más te guste: 3. Recorta figuras de revistas o periódicos y elabora un mini álbum de aquellas figuras que tienen su eje de simetría y con las que no tienen realiza la simetría puntual.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Escribe V o F según cada enunciado: a) En la simetría, la figura y su imagen coincide en tamaño y forma. ( b) En una simetría cada punto de la figura tiene dos imágenes. ( c) En una simetría, un punto de la figura y su imagen está a diferente reflexión. ( d) En la simetría axial la figura homóloga se reduce de tamaño. (

) ) distancia del eje de ) )

2. Encuentra los ejes de simetría de cada una de las figura, cuántos ejes de simetría tienen:

3. Analiza la figura y nombra 3 pares de triángulos simétricos con sus respectivos ejes de simetría.

Halla la simetría axial y puntual de la figura con respecto al punto “o” .0

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web Todo sobre transformaciones: http://www.telefonica.net/web2/m-p/mv.htm# Todo sobre ejercicios de transformaciones: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/movimientos.htm Todo sobre ejercicios de transformaciones: EN FLASH http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/

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TRASLACION Y ROTACIÓN Sumilla A través del reforzamiento de los temas y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las traslaciones y giros de figuras podrás aplicarlos en situaciones diversas.

¿Qué aprenderé hoy?  

Identificar una traslación de un giro. Resolver casos que involucran rotación y traslación siguiendo los pasos coherentemente.

¿Qué materiales utilizaré? 

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima Perú 2008.

¿Cómo empezamos? 1. Observa las imágenes:

a) ¿Me puedes decir que significa rotar un objeto? b) ¿Me puedes decir que significa trasladar un objeto? c) Con la siguiente imagen en otra cuadrícula, realiza un giro con un ángulo de 90° y de – 90°. ¿Cómo queda la figura en ambos casos?

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Actividades 1.

En este espacio de la ficha desarrollarás dos tipos de actividades:  Revisarás el resumen de los contenidos a tratar.  Realizarás actividades y/o ejercicios relacionados con el resumen indicado.  Emplea correctamente los instrumentos de medición.

Revisa las páginas 136 a la 140 del libro Matemática 1ero - Editorial Bruño. En caso no cuentes con el libro puedes utilizar diferentes fuentes de información o textos que traten los siguientes temas:  Transformaciones en el plano  Traslación  Giros

TRASLACIÓN Y ROTACIÓN

TRASLACIÓN Se produce al desplazar una figura a través de paralelas. Conserva su forma y tamaño. PASOS: a) Trazar una recta por uno de los vértices de la figura en la dirección deseada. b) Se trazan paralelas a la recta dibujada, por cada uno de los vértices de la figura. c) Se elige una distancia d cualquiera para trasladar la figura. Esa misma distancia se aplica en cada una de las paralelas dibujadas. Uniendo los puntos obtenidos se obtiene la imagen de la figura dada. d) La forma de denotar al vector traslación es: v (a, b) Ejemplo: Traslada la figura con v (3, -3)

UN RETO: Ahora tú ubica en una cuadrícula los puntos: A (-5; 2) B (-2; 3) C (-3; 1), cada vértice lo deberás trasladar con el vector v (8, 3).

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ROTACIÓN La rotación permite girar una figura cualquiera del plano obteniendo una figura congruente con ella. PASOS: a) A cada punto de una figura, le corresponde otro punto que pertenece a un mismo arco de circunferencia de: centro dado, radio dado y con un ángulo dado. (puede ser + ó ) b) Se trazan paralelas a la recta dibujada, por cada uno de los vértices de la figura. c) Se elige una distancia d cualquiera para trasladar la figura. Esa misma distancia se aplica en cada una de las paralelas dibujadas. Uniendo los puntos obtenidos se obtiene la imagen de la figura dada. d) La rotación se denota como: R (punto de giro; ángulo) = R (P; ). ASPECTOS A TENER EN CUENTA

1. CENTRO DE ROTACIÓN (P): Es un punto del plano elegido en forma convencional. 2. MEDIDA DEL ÁNGULO ( ): Es el giro en que se efectuará la rotación. 3. SENTIDO DE LA ROTACIÓN: Puede ser positivo o negativo. Veamos en un ejemplo: Rotación, de centro O y ángulo á, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P¢ tal que:

EJERCICIOS: 1. Realiza la siguiente rotación: R(P; 60°)

A D B

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2. Rota la figura 70° en sentido negativo, haciendo centro en H. Marca la figura resultante con color. B

C .H

3. Dibuja tres giros diferentes de las manecillas de una puerta cuando se mueve en sentido horario. 4. Copia el rombo y halla los rombos que obtienes al rotarlo 90° en sentido horario alrededor de los puntos P y Q. B C

.P 5. Realiza una R (F, 45°) con la imagen del muñeco. No olvides designar con mayúscula cada vértice de la figura.

¿Qué aprendimos hoy? 1. Una vez que has terminado de repasar los temas y desarrollar las actividades propuestas, elige a un compañero y juntos resuelvan los ejercicios propuestos de tu libro páginas: 142 y 143. 2. Realiza una creación propia aplicando una traslación y rotación con respecto a una figura que más te guste. 3. Recorta papeles de regalo y elabora una colección de figuras en un fólder.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Escribe V o F según cada enunciado: a) b) c) d)

En la rotación o giro el ángulo debe ser siempre positivo. Para la traslación de una figura el vector traslación debe indicar las coordenadas. Un giro está determinado por el centro del giro y el ángulo orientado. En la traslación la figura no conserva su tamaño.

( ( ( (

) ) ) )

2. Grafica en una cuadrícula los puntos del cuadrilátero ABCD: A (2, 1); B (8, 2); C (12, 11); D (5, 5) y realiza la traslación de la figura con el vector v (5, 2). 3. Rota el pentágono (designa sus vértices) con un ángulo de -65°.

Ahora rota el pentágono ABCDE con un ángulo de -65º

4. Halla la rotación R (O; 60°) y puntual de la figura con respecto al punto “O”.

.OE B A P

. O

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web Todo sobre rotaciones: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/rotaciones.html http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/ http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/flashfiles/rotacion.swf

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LA ESTADÍSTICA PARA LA VIDA

Sumilla A través del reforzamiento de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con la estadística podrás comprender los hechos cotidianos relacionados.

¿Qué materiales utilizaré?

¿Qué aprenderé hoy? Identificar variables cualitativas y cuantitativas.  Elaborar una tabla estadística con los datos obtenidos.  Conocer diversas formas de graficar los datos organizados. 



Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú 2008.

¿Cómo empezamos? Interpreta el siguiente gráfico:

fuente: http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1051

a) ¿Cuántas personas entre las encuestadas prefieren los informativos? b) ¿Cuántas personas prefieren películas? c) ¿Qué es lo que menos prefieren las personas? Esta misma información proviene de un cuadro por ejemplo: Preferencia Películas Programas musicales Informativos Concursos

N° de personas 25 12 20 17

Hh Prof: Juana Tueros Huamaní

También habrás visto diversos cuadros sobre: el número de hijos, número de hermanos, etc. Como ves toda información puede ser expresada en gráficos estadísticos y de la cual podemos interpretar. Dicha información proviene de un estudio. Lee el siguiente esquema con información básica. ESTADÍSTICA Ciencia que nos ayuda a recopilar, organizar e interpretar la información de datos proporcionados.

POBLACIÓN Conjunto de elementos en la cual se estudia una característica.

MUESTRA Es una parte de la población.

VARIABLE Es la característica común de los elementos de la población que varían de un individuo a otro.

Ejercicios

En la siguiente situación identifica población, muestra y variable. La SUNAT hace una auditoria para verificar que las tiendas de abarrotes entreguen boletas en el distrito de Yanahuara (Arequipa) y selecciona a 20 de ellas. a) Población……………………………………………………………………….. b) Muestra………………………………………………………………………….. c) Variable…………………………………………………………………………… Es importante identificar que variable se está investigando. Existe tipos de variables. VARIABLE CUANTITATIVA Son las que se expresan en forma numérica. Ejemplo: El número de hermanos. Las variables cuantitativas pueden ser: DISCRETAS: Cuando asumen valores enteros. Ejemplo: El número de goles. CONTINUAS: Cuando asumen valores decimales. Ejemplo: El peso de una persona, la talla de un persona.

VARIABLE CUALITATIVA Son las que se representan a través de una cualidad. Ejemplo: Estado civil, profesión.

Hh Prof: Juana Tueros Huamaní

Ejercicios

1. Identifica que tipo de variable es: Cualitativa y cuantitativa. a) Talla b) Color de pelo. c) Lugar de nacimiento. d) Marca de carros. 2. Indica las variables cualitativas que son discretas y las que son continuas. a) Número de hijos. b) Ingresos diarios de una cafetería. c) Edades de los vecinos de tu cuadra. d) Número de calzados de tus compañeros. Una vez que identificas que tipo de variable es, puedes organizar dicha información en una tabla estadística. ¿QUÉ ES UNA TABLA ESTADÍSTICA? Es la pregunta que seguro te estás haciendo. Partiremos de un caso para la comprensión de la misma. CASO: Se preguntaron la edad a cada uno de los 25 alumnos de un salón de tercero de secundaria, obteniéndose el siguiente resultado. 14

¿Cuántos valores distintos toma la variable edad? ¿Qué variable es? Procedemos a elaborar la tabla que tiene el siguiente esquema. FRECUENCIA ABSOLUTA

VARIABLE

Simbología

FRECUENCIA RELATIVA

PORCENTUAL

Es la característica que se está estudiando.

Es el número de veces que aparece la variable.

Se obtiene dividiendo un valor de la frecuencia absoluta entre el total de datos.

Es multiplicar por 100 cada frecuencia relativa.

¿Qué es?

f n

n = (Es el total de datos)

Hh Prof: Juana Tueros Huamaní

Tomando como referente el esquema anterior los datos se organizarán de la siguiente manera: VARIABLE (xi)

FRECUENCIA ABSOLUTA (f)

FRECUENCIA RELATIVA

13 14 15 16

4 13 7 1

4/25 = 0,16 13/25 = 0,52 7/25 = 0,24 1/25 = 0,04

(h=

f ) n

PORCENTUAL (%) 16% 52% 24% 4%

n = 25

Ejercicios RESUELVE LOS SIGUIENTES CASOS: 1. A los 20 asistentes a una fiesta se le preguntó por el tipo de música a bailar y las respuestas fueron: Cumbia, rock, salsa, salsa, salsa, salsa, cumbia, rock, rock, salsa, salsa, cumbia, cumbia, cumbia, rock, salsa, cumbia, cumbia, cumbia, salsa. Elabora una tabla de distribución de frecuencias. 2.Responde cada pregunta interpretando los datos presentados en la siguiente tabla. ( xi ) Edad en años 11 12 13 14 15

f 3 8 6 4 1

n= a) b) c) d) e)

Completa la columna de h y %. ¿Cuántos alumnos hay en el curso? Son más los alumnos entre 11 y 12 años que entre 13 y 14 años? ¿Qué edad es la más frecuente? ¿Qué edad es la menos frecuente?

Hh Prof: Juana Tueros Huamaní

Para interpretar y organizar información existen también gráficos estadísticos. G. DE BARRAS

Se ubica en el eje x las variables y en el eje y las frecuencias.

G. POLIGONAL

HISTOGRAMA

Se obtiene uniendo los puntos medios de los extremos superiores. Este gráfico hace uso de las marcas de clase. Es una variante del histograma.

Se utiliza cuando la variable está en intervalos. Las barras son de acuerdo al número de intervalos y su altura de acuerdo a su frecuencia.

PICTOGRAMAS

G. CIRCULAR

Su formato es libre. Emplea una secuencia de símbolos para representar frecuencias. Se usa en datos cualitativos y cuantitativos.

Se divide en tantos sectores como clases tengamos, siendo el arco del círculo proporcional a las frecuencias absolutas (también lo podemos hacer con las frecuencias relativas o porcentajes) Los grados de cada clase se obtiene:

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.

En parejas realiza una encuesta a tus compañeros sobre el número de calzado, organiza una tabla de frecuencias y un pictograma. Haz un listado de variables cualitativas y cuantitativas que puedes analizar en tu zona, distintas a la ya estudiadas Con tu libreta de notas (del año anterior), realiza 3 gráficos: circular, poligonal y de barras. Ayúdate con la lectura de tu texto páginas 170 a la 177.

Ejercicios

Prof: Juana Tueros Huamaní

¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Clasifica las variables como cualitativas o cuantitativas. Si son cuantitativas, como discretas o continuas. - Nacionalidad - Año de nacimiento. - Número total de alumnos de tu salón. - La temperatura de tu cuerpo.

- Hora de nacimiento. - Cantidad de goles en el mundial. - Provincias del cuzco.

- Número de automóviles en tu distrito. - Marca de computadoras. - Número de monedas que tienes. - Profesión u oficio.

2. La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas en una tienda a lo largo del día:

a) b) c) d) e)

¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido? Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas. ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado? ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40? Dibuja un polígono de frecuencias.

3. Se ha lanzado un dado 20 veces y se han obtenido los siguientes resultados: 3, 4, 5, 2, 1, 4, 6, 1, 3, 2, 5, 5, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 5, 6. a) Construir la tabla de frecuencias. b) Representar los datos con un diagrama de barras y un diagrama de sectores. 4. Para cada caso escribe una población y 3 variables que puedan ser estudiadas. a) Granja b) Colegio c) Insectos

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre estadísticas: http://www.harcourtschool.com/activity/elab2002/grado3/g3a15.htm http://jesmanzan.wordpress.com/category/3-matematicas/ Todo sobre gráficos estadísticos: http://sapiens.ya.com/matagus/unidad2.htm

Hh Prof: Juana Tueros Huamaní

LA ESTADÍSTICA: MEDIA, MEDIANA Y MODA

Sumilla A través del reforzamiento de este tema y el desarrollo de los ejercicios relacionados con las medidas de tendencia central podrás comprender la interpretación de los datos en hechos cotidianos.

¿Qué aprenderé hoy?

¿Qué materiales utilizaré? 

Calcular e interpretarla media aritmética, la mediana y la moda de los datos agrupados y no agrupados.  Construir tablas de distribución de frecuencias con intervalos. 

Libro de Matemática - 1er Grado de Secundaria - Editorial Bruño. Lima - Perú 2008.

¿Cómo empezamos? ANALIZA LOS SIGUIENTES GRÁFICOS Y RESPONDE:

fuente: http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1051

El primer gráfico está referido a una preferencia sobre hobbies. El segundo gráfico está referido a una información sobre el tipo de sangre. a) ¿Qué es lo que más prefieren las personas? b) ¿Qué tipo de sangre predomina en las personas encuestadas? c) ¿Qué tipo de variable se está investigando?

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1 Prof:Juana Tueros Huamaní

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Nos dan una idea acerca del comportamiento de los datos a los que se refiere.

MODA (Mo) La variable que más veces se repite. Lo ubicamos en la frecuencia. Si hay 2 modas se dice bimodal y si hay 3 trimodal.

MEDIANA (me) Es el valor central de todos los datos. Cuando n es para: n/2

n 1 Cuando n es impar: 2

MEDIA ARITMÉTICA ( x ) Es el promedio de todos los datos. n

Xi i 1

Para poder calcular todas las medidas de tendencia central debemos considerar los datos de la tabla de frecuencia.

Variable ( xi)

Frecuencia absoluta (f)

Se ordenan de menor a mayor.

Es la cantidad de veces que se repite la variable.

Frecuencia absoluta Acumulada (F)

xi . f

Se suman las frecuencias absolutas. La primera es igual.

Se multiplica cada variable por su frecuencia (f).

Veamos el siguiente cuadro como ejemplo, calcularemos las medidas de tendencia central.

Número x

Frecuencia f

Frecuencia Acumulada F

(Mo) 4

Producto (fx)

108

n=9

X = 108/9 = 12 Es la media aritmética La moda es 4. La mediana es: Por tener 9 datos es impar:

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n 1 2

2 Prof:Juana Tueros Huamaní

9 1 10 2 2

Este valor 5 lo buscamos en la tabla de F (Frecuencia acumulada) aproximadamente y

recae en 7 y lo relacionamos con la variable que le corresponde y se interpreta así: El valor central es 13. Media aritmética Multiplicamos cada variable por su frecuencia, sumamos todo y lo dividimos entre el total de datos (n) y resulta:

X = 108/9 = 12 Es la media aritmética. Si el resultado fuera decimal se redondea. Ejercicios

1. Analiza los siguientes casos: Se preguntó la edad a cada uno de los 25 alumnos de un salón de tercero de secundaria, obteniéndose el siguiente resultado. 14

a) ¿Cuál es la moda, mediana y media aritmética? b) Realiza un pictograma con los datos que organizaste. c) ¿Qué variable se ha investigado? El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 010232130010301 100112120121535 a) b) c) d) e)

Elabora una tabla con las cuatro frecuencias y el porcentaje. Calcula la moda, la media de goles por partido. ¿Qué porcentaje de partidos han metido al menos un gol? ¿Cuántos partidos han jugado? Haz una representación gráfica. (libre)

RECUERDA: Cuando los datos son cualitativos no se puede calcular la media aritmética pero si la moda y la mediana.

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ORGANIZACIÓN DE DATOS NO AGRUPADOS Es cuando son pocos datos, podemos también calcular las medidas de tendencia central pero más sencillo. Veamos a través de un ejemplo: Las temperaturas mínimas durante 5 días en la ciudad de Arequipa han sido: 14° C; 7° C; 10° C; 14° C y 11° C. Halla la Media aritmética, mediana y moda. Hallamos la: X

14 7 10 14 11 5

11, 2o C

Ordenamos los datos en forma creciente. La mediana es la temperatura que ocupa el lugar central: 7; 10; 11; 14; 14 Me = 11° C. La moda es dato que más se repite Mo = 14° C.

Ejercicios 1. La masa corporal de 10 alumnos es 45; 50; 48; 51; 50; 49; 48; 47; 50 y 49 kg. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana. 2. Cuatro de las 5 notas de Martha en Matemática son: 18; 16; 14 y 17. ¿Cuál es la nota que falta, si el promedio de las cinco notas es 16?

ORGANIZACIÓN DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS Se trabaja cuando los valores de la variable cuantitativa son continuos, por lo cual conviene agruparlos en intervalos. Recorrido (R) Número de intervalos

Dato mayor menos dato menor. Representado por un número entero conveniente.

Amplitud (A)

Es el ancho del intervalo. A =

Límite del intervalo

Ls = Li + A

Marca de clase (xi)

(xi) =

R I

Ls 2

Veamos todo ello en la aplicación. CASO: Organiza los datos en una tabla de frecuencia y determina el intervalo que contiene el mayor porcentaje de alumnos. En una prueba de salto largo, las distancias en cm logradas por 40 alumnos fueron las siguientes: 257-248-220-318-240-360-328-317-285-341-260-293-190-253-224-335-216-225-324-326-229-190-310253-273-227-348-353-300-260-249-281-315-317-251-299-325-255-291-357. Recorrido: 360 - 190 R = 170 cm Elegimos 5 intervalos: I = 5 Amplitud: A =

R I

170 = 34 cm 5

Hallamos el primer intervalo: Li = 190; Ls = 190 + 34 = 224

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4 Prof:Juana Tueros Huamaní

ORGANIZAMOS LOS DATOS EN LA TABLA Distancia cm

Marca de clase

190 224

207

0,10

224 258

241

0,30

258 292

275

0,15

292 326

309

0,25

326 360

343

0,20

100%

total

n = 40

¿Cómo calcular la marca de clase?

190 224 xi 207 2 2 RESPUESTA: El intervalo 224 258 contiene el mayor porcentaje de alumnos (30%). Xi =

Ejercicios 1. Las estaturas en cm de 24 alumnos son:1.58-1.60-1.68-1.56-1.66-1.58-1.60-1.68-1.60-1.68-1.581.56-1.64-1.62-1.66-1.64-1.68-1.60-1.62-1.58-1.56-1.66-1.60-1.68. Agrupa los datos en 4 intervalos y determina el porcentaje que representa el intervalo de mayor frecuencia.

¿Qué aprendimos hoy? 1. 2. 3.

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Una vez terminado de repasar el tema, desarrollarás los ejercicios de tu texto elige un compañero para poder trabajar. Las páginas son: 171 y 175. Pide a tus compañeros cuanto de dinero cuenta en ese instante en su poder, calcular la mediana, media aritmética. Extrae los términos nuevos que aprendiste en este tema y elabora una sopa de letras y juega con un compañero.

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¿A dónde nos lleva nuestro aprendizaje? 1. Escribe V o F según convenga: a) b) c) d)

La mediana es la mitad del número de datos. ¿La moda es la frecuencia máxima? El valor que más se repite en un conjunto de datos se conoce como media aritmética. El número de elementos de una muestra se denota con la letra “n”.

( ( ( (

) ) ) )

2. Calcula la media, mediana y moda. a) Los siguientes datos son minutos de un grupo de alumnos de cuanto se demoran en contestar una pregunta: 4; 3; 4; 5; 3; 4; 4; 5; 4; 4. b) En veinte páginas de un informe una secretaria cometió errores: 0; 0; 1; 0; 2; 1; 2; 3; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 2; 1; 0; 0 y 1errores. 3. En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas viven en la casa, obteniéndose las siguientes respuestas: 44813213422703801564 33456862533546204361 a) b) c) d)

Elabora una tabla en la que se recojan las cuatro frecuencias. ¿Cuántas viviendas fueron objeto de estudio? ¿En cuántas de ellas no vive nadie? ¿Qué porcentaje de viviendas está ocupado por más de cinco personas? Dibuja un diagrama de barras.

4. La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas en una tienda a lo largo del día:

a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido? b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas. c) Calcula la media aritmética, mediana y moda.

Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Todo sobre medidas de tendencia central: http://costaricalinda.com/Estadistica/medidas1.htm Todo sobre datos agrupados: http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_2.htm

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