Proporcionalidad MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales (MDP) si al duplicar, triplicar, cuadruplicar, … los valores de una magnitud, se duplican, triplican, cuadriplican… los valores correspondientes de la otra magnitud. Numerosos ejemplos de pares de magnitudes son MDP: • • • • • • • • • •
Precio a pagar para distintos lotes de un artículo, si no interviene algún tipo de descuento. Consumo de un coche según la distancia recorrida. El espacio recorrido según el tiempo empleado para velocidades constantes. Los cambios monetarios entre distintas divisas. Los ingredientes necesarios para una recete según el número de comensales. Las distancias entre puntos a partir de una escala. La altura y la longitud de la sombra a una hora determinada. En un circuito eléctrico, la tensión y la intensidad de corriente que circula por el circuito. Masa que cuelga de un muelle y su alargamiento. La parte de una cantidad total y su correspondiente porcentaje.
El cociente entre una par de valores de ambas magnitudes establece la relación que existe entre una cantidad de una magnitud por cada unidad de la otra magnitud. A este valor se le denomina razón de proporcionalidad. Según el orden en que se dividan ambas magnitudes se pueden obtener dos razones distintas. Las dos tienen significado y dependerá de lo que solicite el problema para elegir una u otra. Ejemplo: Lucía va a viajar a Estados Unidos. Por ello va a cambiar 500 € al banco con lo que recibe 660 $. ¿Cómo está el cambio monetario entre ambas monedas? Las magnitudes: “Cantidad de dinero en €” y “Cantidad de dinero en $” son MDP según la definición dada. Podemos obtener dos razones de proporcionalidad, con distinto significado: = =
€ $ $ €
= º
€
$
= º
$
€
En este caso yo poseo € y voy a recibir $, nos interesa la segunda razón: = 1,32. 1 € = 1,32 $
1
Proporcionalidad Razón de proporcionalidad La razón de proporcionalidad permite comparar distintos valores que puede tomar las MDP. Ejemplos: a. ¿Qué mezcla de agua-zumo está más concentrada: 2-0,5 o 0,75-0,2? 2:0,5 = 4; 0,75:0,2 = 3,75 La primera está más concentrada de zumo. b. ¿Qué oferta es mejor: 7 días-800 € o 10 días-1100 €? 800:7 = 114,28; 1100:10 = 110 La segunda oferta es más barata. c. ¿Qué jugador es más efectivo teniendo en cuenta el número de goles y el de lanzamientos a puerta: 2-7 o 3-10? 2:7 = 0,29; 3:10 = 0,3 El segundo jugador es más efectivo.
Representación gráfica Dada una tabla de valores de un par de MDP, si representamos dichos valores en unos ejes cartesianos se va a obtener una serie de puntos alineados. La recta que une dichos puntos cumple las siguientes características: 1. Si se alarga la línea recta, pasa por el origen de coordenadas: (0,0). 2. La expresión analítica de la recta es: = , donde r es la razón de proporcionalidad obtenida del cociente : , par de valores de la magnitud x y de la magnitud y que se corresponden. Ejemplo: Vamos a comprobar experimentalmente que el alargamiento que sufre un muelle es proporcional al peso de la masa que sostiene. Para ello consideramos un muelle del que colgamos diferentes pesos. En la siguiente tabla hemos recogido los aumentos de longitud que se producen si colgamos distintos pesos: Masa (kg) Alargamiento (cm)
0,5 0,75
2 3
4 6
5 7,5
2
Proporcionalidad Si hemos definido “x = masa (kg)” e “y = alargamiento (cm)”, para obtener la expresión analítica: = podemos obtener la valor de r como: = Por tanto obtenemos:
0,75 = 1,5 0,5 !
= 1,5 ·
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales (MIP) si al multiplicar por un número los valores de una magnitud, los valores correspondientes de la otra quedan divididos por ese mismo número. Las siguientes magnitudes cumplen la definición de MIP: • • • • • • •
Para un recorrido determinado, la velocidad del vehículo y el tiempo empleado. El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito. Dado un voltaje determinado en un circuito eléctrico, la intensidad de corriente que circula y el número de resistencias que posee. Cantidad de comida y número de animales. Número de obreros que trabajan en una obra y tiempo en acabarla. El volumen que ocupa un gas y la presión a la que se ve sometido. En una palanca, la fuerza aplicada y la distancia al punto de apoyo.
A partir de la definición de MIP se deduce que el producto de dos valores correspondientes a las MIP es un valor constante , que se denomina constante de proporcionalidad inversa. Dicha cantidad representa el valor que tiene que tomar una de las magnitudes si la otra magnitud toma el valor 1. Ejemplo: Una cuadrilla de 8 obreros arregla una fachada en treinta días. ¿Cuántos días tardarán si dos operarios dejan de ir? Las magnitudes son MIP. El valor k = 8·30 = 240 tiene dos significados: 1. El número de días que tardaría en hacer esa obra un solo obrero. 2. El número de obreros necesarios para hacer esa obra en un solo día. Para resolver el problema necesitamos el primer significado: 240:6 = 40 días
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Proporcionalidad Representación gráfica Dada una tabla de valores de un par de MIP, si representamos dichos valores en unos ejes cartesianos se va a obtener una curva con forma de hipérbola. La hipérbola presenta las siguientes características: 1. Para valores próximos a 0 y alejados de 0 la curva se aproxima a los ejes cartesianos sin cortarlos. 2. La expresión analítica de la curva es. proporcionalidad obtenida del producto la magnitud y que se corresponden.
#
= $ , donde k es la constante de
· , par de valores de la magnitud x y de
Ejemplo: En el laboratorio se ha introducido un cierto gas en un cilindro con un émbolo y se ha ido elaborando una tabla que relaciona la presión a la que está sometido el gas con el volumen que ocupa. V (litros) P (atm)
60 0,5
30 1
20 1,5
15 2
12 2,5
10 3
4
Proporcionalidad
Si hemos definido “x = volumen (l)” e “y = presión (atm)” para obtener la expresión analítica como
#
= $ , donde k se calcula a partir del producto de dos valores: k = 10·3 = 30
Por tanto obtenemos:
=
% $
REPARTOS PROPORCIONALES Efectuar un reparto proporcional consiste en dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a un criterio dado. El criterio puede ser de proporcionalidad directa (un valor doble recibe el doble,…) o inversa (un valor doble recibe la mitad,…). Reparto directo Entre tres pintores han pintado la fachada de un edificio y han cobrado 4 160 €. El primero ha trabajado 15 días, el segundo, 12 y el tercero, 25. ¿Cuánto dinero tiene que recibir cada uno? Como cada uno ha hecho su trabajo de forma individual el problema equivale al de un único pintor que ha trabajado 15 + 12 + 25 = 52 días. Por tanto el sueldo diario ha de ser: 4 160 : 52 = 80 €. De manera que le corresponde al primer pintor: 80 · 15 = 1 200 € Y de forma similar se hace con el resto de pintores, obteniéndose la siguiente tabla:
5
Proporcionalidad Pintor 1º 2º 3º Total
Nº de días trabajado 15 12 25
Sueldo (€) 1 200 960 2 000 4 160
Si la cantidad a repartir son objetos indivisibles se tendrá en cuenta la mayor parte decimal. Ejemplo: Hay que repartir cinco profesores entre tres colegios proporcionalmente a sus alumnos, que son 310, 240 y 200 respectivamente. • • •
Colegio A: 2,06 2 Colegio B: 1,6 1 + 1 Colegio C: 1,3 1
Ley D’Hont Es el procedimiento utilizado actualmente para repartir diputados a los partidos políticos a partir del número de votos obtenidos en unas elecciones. Los votos se van dividiendo sucesivamente entre 1, 2, 3, … y se van asignando los diputados a los partidos que van obteniendo los mayores cocientes. Ejemplo Repartir 5 diputados entre tres partidos políticos A, B, C que han obtenido 50 000, 30 000 y 17 000 votos respectivamente. Nº diputados Partido A Partido B Partido C
1 50 000 30 000 17 000
2 25 000 15 000 8 500
3 16 666 10 000 5 666
4 12 500 7 500 4 250
5 10 000 6 000 3 400
Por tanto el partido A obtiene tres diputados y el B y el C obtienen uno cada uno.
Reparto inverso Entre los tres participantes de un concurso de puzles se reparte un premio de 108 € de forma inversamente proporcional al tiempo que han invertido en montarlos. Los tiempos en horas para cada participante han sido una, tres y seis respectivamente. Para poder comparar entre sí el trabajo realizado por cada concursante, consideramos qué fracción del puzle tenían hecho en una hora: 1, 1/3 y 1/6. Para repartir el premio de forma 6
Proporcionalidad adecuada hacemos un reparto directo de estas cantidades sobre la parte total completa hasta ese momento: 1 1 3 1+ + = 3 6 2 % *
Para el primer concursante obtenemos: (108: + · 1 = 72 € Se realiza de forma análoga para los otros concursantes, obteniéndose los siguientes resultados: Participante 1º 2º 3º Total
Tiempo necesitado (h) 1 3 6
Premio (€) 72 24 12 108
PORCENTAJES Un porcentaje expresa la parte de una cantidad sobre el total respecto a 100 unidades. Ejemplo: Si se han quemado 200 hectáreas de un total de 5 000 ha de bosque, el porcentaje quemado será del
*
· 100% = 4%.
En algunos casos el dato conocido es el porcentaje pero se desconoce la parte o el total de una cantidad. En tales casos se resuelve despejando el dato desconocido. Ejemplo: 1. En un curso hay 25 estudiantes, de los que el 60 % son chicas. ¿Cuántos chicos y chicas hay en el curso? 60 · 25 · 100 = 60 → = = /0 123145 25 100 Por tanto habrá 10 chicos y 15 chicas. 2. En un centro de salud han vacunado a 64 niños, que representan el 16% del total de los niños de la zona. ¿Cuántos niños se tienen que vacunar en total? 64 64 · 100 · 100 = 16 → 64 · 100 = 16 · → = = 677 83ñ:5 16
Aumento y disminuciones porcentuales
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Proporcionalidad En los problemas de aumento y disminución porcentual del precio de un artículo hay que distinguir tres cantidades: • • •
El precio inicial del artículo PI El porcentaje aplicado r% El precio final del artículo PF
El porcentaje siempre se aplica al precio inicial, de manera que el precio final se obtiene aplicando la siguiente fórmula: ;< = ;= ± %
;= ↔ ;< = ;= ±
· ;= 100
donde el signo “+” se utiliza si es un aumento porcentual (impuestos, IVA) y el signo “-“ para una disminución (rebajas). Ejemplos: 1. La facturación de una empresa el año pasado fue de 775 000 €. Este año, la cantidad facturada ha sido de 838 000 €. ¿Qué tanto de incremento supone? 838 000 = 775 000 +
· 775 000 100
63 000 = 7750 · =
63000 = @, /A % 7750
2. Una zapatillas deportivas cuestan 84 € después de que se haya rebajado el precio un 25 %. ¿Cuál era su precio antes de la rebaja? 25 · 84 = − 100 8400 = 100 · − 25 · 8400 = 75 → = //C € Resultados adicionales 1. Tenemos un producto en venta al que hay que aplicarle un porcentaje de impuesto y otro de rebaja. El orden en el que se apliquen dichos porcentajes no va a variar el precio final. 2. ¿A qué porcentaje de rebaja equivale ofertas del tipo “3x2” o “la segunda unidad a mitad de precio”? Consideramos artículos cuyo precio es de 100 €. Si compramos tres artículos, con la D
oferta 3x2 nos ahorramos 100 €. El porcentaje de rebaja será: %
· 100% = 33,3% 8
Proporcionalidad Si compramos dos artículos, con la otra oferta nos ahorramos 50 €. El porcentaje de rebaja será: *
· 100% = 25%
3. Añadir un 5% de impuesto y a continuación otro del 5% no equivale a considerar un único impuesto del 10%. Consideramos un artículo cuyo precio es de 100 %. Con el primer impuesto tendríamos que pagar 105 € y el segundo impuesto se aplica sobre esta cantidad: 110,25 €. El porcentaje aplicado sería: 10,25 %. 4. Para hallar el porcentaje de inclinación de una pendiente se divide la altura alcanzada y la distancia recorrida sobre el eje horizontal. 5. Una disolución acuosa con una concentración de soluto al m% es equivalente a una disolución de 100 litros donde m litros son de soluto y el resto de agua.
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