ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA EN CIENCIAS SOCIALES-2 by Patricio Alcaino

Casos y problemas

resueltos Estadística Descriptiva Cálculo de Estadígrafos Análisis de variable numérica

Estadística Estadística

Aplicada a las Ciencias Sociales Aplicada a las Ciencias Sociales I: Estadística Descriptiva

-2-

Patricio Alcaíno Martínez Patricio Alcaíno Martínez

Palabras iniciales Estimados usuari@s:

• Este material que pongo a su disposición, está creado a partir de casos e investigaciones reales realizadas en distintos ámbitos de las Ciencias Sociales. Los datos han sido cambiados para ajustarlos a situaciones de enseñanza aprendizaje. Por ello, fuera del contexto de este documento, la información y conclusiones no son necesariamente válidas como conclusiones respaldadas. • Este volumen está dirigido a tratar el tema de la presentación de datos en tablas y gráficos, y a un análisis básico de estos. El lector deberá manejar los conceptos y procedimientos elementales de Estadística y exhibir competencia en el cálculo de razones, proporcionalidad y tanto por ciento. • Para trabajar con este material el usuario deberá hacer uso de calculadora y manejar con habilidad el programa estadístico de la misma. • El uso de este material con fines comerciales no está permitido. Se podrá usar en medios masivos, mencionando la autoría.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

1. Población en la comuna de Quilleco El siguiente cuadro resume datos de la población humana en la comuna de Quilleco (Región del Biobío), según información levantada en el censo 2002. DIVISIÓN POLÍTICO ADMINISTRATIVA Y ÁREA URBANA – RURAL

Ambos sexos

SEXO Hombres

Mujeres

Índice de masculinidad*

10.428

Total comuna de Quilleco Urbana Rural

2.762

106,50 98,62

(*) Número de hombres por cada 100 mujeres.

1.1. Complete el cuadro. 1.2. ¿Qué significa el índice de masculinidad rural, en el contexto presentado?

Solución: 1.1. Cuadro. a.- Con el número de mujeres del área urbana y el índice de masculinidad de la misma se puede calcular el número de hombres del área, puesto que: Hombres ·100 Mujeres

IM =

⇒

Hombres ·100 = 98,62 2.762

Despejando:

98,62 · 2.762 = 2.724 hombres. 100

b.- El total de población urbana es, entonces: 2.724 + 2.762 = 5.486 c.- En el total comuna hay 106,50 hombres por cada 100 mujeres. Es decir, por cada 206,50 habitantes hay 100 mujeres. Entonces, por cada 10.428 habitantes habrá x mujeres. → 206,50 habitantes 100 mujeres 10.428 habitantes

→

x mujeres

206,50 habi tan tes 100 mujeres = 10.428 habi tan tes x mujeres

Despejando: x=

10.428 ·100 = 5.050 mujeres en toda la comuna. 206,50

d.- En el total de población hay, entonces: 10.428 – 5.050 = 5.378 hombres.

e.- Hasta el momento la tabla está así: DIVISIÓN POLÍTICO ADMINISTRATIVA Y ÁREA URBANA - RURAL Total comuna de Quilleco Urbana Rural

Ambos sexos 10.428 5.486

SEXO Hombres 5.378 2.724

Mujeres 5.050 2.762

Índice de masculinidad 106,50 98,62

f.- Por diferencia, se calcula los datos de población en el área rural. g.- El índice de masculinidad rural es: IM =

Hombres ·100 Mujeres

IM =

2.654 ·100 = 116,0 2.288

h.- Finalmente, la tabla completa es la siguiente: DIVISIÓN POLÍTICO ADMINISTRATIVA Y ÁREA URBANA - RURAL Total comuna de Quilleco Urbana Rural

Ambos sexos 10.428 5.486 4.942

SEXO Hombres 5.378 2.724 2.654

Mujeres 5.050 2.762 2.288

Índice de masculinidad 106,50 98,62 116,0

1.2. En el área rural, el índice de masculinidad de esta comuna es 116, lo que significa que en áreas rurales de la comuna de Quilleco hay 116 hombres por cada 100 mujeres. En general, si el índice de masculinidad es mayor que 100, como en este caso, significa que hay más hombres que mujeres, lo que es una situación frecuente, y explicable en estas zonas, donde el trabajo está centrado en labores que requieren fundamentalmente mano de obra masculina.

2. Seguridad ciudadana y victimización

Porcentaje (%)

Una encuesta de Seguridad Ciudadana realizada a una muestra aleatoria de 2.250 personas, reveló que un 34,4% de ellos o un miembro de su hogar, había sido víctima de algún delito en los últimos 12 meses. Respecto de las veces que han sido objeto de delito en el mismo lapso de tiempo, se tiene la información del gráfico adjunto.

48 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0

Veces

¿CUÁNTAS VECES HA SIDO VÍCTIMA DE ALGÚN DELITO EN LOS ÚLTIMOS 12 MESES?

Sobre la base de estos datos: 2.1. ¿Cuántas personas de la muestra (él o un miembro del hogar), han sido objeto algún delito más de una vez en los últimos 12 meses? 2.2. Entre las personas que han sido víctima de delito (él o un miembro del hogar), ¿cuántas lo han sido más de una vez? 2.3. ¿Qué % de la muestra (él o un miembro del hogar) ha sido víctima de algún delito más de dos veces en los últimos 12 meses? 2.4. En las víctimas de delito (él o un miembro del hogar), ¿cuál es el promedio de veces que lo han sido? 2.5. En las víctimas de delito (él o un miembro del hogar), ¿cuál es la mediana de veces que lo han sido?

Solución: 2.1. En la muestra de 2.250 personas, el 34,4% ha sido víctima (él o un miembro de la familia).

El 34,4% de 2.250 personas es:

34,4 · 2.250 = 774 personas. 100

2.2. Según el gráfico, de los que han sido víctima, el 52% lo ha sido más de una vez.

El 52% de 774 personas es: 402 personas. 2.3. Según los datos, de 774 personas víctimizadas, el 28%, él o un miembro de la familia lo has sido más de dos veces. El 28% de 774 personas es: 217 personas.

Entonces, respecto de la muestra de 2.250, estas representan: P=

217 ·100 = 9,6% 2.250

2.4. Para calcular la media aritmética de las veces que han sido víctima, se organizan los datos en una tabla de frecuencias: Veces 1 2 3 4 5 Total

% 48 24 16 8 4 100%

Aprovechando las propiedades de la media aritmética, se puede calcular la media con los %, como si fuesen frecuencias absolutas. Veces 1 2 3 4 5 Total

% 48 24 16 8 4 100%

Producto 48 48 48 32 20 196

Entonces: x=

196 = 1,96 veces. 100

2.5. Para calcular la mediana de las veces que han sido víctima, se organizan los datos en una tabla de frecuencias, incluyendo la frecuencia acumulada, porcentuada en este caso. Veces 1 2 3 4 5 Total

% 48 24 16 8 4 100%

% acum. 48 72 88 96 100 -

La mediana, por definición, se ubica en el 50%, una vez ordenados los valores de menor a mayor. Los que han sido víctima 1 vez alcanzan al 48%, los que lo han sido 1 o 2 veces, alcanzan el 72%. Por lo tanto, el valor 2 cumple con la definición de mediana. Entonces, la mediana de las veces es 2. Al menos el 50% de las víctimas, lo ha sido a lo más 2 veces en los últimos 12 meses. Al menos el 50% de las víctimas, lo ha sido más de 2 veces en los últimos 12 meses.

3. Tiempo de espera El departamento de Atención al Cliente de un hotel de turismo ha estudiado, en una muestra de 168 pasajeros, el tiempo transcurrido (tiempo de espera) desde que el cliente llega al hotel hasta que ingresa a su habitación. El resultado se representa en el siguiente gráfico:

min 10

Tiempo de espera de clientes (minutos)

3.1. ¿Que % de los pasajeros estudiados esperaron más de 18 minutos? 3.2. ¿Cuántos pasajeros esperaron, cuando más, 14 minutos? 3.3. ¿Cuántos pasajeros esperaron entre 10 y 18 minutos? 3.4. Complete: El 75% de los pasajeros estudiados esperaron a lo menos . . . . . . . . . . minutos. 3.5. Complete: El 25% de los pasajeros de la muestra esperó a lo menos . . . . . . . . . . minutos. 3.6. Complete: El . . . . . . . . . . . . % de los pasajeros de la muestra esperó entre 14 y 23 minutos.

Solución: 3.1. De acuerdo al gráfico, más de 18 minutos corresponde al 25% del bigote superior. Por lo tanto, el 25 % de los pasajeros estudiados esperaron más de 18 minutos. 3.2. De acuerdo al gráfico, cuando más 14 minutos, corresponde al 25% del bigote inferior. El 25% de 168 es 42. Por lo tanto, 42 pasajeros esperaron, cuando más, 14 minutos. 3.3. De acuerdo al gráfico, entre 10 y 18 minutos se acumula el 75% de las observaciones. El 75% de 168 es 126. Por lo tanto, 126 pasajeros esperaron entre 10 y 18 minutos. 3.4. “A lo menos” significa “como mínimo”. De acuerdo al gráfico el valor que deja el 75% sobre sí es el 14. Por lo tanto, El 75% de los pasajeros estudiados esperaron a lo menos . . .14. . . minutos. 3.5. “A lo menos” significa “como mínimo”. De acuerdo al gráfico el valor que deja el 25% sobre sí es el 18. Por lo tanto, El 25% de los pasajeros de la muestra esperó a lo menos . . .18 . . . minutos. 3.6. De acuerdo al gráfico entre 14 y 23 minutos se acumula el 75% de las observaciones El . . .75%. . . de los pasajeros de la muestra esperó entre 14 y 23 minutos.

4. Encuesta de Salud, Bienestar y Envejecimiento (SABE). La encuesta SABE, es una encuesta que se aplica en las principales ciudades de América Latina y el Caribe a una muestra aleatoria de hombres y mujeres de 60 o más años de edad, con el objeto de evaluar salud, bienestar y envejecimiento de esa población. La tabla 1 siguiente, caracteriza la muestra estudiada en la versión 2001 de dicha encuesta.

De acuerdo a la tabla, respecto de las muestras definidas en el estudio, calcule lo siguiente: 4.1. En Sao Pablo, ¿cuántos entrevistados son mujeres? 4.2. De la muestra de Sao Paulo, ¿qué % tiene entre 60 y 75 años de edad? 4.3. El índice de masculinidad de la muestra de Ciudad de México. 4.4. ¿Cuántas mujeres por cada 100 hombres hay en la muestra de Bridgetown? 4.5. Calcule el percentil 63 de la edad de la muestra de Bridgetown. 4.6. En Santiago de Chile, calcule el % de la muestra que tiene 75 años o más. 4.7. En la muestra de Buenos Aires, ¿cuánta población de 60 años o más tiene menos de 75 años? 4.8. En la muestra de Buenos Aires, ¿cuántos hombres hay por cada 100 mujeres?

Solución: 4.1. En Sao Pablo, ¿cuántos entrevistados son mujeres? Según tabla, el 41,9% son hombres y el 58,1% mujeres. El 58,1% de la muestra de 2.143 es 1.245. Luego, en la muestra de Sao Pablo hay 1.245 mujeres. 4.2. De la muestra de Sao Paulo, ¿qué % tiene entre 60 y 75 años de edad? Según la tabla, la mediana de la muestra en Sao Paulo es 75 años, significa que el 50% de la población definida tiene 75 o menos años. Como la tabla incluye personas de 60 o más años, entonces, entre 60 y 75 años está el 50% de la muestra. En Sao Paulo, el 50% de la muestra definida tiene entre 60 y 75 años de edad.

4.3. El índice de masculinidad de la muestra de Ciudad de México. Según tabla, en la muestra de Ciudad de México hay 129 mujeres por cada 100 hombres (Índice de feminidad 129). Por lo tanto hay que calcular el número de hombres cada 100 mujeres. Esto es la proporción: 100 hom bres x hom bres = 129 mujeres 100 mujeres

Despejando x: x=

100·100 = 75,5 129

El índice de masculinidad en la muestra de Ciudad de México es 75,5, lo que significa 75,5 hombres por cada 100 mujeres. 4.4. ¿Cuántas mujeres por cada 100 hombres hay en la muestra de Bridgetown? Según tabla, en la muestra de Bridgetown hay 142 mujeres por cada 100 hombres (Índice de feminidad). En la ciudad de Bridgetown hay 142 mujeres por cada 100 hombres. 4.5. Calcule el percentil 63 de la edad de la muestra de Bridgetown. El percentil 63 es un valor de la variable edad que deja bajo sí al 63% de la muestra y sobre sí al 37% de esta. En Bridgetown esa edad es 75 años, ya que según la tabla, el 37% está sobre esa edad. En Bridgetown el percentil 63 de la edad de los entrevistados es 75 años. 4.6. En Santiago de Chile, calcule el % de la muestra que tiene 75 años o más? Según tabla, en Santiago de Chile, el 33,9% tiene 75 o más años de edad. 4.7. En la muestra de Buenos Aires, ¿cuánta población de 60 años o más tiene menos de 75 años? Según tabla, en la muestra de Buenos Aires, el 27,6% tiene 75 o más años de edad y el 72,4% tiene menos de 75 años. En Buenos Aires, el 72,4% de la población de 60 años o más tiene menos de 75 años. 4.8. En la muestra de Buenos Aires, ¿Cuántos hombres hay por cada 100 mujeres? Según tabla, en la muestra de Buenos Aires hay 162 mujeres por cada 100 hombres (Índice de feminidad 162). Por lo tanto, hay que calcular el número de hombres por cada 100 mujeres. Esto es, la proporción: 100 hom bres x hom bres = 162 mujeres 100 mujeres

Despejando x: x=

100·100 = 61,7 162

En la ciudad de Buenos Aires hay 61,7 hombres de 60 o más años por cada 100 mujeres de 60 o más años.

5. Percepción de la seguridad ciudadana Una encuesta de seguridad ciudadana realizada en Argentina a una muestra de 890 personas de 15 años o más, generó la siguiente tabla de frecuencias: Percepción de la seguridad en la ciudad, por sexo y por grupos de edad: En general, en toda la ciudad se siente usted: 1 Seguro 2 Relativamente seguro 3 Inseguro 4 Muy inseguro TOTAL

TOTAL 259 346 188 97 890

SEXO HOMBRES MUJERES 163 96 225 121 83 105 27 70 498 392

GRUPOS DE EDAD 15-24 25-59 60-89 74 104 81 103 156 87 73 78 37 39 30 28 289 368 233

Sobre la base de los datos de la tabla, calcule los siguientes estadígrafos: 5.1. Proporción de hombres de la muestra que se siente Relativamente seguro en toda la ciudad. 5.2. La probabilidad de encontrar en la muestra una persona que se sienta Muy insegura. 5.3. Proporción de mujeres en la muestra, que se siente Segura o Relativamente segura en toda la ciudad. 5.4. Índice de feminidad entre los que en la muestra se sienten Muy inseguros en toda la ciudad. 5.5. Porcentaje de menores de 60 años, que se siente Seguro o Relativamente seguro en la cuidad. 5.6. El cuartil 3 en la percepción de seguridad en el total de la muestra. ¿Qué significa este valor? 5.7. La mediana en la percepción de seguridad, por sexo. ¿Qué significa este valor? 5.8. La edad mediana de las personas que se sienten Seguras en la ciudad. ¿Qué significa este valor? 5.9. La edad media de las personas que se sienten Muy inseguras en la ciudad y su desviación estándar. 5.10. La edad percentil 5, edad decil 8 y el quintil 1 de la edad de las personas que se sienten Relativamente seguras en la ciudad, expresando su significado.

Solución: 5.1. Número de hombres que se sienten Relativamente seguro en toda la ciudad = 225 Número total de hombres en la muestra = 498

Proporción: P=

225 ·100 = 45,2% 498

El 45,2% de los hombres de la muestra se siente Relativamente seguro en toda la ciudad.

5.2. Número de personas que se sienten Muy inseguras: 97 Número total de personas en la muestra: 890

Probabilidad: P=

97 = 0,109 890

La probabilidad de encontrar en la muestra una persona que se sienta Muy insegura es 0,109. 5.3. Mujeres que se sienten Seguras o Relativamente seguras: 96 + 121 = 217 Número total de mujeres en la muestra: 392

Proporción: P=

217 ·100 = 55,4% 392

La Proporción de mujeres en la muestra que se siente Segura o Relativamente segura en toda la ciudad llega al 55,4%. 5.4. Mujeres que se sienten Muy inseguras en toda la ciudad: 70 Hombres que se sienten Muy inseguras en toda la ciudad: 27 Índice de feminidad: IF =

70 ·100 = 259,3 mujeres por cada 100 hombres 27

Entre los que en la muestra se sienten Muy inseguros en toda la ciudad, mujeres y hombres están en la razón de 259 mujeres por cada 100 hombres. 5.5. Total menores de 60 años: 289 + 368 = 657 Menores de 60 años que se sienten Seguros o Relativamente seguros: 74 + 104 + 103 + 156 = 437

Proporción: P=

437 ·100 = 66,5% 657

En los menores de 60 años, el 66,5% se siente Seguro o Relativamente seguro en la cuidad.

5.6. El cuartil 3: En la tabla se calculan las frecuencias acumuladas: En general, en toda la ciudad se siente usted:

TOTAL

Frec. Acum.

259 346 188 97 890

259 605 793 890 -

1 Seguro 2 Relativamente seguro 3 Inseguro 4 Muy inseguro TOTAL

El cuartil 3 de la variable en cuestión se encuentra en el lugar 3· 4

3n, 4

es decir:

890 = 667,5

Es decir exactamente entre el valor 667º y el 668º. Para ambos órdenes, el valor de la variable es “Inseguro”. Por lo tanto, ese es el cuartil 3. Cuartil 3 = Inseguro El 75% de las personas de la muestra se sienten entre Seguras e Inseguras en toda la ciudad. El 25% de las personas de la muestra se sienten Inseguras o Muy inseguras en toda la ciudad. 5.7. Extrayendo de la tabla original los datos necesarios, se llega a la siguiente tabla: En general, en toda la ciudad se siente usted: 1 Seguro 2 Relativamente seguro 3 Inseguro 4 Muy inseguro TOTAL

HOMBRES Nº Acum. 163 163 225 388 83 471 27 498 498 -

El lugar donde se halla la mediana de Hombres es:

MUJERES Nº Acum. 96 96 121 217 105 322 70 392 392 -

498 + 1 = 249,5. Esto significa que la 2

mediana se encuentra entre el lugar 249º y el 250º. Para ambos lugares, el valor de la variable es “Relativamente seguro”. Por lo tanto, esa es la mediana. Mediana hombres = Relativamente seguro. Al menos el 50% de los hombres se siente Relativamente seguro en toda la ciudad.

392 + 1 = 196,5. Esto significa que la 2 mediana se encuentra entre el lugar 196º y el 197º. Para ambos órdenes, el valor de la variable es “Relativamente seguro”. Por lo tanto, esa es la mediana.

El lugar donde se halla la mediana de Mujeres es:

Mediana mujeres = Relativamente seguro. Al menos el 50% de las mujeres se siente Relativamente seguro en toda la ciudad. 5.8. Edad mediana: Extrayendo de la tabla los datos relativos a edad de las personas que se sienten Seguras, se puede construir la siguiente tabla de frecuencias: Edad 15 – 25 25 – 60 60 – 90

Para la mediana:

Nº 74 104 81 259

Acum. 74 178 259 -

259 = 129,5 2

La menor frecuencia acumulada que es mayor a 129,5 es 178. Por lo tanto, en este intervalo se encuentra la mediana. Entonces: 35 (129,6 − 74) Me = 25 + = 104 Me = 43,67788462 ≈ 43,7 años. El 50% de las personas de la muestra tiene menos de 43,7 años. El 50% de las personas de la muestra tiene 43,7 años o más. 5.9. Edad media: Extrayendo de la tabla los datos relativos a las personas que se sienten Muy inseguras, se puede construir la siguiente tabla de frecuencias: Edad 15 – 25 25 – 60 60 – 90 Total

Xm 20 42,5 75 -

Nº 39 30 28 97

Ingresando estos valores a la calculadora: Media y desviación estándar: x = 42,8 años. σ x = 22,5 años

En la muestra, la edad media es de 42,8 años, con desviación estándar 22,5 años.

5.10. La edad percentil 5 y edad decil 8 de las personas que se sienten Relativamente seguras. Extrayendo de la tabla los datos relativos a edad de las personas que se sienten Relativamente Seguras, se puede construir la siguiente tabla de frecuencias: Edad 15 – 25 25 – 60 60 – 90

Nº 103 156 87 346

Acum. 103 259 346 -

5.10.1. Para el percentil 5: 346 ⋅ 0,05 = = 17,3

El percentil 5 está en el primer intervalo. P5 = 15 +

10(17,3 − 0) = 16,7 años. 103

El 5% de las personas que se sienten Relativamente seguras en toda la ciudad, tiene menos de 16,7 años. De las personas que se sienten Relativamente seguras en toda la ciudad, el 95% tiene más de 16,7 años. 5.10.2. Para el decil 8: 346 ⋅ 0,80 = = 276,8

El decil 8 se encuentra en el último intervalo. D 8 = 60 +

30(276,8 − 259) = 66,1 años. 87

El 80% de las personas que se sienten Relativamente seguras en toda la ciudad, tiene menos de 66,1 años. De las personas que se sienten Relativamente seguras en toda la ciudad, el 20% tiene más de 66,1 años. 5.10.3. Para el quintil 1: 346 ⋅ 0,20 = = 69,2

En el primer intervalo. L 1 = 15 +

10(69,2 − 0) = 21,7 años. 103

El 20% de las personas que se sienten Relativamente seguras en toda la ciudad, tiene a lo más 21,7 años. De las personas que se sienten Relativamente seguras en toda la ciudad, el 80% tiene más de 21,7 años.

6. Número de empleos según edad Se ha investigado en una muestra aleatoria de trabajadores, su edad y el número de empleos dependientes en los últimos 2 años, llegándose a la siguiente tabla: Trabajadores, según edad y número de empleos. Nº de casos. EDAD (años) 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Total

0 0 3 6 8 5 22

Nº de EMPLEOS 1 2 3 8 11 9 9 4 2 3 3 1 28 25

3 7 5 4 1 2 19

Total 18 28 23 14 11 94

6.1. Identifique las variables en estudio, y clasifíquela según su tipo. 6.2. Construya un gráfico para la edad de los que han tenido 1 empleo en los últimos dos años. 6.3. Construya un gráfico de tallo y hojas para el número de empleos en los dos últimos años de los trabajadores entre 30 y 40 años de edad. 6.4. Calcule el Nº medio de empleos en la muestra, su desviación estándar y coeficiente de variación. 6.5. Calcule el número medio de empleos entre los trabajadores menores de 30 años. 6.6. Calcule la edad media de los trabajadores que no han tenido empleo en los dos últimos años, su desviación estándar y coeficiente de variación. 6.7. Calcule: 6.7.1. % de la muestra que, teniendo entre 40 y 60 años, ha tenido 1 ó 2 empleos en los dos últimos años. 6.7.2. De los trabajadores menores de 40 años, ¿Qué % ha tenido a lo menos 2 empleos en los 2 últimos años? 6.7.3. De los que han tenido 1 empleo, ¿Qué % tiene entre 30 y 50 años? 6.7.4. De los que no han tenido empleo en los dos últimos años, ¿qué % tiene 50 o más años de edad?

Solución: 6.1. Variables en estudio Variable fila: Edad, en años, de los trabajadores. Variable continua. Variable columna: Número de empleos en os dos últimos años. Variable discreta. 6.2. Gráfico para la edad de los que han tenido 1 empleo en los últimos dos años. Para trazar este gráfico, se separa de la tabla los datos necesarios. Se trazará un histograma, porque se trata de una variable continua:

Edad de trabajadores con un solo empleo en los dos últimos años EDAD (años) 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Total

N° 3 11 9 2 3 28

% 10,7 39,3 32,1 7,1 10,7 100

45 40 Porcentaje (%)

35 30 25 20 15 10 5 0

Años

20 30 40 50 60 70 EDAD DE TRABAJADORES CON 1 EMPLEO EN LOS ÚLTIMOS DOS AÑOS

6.3. Construya un gráfico de tallo y hojas para el número de empleos en los dos últimos años de los trabajadores entre 30 y 40 años de edad. Para dibujar este gráfico, primero se separan de la tabla matriz, los datos requeridos: Número de empleos en los dos últimos años de los trabajadores entre 30 y 40 años de edad. EDAD (años)

Nº de EMPLEOS 1 2 11 9

0 3

30 - 40

3 5

El gráfico es el siguiente:

Número de empleos en trabajadores de 20 a 40 años de edad Frequency 3 11 9 5 Ancho tallo: Cada hoja:

Stem & Leaf 0 1 2 3

. . . .

000 00000000000 000000000 00000

1 1 caso

Total 28

6.4. Estadísticos de empleos en la muestra. Empleos 0 1 2 3 Total

N° 22 28 25 19 94

Ingresando los valores en la calculadora: N° medio de empleos = 1,44 empleos Desviación estándar = 1,06 empleos Coeficiente de variación =

1,06 ⋅100 = 73,6%. 1,44

6.5. Número medio de empleos entre los trabajadores menores de 30 años. Empleos 0 1 2 3 Total

N° 0 3 8 7 18

Ingresando los valores en la calculadora: N° medio de empleos = 2,22

6.6. Estadísticos en la edad de los trabajadores que no han tenido empleo en los dos últimos años. EDAD (años) 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Total

Xm 35 45 55 65 -

Ingresando los valores en la calculadora: Edad media = 51,8 años Desviación estándar = 9,7 años Coeficiente de variación =

9,7 ⋅100 = 18,7%. 51,8

N° 3 6 8 5 22

6.7. Calcule: 6.7.1. % de la muestra que, teniendo entre 40 y 60 años, ha tenido 1 ó 2 empleos en los dos últimos años. Muestra = 94 40 y 60 años y ha tenido 1 ó 2 empleos = 18

Llevando a %: P=

18 ⋅100 = 19,1%. 94

El 19,1% de la muestra tiene entre 40 y 60 años y ha tenido 1 ó 2 empleos en los dos últimos años. 6.7.2. De los trabajadores menores de 40 años, ¿Qué % ha tenido a lo menos 2 empleos en los 2 últimos años? Menores de 40 años = 46 Ha tenido a los menos 2 empleos = 29 Llevando a %: 29 ⋅100 = 63,0%. 46 El 63,0% de los trabajadores menores de 40 años, ha tenido a lo menos 2 empleos en los 2 últimos años.

6.7.3. De los que han tenido 1 empleo, ¿Qué % tiene entre 30 y 50 años? Ha tenido 1 empleo = 28 Tiene entre 30 y 50 años de edad = 20 Llevando a %: P=

20 ⋅100 = 69,0%. 29

De los que han tenido 1 empleo, el 69,0% tiene entre 30 y 50 años de edad.

6.7.4. De los que no han tenido empleo en los dos últimos años, ¿qué % tiene 50 o más años de edad? No han tenido empleo = 22 Tienen 50 o más años de edad = 13 Llevando a %: P=

13 ⋅100 = 59,1%. 22

De los que no han tenido empleo en los dos últimos años, el 59,1% tiene 50 o más años de edad.

7. Tiempo en página Web La casa comercial “ACME”, que mantiene un sitio de comercio electrónico en la Web, encargó a la empresa Alka SA, un estudio del tiempo que los visitantes permanecen en el sitio, sabiendo que las personas que efectivamente hacen compras por esta vía son las que permanecen más de 24 minutos. Para los efectos realiza una medición del tiempo que una muestra de visitantes permanece en la página. Con los datos obtenidos se construyó el siguiente histograma.

Número de casos

20 16 12

10 7

4 0

Minutos

10 15 20 25 30 35

TIEMPO DE PERMANENCIA EN PÁGINA WEB VISITANTES DE ALMACENES ACME Fuente: Alka SA. Julio 2011.

De acuerdo a los datos dados: 7.1. Identifique la variable y su tipo, y el tamaño de la muestra. 7.2. Construya una tabla de frecuencia sencilla que muestre la variable en estudio. 7.3. Calcule el tiempo medio de permanencia, su desviación estándar y su coeficiente de variación. 7.4. Calcule los cuartiles e interprete su valor en el marco del caso. 7.5. Trace un gráfico de caja y bigotes para el tiempo de permanencia en la página Web de Almacenes ACME. 7.6. Aproximadamente, ¿qué % de los visitantes podrían hacer compras en este sitio? 7.7. Construya un párrafo de texto de 5-10 renglones, que describa resumidamente el fenómeno estudiado.

Solución: 7.1. La variable estudiada es el Tiempo de permanencia de los visitantes en la página Web de Almacenes ACME. Es una variable numérica, continua. El tamaño de la muestra es 106, que es la suma de las frecuencias en cada intervalo.

7.2. Tabla de frecuencias Visitantes a página Web, según tiempo de permanencia Tiempo de Permanencia (min.) 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 Total

N° casos 9 21 29 30 10 7 106

8,5 19,8 27,4 28,3 9,4 6,6 100

7.3. Estadísticos Para efectos de ingresar datos en la calculadora, se calculan las marcas de clase de cada intervalo. Tiempo de Permanencia (min.) 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 Total

Xm 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5

N° casos 9 21 29 30 10 7 106

Ingresando datos se obtienen os siguientes estadígrafos: Media: 19,0 minutos Desviación estándar: 6,52 minutos Coeficiente de variación:

CV =

6,52 ⋅ 100 = 34,3% 19

7.4. Cuartiles Para los efectos, se usa la siguiente tabla, con frecuencias absolutas y acumuladas: Tiempo de Permanencia (min.) 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 Total

N° casos 9 21 29 30 10 7 106

Acum. 9 30 59 89 99 106 -

Cuartil 1: n 106 = 26,5. Corresponde al segundo intervalo. = 4 4 Entonces: Q1 = 10 +

5 (26,5 − 9) = 14,2 minutos 21

Cuartil 2: n 106 = 53. Corresponde al tercer intervalo. = 2 2

Entonces: Q2 = 15 +

5 (53 − 30) = 19,0 minutos 29

Cuartil 3: 3n 3 ⋅ 106 = 79,5. Corresponde al cuarto intervalo. = 4 4 Entonces: Q3 = 20 +

5 (79,5 − 59) = 23,4 minutos 30

7.5. Gráfico de caja y bigotes Se tienen los siguientes datos: Tiempo mínimo = 6 min. Tiempo máximo = 35 min. Tiempo Q1 = 14,2 min. Tiempo Q2 = 19,0 min.

Tiempo Q3 = 23,4 min.

min 5

Tiempo de Permanencia de visitantes en página Web Almacenes ACME (minutos) Fuente: Alka SA. Julio 2011.

7.6. % de los visitantes que podrían hacer compras en el sitio Para este cálculo, se usará el concepto de percentil, sabiendo que este segmento es el que permanece más de 24 minutos en la página. 5 (N − 59) = 24 minutos 30 Despejando N: 20 +

5 (N − 59) = 24 − 20 30 4 ⋅ 30 N − 59 = 5

N = 24 + 59 = 83 Esto es, 83 personas permanecen 24 minutos o menos en la página Web. Por lo tanto, permanecen más de ese tiempo: 106 – 83 = 23 visitantes. Llevando a %: P=

23 ⋅ 100 = 21,7%. 106

El 21,7% de los visitantes permanece más de 24 minutos en la página Web.

7.7. Párrafo de texto El tiempo de permanencia en la página Web de Almacenes ACME, medido sobre una muestra aleatoria de 106 visitantes, fluctúa entre 5 y 30 minutos, siendo el promedio igual a 19 minutos, con una desviación estándar de 6,5 minutos. El 8,5% de los visitantes permanece menos de 10 minutos, mientras que el 28,3%, menos de 15. Entre los que permanecen por más tiempo, el 44,3% lo hace por más de 20 minutos, el 16,0% por más de 25 minutos. El segmento que permanece más de 24 minutos alcanza al 21,7% de los visitantes.

8. Gasto en telefonía móvil Se realiza un estudio con 820 personas propietarias de teléfono celular, acerca del monto de gasto mensual en telefonía móvil. El estudio permitió calcular los siguientes estadígrafos: •

Gasto máximo: $67.000

•

Rango del gasto: $62.500

•

Gasto primer cuartil = $8.300

•

Gasto mediano = $18.500

•

Gasto mínimo del 25% superior = $25.000

8.1. Construya un gráfico de caja y bigotes para representar estos resultados. 8.2. Construya 3 afirmaciones respecto de la muestra estudiada.

Solución: 8.1. Para construir un gráfico de caja se requieren los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de la variable. Como el gasto máximo es $67.000 y el rango del gasto es $62.500 significa que el gasto mínimo es: X mín = $67.000 – $62.500 = $4.500.

Se tienen así, los cinco valores requeridos para trazar un gráfico de caja. El eje horizontal del gráfico se hará en $miles, para simplificar su trazado y comprensión.

8.2. Las afirmaciones se obtienen de la interpretación de los valores de los cuartiles.

•

El 25% de los encuestados gastan mensualmente un máximo de $8.300 en telefonía móvil.

•

La mitad de los encuestados gastan mensualmente a lo menos $18.500 en telefonía móvil.

•

El 75% de los encuestados gastan mensualmente entre $25.000 y $67.000 en telefonía móvil.

•

De la muestra, 205 personas de u total de 820 gastan entre mensualmente entre $4.500 y $8.300 en telefonía móvil.

•

El 50% de los encuestados gastan mensualmente entre $8.300 y $18.500 en telefonía móvil.

•

Etc.

9. Muestra de investigación El siguiente gráfico de Tallo y hojas presenta la distribución de la edad, en años, de una muestra de personas que participaron en una investigación. (Salida del programa SPSS). Edad Stem-and-Leaf Plot Frequency 2 9 24 16 12 7 1 Stem width: Each leaf:

Stem & Leaf 1 2 3 4 5 6 7

. . . . . . .

89 022335889 113444555556666777889999 0011234466678888 112344566799 0111356 2 10 1 case(s)

A partir del gráfico, determine: 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8.

Tamaño de la muestra. ¿Qué edad tiene la persona mayor encuestada? ¿Cuántas personas de la muestra tienen 39 años? ¿Qué % de la muestra tiene entre 35 y 36 años? ¿Qué % de la muestra tiene a lo más 49 años? ¿Qué % de la muestra tiene a lo menos 60 años? Determine el valor de la edad mediana de la muestra. Determine el valor de la edad media de la muestra.

Solución: El gráfico adjunto corresponde a un gráfico de tallo y hojas. De acuerdo a sus especificaciones, el ancho del tallo es 10. Por lo tanto el tallo va de 10 en 10 años y cada hoja muestra un caso. 9.1. El tamaño de la muestra es 71 personas, cifra que se obtiene contando el total de hojas del gráfico o la suma de las frecuencias que aparece en el lado izquierdo del gráfico. 9.2. De acuerdo al gráfico, la persona mayor tiene 72 años, cifra que se obtiene del tallo 7, que en realidad es 70, y la hoja 2. 9.3. El gráfico muestra en el tallo 3, que en realidad es 30, cuatro hojas 9. Es decir cuatro veces 39. Entonces, cuatro personas tienen 39 años. 9.4. Según el gráfico entre 35 y 39 años hay un total de 9 observaciones. Llevando a %: P=

9 · 100 = 12,7% 71

9.5. Según el gráfico, hay 51 personas que tienen, a lo más, 49 años. Llevando a %: P=

51 · 100 = 71,8% 71

9.6. Según el gráfico, hay 8 personas que tienen, a lo menos 60 años. Llevando a %: P=

8 · 100 = 11,3% 71

9.7. Considerando una distribución de datos sin agrupar, la mediana se encuentra en el 71 + 1 lugar: = 36º de la distribución de frecuencias, contando de menor a mayor, o 2 viceversa.

La cifra en el lugar 36º es 40 años. Entonces esa es la edad mediana de la muestra. 9.8. Sumando todas las edades, da un total de 2.994 años, que dividido por 71 personas, da: x=

2.994 = 42,17 años. 71

La edad promedio de la muestra es 42,17 años.

10. Hijos por grupo familiar La siguiente tabla muestra el número de hijos en 246 familias del sector rural y urbano. Nº hijos por familia según zona de residencia. Nº de casos. Nº hijos Zona 0 1 2 3 4 5 Urbana 47 38 67 22 9 2 Rural 14 8 18 11 6 4 10.1. Elabore una tabla de frecuencias que muestre la distribución de hijos por familia en la zona urbana. 10.2. Trace un gráfico porcentuado que muestre el número de hijos del total de las familias. 10.3. Calcule: 10.3. 1. El % de familias de la zona rural que tienen hijos. 10.3. 2. De las familias urbanas, ¿qué % no tiene hijos? 10.3. 3. Qué % de las familias rurales tiene más de 2 hijos. 10.3. 4. Qué % de familias que viven en zonas urbanas y tienen uno o dos hijos. 10.3. 5. Qué % de las familias con tres hijos vive en zonas rurales. 10.3. 6. El % de familias que tiene más de dos hijos. 10.3. 7. Qué % de las familias con dos o tres hijos no vive en zonas urbanas. 10.4. Calcule: 10.4.1. El número medio de hijos en cada zona, su desviación estándar y su coeficiente de variación. 10.4.2. El número mediano de hijos en la zona urbana. Solución: 10.1. Nº hijos por familia según zona urbana. Hijos 0 1 2 3 4 5 Total

Casos 47 38 67 22 9 2 185

% 25,4 20,5 36,2 11,9 4,9 1,1 100

10.2. Para graficar, se procede primeramente a construir una tabla de distribución de frecuencias con el total de los datos. Hijos 0 1 2 3 4 5 Total

Casos 61 46 85 33 15 6 246

% 24,8 18,7 34,6 13,4 6,1 2,4 100

Por tratarse de una variable numérica discreta, se realiza un gráfico de segmentos.

Porcentaje (%)

30 25 20 15 10 5 0

Hijos

Familias de zonas urbanas y rurales, según número de hijos.

10.3. Cálculos: 10.3. 1. El % de familias de la zona rural que tienen hijos. Familias de la zona rural = 61 Familias de la zona rural que tienen hijos = 61 – 18 = 43 Llevando a %: P=

43 ·100 = 70,5% 61

El 70,5% de familias de la zona rural tiene hijos. 10.3. 2. De las familias urbanas, ¿qué % no tiene hijos? Familias de la zona urbana = 185 Familias de la zona urbana sin hijos = 47 Llevando a %: P=

47 ·100 = 25,4% 185

El 25,4% de las familias urbanas no tiene hijos.

10.3. 3. Qué % de las familias rurales tiene más de 2 hijos. Familias de rurales = 61 Familias rural con más de 2 hijos = 21 Llevando a %: P=

21 ·100 = 34,4% 61

El 34,4% de las familias rurales tiene más de 2 hijos

10.3. 4. Qué % de familias que viven en zonas urbanas y tienen uno o dos hijos. Familias de la zona urbana = 185 Familias de la zona urbana con 1 o 2 hijos = 38 + 67 = 105 Llevando a %: P=

105 ·100 = 56,8% 185

El 56,8% de las familias que viven en zonas urbanas y tienen uno o dos hijos.

10.3. 5. Qué % de las familias con tres hijos vive en zonas rurales. Familias con 3 hijos = 22 + 11 = 33 Familias con 3 hijos en zonas rurales = 11 Llevando a %: P=

11 ·100 = 33,3% 33

El 33,3% de las familias con tres hijos vive en zonas rurales

10.3. 6. El % de familias que tiene más de dos hijos. Total de familias = 246 Familias con más de 2 hijos = 54 Llevando a %: P=

54 ·100 = 22,0% 246

El 22,0% de las familias tiene más de dos hijos 10.3. 7. Qué % de las familias con dos o tres hijos no vive en zonas urbanas. Total de familias con 2 o 3 hijos = 118 Familias con 2 o 3 hijos que no viven en zonas urbanas = 18 + 11 = 29 Llevando a %: P=

29 ·100 = 24,6% 118

El 24,6% de las familias con dos o tres hijos no vive en zonas urbanas.

10.4. Cálculo de estadígrafos 10.4.1. Para este cálculo se usa la tabla de frecuencias correspondiente: Zona Urbana Rural

0 47 14

1 38 8

Nº hijos 2 3 67 22 18 11

4 9 6

5 2 4

Ingresando los valores en la calculadora, resultan los siguientes estadígrafos:

Zona

Urbana Rural

Media

Estadígrafos D. Estándar

1,54 hijos 1,98 hijos

1,19 hijos 1,49 hijos

77,3% 75,3%

La media y la desviación estándar se obtienen directamente de la calculadora, mientras que el coeficiente de variación se calcula. CV(Urb) =

1,19 ·100 = 77,3% 1,54

CV(Rur ) =

1,49 ·100 = 75,3% 1,98

10.4.2. Mediana Para este cálculo se usa la tabla de frecuencias correspondiente: Familias de la zona urbana según Nº de hijos Zona Nº casos Acum.

0 47 47

1 38 85

Nº hijos 2 3 67 22 152 174

4 9 183

5 2 185

Por ser variable discreta el cálculo es el siguiente: La mediana queda ubicada en el lugar:

185 + 1 = 93º 2

Este lugar se ubica en la frecuencia acumulada 152, con x = 2 hijos. Entonces, Mediana = 2 hijos. Al menos el 50% de las familias de la zona urbana tiene 2 o más hijos.

11. Cargas familiares por trabajador El número X de cargas familiares de los trabajadores de una empresa de servicios, es la siguiente: Xi = 1 – 4 – 2 – 3 – 0 – 0 – 2 – 1 – 0 – 2 – 3 – 5 – 1 – 1 – 2 – 1 – 2 – 4 – 3 – 2 – 0 – 0 –2–1–0–2–3–5–1–1–2–1–2–4–3–2 11.1. Graficar mediante gráfico de tallo y hojas. 11.2. Calcular los estadígrafos siguientes: Moda, Mediana, Media aritmética, Desviación Estándar, Coeficiente de Variación y Rango. 11.3. Construya 5 afirmaciones respecto de la muestra, en función del contexto presentado.

Solución: 11.1. Gráfico de tallo y hojas El tallo estará formado por los distintos valores de la variable: 0, 1, 2, 3, 4 y 5 Las hojas serán la frecuencia de cada valor, representando cada observación por un número cero.

Trabajadores por carga familiar 0 . 000000 6 1 . 000000000 9 2 . 00000000000 11 3 . 00000 5 4 . 000 3 5 . 00 2 Tallo: 1 Total: 36 Cada hoja: 1 caso

11.2. Estadígrafos: Moda = 2 cargas familiares Mediana = 2 cargas familiares Media = 1,89 cargas familiares D. Estándar = 1,37 cargas familiares C. Variación = 72,5% Rango = 5 – 0 = 5 cargas familiares 11.3. Afirmaciones: El 16,7% de los trabajadores no tienen cargas familiares El 30,6% de los trabajadores tienen dos cargas familiares El 44,4% de los trabajadores tienen dos o tres cargas familiares El 83,3% de los trabajadores tienen entre 1 y 5 cargas familiares La cuarta parte de los trabajadores tienen solo una carga familiar