O Essecial do conhecimento - Matematica

1. Em 1978, Thomas Malthus, no trabalho “An Essay on the Principle of populationâ€? formulou um modelo para descrever a população presente num determinado ambiente em função do tempo.

Chegou à conclusão, que para uma constante r, que varia com a espÊcie da população e para uma população inicial N 0 , o modelo Ê dado por: N t N 0 e rt , t t 0 (t em horas)

Seguindo este modelo, uma equipa de cientistas quis estudar a reprodução de um certo tipo de bactÊrias. No início na experiência, constataram que havia 20 dezenas de bactÊrias e que passado 6 horas o número de bactÊrias quadruplicou. a. Mostre que, nesta experiência, o valor da constante r Ê igual a ln

4 .

6

b. Quantas bactĂŠrias existiam ao fim de um dia? Apresente o resultado em unidades.

N t

c. Calcule lim . t o f t d. O nĂşmero de bactĂŠrias ĂŠ sempre crescente? Justifique. e. Prove que o grĂĄfico de ln N t

Ê uma função afim.

Resolução:

1.

Neste exercício, à semelhança do anterior, necessitamos de duas equaçþes, uma vez que a constante a determinar r, estå relacionada com o número inicial de bactÊrias N0 . a.

Se no instante inicial, existiam 20 dezenas de bactĂŠrias sabemos que N 0 20 e como passadas seis horas o nĂşmero de bactĂŠrias quadruplicou, sabemos que N 6 80 , isto ĂŠ, N 0 20 š N 6 80 . ­ ­ ­ ­ _______ r u0 20 ° N 0 20 °N e ° N 20 ° Âœ ÂŽ 0 r u6 Âœ ÂŽ 06 r Âœ ÂŽ 6 r 80 Âœ ÂŽ N 6 80 e 20 80 N e 80

° ° 0 ° °¯ e 20 ÂŻ ÂŻ ÂŻ ­ ­ ________ ­° ________ ° _______ ° Âœ ln 4 Âœ ÂŽ ÂŽ ÂŽ 6 °6r ln 4

°r °¯ r ln 4 6 ¯ ¯

? N t 20e Portanto, o valor da constante r

ln

ln

6 4 t

4 c.q.d.

6

b.

Como o tempo Ê expresso em horas, queremos determinar o número de bactÊrias existente na população ao fim de 24 horas.

N 24

20e

ln

6 4 u24

; 604, 76

Portanto, ao fim de um dia existiam na população aproximadamente 6048 bactÊrias. c.

lim

20e

t o f

ln

6 4 t

t

20 lim

e

ln

6 4 t

f

t

t o f

ComentĂĄrio [h1]: Limite NotĂĄvel

lim x of

d.

N c t

4 t u e

20 u ln

´

6

ln

6

4 t

20 ln

4 e 6

ln

6

4 t

! 0; t t 0

Podemos assim concluir que como a derivada da função Ê sempre positiva, a função Ê sempre crescente. e.

Queremos mostrar que o grĂĄfico de ln N t

Ê uma função afim, ou seja, uma função do tipo y

ln N t

ln 20eln

6

mt b .

4t

ln 20 ln 6 4t c.q.d .

ln 20 ln eln

6

4t

ln 20 ln ÂŞ eln ÂŹ

6

4

ºŸ

t

e

x

x

p

f p Â? ÂĄ

1) Considere a função real de variåvel real, g x sen 2 x senx definida em @0, S > . a) Estude a função quanto à existência de assímptotas. b) Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, determine g c 0 . c) Escreva uma equação da recta normal a g x no ponto de abcissa 0 . d) O gråfico de g , contÊm um único ponto em que a ordenada Ê igual ao quadrado da abcissa.

Utilizando as capacidades gråficas da calculadora efectue cada um dos seguintes passos: i) Desenhe os gråficos das funçþes que traduzem o problema. ii) Assinale o ponto O, origem do referencial iii) Assinale o ponto A, ponto onde a ordenada Ê igual ao quadrado da abcissa iv) Assinale a projecção ortogonal de A, ponto B Determine o perímetro do triângulo >OAB @ .

Estudo das assímptotas ao gråfico de uma função Assimptotas Verticais A recta de equação x

a ĂŠ assimptota vertical do grĂĄfico de f , se e sĂł se

lim f x rf ou lim f x rf .

xoa

xoa

Para determinar as assimptotas verticais do gråfico de uma função, deve-se em primeiro lugar determinar os pontos onde a função não Ê contínua ou então, os pontos que não pertencem ao domínio da função.

Nota: Se o domĂ­nio da função ĂŠ ƒ , o grĂĄfico da função nĂŁo tem assimptotas verticais.

Assimptotas nĂŁo verticais:

Assimptotas Horizontais A recta de equação y

b ĂŠ assimptota horizontal do grĂĄfico de f , se e sĂł se

lim f x b ou lim f x b .

x o f

x o f

Nota: O gråfico de uma função, tem no måximo, duas assimptotas horizontais, uma quando x o f e outra quando x o f .

Se o domínio da função for um intervalo limitado, então o gråfico da função não admite assimptotas horizontais uma vez que não Ê possível calucular lim f x nem xo f

lim f x .

xo f

Assimptotas Obliquas A recta de equação y

mx b ĂŠ assimptota obliqua ou nĂŁo vertical do grĂĄfico de f ,

se e sĂł se lim > f x mx b @ x o f

0 ou lim > f x mx b @ 0 . x o f

Como determinar o valor de m (declive) e de b (ordenada na origem)?

m b

lim

xorf

f x

x

lim > f x mx @

x o rf

Notas: x O gråfico de uma função tem, no måximo, duas assímptotas não verticais, uma quando x o f e outra quando x o f . x Quando estes limites não existem ou não são números reais, o gråfico da função não admite assímptotas não verticais. x Sendo m e b números reais, se m z 0 a assimptota diz-se oblíqua e se m 0 , trata-se de uma assimptota horizontal.

Resolução: a.

AssĂ­mptotas verticais

lim g x

lim sin 2 x sin x sin 2 u 0 sin 0 0

x o0

x o0

x oS

x oS

lim g x

lim sin 2 x sin x sin 2 u S sin S

0

? Não existem assímptotas verticais Assímptotas não verticais Como o domínio da função Ê um intervalo limitado, a função não tem assímptotas não verticais.

Definição de derivada num ponto

Seja f x uma função definida num intervalo aberto A Â? ƒ e x0 Â? A .

A derivada de f x no ponto x0 Â? A (representa-se por f c x0 ), ĂŠ dada por:

f c x0 lim ho0

f x0 h f x0

f x f x0

ou f c x0 lim . x o x0 h x x0

O valor de f c x0 , ĂŠ o valor do declive da recta tangente a f x no ponto de

abcissa x0 , ou seja, ĂŠ o declive da recta tangente a f x no ponto de coordenadas

x0 , f x0

.

De uma maneira geral, se f x Ê derivåvel no ponto de abcissa x0 , a equação que define a recta tangente ao gråfico de f no ponto x0 , f x0

ĂŠ dada por:

y f x0

f c x0 x x0

Nota: O declive da recta normal a f x no ponto de abcissa x0 ĂŠ dado por:

m b.

1 f c x0

O declive da recta normal a f x no ponto de abcissa x

m

0 ĂŠ dado por

1 . g c 0

Utilizando a alĂ­nea anterior, facilmente determinamos o declive.

m

1 1 .

1

A recta normal Ê uma função afim do tipo y

x b .

Para determinar a ordenada na origem, o b, precisamos das coordenadas de um ponto por onde passe a recta, que serĂĄ o ponto 0, g 0

, ou seja, o ponto 0,0 .

Substituindo em y

0

1 u 0 b œ b

x b , obtemos o valor de b.

0

Portanto, a equação da recta normal a f x no ponto de abcissa x

y

c.

0 ĂŠ dada por

x .

Em primeiro lugar, comecemos por traduzir o problema. Queremos determinar o ponto onde a ordenada, y , ĂŠ igual ao quadrado da abcissa, x 2 .

Assim, queremos encontrar a solução de y

x 2 , ou seja, g x x 2 .

Utilizando a calculadora gráfica vamos então inserir as duas funções.

Y1

sin 2 x sin x

Y2

x2

Utilizando a janela de visualização1 >0, S @u > 2,2@ , obtemos os seguintes gráficos:

Para determinar a intersecção das duas funções, vamos utilizar o comando intersect da calculadora gráfica (nas máquinas Texas, second-calc-intersect).

Obtemos assim o ponto A de coordenadas 0.61;0.37 . Finalmente, vamos marcar os pontos que faltam. O ponto O, origem do referencial e o ponto B, projecção ortogonal de A sobre Ox.

1

Sempre que não se consiga encontrar uma janela de visualização adequada, pode-se recorrer à opção ZoomFit. Esta opção, geralmente, dá uma boa visualização para o gráfico em questão

Para calcular o perímetro do triângulo >OAB @ , basta-nos calcular OA , pois Ê trivial verificar que OB

0.61 e AB

0.37 .

Para determinar OA , vamos utilizar a distância entre dois pontos no plano (poderíamos ainda utilizar o Teorema de Pitågoras).

OA

0 0.61 2 0 0.37 2

0.612 0.37 2

Assim, o perímetro do triângulo >OAB @ Ê dado por:

OA OB AB

0.71 0.61 0.37 1.69 u.c.

0.71