31 de Octubre, 2011
Año 1, Ejemplar 1
Mate(Bakán)Máticas
Echamos a volar este sueño infinito de mejores y más bellas matemáticas …. > ¿ Qué es una demostración ? > ¿ Demostraciones Visuales ? > Escudriñando el INFNITO.
Infinitos
Edithorial: He decidido hacer mi propia revista de matemáticas, para que vaya por el mundo ayudando y levantando ánimos. Las matemáticas son posibles si se unen al menos 2 voluntades …. En este número lo central es ¿ qué es demostrar matemáticamente ? … pero lo curioso es que los ejemplos invocan imágenes mentales, más que rigurosos derroteros matemáticos …. Como sea, anticipan verdades que pueden ser rigurosamente demostradas en el estilo tradicional del andamiaje Tesis/Hipótesis/Demostración …. ¿ Qué es para ti demostrar ?
Un intento por democratizar las matemáticas: http://psu-matematicas.blogspot.com
Escudriñando Infinitos 1) Los núme ros Naturales ( NI ) s on los números de contar, los que des de el albor de l os tiem- pos , fue ron util izados para enumerar las cos as , las pertenencias , el número de animales de la caravana prehis pánica.
La demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado
2) Cuentan que el pastor Cardenio (en el Quijote?), sin saber contar, sin saber los números, utilizaba el siguiente protocolo para comprobar cada día que no había perdido una oveja: Al dejarlas salir del corral, echaba en un canasto una piedra y en la noche, al recogerlas, quitaba una piedra por cada oveja que entraba al corral.
hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar
7) Acá el conjunto de los Pares es SUBCONJUNTO de los Naturales, porque todos los Pares se encuentran dentro del conjunto de los Naturales.
fundamentados
en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente
demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión).
3) El ejercicio de este pastor es llamado por los matemáticos “Correspondencia Biunívoca”, es decir, se hace corresponder a cada oveja una piedra y viceversa. 4) Vamos a usar esta idea para mostrar, en un experimento de pensamiento, que a veces -en el caso de los Conjuntos de Infinitos elementos- “la parte es IGUAL al todo” …. ¿ Loco no ? ! 5) Pensemos en los números Naturales ( NI ). Creo que es intuitivo que ellos son INFINITOS, es decir que nunca se acaban. Partimos diciendo: 1, 2, 3, 4, 5 …. y podemos encontrar otro natural mayor, por ejemplo, sumando “uno” al que momentáneamente pensábamos como el más grande. O hay uno más grande porque son infinitos, así de simple. 6) Pensemos ahora en los números Pares. Sabemos que son muchos y que podemos formar un nuevo par, a partir de uno previo, simplemente sumando 2.
8) Los Pares, pueden ponerse en Correspondencia Biunívoca con los números Naturales si asociamos al uno de los naturales el primer par (2) ; al 2 de los naturales el segundo par (4) ; al 3 de los naturales el tercer par (6) y así sucesivamente. 9) Por lo anterior, el conjunto de los números Pares es tan extenso como el de los Naturales, porque mutuamente se vinculan biunívocamente. Hay tantos números Pares como Números Naturales, ambos conjuntos tienen el mismo infinito número de elementos. 10) Pero antes dijimos (en 7) que los Pares eran SUBCONJUNTO de los Naturales …. Es decir, tenemos en este caso de que la parte (Los Pares) es IGUAL al Todo (Los Naturales). Nota: esto NO pasa en los Conjuntos FINITOS …. Es una paradoja reservada a los conjuntos infinitos.
¿ Podrías aprehender de que los cuadrados verdes finalmente, si son sumados, darán 1/3 ? ¿ Esto es una Demostración ? Es decir, es para ti creíble que: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 ........ = 1/3 Esta NO es una demostración, sino una muestra visual, de una entidad a demostrar.
Primera Quincena Noviembre—2011
Año 1, Ejemplar 2
Edithorial: Empecemos por lo + básico, comencemos por las sumas. Destacamos: > EditHorial.
B i f ur c a ci o n e s e n el A u l a (o el al et e o d e u n a m ari p o sa ).
Gascón con su sentido de complejidad, nos habla de desarrollo no lineal, de multiplicidad de alternativas al interior de cualquier caos-con sentido, en la senda de la necesidad de recuperar la sensibilidad frente a desarrollos alternativos al quehacer matemático planteado por los educadores. El concepto de “bifurcación” (Gascón) nos alerta que un obstáculo epistemológico consiste precisamente en ser origen de una bifurcación en el desarrollo de las matemáticas. A la visión de Gascón subyace el convencimiento de que el aprendizaje es procesoproducto intrínsecamente inestable, frente a irregularidades en los estímulos a pequeña escala. Esta es la noción de que el aleteo de una mariposa en la esquina de una sala puede conducir a una tormenta en los andamiajes cognitivos de los educandos. Si se analizan los procesos de cognición bajo el anterior marco, necesariamente se debe considerar al aprendizaje como una mezcla de determinismo y aleatoriedad. No obstante ello, los educadores parecieran actuar bajo un convencimiento determinista, buscando la producción de una trayectoria previsible a partir de los estímulos diseñados. Dada la estructura aleatoria de funcionamiento neuronal, el aprendizaje –esa mezcla de determinismo y aleatoriedad- es en sí mismo un sistema caótico y por tanto susceptible de abrirse a multinodales bifurcaciones. Algunas de estas bifurcaciones pueden ser un ‘disclosing’ a nuevos conocimientos. (Sigue a la vuelta)
> Bifurcaciones. > Suma de Gauss. > Otras Sumas : (Suma en Tablero de Ajedrez) La Genialidad de Gauss: Un educador -en Básica- intenta desmarcarse de sus educandos, quizás para leer el diario o tal vez para corregir pruebas. Se le ocurre ponerlos a sumar los números del 1 al 100 (una gran y larga tarea). Pero no contaba con que entre los chicos y chicas estaba Gauss. Gauss se paró de su asiento a los pocos minutos—mientras sus compañeros se debatían– y entregó la respuesta correcta. Vea Ud. su suma.
Continuación …. Bifurcaciones en el Aula …. Al abordar los obstáculos matemáticos, desde la perspectiva de las bifurcaciones, acude el sentido de crisis desde la mirada oriental. En muchas oportunidades en la historia de las matemáticas, la represión sobre el desarrollo de bifurcaciones no ortodoxas llevó a retrasar la ampliación hacia otras áreas más tarde ortodoxas, piénsese por ejemplo lo sucedido con Riemann y Lobatcheski y sus concepciones alejadas del canon geométrico euclideano. Podría ser que en las aulas, pudieran esconderse sujetos que abran bifurcaciones creativas en este estilo, o al menos, que la imposición de normas protocolares rígidas escondan otras alternativas igualmente válidas para el desarrollo de las matemáticas. En el aula, debemos enfrentar los procesos de los educandos como espacios con posibilidad de que en ellos se desarrollen “bifurcaciones de pseudo-obstáculo” en la línea de se puedan desarrollar alternativas protocolares respecto de la norma estadística o incluso –parrafraseando a Rouche en Díaz (2002)- canteras de un conocimiento nuevo. (Tomado de la Pre-Tesis: Obstáculos Epistemológicos
en el continuo Cognición-Cultura en el aula matemática,. Autor: Claudio Escobar Cácere) Leyenda sobre la invención del Ajdrez .....
"Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreir sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa:¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!" (Tomado de la Red Educacional Mexicana).
¿ Podrías averiguar por qué es imposible pagar el premio? En la imagen, NO están marcados todos los números -de granos de trigo- en sus casilleros .... sólo los primeros y el último .... Nos interesa calcular el valor de la SUMA siguiente:
El número anterior es MUY grande, imposible de poner en granos de trigo …..
Utilizando algunos trucos y usando subíndices tendremos:
2da Quincena Nov. 2011
Revista pa’ matemátic@s y otr@s mentiros@s
Año 1, Ejemplar 3
Edithorial: “Compútame, compútame, computadora, compútame a la chica que está de moda …” (Cumbia Popular en Chile) > Autómata Celular. > Máquina de Turing.
Analizamos un juego muy simple para crear una simulación de un comportamiento social o biológico mediante un modelo matemático sencillo. El "Juego de Vida" es un juego solitario diseñado por el matemático británico, John Horton Conway. Es un "juegos de simulación", denominación que reciben por remedar procesos de la vida real. En particular, el juego que nos ocupa tiene una gran semejanza con los procesos que determinan el surgimiento, decadencia y alteraciones que experimentan las sociedades de seres vivos.
> Juego de la Vida. Reglas simples pero potentes, estructura sin ambigüedades, baja complejidad (lenguaje menos complejo que el que usamos a diario) y sin embargo erramos ….
Reglas del juego de la vida: El "mundo" del juego es una retícula (teóricamente infinita) en la que cada una de las casillas puede albergar o no a un cierto individuo u organismo vivo. Cada una de las casillas de la retícula está rodeada por otras 8 casillas que forman lo que denominaremos "vecindad".
Reglas Concretas de Juego
El jugador selecciona a su gusto una configuración inicial, es decir, distribuye como quiera a los individuos que componen la llamada generación inicial o generación 0. Esta población evoluciona de acuerdo con unas reglas establecidas. El objetivo del juego consiste en observar esa evolución. Sea cual sea la configuración inicial, la evolución conducirá a la población a uno de los tres estados siguientes: EXTINCIÓN: al cabo de un número finito de generaciones desaparecen todos los miembros de la población. ESTABILIZACIÓN: al cabo de un número finito de generaciones la población queda estabilizada, bien de forma rígida e inamovible, bien de forma oscilante entre dos o más formas. VARIACIÓN CONSTANTE: en esta situación la población crece indefinidamente o no sigue ninguna pauta establecida con claridad. A primera vista puede parecer insulso, llegará a fascinar al usuario con toda seguridad pues puede convertirse en punto de partida o medio de experimentación de los problemas científicos más candentes.
El juego de la vida es el mejor ejemplo de un Autómata Celular, diseñado por Conway en 1970. Un autómata celular es un modelo matemático para un sistema dinámico que evoluciona en pasos discretos. Sirve para modelar sistemas de elementos simples que interaccionan localmente unos con otros. John Von Newmans los descubrió hacia 1950, en el campo de la física computacional, cuestión que compiló en su libro: “Theory of Self-Reproducing Autómata”.
¿ Qué es un Autómata Celular ?
Un caso a resolver
Una máquina de Turing Universal, que es una precursora ideal de computador moderno, admite programas que consisten en sucesiones de bits en una de las posiciones 0,1. Una vez que un programa ha sido reconocido por la máquina, esta empieza su proceso pudiendo ocurrir que en un número finito de pasos se genere una respuesta. Aunque también puede suceder lo contrario y que el programa nunca se detenga. Este es el famoso “problema de la parada” …. Es decir, con un lenguaje poco ambiguo, podemos crear un loop que no se detenga …. La máquina de Turing fue creada mediante “experimentos mentales” en los años 30 y a principios de los 40, por un pequeño grupo de lógicos matemáticos (Gödel, Turing, Post entre otros). La máquina de Turing es un dispositivo DETERMINISTA como cualquier máquina ordinaria que hace lo que le indica un ALGORITMO (secuencia de pasos). No obstante puede abordar una gran variedad de tareas bajo su lenguaje simple y desambiguado.
RUDIMENTOS COMPUTACION La máquina de Turing es un modelo computacional que realiza una lectura/escritura –mediante un cabezal- de manera automática sobre una entrada llamada cinta (teóricamente infinita), generando
una salida en esta misma.
Imagen Máquina de Turing
Jugar Juego de la Vida en Línea: Para jugar en línea: http://www.math.com/students/wonders/life/ life.html#help Recomendaciones: 1) En la ventana: Play Life now, apretar boton Play Life 2) En el menu de arriba, poner en ZOOM el número 4, (mejor visual) 3) Dibujar con el Mouse, haciendo Click en el cuadrado que uno quiera, la configuración que uno desee. 4) Stop es para parar; Clear es para limpiar la pantalla de juego. Les recomiendo dibujar Pi, totalmente simétrico ,,,,,, se estabiliza en forma simétrica !!!!!
Las operaciones que se pueden realizar en esta máquina se limitan a 2 operaciones MUY simples: 1) Avanzar el cabezal lector/escritor hacia la derecha; 2) Avanzar el cabezal lector/escritor hacia la izquierda. Este modelo está formado por un alfabeto de entrada y uno de salida, un símbolo especial llamado blanco (normalmente 0), un conjunto de estados finitos y un conjunto de transiciones entre dichos estados. Su funcionamiento se basa en una función de transición, que recibe un estado inicial y una cadena de caracteres (la cinta, la cual puede ser infinita) pertenecientes al alfabeto de entrada. La máquina va leyendo una celda de la cinta en cada paso, borrando el símbolo en el que se encuentra posicionado su cabezal y escribiendo un nuevo símbolo perteneciente al alfabeto de salida, para luego desplazar el cabezal a la izquierda o a la derecha (solo una celda a la vez). Esto se repite según se indique en la función de transición, para finalmente detenerse en un estado final o de aceptación, representando así la salida. Máquina de Turing Edhitorial 2: ¿Qué son las matemáticas (y la computación) sino procesos de desambiguación del lenguaje? Es decir, un proceso (avances/retrocesos) para lograr el "una rosa es una rosa" .... Es increíble que a la base de la computación estén órdenes como movernos "un espacio (y sólo eso) hacia la izquierda o la derecha” .... llevada a extremo podría ser el encendido (1) o el apagado (0) de un led, en este lenguaje binario primario de señales 1 y 0. Muchos historiadores consideran que Turing es el padre de la informática moderna, pues en su obra "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungs Problem" -de 1936- demostró que sus máquinas, podían resolver cualquier problema matemático que se representara con un algoritmo. Las máquinas de Turing ayudaron a vislumbrar cuáles eran los alcances del cálculo …. NOTA(OFT): Para vergüenza de lo humano, Turing fue asediado – hasta la muerte- inclementemente por su orientación sexual …. Los matemáticos –también- luchamos por la DIVERSIDAD y su dignidad.
Tal como en el Juego de la Vida, en computación las órdenes son muy básicas, lo menos ambiguas posibles ….
A pesar de lo básico que es el Juego de la VIDA, ¿ Pudiste resolver el estado final, tal como se describe en esta imagen ?
Edhitorial: Las Matemáticas pueden (deben?) ser divertidas ….
Volumen 1, Ejemplar 4 1ra. Quincena Dic. 2011
Revista pa’matematic@s y otr@s mentiros@s ….
> Desafío Matemático. > Humor Matemático.
> Curiosidades ….
Curiosidades
Buscando el Aula Poética
Respuesta Al Reverso
Un físico, un ingeniero y un matemático van en un tren por el sur de Chile, al observar por la ventana ven una oveja negra. - Ahh, dice el físico, "veo que las ovejas chilenas son negras".Mmm..., dice el ingeniero, "querrás decir que algunas ovejas chilenas son negras". - No, dice el matemático: "todo lo que sabemos es que existe al menos una oveja en Chile, y que por lo menos uno de sus lados es negro". (¿risas?)
DESAFIO MATEMATICO
Humor Matemático Para Niñas y Niños
Un matemático estaba hablando con unos amigos y les dijo que él podría demostrar lo que le diese la gana si le dejasen aceptar como cierto que 1+1=1. Uno de sus amigos le dijo "de acuerdo, supón que 1+1=1 y demuestra que eres el Papa". A lo cual el matemático contestó: "Mira, yo soy una persona, y el Papa también es una persona; juntos, somos 1+1 personas, o sea, una persona, luego tenemos que ser la misma."
... " La sociedad balinesa es como una matriz matemática, una malla invisible de almas, objetivos, caminos y costumbres. Todo balinés sabe perfectamente el lugar que ocupa en este enorme mapa intangible. Basta con fijarse en los cuatro nombres que comparten casi todos los ciudadanos balineses -Primero, Segundo, Tercero, Cuarto-, recordándoles el puesto que les corresponde en la familia a la que pertenecen. Es algo así como diseñar un mapa social y llamar a tus hijos Norte, Sur, Este y Oeste. Mario, mi amigo indonesio, me dice que sólo es feliz si logra mantenerse en la intersección entre una linea vertical y una linea horizontal, en un estado de perfecto equilibrio... "(Elizabeth Gilbert)
“La Poesía es otra forma de las matemáticas …”
> Matemáticas XXX
Matemáticas para ADULTOS
Erotismo Según Se Muestra En esta Resolución Las áreas Del Triángulo Celeste y la Lúnula verde Son Iguales ….
y Matemáticas .... "Su pubis era un triángulo isósceles invertido cuya punta se perdía entre las piernas, sugerente como una guitarra enmudecida. Era un triángulo que excitaba …. que incitaba a rebeliones, que movilizaba a los muertos, que engendraba el valor de los cobardes, que sofocaba tempestades, qué carajo …. que sabía leer y escribir, que entendía todos los idiomas del mundo, una maravilla."
"El cielo con las manos", Puro Erotismo, Mempo Giardinelli
ImágenesMATEMATOEróticas
“Las matemáticas tienen mucho de sensualidad “
Increíble …. La imagen de al lado corresponde a una colección –en la WEB— de imágenes “eróticas” creadas con algoritmos matemáticos ….
http://www.scribbletronics.com/image/eros-ex-mathematica/
Año 1, Ejemplar 5
Por qué son iguales un gato y un triángulo rectángulo? El gato persigue al ratón. El ratón se come el queso. El queso se hace de la leche. La leche la da la vaca. La vaca es una res. Res en catalán significa nada. El que nada no se ahoga. El que no se ahoga flota. La flota es una escuadra. Y la escuadra es una triángulo rectángulo. (en dónde se produce la falacia?) Falacia de Equiparación, producto de equiparar significados distintos de términos involucrados.
Campana de Gauss Invertida
DIVERTIMENTOS -Mates
Aleph 5—Segunda Quincena Dic., 2011
CURIOSIDADES MATEMATICAS ….
> Siguen los Divertimentos … > Qué es un Trianpen > Navja de Okham > Matemagia (Paenza)
La navaja de Occam (navaja de Ockham o principio de economía o de parsimonia) hace referencia a un tipo de razonamiento basado en una premisa muy simple: en igualdad de condiciones la solución más sencilla es probablemente la correcta. El postulado es entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem, o «no ha de presumirse la existencia de más cosas que las absolutamente necesarias». (Wikipedia) (En torno al Principio de Parsimonia, también conocido como Navaja de Ockham)
TRIANPEN
Un TRIANPEN es el pololeo entre un Triángulo y un Pentágono (risas …) … (aplausos…). Bueno, algo de ello hay de cierto, si te fijas: Trian-Pen es una contracción de la suma de las palabras Triángulo y Pentágono.
La pregunta por el TRIANPEN proviene de una evaluación internacional de matemáticas y tras ella está el concepto de la “Navaja de Okham” o “Principio de Parsimonia”. Este principio dice que: “cuando dos teorías en igualdad de condiciones tienen las mismas consecuencias, la teoría más simple tiene más probabilidades de ser correcta que la compleja”, idea inspiradora que se ha utilizado en torno a este juego del TRIANPEN, en la búsqueda de una definición lo más económica posible, en el sentido de que la explicación más simple y suficiente, es probablemente la más correcta. Veamos: Una (Primera) definición del TRIANPEN pudo haber sido: 1) Un TRIANPEN incluye un Triángulo. 2) Un TRIANPEN incluye un Pentágono. 3) El Triángulo y el Pentágono puede cortarse en varios puntos. 4) El Triángulo y el Pentágono pueden tocarse en un punto. Aplicando el Principio de Parsimonia, podríamos economizar en una (Segunda) definición: 1) Un TRIANPEN incluye un Triángulo. 2) Un TRIANPEN incluye un Pentágono. 3) El Triángulo y el Pentágono tienen AL MENOS un punto en común. Vemos fácilmente que la proposición 3) de la (Segunda) definición sustituye a la tercera y cuarta proposición de la (Primera) de las dos definiciones. Yo que soy profundamente verborreico, entiendo los beneficios para la comunicación que vienen aparejados con el Principio de Parsimonia. ¿Y si los políticos utilizaran el principio de Parsimonia?
MATEMÁGICAS
Nadie lo tomó MUY en serio. Hubo apenas una respuesta formalmente correcta. Mis hijos se acercaron bastante y fueron felices cuando entendieron la respuesta y su trasfondo científico. La mejor respuesta de todas decía algo así como:
La idea es atentar contra la intuición, y hasta llegar a adjudicarle -al mago– recursos sobrenaturales. En la última década, magos y matemáticos se empeñan en crear una nueva generación de “matemágicos” y seducir a una buena parte de la población que ve a la matemática árida. En la Revista Página/abr-jul. del 2008 apareció la siguiente matemagia, por Adrián Paenza, matemático argentino: El mago tiene un mazo de cartas españolas, como las que sirven para jugar a la escoba. Por lo tanto, están excluidos los números 8 y los números 9. De hecho, el número 12 (el rey) vale 10 puntos, el número 11 (el caballo) vale 9 puntos y el número 10 (la sota) vale 8 puntos. El resto de las cartas valen lo que indica su número. Por último, para fijar las ideas, los cuatro palos de las cartas son: oros, espadas, copas y bastos. En total, son cuarenta cartas. El mago ofrece a una persona que elija una carta cualquiera, sin que él (el mago) pueda verla. Y le pide que haga las siguientes operaciones: a) Multiplique por 2 el número de la carta. b) Al resultado, súmele 1. c) Al nuevo resultado, multiplíquelo por 5. d) Para terminar, si la carta que había elegido es de oros, súmele 4. Si es de espadas, súmele 3. Si es de bastos, súmele 2, y si es de copas, súmele 1. Con esos datos, el mago le pide a la persona que le diga qué número le dio. La respuesta que obtiene es: 39. El mago piensa replica: “Entonces, la carta que usted eligió originalmente era el 3 de oros”. ¿Cómo hizo?
http://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2011/01/desafio-matemagicas-por-adrian-paenza.html (Respuesta Magia Paenza)