Mattetankar åk 4-6-första häftet by Natur och Kultur

TANKAR I ngrid

Margareta

Illustrationer: Michael P Gustafsson och Åsa Gustafsson/ Grafisk form: KariDesign

MatTE

MatteTankar är en serie häften kring matematikundervisning. Här lyfter vi fram viktiga områden som vi tycker behöver belysas och diskuteras. Du kan läsa mer om varje område i vårt läromedel MatteEldorado för FK– åk 6 och på www.nok.se/eldorado.

om decimalsystemet. Det gäller att eleverna utvecklar kunskaper och förståelse som håller för fortsatt lärande!

Natur & Kultur Box 27 323, 102 54 Stockholm info@nok.se Tel: 08-453 86 00 Fax: 08-453 87 90 www.nok.se

0,7 + 0,8 ÄR NTE 0,15

FAKTA OM OSS: Vi har arbetat många år inom hela grundskolan både som klasslärare och speciallärare, och sedan med matematikdidaktik i lärarutbildning och fortbildning. Vi vet hur viktigt det är att eleverna får en bra grund i matematik för att lyckas högre upp. Med MatteTankar och MatteEldorado vill vi ge både inspiration och ett konkret undervisningsverktyg.

ISBN 27-42635-1

sätter vi fokus på undervisning

TANKAR Ingrid Olsson Margareta Forsbäck

Med MatteTankar vill vi få lärare, föräldrar och elever att reflektera över vad som är viktiga kunskaper i matematik. Vi vill undanröja hinder och bana väg för en matematikundervisning som hjälper eleverna att utveckla kunskaper som håller för fortsatt lärande.

DETTA HÄFTE

MatTE

0,7 + 0,8 ÄR NTE 0,15 Det är när eleverna möter decimaltal, som det avslöjas om de har förstått positionssystemet med heltal. Tyvärr har många elever hittills ”klarat sig” med att endast veta vilken siffra i t ex talet 485 som visar ental, tiotal respektive hundratal, men enbart den kunskapen om positionssystemet håller inte för fortsatt lärande. Varför skrivs summan av 39 och 1 som 40? Eleverna ska kunna förklara att om det tillkommer ett ental så blir det 10 ental och så fort vi får en tiogrupp i vårt tiobassystem så växlas den till 1 tiotal som adderas med de tidigare 3 tiotalen och det är då 4 tiotal som skrivs 40. Gruppering är lösningen på alla varianter av talsystem och vi vet att olika kulturer valde olika grupperingar som 20- grupper, 60-grupper och 10-grupper ett två tre fyra fem sex sju åtta nio som vårt tiobassystem. tio tiotio- tio- tiotio- tiotio- tiotioett två tre fyra fem sex sju åtta nio Vår räkneramsa är inte två- två- två- två- tvåtvå- två- två- två- tvåtio tiotio- tio- tiotio- tiotio- tiotioett två tre fyra fem sex sju åtta nio konsekvent mellan 10 och 30. tre- tre- tre- tre- osv ... tretio tiotio- tiotioDen borde ha sett ut så här: ett

två

tre

Vanliga missuppfattningar att förebygga: Att heltal och delar behandlas var för sig. T ex felsvar som 1,7 + 2,8 = 3,15. Räknar heltal för sig och delar för sig. 7 + 8 = 15 men 0,7 + 0,8 = 7 tiondelar + 8 tiondelar = 15 tiondelar = 1,5 Att delarna tolkas på samma sätt som heltalen. T ex 0,14 > 0,6 Jämför 14 och 6 på samma sätt som h eltalen till vänster om decimaltecknet. 14 > 6 men 0,14 < 0,6 14 hundradelar < 60 hundradelar

nio

Kunskap som gäller endast vid heltal

Kunskap som håller även vid decimaltal

403 Jämn kant till höger - 782

403,1 Varje talsort - 7,82 under varandra.

10 · 8 = Lägg på en nolla

MEN 10 · 0,08 Vid multiplikation med 10 blir värdet av varje siffra 10 gånger större. Varje siffra flyttar en position åt vänster. Hundradelar blir tiondelar och ental blir tiotal.

3 · 90 = 3 · 9 och en nolla

3 · 90 = 3 · 9 tiotal = 27 tiotal = 270

3 · 0,9 = 3 · 9 tiondelar = 27 tiondelar = 2,7

Man kan på en minut visa eleverna hur de ska multiplicera heltal med 10 och 100 genom att lägga på en nolla respektive två nollor till talet. Eleverna får rätt på uppgifterna och alla är nöjda, men vad kan de egentligen? Och vad händer Eleverna behöver en kvalitet sedan? Den kvalitet som behövs på ett på sina kunskaper som håller begrepp avgörs av hur det ska användas att bygga vidare på! senare. Begreppet måste hålla för att generaliseras och användas i andra talområden som vid decimaltal i exemplet ovan. För att utveckla den kvaliteten räcker det inte att eleverna räknar en mängd likadana uppgifter. De måste möta undervisning och aktiviteter där de olika aspekterna av begreppet kommer fram och där vanliga missuppfattningar synliggörs. 3

två

tre

nio

Kunskap som gäller endast vid heltal

Kunskap som håller även vid decimaltal

403 Jämn kant till höger - 782

403,1 Varje talsort - 7,82 under varandra.

10 · 8 = Lägg på en nolla

MEN 10 · 0,08 Vid multiplikation med 10 blir värdet av varje siffra 10 gånger större. Varje siffra flyttar en position åt vänster. Hundradelar blir tiondelar och ental blir tiotal.

3 · 90 = 3 · 9 och en nolla

3 · 90 = 3 · 9 tiotal = 27 tiotal = 270

3 · 0,9 = 3 · 9 tiondelar = 27 tiondelar = 2,7

Du har fått praktikjobb på två bagerier där du utifrån en beställningslista ska plocka ihop förpackningar för leverans. Gobullens bageri

Tians bageri

Ditt jobb är att till varje beställning plocka ihop så få förpackningar som möjligt. Jimmy på Gobullens bageri har hittat på ett system för att se hur många förpackningar av de fyra olika sorterna det ska vara till varje leverans. Du ska använda Jimmys system. Fyll i så att det stämmer.

Här ska du också plocka ihop så få förpackningar som möjligt till varje beställning, men här finns bara två olika förpackningar. Karin på Tians bageri har ett annat system som du ska använda. Fyll i så att det stämmer.

Jimmy önskar att bageriet köper in en ännu större förpackning än för 27 bullar. Hur många bullar ska den innehålla?

Karin önskar också en större förpackning än 10 vid stora beställningar. Hur många bullar ska den innehålla?

Vilket bageri vill du helst jobba på? Varför?

Du har fått praktikjobb på två bagerier där du utifrån en beställningslista ska plocka ihop förpackningar för leverans. Gobullens bageri

Tians bageri

Jimmy önskar att bageriet köper in en ännu större förpackning än för 27 bullar. Hur många bullar ska den innehålla?

Karin önskar också en större förpackning än 10 vid stora beställningar. Hur många bullar ska den innehålla?

Vilket bageri vill du helst jobba på? Varför?

När vi själva räknar i andra baser, som 3-bas i Gobullens bageri, kan vi notera var vi vuxna behöver tänka till. Det är precis där som eleverna behöver tänka för att hantera vårt tiobassystem. Det är lätt att inse att i Tians bageri skulle en förpackning med 100 bullar passa, eftersom varje position åt vänster ska vara tio gånger större än den innan. I Gobullens bageri däremot blir positionerna tre gånger större och en större förpackning med 81 bullar passar det trebas-systemet.

Eleverna måste förstå att stora mängder måste delas in i g rupper med samma antal i varje grupp och sedan måste flera sådana grupper kunna slås samman till en ny grupp, och sådana grupper slås samman till en ännu större grupp – jämför bullförpackningarna. Eleverna måste få möta dessa tiogrupper och förstå systemet och att de tio siffrorna 0 – 9 räcker till för att beteckna alla tal genom att positionerna har olika värden. 10 gånger högre värde när man går åt vänster och 10 gånger mindre när man går åt höger. De måste också kunna generalisera detta och inse att man kan skriva hur stora tal som helst. Allt detta är förkunskaper som eleverna behöver ha innan decimaltal introduceras. Ett sätt att ge eleverna möjlighet att uppfatta och förstå de olika delbegreppen i systemet är att följa den historiska utvecklingen och låta eleverna möta och utforska samma problem som mänskligheten en gång gjorde, t ex att gruppera stora mängder och behovet av siffran 0 när man började använda positioner.

Tiobassystem heltal

Varje talsort åt vänster är tio gånger större än den innan. Här i det egyptiska talsystemet har varje talsort en egen symbol.

100

Var en sten ligger avgör om den är värd ett, tio eller hundra. Fårorna i marken visade de olika positionerna.

Positionen avgör värdet

Så länge man räknade i fåror på marken såg man när en fåra var tom men när man började skriva talen måste man ha en symbol för att visa när en fåra var Nu behövdes nollan! Vi tänker oss att hinduerna hade en fåra även för hundradelar. T ex , tom.

Nollan betydelse Positionens

visar talet 12,32. Skriv talen i decimalform.

Siffror 77 a)

143 ,

I stället för antal stenar för varje p osition används nu en siffra för att visa antal. Positionen visar om siffran representerar ental, d) , e) , tiotal eller hundratal.

När man går åt vänster i decimalsystemet blir större för varje position. Man kan skriva hur stora tal som helst. 79 Rita fåror och stenar för talen. När man går åt höger blir värdet tio gånger 1000 100 10 1 0,1 0,01 c) 12,10 d) 3,02 a) 23,01 b) 40,35 mindre. Vad händer efter entalen? Eftersom Jämför talsorterna på var sin symmetrin med Varje talsort är sida om entalen. Du kan se Varje talsort är värdet blir tio gånger mindre måste rutan till tiotal–tiondelar, hundratal–hundradelar, tusental–tusendelar 10 gånger mindre. 10 gånger osv. större. 80 Vilka tal kan du visa om du får använda maximalt höger om entalen visa tiondelar, nästa hundra2 hela och 456 tusendelar eller 2 stenar och fåror för ental, tiondelar och hundradelar? 2 hela 4 tiondelar 5 hundradelar delar osv. Man kan skriva hur små tal som helst. och 6 tusendelar. 2 4 5 6 Talet 1,5 är lika mycket som 1,50 Visar var entalen står. Entalen är utgångspunkt 1 TALSorTEr 5 0 0 Decimaltecknet och 1,500. Decimalform: Utvecklad form: med tiondelar åt höger och tiotal till vänster. 125,34 = 100 + 20 + 5 + 0,3 + 0,04 H U N DRAT I O TA L E N TA L TIONH U N DRATA L DELAR DELAR Jämför meter med dm och km på s 9. hundradelar Ändra till samma talsort när du ska jämföra, t ex 1,5 och 1,39. Skriv 1,50 och 1,39.

Generalisering Decimaltal, generalisering med tusendelar , 78 a) , b) , c)

MILJON

H U N DRATUSENTAL

TIOTUSENTAL

E N TA L

hela

d) värdet , tio egånger ) ,

TUSENTA L

H U N DRATA L

T I O TA L

E N TA L

TIONDELAR

H U N DRADELAR

TUSENDELAR

1 000

100

0,1

0,01

0,001

Varje talsort är 10 gånger mindre.

TIONDELAR

Varje talsort är 10 gånger större.

H U N DRADELAR

tio nd 1 de elar cim al

TUSENDELAR

hun dra d 2d ecim elar ale r

tus end e 3d ecim lar ale r

Jämför när det blir en nolla till på slutet:

• Decimaltal förändras inte, 1,5 = 1,50 = 1,500 osv. BrÅKForM DEcIMALForM • Heltal blir 10 gånger större, 3 30 300 osv. Talet 2 45 kan läsas som: Talet 2,45 kan läsas på flera sätt: 100 behöver hela och fyrtiofem ENTAL TIONHUNDRA81 Tiondelar Skriv talen i utvecklad form. a ) 43,25 • två bEleverna ) 60,41 c) 25,06 kunskaper i bråk och • två hela och DELAR DELAR 131 Skriv i decimalform. hundradelar då bråk med tiondelar och hundradelar fyrtiofem hundradelar a) 3 hela och 250 tusendelar b) 55 tusendelar c) 450 hundradelar • två komma fyrtiofem b) 70 + 0,1 + 0,08 c) 8 + 0,9 + 0,03 82 Skriv talen. a) 30 + 4 + 0,01 förstå decimaltal. e) 35 tiondelar f) 2 500 • tusendelar d) 5 hela och 45 hundradelar två hela, fyra tiondelar och

speciellt för att

fem hundradelar 83 Skriv talen i decimalform. 132 Skriv och sätt ut >, < eller = i stället för rutan så att det stämmer.

b) 0,2 □ 0,02 c) 0,3 □ 0,030 b) 5 ental 9 hundradelar a) 0,4 □ 0,400 a) 8 tiotal 4 tiondelar 2 hundradelar

Det finns många fördelar med att lära ut positionssystemet

e) 3,20 □ 3,200 f) 4,20 □ 4,208 d) 1,3 □ 1,090 d) 3 tiondelar 5 hundradelar c) fyrtiofem hundradelar 133 Rita en likadan tallinje. 69 Skriv talen i både bråkform och decimalform. via den historiska utvecklingen. Rita gärna talsortsstreck.

Dessutom betonar kursplanen vikten av attb) arbeta med den historiska utvecklingen för att ge c) a) 54 a) Sätt ut talen 0,352 0,366 0,371 och 0,379. eleverna m öjlighet att ”återupptäcka” matematiken. b) Vilket tal ligger mitt emellan 0,37 och 0,38? 0,35

0,36

0,37

0,38

K A P I T E L 2  hundradelar och längdenheter

Vårt talsystem bygger på tiogrupper.

1000

Det har tagit mänskligheten lång tid att utveckla decimalsystemet och eleverna behöver tid och undervisning för att uppfatta hela systemet och utveckla förståelse. Hur kan vi hjälpa elever som inte har förkunskaperna?

Gruppering

c) Vilket tal ligger mitt emellan 0,362 och 0,364? e)

K A P I T E L 2  hundradelar och längdenheter

70 Klipp ut hundradelar. Lägg talen med ental, tiondelar och hundradelar. Rita. a) 1 hel 3 tiondelar 5 hundradelar

Jag ritar 1, 23 så här:

Tiobassystem heltal

Varje talsort åt vänster är tio gånger större än den innan. Här i det egyptiska talsystemet har varje talsort en egen symbol.

100

Var en sten ligger avgör om den är värd ett, tio eller hundra. Fårorna i marken visade de olika positionerna.

Positionen avgör värdet

Nollan betydelse Positionens

visar talet 12,32. Skriv talen i decimalform.

Siffror 77 a)

143 ,

I stället för antal stenar för varje p osition används nu en siffra för att visa antal. Positionen visar om siffran representerar ental, d) , e) , tiotal eller hundratal.

Generalisering Decimaltal, generalisering med tusendelar , 78 a) , b) , c)

MILJON

H U N DRATUSENTAL

TIOTUSENTAL

E N TA L

hela

d) värdet , tio egånger ) ,

TUSENTA L

H U N DRATA L

T I O TA L

E N TA L

TIONDELAR

H U N DRADELAR

TUSENDELAR

1 000

100

0,1

0,01

0,001

Varje talsort är 10 gånger mindre.

TIONDELAR

Varje talsort är 10 gånger större.

H U N DRADELAR

tio nd 1 de elar cim al

TUSENDELAR

hun dra d 2d ecim elar ale r

tus end e 3d ecim lar ale r

Jämför när det blir en nolla till på slutet:

speciellt för att

fem hundradelar 83 Skriv talen i decimalform. 132 Skriv och sätt ut >, < eller = i stället för rutan så att det stämmer.

b) 0,2 □ 0,02 c) 0,3 □ 0,030 b) 5 ental 9 hundradelar a) 0,4 □ 0,400 a) 8 tiotal 4 tiondelar 2 hundradelar

Det finns många fördelar med att lära ut positionssystemet

0,36

0,37

0,38

K A P I T E L 2  hundradelar och längdenheter

Vårt talsystem bygger på tiogrupper.

1000

Gruppering

c) Vilket tal ligger mitt emellan 0,362 och 0,364? e)

K A P I T E L 2  hundradelar och längdenheter

70 Klipp ut hundradelar. Lägg talen med ental, tiondelar och hundradelar. Rita. a) 1 hel 3 tiondelar 5 hundradelar

Jag ritar 1, 23 så här:

Aktiviteter med miniräknare

Mätning eller decimalsystemet som introduktion av decimaltal?

Tryck in t ex talet 342,97. Turas om att säga vad kamraten ska ändra genom att addera eller subtrahera ett tal. T ex ändra 7:an till en 1:a. Tryck in - 0,06. Ändra 3:an till en 8:a. Välj siffror så att det alltid är olika siffror i fönstret.

Ofta har decimaltal presenterats i mätsituationer som 1,5 l, 3,45 m, 3,45 cm, 2,8 kg och 9,90 kr eftersom eleverna möter detta i sin vardag. Men hur lätt är det att utifrån detta förstå uppbyggnaden av decimaltal när det ibland handlar om kg, kronor, m eller cm som i exemplen ovan. Risken är stor att elever uppfattar decimaltecknet som ett skiljetecken mellan t ex l och dl, m och cm samt kr och öre, och därför behandlar ett decimaltal som två tal med ett decimaltecken emellan, vilket är en vanlig missuppfattning. Men 0,7 + 0,8 är inte 0,15.

Träna t ex 0,4-hopp framåt: .

Tryck in t ex 7

Säg nästa tal. Tryck på = och kontrollera att det var rätt. Innan 1878 fanns i vårt land olika måttenheter i t ex längdmätning som tum, kvarter, aln, fot och famn.

Träna t ex 0,3-hopp bakåt. Tryck t ex 2

1 famn = 3 alnar 1 aln = 2 fot eller 4 kvarter 1 kvarter = 6 tum

Säg nästa tal. Tryck på = och kontrollera att det var rätt.

Tryck in t ex 381,95. Ta nu bort siffrorna en i taget med subtraktion så att det blir 0 på den positionen. Börja med den största siffran 9.

Miniräknaren är ett bra metodiskt hjälpmedel för att träna taluppfattning!

Att räkna med dessa måttenheter gav ofta besvärliga uträkningar. Under senare delen av 1800-talet kom därför förslag om att lämna detta gamla måttsystem och konstruera ett nytt utifrån decimalsystemet. I talsystemet är entalen utgångspunkt och i t ex längdmätning valdes meter som utgångspunkt. Det innebar att man bestämde en enhet 1000 ggr större än 1 meter som 1 km, kilometer = tusen meter. Enheter mindre än 1 m blev då dm (tiondels meter), cm (hundradels meter) och mm (tusendels meter).

Förståelse av decimal¯ systemet är en god hjälp vid enhetsomvandlingar.

Slutsatsen av detta är att decimaltal bör introduceras utifrån decimalsystemets uppbyggnad och då är kunskaper om bråk med tiondelar, hundradelar osv en viktig förkunskap. Sedan är mätning och enhetsomvandlingar bra för att färdighetsträna decimalsystemet och knyta an till vardagen.

Aktiviteter med miniräknare

Mätning eller decimalsystemet som introduktion av decimaltal?

Träna t ex 0,4-hopp framåt: .

Tryck in t ex 7

Säg nästa tal. Tryck på = och kontrollera att det var rätt. Innan 1878 fanns i vårt land olika måttenheter i t ex längdmätning som tum, kvarter, aln, fot och famn.

Träna t ex 0,3-hopp bakåt. Tryck t ex 2

1 famn = 3 alnar 1 aln = 2 fot eller 4 kvarter 1 kvarter = 6 tum

Säg nästa tal. Tryck på = och kontrollera att det var rätt.

Tryck in t ex 381,95. Ta nu bort siffrorna en i taget med subtraktion så att det blir 0 på den positionen. Börja med den största siffran 9.

Miniräknaren är ett bra metodiskt hjälpmedel för att träna taluppfattning!

Förståelse av decimal¯ systemet är en god hjälp vid enhetsomvandlingar.

MatTE

Det är när eleverna

I Eldorado 4–6 har vi valt att låta eleverna möta olika aktiviteter där de får möjlighet att utveckla god taluppfattning med naturliga tal och sedan rationella tal. På Utforskasidorna som inleder varje kapitel får de konkret möta t ex decimaltal, reflektera gemensamt, sätta ord på begreppen, koppla dem till tidigare kunskaper och föra matematiska resonemang. … att kunna föra ett resonemang innebär att utveckla en förståelse för att matematiska samband är konstruerade och att de därför kan ”återupptäckas” genom att man resonerar sig fram… ur Kommentarmaterial till Lgr 11 s 11. Fokus ligger på vägen fram till svaret och eleverna tränar redan från skolår 1 att bli medvetna om sitt eget lärande, vad de kan och vad de behöver hjälp med att förstå eller vad de behöver träna mer. Vi vill att elever ska få utveckla kunskaper som håller för fortsatt lärande. Du kan läsa mer om detta i lärarböckerna, där du även får förslag till hur du kan bedöma kunskapskvaliteter.

börjar med decimaltal som deras kunskaper om positionssystemet synliggörs! Undervisning är att skapa förutsättningar för elevers lärande.

Läs mer om böckerna och se smakprov på www.nok.se/eldorado.

MatTE

Det är när eleverna

börjar med decimaltal som deras kunskaper om positionssystemet synliggörs! Undervisning är att skapa förutsättningar för elevers lärande.

Läs mer om böckerna och se smakprov på www.nok.se/eldorado.

TANKAR I ngrid

Margareta

Illustrationer: Michael P Gustafsson och Åsa Gustafsson/ Grafisk form: KariDesign

MatTE

om decimalsystemet. Det gäller att eleverna utvecklar kunskaper och förståelse som håller för fortsatt lärande!

Natur & Kultur Box 27 323, 102 54 Stockholm info@nok.se Tel: 08-453 86 00 Fax: 08-453 87 90 www.nok.se

0,7 + 0,8 ÄR NTE 0,15

ISBN 27-42635-1

sätter vi fokus på undervisning

TANKAR Ingrid Olsson Margareta Forsbäck

DETTA HÄFTE

MatTE