الفصل السابع (الهندسة االحداثية) يتكون المستوي االحداثي من محورين متعامدين في نقطة تدعى نقطة األصل وهي عبارة عن الزوج المرتب )𝑂(0,0 ـــ المحور االفقي يدعى محور السينات 𝑠𝑖𝑥𝑎 𝑥 − ـــ المحور العمودي يدعى محور الصادات 𝑠𝑖𝑥𝑎 𝑦 − وكل منهما مقسم الى أجزاء متساوية في الطول تدعى الوحدات )𝑡𝑖𝑛𝑢( ويمكن تحديد موقع اية نقطة في المستوي االحداثي من خالل معرفة احداثيها السيني واحداثيها الصادي وهو ما يدعى بالزوج المرتب )𝑦 (𝑥, مالحظة /البعد (المسافة) بين نقطتين هو طول القطعة المستقيمة التي تصل بينهما المسافة (البعد) بين نقطتين: -1اذا كانت 𝐵 𝐴,تنتمي لمستقيم معلوم يوازي محور السينات حيث ) 𝐴 = (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 فأن البعد بين النقطتين 𝐵 𝐴,يمكن إيجاده حسب القانون االتي𝑨𝑩 = |𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 | : -2اذا كانت 𝐵 𝐴,تنتمي لمستقيم معلوم يوازي محور الصادات حيث ) 𝐴 = (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 فأن البعد بين النقطتين 𝐵 𝐴,يمكن إيجاده حسب القانون االتي𝑨𝑩 = |𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 | : -3اذا كانت النقطتين 𝐵 𝐴,تنتمي لمستقيم معلوم ال يوازي أي محور فان البعد بين النقطتين يمكن ايجاده حسب القانون االتي:
2
(𝑥2 − 𝑥1 )2 + 𝑦2 − 𝑦1
= 𝐵𝐴 = 𝑑
************************************
بعض تطبيقات قانون المسافة (البعد) بين نقطتين أوالً :إثبات ان النقط مثل 𝑪 𝑨 , 𝑩 ,على استقامة واحدة نتبع الخطوات االتية للحل: -1نثبت النقاط المعطاة في المستوي االحداثي. -2نطبق القانون على كل نقطتين من السؤال ونكتب الناتج بأبسط صورة. -3نتحقق من أن مجموع نقطتين اثنتين يساوي النقطة الثالثة (مجموع ثالث نقاط يساوي النقطة الرابعة). -4إذا تحققت الخطوة السابقة فالنقاط على استقامة واحدة ،وان لم تتحقق فليست على استقامة واحدة. مثال /بين ان النقاط ) 𝐴 = (−3, −2) , 𝐵 = (0,1) , 𝐶 = (3,4على استقامة واحدة الحل /أوال نثبت النقاط المعطاة في السؤال في المستوي االحداثي من الرسم البياني نالحظ ان المستقيم الذي يمر بالنقاط ال يوازي أي محور من المحورين االحداثيين ∴ 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝐴𝐵 = √(0 − (−3))2 + (1 − (−2))2 𝟐√𝟑 = = √(3)2 + (3)2 = √18 𝟐√𝟑 = 𝐵𝐶 = √(3 − 0)2 + (4 − 1)2 = √18 𝐴𝐶 = √(3 + 3)2 + (4 + 2)2 = √62 + 62 𝟐√𝟔 = = √36 + 36 = √72 𝐶𝐴 = 𝟐√𝟔 = 𝟐√𝟑 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝟑√𝟐 + ∴ النقاط على استقامة واحدة
الفصل السابع (اهلدنسة احادساية )
mohmmed Abdulbasset الصفحة 1
الثالث املتوةط
مثال /بين ان النقاط 𝐴(−2, −1), 𝐵(−1,0), 𝐶(2,3), 𝐷(4,5) :تقع على خط مستقيم واحد الحل /نالحظ من الرسم البياني ان المستقيم ال يوازي أي محور ∴ 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝐴𝐵 = √(−1 + 2)2 + (0 + 1)2 = √1 + 1 = √2 𝐵𝐶 = √(2 + 1)2 + (3 − 0)2 = √9 + 9 = √18 = 3√2 𝐷𝐶 = √(4 − 2)2 + (5 − 3)2 = √4 + 4 = √8 = 2√2 𝐴𝐷 = √(4 + 2)2 + (5 + 1)2 = √36 + 36 = √72 = 2√6 𝐷𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐷𝐶 = √2 + 3√2 + 2√2 = 6√2 ∴ النقاط 𝐷 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 ,تقع على مستقيم واحد
ثانياً :نوع المثلث من حيث أطوال أضالعه نتبع الخطوات االتية في حل السؤال عن نوع المثلث من حيث اضالعه (متساوي االضالع ،متساوي الساقين مختلف االضالع) -1نثبت النقاط المعطاة في السؤال على المستوي االحداثي. -2نجد البعد بين كل نقطتين ويكتب الناتج بأبسط صورة والذي يمثل طول ضلع المثلث. -3أ /اذا تساوت كل النواتج فهو متساوي االضالع. ب /اذا تساوى ناتجان فهو متساوي الساقين. جـ /إذا اختلفت كل النواتج فهو مختلف االضالع. مثال /بين نوع المثلث من حيث أضالعه حيث )𝐴(2,4) , 𝐵(−4,2) , 𝐶(−1, −2 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 الحل / 𝐴𝐵 = √(−4 − 2)2 + (2 − 4)2 = √(−6)2 + (2)2 = √36 + 4 = √40 = 2√10 𝐵𝐶 = √(−1 + 4)2 + (−2 − 2)2 = √32 + (−4)2 = √9 + 16 = √25 =5 𝐴𝐶 = √(−1 − 2)2 + (−2 − 4)2 = √(−3)2 + (−6)2 = √9 + 36 = √45 = 3√5 الحظ هنا𝐴𝐵 ≠ 𝐴𝐶 ≠ 𝐵𝐶 : ∴ مختلف االضالع
mohmmed Abdulbasset الفصل السابع (اهلدنسة احادساية )
الصفحة 2
الثالث املتوةط
โ ซู ุซุงู โ ช /โ ฌุจู ู ุงู ุงู ู ุซู ุซ ุงู ุฐู ุฑุคู ุณู )โ ช ๐ ด(3, โ 4) , ๐ ต(5, โ 2) , ๐ ถ(5, โ 6โ ฌู ุชุณุงู ู ุงู ุณุงู ู ู โ ฌ โ ซโ ช๐ = โ (๐ ฅ2 โ ๐ ฅ1 )2 + (๐ ฆ2 โ ๐ ฆ1 )2โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ด๐ ต = โ (5 โ 3)2 + (โ 2 + 4)2 = โ 4 + 4โ ฌโ ฌ โ ซโ ช= 2โ 2โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ต๐ ถ = โ (5 โ 5)2 + (โ 6 + 2)2 = โ 0 + 16โ ฌโ ฌ โ ซโ ช=4โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ด๐ ถ = โ (5 โ 3)2 + (โ 6 + 4)2 = โ 4 + 4โ ฌโ ฌ โ ซโ ช= 2โ 2โ ฌโ ฌ โ ซโ ต ๐ ถ๐ ด = ๐ ต๐ ดโ ฌ โ ซโ ด ุงู ู ุซู ุซ ๐ ถ๐ ต๐ ด ู ุชุณุงู ู ุงู ุณุงู ู ู โ ฌ
โ ซุซุงู ุซุงู โ ช :โ ฌุงุฎุชุจุงุฑ ุงู ู ุซู ุซ ุงู ู ุงุฆู ุงู ุฒุงู ู ุฉโ ฌ โ ซู ุชุจุน ุงู ุฎุทู ุงุช ุงุงู ุชู ุฉโ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช -1โ ฌู ุซุจุช ุงู ู ู ุงุท ุงู ู ุนุทุงุฉ ู ู ุงู ุณุคุงู ุนู ู ุงู ู ุณุชู ู ุงุงู ุญุฏุงุซู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช -2โ ฌู ุฌุฏ ุงุทู ุงู ุงุถุงู ุน ุงู ู ุซู ุซ (ุงู ุจุนุฏ ุจู ู ู ู ุทุชู ุงู ุถู ุน) ู ู ู ุชุจ ุงู ู ุงุชุฌ ุจุฃุจุณุท ุตู ุฑุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช -3โ ฌู ุชุญู ู ู ู ุงู ู ุฑุจุน ุงุญุฏ ุงู ุถู ุนู ู ู ุณุงู ู ู ุฌู ู ุน ู ุฑุจุนู ุงู ุถู ุนู ู ุงุงู ุฎุฑู ู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช -4โ ฌุงุฐุง ุชุญู ู ุงู ุดุฑุท ุงู ุณุงุจู (ู ุจุฑู ู ุฉ ู ู ุซุงุบู ุฑุณ) ู ุงู ู ุซู ุซ ู ุงุฆู ุงู ุฒุงู ู ุฉ ู ู ุงู ู ู ู ุชุญู ู ู ู ู ุบู ุฑ ู ุงุฆู ุงู ุฒุงู ู ุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุซุงู โ ช /โ ฌุจู ู ุงู ุงู ู ุซู ุซ ุงู ุฐู ุฑุคู ุณู )โ ช ๐ ด(โ 2, โ 2) , ๐ ต(3,4) , ๐ ถ(3, โ 2โ ฌู ุงุฆู ุงู ุฒุงู ู ุฉโ ฌ โ ซโ ช๐ = โ (๐ ฅ2 โ ๐ ฅ1 )2 + (๐ ฆ2 โ ๐ ฆ1 )2โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ด๐ ต = โ (3 + 2)2 + (4 + 2)2 = โ 25 + 36โ ฌโ ฌ โ ซโ ช= โ 61โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ต๐ ถ = โ (3 โ 3)2 + (โ 2 โ 4)2 = โ 0 + 36โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=6โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ด๐ ถ = โ (3 + 2)2 + (โ 2 + 2)2 = โ 25 + 0โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=5โ ฌโ ฌ โ ซโ ช2โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 61 = (5)2 + (6)2โ ฌโ ฌ โ ซโ ช61 = 25 + 36โ ฌโ ฌ โ ซโ ช(๐ ด๐ ต)2 = (๐ ด๐ ถ )2 + (๐ ต๐ ถ )2โ ฌโ ฌ โ ซโ ด ุงู ู ุซู ุซ ๐ ถ๐ ต๐ ด ู ุงุฆู ุงู ุฒุงู ู ุฉ ู ู ๐ ถโ ฌ โ ซุฑุงุจุนุงู โ ช :โ ฌุชุทุจู ู ุงุช ุฃุฎุฑู โ ฌ
โ ซโ ชmohmmed Abdulbassetโ ฌโ ฌ
โ ซู ุชุจุน ุงู ุฎุทู ุงุช ุงุงู ุชู ุฉ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช -1โ ฌู ุซุจุช ุงู ู ู ุงุท ุงู ู ุนุทุงุฉ ู ู ุงู ุณุคุงู ุนู ู ุงู ู ุณุชู ู ุงุงู ุญุฏุงุซู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช -2โ ฌู ุฌุฏ ุงุทู ุงู ุงู ู ุทุน ุงู ู ุณุชู ู ู ุฉ (ุงุถุงู ุน โ ช ุ โ ฌุงู ุตุงู ุงู ุทุงุฑ ุฏุงุฆุฑุฉ) ู ู ู ุชุจ ุงู ู ุงุชุฌ ุจุฃุจุณุท ุตู ุฑุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุจ ู ู ุงู ุณุคุงู ู ุชู ุงุฒู ุงุถุงู ุน ู ุฌุจ ุงู ู ุชุณุงู ู ู ู ุถู ุนุงู ู ุชู ุงุจุงู ู โ ฌ โ ซโ ช -3โ ฌู ุชุญู ู ู ู ู ุง ุญุณุจ ุงู ู ุทู ู ุจ โ ช ุ โ ฌู ู ุซุงู ู ุงุฐุง ุท ู โ ฌ โ ซู ุจ ู ู ุงู ุณุคุงู ุฑุณู ุฏุงุฆุฑุฉ ุชู ุฑ ุจู ู ุงุท ู ุฌุจ ุงู ุชุชุณุงู ู ุงู ู ุณุงู ุฉ ุจู ู ู ู ุทุฉ ุนู ู ู ุง ู ู ู ุทุฉ ุงู ู ุฑู ุฒโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซู ุงุฐุง ุท ู โ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงู ุณุงุจุน (ุงู ู ุฏู ุณุฉ ุงุญุงุฏุณุงู ุฉ )โ ฌ
โ ซุงู ุตู ุญุฉ โ ช3โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุซุงู ุซ ุงู ู ุชู ุฉุทโ ฌ
مثال /بين ان النقط 𝐴(−2,3) , 𝐵(−1,4) , 𝐶(2, −1) , 𝐷(1, −2) :رؤوس متوازي اضالع الحل 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 / 𝐴𝐵 = √(−1 + 2)2 + (4 − 3)2 = √1 + 1 = √2 𝐷𝐶 = √(1 − 2)2 + (−2 + 1)2 = √1 + 1 = √2 𝐵𝐶 = √(2 + 1)2 + (−1 − 4)2 = √9 + 25 = √34 𝐴𝐷 = √(1 + 2)2 + (−2 − 3)2 = √9 + 25 = √34 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 = √2 نالحظ ان: 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = √34 ∵ كل ضلعان متقابالن متساويان ∴ الشكل الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي اضالع مثال /بين ان النقاط ) 𝐴(−1,1) , 𝐵(5,1) , 𝐶(2, −2تقع على دائرة مركزها ) 𝑀(2,1جد طول قطرها 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 الحل / 𝑀𝐴 = √(−1 − 2)2 + (1 − 1)2 = √9 + 0 = 3 𝑀𝐵 = √(5 − 2)2 + (1 − 1)2 √9 + 0 = 3 𝑀𝐶 = √(2 − 2)2 + (−2 − 1)2 = √0 + 9 = 3 نالحظ ان كل النواتج متساوية لذا يمكن رسم دائرة مركزها 𝑀 وتمر بالنقاط 𝐶 𝐴, 𝐵,وكل من 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶 = 3انصاف اقطار في الدائرة القطر = ضعف نصف القطر 2(3) = 6 ***************************
احداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيم في المستوي االحداثي اذا فرضنا ان )𝑦 𝑀(𝑥,هي منتصف 𝐵𝐴 حيث ) 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ), 𝐵(𝑥2 , 𝑦2فأن: )
𝟐𝒚𝒙𝟏 +𝒙𝟐 𝒚𝟏 + 𝟐
,
𝟐
(=𝑴
مثال /لتكن ) 𝐵(5,1) , 𝐴(3, −5جد 𝐶 منتصف 𝐵𝐴 الحل/
) )
8 −4 2
sset a b l Abdu
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
,
2 2 5+3 −5+1
) = (2 ,
2
,
2
(=𝑀
(=𝐶
)𝐶 = (4, −2
الفصل السابع (اهلدنسة احادساية )
الصفحة 4
med m h o m
الثالث املتوةط
3 −1
مثال /اذا كانت )
𝐶 = ( ,منتصف 𝐵𝐴 وكانت ) 𝐴(−1, −2فجد احداثي النقطة 𝐵 2
2
الحل /
) )
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
,
2 2 −1+𝑥2 −2+𝑦2
,
2
(=𝐶 3 1
( = )(2 , 2
⟹ 2(−1 + 𝑥2 ) = 6
2 −1+𝑥2
3
2
2
⟹ 2𝑥2 = 8 ⟹ 𝑥2 = 4 ) ⟹ −2 = 2(−2 + 𝑦2
= ⟹
−2+𝑦2 2
=
−1
⟹
2
⟹ 2 = 2𝑦2 ⟹ 1 = 𝑦2 )∴ 𝐵(4,1 مثال /بين ان النقاط ) 𝐴(−2,3) , 𝐵(−1,4) , 𝐶(2, −1) , 𝐷(1, −2رؤوس متوازي االضالع 𝐷𝐶𝐵𝐴 باستخدام قانون المنتصف الحل /نجد منتصف القطر 𝐶𝐴 )) = (0,1
−2+2 −1+3
,
2
(=)
2
𝑥2 +𝑥1 𝑦2 +𝑦1 2
,
2
(=𝑀
نجد منتصف القطر 𝐷𝐵 )) = (0,1
1+(−1) −2+4
,
2
(=)
2
𝑥2 +𝑥1 𝑦2 +𝑦1 2
,
2
( = 𝑀1
∴ 𝑀 = 𝑀1 الشكل 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي اضالع الن قطريه احدهما ينصف االخر مثال /لتكن ) 𝐴(4,0) , 𝐵(6, −6) , 𝐶(−8,0جد احداثي النقطة 𝐷 اذا كان الشكل 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي اضالع الحل /
)
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
,
2
(=𝑀
2
نجد منتصف القطر 𝐶𝐴 4+(−8) 0+0
)) = (−2,0
,
2
( = 𝑀1
2
mohmmed Abdulbasset
نجد منتصف القطر 𝐷𝐵 )
𝑥+6 𝑦−6 2
,
2
( = 𝑀2
قطرا متوازي االضالع احدهما ينصف االخر ∴ 𝑀1 = 𝑀2 )
𝑥+6 𝑦−6 2
,
2
( = )(−2,0
⟹ 𝑥 + 6 = −4 ⟹ 𝑥 = −10 ⟹𝑦−6=0
𝑥+6 2 𝑦−6 2
= −2 =0
⟹𝑦=6 )∴ 𝐷(−10,6
الفصل السابع (اهلدنسة احادساية )
الصفحة 5
الثالث املتوةط
تمارين )(7 − 1 س /1بين ان النقاط ) 𝐴(−2, −2) , 𝐵(2,1) , 𝐶(6,4تقع على استقامة واحدة. 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 الحل/ 𝐴𝐵 = √(2 + 2)2 + (1 + 2)2 = √16 + 9 = 5 𝐵𝐶 = √(6 − 2)2 + (4 − 1)2 = √16 + 9 = 5 𝐴𝐶 = √(6 + 2)2 + (4 + 2)2 = √64 + 36 = 10 ∵ 𝐶𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 5 + 5 = 10 ∴ النقاط 𝐶 𝐴, 𝐵,تقع على استقامة واحدة س /2هل النقاط ) 𝐴(6,8) , 𝐵(0,0) , 𝐶(0,8تقع على استقامة واحدة. 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 الحل/ 𝐴𝐵 = √(0 − 6)2 + (0 − 8)2 = √36 + 64 = 10 𝐵𝐶 = √(0 − 0)2 + (8 − 0)2 = √0 + 64 = 8 𝐴𝐶 = √(0 − 6)2 + (8 − 8)2 = √36 + 0 = 6 𝐶𝐴 ≠ 𝐶𝐵 𝐴𝐵 + النقاط 𝐶 𝐴 , 𝐵 ,ليست على استقامة واحدة س /3دائرة مركزها النقطة ) 𝑂(6,8والنقطة ) 𝐴(−3, −4تنتمي لها جد طول قطرها. 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 الحل / 𝑂𝐴 = √(−3 − 6)2 + (−4 − 8)2 = √81 + 144 = √225 = 15 القطر = ضعف نصف القطر 2(15) = 30 س /4بين نوع المثلث الذي رؤوسه )𝐴(2, −2) , 𝐵(2,1), 𝐶(6,4 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 الحل /
mohmmed Abdulbasset
𝐴𝐵 = √(2 − 2)2 + (1 + 2)2 = √0 + 9 = 3 𝐵𝐶 = √(6 − 2)2 + (4 − 1)2 = √16 + 9 = 5 𝐴𝐶 = √(6 − 2)2 + (4 + 2)2 = √16 + 36 = √52 ∴ 𝐶𝐴 ≠ 𝐶𝐵 ≠ 𝐵𝐴 المثلث 𝐶𝐵𝐴 مختلف االضالع
الفصل السابع (اهلدنسة احادساية )
الصفحة 6
الثالث املتوةط
س /5بين ان المثلث الذي رؤوسه ) 𝐴(2, −1) , 𝐵(2,1) , 𝐶(−1,1قائم الزاوية ثم جد مساحة المنطقة المثلثة. 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 الحل / 𝐴𝐵 = √(2 − 2)2 + (1 + 1)2 = √0 + 4 = 2 𝐵𝐶 = √(−1 − 2)2 + (1 − 1)2 = √9 + 0 = 3 𝐴𝐶 = √(−1 − 2)2 + (1 + 1)2 = √9 + 4 = √13 2
نالحظ ان: √13 = (3)2 + (2)2 13 = 9 + 4 2 أي أن :مبرهنة فيثاغورس متحققة (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶)2 + (𝐴𝐶)2 المثلث 𝐶𝐵𝐴 قائم الزاوية في 𝐵 1 𝐴 = (2)(3) = 3 𝑢𝑛𝑖𝑡 2 مساحة المنطقة المثلثة 2
س /6بين بطريقتين ان الشكل الذي رؤوسة ) 𝐴(−3,5) , 𝐵(2,7) , 𝐶(1,9) 𝐷(−4,7متوازي اضالع. 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 الحل/ 𝐴𝐵 = √(2 + 3)2 + (7 − 5)2 = √25 + 4 = √29 𝐷𝐶 = √(−4 − 1)2 + (7 − 9)2 = √25 + 4 = √29 𝐵𝐶 = √(1 − 2)2 + (9 − 7)2 = √1 + 4 = √5 𝐴𝐷 = √(−4 + 3)2 + (7 − 5)2 = √1 + 4 = √5 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 = √29 , 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = √5 ∵ ∴ كل ضلعان متقابالن متساويان فان الشكل الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي اضالع (خواص متوازي اضالع) يمكن اثبات الشكل الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي اضالع بإيجاد نقطة المنتصف لكل قطر الحظ الحل: )
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
(=𝑀
,
2 2 1+(−3) 9+5
)) = (−1,7
,
2 2 2−4 7+7
)) = (−1,7
,
2
2
( = 𝑀1حيث ان 𝑀1منتصف القطر 𝐶𝐴
( = 𝑀2
حيث ان 𝑀2منتصف القطر 𝐷𝐵
𝑀1 = 𝑀2 ∵ أي ان :القطران احدهما ينصف االخر فالشكل الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي اضالع (خواص متوازي اضالع) س 𝐴𝐵𝐶𝐷 /7متوازي اضالع رؤوسه ) 𝐴(1,0) , 𝐵(5,0) , 𝐶(7,3جد احداثي الرأس الرابع 𝐷 الحل /
)
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
,
2
(=𝑀
2
mohmmed Abdulbasset
نجد 𝑀1منتصف القطر 𝐶𝐴 1+7 0+3
3
)) = (4, 2
2
,
2
( = 𝑀1
لتكن 𝑀2منتصف القطر 𝐷𝐵 فان 𝑀1 = 𝑀2الن قطرا متوازي االضالع متناصفان )
5+𝑥2 0+𝑦2 2
,
⟹ 5 + 𝑥2 = 8
( = )(4,1.5
2 5+𝑥2 2
⟹ 6 = 2𝑦2
=4
⟹ 𝑥2 = 3
0+𝑦2 2
=
3 2
⟹ 𝑦2 = 3 )𝐷(3,3
الفصل السابع (اهلدنسة احادساية )
الصفحة 7
الثالث املتوةط
س /8مثلث 𝐶𝐵𝐴 رؤوسه ) 𝐴(6,4) , 𝐵(−2,6) , 𝐶(0, −4ت َ َحقق من ان طول القطعة المستقيمة الواصلة الواصلة بين منتصفي ضلعين تساوي نصف طول الضلع الثالث. الحل /نجد 𝑀1 , 𝑀2منتصفي الضلعين 𝐶𝐴 𝐴𝐵 ,ثم نجد طول القطعة المستقيمة 𝑀1 𝑀2ثم نجد طول الضلع الثالث. )
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
,
2 2 6−2 4+6
)) = (2,5 )) = (3,0
,
( = 𝑀1
2 2 6+0 4−4
,
2
(=𝑀
2
( = 𝑀2
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 𝑀1 𝑀2 = √(3 − 2)2 + (0 − 5)2 = √1 + 25 = √26 𝐵𝐶 = √(0 + 2)2 + (−4 − 6)2 = √4 + 100 = √104 1
نالحظ ان( 𝑀1 𝑀2 = 𝐵𝐶 :طول القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعي مثلث تساوي نصف 2
طول الضلع الثالث) س 𝐴𝐵𝐶 /9مثلث حيث ) 𝐴(0,10) , 𝐵(6,8) , 𝐶(−6, −8ت َ َحقق من ان طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر تساوي نصف طول الوتر. الحل /نجد 𝑀 منتصف الوتر 𝐶𝐵 ثم نجد طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر وطول الوتر. )
𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2
,
mohmmed Abdulbasset
= √4(26) = 2√26
(=𝑀
2 2 6−6 8−8
)) = (0,0
2
,
2
(=𝑀
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦2 )2 𝑀𝐴 = √(0 − 0)2 + (10 − 0)2 = √0 + 100 = 10 𝐵𝐶 = √(−6 − 6)2 + (−8 − 8)2 = √144 + 256 = √400 = 20 نالحظ ان طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر 𝐴𝑀 نساوي نصف طول الوتر 𝐶𝐵
الفصل السابع (اهلدنسة احادساية )
الصفحة 8
الثالث املتوةط