PROYECTO CLEPSIDRA.
Resolución de problemas 3º ESO
PROYECTO CLEPSIDRA
¿Preparado/a para actuar como un científico/a? Te va a encantar. En este proyecto vamos a analizar un fenómeno real y a construir un modelo matemático que nos dé una aproximación de su comportamiento, aprendiendo un montón en el camino, y, de paso, construyendo un pequeño reloj de agua. ¡Clepsidra!
En la imagen tienes una clepsidra o reloj de agua, que básicamente es…
Veamos qué nos cuenta Wikipedia sobre su historia: Las clepsidras datan de la antigüedad egipcia y se usaban especialmente durante la noche, cuando los relojes de sol perdían su utilidad. Los primeros relojes de agua consistían en una vasija de cerámica que contenía agua hasta cierto nivel, con un orificio en la base de un tamaño adecuado para asegurar la salida del líquido a una velocidad determinada y, por lo tanto, en un tiempo prefijado. El recipiente disponía en su interior de varias marcas, de tal manera que el nivel de agua indicaba los diferentes períodos, tanto diurnos como nocturnos. Los relojes de agua también se usaron por los atenienses para señalar el tiempo asignado a los oradores. Más tarde fueron introducidos con el mismo fin en los tribunales de Roma y además se usaban en las campañas militares para señalar las guardias nocturnas. El reloj de agua egipcio, más o menos modificado, siguió siendo el instrumento más eficiente para medir el tiempo durante muchos siglos.
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Aquí tenéis un ejemplo de una clepsidra egipcia:
Pues bien, imaginaos que la civilización ha caído y no tenéis forma de medir el tiempo, porque no disponemos ni de electricidad ni de baterías de ningún tipo.
Podríamos intentar construir el mecanismo de un reloj de péndulo aunque nos llevaría bastante tiempo…. Así que decidimos hacer lo que hacían los antiguos, ¡Vamos a construir una clepsidra! Primero vamos a familiarizarnos con el recipiente. En este caso hemos elegido un cilindro, aunque podríamos haber tomado un cono, como en la clepsidra de la imagen.
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ACTIVIDAD 1. VOLUMEN Y CAPACIDAD. 1. Averigua el volumen del recipiente en litros haciendo las medidas que consideres con una regla. 2. Imagina que no sabes cuánto vale PI. Demuestra que es aproximadamente 3’1 sabiendo que PI es “la longitud de una semicircunferencia de radio 1”. Puedes ayudarte de la cinta métrica. 3. Construye el desarrollo plano del cilindro bajo estudio y calcula el área lateral del cilindro. 4. ¿Qué cantidad de agua cabría en el depósito si lo llenásemos hasta los 15 cm de altura? Exprésalo en cm³ y en litros. 5. Si vaciaras 0,5 litros del envase anterior, ¿a qué altura se situaría el nivel del agua? 6. ¿Qué cantidad de agua cabe en una sección horizontal de 1 cm de alto? 7. Calcula la altura de un cilindro de radio 7 cm y volumen 3077,2 cm³. 8. Calcula el radio de un cilindro de altura 30 cm y 3,390 litros de capacidad máxima. 9. Una vez realizadas las anteriores cuestiones, comprueba experimentalmente los resultados de a, b y c.
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ACTIVIDAD 2. DENSIDADES Y PESO. Vamos a seguir estudiando nuestro cilindro. Lo primero que tenéis que hacer es pedirle al profesor que pese con la báscula vuestro cilindro. 1. Sabiendo que el depósito vacío y sin tapa pesa _____ gramos, averigua cuánto pesa un cm² del plástico usado en su construcción. Usa los cálculos de las actividades anteriores. Explica detalladamente los pasos realizados. ¿Algo que puntualizar? 2. Así pues... ¿Cuál es la fórmula del Área Total, AT, de un frasco cilíndrico sin tapa? ¿De qué variables depende? Despeja la variable “h” (altura). ¿Para qué se puede usar esa fórmula? 3. Investiga y contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Cae antes una piedra de 2 kg que una de 1 kg? b) ¿Qué influye en la velocidad de caída de un objeto? c) Si dos piedras tienen la misma forma, ¿cuál caerá antes? 4. La densidad (d=m/v) de un material es una magnitud referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen. En la práctica diaria, un objeto pequeño y pesado, como una piedra o un trozo de plomo, es más denso que un objeto grande y liviano, como un corcho o un poco de espuma. Por ejemplo, la densidad de un objeto de 14 cm³ de volumen y 45 gramos de peso es densidad=45 g/14 cm³=3,2143 g/cm³ (aprox.) • Llena el depósito de agua hasta 15 cm. • Pesa el depósito con el agua. § Peso del agua+ depósito=________________ a) Usando los datos anteriores, estima la densidad del agua. b) Busca la densidad real del agua en internet y calcula el error relativo y absoluto cometido. c) ¿Cuáles pueden ser las causas del error?
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5. Si vertemos en el depósito cierta cantidad de agua y luego introducimos un vaso de cristal, tanto el peso como el nivel de agua aumentan. a) ¿Cuál será la masa del vaso? b) ¿Cuál es su volumen? c) ¿Qué densidad tiene el vidrio con el que está hecho? d) ¿Qué relación tienen todos estos cálculos con el problema de Arquímedes y su expresión ¡eureka!? e) Completa las siguientes frases: “El cristal del vaso usado es ____ veces más denso que el agua”. “El cristal del vaso es un _____% más denso que el agua”
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ACTIVIDAD 3. TOMA DE DATOS.
1. Vamos a tomar datos sobre la clepsidra, pero antes, prepararemos el terreno: a) Decidid cuántos agujeros vais a practicar a la clepsidra para que el agua caiga en un tiempo razonable (ni demasiado lento ni demasiado rápido para poder medirlo sin dificultad). Podéis probar en la zona de laboratorio. Recuerda hacerlos juntos. Recuerda que no debe quedar ningún resto de plástico alrededor del agujero. Explicad por qué habéis elegido ese número de agujeros. b) Recortad una tira de papel milimetrado donde aparezcan claramente los centímetros de altura del cilindro. Pégala al cilindro usando celo. c) Haz una tabla de dos columnas y 19 filas, rellenando en la segunda columna los números del 18 al 1 (columna de los centímetros) y dejando libre la columna de la izquierda (columna del tiempo en segundos). 2. Con los agujeros tapados, llena el envase hasta la altura máxima (22 cm) Destapa los agujeros y deja que el agua vaya saliendo. Pon en marcha el cronómetro cuando el nivel del agua llegue a 18 cm, así evitaremos los problemas de sincronización inicial. Rellena la tabla con los datos obtenidos usando un cronómetro. a) ¿Sale el agua siempre a la misma velocidad? b) ¿De qué forma influye la altura del nivel del agua en la velocidad de salida? ¿A qué crees que es debido? c) ¿Qué relación crees que existe entre las variables “velocidad de descenso del nivel del agua (cm/s)”, “altura o nivel del agua (cm)” y “caudal de salida (cm³/s)”? Trata de explicarlo de forma cualitativa (con palabras). d) ¿Cuál es la velocidad media de caída del agua? Recuerda que la velocidad=espacio/tiempo. e) ¿A qué velocidad media desciende el nivel del agua de los 18 cm a los 17 cm? ¿Y de los 7 cm a los 6 cm? f) ¿A qué crees que se debe la diferencia de velocidades? 3. Representa en una gráfica los datos obtenidos. Dibuja también las gráficas de y=3x+21/2x+10 y=2x+21/x2+1. ¿Encuentras alguna relación entre las gráficas?
PROYECTO CLEPSIDRA. TIEMPO t (segundos)
Resoluciรณn de problemas 3ยบ ESO ALTURA h (cm) 18 cm 17 cm 16 cm 15 cm 14 cm 13 cm 12 cm 11 cm 10 cm 9 cm 8 cm 7cm 6 cm 5 cm 4 cm 3 cm 2 cm 1 cm 0 cm
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ACTIVIDAD 4. FÓRMULA DE LA CLEPSIDRA. Ha llegado la hora de elaborar nuestra primera hipótesis. ¿Qué está ocurriendo? ¿Seremos capaces de encontrar una fórmula matemática que “modele” el fenómeno y que permita estimar la altura conocido el tiempo o el tiempo conocida la altura?
¿Y si fuéramos capaces de comprender los conceptos físicos que hay detrás del fenómeno? ¿Y si fuéramos capaces de deducir la fórmula matemática que relaciona las variables en juego? A veces esto puede ser complicado... En esta temprana etapa de nuestra “vida científica” empezaremos dándole un enfoque alternativo: ¿Seremos capaces de encontrar una fórmula matemática que se ajuste a los datos obtenidos? Las alternativas son muchas: funciones afines o lineales, funciones cuadráticas, funciones racionales ...
1. Creéis que la función que describe el fenómeno puede ser lineal o afín (recta). Justifica tu respuesta observando la gráfica que has elaborado con los datos de la tabla anterior. 2. En geogebra representa las funciones y=3x+21/2x+10 y=2x+21/x2+1. Estas funciones son llamadas racionales o hipérbolas ¿Encuentras alguna relación entre las gráficas obtenidas y la gráfica que has elaborado con los datos de la clepsidra? ¿Hay algún trozo que pueda parecerse a la gráfica de la clepsidra? 3. Vamos a ajustar la gráfica de la clepsidra a una hipérbola. En general las hipérbolas tienen como ecuación y=ax+b/cx+1. Para obtener la fórmula tenemos que hallar a,b y c. Para ello seguimos los siguientes pasos: a) Escogemos tres puntos cualesquiera de tabla de la clepsidra. b) Sustituimos los valores de los puntos en la ecuación general: y=ax+b/cx+1 c) Resolvemos el sistema usando sustitución. También podemos introducir las ecuaciones en geogebra, resolver el sistema y representar la función obtenida:
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4. Representa la función en Excel, para ello realiza otra columna con los valores que toma la función obtenida. A continuación calcula el error absoluto y relativo cometido entre la función aproximada hr(t) y los datos reales h(t). Obtén su media.
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5. Repite el proceso en los apartados 3 y 4 usando esta vez una función cuadrática y=ax2+bx+c . ¿Cuál de los dos modelos crees que es mejor? ¿Con qué fórmula deberíamos quedarnos? Acabamos de estudiar y modelizar un fenómeno físico como haría un verdadero científico! Ahora solo nos queda sacar conclusiones, valorar nuestro trabajo y pensar qué podemos hacer con la fórmula obtenida. ¿Y si quisiéramos en este caso escribir una fórmula donde sea el tiempo el que dependa de la altura?