Online nascholing GeoGebra 3.2 in de derde graad
1
2009-2010
EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.1.1 Opgave 1: grafiek van exponentiële functie met grondtal a Open het GeoGebra bestand expfct.ggb of via de link Exponentiële functie. Onderzoek achtereenvolgens de grafische voorstelling van de grafiek van de exponentiële functie voor een aantal verschillende grondtallen a > 1 met a = 2, 3, 4, 5 … Maak gebruik van de schuifknop voor het wijzigen van het grondtal a. De grafiek van f(x) = f ( x) = 2 x kun jij als referentie gebruiken
Noteer hieronder jouw bevindingen: Domein van f = ……………………. Beeld van f = ……………………. In het geval van de getekende grafieken is de grafiek van de functie f stijgend indien het grondtal a gelijk is aan 2, 3, 4, 5 enz. Noteer jouw algemeen besluit: De exponentiële functie is stijgend indien het grondtal a …..
© Ivan De Winne
www.mathelo.be
1
Online nascholing GeoGebra 3.2 in de derde graad
2009-2010
Laat vervolgens ook de grafieken tekenen van de exponentiële functies met grondtal 3 1 1 1 1 1 , , , , , enz. Versleep daartoe de schuifknop tot een waarde a < 1 4 2 4 5 8 10 Merk op dat de getekende grafieken van f dalend zijn 3 1 1 1 1 1 indien het grondtal a gelijk is aan , , , , , enz. ………………… 4 2 4 5 8 10
Noteer jouw algemeen besluit: De exponentiële functie is dalend indien het grondtal …. a ….. Beantwoord ook de volgende vragen: De grafieken van deze exponentiële functies gaan allemaal door éénzelfde punt ( , ) Onderzoek ook het gedrag van f in de omgeving van min oneindig - ∞ een ook plus oneindig + ∞ Maak onderscheid tussen exponentieel stijgende en dalende functies Exponentieel stijgend indien a > …
lim a x =
Exponentieel dalend indien … < a < …
lim a x =
x →−∞
x →−∞
lim a x =
lim a x =
x →+∞
x →+∞
De exponentiële functies raken op ∞ aan de ….-as. M.a.w. exponentiële functies hebben een horizontale asymptoot met als vergelijking …………….
Onderzoek tenslotte het verband tussen de grafiek van
2x
en
( 12 ) x
Deze grafieken zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de …. Vul de volgende tabel aan: x
-2
-1
0
1
2
2x ( 12 ) x
© Ivan De Winne
www.mathelo.be
2
Online nascholing GeoGebra 3.2 in de derde graad
1.1.2
2009-2010
Opgave 2: Lineair, kwadratisch en exponentieel !
De bedoeling van deze opdracht is met GeoGebra een aantal eenvoudige grafieken te tekenen en vervolgens te onderzoeken.
Open een nieuw leeg GeoGebra bestand en activeer de assen en het rooster met de optie
Teken achtereenvolgens de grafieken van een eerstegraadsfunctie (lineair) f(x) = 2x, een tweedegraadsfunctie (kwadratisch) g(x) = x² en een exponentiële functie met grondtal 2 h(x)= 2 x Maak daartoe gebruik van het invoerveld:
Indien jij deze grafieken in een verschillende kleur wilt tekenen, dan kun jij een snelmenu openen door de grafiek te selecteren en te klikken met de rechtermuisknop.
Duid betreffende grafieken aan op de volgende tekening.
In welk punten snijden de drie grafieken elkaar en waarom ?
© Ivan De Winne
www.mathelo.be
3
Online nascholing GeoGebra 3.2 in de derde graad
2009-2010
1.1.3 Opgave 3 Logaritmische functies Open het GeoGebra bestand logfct.ggb of via de link Logaritmische functie. Onderzoek achtereenvolgens de grafische voorstelling van de grafiek van de logaritmische functie voor een aantal verschillende grondtallen a > 1 met a = 2, 3, 4, 5 … Maak gebruik van de schuifknop voor het wijzigen van het grondtal a.
Laat vervolgens ook de grafieken tekenen van de logaritmische functies met grondtal a = 3 1 1 1 1 1 , , , , , enz. Wijzig de waarde voor a met de schuifknop. 4 2 4 5 8 10 Beantwoord de volgende vragen i.v.m. deze logaritmische functies. Domein van f = ……… Beeld van f = ……… Vergelijk deze verzamelingen met het domein en beeld van de exponentiële functies. Wat constateer jij?
Algemeen besluit: De logaritmische functie is stijgend indien het grondtal a ….. De logaritmische functie is dalend indien het grondtal …. a …. De grafieken van deze logaritmische functies gaan allemaal door éénzelfde punt ( , ) © Ivan De Winne
www.mathelo.be
4
Online nascholing GeoGebra 3.2 in de derde graad
2009-2010
Is het zinvol om het gedrag van de logaritmische functies in omgeving van min oneindig te onderzoeken? Waarom (niet) ?
Onderzoek het gedrag van de logaritmische functies in omgeving van + ∞ Maak onderscheid tussen stijgende en dalende functies. Logaritmische functie is stijgend indien
Logaritmische functie is dalend indien
a>…
…< a <…
lim log( x)
x →+∞
lim log( x)
x →+∞
a
a
Onderzoek het gedrag van de grafieken van deze functies in de omgeving van 0. De …..-as is een verticale asymptoot met als vergelijking ……………….. Onderzoek tenslotte het verband tussen de grafiek van log(x,2) en log(x, 12 ) Deze grafieken zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van ….. Op de volgende tekening zie jij twee grafieken.
Bepaal het grondtal a van beide grafieken en noteer het voorschrift van de getekende logaritmische functies.
© Ivan De Winne
www.mathelo.be
5
Online nascholing GeoGebra 3.2 in de derde graad
2009-2010
1.1.4 Opgave 4 Verband tussen exponentiële en logaritmische functies Open het GeoGebra bestand verbandexplog.ggb Onderzoek tenslotte de ligging van de grafieken van bijvoorbeeld de exponentiële functie met grondtal 2 ten opzichte van de grafiek van de logaritmische functie met grondtal 2. Herhaal dit voor een aantal andere grondtallen a.
Veralgemeen jouw besluit. De grafieken van de exponentiële functie met grondtal a en de logaritmische functie met grondtal a (0<a<1 of a>1) zijn …………… ……… t.o.v …………………
1.1.5 Oefening Bepaal het voorschrift van de getekende grafieken en controleer met GeoGebra
© Ivan De Winne
www.mathelo.be
6