La Matematika in 100 schede www.matematika.it
Progetto Matematika y y=n n C
x
h
A
Q p2
p 1
R
B
p
2
r
a
r
P
h
R
C( α
,β)
Simboli e Insiemi Aritmetica Algebra Geometria piana Geometria solida Geometria analitica Logaritmi Goniometria Trigonometria
Analisi Analisi per l’università Elementi di logica Progressioni Calcolo combinatorio Probabilità Numeri complessi Grandezze fisiche Curiosità
Versione 2.2 ON LINE PUBBLICATA nel mese di febbraio 2012
< _ b x a < _
a
b
Presentazione Questa guida è una raccolta dei principali argomenti di matematica trattati nella scuola media inferiore e nella scuola media superiore e con alcuni moduli di analisi matematica per l’università. La guida è organizzata in schede compatte di facile consultazione dove lo stile essenziale, basato sulla comunicazione grafica e tabulare, non deve però trarre in inganno: questo lavoro non è una semplice raccolta di formule matematiche. Esso è il frutto di un’operazione complessa di strutturazione e sintesi che ha richiesto molti anni di ricerca. Il materiale è tuttora oggetto
di
una
continua
sperimentazione
e
di
un
conseguente
aggiornamento ed integrazione dei contenuti. Le ultime versioni delle singole schede, consultabili e stampabili ad uso esclusivamente
personale,
sono
disponibili
in
rete
all’indirizzo
www.matematika.it sotto la voce Formulario. Per eventuali suggerimenti, segnalazioni o contatti, scrivere all’indirizzo di posta elettronica: progettomatematika@gmail.com
Le icone suggerimenti ed approfondimenti sull’argomento segnalazioni e soluzioni a possibili fonti di errore suggerimenti per l’utilizzo della calcolatrice scientifica
Versione 2.2 stampata nel mese di Febbraio dell’anno 2012 Tutti i diritti sono riservati © 2000-2012 La presente guida è stata registrata: nessuna parte dell’opuscolo, immagine o testo, può essere riprodotta o utilizzata per scopi commerciali senza il consenso scritto degli autori.
Indice •
SIMBOLI, INSIEMI, INTERVALLI alfabeto greco simbologia insiemi intervalli
→ 6 → 7 → 8 → 10
» » » »
classificazione dei numeri reali criteri di divisibilità, frazioni generatrici, frazioni con lo zero proporzioni sezione aurea, percentuale, pendenza
→ → → →
»
prodotti notevoli, scomposizioni
→ 15
» » » » » » » »
radicali proprietà delle potenze equazioni di secondo grado equazioni parametriche equazioni binomie, biquadratiche, trinomie disequazioni di secondo grado equazioni irrazionali ed in valore assoluto disequazioni irrazionali
→ → → → → → → →
»
disequazioni in valore assoluto
→ 25
» » » »
•
•
•
ARITMETICA
ALGEBRA
•
26 27 28 29 49
volumi e superfici delle principali figure solide
→ 63
»
assi e punti
→ 65
» »
la retta geometria analitica in sintesi
→ 67 → 71
definizione e proprietà
→ 76
LOGARITMI GONIOMETRIA » » » » » » »
•
→ → → → →
GEOMETRIA ANALITICA
»
•
area delle principali figure piane teorema di Pitagora, primo e secondo teorema di Euclide triangoli rettangoli particolari postulati e definizioni teoremi
GEOMETRIA SOLIDA »
•
16 18 19 20 21 22 23 24
GEOMETRIA PIANA » » » » »
•
11 12 13 14
angoli: misura e conversioni funzioni goniometriche: definizioni e proprietà le relazioni fondamentali, i grafici le cinque relazioni fondamentali: dimostrazioni valori numerici delle funzioni goniometriche in alcuni angoli angoli o archi associati formule goniometriche
→ → → → → → →
77 78 79 80 81 82 83
TRIGONOMETRIA » » »
teoremi sui triangoli rettangoli teoremi sui triangoli qualsiasi formule di trigonometria © 2012 - www.matematika.it
→ 84 → 85 → 86
Indice •
•
•
ANALISI » » » » » »
elementi di topologia della retta funzioni: definizioni e tipi grafici delle funzioni elementari grafici di funzioni: trasformazioni campo di esistenza o dominio di funzioni definizione di limite
→ → → → → →
88 90 92 93 94 95
» » » » » » » »
tutte le definizioni di limite algebra e calcolo di limiti limiti notevoli definizione di funzione continua, crescenza e decrescenza di una funzione definizione dei punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti definizione di concavità, di punti di flesso, di punti angolosi e cuspidali definizione di rapporto incrementale e di derivata di una funzione derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione
→ → → → → → → →
96 97 98 99 100 101 102 103
» » » »
studio del grafico di una funzione: procedimento generale ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione integrali indefiniti immediati principali teoremi di analisi
→ → → →
104 106 107 108
ANALISI PER L’UNIVERSITA’ » »
sviluppo in serie di funzioni elementari, formula di Taylor e di Mac Laurin serie numeriche: definizione, serie notevoli, criteri di convergenza
→ 111 → 112
» » »
funzioni iperboliche: definizioni, grafici, dominio e derivate funzioni iperboliche: sviluppo in serie coordinate polari, equazioni parametriche di curve notevoli
→ 114 → 115 → 116
ELEMENTI DI LOGICA »
•
definizioni, probabilità composta e subordinata, teorema di Bayes
→ 120
numeri immaginari, numeri complessi in forma algebrica, operazioni rappresentazione grafica, forma trigonometrica ed esponenziale
→ 124 → 125
LE GRANDEZZE FISICHE le grandezze fisiche elaborazione di dati sperimentali
→ 126 → 128
» » »
altri criteri di divisibilità “ π ” le prime 2.000 cifre “ e ” il numero di Nepero le prime 2.000 cifre
→ 129 → 130 → 131
» » »
quante volte si può piegare un foglio di carta tavola pitagorica numeri primi minori di 5.000
→ 132 → 133 → 134
» »
•
fattoriale, coefficiente binomiale, permutazioni, disposizioni, combinazioni → 119
NUMERI COMPLESSI » »
•
→ 118
PROBABILITA’ »
•
progressioni aritmetiche e geometriche
CALCOLO COMBINATORIO »
•
→ 117
PROGRESSIONI »
•
definizioni, principi, operatori logici e tavole di verità, proprietà e leggi
CURIOSITA’
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Alfabeto Greco
simboli insiemi
v 1.6
minuscole
maiuscole
α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω
Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
come si legge
alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mu ni csi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega
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Simbologia
simboli insiemi
simbolo
significato
simbolo
uguale
minore
circa uguale, approssimato
valore assoluto di
diverso
maggiore
maggiore e uguale
minore e uguale più infinito
o modulo di
meno infinito
insieme vuoto
insieme dei numeri naturali insieme dei numeri interi per ogni
esiste (almeno un)
insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali
insieme dei numeri complessi tale che tale che
esiste ed è unico
incluso strettamente
non esiste
incluso
appartiene
unione
non appartiene
intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi intervallo aperto, cioè esclude gli estremi parallelo
perpendicolare
intersezione
intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra lunghezza del segmento AB vettore v
identico, coincidente
simmetria centrale di centro C
congruente
simmetria assiale di asse r
equivalente
traslazione di vettore v
rotazione di centro O e angolo α
simile
e
vero
falso
implica (se … allora)
o
doppia implicazione (se e solo se)
media aritmetica
prodotto:
somma:
probabilità di E2 condizionata a E1
scarto quadratico medio
v 2.0
significato
…
probabilità dell’evento E
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7
Insiemi
simboli insiemi
definizione
l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto
secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”
rappresentazione
per elencazione gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe
per caratteristica
grafica (o di Eulero-Venn)
si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme
si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme
2 3
1
4
operazioni tra insiemi unione
l’unione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta 3
1
2
4
2
4
3
1
3
2
5
5 4
intersezione l’intersezione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se gli insiemi non hanno elementi comuni si dicono disgiunti
3
1
4
5
2
differenza
la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme 3
1
4
2
5
insieme complementare l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due
il complementare di C rispetto ad A si indica con cioè: Analogamente:
v 2.0
ed è uguale a B
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6
5
1 3
7
2 4
8
8
Insiemi
simboli insiemi
prodotto cartesiano tra due insiemi il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme
il prodotto cartesiano NON è commutativo
insieme delle parti di un insieme
l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato 1 2 se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi
13
3
1 2
2
3 3
1
2
A
è formato da elementi. è formato da elementi
partizione di un insieme
la partizione di un insieme è l’insieme formato da suoi sottoinsiemi (o parti) che verificano le seguenti proprietà:
• nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale i sottoinsiemi
oppure
e
rappresentano due diverse partizioni di A consideriamo l’insieme delle classi della scuola tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione
1A
2A
3A
1B
2B
3B
relazioni di De Morgan
I relazione
II relazione
il complemento dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi
il complemento dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi
I complementari sono considerati rispetto ad un terzo insieme (detto Universo) che contiene A e B
v 2.0
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9
Classificazione dei numeri reali
aritmetica
numeri naturali N
numeri interi Z
numeri razionali Q
numeri irrazionali I
un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi.
I numeri razionali sono formati: da numeri interi, da numeri con la virgola con un numero finito di cifre decimali oppure con un numero infinito di cifre decimali periodiche
un numero si dice irrazionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi.
I numeri irrazionali sono formati da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre non periodiche
numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I
R
Q
Z
-3 -12
15,35671.…
N
1 5
0
I
=1,7099…
8
numeri algebrici e numeri trascendenti esiste anche un’altra classificazione che divide i numeri reali in: numeri algebrici e numeri trascendenti
• •
un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali esempi
• •
5
è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione
•
è un numero trascendente perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali. Nota che è soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti razionali
i numeri razionali Q sono tutti algebrici
i numeri irrazionali I possono essere sia algebrici che trascendenti
oltre i numeri reali
(vedi scheda sui numeri complessi)
numeri immaginari = v 2.0
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10
simboli insiemi
Intervalli: classificazione e rappresentazione definizioni
Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo • •
Un intervallo si dice:
limitato se gli estremi sono finiti illimitato se almeno uno degli estremi è infinito
• •
intervalli limitati
intervallo
intervallo chiuso intervallo aperto
intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente intervallo
intervallo chiuso inferiormente e illimitato superiormente intervallo aperto inferiormente e illimitato superiormente intervallo illimitato inferiormente e chiuso superiormente
intervallo illimitato inferiormente e aperto superiormente intervallo illimitato
rappresentazione grafica
a
b
a
b
a
b
a
b
chiuso se gli estremi sono compresi aperto se gli estremi non sono compresi
rappresentazione insiemistica
rappresentazione algebrica
intervalli illimitati
rappresentazione grafica
rappresentazione insiemistica
rappresentazione algebrica
a a b b
osservazione su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:
v 1.8
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11
aritmetica
Criteri di divisibilità - Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero Criteri di divisibilità divisibilità per 2
un numero è divisibile per 2 quando l’ultima cifra è pari cioè quando termina per: 0, 2, 4, 6, 8
• •
316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5) non è pari
divisibilità per 3 •
un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue • cifre è un multiplo di 3
342 è divisibile per 3 perché che è multiplo di 3 89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3
divisibilità per 5
un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra è 0 o 5
• •
345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5 346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6
divisibilità per 11
un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11
• •
3465 è divisibile per 11 perché e e 27981 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e non è un multiplo di 11
Frazioni generatrici
come trasformare un numero razionale in frazione frazione generatrice di un numero decimale • •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato
frazione generatrice di un numero periodico semplice
• •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo
frazione generatrice di un numero periodico misto
• •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo
dalla frazione al numero
•
per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore
frazioni con lo zero
è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore v 2.0
è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2012 - www.matematika.it
è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore 12
Proporzioni
aritmetica
definizione una proporzione è una uguaglianza tra rapporti
medi estremi
proprietà delle proporzioni
il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:
proprietà fondamentale
scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione
proprietà del permutare
scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
proprietà dell’invertire
sommando ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
proprietà del comporre
proprietà dello scomporre
trovare un medio in una proporzione •
sottraendo ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio
trovare un estremo in una proporzione •
si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo
proporzione continua
una proporzione si dice continua se i medi sono uguali
x si chiama “medio proporzionale” tra a e b
esempi proprietà dello scomporre
trovare un medio in una proporzione proporzione continua
la proporzione
• •
si può risolvere trasformandola in equazione:
si applica la proprietà fondamentale: si risolve l’equazione ottenuta:
questo metodo è utile quando l’incognita è presente più volte nella proporzione: v 2.1
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13
Sezione aurea - Percentuale - Pendenza
aritmetica
Sezione aurea di un segmento dato un segmento di lunghezza ( ) la sua sezione aurea ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:
l l-x
x
per trovare la lunghezza della sezione aurea di un segmento basta risolvere la proporzione trasformandola in equazione: • • •
si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli:
si risolve l’equazione di II grado in :
il numero
è chiamato numero aureo, di solito viene indicato con la lettera esempio
Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza
e vale circa 0,6180339887…
basta applicare la formula dimostrata precedentemente
•
Percentuale e Calcolo percentuale La percentuale
rispetto ad un valore iniziale
Ad esempio, per calcolare quanti alunni •
, è definita dalla proporzione:
su una classe di 25
alunni
rappresentano il 20% si applica la proporzione
esempi •
Calcolare il costo di un capo di abbigliamento dal prezzo di 160 euro scontato del 25% (quindi n = − 25%)
•
Quanto si è ridotto percentualmente un volume se passa da 300 cl a 270 cl?
(il segno meno indica che si tratta di una riduzione)
Pendenza
Δx
Δh
10 % indica che in 100 metri orizzontali (∆x) c’e un dislivello di 10 metri in verticale (∆h)
esempio •
v 2.2
Calcolare la pendenza in percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m
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14
Prodotti notevoli e Scomposizioni
algebra
prodotti notevoli somma per differenza
quadrato di un binomio cubo di un binomio
quarta potenza di un binomio quinta potenza di un binomio quadrato di un trinomio cubo di un trinomio
particolari prodotti notevoli
scomposizioni raccoglimento totale a fattore comune
raccoglimento parziale a fattore comune differenza di due quadrati somma di cubi
differenza di cubi
somma di due potenze di esponente 5
differenza di due potenze di esponente 5 somma di due potenze di esponente 7
differenza di due potenze di esponente 7 quadrato di binomio =s e • • • •
trovare due numeri m ed n tali che:
e
si sostituisce si effettua un raccoglimento parziale
trinomio notevole con esponente pari trinomio con somma e prodotto caso
trinomio con somma e prodotto caso cubo di binomio
riduzione a differenza di quadrati quadrato di un trinomio puoi scomporre v 1.7
cubo di un trinomio
come
non si può scomporre cioè è un binomio irriducibile
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15
Radicali
algebra
definizione si definisce radice n-sima di un numero reale a, con
, quel numero reale b tale che:
cioè
nomenclatura
m è l’esponente del
si chiama radicale
n = è l’indice della radice non ha significato
radice con indice pari
non esiste in
radicando
è il radicando
proprietà
osservazioni
radice con indice dispari
la radice di zero è sempre zero
la radice di indice pari esiste solo per numeri maggiori o uguali a zero la radice di indice pari di un numero positivo ha due risultati opposti. Se si considerano entrambi, la radice si dice algebrica in alcuni contesti, dei due risultati della radice di indice pari si considera solo quello con il segno positivo. In questo caso la radice si dice aritmetica
operazioni con i radicali semplificazione
riduzione allo stesso indice prodotto di radicali
e
rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice trasporto di fattore fuori il segno di radice potenza di radicali radice di radice somma algebrica di radicali simili osservazioni
la radice di indice pari ammette radicando maggiore o uguale a zero, quella di indice dispari ammette radicando con qualunque segno
v 2.7
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16
Radicali
algebra
razionalizzazione del denominatore di una frazione caso:
al denominatore una sola radice quadrata cosa fare
osserva che:
esempi
e che:
caso:
al denominatore una sola radice non quadrata cosa fare
osserva che:
esempi
e che:
caso:
al denominatore un polinomio con una o piĂš radici quadrate cosa fare
osserva che il prodotto notevole
caso:
esempi
si può applicare anche ai seguenti casi 2
al denominatore un binomio con una o due radici cubiche
cosa fare
esempio
ricorda i prodotti notevoli:
radicale doppio la formula si applica
formula
solo se è un quadrato perfetto
esempio
v 2.7
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17
algebra
Potenze definizione
si definisce potenza n-sima di base a e di esponente n , il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante volte sono le unità dell’esponente: n volte
proprietà
potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base
rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza
potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente
rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi
fai attenzione alle parentesi e fai anche attenzione all’esponente che può essere pari o dispari
frazioni con lo zero
è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore v 2.3
è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2012 - www.matematika.it
è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore 18
Equazioni di secondo grado
algebra
formule risolutive equazione
nome
procedimento
equazione completa
si applica la formula
equazione completa con b pari
si applica la formula ridotta
equazione pura b = 0
si isola e si estrae la radice quadrata algebrica
soluzioni o radici
si raccoglie la x e si applica la equazione spuria c = 0 legge di annullamento del prodotto equazione monomia
ha sempre due soluzioni nulle
le soluzioni di una equazione sono dette anche radici dell’equazione
significato del delta
un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del soluzioni reali e distinte
soluzioni reali e coincidenti
soluzioni non reali (o complesse)
proprietà somma delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )
prodotto delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )
testo dell’equazione di 20 grado conoscendo la somma e il prodotto delle soluzioni scomposizione del trinomio di secondo grado dove le soluzioni dell’equazioni di secondo grado
e
sono
regola di Cartesio: segno delle soluzioni data l’equazione di 20 grado con •
permanenza variazione v 3.2
•
•
:
si osservano i segni dei coefficienti a, b, c
ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva
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19
algebra
Equazioni parametriche:
tabella delle condizioni
condizioni sotto forma di enunciato
cosa fare
sotto forma algebrica
soluzione
una soluzione è nulla
nell’equazione data porre
la somma delle soluzioni è uguale al numero n
porre la somma uguale a n
una soluzione è uguale ad un numero n il prodotto delle soluzioni è uguale al numero n le soluzioni sono opposte
le soluzioni sono reciproche le soluzioni sono antireciproche
le soluzioni sono concordi le soluzioni sono discordi
le soluzioni sono coincidenti le soluzioni sono reali
le soluzioni sono reali e distinte
le soluzioni sono non reali l’equazione è pura
l’equazione è spuria
la somma dei reciproci delle soluzioni è uguale a n la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a n la somma dei quadrati dei reciproci delle soluzioni è uguale a n
nell’equazione data porre
porre il prodotto uguale a n porre la somma uguale a 0
porre il prodotto uguale a 1
porre il prodotto uguale a -1 porre il prodotto > 0 porre il prodotto < 0 porre il porre il porre il porre il
nell’equazione data porre nell’equazione data porre porre porre porre
uguale a n
uguale a n
la somma dei cubi delle soluzioni è uguale a n
porre
una soluzione è multipla dell’altra secondo il fattore n
risolvere il sistema
la somma dei cubi dei reciproci delle soluzioni è uguale a n
• •
porre
uguale a n
ricorda che
è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado
è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado
osserva che le soluzioni di una equazione parametrica si possono accettare solo se appartengono al campo di esistenza della equazione. Esso si calcola imponendo il Δ ≥ 0 cioè v 2.3
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20
algebra
Equazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni binomie ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0
n = pari
ha una soluzione ed il segno dipende dal segno del radicando
n = dispari
cosa è: un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado n ed un termine noto come si risolve: si ricava xn e si estrae la radice algebrica n-sima distinguendo i casi con n pari e quelli con n dispari esempi caso n pari
• •
nessuna soluzione
esempi caso n dispari
• •
equazioni biquadratiche
cosa è: un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado uno di 2° grado ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione biquadratica data esempio di 4 soluzioni: caso
e
positivi
• esempio di 2 soluzioni: caso
negativo e
positivo (o viceversa) nessuna soluzione
• esempio di nessuna soluzione: caso
e
negativi nessuna soluzione
•
equazioni trinomie
nessuna soluzione
cosa è: un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado 2n uno di grado n ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la nuova variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’
origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione trinomia data esempio
• nessuna soluzione
• v 2.2
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21
Disequazioni di Secondo Grado
algebra
l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:
l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:
x1
x2
valori esterni
l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:
l’equazione associata non ammette soluzioni reali
x2
valori interni
x
x nessuna soluzione
tutti i numeri tranne
x
l’equazione associata non ammette soluzioni reali
l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:
x1
x1
nessuna soluzione
x2
x1
valori esterni con estremi compresi
x
x2
valori interni con estremi compresi
x
x solo
x
disequazioni di secondo grado immediate
nessuna soluzione
x
per risolvere una disequazione di II grado completa, pura o spuria bisogna: • • •
v 2.5
trasformarla in equazione (equazione associata) risolvere l’equazione associata consultare le tabelle tenendo conto del e del segno della disequazione © 2012 - www.matematika.it
22
Equazioni irrazionali e in valore assoluto
algebra
equazioni irrazionali equazioni irrazionali con una radice quadrata con un polinomio a secondo membro
con un numero positivo a secondo membro
con lo zero a secondo membro
con un numero negativo a secondo membro nessuna soluzione
equazioni irrazionali con due radici quadrate
si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata equazioni irrazionali con radici cubiche
per risolvere una equazione irrazionale con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo
equazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di • •
–
se
se
è uguale a:
è maggiore o uguale a zero
è minore di zero
equazioni con un solo valore assoluto con un polinomio a secondo membro
con un numero positivo a secondo membro
con un numero negativo a secondo membro
con lo zero a secondo membro
nessuna soluzione
equazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B
• II
I
A>0
si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico
dall’osservazione del grafico l’equazione si scinde nei seguenti sistemi: III
B>0 b
a
I v 2.3
II
III © 2012 - www.matematika.it
23
Disequazioni irrazionali
algebra
disequazioni con una radice quadrata ed un polinomio a secondo membro
disequazioni con una radice quadrata: casi particolari con un numero positivo
con un numero negativo
a secondo membro
con lo zero
a secondo membro
a secondo membro
nessuna soluzione
nessuna soluzione
nessuna soluzione
disequazioni con due radici quadrate
(o in generale con due radici ad indice pari)
per risolvere una disequazione con due radici quadrate basta isolare le radici ai due membri e risolvere il sistema formato dai radicandi posti maggiori o uguali a zero e dalla disequazione ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri gli schemi precedenti si possono applicare solo se, una volta isolate le radici ai due membri, esse risultano entrambe positive
disequazioni con radici cubiche
(o in generale con due radici ad indice dispari)
con una sola radice cubica
con due radici cubiche
per risolvere una disequazione con due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo
disequazioni con radici ad indice diverso
nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il m c m degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il m c m degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti
v 2.4
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24
Disequazioni in valore assoluto
algebra
definizione di valore assoluto il valore assoluto di è uguale a: • se è maggiore o uguale a zero •
–
se
è minore di zero
disequazioni con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro
nei quattro casi precedenti (ed in generale) l’ultima disequazione del secondo sistema è riportata con il segno cambiato rispetto alla definizione di valore assoluto. Ciò è una consuetudine diffusa ed è algebricamente corretto perché del tutto equivalente alla disequazione ottenuta dalla definizione di valore assoluto
disequazioni con un solo valore assoluto: casi particolari
con un numero positivo n
con un numero negativo - n
a secondo membro
con lo zero
a secondo membro
a secondo membro
nessuna soluzione
nessuna soluzione
nessuna soluzione
disequazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B II
I
A>0
•
si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: III
B>0 a
I v 3.0
b
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III 25
Aree
geometria piana
delle principali figure piane
triangolo
quadrato
rettangolo
b
b
parallelogramma
rombo
cerchio
O
circonferenza
sia:
il semiperimetro, • •
B
settore circolare
O
triangolo equilatero
b
d
D
b
trapezio
quadrato
il lato,
α
segmento circolare ad una base
A
O
B
α
A B
poligoni regolari pentagono
esagono
ottagono
decagono
l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)
l’apotema di un poligono regolare coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono: l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza di un lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari
poligono
triangolo equilatero quadrato
pentagono v 2.1
numero fisso
poligono
0,289
esagono
0,688
ottagono
0,500
ettagono
numero fisso
poligono
0,866
ennagono
1,207
dodecagono
1,038
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decagono
numero fisso 1,374 1,539 1,866 26
geometria
Teorema di Pitagora – Primo e secondo teorema di Euclide nomenclatura considerato un triangolo rettangolo ABC
C
c2
c1 h
p1
A
p2
H
i
B
AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa
teorema di Pitagora
enunciato secondo l’equivalenza
Q1
in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:
Q2
C c2
c1
A
B
i
Q
enunciato in formula
in un triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :
primo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza
C
Q c1 A
c2
p1
R
B i
in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:
enunciato secondo la similitudine
in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:
secondo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza
C h
A
v 1.7
p2
p1
R
Q
p2
B
in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:
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enunciato secondo la similitudine
in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:
27
Triangoli rettangoli particolari
geometria piana
triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore
C
cM
cm 60°
30°
A
B
i
triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele) C
c
c
45°
45°
A
i = ipotenusa c = cateto
B
i
triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore
C
cM
cm
18°
72° A
B
i
applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
l
TRIANGOLO ISOSCELE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
l
30° 30°
l
h 60°
18°
h 72°
60°
l
72°
l l = lato
l = lato
h = altezza
h = altezza
raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo qualsiasi
C
C b
r A
A
R
a
c
B v 2.0
B
= raggio circonferenza inscritta = raggio circonferenza circoscritta = area del cerchio = semiperimetro del triangolo
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28
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide I postulato
Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta II postulato
Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare. La linea retta si può prolungare indefinitamente III postulato
Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio IV postulato
Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra loro equali. Tutti gli angoli retti sono uguali
V postulato
Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, e che duoi angoli da una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia necessario congiongersi. Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto V postulato: enunciato equivalente
Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data
v 2.0
Gli enunciati dei 5 postulati di Euclide sono tratti da "Gli Elementi di Euclide" nella traduzione di Niccolò Tartaglia, edizione del 1565 © 2012 - www.matematika.it
29
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
Definizioni segmento
Il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti
I due punti si chiamano estremi del segmento
segmenti consecutivi consecutivi
Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune
Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta
adiacenti
punto medio di un segmento
M
Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti congruenti Il punto medio di un segmento è unico
semiretta
La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto Il punto si chiama origine della semiretta
semipiano
Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta La retta si chiama origine del semipiano
angolo
L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine Le due semirette si chiamano lati dell’angolo L’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo v 2.0
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30
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angolo concavo e angolo convesso concavo
Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati
Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati
convesso
angoli consecutivi e adiacenti
Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune
consecutivi
Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte
adiacenti
angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro bisettrice di un angolo
b
La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti angolo piatto e angolo retto
Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte
180° 90°
Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto Un angolo piatto misura 180° Un angolo retto misura 90°
angolo giro e angolo nullo 360° 0°
v 2.0
Un angolo giro è la parte concava dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti
Un angolo nullo è la parte convessa dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti Un angolo giro misura 360° Un angolo nullo misura 0° ed è privo di punti interni © 2012 - www.matematika.it
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angoli acuti e ottusi acuto
ottuso
Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto
Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto angoli complementari, supplementari, esplementari
complementari
supplementari
Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto
Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro
esplementari
rette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti rette parallele
Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se • sono coincidenti oppure se • non hanno alcun punto in comune asse di un segmento
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio
M
poligonale o spezzata
lato vertice
v 2.0
Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano I segmenti si chiamano lati della poligonale Gli estremi dei segmenti si chiamano vertici della poligonale © 2012 - www.matematika.it
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
poligonale aperta/chiusa
chiusa
aperta
Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto
Una poligonale è chiusa se l’ultimo punto coincide con il primo punto poligonale intrecciata
Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati non consecutivi si intersecano poligono
Un poligono è la parte di piano racchiusa da un poligonale chiusa non intrecciata poligoni concavi e convessi
Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura convesso
concavo
Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due suoi punti che non è contenuto interamente nella figura angolo interno e angolo esterno di un poligono convesso
interno
esterno
Un angolo interno di un poligono convesso è l’angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono
Un angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo adiacente ad un angolo interno del poligono diagonale e corda di un poligono
Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due punti del poligono appartenenti a lati diversi
v 2.0
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
perimetro di un poligono
Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati
Due poligoni sono detti isoperimetrici se hanno i perimetri congruenti triangolo b
c
Un triangolo è un poligono formato da tre lati
a
triangolo isoscele
Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti
I lati congruenti si chiamano lati del triangolo Il lato disuguale si chiama base del triangolo Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base L’angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice triangolo scaleno ed equilatero
Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali
Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
rettangolo acutangolo
ottusangolo
Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso
Nel triangolo rettangolo i lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il lato maggiore, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa altezza di un triangolo
h
v 2.0
L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso Il triangolo ha tre altezze Se il triangolo è acutangolo le altezze sono tutte interne Se il triangolo è rettangolo due altezze coincidono con i cateti Se il triangolo è ottusangolo due altezze sono esterne al triangolo © 2012 - www.matematika.it
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geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana bisettrice di un angolo di un triangolo
La bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice dell’angolo considerato Il triangolo ha tre bisettrici mediana di un lato di un triangolo
La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il punto medio del lato ed il vertice opposto al lato Il triangolo ha tre mediane
asse di un lato di un triangolo
L’asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il punto medio del lato ortocentro
L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto
incentro
L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo
baricentro
Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo
v 2.0
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
circocentro
Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Il circocentro può essere anche esterno al triangolo Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa
excentro
L’excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo Ogni triangolo ha tre excentri
proiezione di un punto su una retta P
La proiezione di un punto su una retta è il punto d’intersezione tra la retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa
P’
distanza di un punto da una retta P
d
La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta proiezione di un segmento su una retta
B A
B’
A’
distanza tra rette parallele
d
v 2.0
La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato
La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di esse dall’altra retta
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angoli formati da due rette tagliate da una trasversale 1
2
4
3 6
5 7 8
Due rette tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di angoli: alterni interni (4, 6) (3, 5) alterni esterni (1, 7) (2, 8) corrispondenti (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) coniugati interni (4, 5) (3, 6) coniugati esterni (1, 8) (2, 7) trapezio
Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio parallelogrammo
Il parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli rettangolo
Il rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli retti rombo
Il rombo è un quadrilatero con quattro lati congruenti quadrato
Il quadrato è un quadrilatero con gli angoli e i lati congruenti Il quadrato è un poligono regolare
v 2.0
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
luogo geometrico I luoghi geometrici più conosciuti sono: • l’asse di un segmento • la bisettrice di un angolo • la circonferenza
C
r
P
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico
circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro La distanza di un punto della circonferenza dal centro si chiama raggio
cerchio
Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti interni ad essa corda di una circonferenza
Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza La corda che passa per il centro si chiama diametro
arco di circonferenza
Un arco di circonferenza è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti angolo al centro
Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza
v 2.0
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38
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana settore circolare
Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da un angolo al centro segmento circolare ad una base
Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio rimane diviso da una sua corda L’ altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull’asse della corda compreso tra la circonferenza e il punto medio della corda
segmento circolare a due basi
Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele L’altezza del segmento circolare a due basi è la distanza tra le due corde
corona circolare
Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche retta secante ad una circonferenza
Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza retta tangente ad una circonferenza
Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza
retta esterna ad una circonferenza
Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza v 2.0
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geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana angolo alla circonferenza
Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno secante e l’altro tangente poligono inscritto in una circonferenza
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono sulla circonferenza poligono circoscritto ad una circonferenza
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza figure equivalenti
Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione grandezze omogenee
a
a=b
b
b<c
c
Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di uguaglianza o di disuguaglianza grandezze commensurabili
u
3u 5u
v 2.0
Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una grandezza sottomultipla in comune
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40
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
grandezze incommensurabili
Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una grandezza sottomultipla in comune
d
Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono un esempio classico di grandezze incommensurabili
misura di una grandezza
u a
a=5u
La misura di una grandezza rispetto ad una grandezza omogenea assegnata è il rapporto tra le due grandezze grandezze direttamente proporzionali
a ● b ● c ●
● a’ ● b’ ● c’
a ● b ● c ●
● a’ ● b’ ● c’
Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe grandezze inversamente proporzionali
Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe poligoni simili
Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati da essi formati in proporzione parte aurea o sezione aurea di un segmento
La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente Se è la lunghezza del segmento ed
la sua sezione aurea, la proporzione si scrive:
che risolta in
dà:
circonferenza rettificata
La circonferenza rettificata è l’unico segmento che sia: • minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa • maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa v 2.0
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli teorema sugli angoli complementari
γ α
β
Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti allora sono congruenti
teorema sugli angoli supplementari
γ α
β
Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono supplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti
teorema sugli angoli esplementari
γ α
β
Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti
teorema sugli angoli opposti al vertice
Gli angoli opposti al vertice sono congruenti teoremi sui triangoli I criterio di congruenza
Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compresi congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza
Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti allora sono congruenti v 2.0
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42
geometria piana
Teoremi di geometria piana III criterio di congruenza
Se due triangoli hanno i tre lati congruenti allora sono congruenti I teorema sul triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti Vale anche l’inverso: Se un triangolo ha due angoli congruenti allora il triangolo è isoscele
II teorema sul triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è mediana e altezza relativa alla base
Vale anche: In un triangolo isoscele • la mediana relativa alla base è bisettrice dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base
•
l’altezza relativa alla base è mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice
I teorema sul triangolo equilatero
Se un triangolo è equilatero allora gli angoli sono tutti congruenti
Vale anche l’inverso: Se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti allora è un triangolo equilatero
II teorema sul triangolo equilatero
Se un triangolo è equilatero allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici e con le tre altezze II criterio di congruenza generalizzato
Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti allora sono congruenti v 2.0
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geometria piana
Teoremi di geometria piana I criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto opposto congruenti allora sono congruenti Vale anche: Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto adiacente congruenti allora sono congruenti
III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti IV criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un cateto congruenti allora sono congruenti teorema della mediana in un triangolo rettangolo
In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa teorema inverso della mediana in un triangolo rettangolo
Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla metà di questo allora il triangolo è rettangolo v 2.0
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44
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto I teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso Osserva che: La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto
II teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso I teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo
Se un triangolo ha due lati disuguali allora al lato maggiore si oppone l’angolo maggiore Vale anche: Se un triangolo ha due angoli disuguali allora all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore
II teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo
b
c
a
In un triangolo ogni lato: • è minore della somma degli altri due • è maggiore della differenza degli altri due Ad esempio:
• •
relazione tra gli elementi di due triangoli
Se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli compresi disuguali allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all’angolo maggiore Vale anche l’inverso: Se due triangoli hanno due lati congruenti e i terzi lati diseguali allora degli angoli opposti ai terzi lati è maggiore quello opposto al lato maggiore v 2.0
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45
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teoremi sui poligoni I criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e dell’angolo compreso allora essi sono congruenti II criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due angoli e del lato compreso allora essi sono congruenti III criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi allora essi sono congruenti
a
b
teorema sulle disuguaglianze dei lati di un poligono
d
c b
In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati
e
a c
d
e
Ad esempio:
•
relazione tra i perimetri di due poligoni
Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono allora il suo perimetro è minore del perimetro del poligono circoscritto teoremi sulle rette perpendicolari e sulle rette parallele teorema sulle rette perpendicolari
r s
v 2.0
Se due rette incidenti formano un angolo retto allora esse sono perpendicolari © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sull’esitenza ed unicità della retta perpendicolare P
Da un punto esterno ad una retta passa una ed una sola perpendicolare alla retta stessa Osserva che: Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta
P
teorema sulla distanza di un punto da una retta
P
La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta
d
Osserva che: La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta
teorema sull’esistenza di rette parallele
Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta allora esse sono parallele tra loro teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale 2
1
Due rette parallele tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti • angoli corrispondenti congruenti • angoli coniugati interni e coniugati esterni supplementari
3
4
6
5 8
7
criterio di parallelismo 1
2 4
3 6
5 8
7
Se due rette tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni o alterni esterni congruenti o • angoli corrispondenti congruenti o • angoli coniugati interni o coniugati esterni supplementari allora le due rette sono parallele proprietà transitiva del parallelismo
r
v 2.0
s
t
Se due rette sono parallele ad una terza retta allora esse sono parallele tra loro © 2012 - www.matematika.it
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geometria piana
Teoremi di geometria piana distanza tra due rette parallele
Se due rette sono parallele allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall’altra retta cioè le due rette mantengono sempre la stessa distanza
teoremi sulle proiezioni
teorema sulle proiezioni congruenti
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni congruenti allora essi sono congruenti Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta sono congruenti allora hanno proiezioni congruenti
teorema sulle proiezioni non congruenti
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni non congruenti allora è maggiore il segmento avente proiezione maggiore Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta non sono congruenti allora quello maggiore ha proiezione maggiore
teorema generale sulle proiezioni
La proiezione di un segmento su una retta è minore o uguale del segmento stesso teoremi sui quadrilateri particolari teorema sul trapezio
Se un trapezio è isoscele allora • gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti • le diagonali sono congruenti teorema sul parallelogrammo
v 2.0
In un parallelogrammo: • i triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono congruenti • i lati opposti sono a due a due congruenti • gli angoli opposti sono a due a due congruenti • le diagonali si incontrano nel loro punto medio • gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema inverso sul parallelogrammo
Se un quadrilatero ha: • i lati opposti a due a due congruenti o • gli angoli opposti a due a due congruenti o • le diagonali che si incontrano nel loro punto medio o • gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o • due lati opposti congruenti e paralleli allora il quadrilatero è un parallelogrammo teorema sul rettangolo
In un rettangolo le diagonali sono congruenti Vale anche l’inverso: Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo
teorema sul rombo
In un rombo le diagonali sono • perpendicolari tra loro • bisettrici degli angoli interni
Vale anche l’inverso: Se in un parallelogrammo le diagonali sono • perpendicolari tra loro o • bisettrici degli angoli interni allora il parallelogrammo è un rombo
primi teoremi sul fascio di rette parallele
teorema sul fascio di rette parallele
t’
t
Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale
teorema della parallela dal punto medio di un lato di un triangolo
M
M’
Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio teorema sulla corda dei punti medi di due lati di un triangolo
M
v 2.0
M’
Se una corda di un triangolo ha per estremi i punti medi di due lati allora essa è parallela al terzo lato ed uguale alla sua metà © 2012 - www.matematika.it
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geometria piana
Teoremi di geometria piana teoremi sulla circonferenza teorema sulla relazione tra diametro e corda
In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda teorema sull’asse di una corda
Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda allora il diametro la dimezza Vale anche: L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza
teorema sui punti di una circonferenza
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza Vale anche: Tre punti di una circonferenza non possono essere allineati
I teorema sulle corde e loro distanza dal centro
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora sono equidistanti dal centro
Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti
II teorema sulle corde e loro distanza dal centro
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono disuguali allora la corda maggiore ha distanza minore dal centro
Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno distanza disuguale dal centro allora è maggiore la corda con distanza minore dal centro
teorema sulla relazione tra archi, corde e angoli al centro
Se due angoli al centro di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti
Vale anche l’inverso: Se due archi (corde) di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora le corde (gli archi) e gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti v 2.0
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sulla posizione reciproca di una retta e di una circonferenza
Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore, uguale o maggiore del raggio allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente due punti (secante), un punto (tangente), nessun punto (esterna)
Vale anche l’inverso: Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti o un punto o nessun punto allora la retta ha distanza dal centro della circonferenza, rispettivamente, minore, uguale o maggiore del raggio
teorema sulla retta tangente ad una circonferenza
Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza allora è perpendicolare al raggio in quel punto
Vale anche l’inverso: Se una retta è perpendicolare al raggio in un punto appartenente alla circonferenza allora la retta è tangente alla circonferenza in quel punto
I teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze esterne
C
r
r’
C’
Se due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi
Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei raggi allora le due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra (circonferenze esterne)
II teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti esterne
Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi
Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti esterne)
III teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze secanti
Se due circonferenze hanno due punti in comune allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi
Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno due punti in comune (circonferenze secanti)
IV teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti interne
Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una interni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti interne) v 2.0
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geometria piana
Teoremi di geometria piana V teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze interne
Se due circonferenze hanno i punti dell’una interna all’altra allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso: Se la distanza dei centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi allora i punti dell’una sono interni all’altra (circonferenze interne)
teorema sugli angoli alla circonferenza
In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa corda I teorema sugli angoli alla circonferenza
Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla stessa corda allora sono congruenti II teorema sugli angoli alla circonferenza
Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde congruenti allora sono congruenti Vale anche l’inverso: Se due angoli alla circonferenza sono congruenti allora gli archi e le corde su cui insistono sono congruenti
III teorema sugli angoli alla circonferenza
Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza allora è retto Osserva che:
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo
teorema delle tangenti ad una circonferenza
Se da un punto esterno ad circonferenza si tracciano le tangenti ad essa allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti v 2.0
Vale anche: La retta che congiunge il punto esterno alla circonferenza con il suo centro è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
luoghi geometrici asse di un segmento
M
L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento bisettrice di un angolo
La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo punti notevoli di un triangolo circocentro
Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto circocentro Osserva che:
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
incentro
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro Osserva che: L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo
baricentro
G
Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tale che quella contenente il vertice è doppia dell’altra Osserva che: Il baricentro di una figura viene indicato tradizionalmente con la lettera G
ortocentro
Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro v 2.0
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
triangolo equilatero
In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono Osserva che:
In un triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo è doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo stesso
distanza del baricentro dai lati di un triangolo
In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente alla terza parte dell’altezza relativa allo stesso lato
G
teorema di Eulero
C
G
O
In ogni triangolo il circocentro, il baricentro e l’ortocentro sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero. La distanza tra il baricentro e l’ortocentro è doppia della distanza tra baricentro e circocentro corollario al teorema di Eulero
C
G
O
La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del segmento che congiunge l’ortocentro con il vertice opposto a tale lato poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza teorema sui quadrilateri inscritti
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari Vale anche l’inverso:
Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrittibile in una circonferenza
corollario
Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza allora un suo angolo esterno è congruente all’angolo interno opposto al suo adiacente Vale anche: Se un quadrilatero ha due angoli opposti retti allora è inscrittibile in una circonferenza v 2.0
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
d a
a
teorema sui quadrilateri circoscritti
c
c
b
Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati
b
Vale anche l’inverso:
Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due allora il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza
d
corollario
b
l
l
B
B
l
l
b
Se in un trapezio isoscele la somma della basi è congruente al doppio del lato obliquo allora il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza Vale anche:
Ogni quadrilatero equilatero è circoscrittibile ad una circonferenza
teorema sulla inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni regolari
Se un poligono è regolare allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche teorema sui poligoni regolari
Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari teorema sul lato dell’esagono regolare
O
v 2.0
Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta ad esso
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
l’equivalenza e la similitudine teoremi sull’equivalenza teorema sull’equivalenza di parallelogrammi
Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti secondo teorema sull’equivalenza di parallelogrammi
Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le basi congruenti allora essi hanno anche le altezze congruenti Vale anche: Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti allora essi hanno anche le basi congruenti
teorema sull’equivalenza del triangolo e del parallelogrammo
Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogrammo e la base congruente al doppio di quella del parallelogrammo allora il triangolo e il parallelogrammo sono equivalenti Vale anche: Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti
teorema sull’equivalenza di due triangoli
Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti
Vale anche: Se due triangoli sono equivalenti ed hanno le basi (o le altezze) congruenti allora essi hanno anche le altezze (o le basi) congruenti
teorema sull’equivalenza del triangolo e del trapezio
Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti b
r
v 2.0
a a
r
teorema sull’equivalenza di un poligono circoscritto ad una circonferenza e di un triangolo
c d b
c
d
Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
b r
c
d
r
a
a
teorema sull’equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo e
b
c
d
e
Se un poligono è regolare allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema del poligono (cioè al raggio della circonferenza inscritta nel poligono) teorema sull’equivalenza del trapezio rettangolo e del rettangolo
Se un trapezio rettangolo è circoscrittibile ad una circonferenza allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle basi del trapezio teorema sull’equivalenza del triangolo rettangolo e del rettangolo
Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti ai due segmenti in cui l’ipotenusa è divisa dal punto di contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo I teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza)
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa
Q
R
Q è equivalente ad R
Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito su un lato minore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del lato minore sul lato maggiore e il lato maggiore allora il triangolo è rettangolo
II teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza )
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
Q
R
Q è equivalente ad R
Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni degli altri due lati sul lato maggiore allora il triangolo è rettangolo
teorema di Pitagora
Q2
Q1 Q
v 2.0
Q è equivalente a Q1+ Q2
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora il triangolo è rettangolo © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
Grandezze omogenee e Grandezze proporzionali teorema sull’incommensurabilità tra il lato e la diagonale del quadrato
Il lato del quadrato e la sua diagonale sono segmenti incommensurabili
Osserva che: Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale, cioè un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola Se e sono due grandezze commensurabili allora può essere: 1. un numero intero 2. un numero decimale con finite cifre dopo la virgola 3. un numero periodico Se e sono due grandezze incommensurabili allora è un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola
:
=
:
x= a ● b ● c ● allora allora 4
8 2
4
Assegnate tre grandezze se le prime due sono omogenee tra loro allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza che è quarta proporzionale dopo le tre Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: • a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali dell’altra • alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe corrisponde la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra classe teoremi sui rettangoli proporzionali alle basi
28 7
8 : 28 = 2 : 7 v 2.0
teorema fondamentale sulla proporzionalità
Criterio generale di proporzionalità
● a’ ● b’ ● c’
Se Se
Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale
teorema sulla quarta proporzionale
: x
=
Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale allora le due grandezze sono commensurabili
Condizione necessaria e sufficiente affinché quattro grandezze a due a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure
a : b = c : d
:
teorema sul rapporto di grandezze commensurabili
I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi Vale anche: I rettangoli aventi basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sugli elementi proporzionali in un cerchio
β
α
a
b
Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro
a : b = α : β 12
3
2
teorema sui rettangoli equivalenti e sui segmenti in proporzione
Se quattro segmenti sono in proporzione allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti medi della proporzione
12
4
6
Vale anche l’inverso: Se due rettangoli sono equivalenti allora due lati consecutivi dell’uno sono i medi e i due lati consecutivi dell’altro sono gli estremi di una stessa proporzione
4 : 6 = 2 : 3
teorema sui segmenti e sui quadrati in proporzione
3 4 6 8
3:4 = 6:8 9 : 16 = 36 : 64 C
Vale anche l’inverso:
Se un punto interno ad un lato di un triangolo divide il lato in parti proporzionali agli altri due lati allora la congiungente il punto con il vertice opposto è la bisettrice dell’angolo compreso tra gli altri due lati del triangolo
B
CP : PB = AC : AB
teorema sulla bisettrice dell’angolo esterno di un triangolo
Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati
P C
A
teorema sulla bisettrice dell’angolo interno di un triangolo
La bisettrice dell’angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati
P
A
Se quattro segmenti sono in proporzione allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione
Vale anche l’inverso: Se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri lati allora la congiungente questo punto con il vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo
B
AP : CP = AB : BC
teorema di Talete
a
a’ b’
b
a : b = a’ : b’ v 2.0
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti sull’altra trasversale © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
corollario del teorema di Talete
C P
Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo allora sulle rette degli altri due lati si determinano segmenti proporzionali
P’
A
Vale anche l’inverso: Se una retta determina sui due lati di un triangolo segmenti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato
B
AP : PC = BP’ : P’C
teorema di Tolomeo
D
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti
C
A
Vale anche l’inverso: Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza
B
teoremi sulla similitudine
teorema fondamentale della similitudine
C P’
P
A
Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta parallelamente ad un altro suo lato allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale
B
PP’C è simile ad ABC
I criterio di similitudine
C
Se due triangoli hanno gli angoli congruenti allora essi sono simili
C’
A
B
B’
A’
ABC è simile ad A’B’C’
Vale anche: Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora essi sono simili
II criterio di similitudine
C C’
A
B
B’
A’
ABC è simile ad A’B’C’
Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti allora essi sono simili III criterio di similitudine
C
C’
A
B
A’
ABC è simile ad A’B’C’ v 2.0
B’
Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione allora essi sono simili © 2012 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
I teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità) C
A
In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa
B
H
AH : AC = AC : AB
II teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)
C
A
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
B
H
AH : CH = CH : HB
teorema delle altezze
C C’
A
B
H
A’ H’
B’
AB : A’B’ = CH : C’H’
Se due triangoli sono simili allora le basi stanno tra loro come le rispettive altezze teorema dei perimetri
C
C’
2p 2p’ A
B
A’
B’
2p : 2p’ = AB : A’B’
teorema delle aree
C
Se due triangoli sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi
C’
S
S’
A
B
S : S’ =
A’
(AB)2
:
B’
(A’B’)2
P
P simile a P’ v 2.0
Se due triangoli sono simili allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi
In generale: Se due poligoni sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi
I teorema dei poligoni regolari
P’
Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati allora essi sono simili
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema della bisettrice
C
In ogni triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruente al quadrato della misura della bisettrice dell’angolo da essi formato aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale bisettrice divide il terzo lato
P
A
B
teorema delle corde
D
B
Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono indifferente medi o estremi di una stessa proporzione
P A
Vale anche l’inverso: Se due segmenti si intersecano in un punto tale che le parti appartenenti ad uno stesso segmento sono medi o estremi di una proporzione allora gli estremi dei segmenti dati appartengono alla stessa circonferenza
C
AP : CP = PD : PB
teorema delle secanti
P
B
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti allora l’intera parte e la parte esterna di ciascuna secante sono indifferentemente medi oppure estremi di una stessa proporzione
C
A
Vale anche l’inverso: Se due segmenti consecutivi ma non adiacenti sono tali che un segmento e una sua parte sono medi proporzionali tra l’altro segmento e una sua parte allora i quattro punti estremi non comuni dei quattro segmenti in proporzione appartengono alla stessa circonferenza
D
AP : DP = CP : BP
teorema della tangente e della secante
T
P
B
C
PC : PT = PT : PB
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una tangente e una secante allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna
Vale anche l’inverso: Se un punto di uno di due segmenti consecutivi ma non adiacenti è tale che determina due parti estremi proporzionali all’altro segmento allora l’altro segmento è tangente alla circonferenza passante per i tre estremi non comuni dei segmenti
teorema sul lato del decagono regolare
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente alla sezione aurea del raggio
r
il lato è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e il lato cioè
teorema sul lato del pentagono regolare
r r
v 2.0
Il lato del pentagono regolare è congruente all’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso © 2012 - www.matematika.it
62
geometria solida
Volumi
e superfici
delle principali figure solide
cubo
parallelepipedo rettangolo
prisma retto
piramide retta a base regolare
piramide retta
tronco di piramide
cilindro
cono equilatero (
v 2.0
cilindro equilatero (
)
tronco di cono
Š 2012 - www.matematika.it
)
cono
sfera
63
geometria solida
Volumi
e superfici
segmento sferico ad 1 base
delle principali figure solide
segmento sferico a 2 basi
spicchio sferico
α
20 teorema di Guldino
10 teorema di Guldino la superficie generata da una linea (o da un poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (o perimetro)
l
il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie
r
r S
solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:
tetraedro
4 triangoli equilateri
esaedro(cubo) 6 quadrati
ottaedro
8 triangoli equilateri
dodecaedro
12 pentagoni regolari
icosaedro
20 triangoli equilateri
formula di Eulero faccia
per tutti i poliedri vale:
poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli
spigolo
●
vertice
esempio
verifichiamo la formula di Eulero per: • un cubo, poliedro a 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli • un ottaedro, poliedro a 8 facce, 6 vertici e 12 spigoli
v 2.0
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64
geometria analitica
Geometria analitica: assi e punti sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale
• • •
distanza tra due punti
è l’origine degli assi cartesiani è l’asse delle ascisse : è l’asse delle ordinate
• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse
la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC e si calcola applicando il teorema di Pitagora:
punto medio
di un segmento di estremi il punto medio del segmento AB è un punto appartenente al segmento ed equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono: inversamente: note le coordinate di un estremo e del
punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:
il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M
dividere un segmento in parti proporzionali ad un numero k il punto
, divide il segmento di estremi in parti proporzionali a k, cioè tale che il rapporto tra AP e AB è uguale a k : Le sue coordinate sono:
v 3.0
nel caso che il punto P sia il punto medio del segmento AB le formule precedenti si riducono a quelle del caso precedente del punto medio di un segmento © 2012 - www.matematika.it
65
Geometria analitica: assi e punti
geometria analitica
baricentro
di un triangolo di vertici il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:
inversamente: note le coordinate di due vertici del
triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono:
area di un triangolo metodo del determinante (regola di Sarrus) l’area del triangolo di vertici determinante della matrice dei punti A, B, C
+
+
è uguale ad un mezzo del valore assoluto del
+
metodo geometrico yC
C
F
E
●
yB
yA
●
A
B
D
●
xA
per calcolare l’area del triangolo ABC • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:
xB
xC
allineamento di tre punti B
●
●
● ●A
C
per verificare se tre punti A,B,C sono allineati cioè se
appartengono alla stessa retta si può:
1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C: se l’area è uguale a zero i punti sono allineati oppure: 2. calcolare le distanze AB, BC, AC : se AB + BC = AC i punti sono allineati
per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che: v 3.0
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66
Geometria analitica: la retta
geometria analitica
equazione della retta forma implicita
y q
●
r
forma esplicita ●
p
x
forma segmentaria
forma esplicita
forma segmentaria
• m è detto coefficiente angolare
• p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x
• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y
• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y
significato geometrico di m di p e di q
y
q
●
y
m<0
m>0 ●
r ●
p
1
p
●
m
m ●
●
x
q
●
●
x
1
r
il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto P di intersezione di r con l’asse x
rette particolari
equazione asse x
y
equazione asse y
y
x
y
equazione retta parallela all’asse x
y=n
●
x
n
●
x
y
y=x x
equazione della bisettrice del I e III quadrante
equazione retta parallela all’asse y
x=n
y
n
x
equazione della bisettrice del II e IV quadrante
y
y=-x x
Per disegnare una retta basta trovare le coordinate di almeno due punti e congiungerli. Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla
Disegnamo ad esempio la retta
v 1.7
x
0 1
un valore a piacere e calcolando la corrispondente y
y
-1 2
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2
-1
1
x
67
Geometria analitica: la retta
geometria analitica
ricerca dell’equazione di una retta B
y
A
coefficiente angolare della retta passante per due punti x
B
y
A
equazione della retta passante per due punti x
y
m
P0
equazione della retta ed il coefficiente angolare m noto un punto equazione del fascio di rette
x
per trovare l’equazione di una retta passante per due punti • calcolare il coefficiente angolare
con la formula precedente
• utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore uno qualsiasi dei due punti A o B
si può anche: ed a
le coordinate di
condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette
r
s
r
s
due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali
due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci
punto e retta
ricerca del punto
di intersezione di due rette non parallele per trovare le coordinate del punto di due rette r ed s non parallele:
s
r
•
●
•
•
si mettono a sistema le equazioni delle due rette
si risolve il sistema
le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del punto di intersezione
condizione di appartenenza di un punto
•
P0
●
y0
• •
x0
distanza di un punto
appartiene ad una retta
si sostituiscono le coordinate e alla y nell’equazione della retta si sviluppano i calcoli
del punto alla x
se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta
da una retta r
formula con l’equazione della retta in forma implicita
P0 r
ad una retta
per verificare se un punto r:
r
di intersezione
d
formula con l’equazione della retta in forma esplicita v 1.7
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68
Geometria analitica: la retta
geometria analitica
distanza tra due rette parallele r ed s r
s per trovare la distanza tra due rette parallele :
• si ricavano le coordinate di un punto qualsiasi
P0
appartenente ad una della due rette
• si applica la formula della distanza del punto
trovato
dall’altra retta
equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele)
b2
r
note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r: ed s:
s b1
qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro s
la bisettrice di un angolo è definita come l’insieme dei punti del piano equidistanti dai lati. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.
b
P
r
equazione dell’asse di un segmento AB per trovare l’equazione dell’asse di un segmento AB noti :
P
A
• • •
M ● B
•
si calcola il punto medio
si calcola il coefficiente angolare
del segmento AB
del segmento AB
si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare ad AB)
nell’equazione del fascio , si sostituisce ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo così l’equazione dell’asse
l’asse di un segmento è definito come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione dell’asse ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento
A
P
●
B
allineamento di tre punti A, B, C
per verificare se tre punti A, B, C sono allineati cioè se appartengono alla stessa retta si può: • B
• ●
C
●
• •
A
• •
v 1.7
ricavare
ed
, e verificare che
trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che B appartiene alla retta calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che è uguale a zero
trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e C, e verificare che queste sono uguali
trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che la distanza di B da tale retta è zero
verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale alla distanza AC cioè AB + BC = AC
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69
Geometria analitica: la retta
geometria analitica
fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette del piano aventi in comune un punto oppure una direzione tipi di fasci
fascio proprio
●
fascio improprio
C
è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio
è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè aventi lo stesso coefficiente angolare
come si presenta l’equazione di un fascio
l’equazione di un fascio di rette si presenta come quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , almeno una volta anche un’altra lettera ( ) detta parametro Esempio:
classificazione di un fascio di rette
data l’equazione del fascio, per classificarlo bisogna: •
•
calcolare il coefficiente angolare
•
esempio per un fascio di rette proprio
se
contiene il parametro
il fascio è proprio
se il parametro si semplifica, il fascio è improprio
esempio per un fascio di rette improprio
rette generatrici di un fascio • • •
le rette generatrici di un fascio sono le rette che originano il fascio e sono sempre due nel caso di fascio proprio le rette generatrici sono incidenti nel caso di fascio improprio le rette generatrici sono parallele ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio • • •
retta all’infinito
retta per k = 0
ricerca del centro
dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli si raccoglie a fattor comune il parametro
le due parti così ottenute rappresentano le equazioni delle rette generatrici del fascio
di un fascio proprio di rette • •
si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio
le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del centro del fascio
come scrivere l’equazione di un fascio di rette
equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s equazione del fascio di rette proprio noto il centro
v 1.7
equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m
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70
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
punti distanza tra due punti punto medio baricentro
tra due punti
di un triangolo di vertici C
area di un triangolo di vertici
B A
retta forma implicita
equazione della retta
forma esplicita
e
forma segmentaria
q
m = coefficiente angolare
● ●
q = intersezione con l’asse delle y
1
p
m
p = intersezione con l’asse delle x
coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m
//
condizioni di parallelismo tra due rette r ed s
condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s
oppure
s
r
punto di intersezione tra due rette r ed s retta in forma implicita
retta in forma esplicita
● P(x0,y0)
⊥
P(x0,y0) d
distanza di un punto da una retta r
r
equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s
b2
r
s b1
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms rette particolari
y
●
n x
v 2.3
asse x
y
y
y
y
y
x
asse y
●
x
parallela asse x
x n
parallela asse y
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x
x
bisettrice I e III q.
bisettrice II e IV q.
71
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
parabola F
● ● ●
d
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:
P
d
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y
●P
● ●
F
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x
equazione completa
coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell’asse
equazione della direttrice
equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto : formula di sdoppiamento area del segmento parabolico parabole particolari
b=0
c=0
b=0 c=0
b=0
b=0 c=0
c=0
significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c ●
c ●
c
c
●
a<0
a>0
se a = 0 la parabola degenera in una retta
c
●
a>0
a<0
circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:
r
●
equazione completa
P
coordinate del centro C
C(α,β)
relazione del raggio r
equazione della circonferenza di centro
e raggio r
equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto : formula di sdoppiamento v 2.3
equazione dell’asse radicale di due circonferenze
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72
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
circonferenze particolari
se
la circonferenza si riduce al punto
●
●
●
R
r
esterne
origine degli assi cartesiani
posizioni reciproche di due circonferenze
C2
C1
.
●
●
●
●
●
secanti
tangenti esterne
●
●
●
● ●
tangenti interne
interne
ellisse
●
concentriche
P
● ●
●
F1
F2
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:
ellisse con i fuochi sull’asse x
F1
●
P
●
ellisse con i fuochi sull’asse y
equazione in forma canonica
2a
2b
lunghezza asse maggiore
2b
distanza focale
2c
lunghezza asse minore
2c
F2●
relazione tra i parametri a, b, c
2a
coordinate dei fuochi eccentricità
equazione della retta tangente alla ellisse nel suo punto : formula di sdoppiamento ellisse traslata
l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y
●
O(α,β)
v 2.3
coordinate del centro dell’ellisse
Y
X
x
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equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY 73
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
iperbole P
L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:
● F1
●
●
F2
iperbole con i fuochi sull’asse x
2b
lunghezza asse trasverso
2b
distanza focale
2c
lunghezza asse non trasverso
2c
●
●P
F1 ●
iperbole con i fuochi sull’asse y
equazione in forma canonica
2a
F2
relazione tra i parametri a, b, c
2a
coordinate dei fuochi
equazione degli asintoti eccentricità
equazione della retta tangente alla iperbole nel suo punto : formula di sdoppiamento iperbole equilatera: a = b equazione
relazione tra a, c
coordinate dei fuochi
equazione degli asintoti
iperbole equilatera ruotata di
F2 ●
F1●
F1 ●
k>0
equazione coordinate dei fuochi
F ● 2
k<0
iperbole equilatera ruotata e traslata o funzione omografica equazione
y
coordinate di O’
O’
x
v 2.3
equazione degli asintoti
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74
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
iperbole traslata
l’iperbole si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani y
Y
coordinate del centro dell’iperbole
●
X
O(α,β)
x
equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY
proprietà comuni a tutte le coniche
condizione di appartenenza di un punto per stabilire se un dato punto retta r oppure ad una conica :
appartiene ad una
ad una retta r o ad una conica • •
si sostituiscono le coordinate di , in r o in si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un’identità, il punto appartiene alla retta o alla conica
posizione di una retta rispetto ad una conica ●
● ●
retta secante
retta tangente
retta esterna
per stabilire se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica bisogna: • • • • •
ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica sviluppare i calcoli ed ordinare l’equazione rispetto alla dell’equazione di II grado così ottenuta calcolare il
oppure, se
è pari, il
verificare il segno del se la retta è secante alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e distinte cioè 2 punti in comune se la retta è tangente alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e coincidenti cioè 1 punto in comune se la retta è esterna alla conica. Non si ha nessuna intersezione reale cioè nessun punto in comune
ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una conica
tangenti parallele ad una retta di coefficiente angolare m
tangenti da un punto esterno • • • • •
• •
v 2.3
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro : si ricava la y dall’equazione del fascio di rette
•
si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
•
si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita
•
si sostituiscono uno alla volta i valori ed nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti
•
si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x si risolve l’equazione in
ottenendo
ed
•
•
si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con assegnato: si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione nell’incognita si risolve l’equazione in
ottenendo
e
si sostituiscono uno alla volta i valori e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti
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75
Logaritmi
logaritmi
definizione il logaritmo di un numero è l’esponente
da dare alla base
si chiama base si chiama argomento è il logaritmo in base di
per ottenere l’argomento
proprietà
la base
deve essere
l’argomento il logaritmo
cioè:
deve essere
è un numero reale
teoremi principali sui logaritmi teorema del prodotto
teorema del rapporto
teorema della potenza
proprietà derivate dai teoremi principali potenza alla base e all’argomento base frazionaria
argomento frazionario
base e argomento frazionario scambiare la base con l’argomento formula del cambio di base
trasformare un numero n in logaritmo in base a
con il simbolo
trasformare un numero n in potenza
si indica il logaritmo in base e dove
è detto “numero di Nepero”
sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti lg e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e in base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base
grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale
logaritmo con base a > 1 v 3.4
logaritmo con base 0 < a < 1
esponenziale con base a > 1
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esponenziale a base 0 < a < 1 76
Angoli: misura e conversioni
goniometria
grado sessagesimale
radiante
grado centesimale 100c
90o
180o
200c
0
0o 360o
300c
270o
Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro
0c 400c
Il radiante è l’angolo il cui arco Il grado centesimale è la 400a è uguale al raggio parte dell’angolo giro un radiante vale circa 57° 17′ 44′′
nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è questo sistema di misura è questo sistema di misura è indicato con il simbolo DEG o D indicato con il simbolo RAD o R indicato con il simbolo GRAD o G
conversioni
da gradi sessagesimali a radianti
da radianti a gradi sessagesimali
• • Es.:
perché
Es.:
sostituire
semplificare
da gradi centesimali a sessagesimali
con
perché
Es.:
perché
conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale si moltiplica la parte decimale per 60
la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi
la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi si ottiene così la conversione richiesta
conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) a gradi sessagesimali decimali data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60 il valore ottenuto si somma ai primi
il valore ottenuto si divide ancora per 60 la misura ottenuta si somma ai gradi
si ottiene così la conversione richiesta v 2.0
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77
Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà
goniometria
Data la circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi cartesiani e raggio 1 si definiscono le funzioni:
seno
90°
P
angoli
1
α
180°
valori
0°
O
360°
H
270°
0
0° 90° 180° 270°
coseno
angoli
valori
0
segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°
α O
0°
90°
180° 270°
P
0 0
tangente
angoli A
0°
90°
180°
B
segno e crescenza nei quadranti quadrante 1°
segno
4°
+
crescenza
+
2° 3°
T
valori
α O
0 0
270°
cotangente
angoli
valori
segno e crescenza nei quadranti quadrante
segno
1°
+
2°
crescenza
+
3° 4°
C P α
O
secante
0° 90° 180° 270°
0 0
segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°
E
segno
crescenza
+ +
cosecante P
P α
α
v 1.5
crescenza
+ +
P
K
O
segno
O
S
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78
Funzioni goniometriche, relazioni fondamentali
goniometria
e
grafici
definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi e raggio 1
seno α
P ●
α●
O
α
coseno α
B
●P
α
●
α
O
tangente α
secante α ●
C ● ●P
P
α
● A
O
H
K●
T P● ●
O
cotangente α
E
●
● S
cosecante α P ●
α
O
O
le cinque relazioni fondamentali
relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre in funzione di …
il segno
in funzione di …
in funzione di …
in funzione di …
o – va preso a seconda del segno della funzione nel quadrante in cui si trova l’angolo grafici di funzioni goniometriche
seno
v 2.2
coseno
tangente
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cotangente
79
goniometria
Le cinque relazioni fondamentali dimostrazioni
• • •
si considera il triangolo rettangolo POH si applica il teorema di Pitagora: dove: sostituendo si ottiene la tesi
• •
si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione:
•
•
•
• • • •
• • • •
• • • • v 1.9
dove: sostituendo si ottiene:
cioè la tesi
si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:
cioè la tesi
si considerano i triangoli rettangoli POS e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:
cioè la tesi
si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:
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cioè la tesi 80
goniometria
Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti
gradi
radianti
seno
coseno
tangente
cotangente
0°
0
0
1
0
∞
π
3+ 5 − 5− 5 4
3+ 5 + 5− 5 4
4 − 10 + 2 5 5 −1
4 − 10 + 2 5
6− 2 4
6+ 2 4
2− 3
2+ 3
5 −1 4
10 + 2 5 4
25 − 10 5 5
5+ 2 5
2− 2 2
2+ 2 2
2 −1
2 +1
1 2
3 2
3 3
3
10 − 2 5 4
5 +1 4
5− 2 5
25 + 10 5 5
4
2 2
2 2
1
1
3π 10
5 +1 4
10 − 2 5 4
25 + 10 5 5
5− 2 5
3
3 2
1 2
3
3 3
3π 8
2+ 2 2
2− 2 2
2 +1
2 −1
2π 5
10 + 2 5 4
5 −1 4
5+ 2 5
25 − 10 5 5
5π 12
6+ 2 4
6− 2 4
2+ 3
2− 3
9π 20
3+ 5 + 5− 5 4
3+ 5 − 5− 5 4
4 − 10 + 2 5
4 − 10 + 2 5 5 −1
1
0
∞
0
9°
15° 18°
22°30 30° 36°
45° 54°
60° 67°30 72° 75° 81°
90°
20
π 12
π 10
π 8
π 6
π 5
π
π
π 2
5 −1
5 −1
180°
π
0
−1
0
∞
270°
3π 2
−1
0
∞
0
360°
2π
0
1
0
∞
v 1.8
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81
Angoli associati
goniometria
angoli supplementari
angoli complementari
secondo quadrante
primo quadrante
angoli che differiscono di un angolo piatto
angoli che differiscono di un angolo retto
terzo quadrante
secondo quadrante
angoli esplementari
angoli la cui somma è 270°
quarto quadrante
terzo quadrante
angoli opposti
angoli che differiscono di 270°
quarto quadrante
quarto quadrante
90°
90°
180°- α 180°
α α α
O
α α
α
α α 0°
α
180°
O
360°
0° 360°
α α
-α 360°- α
180°+ α
270°- α
270° v 2.0
90°- α
90°+ α
270°+ α 270°
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82
goniometria
Formule goniometriche addizione e sottrazione
duplicazione
triplicazione
bisezione
parametriche o razionali
(
)
prostaferesi
Werner
v 1.7
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83
Teoremi sui triangoli rettangoli
trigonometria
relazioni fondamentali dei triangoli rettangoli dalla definizione di seno di un angolo si ha:
B
dalla similitudine dei triangoli rettangoli OHP e OCB si ha: In generale in ogni triangolo rettangolo vale la relazione:
P O
α
C
H
Analogamente in ogni triangolo rettangolo per il coseno vale la relazione:
esempio B
c
a
α O
b
C relazioni dei triangoli rettangoli
esempi
e
C
γ
e
e
a
b
e
β A
v 1.9
c
B
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e
e
e 84
Teoremi sui triangoli qualsiasi
trigonometria
teorema della corda in una circonferenza la lunghezza di una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:
B β
α
A
oppure
corollario
per il teorema della corda, in un triangolo il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo:
C γ
a
b
β
α A
B
c
teorema dei seni o di Eulero in un triangolo ogni lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo opposto:
C
b
a
γ
α
β
A
B
c
teorema delle proiezioni in un triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:
C b
γ
a
α
β
A
c
B
teorema del coseno o di Carnot C b
a
γ
β
α A
c
B
in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.
area di un triangolo l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due
C b
a
γ
α A v 2.3
β c
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85
Formule di Trigonometria
trigonometria
formule di Briggs C
b
a
γ
α
β
A
B
c
dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati a, b, c e il semiperimetro p, i seni, i coseni, le tangenti e le cotangenti delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:
formula di Erone C
a
b A
B
c
l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p come:
teorema delle tangenti o di Nepero C
a
b α A
β c
B
applicazioni della trigonometria alla geometria analitica
α
r α
significato del coefficiente angolare m di una retta di equazione in forma esplicita
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare ed
s
v 2.0
se se
è acuto la tangente è positiva è ottuso la tangente è negativa
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86
Formule di Trigonometria
trigonometria
applicazioni della trigonometria alla geometria raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo
C γ
b α
A
a
R O
β
c
raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo
C γ
b
a r
α A
= area del cerchio
oppure
B
β B
c
= area del cerchio
oppure
p = semiperimetro del triangolo
raggio delle circonferenze ex-inscritte ad un triangolo (cioè tangenti a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due)
ra
oppure
C
oppure
γ b
a α
oppure
β
A
B
c
C
= area del cerchio
mediane di un triangolo
a
b
M
p = semiperimetro del triangolo
ma A
B
c
bisettrici di un triangolo
C γ
b
ba
α/2
A
D
a β B
c
area di un parallelogramma
D
C
area di un quadrilatero D
b A
v 2.0
α
A
a
B
α
C
d1
d2 B
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87
Elementi di topologia della retta
analisi
insieme l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto
secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”
intervallo
un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) oppure
oppure
per approfondimenti sull’argomento consulta le schede ‘Insiemi’ e ‘Intervalli: classificazione e rappresentazione’
intorno completo di un punto
l’intorno completo di un punto
è un intervallo che contiene il punto
e può essere aperto o chiuso
intorno circolare di un punto l’intorno circolare di un punto
è un intervallo di centro il punto
5
4
e può essere aperto o chiuso
minimo di un insieme
5
3
il minimo m di un insieme I è l’elemento più piccolo appartenente all’insieme: dato l’insieme dato l’insieme
il minimo è il minimo
massimo di un insieme
dato l’insieme
il massimo è il massimo
ed 5
2
5
2
minorante di un insieme
7
2
il massimo M di un insieme I è l’elemento più grande appartenente all’insieme: dato l’insieme
10
2
ed
5 5
un minorante di un insieme è un elemento, non necessariamente appartenente all’insieme, che è minore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme dato l’insieme
, 1 è ad esempio un minorante mentre l’intervallo
maggiorante di un insieme
è l’insieme dei minoranti
un maggiorante di un insieme è un elemento, non necessariamente appartenente all’insieme, che è maggiore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme dato l’insieme v 2.1
, 5 è ad esempio un maggiorante mentre l’intervallo
è l’insieme dei maggioranti
osserva che l’insieme dei minoranti è sempre chiuso a destra; l’insieme dei maggioranti è sempre chiuso a sinistra © 2012 - www.matematika.it
88
Elementi di topologia della retta
analisi
estremo inferiore di un insieme l’estremo inferiore di un insieme I inf I è il massimo dell’insieme dei minoranti di dato l’insieme
infatti l’insieme dei minoranti di è
ed il massimo è proprio 2
estremo superiore di un insieme
l’estremo superiore di un insieme I sup I è il minimo dell’insieme dei maggioranti di dato l’insieme
•
infatti l’insieme dei maggioranti di è esempio
2 è il minimo
•
dato l’insieme
• è l’insieme
dei minoranti
•
ed il minimo è proprio 5
2 è l’estremo inferiore
5 NON è il massimo
•
è l’insieme
dei maggioranti
•
insieme dei maggioranti
insieme dei minoranti 2
5 è l’estremo superiore
5
osserva che se l’insieme è chiuso il minimo e il massimo esistono e coincidono con l’estremo inferiore e superiore; se l’insieme è aperto il minimo e il massimo non esistono mentre esistono sempre l’estremo inferiore e superiore
punto di accumulazione
per un insieme
un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto cade almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che l’appartenenza o meno del punto all’insieme non è legata all’essere o meno di accumulazione per l’insieme stesso come vedremo meglio nei successivi quattro esempi esempi
ed è di accumulazione
ed è di accumulazione
e non è di accumulazione
e non è di accumulazione
sia
ed
sia
ed
sia
ed
2
3 appartiene ad I ed è di accumulazione
sia
ed
1 appartiene ad I e non è di accumulazione
6
2
6
1
2
6
1
2
6
2 non appartiene ad I ed è di accumulazione
1 non appartiene ad I e non è di accumulazione
3
un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato
v 2.1
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89
Funzioni: definizione e tipi
analisi
definizione Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme X uno ed un solo elemento di un insieme Y Una funzione si indica con • • •
dove:
è un generico elemento di X ed
o
si chiama immagine di
l’insieme X viene chiamato dominio o campo di esistenza di f
ed appartiene all’insieme Y
il sottoinsieme di Y formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di f
tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca
d ●
Y ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
X
Y
a ●
● 1
b ●
● 2
X a ● b ● c ●
c ● d ●
X
Y
a ●
● 1
b ●
● 2
c ●
● 3
d ●
● 4
X a ● b ● c ● d ●
X a ● b ● c ● d ●
v 3.5
● 3
Y ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
Y ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
• • ⋅ ⋅
• • ⋅ ⋅ •
• ⋅
funzione iniettiva
una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme X corrispondono elementi distinti dell’insieme Y f(x) iniettiva
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme X è il dominio, il sottoinsieme di Y contenente gli elementi associati ad elementi di X, rappresenta il codominio di f
funzione suriettiva
una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme Y è immagine di almeno un elemento dell’insieme X f(x) suriettiva
la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme X è il dominio, l’insieme Y è il codominio di f
funzione biunivoca o biettiva
una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell’insieme X corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme Y e viceversa f(x) biunivoca
e viceversa
l’insieme X è il dominio, l’insieme Y è il codominio di f
funzione non iniettiva, non suriettiva
la funzione della figura a sinistra: • •
⋅
NON è iniettiva perché gli elementi distinti “b, c” dell’insieme X hanno la stessa immagine “2” NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell’insieme Y (“4, 5”) sono immagine di un elemento dell’insieme X
l’insieme X è il dominio, il sottoinsieme di Y, che contiene gli elementi associati ad elementi di X, rappresenta il codominio di f
corrispondenza
la figura a sinistra non rappresenta una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: all’elemento “b” dell’insieme X sono associati più elementi (“2, 3”) dell’insieme Y. In tal caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2012 - www.matematika.it
90
Funzioni: definizione e tipi
analisi
funzioni numeriche •
• •
una generica funzione si indica con
è detta variabile indipendente ed appartiene al dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al codominio
se ed
sono numeri reali allora la funzione si dice funzione reale di una variabile reale
in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano; l’insieme di tali punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione
grafico di una funzione reale
consideriamo ad esempio la funzione radice cubica
x
Y
X
0
● 0 ● ● 1 ● ● ●
0● ● 1● ● ● ●
rappresentazione insiemistica Y
-2
X
•
X Y
2
tipi di funzione
•
●
●
●
●
●
●
●
X
●
grafico della funzione
la funzione in figura è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y la funzione non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la funzione in figura è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X la funzione non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y
la funzione in figura è biunivoca cioè sia iniettiva che suriettiva, infatti: • è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y • è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X
X
Y
v 3.5
-8
1
coppie di numeri associati
•
Y
-1
8
•
Y
0
-1 1
Y
X
X
la funzione in figura non è iniettiva e non è suriettiva, infatti: • non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y • non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la curva in figura non è una funzione perché ai punti sull’asse delle X corrisponde più di un’ordinata sull’asse delle Y. In questo caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2012 - www.matematika.it
91
Grafici delle funzioni elementari
analisi
v 2.8
potenza con n pari
radice con n pari
potenza con n dispari
radice con n dispari
coseno
arcocoseno
logaritmo con a > 1
esponenziale con a > 1
tangente
arcotangente
logaritmo con 0 < a < 1
esponenziale con 0 < a < 1
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seno
cotangente
arcoseno
arcocotangente 92
Grafici di funzioni: trasformazioni
analisi
Noto
grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione ottenuta da quella nota mediante una semplice trasformazione. funzione iniziale
il
Di seguito si riportano i casi più comuni per una funzione a dominio positivo
traslazione verso l’alto di
unità
dilatazione sull’asse y di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse x
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x
traslazione verso sinistra di
unità
contrazione sull’asse x di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse y
riflessione rispetto all’asse delle y
traslazione verso il basso di
unità
contrazione sull’asse y di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y
traslazione verso destra di
v 2.4
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unità
dilatazione sull’asse x di un fattore 93
analisi
Campo di esistenza o Dominio di funzioni funzione
condizione funzione fratta
si pone il denominatore diverso da 0
funzione radice ad indice pari
n pari
si pone il radicando maggiore o uguale di 0
funzione logaritmo
si pone l’argomento maggiore di 0
funzione logaritmo con una funzione alla base si pone
α α
funzione potenza con esponente una frazione positiva o un numero irrazionale positivo
frazione positiva o irrazionale positivo
si pone la funzione maggiore o uguale di 0
funzione potenza con esponente una frazione negativa o un numero irrazionale negativo
frazione negativa o irrazionale negativo
si pone la funzione maggiore di 0
funzione elevata ad una funzione
si pone la funzione alla base maggiore di 0
funzione tangente
si pone l’argomento diverso da
funzione cotangente
si pone l’argomento diverso da
funzione arcoseno
si pone l’argomento compreso tra
funzione arcocoseno
si pone l’argomento compreso tra
e e
• le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono •
v 2.4
definite se sono necessarie più condizioni esse vanno messe a sistema © 2012 - www.matematika.it
94
Definizione di limite di una funzione
analisi
premessa
definizione
considerata una funzione •
sia D il suo dominio
•
sia
un punto di accumulazione per D
si dice che è il limite per che tende a e si scrive
di
se:
:
• per ogni intorno • esiste un intorno • tale che per ogni : • appartenente all’intorno • appartenente al dominio D • diverso dal punto • si ha che appartiene all’intorno
definizione insiemistica
La definizione insiemistica di limite di una funzione in un punto è una definizione generale. Essa è infatti valida per ogni valore finito o infinito di e di . La lettura di tale definizione è riportata in alto nel riquadro “definizione” definizione algebrica
)
La definizione algebrica di limite è una “traduzione” di quella insiemistica, quella qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. rappresentano numeri positivi molto piccoli, in particolare: • rappresenta il raggio dell’intorno i cui estremi sono “ ” ed “ ” • rappresenta il raggio dell’intorno di centro i cui estremi sono ” “ ed “ “ definizione mista
La definizione mista di limite è una “composizione” delle precedenti definizioni. In particolare essa prende la simbologia della definizione algebrica in riferimento all’asse delle y (quella nella prima e nell’ultima parte) e prende la simbologia della definizione insiemistica in riferimento all’asse delle x (quella nella parte centrale) La definizione qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. osservazioni
L’esistenza del limite di una funzione in un punto è indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso. Può infatti accadere che: • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione e sono uguali • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione ma sono diversi • nel punto esiste il limite della funzione ma non esiste il valore della funzione v 3.7
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95
analisi
Tutte le definizioni di limite di una funzione: insiemistica, algebrica, mista
Data una funzione
l
●
sia D il suo dominio e sia
un punto di accumulazione per il dominio
●
xo
x0
x0
l
l
v 2.1
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96
Algebra e calcolo
analisi
di
limiti
algebra dei limiti
il segno davanti a nel risultato va stabilito in base alla regola dei segni
forme indeterminate
calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata forma indeterminata che si ottiene dal calcolo
• • •
• • • • •
cosa fare:
mettere in evidenza la
di grado massimo
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
al numeratore mettere in evidenza la di grado massimo del numeratore e al denominatore mettere in evidenza la di grado massimo del denominatore semplificare dove è possibile
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni scomporre numeratore e denominatore semplificare
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
osservando che: • • •
moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
osservando che: • • • per risolvere per risolvere •
• • • •
bisogna considerare il grado del polinomio al numeratore e il grado del polinomio al denominatore •
v 2.6
moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
sostituire o alla di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio tenere conto dei segni
se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è tenendo conto dei segni
se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo
se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero
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97
Limiti notevoli
analisi
funzioni goniometriche
funzioni esponenziali e logaritmiche
l’ uguaglianza a sinistra può essere utile per risolvere alcuni limiti che si presentano nelle forme indeterminate
ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietà che lasciano invariato il risultato limite iniziale
se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito
se nel limite al posto di x c’è nx il risultato del limite resta lo stesso
se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito
frazioni equivalenti per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune delle possibili operazioni con le frazioni:
scomporre la frazione iniziale in due frazioni
v 3.0
dividere ogni monomio del numeratore e del denominatore per la stessa quantità n
moltiplicare e dividere la frazione per la stessa quantità n
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moltiplicare e dividere il numeratore per n e/o moltiplicare e dividere il denominatore per m
98
analisi
Definizione di funzione continua, crescenza e descrescenza di una funzione definizione di funzione continua in un punto
f(x0 ) = l
f(x)
●
●
• • •
•
xo
data una funzione della funzione
la funzione
ed un punto
appartenente al dominio D
si dice continua nel punto
diversamente il punto
se:
cioè:
si dice punto di discontinuità per
si osservi che in un punto isolato la funzione è continua
Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti punti dell’intervallo
classificazione dei punti di discontinuità
per classificare un punto
di discontinuità si calcolano separatamente il limite sinistro ed il limite destro A seconda dei valori di ed i punti si classificano in tre specie: •
l2 l1
● ●
il punto si dice punto di discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro della funzione in sono diversi e finiti, cioè:
con
●
xo •
●
xo
l1 = l2
• ●
●
si dice salto della funzione
il punto si dice punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti sinistro o destro della funzione in è uguale a infinito, cioè:
oppure
il punto si dice punto di discontinuità di terza specie o eliminabile se i limiti sinistro e destro della funzione in sono uguali e finiti cioè:
con
xo
in questo caso la discontinuità si può eliminare ponendo
definizione di funzione crescente e decrescente in un intervallo f(x2)
●
f(x1)
●
f(x) ●
f(x1) f(x2)
b
f(x)
● ●
a v 1.5
●
x2
x1
a
●
x1
●
x2
b
una funzione
si dice crescente in un intervallo chiuso
una funzione se:
si dice strettamente crescente in un intervallo chiuso
una funzione
si dice decrescente in un intervallo chiuso
una funzione chiuso se:
si dice strettamente decrescente in un intervallo
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se:
se:
99
Definizione dei punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti
analisi
punti minimorelativi relativididiuna unafunzione funzione puntididimassimo massimoe ediminimo sia
una funzione definita nel dominio , sia
f(x)
Ix0
● ●
f(x)
massimo se
●
x0
x
un punto si dice di minimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia minore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I
●
Ix0
m
f(x0) ● ●
minimo se
●
x0
x
un intorno di
un punto si dice di massimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia maggiore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I
M
f(x0) ●
un punto appartenente al dominio, sia
punti di massimi e minimi assoluti di una funzione sia
f(b)
una funzione continua in un intervallo
f(x1) f(a) f(x2) x1
x2
massimo relativo
minimo assoluto
a
b massimo assoluto
e sia
un punto appartenente ad
un punto intervallo
si dice di massimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata maggiore in cioè se
un punto intervallo
si dice di minimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata minore in cioè se
relazione tra i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti Osserva che un punto di massimo o di minimo assoluto non deve necessariamente essere un punto di massimo o di minimo relativo (e viceversa). Ad esempio nel grafico precedente nell’intervallo [a, b] si ha che: • • • •
il punto il punto il punto
il punto
non è né di massimo nè di minimo assoluto o relativo è di massimo relativo ma non di massimo assoluto
è un punto di minimo relativo ma anche di minimo assoluto
è di massimo assoluto ma non di massimo relativo osservazione
f(b)
nel grafico di sinistra nell’intervallo [a, b] si ha che: • il punto
f(a) a
minimo assoluto v 1.2
b
massimo assoluto
• il punto
è di minimo assoluto ma non di minimo relativo
è di massimo assoluto ma non di massimo relativo
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100
Definizione di concavità, punti di flesso, punti angolosi e punti cuspidali definizione di funzione concava in un intervallo sia
una funzione definita nel dominio D, sia
t
●
●
a
b
●
una funzione si dice concava verso il basso in un intervallo se il grafico della funzione in per ogni punto appartenente ad è al di sotto della retta tangente al grafico della funzione nel punto P0 di coordinate
b F
punti di flesso
t
●
una funzione si dice concava verso l’alto in un intervallo se per il grafico della funzione in è al ogni punto appartenente ad di sopra della retta tangente al grafico della funzione nel punto P0 di coordinate
t
●
a
un intervallo interno al dominio
un punto si dice punto di flesso per una funzione se la retta tangente in F ( ) attraversa il grafico della funzione punti angolosi e punti cuspidali un punto si dice punto angoloso per una funzione se i limiti dei rapporti incrementali da sinistra e da destra sono diversi ed almeno uno dei due è finito con almeno uno dei due limiti finito
un punto si dice punto cuspidale se i limiti dei rapporti incrementali da sinistra e da destra sono entrambi uguali ad infinito ●
osservazioni
v 1.1
o viceversa
• I punti angolosi e cuspidali sono un esempio di punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. • I punti angolosi e cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e decrescenza della funzione nell’intorno sinistro e nell’intorno destro del punto angoloso o del punto cuspidale. © 2012 - www.matematika.it
101
Rapporto incrementale – Derivata
analisi
definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto
f(x0)
•
y = f(x)
f(x0+h) Δy
•
Δx
xo
data una funzione dominio D della funzione
nel punto
si chiama incremento della variabile x
•
il rapporto incrementale ha senso per ogni
appartenente al
si chiama rapporto incrementale della funzione il rapporto:
•
xo+h
ed un punto
tale che
si chiama incremento della funzione
appartiene ancora al dominio D della funzione
definizione di derivata prima di una funzione in un punto
•
data una funzione
•
ed un punto
si definisce derivata prima di
appartenente al dominio D della funzione
nel punto
il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di
se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che dominio e per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i simboli: ,
in
:
è derivabile nell’intervallo o nel ,
definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto
si definisce derivata prima sinistra di nel punto il si definisce derivata prima destra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale in : in : di di
significato geometrico di derivata
y = mx+q f(x0)
la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa cioè nel punto :
P0
x0 per trovare l’equazione della retta • • • v 1.6
tangente al grafico di una funzione
si calcola la derivata prima della funzione nel punto
nell’equazione del fascio di rette e ad
si ottiene così l’equazione della retta tangente:
e si ottiene
si sostituiscono ad
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ed
nel punto
:
le coordinate del punto
102
analisi
Derivate derivate delle funzioni elementari dove k è una costante
regole di derivazione prodotto di una costante k per una funzione somma di due o piĂš funzioni prodotto di due funzioni prodotto di tre funzioni
rapporto di due funzioni
funzione composta funzione elevata ad una funzione v 1.6
Š 2012 - www.matematika.it 103
Studio del grafico di una funzione
analisi
ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione
1
n pari
Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite
studio del segno della funzione
2
+ ―
●
●
―
+ +
+
+ ● ―
●
●
•
si pone la funzione maggiore di zero
•
si risolve la disequazione
•
si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio
•
si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste
studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani
3
●
●
intersezioni con l’asse x o zeri della funzione: •
●
si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione
•
le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione
intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente):
●
•
si sostituisce 0 alla x nella funzione
•
si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y
gli eventuali punti di intersezione con l’asse x (o zeri della funzione) si possono anche dedurre dalla osservazione del grafico relativo allo studio del segno della funzione
studio delle eventuali simmetrie e periodicità di una funzione
4
una funzione simmetrica rispetto all’asse delle y si dice pari
• • • •
si sostituisce x con − x si sviluppano i calcoli se la funzione è pari
una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi si dice dispari
• •
• •
si sostituisce x con
−x
una funzione che ripete periodicamente la forma si dice periodica
•
si sviluppano i calcoli e si raccoglie il “ “ •
se la funzione è dispari
• •
si sostituisce x con si sviluppano i calcoli se la funzione è periodica di periodo T
lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici
v 2.8
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104
Studio del grafico di una funzione
analisi
asintoti di una funzione
5
asintoto verticale dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso
f(x)
●
come si cerca:
xo
asintoto orizzontale
dove si cerca: •
f(x) n
a
se il dominio lo consente
come si cerca:
●
•
solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo
asintoto obliquo
dove si cerca: •
se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzont
come si cerca:
f(x)
studio della monotonia di
6
a
e ricerca dei massimi e minimi relativi •
monotonia
•
f cresce
+
7
f decresce
-
max
•
f cresce
min
+
•
•
verso l’alto
+
si risolve la disequazione
e la si pone maggiore di 0
si individuano le regioni di piano dove: è crescente
è decrescente
osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione
studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione •
concavità
si calcola la derivata prima di
verso il basso
flesso
-
verso l’alto
flesso
+
•
•
si calcola la derivata seconda di si risolve la disequazione
e la si pone maggiore di 0
si individuano le regioni di piano dove:
è concava verso l’alto
è concava verso il basso
osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione
Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo valori arbitrari (appartenenti al dominio) alla x nel testo della funzione e calcolando le rispettive y v 2.8
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105
Ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione
analisi
ricerca diretta dei punti di massimo e minimo relativi e di flesso orizzontale per una funzione sia
una funzione definita nell’intervallo
e sia
M
f(x0)●
un punto appartenente all’intervallo F
t
m f(x0)● ●
a
●
b
●
b
a
i punti di massimo e minimo relativi per una funzione sono da ricercare tra i punti che annullano la derivata prima ma non annullano le derivate di ordine pari. I punti di flesso orizzontale sono da ricercare tra i punti che annullano la derivata prima ma non annullano le derivate di ordine dispari successive alla prima
• • •
•
•
•
si calcola la derivata prima di si pone
si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni
•
i punti
•
possono essere di massimo, di
minimo o di flesso orizzontale
i punti così trovati si analizzano uno alla volta
se:
è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola
se:
è un punto di flesso orizzontale si calcola
se:
è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola ………. e così via
sostituendoli nelle derivate di ordine successivo
ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti di una funzione in un intervallo [a, b]
f(b)
f(b)
f(x1) f(a) f(x2)
f(a) a
x1 massimo relativo
x2 minimo assoluto
b
massimo assoluto
a
minimo assoluto
b
massimo assoluto
per trovare i punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] si può procedere nel seguente modo: • • • • •
v 1.1
si cercano i punti di massimo e minimo relativi della funzione con uno dei metodi conosciuti
dei punti così trovati si considerano solo quelli appartenenti all’intervallo [a, b] di ognuno di questi punti si calcola il valore della funzione (l’ordinata)
si calcola anche il valore della funzione (l’ordinata) nei punti a e b estremi dell’intervallo
tra tutti i punti di cui abbiamo calcolato l’ordinata, quello di ordinata maggiore è il massimo assoluto, quello di ordinata minore è il minimo assoluto della funzione nell’intervallo [a, b] © 2012 - www.matematika.it
106
Integrali indefiniti
analisi
immediati
immediati generalizzati dove è una ostante
un integrale generalizzato si ottiene da un integrale immediato sostituendo con e con
in generale lâ&#x20AC;&#x2122;integrale di una funzione composta per la derivata della funzione interna primitiva della funzione esterna
moltiplicata è uguale alla
alcuni metodi di integrazione
prodotto di una costante k per una funzione metodo di decomposizione in somma metodo per parti v 2.3
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107
Principali teoremi di Analisi
analisi
teoremi sui limiti 2 ●
f(x)
1 ● x0 f(x)
f(x2)>0
> 0
f(x1)>0
x0
x2
teorema della permanenza del segno
Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I (escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”
h(x)
g(x)
f(x)
x0
Se una funzione in un punto è dotata di limite finito allora esso è unico
Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 due limiti diversi, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema
x1
teorema di unicità del limite
Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono nel punto x0 allo stesso limite finito allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad teoremi sulle funzioni continue
teorema di Weierstrass
M ●
m
f(x)
●
a M●
k
b
●
●
f(x)
●
m●
x1
a
b f(x)
f(b)
f(a) v 1.9
●
a
● z1
● z2
●
b
Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)
Osserva che un massimo o minimo assoluto non deve necessariamente essere un massimo o un minimo relativo: vedi, ad esempio, il punto m sul grafico che è un minimo assoluto e non un minimo relativo
teorema dei valori intermedi o di Bolzano
Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M” In altre parole, il teorema afferma che ogni punto k dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]
teorema degli zeri
Se una funzione f(x): 1. è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0 allora esiste almeno un punto z interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(z) = 0 © 2012 - www.matematika.it
108
Principali teoremi di Analisi
analisi
teoremi sul calcolo differenziale teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità
f(x)
Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua
Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra
x0
teorema sulla derivata della funzione inversa
il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad inesempio calcolare la derivata di versa della funzione
Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:
teorema di Rolle
f(a)=f(b)
a
f(b) f(a)
●
●
c1
c2
b
P
B
●
A
f(x)
f(x)
●
a
c
b
Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c) = 0 teorema di Lagrange
Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:
il teorema è detto degli incrementi finiti e si può enunciare anche dicendo: se le funzioni f(x) e g(x) verificano le ipotesi indicate, in un opportuno punto c dell’intervallo ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in c è uguale al rapporto tra gli incrementi delle funzioni calcolate agli estremi a e b dell’intervallo [a, b]
teorema di Cauchy
Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ tale che: teorema di de L’Hopital
si osservi che: 1. il teorema si estende anche al caso in cui e il imite si presenta nella forma indeterminata 2.
il teorema, quando opportuno, può essere applicato più volte consecutivamente
v 1.9
Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. derivabili in un intorno I di x0 2. con derivate continue e g′(x) ≠ 0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma allora
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109
Principali teoremi di Analisi
analisi
f ’(x) > 0
teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo
f ’(x) < 0
a
Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I b
M
vale anche il teorema inverso cioè
Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa) teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)
●
m
F ●
Se una funzione f(x) ammette un massimo o un minimo in un punto x0
x0
Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0) = 0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale
allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0
●
x0
x0
teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo
f ’’(x) < 0
f ’’(x) > 0
a
Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un intervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I b
vale anche il teorema inverso cioè
Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa) teorema sui flessi di una funzione
Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda in x0 è nulla, cioè f ′′(x0) = 0
F
Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4) =12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo come illustrato nel disegno affianco
x0
O
teoremi sul calcolo integrale
teorema della media
Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b],
f(c) a
c
b
dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):
v 1.9
allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale che: teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f(x) è una funzione continua in [a, b] e una funzione detta funzione integrale allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha:
F ′(x) = f(x)
In altre parole il teorema, nell’ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x) © 2012 - www.matematika.it
110
analisi per l’università
Sviluppo in serie di funzioni elementari sviluppo in serie di Taylor
• • •
f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in
è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di
o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a
, cioè:
algebra degli o piccoli: per
se
si ha:
si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin
sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari funzione potenza con funzione radice quadrata funzione esponenziale con base funzione esponenziale con base funzione logaritmo in base funzione seno funzione coseno funzione tangente funzione cotangente funzione secante
funzione cosecante funzione arcoseno funzione arcocoseno funzione arcotangente v 2.1
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funzione arcocotangente
111
Serie numeriche
analisi per l’università
definizioni Data la successione
si considerino le somme parziali
si dice serie di termine generale
e si indica con
cioè:
oppure con
carattere della serie
se S è finito
•
altrimenti
•
•
se
Se
converge
se
converge
se
la serie
si dice convergente
la serie
è indeterminata
la serie
si dice divergente
prime proprietà
condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo
assegnate
converge
e
e
e
convergenza del prodotto di una costante per una serie
converge
convergono
convergenza della somma di due serie
serie notevoli simbologia
carattere
divergente
divergente
convergente irregolare
convergente divergente irregolare
convergente
...
divergente
convergente v 1.9
(positivamente o negativamente)
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nome
serie armonica serie armonica generalizzata serie geometrica di ragione serie geometrica di punto iniziale e ragione serie di Mengoli 112
Serie numeriche
analisi per l’università
Criteri di convergenza criterio del confronto per serie a termini non negativi
Date le successioni •
e
se
sia:
converge
se
converge
diverge
diverge
criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi
Date le successioni • •
e
,
se
sia:
se
e
se
le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti
converge
e
converge
diverge
criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi
Data la successione
sia:
•
con
•
diverge
converge
se se
diverge
e
se
converge
e
criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi
Data la successione • •
se
sia: con
converge
se
,
può essere utile in caso di serie con esponenziali
diverge
diverge
se
non si può dire nulla
criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi
Data la successione • •
se
sia: con
,
converge
se
può essere utile in caso di serie con fattoriali
diverge
se
non si può dire nulla
criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente
Data la successione
Data la serie alternante Data la serie v 1.9
sia:
e la serie
• •
se
converge
se
criterio di convergenza assoluta
se
converge
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converge 113
analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ
Funzioni iperboliche: Grafici - Domini - Derivate seno iperbolico
settore seno iperbolico
dominio:
dominio:
coseno iperbolico
settore coseno iperbolico
1 1 dominio:
dominio:
tangente iperbolica
settore tangente iperbolica
1
1
-1 -1
dominio:
dominio:
cotangente iperbolica
settore cotangente iperbolica
1 -1
-1
dominio:
v 1.5
1
dominio:
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114
analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ
Funzioni iperboliche: Definizioni e Sviluppo in serie definizione delle funzioni iperboliche
seno iperbolico
coseno iperbolico
tangente iperbolica
cotangente iperbolica
secante iperbolica
cosecante iperbolica
definizione delle funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico
settore coseno iperbolico
settore tangente iperbolica
settore cotangente iperbolica
settore secante iperbolica
settore cosecante iperbolica
sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche
funzione seno iperbolico funzione coseno iperbolico funzione tangente iperbolica funzione cotangente iperbolica funzione secante iperbolica funzione cosecante iperbolica settore seno iperbolico settore tangente iperbolica v 1.6
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115
analisi per l’università
Coordinate polari
ed
Equazioni di curve notevoli
coordinate polari
y
●
coordinate cartesiane del punto P
P
coordinate polari del punto P
ρ
distanza di P dall’origine
θ x
passaggio di coordinate da cartesiane a polari
misura dell’angolo orientato in senso antiorario e formato da con il semiasse positivo delle x
da polari a cartesiane
equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli grafico
equazione cartesiana
equazione parametrica
equazione polare
retta
con segmento di estremi Q
con
P x2
x1
con
con
e
parabola con asse parallelo all’asse y
con circonferenza
●
di centro
e raggio r
con circonferenza
di centro l’origine e raggio r
con ellisse ●
con ellisse traslata di centro ●
con v 2.2
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116
Elementi di logica delle proposizioni
logica
definizioni
Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa • •
“Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è Vera, la seconda è Falsa “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni
Una tautologia è una proposizione sempre Vera •
“Ora sono le nove o non sono le nove”
è una tautologia perché è una proposizione sempre Vera
“Ora sono le nove e non sono le nove”
è una contraddizione perché è una proposizione sempre Falsa
“Questa frase è falsa”
è un paradosso perchè se supponiamo la frase Vera allora risulta Falsa Viceversa se supponiamo la frase Falsa allora risulta Vera
Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa •
Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera •
principi
una proposizione non può essere contemporaneamente Vera e Falsa
Principio di non contraddizione
se una proposizione è Vera allora la sua negazione è Falsa e non esiste una terza possibilità
Principio del terzo escluso
proposizioni
V V F F
non
V F V F
p∧q =q∧ p p∨q =q∨ p
F F V V
p ∧ (q ∧ r ) = ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q) ∨ r p ∧ (q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )
p∧ p = p p∨ p = p p ∧ ( p ∨ q) = q p ∨ ( p ∧ q) = p p∧q = p∨q p∨q = p∧q v 2.3
operatori logici e tavole di verità e o xor implicazione
V F F F
V V V F
proprietà e leggi
F V V F
V F V V
doppia implicazione
V F F V
proprietà commutativa proprietà associativa proprietà distributiva proprietà di idempotenza proprietà di assorbimento 1a legge di De Morgan: 2a legge di De Morgan:
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“non p e q è uguale a non p o non q” “non p o q è uguale a non p e non q” 117
Progressioni
progressioni
Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il suo precedente è costante: La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con Esempio:
è una progressione aritmetica di primo elemento
formula
cosa fa
esempio
assegnata ad esempio la progressione aritmetica
calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:
e di ragione
dei primi n
con
Calcolo di
e ragione
e
noto
e Calcolo della somma dei primi 5 termini
Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è costante: Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio:
è una progressione geometrica di primo elemento
cosa fa
formula
esempio
assegnata ad esempio la progressione geometrica
calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:
calcola il prodotto elementi: v 2.2
e di ragione
dei primi n
con
Calcolo di
noto
e ragione e
e Calcolo della somma dei primi 5 termini:
dei primi n Calcolo del prodotto dei primi 5 termini:
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118
calcolo combinatorio
Calcolo combinatorio fattoriale di un numero n
Si chiama fattoriale di un numero naturale è anche uguale a
esempi
e si indica con
oppure a
(si legge n fattoriale) il prodotto:
per convenzione
coefficiente binomiale
Il simbolo si chiama coefficiente binomiale di n su k. Il suo valore è dato da: proprietà
calcolo combinatorio Permutazioni
•
senza ripetizione di oggetti
con ripetizione di oggetti
•
Disposizioni
• •
c
•
≠
Combinazioni
≠
•
esempi
Permutazioni
• •
• •
c
• •
v 2.6
con ripetizione di oggetti
quanti anagrammi anche senza senso si possono quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? n = 5 formare con la parola MAMMA? n =5 r1 =3 r2 =2
Disposizioni
in quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre si su 3 sedie numerate? n = 5 k = 3 possono formare? n=3 k=4
Combinazioni
un negoziante vuole esporre 4 paia di scarpe si vogliono distribuire 7 matite identiche a 4 scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si bambini, in quanti modi diversi si possono possono esporre le scarpe? n =10 k = 4 distribuire? fai attenzione n = 4 e k = 7
≠
≠
senza ripetizione di oggetti
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119
Probabilità
probabilità
definizione classica di probabilità
E rappresenta un evento;
è la probabilità che si verifichi l’evento
alcune proprietà
evento impossibile
Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro. Vale la relazione:
evento certo
esempi
Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità: esce il numero 2
esce un numero maggiore di 4
esce il numero 7
esce un numero compreso tra 1 e 6
tipi di eventi
eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri
esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3 Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili
eventi compatibili
Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri
esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado I due eventi ed sono compatibili perché il verificarsi di uno NON esclude il verificarsi dell’altro
Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti
eventi indipendenti
Due o più eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri
eventi dipendenti
Due o più eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed sono dipendenti
v 1.9
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120
Probabilità
probabilità
calcolo della probabilità di due o più eventi probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili
probabilità totale di due o più eventi incompatibili
generalizzando
La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili:
esce il numero 2 esce un numero dispari
probabilità totale di due o più eventi compatibili dove
è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi
La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili: esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili:
esce il numero 2 esce un numero pari
probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente. Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla. Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.
probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti
generalizzando
La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti
esce una carta di cuori esce una figura
v 1.9
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121
Probabilità
probabilità
probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti dove
è la probabilità che si verifichi l’evento
Tale probabilità è detta probabilità condizionata di
una volta verificatosi l’evento
al verificarsi di
La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:
per la
esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:
esce una carta di cuori esce una figura
approfondimento: probabilità subordinata Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline blù e gialle come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla dalla scatola scelta 1a scatola
2a scatola
3a scatola
Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la terza scatola Calcoliamo la Probabilità di estrarre una pallina gialla da una scatola scelta a caso
teorema di Bayes Consideriamo l’esempio del riquadro precedente con in più i seguenti eventi: estrazione della pallina gialla dalla prima scatola estrazione della pallina gialla dalla seconda scatola estrazione della pallina gialla dalla terza scatola Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla da una precisa scatola
ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes v 1.9
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122
Probabilità
probabilità
tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace) La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti
definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)
La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni): è detta anche frequenza dell’evento E
La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni
esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:
Si effettuano
con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta rivolta verso il Basso. In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.
lanci, si conta il numero
di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha:
maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato
alcune proprietà come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1
non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove
non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove
legge dei grandi numeri Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento
Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequentista. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:
Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento
La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.
vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori v 1.9
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123
Numeri Complessi
numeri complessi
numeri immaginari
• •
si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di
:
un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo ad esempio:
•
le potenze di
in generale
si ripetono di 4 in 4 infatti: con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:
perchè
numeri complessi (forma algebrica)
•
•
con resto r = 3
un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario: Esempio:
due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta. Esempio:
Somma:
e
sono numeri complessi coniugati
operazioni tra numeri complessi
Dati due numeri complessi
si sommano le parti reali e le parti
e
immaginarie
Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi ricordando che
Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei due numeri per il complesso
Potenza:
coniugato del denominatore
si effettua la potenza del binomio
Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi scheda di approfondimento)
esempio
risolviamo la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:
v 2.6
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124
Numeri complessi: approfondimento
numeri complessi
rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica
forma trigonometrica i
i
z
z
b
ρ
a
R
= parte reale
b
θ
= parte immaginaria
a
R
passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica
•
= modulo
= anomalia
per il teorema di Pitagora
•
per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:
per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo (vedi i seguenti esempi)
per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica basta calcolare i valori del seno e coseno e sviluppare i calcoli
potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)
Esempio:
radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica con k = 0,1,2,…,n-1 Esempio:
con k = 0 e k = 1 cioè:
k =0
k =1
nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni
forma esponenziale di un numero complesso
la forma esponenziale di un numero complesso z è: si ottiene applicando alla forma trigonometrica v 2.5
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la formula di Eulero 125
Le grandezze fisiche
fisica
grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (S.I.) nome della grandezza lunghezza massa
intervallo di tempo carica elettrica temperatura
intensità di corrente elettrica intensità luminosa
quantità di sostanza
simbolo
unità di misura
simbolo
l, h, L
Metro
m
m, M
Chilogrammo
kg
T
Coulomb
grado Kelvin
C
K
m
Candela Mole
cd
mol
Steradiante
sr
t,
q
i, I L
angolo piano
angolo solido
nome della grandezza area
volume densità
velocità
accelerazione frequenza
velocità angolare forza
pressione
quantità di moto
momento angolare energia lavoro
potenza calore
capacità termica calore specifico calore latente
intensità di campo elettrico
differenza di potenziale elettrico forza elettromotrice capacità elettrica resistenza resistività
intensità di campo magnetico flusso magnetico
induttanza elettrica v 2.2
Secondo Ampere
Radiante
alcune grandezze derivate simbolo A, S V v
P
q, Q, p p, P
E, K
L, W
W, P Q C
A
rad
unità di misura (SI)
simbolo
metro quadrato
m2
chilogrammo su metro cubo
kg/m3
metro su secondo quadrato
m/s2
metro cubo
metro su secondo
F, f
s
m3
m/s
Hertz
Hz = 1/s
Newton
N = kg⋅m/s2
chilogrammo per metro su secondo
kg⋅m/s
radiante su secondo Pascal
rad/s
Pa = N/m2
chilogrammo per metro al quadrato su secondo
kg⋅m2/s
Joule
J = N⋅m
Joule
J = N⋅m
Watt
W = J/s
Joule su Kelvin
J/K
Joule
J = N⋅m
c
Joule su Kelvin per chilogrammo
J/(K⋅kg)
E
Newton su Coulomb
N/C
Joule su chilogrammo
, f.e.m. C
R M L
J/kg
Volt
V = J/C
Farad
F = C/V
Volt
V = J/C
Ohm
Ω = V/A
Tesla
T = N/A⋅m
Ohm per metro Weber Henry
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Ω⋅m
Wb = T⋅m2 H = V⋅S/A
126
Le grandezze fisiche
fisica
tabelle di conversione al Sistema Internazionale lunghezze 3,09 1016 m
1 parsec (pc)
1 anno luce (a.l.)
9,461∙1015 m
1 unità astronomica (UA)
0,9144 m
1 piede (ft)
0,3048 m
1 pollice (in)
2,54
1 micron (μm)
1 bar (bar)
1 grano (grain) 1 m3
simbolo Y Z E P T G M k h da km hm dam m dm cm mm
v 2.2
m
1,602 ∙
1000 litri
masse
1000 kg 100 kg
1 carato (car) 1 oncia (oz)
2
3,2
kg
kg
temperatura
gradi Celsius (°C)
gradi Fahrenheit (°F)
volumi 1 gallone britannico (gal) 4,54 1 litro (l)
1,013 Pa
1 pinta britannica (pt)
altre unità di misura 1 ettaro (ha) 10.000 m2 1 B.T.U.
1055 J
0,57
1 acro (ac) 1 nodo (k)
multipli e sottomultipli delle unità di misura fattore 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
nome Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Chilo Etto Deca
lunghezze chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro
60 s
1 quintale (qt)
133 Pa
0,064 g
3600 s
1 tonnellata (ton)
J
pressione 105 Pa
86.400 s
1 minuto (min)
m
energia 4,186 J
1 mm di mercurio (mmHg) 1 atmosfera (atm)
m
2.600.000 s
1 ora (h)
1609,3 m
1 yarda (yd)
1 elettronVolt (eV)
1 giorno (d)
5556 m
1 miglio (mi)
1 caloria (cal)
1 mese
1,50∙1011 m
1 lega marina (lea)
1 Ångstrom (Å)
1 anno (a)
intervalli di tempo 31.600.000 s
simbolo d c m μ n p f a z y
nome
m3
m3
m3
0,40 ha
1,852 km/h fattore
deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto
scale di misura per le grandezze più utilizzate kg hg dag g dg cg mg
masse chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo
tempo --secolo a. anno --mese d giorno h ora min minuto s secondo
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volumi --hl dal l dl cl ml
--ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro
127
Elaborazione dei dati sperimentali
fisica
nome
definizione
formula
media aritmetica
somma di tutti i dati diviso il numero di dati
errore relativo
semidispersione diviso la media aritmetica
valore massimo meno valore minimo diviso due
errore assoluto
errore percentuale scarto
differenza tra il valore del dato di posto e la media aritmetica
deviazione standard
radice quadrata dello scarto quadratico medio
somma dei quadrati degli scarti diviso il numero di dati
scarto quadratico medio
frequenza assoluta
numero di volte in cui un dato si presenta
frequenza percentuale
frequenza relativa
mediana
valore a metà dell’insieme numericamente la media aritmetica dei due dati ordinato dei dati centrali
frequenza relativa
frequenza assoluta diviso il numero n di dati
vanno riportati i valori delle misure che si presentano lo stesso numero di volte
valore o valori che compaiono più frequentemente nei dati sperimentali
moda
se il numero di dati è pari si calcola
esempio
in un esperimento, per ricavare il tempo di caduta di un oggetto da un’altezza di 10 m, si ripete il lancio dieci volte raccogliendo i seguenti dati (in secondi): n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v 1.1
misure misure raccolte ordinate
1,43
1,38
1,38
1,41
1,42 1,40 1,42 1,41 1,44 1,42 1,48 1,43
1,40 1,42 1,42 1,42 1,43
scarto
scarto al quadrato
0,02
0,0004
0,04 0,01 0,00 0,00 0,00
media
0,0001
errore relativo
0,00 0,00 0,00
0,01
0,0001
0,02
0,0004
1,43
0,01
1,48
0,06
1,44
0,0016
0,0001 0,0036
misure ordinate senza ripetizioni
1,38 1,40
errore assoluto errore percentuale
%
1,43 1,48
deviazione standard
mediana
1,42 1,44
scarto quadratico medio
moda
1,41
assoluta
1 1 1 3 2 1 1
frequenza
relativa percentuale
0,1
10%
0,1
10%
0,1 0,3 0,2 0,1 0,1
10% 30% 20% 10% 10%
1,42 1,42
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128
curiosità
Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4
un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre
• •
316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4
divisibilità per 7
un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7
• •
287 è divisibile per 7 perché
376 non è divisibile per 7 perché
divisibilità per 9 •
un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9
•
che è multiplo di 7
che non è multiplo di 7
873 è divisibile per 9 perché multiplo di 9
546 non è divisibile per 9 perché non è multiplo di 9
che è
che
divisibilità per 13 •
un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13
•
845 è divisibile per 13 perché e che è multiplo di 13 1467 non è divisibile per 13 perché 146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13
divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17
• •
1071 è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17
che è
divisibilità per 19
un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19
• •
1216 è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un multiplo di 19
divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23
• •
345 è divisibile per 23 perché di 23 102 non è divisibile per 23 perché multiplo di 23
è multiplo non è
divisibilità per 25
un numero è divisibile per 25 se finisce con 0, 25, 50, 75 v 1.6
• •
375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46
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129
∏ Pigreco
curiosità
le prime 2.000 cifre
3,14159 74944 06647 05559 83165 41273 90360 91953 52724 24737 05132 40901 21960 49951 85035 47303 80532 85863 13891 27855 24012 55379 52104 73263 15030 02955 07426 49192 49468 22184 84383 84896 94945 32645
26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 99581 33904 78027 59009 94657 64078 95126 94683 98352 59570 98 …i..
è il numero irrazionale trascendente che rappresenta il valore del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Per determinare il suo valore Archimede usò il metodo dei perimetri, cioè considerò i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza di raggio che approssimano la lunghezza della stessa circonferenza. All’aumentare del numero dei lati dei poligoni, si ottiene una coppia di classi contigue di numeri che ammette come elemento di separazione. v 1.7
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130
curiosità
e numero di Nepero le prime 2.000 cifre
2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 362509 443117 301238 197068 416140 397019 837679 320683 282376 464804 295311 802328 782509 819455 815301 756717 361332 069811 250996 181881 593041 690351 598888 519345 807273 866738 589422 879228 499892 086805 825749 279610 484198 444363 463244 968487 560233 624827 041978 623209 002160 990235 304369 941849 146314 093431 738143 640546 253152 096183 690888 707016 768396 424378 140592 714563 549061 303107 208510 383750 510115 747704 171898 610687 396965 521267 154688 957035 035402 123407 849819 334321 068170 121005 627880 235193 033224 745015 853904 730419 957777 093503 660416 997329 725088 687696 640355 570716 226844 716256 079882 651787 134195 124665 201030 592123 667719 432527 867539 855894 489697 096409 754591 856956 380236 370162 112047 742722 836489 613422 516445 078182 442352 948636 372141 740238 893441 247963 574370 263755 294448 337998 016125 492278 509257 782562 092622 648326 277933 386566 481627 725164 019105 900491 644998 289315 056604 725802 778631 864155 195653 244258 698294 695930 801915 298721 172556 347546 396447 910145 904090 586298 496791 287406 870504 895858 671747 985466 775757 320568 128845 920541 334053 922000 113786 300945 560688 166740 016984 205580 403363 795376 452030 402432 256613 527836 951177 883863 874439 662532 249850 654995 886234 281899 707733 276171 783928 034946 501434 558897 071942 586398 772754 710962 953741 521115 136835 062752 602326 484728 703920 764310 059584 116612 054529 703023 647254 929666 938115 137322 753645 098889 031360 205724 817658 511806 303644 281231 496550 704751 025446 501172 721155 519486 685080 036853 228183 152196 003735 625279 449515 828418 829478 761085 263981 395599 006737 648292 244375 287184 624578 036…xx
Il numero e, detto numero di Nepero, è la base dei logaritmi naturali che generalmente vengono indicati con ln(x). Il numero e, come il numero π, è un numero irrazionale trascendente. v 1.7
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131
Quante volte si può piegare un foglio di carta?
curiosità
risposta Non più di 7 volte perché lo spessore che si viene a creare ad ogni piega del foglio cresce in modo molto veloce secondo una legge che prende il nome di progressione geometrica di ragione 2 ciò vuol dire che ad ogni nuova piega lo spessore del foglio ed il numero di strati raddoppiano.
spiegazione pratica
pieghiamo un foglio di carta, di qualunque dimensione, lungo il lato lungo come in figura. Otteniamo 1 piega e 2 strati di carta comprimiamo bene il pacchetto e ripieghiamo ancora sul lato lungo. Otteniamo 2 pieghe e 4 strati di carta ripetiamo ancora l’operazione comprimendo bene il pacchetto e ripieghiamo sul lato lungo. Otteniamo 3 pieghe e 8 strati di carta
con difficoltà crescente possiamo continuare a piegare fino ad ottenere 7 pieghe e 128 strati di carta L’ottava piega è praticamente impossibile perché impedita dallo spessore dei 256 strati di carta
nel 2001 la studentessa americana Britney Gallivan ha stabilito il record di 12 pieghe usando un foglio di carta stagnola
spiegazione matematica se consideriamo un normale foglio per fotocopie di formato A4 dello spessore di 0,1 mm otteniamo: Pieghe
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Strati
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192 16384 32768
Spessore in mm
0,1
0,2
0,4
0,8
1,6
3,2
6,4
12,8
25,6
51,2
102,4
204,8
409,6
819,2
1638,4
15
3276,8
Spessore 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0.0016 0,0032 0,0064 0,0128 0,0256 0,0512 0,1024 0,2048 0,4096 0,8192 1,6384 3,2768 in metri
si definisce progressione geometrica una successione di numeri tali che il rapporto tra un numero e il suo precedente è sempre lo stesso. Tale rapporto si chiama ragione. Ad esempio i valori della riga “Strati” crescono secondo una progressione geometrica la cui ragione è 2. osservazione
v 1.1
oltre la soglia di 8 pieghe si può procedere solo in termini teorici, che portano a situazioni paradossali. Ad esempio piegando per 42 volte un foglio di formato A4 spesso 0,1 mm si produce una pila di 4 mila miliardi di strati di carta, alta oltre 400 mila km, cioè più della distanza Terra-Luna, stimata in circa 384.mila km. © 2012 - www.matematika.it
132
Tavola Pitagorica
curiosità
1
2
3
4
3
6
9
12
15
20
2 4
4 8
12
12
18
5
10
7
14
6 8 9
10 11 12 13 14 15
6
16 18 20 22 24 26 28 30
21 24 27 30 33 36 39 42 45
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
27
30
33
36
39
42
45
8
10
12
14
16
18
16
20
24
28
32
36
24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
15 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
18 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
21 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98
24 40 48 56 64 72 80 88 96
20 40
45
50
54
60
63
70
72 81 90 99
80 90
22 44 55 66 77 88 99
24 48 60 72 84 96
26 52 65 78 91
28 56 70 84 98
30 60 75 90
105
104 112 120
108 117 126 135
100 110 120 130 140 150 110 121 132 143 154 165
108 120 132 144 156 168 180
104 117 130 143 156 169 182 195 112 126 140 154 168 182 196 210
105 120 135 150 165 180 195 210 225 LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici, che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro. Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”. Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)
v 1.8
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133
Numeri primi minori di 5.000
curiositĂ
un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1 ---
37 89
2
41
593 659 743 827 911
59
13 61
17 67
19 71
23 73
29 79
31 83
107
109
113
127
131
137
139
149
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
367
503
53
11
103
359 433
47
7
101
157
281
43
5
97
151 223
3
227 439 509 599 661 751 829 919
163 229 373 443 521 601 673 757 839 929
167 233 379 449 523 607 677 761 853 937
173 239 383 457 541 613 683 769 857 941
179 241 389 461 547 617 691 773 859 947
181 251 397 463 557 619 701 787 863 953
191 257 401 467 563 631 709 797 877 967
193 263 409 479 569 641 719 809 881 971
197 269 419 487 571 643 727 811 883 977
199 271 421 491 577 647 733 821 887 983
211 277 431 499 587 653 739 823 907 991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
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v 1.1
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134
y
x
y=
x
r
a
h
h
a AB
R
C h
A
Q
p1 p2
R
P
r
B
p
C( α
,β)
a
h
D
Q y Q1
c
y=n
1
C
A
n x
c
r
d 2
2
B
i
Q
r
FORMULARIO