Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
aceleração constante de 1m/s2. Encontre a posição final do móvel após 10 segundos.
sen cos
tg
Então a altura máxima é dada por:
SOLUÇÃO
(V0 sen) 2 yv 2g
A velocidade inicial do automóvel é igual a zero, já que estava parado e começou a se mover no ponto inicial. Substituindo os dados do problema na equação da posição:
S S 0 V0 t
Isso significa que a altura máxima possível, considerando a velocidade inicial constante, depende do ângulo de lançamento do projétil e acontece quando o ângulo é de 90 o (é um lançamento para cima!), já que sen(90o)=1.
at 2 1 t 2 20 2 2
Após 10 segundos, o automóvel estará na posição:
S 20
(10 ) 2 70 m 2
Exercícios
TRAJETÓRIA DE PROJÉTEIS 1. Em aplicações militares é interessante descobrir a trajetória de projéteis para que um alvo possa ser atingido com precisão. Galileu foi o primeiro a demonstrar que a equação da trajetória de um projétil é dada por:
y ( tg) x
g 2 (V0 cos ) 2
x
2
Calcule os valores de xv e yv e diga, para cada caso, se o ponto xv é de máximo ou mínimo: a)
y x 2 6x 9
b)
y x 2 6x 8
c)
y x 2 5x 7
2.
A partir das funções da questão anterior, identifique o número de raízes reais e construa o seu respectivo gráfico.
3.
Considere a função do 2o grau:
f (x) ax 2 bx c Somando e subtraindo
Onde: y é a altura que o projétil alcança; x é a distância horizontal do projétil; V0 é a velocidade inicial do projétil; é o ângulo de lançamento do projétil.
no segundo
membro, obtenha a seguinte expressão: 2
b f (x) a x 2a 4a Em seguida:
EXEMPLO
a) Encontre a altura máxima que pode atingir um míssil lançado de um equipamento de artilharia terrestre.
Mostre que se a>0, então o menor valor de f(x) ocorre em x
b . Substituindo 2a
esse valor na expressão anterior, descubra o menor valor que a função assume.
SOLUÇÃO
b) Mostre que se a<0, então o maior valor de
A altura máxima é dada pelo valor do yv:
yv
b2 4a
( tg) 2 (V0 cos) 4a 4 g 2
2
f(x)
também
ocorre
em
x
b . 2a
Substituindo esse valor na expressão anterior, descubra o maior valor que a função assume.
Fica mais fácil simplificar essa expressão se soubermos que:
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