ANÁLISIS DE UN PROBLEMA MATEMÁTICO Aplicación de las Estrategias de Polya Mario Bleda Pérez 26/03/2012
Este trabajo consiste en la aplicación de las estrategias de George Polya para la compresión de los procesos que se deben dar en la resolución de problemas matemáticos. El problema elegido pertenece a la Trigonometría de 4º ESO - B.
Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 2 ENUNCIADO DEL PROBLEMA ................................................................................................ 2 COMPRENSIÓN ........................................................................................................................ 2 PLANIFICACIÓN ....................................................................................................................... 2 EJECUCIÓN .............................................................................................................................. 4 REVISIÓN .................................................................................................................................. 4
INTRODUCCIÓN Para realizar esta tarea he escogido un problema que introduje en el examen de trigonometría del grupo de 4º ESO al que he impartido clase en el IES La Torreta. Por causa del nivel de destreza general del alumnado, en el examen tuve que adjuntar al enunciado el esquema gráfico (pero sin datos) que aparece en la resolución.
ENUNCIADO DEL PROBLEMA Desde el borde exterior de un foso podemos ver las almenas de una fortaleza en un 0 0 ángulo de 60 y a 100 m de distancia en un ángulo de 30 . Si sabemos que el foso tiene una profundidad de 12,76 m, ¿Cuál es la altura de la fortaleza? ¿Y la anchura del foso?
COMPRENSIÓN ¿Entiendes todo lo que dice? Este primer punto me ha recordado que durante el examen una alumna se acercó a preguntarme qué era un foso (teniendo en cuenta que además tenían el esquema). De modo que el primer escollo de los alumnos es la falta generalizada de vocabulario: fortaleza, almena y foso. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? Por ejemplo, el enunciado podría reformularse así: 0
Desde el otro lado de una rambla podemos ver la punta de una torre en un ángulo de 60 0 y 100 m más lejos en un ángulo de 30 . Si sabemos que la rambla tiene una profundidad de 12,76 m, ¿Cuál es la altura de la torre? ¿Y la anchura de la rambla? ¿Distingues cuáles son los datos? Vista desde el punto A de la fortaleza: 60º Vista desde el punto B de la fortaleza: 30º Distancia del punto A al punto B: 100 m. Profundidad del foso 12,76 m. ¿Sabes a qué quieres llegar? A saber qué altura tiene la torre y qué anchura tiene el foso. ¿Hay suficiente información? Sí, hay información suficiente, pero no se puede aplicar ninguna fórmula de trigonometría para hallar una solución directa. ¿Hay información extraña? El dato de la profundidad del foso puede desorientar en el proceso de resolución, pero no es información inútil.
PLANIFICACIÓN ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? Ahora veremos que podemos recurrir simultáneamente a varias de las estrategias numeradas: En primer lugar vamos a construir una figura (6) que nos ayude a representar esquemáticamente la situación planteada:
B
A
Recurrimos al razonamiento directo (8) al dar por hecho que las premisas son todas verdaderas, así como el análisis dimensional (17) y el uso de variables (2) para completar toda la información faltante en la representación esquemática.
Y H 60º
30º
B
100 m
A
X
12,76 m
H: Altura de la fortaleza. X: Anchura del foso. Y: Altura de la fortaleza a partir del foso. A partir de aquí, partiendo de la lección en la que se ha planteado el problema, el alumno deberá identificar en este esquema las figuras que ha aprendido a reconocer, esto es, los triángulos rectángulos formados:
Y
Y 30º
60º
A
B
X
100 m
A
X
Después de analizar la representación, debe haber identificado los siguientes triángulos rectángulos y la necesidad de hallar en primer lugar los valores X (anchura del foso) e Y (altura de la fortaleza desde el suelo, antes que hallar H (la altura real de la fortaleza). Esto se corresponde con el punto 18. (Identificar sub-metas). Para poder hallar X e Y hemos de buscar alguna fórmula estudiada en teoría que relacione los datos de que disponemos (15. Buscar una fórmula). En ambos triángulos, la fórmula que relaciona los datos es la de la razón trigonométrica , que aplicada a cada uno de los triángulos nos proporciona dos ecuaciones diferentes: y Ahora nos ha quedado planteado un sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas:
Podemos resolver este sistema no lineal transformándolo en otro lineal equivalente, puesto que ninguno de los valores X o 100+X va a ser 0 por razones de coherencia. (11. Resolver un problema equivalente.)
A partir de aquí solamente hemos de aplicar un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (16. Usar un modelo), en este caso he escogido el método de igualación. Una vez se haya resuelto los valores X e Y, bastará con añadirle a Y la profundidad del foso, y ya tendremos H.
EJECUCIÓN He establecido el criterio de redondeo a dos decimales para la resolución de problemas con el uso de la calculadora, de modo que el sistema de ecuaciones queda:
Y aplicando el método de igualación resolvemos:
es la anchura del foso. es la altura de la fortaleza desde el suelo. la altura real de la fortaleza.
REVISIÓN Se comprueba que
y vemos que la solución es correcta.
Podemos generalizar el problema de medir lugares inaccesibles como sigue: A una distancia desconocida x de un punto dado, podemos ver el extremo superior de un objeto de altura desconocida y en un ángulo y desde otro punto más lejano B, en un ángulo . Sabiendo que la distancia de A a B es a. Halla x e y, Halla la altura real H del objeto si sabemos lo podemos observar desde una altura de b metros.
Y
B
a
A
X
H
b