Lavoro di matematica 2 by Maria Grazia

EBOOK DI MATEMATICA 2013/2014

INDICE: SEZIONE 1: Le funzioni 1. Contesto storico 2. Domanda e offerta SEZIONE 2: Ricerca operativa 1. Contesto storico 2. Definizione della ricerca operativa 3. Le fasi della ricerca operativa 4. Ricerca operativa oggi 5. Il problema delle scorte 6. Casi di certezza e incertezza 7. Diagramma di redditività SEZIONE 3: La statistica 1. Contesto storico 2. Definizione della statistica 3. Le fasi fondamentali di un indagine statistica 4. La rappresentazione grafica dei dati 5. Gli indici di posizione centrale 6. Gli indici di variabilità 7. L’istat

SEZIONE 4: Approfondimento 1. Le funzioni (INGLESE e TEDESCO) 2. Ricerca operativa (INGLESE e TEDESCO)

3. Statistica (INGLESE e TEDESCO)

SEZIONE 1

Le funzioni

Aspetto storico Il termine funzione è stato introdotto nella matematica da Gottfried Leibniz nel 1694, per denotare una quantità collegata ad una curva, come la pendenza di una curva o uno specifico punto di una curva. Le funzioni considerate da Leibniz oggi sono chiamate più particolarmente funzioni differenziabili e costituiscono il tipo di funzione più frequentemente impiegato nelle applicazioni. Per questo tipo di funzione, si possono considerare limiti e derivate; entrambe queste nozioni sono misure del cambiamento dei valori di uscita associato a un cambiamento dei valori di ingresso; queste misure costituiscono la base del calcolo infinitesimale. Successivamente, intorno alla metà del XVIII secolo la parola funzione fu usata da Eulero per descrivere una espressione o una formula che coinvolge vari argomenti, come ad es.f(x) = sin(x) + x3. Nel corso del XIX secolo i matematici hanno cominciato a formalizzare tutte le differenti branche della matematica. Karl Weierstrass ha sostenuto che si dovesse costruire il calcolo infinitesimale a partire dall'aritmetica e non sulla geometria; questo ha fatto preferire la definizione di Eulero a quella di Leibniz (vedi aritmetizzazione dell'analisi). Ampliando la definizione di funzioni, i matematici si sono posti in grado di studiare gli oggetti matematici "strani" come le funzioni continue che non sono in alcun punto differenziabili. Queste funzioni in un primo momento venivano considerate solo delle curiosità formali e fino all'inizio del XX secolo venivano chiamate indifferenziatamente "mostri". Le potenti tecniche dell'analisi funzionale successivamente sviluppate hanno mostrato che queste funzioni sono in qualche senso "più comuni" delle funzioni differenziabili. Queste funzioni da allora si sono cominciate ad applicare alla modellizzazione di fenomeni fisici come il moto browniano.

Verso la fine del XIX secolo i matematici hanno cominciato a tentare di formalizzare l'intera matematica servendosi della teoria degli insiemi e si sono proposti di definire ogni entità matematica mediante un insieme. Dirichlet e Lobachevcky indipendentemente e quasi simultaneamente hanno data la moderna definizione "formale" di funzione. Secondo tale definizione, una funzione è un caso speciale di una relazione. In gran parte dei casi di interesse pratico, tuttavia, le differenze fra la definizione moderna e quella di Eulero possono essere trascurate. Negli anni intorno al 1930, nell'ambito della logica matematica e della teoria della computazione è stata introdotta una nozione di funzione che si avvicina a quella di regola per una computazione, piuttosto che a quella di genere speciale di relazione. Questa nozione è stata e formalizzata mediante svariati sistemi e macchine formali, come il lambda calcolo, la teoria delle funzioni ricorsive e la macchina di Turing per opera di personaggi come Alonzo Church, Emil Post e Alan Turing. Questa definizione non va vista come in conflitto con quella di Dirichlet e Lobachevcky, ma piuttosto come complementare ad essa e corrisponde ad un punto di vista più ampio nel quale si distinguono l'approccio matematico condotto su basi assiomatiche a livello generale, ma trascurando le questioni riguardanti i calcoli effettivi, e l'approccio che intende rendersi consapevole dei problemi posti dai procedimenti di calcolo effettivi al fine di porsi in grado di intervenire nelle questioni derivanti dall'esigenza di studiare a livello generale gli algoritmi e la complessità delle computazioni. In effetti gli studi sulle funzioni calcolabili sono stati fatti propri dalla informatica teorica fin dal suo inizio.

LA DOMANDA La domanda di un bene o servizio si può rappresentare graficamente con una curva che varia in relazione ai fattori considerati. La domanda di un bene è la quantità che viene richiesta, a un dato prezzo, dai consumatori. La sua rappresentazione è una curva decrescente in relazione al prezzo. Si dice "Elasticità della domanda" la variazione della domanda rispetto alla variazione del prezzo. I prodotti di prima necessità hanno una bassa

elasticità, i prodotti di semi lusso hanno una forte elestacità e i prodotti di gran lusso hanno una debole elasticità. La domanda si può classificare in relazione ai valori assoluti del coefficente di elasticità:

 Domanda anaelastica: Le relazioni relative del prezzo e della domanda sono uguali.

 Domanda elastica: La variazione relativa alla domanda è maggiore della variazione relativa al prezzo.

 Domanda rigida: La variazione relativa al prezzo è maggiore della variazione relativa alla domanda.

OFFERTA Si dice offerta la quantità di bene che un produttore può emettere sul mercato. L'offerta è una funzione non decrescente dal prezzo. L'offerta dipende dalle variazioni dei prezzi di produzione e dai cambiamenti nelle tecniche di produzione. Naturalmente anche nell'offerta si può calcolare il coefficiente di elasticità.

• EQUILIBRIO TRA DOMANDA E OFFERTA Il monopolio è una forma di mercato in cui esiste una sola impresa in grado di produrre e vendere una determinata merce. L’offerta coincide con l’offerta globale del mercato e la domanda coincide con la domanda globale. La legislazione antimonopolistica, detta antitrust, serve ad evitare la formazione di questo tipo di mercato.

I monopoli sono fiscali(tabacchi) quando hanno come scopo un profitto e non fiscali(poste, ferrovie) quando hanno come solo obiettivo la gestione di servizi pubblici. La concorrenza monopolistica è la situazione offerta da un mercato nel quale

incontrano

contemporaneamente

elementi

concorrenziali

monopolistici. In questo caso i venditori offrono ai compratori beni della

stessa natura, ma non perfettamente identici. Ciascun venditore ha un certo monopolio sui suoi prodotti.

L’oligopolio è una forma di mercato in cui un numero ristretto di imprese controlla la produzione di un dato bene o servizio. Ogni impresa deve controllare non solo la domanda ma anche il comportamento delle altre imprese. La concorrenza perfetta è un regime di mercato che richiede la pluralità di imprese, la fluidità delle contrattazioni, la trasparenza del mercato e l’omogeneità dei prodotti offerti. Questo però risulta un modello puramente teorico.

• PREZZO DI EQUILIBRIO Si dice prezzo di equilibrio quel prezzo che rende la quantità domandata pari alla quantità offerta. In condizione di equilibrio i consumatori sono disposti ad acquistare la quantità che i prodotti intendono vendere. Il punto di equilibrio si può rappresentare graficamente come l’ascissa del punto in cui si intersecano le curve della domanda e dell’offerta.

• FUNZIONE COSTI DI PRODUZIONE Quando un’impresa produce un bene, sostiene dei costi che possono essere fissi o variabili.

Si dicono costi fissi, i costi che non variano al variare della quantità prodotta.

Si dicono costi variabili, i costi che variano al variare della quantità prodotta x e aumentano al crescere della quantità prodotta.

Si dice costo totale la somma di costi fissi e costi variabili. Il costo totale è una funzione crescente della quantità di bene prodotto.

In alcuni casi la funzione costo totale può risultare definita a tratti; si parla quindi di BREAK POINT ossia punti particolari a cui cambia la funzione costo rispetto alle quantità prodotte x.

• COSTO UNITARIO Si dice costo unitario il rapporto fra il costo totale sostenuto e la quantità prodotta x. o Funzione lineare asintoti x=0ey=a o Funzione parabolare

rbole non equilatera di

asintoti x=0ey=a • PUNTO DI FUGA È il punto di minimo della funzione di costo unitario. Qui si incontrano costo unitario e costo marginale. Se il prezzo di vendita unitario risultasse inferiore al valore del punto di fuga, l’impresa sarebbe in perdita. • COSTO MARGINALE UNITARIO È la derivata prima della funzione costo totale. È il costo che si deve sostenere per portare la quantità prodotta da x a (x + 1).

• RICAVO TOTALE Si dice ricavo totale il prodotto tra la quantità venduta x e il prezzo unitario di vendita.

In concorrenza perfetta il ricavo medio è uguale al ricavo marginale ed entrambi sono uguali al prezzo di vendita p, che è costante. • RICAVO MEDIO O UNITARIO Si dice ricavo medio o unitario il rapporto fra ricavo totale e quantità venduta.

• RICAVO MARGINALE È la derivata prima della funzione ricavo totale. • GUADAGNO O PROFITTO O UTILE NETTO È la differenza tra ricavo totale e costo totale. Per ottenere il massimo guadagno è necessario che la funzione guadagno sia derivabile e l’ascissa del punto massimo si ottiene annullando la derivata prima. Il guadagno massimo si ha quando il ricavo marginale è uguale al costo marginale.

E’ una funzione che ci dice qual è la quantità domandata dal consumatore per ogni livello di prezzo. E’ il grafico della funzione di domanda sul piano cartesiano ed è decrescente. Ci indica di quanto varia in proporzione la domanda al variare del prezzo del bene, si calcola facendo il rapporto, cambiato di segno, tra variazione relativa di domanda e variazione relativa di prezzo. E’ una funzione che ci dice quanto è l’offerta del produttore in corrispondenza di ciascun livello di prezzo. La curva di offerta è il grafico sul piano cartesiano della funzione di offerta ed è crescente. L’unica intersezione con gli assi significativa è quella con l’asse delle ascisse e rappresenta il prezzo al di sotto del quale il produttore non offre più il bene preso in considerazione. Con concorrenza perfetta si intende un modello astratto di mercato che ha determinate caratteristiche (non esiste nella realtà ma alcuni mercati hanno delle caratteristiche simili), le principali sono: il bene è unico e omogeneo, il numero degli operatori coinvolti è numeroso sia dal lato della domanda (consumatori) che dal lato dell’offerta (produttori) e questi operatori non possono agire individualmente sul prezzo del bene che viene determinato dai meccanismi propri del mercato. E’ il punto in cui la domanda e l’offerta globale si equivalgono.

FASI DELLA RICERCA OPERATIVA La R.O. è caratterizzata dalle seguenti fasi: Individuazione del problema e raccolta delle informazioni cioè individuazione di tutte le variabili, suddivise in variabili controllabili il cui comportamento è noto e quindi quantificabile, non controllabili per le quali non è possibile stabilire, se non in termini probabilistici. Costruzione del modello matematico, è fondamentale, perché è l’insieme di relazioni matematiche che rappresentano la realtà in forma semplificata, e formato dai vincoli di segno, cioè che le quantità non possono assumere valori negativi; e vincolo tecnico cioè la massima capacità produttiva , ad esempio la massima produzione giornaliera di un macchinario. Risoluzione del modello matematico

e individuazione della

soluzione ottimale cioè che l’ obbiettivo di un problema di ricerca operativa è quello di rendere massima o minima una funzione. La risoluzione del problema viene effettuata tramite gli strumenti matematici. Analisi dei risultati ottenuti cioè che le quantità non possono assumere valori negativi; e vincolo tecnico cioè la massima capacità produttiva , ad esempio la massima produzione giornaliera di un macchinario.

SEZIONE 2

La ricerca operativa

L’espressione ricerca operativa risale al periodo della Seconda guerra mondiale, durante la quale alcuni paesi decisero di affrontare con metodi scientifici problemi connessi a operazioni militari. Il governo britannico,riunì scienziati di diversi settori disciplinari con l’obbiettivo di combinare ricerca tecnologica, organizzativa e relativa alle modalità di svolgimento delle operazioni, in modo da migliorare le prestazioni complessive dell’ apparato bellico, non tanto sviluppando nuovi armamenti, quanto migliorando l’impiego di quelli esistenti. Il gruppo preposto a tali attività fu denominato, su proposta di due suoi membri, R. Watson Watt e Rowe, OPERATIONAL RESEARCH SECTION. Anche negli Stati Uniti, a partire dal 1943, fu creata un’ organizzazione per occuparsi della guerra sottomarina, e del sistema dei rifornimenti e del supporto logistico. L’ingresso degli scienziati americani in questa area di ricerca portò anche al cambiamento del nome in operations research. Queste origini spiegano perché le radici culturali della ricerca operativa affondino nella storia di differenti discipline e come essa si trovi all’ incrocio fra diversi settori metodologici e applicativi.. es: (l’ottimizzazione, la scienza

economica,

studio

dei

processi

produttivi

dell’industria

manifatturiera ecc.) Nel secondo dopoguerra la ricerca operativa diventò anche un settore di ricerca accademico. A partire dagli anni 1950 si sviluppò, dalla diffusione delle reti di telecomunicazioni, il settore degli algoritmi di ottimizzazione su reti, nacque la programmazione dinamica e si misero a punto i primi metodi di soluzione di problemi discreti. Negli ultimi anni del

20° secolo

le frontiere della ricerca operativa si sono allargate fino a

comprendere l’uso di metodi scientifici, per prendere le decisioni migliori nella gestione di sistemi organizzate e per migliorare le prestazioni nell’esecuzioni di operazioni in sistemi di produzione. Questo risultato viene perseguito attraverso metodi intelligenti di analisi dei dati, la creazione e l’uso di modelli matematici. Inoltre il successo della ricerca operativa è legato alla fine del 20° secolo oltre alle tecniche modellistiche e algoritmiche, anche delle tecnologie informatiche e di rete, nonché di servizi e prodotti adeguati alle decisioni e alla gestione. DEFINIZIONE DELLA RICERCA OPERATIVA La ricerca operativa ha come oggetto lo studio e la messa a punto di metodologie per la soluzione di problemi decisionali in cui occorre gestire e coordinare l’attività e le risorse limitate in modo da rispettare un insieme assegnato di vincoli al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obbiettivo. La ricerca operativa si occupa di formalizzare un problema in un modello matematico e di calcolare una soluzione ottima, quanto possibile o approssimata. Nel caso di problemi di carattere economico, la funzione da ottimizzare può coincidere con il massimo profitto ottenibile o con il minor costo da sostenere. La ricerca operativa riveste un ruolo importante nelle attività decisionale perché permette di operare le scelte migliori per raggiungere un determinato obbiettivo, rispettando vincoli che sono imposti dall’esterno e non sono sotto il controllo di chi deve compiere le decisioni. La R.O. è caratterizzata dalle seguenti fasi: Individuazione del problema e raccolta delle informazioni cioè individuazione di tutte le variabili, suddivise in variabili controllabili il cui comportamento è noto e quindi quantificabile, non controllabili per le quali non è possibile stabilire, se non in termini probabilistici.

Costruzione del modello matematico, è fondamentale, perché è l’insieme di relazioni matematiche che rappresentano la realtà in forma semplificata, e formato dai vincoli di segno, cioè che le quantità non possono assumere valori negativi; e vincolo tecnico cioè la massima capacità produttiva , ad esempio la massima produzione giornaliera di un macchinario. Risoluzione del modello matematico

e individuazione della

soluzione ottimale cioè che l’ obbiettivo di un problema di ricerca operativa è quello di rendere massima o minima una funzione. La risoluzione del problema viene effettuata tramite gli strumenti matematici. Analisi dei risultati ottenuti cioè che le quantità non possono assumere valori negativi; e vincolo tecnico cioè la massima capacità produttiva, ad esempio la massima produzione giornaliera di un macchinario.

La Ricerca Operativa oggi Ai nostri giorni l’importanza delle applicazioni delle tecniche della RO è riconosciuta e apprezzata in ambito industriale. Negli ultimi cinque anni il numero di addetti del settore è infatti cresciuto molto e sono aumentate le richieste di esperti di RO nelle imprese manifatturiere e di servizi. aziendale, nella pianificazione e, sempre di più, nelle telecomunicazioni. Alcuni esempi di problemi che possono essere risolti grazie alle tecniche della RO sono i seguenti:  Finanza e Investimenti: – Selezione degli investimenti: si tratta di scegliere, fra un vasto insieme di alternative di investimento, quali attivare e quali no in presenza di vincoli di budget e con l’obiettivo di massimizzare i ricavi. – Scelta del portafoglio; consiste nel decidere in quali titoli e con quali quote investire i nostri capitali in modo da massimizzare il ricavo atteso, oppure minimizzare il rischio, etc. – Determinazione del prezzo di derivati finanziari;

si vuole determinare il prezzo di un prodotto derivato finanziario (per esempio di un’opzione o di un future) in funzione del tempo e dell’andamento del titolo sottostante.

 Pianificazione della produzione: - Si tratta di pianificare i livelli di produzione e/o l’utilizzazione di risorse; si hanno spesso problemi di allocazione ottima di risorse cioè problemi riguardanti la distribuzione di risorse limitate tra alternative concorrenti in modo da minimizzare il costo complessivo o massimizzare il guadagno totale; tali risorse possono essere materie prime, manodopera, tempi di lavoro su macchine, capitali investiti. – Gestione ottima delle scorte: si tratta di determinare i livelli di produzione e di scorte nella gestione di materiali grezzi, prodotti in lavorazione etc.; quando e quanto conviene riordinare materiali o beni in modo da ottenere il miglior compromesso fra costi di riordino e di produzione/acquisto e costi di immagazzinamento. – Localizzazione e dimensionamento di impianti: si tratta di problemi in cui si deve decidere dove istallare “impianti di produzione” in modo da “rifornire” in modo ottimale aree distribuite su un territorio. – Progetto di reti di telecomunicazione: si tratta di definire i collegamenti e dimensionare le capacità di una rete di telecomunicazione, di trasmissione dati, etc., in modo da garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni e minimizzare il costo complessivo – Project planning: come sequenziare le molteplici attività di un progetto? Quanto durerà il progetto? Come devono essere gestite le risorse?

-Manutenzione di beni: cioè porsi il problema di decidere quando e se effettuare la manutenzione di alcuni beni soggetti ad usura, in modo da minimizzare il costo complessivo.

LA CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI SCELTA Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati: il caso continuo: Questi problemi, non molto frequenti nella vita reale, presentano una funzione obbiettivo dipendente da una sola variabile d’azione: y = f(x). La funzione può essere lineare o non lineare: Se la funzione obbiettivo è lineare, allora il suo grafico è una retta y = mx+q. Il massimo, o il minimo, si avrà in corrispondenza di uno degli estremi dell’intervallo che rappresenta i vincoli. Il punto di intersezione con l’asse delle ascisse viene chiamato Break-evenpoint: in questo non vi è né un guadagno né una perdita. Se la funzione obbiettivo è non è lineare, il massimo, o il minimo, si ricercherà con i metodi dell’analisi matematica: Si calcola la derivata prima, la si pone ≥0, dove la deriva prima è positiva, la funzione sarà crescente; dove la derivata prima è negativa, la funzione sarà decrescente; dove si annulla si avrà un massimo o un minimo relativo (o un flesso a tangente orizzontale, che però non

interessa in questo tipo di problema). Si calcolano, poi, i valori della funzione (y) agli estremi della ragione ammissibile. Si confrontano le ordinate dei massimi (minimi) con i valori agli estremi e si sceglie il massimo o il minimo.

Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati: il caso discreto: Nel caso discreto si procede come nel caso continuo, con l’accortezza di correggere eventuali valori non accettabili, in quanto non interi, ricercando il valore interoche più si avvicina alla soluzione ottimale. Se i dati sono poco numerosi, si può anche procedere costruendo una tabella e confrontando direttamente i valori di y.

Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati: scelta fra più alternative: In molte occasioni il problema è la scelta fra due o più alternative possibili. Per operare una scelta consapevole, dobbiamo anche in questo caso stabilire quale sia la funzione obbiettivo che si vuole ottimizzare ed analizzare, al variabile della variabile d’azione, quale sia la scelta più conveniente. In questi casi la scelta non è mai unica, ma dipende dal valore assunto dalla variabile. Ad esempio, nel caso di una tariffa Internet, se utilizziamo Internet per poche ore al giorno, sarà più conveniente una tariffa in cui paghiamo per il tempo reale di connessione, mentre se utilizziamo molto Internet, sarà più conveniente una tariffa a canone fisso. Il modello matematico è costituito da più funzioni obbiettivo, ciascuna definita in un determinato intervallo. In questo caso occorrerà: Studiare le singole funzioni nell’intervallo in cui sono definite, come previsto per il caso continuo, calcolare i valori agli estremi dei diversi intervalli, confrontare i valori trovati. Infine si avrà una soluzione per ciascun intervallo.

Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati: il problema delle scorte Un problema di Ricerca Operativa, di notevole interesse pratico, è “ il problema della gestione delle scorte”, detto anche di “controllo delle giacenze di magazzino”. Esso riguarda ogni impresa che impiega materie prime, di cui deve rifornirsi e di cui deve conservare scorte in magazzino. In base al consumo delle materie prime, al costo di ordinazione e ai costi di magazzinaggio, l’impresa deve decidere la quantità ottimale da ordinare ogni volta, chiamata lotto economico d’acquisto, e, di conseguenza il numero di ordinazioni da effettuare in un certo periodo di tempo, per sostenere il minor costo totale. Nel problema in questione si devono, dunque, conciliare opposte esigenze: - da un lato, oltre alle spese della merce ordinata, si sostengono spese fisse e quindi si devono limitare le ordinazioni, richiedendo elevate quantità di merce, -

dall'altro lato la conservazione della merce in magazzino comporta varie spese (assicurazioni, custodia, deperimento..) per cui sarebbe preferibile avere in giacenza minori quantità, continuamente rinnovabili con la conseguenza di maggiori ordinazioni.

Le due esigenze sono tra loro contrastanti per cui si deve determinare la quantità di merce da ordinare ogni volta in modo da rendere minima la spesa complessiva per le ordinazioni ed il magazzinaggio. Per analizzare le problematiche delle scorte è necessario distinguere tra costo di ordinazione, costo di magazzino e costo di acquisto. Costo di ordinazione Ogni ordinazione comporta una spesa che è indipendente dalla quantità ordinata; è un costo fisso che deriva da spese di corrispondenza e trattative con i fornitori, da spese amministrative di carico e scarico, da spese legali. Va moltiplicato per il numero di ordinazioni. Costo di magazzinaggio Decorre dal momento dell’ingresso della merce in magazzino sino al momento del prelievo e deriva dalle spese per la conservazione della merce

(assicurazione contro danni o furti, sorveglianza, deperimento della merce). Il costo di magazzinaggio è generalmente espresso per unità di scorta. Costo di acquisto del materiale È riferito ad ogni unità di merce acquistata ed è comprensivo delle spese di trasporto. Generalmente è un prezzo unitario che va moltiplicato per la quantità totale da acquistare. Esistono, poi, altri metodi di valutazione delle scorte: il metodo del costo medio ponderato continuo, il metodo del costo medio ponderato per periodo, il metodo LIFO (last in first out/ultimo entrato primo uscito) e il metodo FIFO (first in first out/primo entrato primo uscito). Il metodo del costo medio ponderato continuo valuta le rimanenze al costo medio ponderato in occasione dell’ultimo movimento in entrata. Il metodo del costo medio ponderato per periodo calcola, a fine periodo, la media ponderata del costo di acquisto di tutti gli articoli entrati in magazzino nel periodo stesso. Tale valore si moltiplica per la quantità delle rimanenze di magazzino. Il metodo LIFO, ovvero last in first out, valuta le rimanenze al costo degli articoli entrati in magazzino in epoca più remota. Il metodo FIFO, ovvero first in first out, valuta le rimanenze al costo delle quantità entrate in epoca più recente. Il costo medio ponderato può essere calcolato: per movimento: si determina ogni volta che si verificano movimenti in entrata nei magazzini. per periodo: si determina dopo un periodo prestabilito (mensile o annuale), utilizzando la media aritmetica ponderata dei lotti acquistati nel periodo stesso.

SEZIONE 3

La statistica

I matematici se ne occupano a partire dal XVII secolo, quando la statistica venne accostata ai metodi e ai calcoli della probabilità. I primi rilevamenti statistici vennero effettuati infatti per scopi commerciali, fiscali, astronomici ecc.. Mediante un’accurata raccolta di dati statistici

gli Egizi,

ad esempio,

arrivarono a prevedere l’inizio e la fine delle piene del fiume Nilo, riuscendo così a trasformare queste periodiche inondazioni da calamità naturali a fattori di sviluppo economico per l’intero paese. Al tempo dei re, a Roma la statistica diventò un importante strumento di conoscenza della situazione economica e sociale dei cittadini; nasce in fatti il “census”, il censimento dei cittadini e dei loro beni. Dal XVI secolo in poi il rilevamento dati acquistò un notevole sviluppo come indagine sugli aspetti e le attività dello stato, da cui il nome “statistica”, e anche sui fenomeni legati all’astronomia La statistica si occupa di raccogliere e analizzare dati relativi a un certo gruppo di persone o di oggetti per tranne conclusione e fare previsioni. Il gruppo preso in considerazione viene detto “popolazione”, mentre se venisse presa in esame soltanto una parte di essa, si parla di “campione”.

La statistica serve ad affrontare due aspetti immanenti alla realtà sensibili ai suoi stati di natura: 1. La variabilità dei fenomeni 2. L’incertezza degli eventi La variabilità è caratteristica delle popolazioni (persone, animali, piante….). L’incertezza è caratteristica degli eventi e del loro avverarsi (se, come, quando, ….). Variabilità e incertezza descrivono due momenti concettualmente differenti che l’uomo ha sempre dovuto fronteggiare con strategie che si sono consolidate nei comportamenti abituali o che si sono trasformate in strumenti e metodi della ricerca scientifica per la soluzione di problemi complessi. Di fronte alla variabilità l’uomo cerca regolarità attraverso modelli di comportamento mentre, di fronte all’incertezza l’uomo cerca strategie in termini di probabilità. In contemporanea alla statistica nasce il calcolo della probabilità. Le fasi fondamentali di un indagine statistica:  Raccolta dei dati: intervista diretta o indiretta. Si procede: 1. con il conteggio del numero effettivo delle unità che costituiscono il campione; 2. il conteggio delle risposte date a ciascuna domanda predisponendo tabelle di spoglio; 3. vengono rappresentati graficamente; 4. vengono elaborati i dati con metodi matematici; 5. vengono interpretati i dati e si traggono conclusioni in modo tale che si possono ritenere valide per tutta la popolazione.  I metodi per ottenere risultati soddisfacenti in questo delicato procedimento di passaggio dal campione alla popolazione sono studiate da quella parte della statistica della “statistica induttiva”. Gli elementi di una popolazione si chiamano “unità statistiche”. E’ possibile studiare diverse caratteristiche di tali unità e ogni caratteristica rappresenta un carattere della popolazione.

I caratteri possono essere di due tipi:  Quantitativi: descritti con numeri;  Qualitativi: descritti con parole. Ogni carattere viene descritto mediante le modalità con cui esso si può manifestare. Il numero che risulta da una certa modalità si chiama: frequenza assoluta. L’insieme delle coppie ordinate si chiama distribuzione di frequenza. La frequenza è il numero di volte in cui un dato si presenta. Le frequenze relative sono il rapporto fra la frequenza assoluta e il numero totale delle osservazioni. f= Le frequenze cumulate invece, è pari alla somma della sua frequenza assoluta e di quelle delle modalità che la precedono. Il compito delle frequenze cumulate è utile nel calcolo della mediana. Serie e seriazione Le distribuzioni di frequenza vengono talvolta dette:  

serie, se, si contano le unità che presentano le stesse modalità di un carattere qualitativo (geografico, alfabetico, cromatico ecc.); seriazioni, se si contano le unità che presentano gli stessi valori di un carattere quantitativo.

Tabelle: Semplice: Una tabella a semplice entrata è costituita da due colonne, la prima riporta le varie modalità del carattere in esame, la seconda riporta le frequenze . A doppia entrata: Una tabella a doppia entrata è costituita da tre colonne, le prime due riportano le varie modalità di due caratteri, la terza riporta le frequenze. Ogni frequenza indica quante unità statistiche posseggono contemporaneamente le caratteristiche della riga e della colonna alle quali appartiene.

La rappresentazione grafica dei dati: L’ortogramma Nell’ortogramma ogni frequenza corrisponde a un rettangolo che ha l’altezza proporzionale alla frequenza stessa.

L’istogramma Un istogramma è costituito da rettangoli che hanno le basi proporzionali alle ampiezze delle classi e le aree proporzionali alle frequenze.

L’areogramma E’ una rappresentazione grafica in cui i dati di un fenomeno vengono rappresentati all’interno di uno stesso cerchio mediante superfici (aree) di settori circolari (cioè le parti del cerchio limitate da due raggi) .

Indici di posizione centrale. Aver raccolto dei dati, averli organizzati, averne dato una rappresentazione grafica, non è spesso sufficiente quando si devono fare dei confronti fra diverse situazioni. Si sente quindi l’esigenza di esprimere mediante un unico valore il carattere del fenomeno statistico che si sta studiando. Ecco che si ricorre agli indici di posizione: Media, moda e mediana. Cominciamo da un semplice esempio alla lavagna. In un torneo di calcio questi sono stati i gol segnati da alcuni alunni: Giovanni Andrea Davide Samuele Joan

4 8 4 3 6

Iniziamo a calcolare la media aritmetica: 4 + 8 + 4 + 3 + 6 = 25 gol segnati in tutto 25 : 5 = 5 gol in media 5 è la media, cioè il numero dei gol segnati da ogni alunno se tutti avessero segnato lo stesso numero di gol. C'è un numero di gol segnato più frequentemente di altri? Certo, 4 gol! 4 è la moda, cioè il dato più frequente. Ora disponiamo i dati, cioè il numero dei gol, in ordine crescente: 3-4-4-6-8 e cerchiamo il dato che occupa la posizione centrale:

4 è la mediana, cioè il dato che occupa la posizione centrale nella serie ordinata dei dati. Se i dati fossero in numero pari occorre cercare i due che occupano la posizione centrale e calcolare la media dei due. Ad esempio, in questa distribuzione i dati centrali sono 4 e 6. Occorre allora fare 4 + 6 = 10 10 : 2 = 5 è la mediana Indici di posizione centrale. Una volta riportato l’esempio diamo, ora, la definizione di media: Nella statistica la media è

singolo

valore

numerico

che

descrive

sinteticamente un insieme di dati. Esistono varie tipologie di media che possono essere scelte per descrivere un fenomeno, quelle più comunemente impiegate sono le tre cosiddette medie pitagoriche (aritmetica, geometrica e armonica).  La media aritmetica Si dimostra facilmente che la media aritmetica è un indice di posizione, in quanto aggiungendo o moltiplicando tutti i valori per una stessa quantità la media stessa aumenta o è moltiplicata per quella stessa quantità. Come tutti gli indici di posizione, la media aritmetica fornisce l'ordine di grandezza dei valori esistenti e permette di conoscerne la somma dei valori (moltiplicando la media per il numero n di elementi). Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.

 La media geometrica È opportuno riferirsi alla media geometrica quando i dati manifestano la tendenza a crescere in progressione geometrica, come ad esempio nel caso di investimenti di capitali.

In un insieme di n valori positivi x1, x2, …, xn di un carattere quantitativo X , la media geometrica è pari alla radice n-esima del prodotto dei singoli valori.

ESEMPIO Capitale iniziale: 10.000€ Investimento in obbligazioni a tasso variabile Anno

Tasso di interesse Tasso di interesse Capitale a fine % anno

I II III IV V VI

0,015 0,020 0,072 0,090 0,074 0,045

1,5 2,0 7,2 9,0 7,4 4,5

10.150,0 10.353,0 11.098,4 12.097,3 12.992,5 13.577,1

Qual è il tasso di interesse medio annuo? xg = 6 (1,015)(1,02)(1,072)(1,09)(1,074)(1,045) = 1,05229  La media armonica La media armonica di un insieme di n valori x1, x2, …, xn di un carattere quantitativo X è definita da:

Grafici: - disoccupazione (figura 1 e 2) - Istruzione (figura 3 - 4 e 5)

(figura 1)

(figura 2)

(Figura 3)

(Figura 4)

(figura 5)

Nel

1885

Londra

nasce

l’istituto

internazionale di statistica e dal 1926 l’ISTAT in Italia si occupa di indagini statistiche su vari settori della vita sociale, commerciale, finanziaria, politica, ecc… L’epoca attuale vede un avanzata matematizzazione della statistica e delle sue applicazioni, soprattutto nelle ricerche di mercato che consistono nel ricercare i fattori che possono ottimizzare i problemi commerciali, industriali, finanziarie, ecc Nel 1989 con Decreto Legislativo 6 settembre 1989, n. 322 assistiamo alla nascita del SISTAN (Sistema Statistico Nazionale) ente che accoglie al suo interno numerosi enti pubblici. In quell’anno l’istituto prende i nome di ISTAT e subisce variazioni rispetto a compiti, attività e organizzazione. Questo importante Istituto, con sede a Roma, ha un’estensione capillare in tutto il territorio nazionale. L’ISTAT, svolge diversi ruoli chiave a livello nazionale, tra cui: censimenti della popolazione, censimenti nell’area produttiva (industria, agricoltura, ecc.), indagini effettuate secondo campionamento sulle famiglie (stile di vita, consumi, lavoro, salute, tempo libero, ecc.), indagini economiche su larga scala (crisi economica, andamento mercato, ecc). Ogni attività statistica si svolge tenendo conto del codice italiano delle statistiche ufficiali (direttiva n. 10/2010) in conformità con i principi dettati a livello europeo. L’ISTAT ogni anno organizza numerosi convegni di interesse scientifico e numerose sono le pubblicazioni scientifiche nei vari

campi di interesse nazionale. Dalle aziende ai singoli, i dati ISTAT possono dare informazioni importanti sullâ&#x20AC;&#x2122;andamento economico, ambientale, culturale di un paese, ecc.

sociale,

demografico,

SEZIONE 4:

Approfondimenti

Approfondimenti in inglese:

Introduction Over the past fifty years in business, technological advances have been enormous. In addition, modern means of communication have enabled the acquisition of real-time data and the use of computers has revolutionized the manner and timing of work. For this reason, decisions are taken in a very short time, providing for the effects precisely. The directors do not rely only on the most common sense and personal experience, but employ teams of specialists of all kinds, engineers, mathematicians, economists, doctors, physicists and psychologists, who help them to make choices. The studies devoted to finding the best methods have characterized the birth of a new science's "Operations Research".

DEFINITION OF OPERATIONS RESEARCH Operational research has as its object the study and development of methods for the solution of decision problems where you need to manage and coordinate the activities and limited resources in order to meet a given set of constraints in order to maximize or minimize a objective function. Operations research is concerned with formalizing a problem in a mathematical model to calculate the optimal solution, as far as possible or approximate. In the case of economic problems, the function to be optimized may coincide with the

maximum achievable profit or with the least cost to be incurred. Operational research plays an important role in decision-making because it allows you make the best choices to achieve a particular goal, while respecting the constraints that are imposed from the outside and are not under the control of those who must make the decisions. The O.R. is characterized by the following phases: Problem identification and collection of information that is the identification of all the variables, divided into controllable variables whose behavior is known and therefore quantified, cannot be controlled for which it is not possible to determine, except in probabilistic terms. Construction of the mathematical model, it is critical because it is the set of mathematical relationships that represent reality in a simplified form, sign and size constraints, that is, the amount cannot take negative values; and technical constraint that the maximum production capacity, for example the maximum daily production of a machinery. Resolution of the mathematical model and the identification of the optimal solution that is that the 'goal of a problem of operations research is to make maximum or minimum function. The resolution of the problem is done using mathematical tools. Analysis of the results obtained that the amount cannot take negative values; and technical constraint that the maximum production capacity, for example the maximum daily production of a machinery.

History of operations research The term operational research dates back to the period of the Second World War , during which some countries decided to tackle the problems associated

with scientific methods in military operations. The British government , He brought together scientists from different disciplines with the aim of combining technology research , organizational, and on procedures for the conduct of operations in order to improve the overall performance of the ' war machine , not just developing new armaments, as improving the ' use of existing ones. The group responsible for these activities was called , at the proposal of two of its members , R. Watson Watt and Rowe, OPERATIONAL RESEARCH SECTION. Even in the U.S. , starting in 1943, was created an ' organization to take care of submarine warfare , and the system of supplies and logistical support . The entry of American scientists in this area of research also led to the change of name in operations research. These origins explain why the cultural roots lie in the history of operations research from different disciplines and as it is found at ' crossroads between various sectors of methodological and applied .. eg : ( optimization, economic science , the study of the production processes of ' manufacturing industry , etc. . ) After World War II operations research also became a field of academic research . Beginning in the 1950s developed , the spread of telecommunications networks in the field of optimization algorithms on networks , dynamic programming was born and began to develop the first methods of solving discrete problems . In the last years of the 20th century the frontiers of research operations have expanded to include the use of scientific methods to make the best decisions in the management of organized systems and to improve the performance of the executions of operations in production systems. This result is achieved through intelligent methods of data analysis , the creation and use of mathematical models. In addition, the success of operations research is tied at the end of the 20th century as well as modeling techniques and algorithmic also information technology and network , as well as services and products tailored to the decisions and management.

The inventory problem

Each company uses raw materials, which must be supplied and must be kept in inventory in stock . So you have to order the optimal quantity so that the cost is minimized. The objective function is given by the total cost consists of : inventory costs , order costs , costs of purchasing goods. Formula cost of ordering : m / x X Co Storage cost formula : x / X 2 Inches The purchase of stocks also determines the start of the economic cycle linked to the technical cycle and the monetary cycle . The company faces the problem of productivity of the stocks with the procurement policy . They involve a reduction of physical space and an increase in cost and risk. The warehouse is a central part of the company , because it provides : continuity of the production process , the separation of the processes of the business , stocks . The stocks in the warehouse are : raw materials, supplies , consumables , work in progress, semi-finished products , finished products and by-products. To analyze the problems of stocks is necessary to distinguish between : goods purchased by the company to be sold and goods that have been completely or partially the process of material transformation . There are other methods of evaluation : the continuous weighted average cost method , the method of weighted average cost per period , LIFO ( last in first out / last in, first out) and FIFO ( first in first out / first come first out). The method of weighted average cost continuous values inventories at weighted average cost at the last entry in motion . The method of weighted average cost for the period is estimated at the end of the period , the weighted average cost of purchase of all items placed in storage during the same period . This value is multiplied by the amount of inventories . The LIFO , last in first out , values inventories at

the cost of the items placed in storage in earlier times . The FIFO , or first in first out , values inventories at cost amount of revenue in more recent times . The weighted average cost can be calculated: a) movement is determined every time you experience movements in warehouses. Calculation of weighted average cost: stock value + existence value of the new batch entered = (X quantity in inventory average unit cost) (unit cost x quantity entry) amount in storage after the new load b) For the period: it is determined after a predefined period (monthly or annual), using the weighted arithmetic mean of the purchased lots in the same period.

Cases of certainty and uncertainty

During the search problems arise of choice for the fact that the variable in question can assume or less decimal values. The decision problems are divided into cases of certainty and uncertainty. Under conditions of certainty, that the problems related to situations in which the consequences of an action are determined in advance. Under conditions of uncertainty, namely problems relating to situations where the consequences are not determinable a priori in an exact, or some or all of the variables involved are random variables of which can be known then only the values of probability.

In the 'scope of these problems we have to distinguish the periods of time for which decisions produce their effect, then we find problems of choice with immediate effects, problems in which decisions produce their effects in the short term; problems with delayed effects, problems that cause their effects in the long run, so you need to calculate interest.

Approfondimenti in Tedesco:

Einführung Im Laufe der letzten 50 Jahre im Geschäft, haben technologische Fortschritte enorm. Darüber hinaus haben die modernen Kommunikationsmittel die Übernahme von Daten in Echtzeit aktiviert und der Einsatz von Computern hat die Art und Weise und den Zeitpunkt der Arbeit revolutioniert. Aus diesem Grund werden die Entscheidungen in sehr kurzer Zeit übernommen, indem sie die Auswirkungen genau. Die Direktoren nicht nur von der Vernunft und persönlichen Erfahrungen verlassen, sondern beschäftigen Teams

von

Spezialisten

aller

Art,

Ingenieure,

Mathematiker,

Wirtschaftswissenschaftler, Ärzte, Physiker und Psychologen, die ihnen helfen, Entscheidungen zu treffen. Die Studien zu finden, die besten Methoden gewidmet haben, die Geburt einer neuen Wissenschaft des "Operations Research" gekennzeichnet.

DEFINITION des Operations Research Unternehmensforschung hat zur Aufgabe die Erforschung und Entwicklung von Methoden zur Lösung von Entscheidungsproblemen, in dem Sie die Aktivitäten und die begrenzten Ressourcen, um eine gegebene Menge von

Einschränkungen, um zu maximieren oder zu minimieren, ein treffen zu verwalten und zu koordinieren, müssen Zielfunktion. Operations Research beschäftigt

sich

mit

der

Formalisierung

ein

Problem

einem

mathematischen Modell die optimale Lösung so weit wie möglich oder ungefähre Berechnung. Im Falle der wirtschaftlichen Probleme, kann die Funktion optimiert werden mit der maximal erreichbaren Gewinn oder mit den

geringsten

Kosten,

Unternehmensforschung

die spielt

anfallen eine

werden

wichtige

zusammenfallen. Rolle

bei

der

Entscheidungsfindung, weil es Ihnen machen die beste Wahl, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen und dabei die Einschränkungen, die von außen auferlegt werden und sind nicht unter der Kontrolle von Personen, die die Entscheidungen treffen müssen. Die O.R. wird durch die folgenden Phasen gekennzeichnet: Problemerkennung

und-Sammlung

von

Informationen,

die

Identifizierung aller Variablen in steuerbaren Variablen, deren Verhalten bekannt ist und daher quantifiziert, nicht gesteuert werden kann, für die es nicht möglich, zu bestimmen, außer probabilistisch unterteilt ist. Bau des mathematischen Modells, ist es wichtig, weil es die Menge der mathematischen Beziehungen, die Realität in vereinfachter Form darstellen soll, unterschreiben und Größenbeschränkungen, das heißt, der Betrag nicht nehmen negative Werte; und technische Einschränkung, die die maximale Produktionskapazität, beispielsweise die maximale Tagesproduktion von einer Maschinen. Auflösung des mathematischen Modells und die Bestimmung der optimalen Lösung ist, dass das Ziel von der Aufgabe der Forschung ist es, Operationen Maximum oder Minimum-Funktion zu machen. Die Lösung des Problems wird mit mathematischen Werkzeugen durchgeführt.

Die Analyse der Ergebnisse erreicht, dass der Betrag nicht negative Werte annehmen;

und

technische

Einschränkung,

die

maximale

Produktionskapazität, beispielsweise die maximale Tagesproduktion von einer Maschinen.

Geschichte des Operations Research

Der Begriff Unternehmensforschung geht zurück auf die Zeit des Zweiten Weltkrieges , in denen einige Länder beschlossen, die Probleme mit wissenschaftlichen Methoden in militärischen Operationen verbundenen Probleme . Die britische Regierung , brachte er Wissenschaftler aus verschiedenen Disziplinen mit dem Ziel der Kombination von TechnologieForschung, Organisations-, und für die Verfahren zur Durchführung von Operationen , um die Gesamtleistung des " Kriegsmaschine , nicht nur die Entwicklung neuer Waffen zu verbessern, die Verbesserung der "Nutzung der bestehenden. Die für diese Aktivitäten verantwortlich Gruppe wurde genannt , auf Vorschlag von zwei seiner Mitglieder , R. Watson Watt und Rowe, Operational Research ABSCHNITT . Selbst in den USA , ab 1943 , wurde eine "Vereinigung zur Pflege der U-Boot- Kriegsführung zu nehmen, und das System der Versorgung und logistische Unterstützung erstellt. Die Eingabe von amerikanischen Wissenschaftlern in diesem Bereich der Forschung führte auch zur Namensänderung in Operations Research. Diese Ursprünge erklären, warum die kulturellen Wurzeln liegen in der Geschichte des Operations Research aus verschiedenen Disziplinen und , wie es bei " Schnittstelle zwischen verschiedenen Bereichen der methodischen und

angewandten .. zB : (Optimierung , Wirtschaftswissenschaft , das Studium der Produktionsprozesse " gefunden Fertigungsindustrie , etc.. ) Nach dem Zweiten Weltkrieg Operations Research wurde auch ein Bereich der akademischen Forschung. Beginnend in den 1950er Jahren entwickelt , die Ausbreitung

der

Telekommunikationsnetze

Optimierungsalgorithmen

Netzwerken

im wurde

Bereich die

der

dynamische

Programmierung geboren und begann , die ersten Methoden zur Lösung diskreter Probleme zu entwickeln. In den letzten Jahren des 20. Jahrhunderts die Grenzen der Forschung Operationen erweitert, um die Verwendung von wissenschaftlichen Methoden, um die besten Entscheidungen in der Verwaltung organisierte Systeme zu machen und die Leistung der nell'esecuzioni Betrieb der Produktionssysteme zu verbessern. Dieses Ergebnis wird durch intelligente Methoden der Datenanalyse , der Erstellung und Verwendung von mathematischen Modellen. Darüber hinaus wird der Erfolg der Unternehmensforschung am Ende des 20. Jahrhunderts sowie Modellierungstechniken

und

algorithmischen

auch

die

Informationstechnologie und Netzwerk, sowie Dienstleistungen und Produkte an den Entscheidungen und Management zugeschnitten gebunden.

Das Inventar Problem

Jedes Unternehmen nutzt Rohstoffe, die zugeführt werden muss und im Inventar auf Vorrat gehalten werden . So haben Sie die optimale Bestellmenge ein , so dass die Kosten minimiert. Die Zielfunktion wird durch die Gesamtkosten angegeben besteht aus : Lagerkosten , Auftragskosten , Kosten für den Kauf von Gütern . Formel- Kosten der Bestellung : m / x X Co

Lagerkosten Formel : x / X 2 Zentimeter Der Kauf von Aktien bestimmt auch den Beginn der Wirtschaftszyklus auf den technischen Kreislauf und dem Geldkreislauf verbunden . Das Unternehmen steht vor dem Problem der Produktivität der Aktien mit der Beschaffungspolitik . Sie beinhalten eine Verringerung der physikalischen Raum und eine Erhöhung der Kosten und Risiken . Das Lager ist ein zentraler Bestandteil des Unternehmens, da es : Kontinuität des Produktionsprozesses , die Trennung der Prozesse der Geschäfts-, Aktien. Die Bestände im Lager sind : Roh-, Hilfs -, Hilfs- , unfertige , Halbzeuge , Fertigprodukte und Nebenprodukte . Um die Probleme der Aktien zu analysieren ist zu unterscheiden zwischen : Waren von der Firma gekauft, um verkauft werden, und Waren, die ganz oder teilweise der Prozess der Transformation Material gewesen . Es gibt andere Methoden der Evaluation : die kontinuierliche Durchschnittskostenmethode

die

Methode

der

gewichteten

Durchschnittskosten pro Periode , LIFO ( last in first out / last in, first out) und FIFO (first in first out / zuerst kommt out) . Die Methode der gewichteten

Durchschnittskosten

kontinuierliche

Werte

Vorräte

gewichteten Durchschnittskosten bei den letzten Eintrag in Bewegung. Die Methode der gewichteten Durchschnittskosten für die Zeit am Ende des Berichtszeitraums , dem gewichteten durchschnittlichen Anschaffungskosten aller Artikel im Lager im gleichen Zeitraum platziert geschätzt. Dieser Wert wird durch die Menge an Vorrats multipliziert. Die LIFO, last in first out , Werte Vorräte auf Kosten der Einzelteile in Lagerung in früheren Zeiten gegeben. Der FIFO- oder first in first out , Werte Vorräte zu Anschaffungskosten in Höhe der Einnahmen der neueren Zeit. Der gewichtete Durchschnittskosten berechnet werden: a) Bewegung wird jedes Mal, wenn Bewegungen in Lagern erleben bestimmt. Berechnung der Durchschnittskosten:

Bestandswert + Existenzwert der neuen Batch eingegeben =

Menge

Inventar

durchschnittlichen

Kosten

pro

Einheit)

(Einheitskosten x Menge Eintrag) Betrag in der Lagerung nach der neuen Last b) Für den Zeitraum: Es wird nach einer vorgegebenen Zeit (monatlich oder jährlich) festgelegt, mit dem gewichteten arithmetischen Mittel der gekauften Lose in der gleichen Periode.

Fälle von Sicherheit und Unsicherheit Während die Suchprobleme entstehen der Wahl für die Tatsache, dass die betreffende Variable annehmen kann, oder weniger Dezimalstellen . Die Entscheidungsprobleme werden in Fällen von Sicherheit und Unsicherheit unterteilt. Unter

den

Bedingungen

der Gewissheit

dass

die

Probleme

Zusammenhang mit Situationen , in denen die Folgen einer Handlung werden im Voraus festgelegt. Unter Unsicherheit , nämlich Probleme der Situationen, in denen die Folgen sind nicht bestimmbar a priori in einer genauen , oder einige oder alle der Variablen beteiligt sind Zufallsvariablen, von denen bekannt ist , dann werden nur die Werte der Wahrscheinlichkeit. In der " Umfang dieser Probleme, die wir haben , um die Zeit , für die Entscheidungen produzieren ihre Wirkung unterscheiden , dann finden wir Probleme mit der Wahl unmittelbaren Auswirkungen , Probleme in der die Entscheidungen ihre Wirkungen in der kurzen Frist ; Probleme mit verzögerten Wirkungen , Probleme, die ihre Wirkung auf lange Sicht verursachen, so dass Sie Interesse berechnen müssen.

What is the statistic:

Statistics is responsible for collecting and analyzing data related to a certain group of people or objects except for the conclusion and make predictions. The group considered is called "population," as if it were taken into consideration only a part of it, it is called "sample". The statistic used to address two aspects inherent to reality: 1. The variability of the phenomena 2. Uncertainty of events The variability is characteristic of populations (people, animals, plants ....). The uncertainty is characteristic of the events and their fulfillment (if, how, when, ....).

Variability and uncertainty describe two conceptually different moments that man has always had to deal with strategies that are consolidated in the habitual behavior or that have been transformed into tools and methods of scientific research for the solution of complex problems. In the face of variability man seeks through regular patterns of behavior, while the face of uncertainty man seeks strategies in terms of probability. Along with the statistical calculation of the probability arises. The first statistical analyzes were carried out for commercial purposes in fact, tax, astronomical etc. .. By careful collection of statistics Egyptians, for example, came to predict the beginning and end of the floods of the Nile River, thereby transforming these

periodic flooding from natural disasters to factors of economic development for the whole country. At the time of the kings, in Rome statistics became an important tool to investigate the economic and social situation of citizens; founded in fact the "census", the census of citizens and their property. From the sixteenth century onwards, the survey data acquired considerable development as a research aspects and activities of the state, hence the name "statistics", and also on the phenomena related to astronomy. Mathematicians deal with it in the seventeenth century, when he was approached statistical methods and calculations of probability.

In 1885 in London it was born the International Institute of Statistics and ISTAT in Italy since 1926 deals with statistical surveys on various areas of social life, business, financial, political, etc.

The present era sees an advanced mathematization of statistics and its applications, especially in market research which consist in finding the factors that can optimize the commercial, industrial, financial, etc.

In 1989, with Legislative Decree 6 September 1989, n . 322 are witnessing the birth of SISTAN ( National Statistical System ) institution that houses a number of public bodies. In that year, the institute takes its name from ISTAT and variations with respect to tasks, activities and organization. This major institute , based in Rome , has an extensive throughout the country. ISTAT , plays several key roles at the national level , including: population censuses , censuses in the production area (industry, agriculture , etc.). ,

According to surveys carried out sampling on households ( lifestyle, consumption , employment, health , leisure, etc. . ) , economic surveys on a large scale ( economic crisis , market trends , etc. ) . Each statistical work is carried out taking into account of the Italian Code of Official Statistics (Directive no. 10/2010 ) in accordance with the principles laid down at European level. ISTAT annually organizes several scientific conferences and there are numerous scientific publications in various fields of national interest. From businesses to individuals, ISTAT data can give relevant information about social, demographic , economic, environmental , cultural, country , etc. .

The basic steps of a statistical survey : â&#x20AC;˘ Data collection : interviews , direct or indirect . We proceed : 1. The count of the actual number of units comprising the sample; 2 . Counting the responses to each question by providing tables of count; 3 . They are represented graphically ; 4 . The data are processed with mathematical methods; 5 . Interprets the data and conclusions are drawn in such a way that can be considered valid for the entire population. â&#x20AC;˘ The methods to achieve satisfactory results in this delicate process of transition from the sample to the population are studied from the statistics of the " inductive statistics ."

The elements of a population are called " statistical units " . And ' possible to study different characteristics of these units and each character represents a characteristic of the population. The characters can be of two types: â&#x20AC;˘ Quantities : described with numbers ; â&#x20AC;˘ Qualitative : described with words. Each character is described by the manner in which it may occur .

The number that results from a certain mode is called: absolute frequency. The set of ordered pairs is called frequency distribution. The frequency is the number of times that a given presents. The relative frequencies are the ratio between the absolute frequency and the total number of observations. f=F/T The cumulative frequencies instead, is equal to the sum of its absolute frequency and those of the modes that precede it. The task of the cumulative frequency is useful in the calculation of the median. Series and seriation The frequency distributions are sometimes called: series, if you count the units that have the same mode of a qualitative nature (geographical, alphabetical, color etc.). seriations, if you count the units that have the same values of a quantitative trait.

Tables: Simple: A simple entry in the table consists of two columns, the first shows the various modes of the character in question, the second column gives the frequencies. A double-entry: A double-entry table consists of three columns, the first two reporting modes of two characters, the third shows the frequencies. Each frequency indicates how many statistical units at the same time possess the characteristics of the row and column to which it belongs.

The ortogramma In ortogramma each frequency corresponds to a rectangle that has the height proportional to same frequency.

The histogram A histogram is made from rectangles that have the basis proportional to the amplitudes classes and areas proportional frequencies. Having collected the data, have them organized, have given a graphical representation, it is often not enough when you have to make comparisons between different situations. He feels therefore the need to express by means of a single value the character of the statistical phenomenon that is being studied. Here we resort to the indices of position: Media, mode and median. Let's start with a simple example on the board. In a soccer tournament these were the goals scored by some students:

Giovanni

Andrea

Davide

Samuele

Joan

We begin to calculate the arithmetic mean: 4 + 8 + 4 + 3 + 6 = 25 goals in all 25: 5 = 5 goals on average 5 is the average, the number of goals scored by each student if everyone had the same number of goals scored. There are a number of goals scored more frequently than others? Sure, 4 goals! 4 is the fashion, given of more frequently. Now we have the data, the number of goals, in ascending order: 3-4 - 4 - 6-8 and let the data that occupies the central position:

4 is the median, that is, since it occupies the central position in the ordered set of data.

If the data were equal in number necessary to seek the two occupying the central position and calculate the average of the two. For example, in this distribution the data center are 4:06. should then do 4 + 6 = 10 10: 2 = 5 is the median.

Once we take the example shown, now, the definition of average: In statistics, the average is a single numerical value that succinctly describes a set of data. There are various types of media that can be chosen to describe a phenomenon, those most commonly employed are the three so-called medium Pythagorean (arithmetic, geometric and harmonic). â&#x20AC;˘ The arithmetic mean It is easy to show that the arithmetic mean is a measure of location, as adding or multiplying all values by the same amount the average is multiplied by itself increases or the same amount. As all indices of position, the arithmetic mean provides the order of magnitude of existing values and allows you to know the sum of the values (by multiplying the average number n of elements). In addition to mathematics, the arithmetic mean is widely used in various fields, such as economics, sociology, and in most academic disciplines. â&#x20AC;˘ The geometric mean It is appropriate to refer to the geometric mean when the data exhibit a tendency to grow in geometric progression, such as in the case of capital investments

In a set of n positive values x1, x2, ..., xn of a character quantity X, the geometric mean is equal to the nth root of product of the individual values. EXAMPLE Initial capital: 10.000 â&#x201A;Ź Investment in floating rate bonds Year

Interest rate

Interest rate %

Capital at yearend

0,015

1,5

10.150,0

0,020

2,0

10.353,0

III

0,072

7,2

11.098,4

0,090

9,0

12.097,3

0,074

7,4

12.992,5

0,045

4,5

13.577,1

What is the average interest rate per annum? xg = 6 (1.015) (1.02) (1.072) (1.09) (1.074) (1.045) = 1.05229

â&#x20AC;˘ The harmonic mean The harmonic mean of a set of n values x1, x2, ..., xn of a quantitative character X is defined by:

Approfondimenti in Tedesco

Was ist die Statistik Statistik ist für das Sammeln und Analysieren von Daten zu einer bestimmten Gruppe von Menschen oder Objekten verknüpft sind, außer für den Abschluss und Vorhersagen verantwortlich. Die Gruppe betrachtet wird "Population", als ob es nur einen Teil der in Betracht gezogen wird, wird es als "Probe". Die Statistik verwendet, um zwei Aspekte inhärent Realität befassen: 1. Die Variabilität der Phänomene 2. Unsicherheit der Ereignisse Die Variabilität ist charakteristisch für die Bevölkerung (Menschen, Tiere, Pflanzen ....). Die Unsicherheit ist charakteristisch für die Ereignisse und ihre Erfüllung (wenn, wie, wann, ....). Variabilität

und

Unsicherheit

beschreiben

zwei

konzeptionell

unterschiedliche Momente, die der Mensch hat schon immer mit Strategien, die in der gewöhnlichen Verhalten konsolidiert oder die in Tools und Methoden der wissenschaftlichen Forschung für die Lösung komplexer Probleme transformiert worden sind, umzugehen. Angesichts der Variabilität sucht Mann durch regelmäßige Verhaltensmuster, während das Gesicht der Unsicherheit Mann sucht Strategien in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit. Zusammen mit der statistischen Berechnung der Wahrscheinlichkeit ergibt.

Die ersten statistischen Analysen wurden für gewerbliche Zwecke in der Tat, Steuern, astronomische usw. durchgeführt .. Durch sorgfältige Erhebung von Statistiken Ägypter, zum Beispiel, kam zu Beginn und Ende der Überschwemmungen des Nil vorhersagen, wodurch diese

periodischen

Überschwemmungen

Umwandlung

von

Naturkatastrophen auf Faktoren der wirtschaftlichen Entwicklung für das ganze Land. Zu der Zeit der Könige in Rom Statistiken wurde ein wichtiges Werkzeug, um die wirtschaftliche und soziale Lage der Bürger zu untersuchen; Tatsächlich gründete die "Volkszählung", die Volkszählung der Bürger und deren Eigentum. Vom sechzehnten Jahrhundert erwarben die Umfragedaten beträchtliche Entwicklung als Forschungsaspekte und Aktivitäten des Staates, daher der Name "Statistiken", und auch auf die Phänomene, die Astronomie. Mathematiker mit ihr umgehen im siebzehnten Jahrhundert, als er statistische Methoden und Berechnungen der Wahrscheinlichkeit fahren. Der Internationalen Institut für Statistik wurde im Jahre 1885 geboren und ISTAT in Italien seit 1926 beschäftigt sich mit statistischen Erhebungen zu verschiedenen Bereichen des gesellschaftlichen Lebens, geschäftlichen, finanziellen, politischen, usw. geboren ... Die heutige Zeit sieht eine erweiterte Mathematisierung der Statistik und ihre Anwendungen, vor allem in der Marktforschung, die in der Suche nach den Faktoren, die Optimierung können die Handels-, Industrie-, Finanz-, usw. Bestehen. Im Jahr 1989 , mit Gesetzesdekret 6. September 1989 , n . 322 sind Zeugen der Geburt SISTAN (Nationale Statistische System) Institution, die eine Reihe von öffentlichen Einrichtungen untergebracht sind. In diesem Jahr nimmt das Institut seinen Namen von ISTAT und Variationen in Bezug auf Aufgaben

, Aktivitäten und Organisation. Diese großen Institut , mit Sitz in Rom , hat eine umfangreiche ganzen Land. ISTAT , spielt mehrere Schlüsselrollen auf der nationalen Ebene , einschließlich : . Volkszählungen , Volkszählungen in der Produktion ( Industrie, Landwirtschaft, etc.) , laut Umfragen, die Probenahme auf Haushalte ( Lebensstil , Konsum , Beschäftigung, Gesundheit durchgeführt , Freizeit , etc..) , Konjunkturumfragen im großen Maßstab ( Wirtschaftskrise , Markttrends, etc.). Jede statistische Arbeit wird unter Berücksichtigung der italienischen Kodex der amtlichen Statistik in Übereinstimmung mit den auf europäischer Ebene festgelegten Grundsätzen (Richtlinie Nr. 10/2010) . ISTAT veranstaltet jährlich mehrere wissenschaftliche Konferenzen und es gibt zahlreiche wissenschaftliche Publikationen in verschiedenen Bereichen des nationalen Interesses . Von Unternehmen, Privatpersonen, können ISTAT -Daten relevante Informationen über sozialen, demografischen , wirtschaftlichen, ökologischen , kulturellen, Land usw. zu geben. Die grundlegenden Schritte einer statistischen Erhebung: • Datenerfassung: Interviews, direkt oder indirekt. Wir gehen: 1. Die Zahl der tatsächlichen Anzahl der Aggregate der Probe. . 2. Zählen Sie die Antworten auf jede Frage, indem Tabellen des Grafen; . 3 Sie werden grafisch dargestellt; . 4 Die Daten werden mit mathematischen Methoden bearbeitet werden; 5. Interpretiert die Daten und Schlussfolgerungen werden in einer Weise, die als gültig für die gesamte Bevölkerung werden gezogen.

• Die Methoden, um zufriedenstellende Ergebnisse in dieser heiklen Übergangsprozess von der Probe für die Bevölkerung zu erreichen, werden aus der Statistik der untersuchten "induktiven Statistik." Die Elemente der Bevölkerung werden als "statistische Einheiten". Und 'möglich, verschiedene Eigenschaften dieser Einheiten zu studieren und jedes Zeichen repräsentiert eine Charakteristik der Bevölkerung. Die Zeichen können von zwei Arten sein: Mengen: mit Zahlen beschrieben; Qualitative mit Worten beschrieben. Jedes Zeichen wird durch die Art und Weise, kann es vorkommen, beschrieben. Die Zahl, die von einem bestimmten Modus führt heißt: absolute Frequenz. Der Satz von geordneten Paaren wird als Frequenzverteilung. Die Frequenz ist die Anzahl der Male, die eine gegebene präsentiert. Die relativen Häufigkeiten sind das Verhältnis zwischen der absoluten Frequenz und die Anzahl der Beobachtungen. f=F/T Die kumulative Häufigkeiten stattdessen ist gleich der Summe der absoluten Frequenz und die der Modi die frühere. Aufgabe der kumulativen Frequenz, die bei der Berechnung des Medianwerts. Serie und Seriation Die Häufigkeitsverteilungen werden manchmal auch als: • der Serie, wenn Sie die Einheiten, die den gleichen Modus qualitativer Art (geografisch, alphabetisch, Farbe etc.) zählen.

• seriations, wenn Sie die Geräte, die die gleichen Werte einer quantitative trait haben zu zählen. Tabellen: Einfach: Ein einfacher Eintrag in der Tabelle besteht aus zwei Spalten, den ersten Shows die verschiedenen Modi des Zeichens in Frage, die zweite Spalte gibt die Frequenzen. Ein Doppel-Eintrag: Ein Doppel-Eintrag Tabelle besteht aus drei Spalten, die ersten beiden Berichtsarten aus zwei Zeichen, die dritte zeigt die Frequenzen. Jede Frequenz zeigt an, wie viele statistische Einheiten zur gleichen Zeit besitzen die Eigenschaften der Zeile und Spalte, zu der es gehört.

Die graphische Darstellung der Daten: Der Ortogramm Im ortogramm jede Frequenz entspricht einem Rechteck, das hat die Höhe proportional und die selbe Frequenz. Das Histogramm Ein Histogramm ist aus Rechtecke gemacht, die eine Grundlage proportional zu den amplituden Klassen und Bereiche proportionale Frequenzen haben. Nachdem die Daten gesammelt werden, haben sie organisiert, haben eine grafische Darstellung gegeben ist, ist es oft nicht genug, wenn Sie haben, um Vergleiche zwischen verschiedenen Situationen zu machen. Er fühlt sich daher die Notwendigkeit, durch einen einzigen Wert der Charakter des statistischen Phänomen, das untersucht wird auszudrücken. Hier greifen wir auf die Indizes der Position: Medien, Modus und Median. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel auf dem Brett starten.

In einem Fußballturnier waren die Ziele von einigen Studenten bewertet: Giovanni Andrea Davide Samuele Joan

4 8 4 3 6

Wir fangen an, den arithmetischen Mittelwert zu berechnen: 4 + 8 + 4 + 3 + 6 = 25 Tore in allen 25: 5 = 5 Tore im Durchschnitt 5 ist der Durchschnitt, die Zahl der Ziele von jedem Schüler hat, wenn jeder hatte die gleiche Anzahl Tore erzielt. Es gibt eine Reihe von Zielen häufiger erzielt als andere? Klar, 4 Tore! 4 ist die Mode, dh häufiger gegeben. Jetzt haben wir die Daten, dh die Anzahl der Tore, in aufsteigender Reihenfolge: 4.3 - 4 - 8.6 und lassen Sie die Daten, die die zentrale Stellung einnimmt:

4 ist der Median, das heißt, da es in dem geordneten Satz von Daten nimmt die zentrale Position. Wenn die Daten waren in der Anzahl gleich notwendig, die beiden Besatzungs die zentrale Position zu suchen und der Mittelwert der beiden. Zum Beispiel, in dieser Verteilung

das Datenzentrum sind 04.06. sollte dann 4 + 6 = 10 10: 2 = 5 ist der Median. Sobald wir die gezeigten Beispiel zu nehmen, jetzt ist die Definition des Durchschnitts : In der Statistik ist die durchschnittliche ein einzelner Zahlenwert, der kurz und bündig beschreibt eine Reihe von Daten. Es gibt verschiedene Arten von Medien, die gewählt werden können, um ein Phänomen zu beschreiben , diejenigen, die am häufigsten verwendet werden, sind die drei so genannten Medium pythagoreischen ( arithmetische , geometrische und harmonische ) . • Das arithmetische Mittel Es ist leicht zu zeigen, dass der arithmetische Mittelwert ist ein Maß der Lage, wie Addieren oder Multiplizieren aller Werte durch die gleiche Menge der Durchschnitt von selbst erhöht oder den gleichen Betrag multipliziert. Wie alle Indizes der Lage, das arithmetische Mittel stellt die Größenordnung der bestehenden Werte und können Sie die Summe der Werte ( durch Multiplikation der durchschnittlichen Anzahl n der Elemente) kennen. Neben Mathematik, ist das arithmetische Mittel weit verbreitet in verschiedenen Bereichen, wie Wirtschaft , Soziologie, und in den meisten wissenschaftlichen Disziplinen eingesetzt.

• Die mittlere geometrische Es ist angebracht, um das geometrische Mittel beziehen , wenn die Daten zeigen eine Tendenz, sich in geometrischer Progression wachsen , wie im Fall von Kapitalinvestitionen In einer Menge von n positive Werte x1, x2, ..., xn eines Zeichen Menge X, die gleich der n-ten Wurzel ist der geometrische Mittelwert Produkt der Einzelwerte. Beispiel Anfangskapital: 10.000 € Investitionen in variabel verzinsliche Anleihen Jahr

Zinssatz

Zinssatz %

Kapital zum Jahresende