Chapitre 3 Les configurations du plan by JUNG Manu

Chapitre 3

Les Configurations du plan

Une configuration du plan est une situation de géométrie plane qui permet d'utiliser une propriété. Elle est souvent associée à une figure-clé qui permet d'identifier rapidement et la situation, et la propriété. Ex : configuration de Thalès

1) Les figures usuelles de géométrie plane 1.1) Définitions 1.1.1) Les triangles  Définitions : Un triangle est une polygone qui a trois côtés (ou trois sommets). Dans le cas général, on parle de triangle quelconque. Un triangle qui a deux côtés de la même longueur est un triangle isocèle. Un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur est un triangle équilatéral. Un triangle qui a un angle droit est un triangle rectangle.

Remarque : un triangle isocèle rectangle est un triangle qui a un angle droit et deux côtés de la même longueur. Exemple :

ABC est un triangle ______________.

ABC est un triangle tel que AB = AC. On dit qu'il est ________________ en____. A est appelé le sommet principal et [BC] est appelé la base. ABC est un ___________________ en_______. [AB] et [AC] sont appelés les côtés de l'angle droit et [BC] est l'hypoténuse. C'est le plus grand des côtés.

ABC est un triangle tel que AB = AC = BC Il est donc _______________.

 Définitions :

1.1.2) Les quadrilatères

Un quadrilatère est une polygone qui a quatre côtés (ou quatre sommets). Deux côtés qui se suivent sont dits consécutifs. Deux côtés qui ne sont pas consécutifs sont dits opposés. Le segment joignant deux sommets non consécutifs est appelé diagonale. Dans le cas général, on parle de quadrilatère quelconque. Un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles est un trapèze. Les deux côtés parallèles sont appelés les bases. Un trapèze qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires est un trapèze rectangle. Un trapèze qui a ses deux côtés non parallèles qui sont de la même longueur est un trapèze isocèle. Un quadrilatère qui a deux côtés consécutifs de la même longueur et les deux autres côtés consécutifs de la même longueur est un cerf-volant. Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme. Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur est un losange. Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle : côtés de la même longueur et angles droits.

Il existe des quadrilatères dits croisés.

Exemple : ABCD est un quadrilatère ______________. [AB], [BC], [CD] et [DA] sont ses ___________. [AC] et [BD] ses _____________________.

ABCD est un ________________ de bases ________ et _________.

ABCD est un trapèze ____________.

ABCD est un ________________________

ABCD est un ____________ ABCD est un ____________________.

ABCD est un _________________.

ABCD est un ________________.

ABCD est un ____________.

1.1.3) D'autres figures usuelles  Définitions : Il y a d'autres polygones avec un plus grand nombre de côtés. On pourra retenir pour infos , le pentagone (5 côtés), l'hexagone (6 côtés), l'heptagone (7 côtés), l'octogone (8 côtés), l'ennéagone (9 côtés), le décagone (10 côtés), l'hendécagone (11 côtés), le dodécagone (12 côtés), ... Un polygone est dit régulier lorsqu'il est inscrit dans un cercle et que tous ses côtés ont la même longueur. Étant donnés un point O et un nombre réel r positif ou nul, le cercle de centre O et de rayon r, est l'ensemble des points situés à une distance r de O. exemples :

ABCD est un pentagone régulier

C est le cercle de centre A et de rayon r.

1.2) Les Propriétés Il s'agit ici des différentes propriétés étudiées au cours de notre vie d'élève. Elles sont souvent de la forme « Si ..., alors ... ». Exemple : Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu alors c'est un parallélogramme. La phrase entre le si et le alors s'appelle la condition de la propriété et celle qui est après le alors s'appelle la conclusion de la propriété.

Un énoncé en « si ..., alors ... » est vrai lorsque quand la condition est vérifiée la conclusion est vraie. Un énoncé vrai est appelé propriété ou théorème ... Un énoncé en « si ..., alors ... » est faux lorsqu'il peut arriver que la condition soit vérifiée et pourtant la conclusion soit fausse. La réciproque d'un énoncé est l'énoncé obtenu en intervertissant conclusion et conclusion. La réciproque d'un énoncé vrai n'est pas forcément vraie et un énoncé faux n'a pas forcément une réciproque fausse. Voici une liste non-exhaustive des propriétés sur les figures usuelles que l'on est sensé maîtriser en arrivant en seconde :

Les Droites

Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles, et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est aussi perpendiculaire à l'autre.

Les Médiatrices

Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu, alors c'est la médiatrice de ce segment. Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu. Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d'un segment, alors c'est la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par un points équidistants des extrémités d'un segment et est perpendiculaire à ce segment, alors c'est la médiatrice de ce segment.

Les Triangles

Si on a un triangle, alors la somme des mesures des trois angles est égale à 180 °. Si un triangle est isocèle, alors les deux angles à la base ont la même mesure. Si un triangle a deux angles qui ont la même mesure alors il est isocèle. Si un triangle est équilatéral alors il a ses trois angles mesurent tous 60 °. Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés, alors il a pour longueur la moitié du troisième côté. Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Les Cerfs-volants : Si un quadrilatère est un cerf-volant alors l'une de ses diagonales est la médiatrice de l'autre.

Si un quadrilatère a une de ses diagonales qui est la médiatrice de l'autre alors c'est un cerf-volant.

Les Parallélogrammes : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de la même longueur deux à deux. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.

Les Losanges

Si un quadrilatère a ses quatre côtés de la même longueur, alors c'est un losange. Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses quatre côtés sont de la même longueur. Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires, alors c'est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c'est un losange. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaire, alors c'est un losange.

Les Rectangles

Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle. Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur deux à deux et ses quatre angles sont droits. Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur et le même milieu. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont la même longueur et le même milieu, alors c'est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.

Les Carrés : Si un quadrilatère a quatre côtés de la même longueur et un angle droit, alors c'est un carré. Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre côtés de la même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont la même longueur et le même milieu. Si un quadrilatère a ses diagonales qui sont perpendiculaires et qui ont la même longueur et le même milieu, alors c'est un carré. Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré.

Si un losange a ses diagonales qui ont la même longueur, alors c'est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c'est un carré. Si un rectangle a ses diagonales qui sont perpendiculaires, alors c'est un carré.

Les Cercles : Si deux points sont sur un cercle, alors le centre de ce cercle est équidistant de ces deux points. Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle.

Les Angles : Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors deux angles alternes-internes ont la même mesure. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes qui ont la même mesure, alors elles sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante sont parallèles, alors deux angles correspondants ont la même mesure. Si deux droites coupées par une sécante forment des correspondants qui ont la même mesure, alors elles sont parallèles.

1.3) Démontrer en géométrie Démontrer en géométrie c'est construire un raisonnement argumenté, capable d'expliquer aux autres ou de les convaincre d'un résultat. On commence par faire une figure, au crayon à papier, en respectant toutes les données, sans en rajouter.

Cette figure ne constitue pas une preuve car des constatations ou des mesures ne prouvent rien. Elle sert d'appui au raisonnement. On se pose ensuite une série de questions :

Le choix de la propriété se fait le plus souvent en fonction de l'observation de la figure et à partir de la condition d'utilisation de la propriété. La rédaction est une suite de chaînons déductifs de la forme qu'on peut contrôler :

Il doit y avoir correspondance entre les données et la condition.

Il faut que ce soit dit par l'énoncé ou justifié précédemment. Je sais que

Si Il doit y avoir correspondance entre les deux conclusions.

...

, alors

La propriété écrite existe-t-elle bien ?

Donc Le dernier chaînon conduit-il bien à ce qu'on veut démontrer ?

2) Les propriétés de Pythagore et de Thalès et leurs réciproques 2.1) Du côté de Pythagore

 Propriété de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² preuve : Soit ABCD le carré ci-contre et I, J, K et L les points des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] tels que AI = BJ = CK = DL. On va d'abord démontrer que IJKL est un carré. On sait que AI = BJ = CK = DL = b et que ABCD est un carré. Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre côtés de la même longueurs et quatre angles droits. Donc AB = BC = CD = DA = k et par suite IB = JC = KD = LA = k – b = a, , C  sont droits. , B  et D et les angles A On en déduit donc que les triangles AIL, IBJ, JCK et KDL sont des triangles rectangles superposables. Leurs hypoténuses ont donc la même longueur c'est-à-dire que LI = IJ = JK = KL. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de la même Donc IJKL est un losange. Posons c la longueur de ses côtés.

longueur

alors

c'est

losange.

Par ailleurs ces triangles rectangles étant superposables, leurs angles sont égaux. On a donc  ALI =  BIJ De plus, les deux angles autres que l'angle droit sont complémentaires donc  ALI +  AIL = 90 ° On a donc  BIJ +  AIL = 90 ° Or  AIB = 180 ° =  AIL +  LIJ +  BIJ donc 180 ° = 90° +  LIJ et ainsi,  LIJ = 90°. Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré. Donc IJKL est un carré. Considérons maintenant l'aire du carré ABCD et exprimons-la de deux façons différentes :

ABCD

= côté × côté = ( b + a )² = b² + 2ab + b²

on a aussi

ABCD

IJKL

+4×

triangle

= c² + 4 ×

ab = c² + 2ab 2

On a donc b² + 2ab + b² = c² + 2ab et en simplifiant le 2ab de chaque côté on déduit que b² + a² = c²

La propriété de Pythagore s'applique quand un triangle est rectangle et permet d'écrire une relation entre les carrés des longueurs des côtés. reCela permet donc d'en calculer une quand on en connaît deux.

 Méthode vue sur un exemple: Soit EDF un triangle rectangle en E tel que ED = 12 cm et DF = 13 cm. Calcule EF. Dans le triangle EDF rectangle en E, je peux appliquer la propriété de Pythagore. L'hypoténuse est [DF] donc DF² = ED² + EF² 13² = 12² + EF² 169 = 144 + EF² donc EF² = 169 – 144 = 25 Ainsi EF =

 25

= 5 cm

 Propriété réciproque de Pythagore : Si pour un triangle ABC on a AB² + AC² = BC² alors le triangle ABC est rectangle en A. La propriété réciproque de Pythagore s'applique dans un triangle dont on a la longueur des trois côtés. Cela permet, si le plus grand carré est égal à la somme des deux autres, de montrer que le triangle est rectangle.

 Méthode : Il faut calculer séparément les carrés des longueurs des trois côtés Si le plus grand carré est égal à la somme des deux autres, on peut appliquer la propriété réciproque de Pythagore et conclure que le triangle est rectangle.

Exemple :

Soit MNP un triangle tel que MN = 7,5 cm, NP = 6 cm et MP = 4,5 cm. Montre que MNP est rectangle. MP² = 4,5² = 20,25 NP² = 6² = 36

je constate que 56,25 = 20,25 + 36 c'est-à-dire que MN² = MP² + NP²

MN² = 7,5² = 56,25 Je peux donc appliquer la propriété réciproque de Pythagore et déduire que le triangle MNP est rectangle en P. S'il n'y a pas d'égalité vérifiée, on ne peut pas appliquer la propriété réciproque de Pythagore. C'est en appliquant la propriété directe de Pythagore que l'on peut conclure que le triangle n'est pas rectangle.

2.2) Du côté de Thalès  Propriété de Thalès :

Étant donnés deux droites ( ) et ( ) sécantes en A, M et B deux points de ( ) et N et C deux points de

( ) Si les droites (MN) et(BC) sont parallèles alors Il y deux (ou trois) configurations :

AM AN MN = = AB AC BC

dans les deux figures, (MN) // (BC)

Cette propriété, permet lorsque les conditions de son utilisation dont remplies, d'écrire une relation entre des longueurs. Si on en connaît suffisamment on peut en calculer grâce à des quatrièmes proportionnelles.

 Méthode vue sur un exemple: On considère la figure de droite ci-dessus et on donne AB = 2,5 cm, AC = 2 cm, BC = 1,5 cm et AM = 7,5 cm. Calcule AN et MN.

J'ai la situation suivante : - les droites(BM) et (NC) sont sécantes en A. - les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Je peux donc appliquer la propriété de Thalès et écrire que :

AM AN MN = = AB AC BC

Calcul de AN : AM AN = AB AC

donc

AN =

AM×AC 7,5×2 = = 6 cm AB 2,5

donc

MN =

AM×BC 7,5×1,5 = = 4,5 cm AB 2,5

Calcul de MN : AM MN = AB BC

 Propriété réciproque de Thalès :

Si les points A, M et B sont alignés sur une droite ( ) dans le même ordre que les points A N et C sur une

droite ( ) et si

AM AB

AN AC

alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Pour appliquer la propriété réciproque de Thalès , il faut bien penser à vérifier les deux conditions, en particulier celle sur l'ordre des points que l'on oublie souvent. Elle sert à montrer que des droites sont parallèles.  Méthode vue sur un exemple: On considère la figure ci-dessous et on donne AB = 4 cm, AC = 2 cm, AN = 1,5 cm et AM = 3 cm. Montre que

les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On calcule d'abord séparément les rapports qui sont induits par la figure: AM = AB

3 4

AN 1,5 1,5×2 = = = AC 2 2×2

3 4

J'ai la situation suivante : - les droites(BM) et (NC) sont sécantes en A. - les points M,A et N sont dans le même ordre que les points N, A et C. -

AM AN = = AB AC

3 4

Je peux donc appliquer la propriété réciproque de Thalès et dire que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. S'il n'y a pas d'égalité vérifiée, on ne peut pas appliquer la propriété réciproque de Thalès. C'est en appliquant la propriété directe de Thalès que l'on peut conclure que les droites ne sont pas parallèles.

3) Les droites remarquables dans le triangle 3.1) Droites et centres  Propriétés : 1) Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point équidistant des trois sommets appelé centre du cercle circonscrit au triangle. 2) Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. 3) Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle 2 2 2 2 et situé aux du sommet sur chaque médiane ( AG = AA', BG = BB' et CG = CC') 3 3 3 3 4) Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes en un point qui permet de tracer un cercle à l'intérieur du triangle et tangent à chaque côté. Ce point s'appelle le centre du cercle inscrit au triangle.

G centre de gravité du triangle ABC AG = BG = O centre du cercle circonscrit

CG =

2 AA' 3 2 3

BB'

2 CC' 3

OA = OB = OC

H est l'orthocentre du triangle ABC

I est le centre du cercle inscrit dans le triangle

remarques : 

Pour construire le centre associé, il suffit de construire deux des trois droites.

Cela permet de donner de nouvelles propriétés du genre: Dans un triangle, si une droite passe par le centre du cercle circonscrit et le milieu d'un côté, alors c'est une médiatrice. Elle est donc perpendiculaire à ce côté. Dans un triangle, si une droite passe par le centre du cercle circonscrit et est perpendiculaire à un côté, alors c'est une médiatrice. Elle passe donc par le milieu de ce côté. Dans un triangle, si une droite passe par le centre de gravité et le milieu d'un côté, alors c'est une médiane. Elle passe donc par le sommet opposé. Dans un triangle, si une droite passe par le centre de gravité et un sommet, alors c'est une médiane. Elle passe donc par le milieu du côté opposé.

Dans un triangle, si une droite passe par l'orthocentre et un sommet, alors c'est une hauteur. Elle est donc perpendiculaire au côté opposé. Dans un triangle, si une droite passe par le centre du cercle inscrit et un sommet, alors c'est une bissectrice. Elle partage donc l'angle en ce sommet en deux angles de même mesure.

3.2) Droites remarquables et triangles particuliers  Triangle rectangle:  Propriétés : 1) Si un triangle est rectangle, alors l'orthocentre est le sommet où il y a l'angle droit. 2) Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. 3) Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet où il y a l'angle droit a pour longueur la moitié de celle de l'hypoténuse.

 Triangle isocèle:  Propriétés : Si un triangle est isocèle, alors la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base, la médiane issue du sommet principal et la bissectrice de l'angle à ce sommet.

 Triangle équilatéral:  Propriétés : Si un triangle est équilatéral, hauteurs, médiatrices, médianes et bissectrices sont confondues.

4) Travailler avec les angles 4.1) Angles et cercles  Définitions : Soit

C un cercle de centre O et trois points A, B et M situés sur le cercle.

On dit que l'angle

 AMB

est un angle inscrit dans le cercle

C interceptant l'arc

˙ AB

(le petit arc,

celui qui ne contient pas M).

 ANB est un angle inscrit dans le cercle interceptant le même arc. L'angle  AOB est l'angle au centre interceptant le même arc ou angle au centre associé. L'angle

 Propriétés : 1) La mesure d'un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de celle de l'angle au centre interceptant le même arc. 2) Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc ont la même mesure.

4.2) Trigonométrie  Définitions : Soit ABC un triangle rectangle en A. Lorsqu'on considère un angle à un sommet, il y a un des côtés de l'angle droit qui est « à coté », le côté adjacent et un qui est « en face », le côté opposé.

 , le côté opposé est [AB] et le coté adjacent est [AC] C

Pour l'angle

 Propriétés : Cosinus de l'angle =

côté adjacent à l'angle hypoténuse

sinus de l'angle=

côté opposé à l' angle hypoténuse

côté opposé à l' angle côté adjacent à l'angle

tangente de l'angle =

Ainsi,on aura, cos (

 )= B

AB BC

sin (

AC BC

 )= B

tan (

 )= B

AC AB

Cela permet, dans un triangle rectangle, d'écrire des relations entre les longueurs des côtés et les angles, et donc, suivant la situation, soit de calculer une longueur, soit de calculer un angle. Exemples :

 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que B  Méthode : Il faut repérer ce que l'on connaît ( ici l'angle pour déterminer quelle formule on va appliquer.

= 36 ° et AB = 4 cm. Calculons BC et AC.

 et son côté adjacent [AB] ) et voir ce que l'on cherche B

Pour BC, on cherche la longueur de l'hypoténuse, donc on choisira la formule utilisant « côté adjacent » et « hypoténuse » : celle du cosinus. Pour AC, on cherche la longueur du côté opposé, donc on choisira la formule utilisant « côté adjacent » et « côté opposé » : celle de la tangente. Dans le triangle ABC, rectangle en A, je peux appliquer les formules de trigonométrie. Cosinus =

côté adjacentà l ' angle hypoténuse

et tangente =

donc cos (

 )= B

AB et donc BC = BC

donc tan (

 )= B

AC AB

AB  = cos B

et donc AC = AB × tan (

côté opposé à l' angle côté adjacent à l 'angle 4 ≈ 4,9 cm cos36 °

 ) = 4 × tan (36°) ≈ 2,9 cm B

 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC = 5 cm et AB = 4 cm. Calculons B

 . C

 Méthode : Il faut repérer l'angle que l'on cherche et voir, pour cet angle, ce que représentent les côtés que l'on  et on connaît son côté adjacent [AB] et l'hypoténuse) pour déterminer quelle connait.( ici pour l'angle B formule on va appliquer. Puis on utilise la calculatrice et la touche INV.

 , on choisira la formule utilisant « côté adjacent » et « hypoténuse » : celle du cosinus. B

Pour

Dans le triangle ABC, rectangle en A, je peux appliquer les formules de trigonométrie. Cosinus = donc cos (

côté adjacentà l ' angle hypoténuse

AB = BC

 )= B

4 5

et donc

 = cos-1 ( B

4 ) ≈ 37° 5

Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l'angle droit sont complémentaires.

 sont complémentaires et ainsi C  ≈ 90 – 37 ≈ 53°  et C B

Donc

 Autres formules :

x désigne la mesure d'un angle aigu x

1) cos²( ) + sin²( ) = 1

2) tan( ) =

 valeurs pour les angles particuliers :

0°

sin( )

cos( )

tan( )

30°

45°

60°

90°

3

2

1 2

2

3

5) Les transformations 5.1) Rappels  Définitions : Soit

C un cercle de

sin x  cos  x 