ANALISIS NUMERICO RODAS HUAMANCHUMO ANTHONY PIERRE
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO CODIGO: 070803F
METODO DE GAUSS SEIDEL DEFINICION En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi. Aplicación del método de GAUSS SEIDEL mediante el sistema de ecuaciones lineales
De la ecuación 1 despejar X1 , de la ecuación 2 despejar X2 ,…, de la ecuación n despejar Xn . Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:
Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables X2 ,…, Xn; esto dará un primer valor para X1 . Más precisamente, se tiene que:
Enseguida, se sustituye este valor de X1 en la ecuación 2, y las variables X3 ,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para X2 :
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Estos últimos valores de X1 y X2 , se sustituyen en la ecuación 3, mientras que X4 ,…, Xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:
Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:
En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
Donde
se debe prefijar convenientemente.
Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
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El método de iteración Gauss-Seidel es
Donde
Para i=j, o
para
.
Y
Esto es también que: Si Definimos
y
. Considerando el sistema Ax=b, con la condición de que podemos escribir la fórmula de iteración del método
, i= 1,..., n. Entonces
,
i=1,..., n (*) La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones. Convergencia Teorema: Suponga una matriz condición de
es una matriz no singular que cumple la
ó
3
.
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Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones Ax=b, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi. Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma: (**) (el término es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la forma general de un método iterativo estacionario. Primeramente debemos demostrar que el problema lineal que queremos resolver se puede representar en la forma (**), para este motivo debemos tratar de escribir la matriz A como la suma de una matriz triangular inferior, una diagonal y una triangular superior A=D (L+I+U), D= diag ( ). Haciendo los despejes necesarios escribimos el método de esta forma
Por lo tanto B=-(L+I)-1 U. Ahora podemos ver que la relación entre los errores, el cuál se puede calcular al substraer x=Bx+c de (**)
Supongamos ahora que , i= 1, ..., n, son los valores propios que corresponden a los vectores propios ui, i= 1,..., n, los cuales son linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial
(***) Por lo tanto la iteración converge si y sólo si | λi|<1, i= 1, ..., n. De este hecho se desprende el siguiente teorema: Teorema: Una condición suficiente y necesaria para que un método iterativo estacionario es que
converja para una aproximación arbitraria x^{(0)}
Donde ρ(B) es el radio espectral de B.
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PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:
Hasta que SOLUCIÓN: Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:
Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando. Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:
Ahora se sustituye
y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2:
Ahora se sustituye
y
en la tercera ecuación para obtener x3:
Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:
Puesto que todavía no se puede calcular ningún error aproximado, se repite el proceso pero ahora con los últimos datos obtenidos para las incógnitas: Sustituyendo Sustituyendo
y y
en la ecuación 1 se obtiene en la ecuación 2 se obtiene
finalmente, sustituyendo y en la ecuación 3 se obtiene . Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a la solución del sistema:
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Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismo proceso con los últimos valores obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el error aproximado ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:
En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:
Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:
PROBLEMA 2: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:
Hasta que SOLUCIÓN: En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto.
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La condición se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 2.5 > (0.7 + 15) 2.5 > 15.7; no es cierto. La condición no se cumple para la segunda fila. |a33| > (|a31| + |a32|) 4.4 > (3.3 + 11) 4.4 > 14.3; no es cierto. La condición no se cumple para la tercera fila. Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para todas las filas. Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante. NOTA: Recuérdese que la diagonal principal está compuesta por a11, a22 y a33. Sin embargo, al hacer el intercambio del renglón 2 por el renglón 3, se tiene el siguiente sistema:
En este caso se puede observar que el sistema sí es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto. La condición se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 11 > (3.3 + 4.4) 11 > 7.7; es cierto. La condición se cumple para la segunda fila. |a33| > (|a31| + |a32|) 15 > (0.7 + 2.5) 15 > 3.2; es cierto. La condición se cumple para la tercera fila.
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Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condición debe cumplirse para todas las filas. En este caso efectivamente la condición se cumple para todas las filas, por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante. Por lo tanto se procede a despejar x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente:
Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0 en la ecuación 1 para obtener x1:
Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuación 2 para obtener x2: Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteración son:
Puesto que sólo se tiene la primera aproximación de la solución del sistema, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la ecuación 1, se obtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en la ecuación 2, se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = 3.42775 en la ecuación 3, se obtiene x3 = -0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximación es:
Ahora se pueden calcular los errores aproximados para cada una de las incógnitas:
Puesto que no se ha cumplido el objetivo, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Se resumen los resultados de esta manera:
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Tercera iteración:
Cuarta iteración:
Así, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteración y se tiene que los valores aproximados de la solución del sistema son:
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